Fyzikální zdůvodnění plasticity (1) Změny v krystalické mřížce Schmidtův zákon : τ τ τ max (1) Dosažení napětí τ max vede ke změnám v krystalické mřížce Deformace krystalické mřížky pružná deformace Změny krystalické mřížky nepružná deformace (plastická) τ 1
Fyzikální zdůvodnění plasticity (2) Zkosení γ v důsledku smykových napětí τ γ τ 2
Fyzikální zdůvodnění plasticity (3) Problémy Orientace krystalů v běžných stavebních látkách: Obecná orientace (obvykle není jeden zřejmý hlavní systém) Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin ) V praktických úlohách (stavební mechanika) nelze Schmidtův zákon přímo použít Využití jednodušších modelů na makroskopické úrovní (tuhoplastický aj.) τ τ 3
Modely pro plasticitu v 1D Představa: soustava různě zapojených jednoduchých prvků (jako v elektřině): Pružina (s pružnou deformací ε e ) Ideálně plastický článek (s plastickou deformací ε e ) ε e o ε p 4
Tuhoplastický model (1) o Ideálně tuhoplastický model (bez zpevnění): Tresca, Saint-Vénant Při napětí menším než o je deformace nulová Při napětí právě rovném o je deformace plastická (narůstá bez další změny napětí) f y = o ε p ε 5
Tuhoplastický model (2) Přírůstek poměrné deformace ε = ε Pro < o... ε = 0 Pro = o... ε 0 Pro > o... nemůže nastat ε o p Zápis v podobně funkce: o 0, ε 0, ( o ) 0 (2) f y = o Zřejmě směr ε a musí být shodný: ε = λ sgn(), λ 0 (3) ε kde λ... plastický násobitel. 6
Tuhoplastický model (3) Pojmy: Funkce plasticity: f() = o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Podmínka komplementarity zajišt uje, že případy f() < 0 (tuhé chování) a λ > 0 (plastické chování) nemohou nastat současně. 7
Ideálně pružnoplastický model (1) Ideálně pružnoplastický model (bez zpevnění) Seriové zapojení pružného článku a tuhého článku Pružný článek Hookeův zákon: ε e o ε p f = E ε (4) Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí právě rovném o je deformace plastická (narůstá bez další změny napětí) F u plastic elastic 8
Ideálně pružnoplastický model (2) Celková poměrná deformace Pokud L o... původní délka, L = L e + L p... délka po úplném odlehčení. Celková poměrná deformace Pružná část Plastická část ε = L L o L o = L L o 1 (5) ε e = L L e L e = L L e 1 (6) ε p = L L p L p = L L p 1 (7) Tedy celková poměrná deformace pružnoplastického materiálu: ε = L L o L o = L L p L p Lo 1 = (1 + ε e)(1 + ε p ) 1 = ε e + ε p + ε e ε p (8) 9
Ideálně pružnoplastický model (3) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Funkce plasticity: f() = o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 10
Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (1) Paralelní zapojení tuhého a pružného článku Při napětí menším než o je deformace nulová Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická: H o Celkové napětí: ε = ε p (9) ε p = o + H ε p (10) H H... modul zpevnění, plastický modul Zpětné napětí (ve zpevnění): b = H ε p (11) f y = o H 11 ε
Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (2) H Zpětné napětí (zákon plastického zpevnění): o b = H ε p Zákon plastického přetváření: ε p = λ sgn( b ) (12) Kinematické zpevnění: zpětné napětí ovlivňuje hodnotu napětí nutného k pokračování plastické deformace ( posouvá okamžitou mez kluzu) f y = o ε H p H ε 12
Tuhoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (3) Pojmy: Funkce plasticity: f() = o Modul zpevnění: H Okamžitá mez kluzu: pl = o + H ε p Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn( b ), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 13
Pružnoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (1) Paralelní zapojení tuhého a pružného článku (H) Seriové připojení pružného článku (E) Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická Funkce plasticity: E ε e H o ε p f(, b ) = b o, (13) f y = o H kde b = H ε Zákon plastického přetváření: ε p = λ sgn( b ) (14) E ε 14
Pružnoplastický model s lineárním kinematickým zpevněním (2) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Okamžitá mez kluzu: pl = o + H ε p, a b = H ε p Funkce plasticity: f() = b o Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn( b ), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 15
Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (1) Seriové připojení pružného článku (E) článku s izotropním zpevněním (odpor proti plastické deformaci postupně vzrůstá) Izotropní zpevnění: při zatěžování vzrůstá okamžitá mez kluzu v tahu i v tlaku Při napětí menším než o je deformace pružná Při napětí větším nebo rovném o je deformace pružno plastická f y = o E E ε e H H, ε p o ε 16
Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (2) Kumulovaná plastická deformace κ: dκ = dε p (15) E H, o κ = d ε p (16) Celková hodnota κ: t κ = ε p dt (17) 0 Okamžitá hodnota meze kluzu: f y = o ε e H ε p Y = o + H κ (18) Funkce plasticity: f(, Y ) = = Y (19) E ε 17
Pružnoplastický model s izotropním zpevněním (3) Pojmy: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p (člen ε e ε p zanedbáme) Okamžitá mez kluzu: Y = o + H κ Funkce plasticity: f(, Y ) = = Y Podmínka plastické přípustnosti: f(, Y ) 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Kumulovaná plastická deformace: κ = ε p Zpevnění: Y = o + H κ 18
Víceosá napjatost Pružnoplastický model s izotropním zpevněním: Poměrná deformace: ε = ε e + ε p Pružné chování: = D e ε Funkce plasticity: f(, ) Podmínka plastické přípustnosti: f() 0 Zákon plastického přetváření: ε = λ sgn(), λ 0 Podmínka komplementarity: λ f() = 0 Kumulovaná plastická deformace: κ = ε p 19
Varianty teorie plasticity (1) Teorie plastických deformací: popisuje vztahy mezi konečnými hodnotami složek vektorů napětí a deformace: = D EP ε řešení nezávisí na zatěžovací dráze ε 20
Varianty teorie plasticity (2) Teorie plastického tečení: popisuje vztahy mezi přírůstky (rychlostmi) napětí a deformace: = D ep ε výsledky řešení závisí na zatěžovací dráze řešení je možno provést jako posloupnost přírůstkových kroků ε 21
Teorie plastického tečení (1) Hledané veličiny přírůstky (rychlosti): napětí: = { x, y, z, τ yz, τ yz, τ xy } T poměrných deformací: ε = { ε x, ε y, ε z, γ yz, γ yz, γ xy } T posunů: u = { u, v, ẇ} 22
Teorie plastického tečení (2) Předpoklady: znalost napětí a poměrných deformací ε na začátku zatěžování pole jednotlivých studovaných veličin vyhovují všem okrajovým podmínkám úlohy 23
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (1) Fyzikální (konstitutivní) rovnice: = D ep ε Rozklad přírůstku deformace na pružnou a plastickou část: ε = ε e + ε p Podmínka plasticity (slouží k popisu přechodu z pružného do plastického stavu): f(, k) = 0 24
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (2) Podmínka konzistence materiálu v plastickém stavu: { } f T { } f T df = {d} + {dk} = 0 k Celková změna plastického potenciálu je rovna 0. 25
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (3) Rychlost plastické deformace (zákon plastického přetváření): { } f ε p = dλ Vektor přírůstků (rychlostí) napětí: ( = d = D e ( ε ε p ) = D e ε dλ { }) f 26
Pružnoplastická matice tuhosti materiálu (4) Ekvivalentní plastická deformace: dε p = ε pt ε p = dλ { f } T { } f Z podmínky konzistence: { } f T { } f T { } f D e dε dλ D e { f + dλ f } T { } f ε p = 0 27
Pružnoplastická matice t. m. (5) Vyjádření parametru dλ: dλ = { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p ( { }) Dosazení do vztahu pro přírůstky napětí = D e ε dλ f : = D e ε { } f T De ε { } f T { } { } f De + f f T { } f ε p { df d } 28
Pružnoplastická matice t. m. (6) Získaný vztah pro je možné upravit do tvaru: = D ep ε, kde pružnoplastická matice tuhosti materiálu D ep je: D ep = D e { } { D f f T e } De { f { } f T { } De f f ε p } T { } f 29
Podmínka plasticity a porušení 1. Počáteční podmínka plasticity 2. Následná podmínka plasticity 3 2 F 1 3. Podmínka porušení 1 u 1 2 3 2 30
Zpevnění (1) F 1 u 2 31
Zpevnění (2) 2 Kinematické následné podmínky plasticity mění polohu tvar a velikost se nemění Izotropní velikost se proporcionálně zvětšuje následné podmínky plasticity nemění polohu Kombinované nejvíce odpovídá skutečným látkám 2 1 1 32
Zpevnění (3) Kombinované zpevnění 2 1 33
Další podrobnosti Jirásek, M., Zeman, J.: Přetváření a porušování materiálů, ČVUT v Praze, 2006, 2010 Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity I., SNTL, Praha, 1981 (celostátní učebnice) 34