Funkcja akumulacji i wartość przyszła

Transkrypt

1 Funkcja akumulacji i wartość przyszła Zadanie 1 An investment of $10000 is made into a fund at time t=0. The fund develops the following balances over the next 4 years: F (0) = 10000, F (1) = 10600, F (2) = 11130, F (3) = 11575, 20, F (4) = 12153, 96. a) If $5000 is invested at time t=0, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4. b) If $5000 is invested at time t=2, under the same interest environment, find the accumulated value of the $5000 at time t=4. Zadanie 2 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = t 2 +2t+3, t 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. c) Wyznaczyć I n odsetki za każdy z n okresów, n N. Zadanie 3 a) Prove that F (n) F (0) = I 1 + I I n. b) Verbally interpret the result obtained in a) Zadanie 4 For the $5000 investment given in zad. 1, find the amount of interest earned during the second year of investment, i.e. between times t = 3 and t = 4. Zadanie 5 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem ct 2 + b. Jeśli $100 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $172 w momencie t = 3, to jaką wartość osiągnie w momencie t = 10 kapitał $100 zainwestowany w momencie t = 5. Zadanie 6 W momencie t = 0 zainwestowano kwotę F (0) = 2400 na trzy lata. Kwota ta w kolejnych latach przyjmowała wartości F (1) = 2570, F (2) = 2934, F (3) = Jaką kwotą dysponowałby inwestor pod koniec trzeciego roku, gdyby dodatkowo w momencie t = 2 zainwestował kwotę 2000 przy tych samych warunkach oprocentowania? Zadanie 7 Rozważmy funkcję wartości przyszłej kapitału postaci F (t) = 2t 2 +3t+1, t 0. a) Wyznaczyć odpowiednią funkcję akumulacji a(t). b) Pokazać, że a(t) spełnia trzy własności funkcji akumulacji. Zadanie 8 Rozważmy funkcję akumulacji daną wzorem a(t) = ct 2 + b, t 0. Wyznaczyć współczynniki c i b, jeśli wiadomo, że $124 zainwestowane w momencie t = 0 osiąga wartość $186 w momencie t = 5. 1

2 Efektywna stopa procentowa Zadanie 9 For the $2400 investment given in zadanie 6 find the effective rate of interest for each of the three years. Zadanie 10 Assume that F (n) = n. Find i 5, i 10. Zadanie 11 Assume that F (n) = 100(1, 1) n. Find i 5, i 10. Zadanie 12 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i czwartym roku inwestycji danej w zadaniu 2. Zadanie 13 Wyznaczyć stopę efektywną w pierwszym, drugim i piątym roku inwestycji danej w zadaniu 5. Zadanie 14 If F (4) = 1000 and i n =.01n, where n is a positive integer, find F (7). Oprocentowanie proste Zadanie 15 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate of simple interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 16 Find the accumulated value of $ 1000 invested for four years and five months if the rate of simple interest is 10% per annum. Zadanie 17 At what rate of simple interest will $500 accumulate to $ 615 in 2 1/2 years? Zadanie 18 In how many years will $500 accumulate to $630 at 7.8% simple interest? Zadanie 19 At certain rate of simple interest $ will accumulate to $ after a certain period time. Find the accumulated value of $ 500 at the rate of simple interest three fourths as great over twice as long a period of time. Zadanie 20 Simple interest of i = 4% is being credited to a fund. In which period is this equivalent to an effective rate of 2, 5%? Zadanie 21 A deposit of $ 1000 is invested at simple interest at time t = 0. The rate of simple interest during year t is equal to 0.1t for t = 1, 2, 3, 4, 5. Find the total accumulated value of this investment at time t = 5. Zadanie 22 Wyznaczyć wartość końcową zł zainwestowanych na trzy lata, jeśli stopa oprocentowania prostego wynosi 6% rocznie. Obliczyć stopę efektywną dla każdego z trzech lat. Zadanie 23 Przy jakiej rocznej stopie oprocentowania prostego i kapitał 58 jp wygeneruje łącznie odsetki w wysokości 5 jp po dwóch latach? Zadanie 24 Dysponujemy kapitałem w wysokości 1000 zł. Za rok chcemy uzyskać 1250 zł. Na jaki procent prosty (roczna stopa) musimy ulokować kapitał? 2

3 Zadanie 25 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału jp zainwestowanego na pięć i pół roku na procent prosty, jeśli stopa roczna wynosi 12%. Wyznaczyć a(1), a(2, 8). Zadanie 26 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał 400 jp w modelu oprocentowania prostego przy rocznej stopie 1, 5%? Zadanie 27 Obliczyć roczną stopę procentową, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk 30 zł w ciągu roku. Zadanie 28 Mając stopę roczną 2, 5% oprocentowania prostego podać dwuletni czynnik akumulacji. Zadanie 29 (PK 1.3) Przedsiębiorca otrzymał pięcioletnią pożyczkę w kwocie 30 tys. zł, zobowiązując się spłacać pod koniec każdego roku bieżące odsetki naliczane przy rocznej stopie 22% i zwrócić pożyczkę pod koniec piątego roku. Obliczyć wysokość rat spłacanych na koniec kolejnych lat. Zadanie 30 Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 58 tys. jp. Jaka była cena samochodu przed podwyżką? Zadanie 31 (PK 1.4) Pożyczka 2700 zł otrzymana na początku roku będzie spłacana w 3 ratach na koniec lipca, listopada i grudnia. W każdej racie będzie spłacona 1/3 początkowej kwoty pożyczki oraz bieżące odsetki proste obliczane przy miesięcznej stopie 1, 2%. Obliczyć wysokość rat. Zadanie 32 (PK 1.5) Po jakim czasie oprocentowania prostego przy rocznej stopie 12.5% wartość depozytu 4800 zł: a) podwoi się, b) zwiększy się o 25%, c) zwiększy się o 3000 zł? Oprocentowanie składane Zadanie 33 (PK 3.1) a) Jaką wartość osiągnie kapitał 1800 zł po 4 latach oprocentowania rocznego przy stałej stopie i = 6%? b) Jaką wartość mają odsetki naliczone za każdy rok? c) Przy jakiej stopie łączna wartość odsetek byłaby większa o 58 zł? Zadanie 34 Find the accumulated value of $ 2000 invested for four years if the rate of compound interest is 8% per annum. Find the effective rate of interest for each of the four years. Zadanie 35 Find the accumulated value of $5000 at the end of 5 years and 4 months invested at 9% per annum: 3

4 1) Assuming compound interest throughout. 2) Assuming simple interest during the final fractional period. Zadanie 36 (K 13) It is known that $600 invested for two years will earn $264 in interest. Find the accumulated value of $2000 invested at the same rate of compound interest for three years. Zadanie 37 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 300 zł po 5 latach według rocznej stopy 7% i rocznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 38 (K 15) At a certain rate of compound interest, 1 will increase to 2 in a years, 2 will increase to 3 in b years, and 3 will increase to 15 in c years. If 6 will increase to 10 in n years, express n as a function of a,b, and c. Zadanie 39 Przy jakiej rocznej stopie i w modelu oprocentowania składanego kapitał P podwoi swoja wartość po 5 latach? Ile wynosi a(5)? Zadanie 40 Ile wynosi roczny czynnik akumulacji, jeżeli po dwóch latach kapitał zł wygenerował zysk zł przy rocznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 41 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 7800 zł po 15 miesiącach według stopy rocznej 11, 4% zakładając 1) oprocetnowanie składane. 2) oprocentowanie proste w niepełnym roku inwestycji Zadanie 42 Ile wynosi 2-letni czynnik akumulacji, jeśli kapitał 250 zł wygenerował zysk 50 zł w ciągu dwóch lat w modelu oprocentowania składanego rocznego? Zadanie 43 Ile wynosi a) roczny b) 2-letni czynnik akumulacji, jeżeli po trzech latach kapitał 3000 zł wygenerował kapitał końcowy 3700 zł przy rocznej kapitalizacji odsetek? Zadanie 44 Ile wynosi a) 3-letni b) 6-letni czynnik akumulacji, jeżeli przez pierwszy rok inwestycji kapitał zł wygenerował odsetki zł przy składanym naliczaniu odsetek? Zadanie 45 (K ex.1.5) An investor age 35 deposits $10, 000 in a fund earning 7% compound interest until retirement at age 65. Find the amount of interest earned between ages 35 and 45, between ages 45 and 55, and between ages 55 and 65. 4

5 Zadanie 46 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę jp według rocznej stopy 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy 20%. Zadanie 47 Jaką wartość osiągnie kapitał 6000 zł po 10 latach oprocentowania rocznego składanego przy rocznej stopie 5, 5%? Jaką wartość mają odsetki naliczone w szóstym roku inwestycji? Zadanie 48 Po ilu latach oprocentowania rocznego składanego przy stopie 5, 52% wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za kolejne 2 lata? Wartość bieżąca Zadanie 49 (K 1.17) The two sets of grandparents for a newborn baby wish to invest enough money immediately to pay $10, 000 per year for four years toward college costs starting at age 18. Grandparents A agree to fund the first two payments, while Grandparents B agree to fund the last two payments. If the effective rate of interest is 6% per annum, find the difference between the contributions of Grandparents A and B. Zadanie 50 (K 1.18) The sum of the present value of 1 paid at the end of n periods and 1 paid at the end of 2n periods is 1. Find (1 + i) 2n. Zadanie 51 (K 1.19) It is known that an investment of $500 will increase to $4000 at the end of 30 years. Find the sum of present values of three payments of$ each which will occur at the end of 20,40, and 60 years. Efektywna stopa dyskontowa Zadanie 52 Dla inwestycji danej w zad.1 wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z czterech lat. Zadanie 53 (K 1.20) Find d 5 if the rate of simple interest is 10%. Zadanie 54 (K 1.21) Find the effective rate of discount at which a payment $200 of immediately and $300 one year from today will accumulate to $600 two years from today. Zadanie 55 (K 1.22) The amount of interest earned on A for one year is $336, while the equivalent amount of discount is $300. Find A. Zadanie 56 Opłata za 3-miesięczną pożyczkę w wysokości 5000 zł ma postać dyskonta przy stopie dyskontowej 15%. Ile dłużnik otrzyma w momencie otrzymania pożyczki? Zadanie 57 Wyznaczyć wartość bieżącą kapitału $5000 płatnego pod koniec 25 miesięcy zakładając efektywną stopę dyskontową 8% oraz 5

6 1. dyskontowanie składane. 2. dyskontowanie proste w niepełnym roku inwestycji. Zadanie 58 Dla inwestycji o następujących płatnościach F (0) = 15000, F (1) = 15800, F (2) = 16240, F (3) = wyznaczyć efektywną stopę dyskontową w każdym z trzech lat. Zadanie 59 Wyznaczyć d 4, jeśli efektywna stopa oprocentowania składanego wynosi 8%. Zadanie 60 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie procentowej i = 7%. Zadanie 61 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową, przy której kapitał początkowy 7000 zł wygenerował zysk 1500 zł w ciągu dwóch lat inwestycji. Zadanie 62 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu i z góry dla pożyczki 1 wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej 7%. Zadanie 63 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi odsetkami płatnymi z dołu i z góry dla pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z góry były naliczone przy stopie dyskontowej 7%. Zadanie 64 Wyznaczyć różnicę pomiędzy równoważnymi prostymi odsetkami płatnymi z dołu (oprocentowanie proste) i z góry (dyskontowanie proste) dla t-letniej pożyczki 1 zł wiedząc, że odsetki płatne z dołu były naliczone przy stopie efektywnej i. Zadanie 65 Wyznaczyć efektywną stopę dyskontową równoważną efektywnej stopie procentowej w czasie t < 1 (stosując oprocentowanie i dyskontowanie proste). Zadanie 66 (PK 2.7)W dniu pan Kowalski otrzymał kwotę 9300 zł, podpisując weksel o nominale zł z terminem wykupu Obliczyć stopę d. Obliczyć stopę i oprocentowania pożyczki płatnej z dołu w wysokości 9300 zł udzielonej na ten sam czas, równoważną stopie d. Zadanie 67 (PK 2.12) Firma, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej zł w wymaganym terminie , zwraca się do banku, który jest w posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli w banku obowiązywała roczna stopa dyskontowa 12%? Zadanie 68 W dniu 1 marca zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 350 zł i terminie płatności 11 maja oraz o wartości nominalnej 1000 zł i terminie płatności 30 maja, na jeden weksel równoważny płatny 1 października. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 4, 5%. 6

7 Zadanie 69 Obliczyć roczną stopę dyskonta i rentowności dla 13-tygodniowych bonów skarbowych sprzedawanych po 9.588, 50 zł. Zadanie 70 (PK 2.14)Jaką cenę zakupu 26-tygodniowych bonów skarbowych powinien zgłosić bank B w swojej ofercie przetargowej, aby pożyczkodawca mógł osiągnąć rentowność z tej inwestycji w skali roku na poziomie przynajmniej: a)10%, b) 10, 5%, c) 11%? Zadanie 71 (PK 2.8)Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców o wartości zł. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy dyskontowej 11%? Zadanie 72 Weksel o wartości nominalnej 70 zł i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 7%. Zadanie 73 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 zł i terminie płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 zł i terminie płatności 30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 6, 5%. Zadanie 74 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100 zł zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2 zł. Zadanie 75 (PK 2.5)Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28 dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od daty zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%. a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi zł? b) Przy jakiej stopie i warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi zł? Zadanie 76 Obliczyć cenę sprzedaży 13-tygodniowych bonów z dyskontem wynoszącym 364, 75 zł. 7

8 Nominalna stopa procentowa i dyskontowa Zadanie 77 (K 1.26) 1. Wyraź d (4) jako funkcję i (3). 2. Wyraź i (6) jako funkcję d (2). Zadanie 78 (K 1.27) 1. Pokaż, że i (m) = d (m) (1 + i) 1/m. 2. Zinterpretuj powyższą równość. Zadanie 79 Wyznacz kapitał końcowy 5300 zł zainwestowanych na 6 lat według nominalnej stopy procentowej 11, 8% i kwartalnej kapitalizacji odsetek. Zadanie 80 Wyznacz bieżącą wartość kapitału zł otrzymanego pod koniec 8 lat według nominalnej stopy dyskontowej 14% i dyskontowania półrocznego. Zadanie 81 Wyznacz nominalną stopę procentową składaną kwartalnie (dla oprocentowania kwartalnego) równoważną nominalnej stopie dyskontowej 6% składanej miesięcznie. Zadanie 82 Ile wynosi nominalna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji odsetek odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp? Zadanie 83 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 zł po 5 latach, jeśli bank stosuje 1. model kapitalizacji rocznej przy rocznej stopie 12%? 2. model kapitalizacji półrocznej przy półrocznej stopie 6%? 3. model kapitalizacji miesięcznej przy miesięcznej stopie 1%? Zadanie 84 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna stopa wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się 1. po każdym półroczu. 2. po każdym miesiącu. Zadanie 85 Wyznaczyć wartość przyszłą 430 zł po 13 miesiącach oprocentowanych według stopy nominalnej 5, 5% i miesięcznej kapitalizacji odsetek. Zadanie 86 Find the nominal rate of interest convertible semiannually at which the accumulated value of $1000 at the end of 15 years is $3000 Zadanie 87 Po dwóch tygodniach oprocentowania dziennego kapitał 300 zł zwiększył swoją wartość o 3%. Wyznaczyć wartość tego kapitału po kolejnych dwóch tygodniach. 8

9 Zadanie 88 Jaki kapitał wygeneruje odsetki w wysokości 45 jp po pół roku w modelu kapitalizacji kwartalnej przy nominalnej stopie 4%? Zadanie 89 Find the accumulated value of $100 at the end of two years, if the nominal annual rate of interest is 6% convertible quarterly. Zadanie 90 Przy jakiej stopie nominalnej dyskontowej i kwartalnym naliczaniu odsetek z góry kapitał końcowy 4000 zł wygeneruje odsetki płatne z góry w wysokości 400 zł w ciągu 15 miesięcy? Zadanie 91 Przez ile miesięcy kapitał końcowy 2500 zł wygeneruje odsetki płatne z góry a) 2500 zł b) 3000 zł przy dyskontowej stopie nominalnej 15% i miesięcznym naliczaniu odsetek. Zadanie 92 Bank A stosuje oprocentowanie półroczne składane przy stopie nominalnej 12%, zaś bank B oprocentowanie kwartalne składane przy stopie nominalnej 12%. Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne. Zadanie 93 W banku A obowiązuje półroczna kapitalizacja odsetek przy stopie nominalnej 18%, w banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacji odsetek przy stopie nominalnej i (4). Ile musi wynosić stopa i (4), aby warunki oprocentowania w banku A i B były równoważne? Zadanie 94 Mając roczną stopę efektywną 11% wyznaczyć równoważną stopę nominalną, jeśli: 1. kapitalizacja jest miesięczna. 2. kapitalizacja jest tygodniowa. 3. kapitalizacja jest dzienna. Zadanie 95 Przy użyciu rocznego czynnika akumulacji wykazać nierównoważność stóp oprocentowania składanego i (4) = 3, 3% oraz i (12) = 1, 3%, a następnie obliczyć: 1. stopę i (12) równoważną stopie i (4) = 3, 3%. 2. stopę i (4) równoważną stopie i (12) = 1, 3% Zadanie 96 Pewien kapitał ulokowano na procent składany. Kapitalizacja odsetek następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna? 9

10 Natężenie oprocentowania i dyskontowania Zadanie 97 Wyznacz kapitał końcowy 1000$ zainwestowanych na 10 lat, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 5%. Zadanie 98 Wyznaczyć efektywną stopę procentową, jeśli δ = 10%. Zadanie 99 Wyznaczyć natężenie oprocentowania jeśli wiadomo, że kapitał P w ciągu roku wzrósł o 16%. Zadanie 100 Dla efektywnej stopy procentowe 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową: i (2), i (4), i (12), i (360), δ. Zadanie 101 Dla efektywnej stopy dyskontowej 8% wyznaczyć równoważną nominalną stopę dyskontową: d (2), d (4), d (12), d (360), δ. Zadanie 102 Jaka jest efektywna i nominalna stopa procentowa w modelu kapitalizacji ciągłej, jeśli roczny czynnik akumulacji wynosi 1, 2? Zadanie 103 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 3 latach w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej 3%. Zadanie 104 Wyznaczyć roczny czynnik akumulacji, jeśli kapitał 100 zł podlegał oprocentowaniu składanemu ciągłemu przy stopie nominalnej 12%. Wyznaczyć stopę efektywną równoważną stopie nominalnej. Zadanie 105 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie nominalnej 9% od kapitału początkowego 100 jp. Zadanie 106 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego 480 jp do kwoty 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej 6%? Zadanie 107 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja przy 1. nominalnej stopie 12%? 2. nominalnej stopie 15%? Zadanie 108 Wyznacz kapitał końcowy 1000 zł zainwestowanych na 10 lat i 5 miesięcy, jeśli natężenie oprocentowania wynosi 7, 5%. 10

11 Oprocentowanie przy zmiennej stopie procentowej. Stopa przeciętna Zadanie 109 (K Ex. 1.17) Find the accumulated value of $1000 at the end of 15 years if the effective rate of iterest is 5% for the first 5 years, 4, 5% for the second 5 years, and 4% for the fird 5 years. Zadanie 110 (K Ex. 1.18) Inwestycja w akcje przynosi stopę zwrotu w skali roku: 15% w pierwszym roku, 5% w drugim roku, 8% w trzecim roku. Wyznaczyć równoważną stopę procentową efektywną w ciągu tych trzech lat. Zadanie 111 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 11%, 9%, 5%, 8%. Wyznaczyć równoważną nominalną stopę procentową, jeśli bank stosował 1. oprocentowanie proste. 2. oprocentowanie składane z kwartalną kapitalizacją odsetek. Zadanie 112 Wyznaczyć równoważne natężenie oprocentowania w ciągu czterech lat, jeśli w kolejnych latach natężenie było zmienne i wynosiło: 15%, 3%, 10%, 15%. Zadanie 113 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 4% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 5 punktu procentowego. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację 1. półroczną. 2. miesięczną. Zadanie 114 W kolejnych kwartałach roku nominalna stopa procentowa wynosiła: 10%, 11%, 10%, 9%. Wyznaczyć roczną efektywną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną. Zadanie 115 Odsetki od 2-letniej lokaty zł obliczono według zmiennej stopy procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio, 10% oraz 12%. W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim na koniec roku. Obliczyć 1. dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty. 2. przeciętną roczną efektywną stopę oprocentowania lokaty. 3. odsetki należne na koniec drugiego roku. Zadanie 116 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku natężenie oprocentowania będzie wynosić 3% i będzie się zwiększać o 0, 3 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym przy stopie nominalnej 3, 5%. Która z lokat jest korzystniejsza dla klienta. 11

12 Zadanie 117 Bank A proponował 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej stopie procentowej. W pierwszym roku stopa procentowa wynosiła 4% i była zmniejszana o 0, 1 punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponował lokatę 5-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z dołu przy stopie nominalnej 4%. Która z lokat była korzystniejsza dla klienta. Zadanie 118 W banku A w kolejnych latach nominalna stopa procentowa wynosiła: 8%, 8, 2%, 8, 1%, 8%, zaś w banku B 7, 9%, 8, 4%, 8, 2%, 8, 1%. Wyznaczając przeciętną nominalną stopę procentową w czasie 4 lat sprawdzić, który bank oferował korzystniejsze warunki oprocentowania w modelu oprocentowania miesięcznego składanego. Zadanie 119 Przez pierwsze pół roku nominalna stopa procentowa wynosiła 6% a przez kolejne pół roku była większa o 0, 2 punktu procentowego. Wyznaczyć nominalną i półroczną stopę przeciętną, jeśli bank stosował kapitalizację półroczną. Wyznaczyć efektywną stopę procentową. 12

13 Renty podstawowe Zadanie 120 Wyznaczyć wartość początkową renty wypłacającej 500 jp po każdym półroczu przez 20 lat, jeśli a) stopa okresu bazowego wynosi 10% b) stopa okresu bazowego wynosi 5%. Zinterpretować wynik. Zadanie 121 (K 3.2) Cena samochodu wynosi $. Kupujący jest skłonny spłacać go ratami w wysokości 250$ każda pod koniec każdego miesiąca przez cztery lata przy rocznej stopie 18% (nominalnej) i miesięcznemu naliczaniu odsetek oraz wpłacić zaliczkę w wysokości X. Wyznaczyć X. Zadanie 122 (K 3.1) Rodzice chcąc zaoszczędzić $ na studia dziecka przez pierwsze 10 lat wpłacają po 1000$ pod koniec każdego roku oraz przez kolejne 10 lat wpłacają po X pod koniec każdego roku. Wyznaczyć X, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 7%. Zadanie 123 Pożyczkobiorca A pożycza kwotę $ na 8 lat i spłaca kredyt równymi rocznymi ratami. Pożyczkobiorca B pożycza również kwotę $ na 8 lat przy czym po każdym roku spłaca wyłącznie odsetki zaś kwotę kredytu planuje spłacić pod koniec ósmego roku. O ile więcej spłaci B pod koniec ósmego roku, jeśli efektywna stopa procentowa wynosi 8, 5% Zadanie 124 (K 3.9) Pracownik w wieku 40 lat chcąc zaoszczędzić na emeryturę postanawia przez 25 lat lokować 3000$ na początku każdego roku. W wieku 65 lat chce przez 15 lat wypłacać na początku każdego roku określoną kwotę aż do wyczerpania zasobów finansowych. Wyznacz tę kwotę, jeśli efektywna stopa procentowa przez pierwsze 25 lat wynosi 8% a następnie 7%. Zadanie 125 Obliczyć czynnik a 10 i dla i = 5%, i = 15%, i = 25%. Zadanie 126 Jaka jest bieżąca wartość samochodu, jeżeli firma na początku zapłaciła 25% wartości samochodu i spłaca go miesięcznymi kwotami wnoszonymi z dołu w wysokości 500 zł przez 10 lat? Stopa okresu bazowego wynosi 1, 5%. Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 127 Cena mieszkania wynosi zł, przy czym można je spłacać stałymi ratami miesięcznymi dokonywanymi z dołu przez 3 lata w wysokości zł. Jakiej wielkości musi być kapitał własny, jeśli raty są oprocentowane według stopy miesięcznej 1%. Odp. X = , 73 Zadanie 128 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych wynika, że dzięki tej inwestycji pod koniec każdego roku przez 5 lat będzie miała zyski w wysokości zł, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za zł. Jaka jest obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano i = 20%? 13

14 Odp. X = , 63 Zadanie 129 Wyznaczyć wartość początkową i końcową renty wypłacającej 4000 zł na początku każdego kwartału przez 8 lat, jeśli nominalna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest kwartalna. Obliczeń dokonać na dwa sposoby. Odp. P = 84001, 71, F V = , 365. Zadanie 130 Kupujemy samochód za zł wpłacając zaliczkę zł. Pozostałą kwotę mamy spłacić przez pierwsze trzy lata kwotami X wnoszonymi pod koniec każdego miesiąca oraz kwotami 2X wnoszonymi przez kolejne dwa lata pod koniec każdego miesiąca. Wyznaczyć X, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 1, 4%. Odp. X = 1233, 465 Zadanie 131 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez 20 lat przy stopie okresu bazowego 1, 5%, żeby po tych 20 latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1500 zł przez kolejne 20 lat tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wypłat wynosi 1, 8%. Odp. X = 35, 59 Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 132 Rozważmy kapitał zł. Osoba A czerpie zyski w wysokości 7% rocznie przez 10 lat, osoba B przez drugie 10 lat również w wysokości 7% rocznie a osoba C przez pozostałe lata (w nieskończoność) w wysokości 7% rocznie. Wyznacz relatywny równoważny wkład każdej z tych osób. Zadanie 133 (5.3 PK) Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 6% przy kapitalizacji kwartalnej, aby po trzech latach móc pobierać po 200 zł na koniec każdego kwartału. Zadanie 134 (5.6 PK) Saldo rachunku wynosi 25 tys. zł. a) Jeśli efektywna stopa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych lat? b) Przy jakiej minimalnej efektywnej stopie procentowej można z rachunku pobierać rentę wieczystą w wysokości 800 zł pod koniec każdego roku? Zadanie 135 (5.9 PK) Dług można spłacić za pomocą 48 miesięcznych płatności po 100 zł na koniec kolejnych miesięcy lub wpłacając kwotę 4279 zł na koniec miesiąca N. Jeśli i 12 = 1%, ile wynosi N? Zadanie 136 (5.12 PK) Renta składa się z 25 rat płatnych z dołu: pierwszych osiem po 400 zł, dziesięć następnych po 500 zł, siedem ostatnich po X zł. Obliczyć X, wiedząc, że dla i = 3% wartość końcowa tej renty wynosi 15 tys. zł. Rozwiązanie zapisać na dwa sposoby. 14

15 Zadanie 137 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 10 lat będzie otrzymywał przez 30 lat miesięczne płatności w wysokości 500 zł każda. Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 0, 8%. Zadanie letnie obligacje Skarbu Państwa wyemitowane w grudniu 2010 roku są obligacjami o stałym oprocentowaniu. Zgodnie z warunkami emisji każda obligacja daje posiadaczowi prawo do rocznych odsetek w w wysokości 6% w skali roku płatnych na koniec roku. Wartość nominalna obligacji wynosi 1000 zł. Obliczyć kwotę jaka po 5 latach zostanie zgromadzona na rachunku, jeśli firma zakupiła 500 takich obligacji a odsetki od nich będą przelewane na rachunek firmy oprocentowany według efektywnej stopy 3%. Zadania do samodzielnego rozwiązania: Zadanie 139 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wpłat i wypłat wynosi 0, 1%. a) n = 10, b) n = 20. Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości wpłat od ilości płatności n. Odp. Wyniki - patrz zad. 141 Zadanie 140 Jakiej wielkości raty należy wpłacać do banku pod koniec każdego miesiąca przez n lat, żeby po tych n latach móc wypłacać z dołu co miesiąc stałą kwotę 1000 zł przez kolejne n lat, tak aby kapitał się wyczerpał. Stopa okresu bazowego wpłat i wypłat wynosi 1%. a) n = 10, b) n = 20. Wyciągnąć wnioski dotyczące zależności wielkości w wpłat od ilości płatności n. Odp. Wyniki - patrz zad. 141 Zadanie 141 Porównać wyniki w dwóch powyższych zadaniach i wyciągnąć wnioski ze względu na stopę okresu bazowego. Odp. W powyższych zadaniach pojawiły się wyniki: 91, 81; 302, 99; 786, 72; 886, 97 (w kolejności od najmniejszego do największego). Zadanie 142 Jaką kwotę należy zdeponować dziś na rachunku oprocentowanym według stopy nominalnej 9% przy kapitalizacji miesięcznej, aby po pięciu latach móc pobierać po 650 zł na koniec każdego miesiąca dożywotnio. Zadanie 143 Renta składa się z 57 rat płatnych z góry: pierwszych 13 po 700 zł, następne 24 po 900 zł, następnych 7 po X zł i ostatnich 13 po 2X. Obliczyć X, wiedząc, że dla i = 2% wartość początkowa tej renty wynosi 35669, 77 zł. 15

16 Odp. X = Zadanie 144 Z tytułu ubezpieczenia Pan A za 15 lat będzie otrzymywał dożywotnio rentę w wysokości 1250 zł pod koniec każdego miesiąca. a) Jaką kwotę musi zgromadzić na ten cel dzisiaj firma ubezpieczeniowa, jeśli do obliczeń zastosuje stopę bazową 1, 3%. b) Czy regularne wpłaty miesięczne z dołu w wysokości 100 zł każda wnoszone pod koniec każdego miesiąca przez te 15 lat wystarczą na zgromadzenie odpowiednich środków. Odp. a) X = 9403 Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 145 Pożyczamy zł na N miesięcy na 2% w skali miesiąca. Ile wynosi N, jeśli miesięczne płatności dokonywane z dołu wynoszą 300 zł każda? Wyznaczyć N, jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć kwotę o jaką zostanie powiększona. Zadanie 146 Wyznaczyć stopę procentową i przy której 4159, 5 jest wartością początkową renty płatnej z dołu w wysokości 300 o 15 płatnościach. Zadanie 147 Wyznaczyć stopę procentową i przy której s 3 i wynosi 3, 15. Zadanie 148 Wyznaczyć wartość początkową renty płatnej z dołu o pięciu ratach w wysokości 450 zł każda, jeśli przez pierwsze 3 okresy obowiązywała stopa 3% a przez następne 2 okresy 3, 5%. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 149 Kwota 3794 zł ma być spłacona stałymi ratami wysokości 125 zł naliczonymi według stopy 1, 5% wnoszonymi z dołu. Wyznaczyć ilość rat, jeśli ostatnia regularna płatność będzie odpowiednio powiększona. Wyznaczyć kwotę o jaką zostanie powiększona. Zadanie 150 O jaką kwotę powinniśmy powiększyć ostatnią regularną płatność, jeśli 892 zł ma być spłacone 12 miesięcznymi płatnościami wnoszonymi z dołu w wysokości 100 przy stopie okresu bazowego 5% Zadanie 151 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której 766, 84 = 110ä 9. Odp. Dokładana stopa procentowa wynosi 7%, przybliżona 7, 5% Zadanie 152 Wyznaczyć stopę procentową i w przybliżeniu, przy której s 19 wynosi 23, 297. Odp. Dokładna stopa procentowa wynosi 2%, przybliżona 1, 86% Zadanie 153 Wyznaczyć wartość końcową renty płatnej z góry o 15 ratach rocznych w wysokości 220 zł każda, jeśli przez pierwsze 5 lat obowiązywała stopa efektywna 5%, przez kolejne 5 lat stopa efektywna 6% i przez ostatnie 5 lat stopa efektywna 3%. Odp. 4491, 6 16

17 Renty - ogólnie Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 154 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej z dołu przez 5 lat co kwartał, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Zadanie 155 Wyznaczyć wartość końcową po 6 latach inwestycji, w której przez pierwsze dwa lata płatności w wysokości 300 zł są dokonywane na początku każdego półrocza a przez kolejne 4 lata są dokonywane płatności w wysokości 200 na początku każdego kwartału. Nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 10%. Zadanie 156 Kwota 3000 zł, ulokowana na rachunku oprocentowanym 5% w skali roku przy półrocznym naliczaniu odsetek, stanowi kapitał z którego pobierane są stałe płatności w wysokości 300 zł pod koniec każdego roku tak długo jak to możliwe, przy możliwym powiększeniu ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć ilość tych płatności oraz kwotę o jaką zostanie powiększona ostatnia regularna płatność. Zadanie 157 Pożyczka w wysokości 6000 zł ma być spłacona w kwartalnych ratach pod koniec każdego kwartału przez 3 lata. Jeśli nominalna stopa oprocentowania półrocznego wynosi 12%, wyznaczyć wielkość płatności. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 158 Wyznaczyć wartość początkową renty jednostkowej płatnej przez 8 lat na początku każdego półrocza, jeśli nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 12%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Wartość początkowa wynosi 10, 62. Zadanie 159 Wyznaczyć wartość końcową inwestycji po 10 latach, jeśli przez pierwsze 5 lat płatności w wysokości 150 zł były dokonywane pod koniec każdego kwartału a przez kolejne 5 lat płatności w wysokości 300 zł były dokonywane na początku każdego półrocza. Nominalna stopa oprocentowania miesięcznego wynosi 24%. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Wartość końcowa wynosi 24449, 41 (z zasady równoważności stóp procentowych wyniesie około 24447). Zadanie 160 Kwota 1000 zł, ulokowana na rachunku oprocentowanym 9% w skali roku przy kwartalnym naliczaniu odsetek, stanowi kapitał z którego pobierane są stałe płatności w wysokości 200 zł pod koniec każdego roku tak długo jak to możliwe, przy możliwym powiększeniu ostatniej regularnej płatności. Wyznaczyć ilość tych płatności oraz kwotę o jaką zostanie powiększona ostatnia regularna płatność. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. Ilość regularnych płatność po 200 wynosi 7 przy czym ostatnią regularną płatność należy powiększyć o kwotę około 7,

18 Zadanie 161 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana 6% rocznie przy rocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby Odp. P = 2596, 19 Zadanie 162 Wyznaczyć wartość początkową renty o płatnościach wysokości 50 zł dokonywanych pod koniec każdego miesiąca przez 5 lat, jeśli renta jest oprocentowana 6% rocznie przy półrocznej kapitalizacji odsetek. Obliczenia dokonać na dwa sposoby. Odp. P = 2590, 865 Spłata długów Będziemy zakładać, że raty wnoszone są z dołu. Zadania do rozwiązania na zajęciach Zadanie 163 (155) Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany według rocznej stopy 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być spłacony w trzech równych ratach rocznych. Zadanie 164 (156) Dług zł należy spłacić w 48 ratach annuitetowych. Wyznaczyć dług bieżący po spłaceniu trzydziestu rat oraz część kapitałową i odsetkową trzydziestej raty. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 2%. Zadanie 165 (157) Kredyt jest spłacany pięcioma miesięcznymi ratami annuitetowymi. Obliczyć brakujące elementy spłaty długu, jeśli T 1 = 145, 0695, T 3 = 147, 9853, I 3 = 4, Zadanie 166 (158) Dług 1500 zł należy spłacić 4 ratami o częściach kapitałowych stanowiących ciąg stały przy stopie okresu bazowego 1, 4%. Wyniki przedstawić w tabeli. Co można powiedzieć o ratach łącznych? Zadanie 167 (159) Dług 400 zł należy spłacić 4 miesięcznymi ratami a) malejącymi, b) stałymi. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 10%. Obliczyć sumę odsetek i porównać wyniki. Zadanie 168 (160) Dług 2000 zł ma być spłacony 24 ratami malejącymi. Wyznaczyć a) wysokość szóstej raty, b) dług bieżący po spłaceniu trzech rat, c) trzecią ratę odsetek, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 7%. 18

19 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 169 Dług 1800 jp należy spłacić w 4 ratach a) annuitetowych. b) malejących. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli stopa okresu bazowego wynosi 1, 2%. Zadanie 170 Dług 6000 zł należy spłacić w 24 ratach annuitetowych. Wyznaczyć 1. część kapitałową dwudziestej raty, 2. dług bieżący po spłaceniu piętnastu rat. Stopa okresu bazowego wynosi 1, 5%. Odp. T 20 = 278, 06, S 15 = 2504, 3479 Zadanie 171 Kredyt jest spłacany w półrocznych ratach annuitetowych, przy czym nominalna stopa procentowa wynosi 12%. Wiedząc, że T 3 = 32, 2164 zł oraz N = 6, obliczyć 1. wartość kredytu w momencie 0, 2. wysokość raty, 3. dług bieżący po zapłaceniu II raty, 4. wartość odsetek w IV racie. Odp. S = 200, R = 40, 6725 Metody oceny inwestycji Zadanie 172 Firma, której koszt kapitału wynosi 9% rozważa dwa projekty inwestycyjne A i B. Przewidywane przepływy pieniężne tych projektów przedstawiają się następująco: t C t proj. A C t proj. B Stosując kryterium wartości bieżącej netto zbadać, który z projektów jest bardziej opłacalny 19

20 Zadanie 173 Pewna inwestycja z 1 jp. daje zysk netto 0,20 jp. po ustalonym czasie (oprócz zwrotu 1 jp.). Prześledzić NPV tej inwestycji ze względu na stopę kosztu r = 5%, 10%, 20%, 25%. Zadanie 174 Firma A udziela firmie B pożyczkę w wysokości zł. Pożyczka ma być spłacona za rok kwotą zł. Co się lepiej opłaca firmie A: a) udzielenie pożyczki firmie B, b) lokata bankowa oprocentowana według rocznej stopy 14%. Analizę dokonać stosując NPV. Zadanie 175 Firma A ma do wyboru: a) pożyczyć firmie B na dwa lata, gdzie spłata będzie w dwóch ratach po każda, b) ulokować w banku na lokacie oprocentowanej 6% w skali roku. Stosując metodę wartości bieżącej netto wybrać korzystniejszą inwestycję. Zadanie 176 Inwestor zainwestował w pewne przedsięwzięcie zł. Po roku uzyskał dochód (przychód - koszty) zł a po kolejnym roku zł. Ile wynosi IRR tej inwestycji? Przy jakim oprocentowaniu opłacało się zaciągnąć pożyczkę na sfinansowanie tej inwestycji? Zadanie 177 Firma kupiła samochód dostawczy za zł. Zyski z tej inwestycji w pierwszym roku wyniosły zł a w drugim zł, ponadto firma po drugim roku sprzedała samochód za zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu z tej inwestycji? Zadanie 178 Zgłoszono dwa projekty charakteryzujące się następującymi przepływami pieniężnymi t C t proj. A C t proj. B Przeanalizować projekty biorąc pod uwagę NPV przy stopie 5%, IRR, wrażliwość na zmianę stóp procentowych. Zadania do rozwiązania samodzielnie Zadanie 179 Firma, której koszt kapitału wynosi 8% rozważa dwa projekty inwestycyjne A i B. Przewidywane przepływy pieniężne tych projektów przedstawiają się następująco: 20

21 t C t proj. A C t proj. B Stosując kryterium wartości bieżącej netto zbadać, który z projektów jest bardziej opłacalny (Odp. NP V A = 2963, 22, NP V B = 3198, 64) Zadanie 180 Firma A udziela firmie B pożyczkę w wysokości zł. Pożyczka ma być spłacona w ciągu najbliższych pięciu lat rocznymi płatnościami stałymi wysokości 3500 zł każda. Co się lepiej opłaca firmie A: a) udzielenie pożyczki firmie B, b) lokata bankowa oprocentowana według rocznej stopy 7%. Analizę dokonać stosując NPV. (Odp. 649, 31) Zadanie 181 Inwestor zainwestował w pewne przedsięwzięcie zł. Po roku uzyskał dochód (przychód - koszty) zł a po kolejnym roku zł. Ile wynosi IRR tej inwestycji? (Odp. 10, 39%) 21