Literatura (References) J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, 00. A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka, 000, M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, 007. L. Kowalski, Statystyka, 005. S.M. Ross, "Introduction to Probability Models", 7 ed, 000, D.D. Wackerly,... "Mathematical Statistics with Applications", 6 ed, 00
Wstęp ( Ω, S, P ) przestrzeń probabilistyczna (Probability space), Ω zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (sample space), S zbiór zdarzeń, (events), P prawdopodobieństwo (probability distribution). P : S R
A, B A B suma zdarzeń (sum or union of the events A, B) iloczyn zdarzeń A, B A B (product or intersection of the events A, B) zdarzenie przeciwne do zdarzenia A A Ω A (complement of the event A) różnica zdarzeń A B (difference of events A, B), A B 3
σ - ciało zdarzeń: (σ - algebra): Ω S (S-I) (S-II) Jeśli A S to A S (S-III) Jeśli A i S, i,,... to Υ A i S i 4
Émile Borel (87-956) - francuski matematyk, pionier teorii miary. 5
Henri Lebesgue (875-94) francuski matematyk, pionier teorii miary. 6
Aksjomaty prawdopodobieństwa: (Axioms of the theory of probability) A. Kołmogorow, "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Springer, Berlin, 933. (PI) P( A) 0 A S (PII) P( Ω ) (PIII) P ( A A...) P( A ) + P( A ) +... A i S; parami wykluczające się (pairwise exclusive events). 7
Andriej Kołmogorow (903-987) rosyjski matematyk, m.in. sformułował aksjomaty prawdopodobieństwa. 8
Własności prawdopodobieństwa (Properties) P( ) 0 a) P( A ) P( A) b) c) P( A A ) P( A ) + P( A ) P( A A ) A, A S ; d) P( A ) P( A ) dla A A A, A S ; e) Jeśli A A A f) de Morgan U I, to P( A A ) P( A ) P( ) P A P A A S ' ( n ) ( n ) n ; n n 9
Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie wiele i są one jednakowo prawdopodobne to możemy skorzystać z tzw. klasycznej definicji prawdopodobieństwa. (classical definition of probability) P( A) A Ω A S 0
Dyskretna przestrzeń probabilistyczna. (discrete distribution) Niech { ω,,... ω } gdzie Ω, S ({ ω i }) pi P i p i 0, p i { } wtedy dla A ω, ω,... i i Ω mamy P( A) P ({ ω, ω,...}) P( { ω } { ω }...) i i i i P ({ ω }) + P( { ω }) +... p + p +... i i i i
Prawdopodobieństwo geometryczne (geometric distribution) Jeśli zdarzenia elementarne są podzbiorem o mierze skończonej przestrzeni R n i są one jednakowo prawdopodobne to stosujemy tzw. prawdopodobieństwo geometryczne. P( A) miara miara A Ω A S
Jeśli P( B) > 0, B S to określamy prawdopodobieństwo warunkowe dowolnego zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B: P( A B) P( A B) P( B) (Conditional probability) Pisząc ( A B) P ( B) > 0. A S P będziemy domyślnie zakładać, że 3
Zdarzenia A i B są niezależne gdy P( A B) P( A) P( B) A, B S (Independent events) Ogólnie. Zdarzenia A,..., An ( n ) są niezależne, jeśli P( A i i... A i i k )... i P( A k i n, )... k P( A i k ) 4
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. (Random variable) Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R 5
(dokładniej: przeciwobrazy zbiorów borelowskich powinny należeć do σ - ciała zdarzeń S, { Ω : X ( ω < x} S ω ). ) x R 6
Zdarzeniom są przyporządkowane podzbiory zbioru R, musimy tym podzbiorom przyporządkować odpowiadające im prawdopodobieństwa. Przyporządkowanie to nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X i oznaczamy P X. 7
P X ( B) P ( X ( B) ) dla B Β( R), B(R) - zbiory borelowskie 8
Ω X BX(A) R AX - (B) P P X 0 P(A)P X (B) 9
Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F: R R określoną wzorem: F( x) P( X < x) P ((, x)) (distribution function of the random variable X). X 0
Własności dystrybuanty (properties): a) F jest funkcją niemalejącą (nondecreasing), b) F jest funkcją lewostronnie ciągłą (leftcontinous), c) F( ) 0; F( ),
d) dystrybuanta zmiennej losowej wyznacza jednoznacznie jej rozkład, e) P( a X < b) F( b) F( a); a < b f) P( X a) F( a + ) F( a); gdzie F( a + ) oznacza granicę prawostronną, (jeśli a jest punktem ciągłości dystrybuanty to P(X a ) 0).
Przykład. Poniższe funkcje są dystrybuantami. 0,5-0,5-0,5-3
Poniższe funkcje nie są dystrybuantami. 0,5 - - Nie sp. wł. b). Nie sp. wł. a), b), c). Nie sp. wł. a), c). 4
Przykład. Dla jakich wartości A, B, C, D funkcja A Bx F( x) C( x) + D dla dla dla dla x 0 < < x x > 0 x jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej? 5
A 0, D z własności c). Lewostronna ciągłość jest zapewniona. Należy sprawdzić własność a). Aby w przedziałach funkcje były niemalejące, musi być B 0, C 0; oprócz tego należy sprawdzić tą własność dla x i x. Dla x, C - dowolne. Dla x B C( - ) +, B. Zatem ostatecznie 0 B - dowolne, 0 C B -. 6
Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna) jeśli zbiór wszystkich jej wartości jest skończony lub przeliczalny. (A random variable is said to be of the discrete type if it takes values belonging to a set which is at most countable) 7
Rozkład zmiennej losowej skokowej często określamy za pomocą funkcji prawdopodobieństwa (probability function): P( X xk ) pk (własność: pk ; pk > 0) k Liczby p k nazywamy skokami (jump), a wartości x k punktami skokowymi (jump points). 8
Znając funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej można wyznaczyć jej dystrybuantę F ( x ) x k p k k < x oraz jej rozkład prawdopodobieństwa P ( X B) x k B k p k 9
Zmienna losowa X o dystrybuancie F jest ciągła jeśli jej dystrybuanta da się przedstawić w postaci x F( x) f ( t) dt x R A random variable X is said to be of the continuous type if there exists a non-negative function f(x) such that for every real number x the following relation holds: x F( x) f ( t) dt x R where F(x) is the distribution function of X. The function f(x) is called the probability density of the random variable X. 30
gdzie f jest funkcją spełniającą warunki: f ( x) 0; x R; f ( t) dt i nazywamy ją gęstością prawdopodobieństwa (probability density ) zmiennej losowej X. 3
Własności zmiennej losowej ciągłej: a) b) c) a, P( X < a) f ( x) dx F( a) P( a P( a < X b) P( a < X < b) b a X b) P( a f ( x) dx F( b) F( a) P( X > b) f ( x) dx F( b), b X < b) d) P( X a) 0, dla dowolnego a R ; (brak punktów skokowych), e) F jest funkcją ciągłą i prawie wszędzie różniczkowalną F ( x) f ( x) (równość zachodzi dla punktów ciągłości gęstości). Wyznaczając gęstość przez różniczkowanie dystrybuanty, w punktach w których F nie jest różniczkowalna można przyjąć, że gęstość jest równa zero. 3
Twierdzenie Lebesgue'a o rozkładzie dystrybuanty. Każdą dystrybuantę F można przedstawić w postaci gdzie F c + F + cf c3f3 c + c + c3, c, c, c3 F - dystrybuanta skokowa, F - dystrybuanta ciągła, F 3 - dystrybuanta osobliwa, 0 33
X - dana zmienna losowa ciągła o gęstości f. Y g(x) g - borelowska, tzn. g - (B) B(R) dla B B(R), Wyznaczyć gęstość g(y) zmiennej losowej Y. ) Jeśli g - ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to: g ( y) f ( ) ' h( y) h ( y) gdzie h g -. Należy pamiętać o przekształceniu przedziału koncentracji. 34
Przykład. Jeśli X ma rozkład o gęstości f ( x) 0 e x dla x 0 dla x > 0 Y X, wtedy h ( y) ( y + ), ( y) ( y + ) g(0) -, g( ), h, g 0 y) ( y + ) e ( ( y+ ) dla dla x x >, 35
) Jeśli g - przedziałami ściśle monotoniczna i różniczkowalna w przedziale (a, b) koncentracji X to: g( y) k i f ( h ( y) ) i h ' i ( y) gdzie h i - funkcje odwrotne do g dla poszczególnych przedziałów, k - liczba wartości funkcji odwrotnej odpowiadających danemu y. 36
Przykład. Y X, wtedy ( y) f ( y) + f ( y) y > 0 g, 37
Przykład. Y X, wtedy g( y) f y > y y ( y ) + f ( y ) 0, 38
W niektórych zagadnieniach wyznaczania rozkładu funkcji zmiennej losowej najpierw wyznaczamy dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej Y g(x), wg schematu ( y) ( < y) P( g( X ) < y) P X g ((, y) ) F Y ( y) P Y < następnie jeśli to możliwe, wyznaczamy funkcję prawdopodobieństwa (gdy jest to rozkład skokowy) lub gęstość (gdy jest to rozkład ciągły). 39
Przykład. Jeśli X ma rozkład o gęstości 0 dla x [ 0, 3] f ( x) 3 dla x [ 0, 3] (rozkład jednostajny na [0, 3]) ( X ) Y max,, 40
wtedy F Y ( y) 0 y 3 ( < y) P( max(, X ) < y) P Y dla y dla < y 3 dla y > 3 4
Nie jest to ani rozkład skokowy ani ciągły. Nie można więc wyznaczyć ani funkcji prawdopodobieństwa ani gęstości. Jest to rozkład mieszany skokowo - ciągły i zgodnie z twierdzeniem o rozkładzie dystrybuanty powyższą dystrybuantę można przedstawić w postaci F Y c + F cf F ( y) 0 dla y gdzie c /3, > dla y, c /3, F ( y) 0 y - dla dla dla y < y y > 3 3, 4
Wartość oczekiwana (Expectations). Oznaczenie EX lub m. Dla zmiennej losowej skokowej EX i x i p i (jeśli ewentualny szereg jest zbieżny bezwzględnie, takie szeregi są "odporne" np. na zmianę kolejności wyrazów). 43
Dla zmiennej losowej ciągłej EX xf ( x) dx (jeśli ewentualna całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie). 44
Przykład Dla zmiennej losowej o gęstości f x) x 0 ( x x < wartość oczekiwana nie istnieje bo x dx dx ln x x x. 45
Własności wartości oczekiwanej (properties) a) Ec c; c stała, b) E(aX) ae(x), c) E(X + Y) EX + EY, d) Jeśli a X b, to a EX b jeśli X Y, to EX EY, e) EX E X, EX E X f) X, Y niezależne, to E(XY) EX EY g) Jeśli Y g(x ), to EY i g( x ) p i g( x) i f ( x) dx gdy X gdy X skokowa ciagla ciągła, 46
Uwaga. EX F( x) dx F( x) dx ( ) 0 0 47
Bardziej ogólną definicję wartości oczekiwanej otrzymamy stosując całkę Stieltiesa EX xdf( x) przy założeniu, że powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Ponieważ sumy całkowe definiujące całkę b a xdf ( x) mają postać S n n i xˆ i ( F( x ) F( x )) to dla dystrybuanty kawałkami stałej wartość oczekiwana określona za pomocą całki Stieltiesa jest równa sumie iloczynów skoków dystrybuanty przez punkty skokowe i pokrywa się z określeniem podanym wcześniej. Natomiast dla dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej mamy F i i ( x ) F( x ) F ( xˆ )( x x ) f ( x )( x x ) i ˆ i i i i i czyli ( x) f dx df co również daje definicję podaną wcześniej. i i 48
Z addytywności całki Stieltiesa względem funkcji F mamy następującą własność: Jeśli zmienna losowa X jest skokowo - ciągła tzn. jej dystrybuanta da cię przedstawić w postaci F(x) cf (x) + (-c)f (x), c > 0, F - dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X, F - dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X. Wtedy EX cex + (-c) EX 49
Inny sposób liczenia wartości oczekiwanych zmiennych losowych skokowo - ciągłych jest następujący: Jeśli dystrybuanta F jest przedziałami ciągła i różniczkowalna wewnątrz przedziałów ciągłości to EX xf ( ) ( ( + x dx + x F x ) F( x )) i gdzie x i - punkty skokowe dystrybuanty. i i i, 50
Wzór ten pozwala też na wyznaczanie wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y g(x) bez znajomości rozkłady Y, mianowicie EY E ( ) + ( g( X )) g( x) F ( x) dx + g( x ) F( x ) F( x ) gdzie x i - punkty skokowe dystrybuanty F zmiennej losowej X. i i i i 5
5 Przykład. Jeśli zmienna losowa ma dystrybuantę > < + 0 0,5 0,5 0 0 ) ( x x x x x F to F(x) 0,5F (x) + 0,5F (x), gdzie > < 0 0,5 0 0 ) ( x x x x F > < 0 0 0 ) ( x x x x x F Zatem EX 0,5 0,5+0,5 0,5 0,5.
II sposób. EX x 0,5dx + 0 ( 0 0,5 + 0,5) 0,5 + 0,5 0, 5 53
Wariancja (Variance). Oznaczenie D X lub σ lub VX. D X E(X EX) Dla zmiennej losowej skokowej D X ( xi EX ) p Dla zmiennej losowej ciągłej D X ( x EX ) f ( x ) dx i 54
Własności wariancji (properties) a) D c 0; c stała, b) D (ax) a D (X), c) D (X + b) D X, b stała, d) X, Y niezależne, to D (X ± Y) D X + D Y e) D X E(X ) (EX). 55
Wykorzystanie własności e) D X i x x i p i ( EX ) ( EX ) gdy X skokowa f ( x) dx gdy X ciagla ciągła 56
Odchylenie standardowe (Standard deviation). Oznaczenie DX lub σ. DX D X 57
Własność Jeśli X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe σ > 0 X m Y to zmienna losowa σ ma EY 0 i DX. Zmienną losową Y nazywamy zmienną losową standaryzowaną. 58
Przykład Jeśli niezależne zmienne losowe X i (i,,..., n) mają taką samą wartość oczekiwaną m i takie samo odchylenie standardowe σ > 0 to zmienna losowa X będąca ich średnią EX X n m DX ; n i X i ma σ n 59
Nierówność Czebyszewa (Chebyshev inequality). Jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe σ > 0 to dla dowolnego ε > 0 mamy ( ) σ P X m ε ε 60
Moment rzędu k ( k - liczba naturalna) (moment of order k) m k W szczególności E m m ( k ) X EX własność e) wariacji można zapisać D X m m. 6
Własność. Jeśli istnieje m k to istnieje m s dla każdego s < k. 6
Moment centralny rzędu k ( k - liczba naturalna) (central moment) ( ) k ) µ E X EX k Zauważmy, że w szczególności µ 0, µ D X. 63
współczynnik asymetrii (skośności) (coefficient of skewness.) a µ 3 3 σ 64
i współczynnik skupienia (kurtozę) k µ σ 4 4 65
Zależności między momentami zwykłymi i centralnymi. k k i mk µ k im i 0 i 66
w szczególności m µ + m, m 3 + 3µ m + m 3 µ 3, 4 4 µ 4 + 4µ 3m + 6µ m m, m + 67
µ k k ( ) i 0 k k m i k i w szczególności µ m m, 3 µ 3 m 3 3mm + m, µ m 4m m + 6m m m 4 4 3 3 m 4 i, 68
Kwantylem rzędu p (0 < p < ) zmiennej losowej X o dystrybuancie F nazywamy liczbę x p, taką, że + F x p F x ( ) ( ) p p 69
Zauważmy, że dla zmiennej losowej ciągłej x p wyznaczymy z równości ( x ) p F p Kwantyl rzędu 0,5 nazywamy medianą. Kwantyle rzędu 0,5 ; 0,5; 0,75 nazywamy kwartylami (drugi kwartyl jest medianą). 70
Rozkłady skokowe (random variable of the discrete type) Rozkład jednopunktowy (one-point distribution) Określamy: P(X c) gdzie c ustalona liczba. 7
EX c, D X 0 (tylko ten rozkład ma zerową wariancję!!!) 7
Rozkład dwupunktowy (zerojedynkowy) (two-point distribution, zero-one distribution) Niech p ( 0, ) będzie ustaloną liczbą. Określamy: P(X 0) q, P(X ) p ; gdzie q p. Umowa: 0 - porażka (failure) - sukces (success) 73
EX p, D X pq 74
Rozkład dwumianowy (binomial distribution) Dla danych p ( 0, ), n N określamy funkcję prawdopodobieństwa n P( X k) k p k q n k gdzie q p k 0,,,..., n. (wzór Bernoulliego) 75
76
Jakub Bernoulli (654-705) - szwajcarski matematyk i fizyk. 77
Jeśli przyjmiemy, że n oznacza liczbę niezależnych doświadczeń z których każde kończy się jednym z dwóch wyników: sukcesem" (z prawdopodobieństwem p w każdym doświadczeniu) lub porażką i zmienna losowa X oznacza liczbę sukcesów to powyższy wzór wyznacza prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n doświadczeniach (próbach). 78
Sprawdzenie n n n P( X k) p k 0 k 0 k k q n k n ( p + q) 79
EX np, D X npq 80
Przykład Rzucamy 4 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w co najmniej 3 rzutach liczba oczek będzie podzielna przez 3?. 8
Szukane prawdopodobieństwo to P(X 3) P(X 3) + P(X 4), gdzie sukcesem jest uzyskanie 3 lub 6 oczek, więc p /3. 8
83 Zatem 8 8 8 4 3 3 3 4 3) ( 3 X P 8 8 3 3 4 4 4) ( 0 4 X P 9 8 8 8 4) ( 3) ( 3) ( + + X P X P X P
84 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu dwumianowego. np q p np q p k n k n np q p k n k n k q p k n k EX n n k k n k n k k n k n k k n k + 0 ) ( )! )!( ( )! ( )!!(!
Rozkład geometryczny (geometric distribution) X - liczba prób Bernoulliego poprzedzających pierwszy sukces q - p k 0,,,... P ( X k) k pq 85
Sprawdzenie ( ) k p P X k pq k 0 k 0 q 86
EX q/p; D X q/p 87
Rozkład Poissona (Poisson distribution) Dla λ > 0 określamy funkcję prawdopodobieństwa k λ P( X k ) k! e λ k 0,,,... 88
Siméon Denis Poisson (78 840), francuski mechanik teoretyk, fizyk i matematyk. W matematyce zajmował się całkami oznaczonymi, równaniami różnicowymi i różniczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. 89
90 Sprawdzenie!! ) ( 0 0 0 λ λ λ λ λ λ e e k e e k k X P k k k k k
EX λ D X λ 9
9 Przykład Obliczymy wartość oczekiwaną rozkładu Poissona. λ λ λ λ λ λ λ λ λ e e k e e k k EX k k k k 0 )! (!
Rozkład Poissona (możliwość odczytu w tablicy) może dla dużych n (praktycznie n 30) i małych p (praktycznie p 0,) przybliżać rozkład dwumianowy (przybliżenie Poissona) n k p k q n k k λ e k! λ gdzie λ n p 93
Przykład W pudełku jest 400 żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest 5 żarówek wadliwych, jeśli wadliwość produkcji takich żarówek wynosi 0,5%? Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku? 94
Zastosujemy przybliżenie Poissona, λ n p 400 0, 005. W tablicy rozkładu Poissona (tablica I) odczytamy, że: P(X 5) 0,036 Również w tablicy rozkładu Poissona odczytamy, że najbardziej prawdopodobna liczba uszkodzonych żarówek w tym pudełku to lub (dla obu tych liczb prawdopodobieństwo jest równe 0,707). 95
Rozkłady ciągłe (random variable of the continuous type) Rozkład jednostajny (uniform distribution) Rozkład którego gęstość jest stała w pewnym przedziale nazywamy jednostajnym (równomiernym). Gęstość rozkładu jednostajnego w (a, b) f x b a x ( ( ) a ; b ) 0 x ( a; b) 96
Ponieważ gęstość ta ma oś symetrii w punkcie x (a + b)/ to EX (a+b)/ 97
Pokażemy, że DX (b a) / 98
99 Przykład Najpierw obliczymy EX 3 3 3 3 3 3 3 b ab a a b a b x a b dx a b x EX b a b a + + Zatem ( ) 3 ) ( a b b a b ab a EX EX X D + + +
Rozkład wykładniczy (exponential distribution) Rozkład ten występuje często w zagadnieniach rozkładu czasu między zgłoszeniami (awariami) lub czasu oczekiwania na obsługę w systemach kolejkowych. Gęstość rozkładu wykładniczego o parametrze a > 0 ma postać ae f ( x) 0 ax x > 0 x 0 00
dystrybuantą tego rozkładu jest funkcja ax e x > 0 F( x) 0 x 0 (uzasadnienie: F'(x) f(x)) 0
Przykład Obliczymy EX EX 0 D X xae a ax ax ax dx xe e a 0 a 0
Własność. ) Jeśli liczba zgłoszeń w systemie kolejkowym w przedziale czasu (t, t + T) ma rozkład Poissona o parametrze λt, oraz liczby zgłoszeń przychodzące w rozłącznych przedziałach czasu są niezależne to czas X między kolejnymi zgłoszeniami ma rozkład wykładniczy o parametrze a /λ. ) Dla dowolnych t, T > 0 mamy P ( X t + T X t) P( X T ) (własność braku pamięci) P ( X t + T X t) ( e e t+ T ) a ta e Ta P P ( X t + T X t) P( X t) ( X T ) Jest to jedyny rozkład ciągły o tej własności. P ( X t + T ) P( X t) 03
Rozkład normalny (Gaussa) N ( m, σ ) (normal distribution) Dla m R, σ ( 0, + ) Określamy gęstość rozkładu f ( x) e σ π ( x m) σ x R 04
Carl Friedrich Gauss (777-855) niemiecki matematyk i fizyk. Jego badania związane z teorią błędów doprowadziły do odkrycia rozkładu normalnego zmiennej losowej (nazywany także rozkładem Gaussa), który jest najważniejszym rozkładem w teorii prawdopodobieństwa. 05
06
Uwaga Jeśli X ma rozkład N(m, σ) to zmienna losowa Y (X m)/σ ma rozkład N(0, ) (takie przekształcenie nazywamy standaryzacją). 07
Wartości dystrybuanty dla argumentów ujemnych wyznaczamy na podstawie zależności Φ( x) Φ(x) 08
Przykład Dochód miesięczny (zł) w pewnej populacji osób ma rozkład normalny N(600; 300). Jaki procent osób w tej populacji ma dochód miesięczny poniżej 000 zł? X wysokość miesięcznego dochodu 09
P( X X 600 000 600 < 000) P < P Y 300 300 ( < ) Φ( ) Φ() 0,977 0,08,8% 0
Przykład Czas wykonania pewnego detalu (min.) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m; σ). Wiadomo, że 80% robotników wykonuje ten detal dłużej niż 0 minut a 60% robotników dłużej niż minut. a) wyznacz parametry rozkładu czasu wykonania detalu m i σ, b) jaki odsetek robotników wykonuje ten detal w czasie krótszym niż 6 minut? X czas wykonania detalu.
P ( X > 0) 0,8 stąd m 0 0,84 σ m 0, σ P ( X > ) 0,6 stąd 5 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy m,85; σ 3,39.,85 6,85 ( < X 6) < 3,39 3,39 P X P PY Φ(,0) Φ(,0) 0,07, 7% ( <,0 )
Prawo trzech sigm (the "three-sigma" rule) Jeśli X ma rozkład N(m, σ) to P( m σ < X < m + σ ) P( m σ < X < m + σ ) P ( m 3σ < X < m+ 3σ ) 0,683 0,955, 0,997 Ostatnia równość świadczy o tym, że chociaż rozkład normalny ma gęstość różną od zera na całej prostej to praktycznie niemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale ( m 3σ, m + 3σ ) własność tą nazywamy prawem trzech sigm., 3
Interpretacja graficzna parametrów rozkładu N(m, σ) 4
Trzy rozkłady ciągłe, które mają duże znaczenie w statystyce matematycznej: Rozkład chi kwadrat (chi-square distribution), Rozkład Studenta (Student's distribution), Rozkład F Snedecora (F -distribution) Rozkłady te są stablicowane. 5
Rozkład chi kwadrat (χ ) Y n n liczba stopni swobody (chi-square distribution with n degrees of freedom) Y n X + +... X n X,..., Xn - niezależne, o rozkładzie N(0, ) EX n; DX n 6
Karl Pearson (857 936) angielski matematyk, prekursor statystyki matematycznej 7
8 Gęstość rozkładu Y n > Γ 0 0 0 ) ( y y n e y y f n y n Uwaga. Γ - funkcja Eulera, Γ 0 ) ( dx e x x α α np. Γ(n) (n - )!; Π Γ ) / ( ; Π + Γ n n n )!! ( ) (
mediana dominanta m e x 0,5 n - 0,67 d n -, n > 9
Odczyt z tablicy dla rozkładu chi kwadrat. (podobnie interpretujemy graficznie odczyt z tablicy F Snedecora.) P( Y k) n α Uwaga. ) Dla n, wykres gęstości rozkładu chi kwadrat jest inny (tylko część malejąca wykresu) ) dla n > 30 stosujemy przybliżenie rozkładem normalnym. ~ N( n ;) Y n 0
Rozkład Studenta n liczba stopni swobody (Student's distribution with n degrees of freedom) T n X, Yn - niezależne X o rozkładzie N(0, ); Yn o rozkładzie chi kwadrat z n stopniami swobody X Y n n EX 0 ; dla n > DX n/(n-) dla n >
Gęstość rozkładu Tn R t n t n n n t f n + Γ Γ + Γ + ` ) ( Uwaga. Γ - funkcja Eulera, Γ 0 ) ( dx e x x α α np. Γ(n) (n - )!; Π Γ ) / ( ; Π + Γ n n n )!! ( ) (
William Gosset (876 937), statystyk angielski. Publikował pod pseudonimem Student (stąd nazwa wprowadzonego przez niego - w roku 908 - rozkładu prawdopodobieństwa: rozkład Studenta). 3
Odczyt z tablicy (tablica IV) dla rozkładu Studenta. P( T k) α n Uwaga. T n N ( 0, ) n 4
Rozkład F Snedecora (The F -distribution) n ; n N stopnie swobody Y Y ; n n F n, n n n - niezależne o rozkł. chi kwadrat Y Y n n ; 5
EX n n DX n ( n ) ( n 4) n ( n + n ) dla n > dla n > 4 6
7 gęstość > Γ Γ + + Γ + 0 0 0 ) ( x x n n x n n x n n n n x f n n n n W tablicy α ) ( F ; k P n n
TABLICE Tablica I. Rozkład Poissona. k λ P( X k ) k! e λ λ \ k 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0,9048 887 7408 6703 6065 5488 4966 4493 4066 3679 3 353 08 0498 030 083 0 0067 005 0009 0003 000 0000 0,0905 637 68 3033 393 3476 3595 3659 3679 3347 707 05 494 057 0733 0500 0337 049 0064 007 00 0005 0,0045 064 0333 0536 0758 0988 7 438 646 839 50 707 565 40 850 465 5 084 0446 03 007 0050 003 0,000 00 0033 007 06 098 084 0383 0494 063 55 804 38 40 58 954 687 404 089 05 086 050 0076 0,0000 000 0003 0007 006 0030 0050 0077 0 053 047 090 336 680 888 954 898 755 339 09 0573 0337 089 0,0000 0000 000 000 0004 0007 00 000 003 04 036 0668 008 3 563 708 755 606 77 096 0607 0378 0,0000 0000 0000 000 000 0003 0005 0035 00 078 0504 077 04 8 46 606 490 09 063 0,0000 0000 0000 000 0008 0034 0099 06 0385 0595 084 044 377 490 396 7 090 0,0000 000 0009 003 008 069 098 0463 0653 033 304 396 38 6 0,0000 000 0009 007 0066 03 03 0363 0688 04 4 38 5 0,0000 000 0008 003 0053 004 08 043 070 0993 86 5 0,0000 000 0007 009 0043 008 05 045 07 0970 37 λ \ k 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,0 0,000 000 0006 006 0034 03 064 048 078 0948 0,0000 000 000 0006 003 005 04 096 0504 079 0,0000 000 000 0005 00 007 069 034 05 0,0000 000 000 0009 0033 0090 094 0347 0,0000 0000 0003 004 0045 009 07 0,000 0006 00 0058 08 0,0000 000 0009 009 007 0,000 0004 004 0037 0,0000 000 0006 009 0,000 0003 0009 0,0000 000 0004 0,0000 000 0,000 8
Tablica II. Dystrybuanta Φ(x) rozkładu normalnego N(0, ) Φ(-x) - Φ(x) x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 x 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0,0 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0, 0,5793 0,583 0,586 0,590 0,5949 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0, 0,3 0,679 0,67 0,65 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,3 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,684 0,6879 0,4 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,5 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,6 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,7 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389 0,9,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,8577 0,8599 0,86,0, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,8830,, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9047,,3 0,9030 0,90490 0,90658 0,9084 0,90988 0,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,3,4 0,994 0,9073 0,90 0,9354 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0,93056 0,9389,4,5 0,9339 0,93448 0,93574 0,93699 0,938 0,93943 0,9406 0,9479 0,9495 0,94408,5,6 0,9450 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,9554 0,9554 0,9535 0,95449,6,7 0,95543 0,95637 0,9578 0,9588 0,95907 0,95994 0,96080 0,9664 0,9646 0,9637,7,8 0,96407 0,96485 0,9656 0,96638 0,967 0,96784 0,96856 0,9696 0,96995 0,9706,8,9 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0,97500 0,97558 0,9765 0,97670,9,0 0,9775 0,97778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,98030 0,98077 0,984 0,9869,0, 0,984 0,9857 0,98300 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,98500 0,98537 0,98574,, 0,9860 0,98645 0,98679 0,9873 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899,,3 0,9898 0,98956 0,98983 0,9 0097 0,9 0358 0,9 063 0,9 06 0,9 06 0,9 344 0,9 576,3,4 0,9 80 0,9 04 0,9 40 0,9 45 0,9 656 0,9 857 0,9 3053 0,9 344 0,9 343 0,9 363,4 9
x 0,00 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 x,5 0,9 3790 0,9 3963 0,9 43 0,9 497 0,9 4457 0,9 464 0,9 4766 0,9 495 0,9 5060 0,9 50,5,6 0,9 5339 0,9 5473 0,9 5604 0,9 573 0,9 5855 0,9 5975 0,9 6093 0,9 607 0,9 639 0,9 647,6,7 0,9 6533 0,9 6636 0,9 6736 0,9 6833 0,9 698 0,9 700 0,9 70 0,9 797 0,9 78 0,9 7365,7,8 0,9 7445 0,9 753 0,9 7599 0,9 7673 0,9 7744 0,9 784 0,9 788 0,9 7948 0,9 80 0,9 8074,8,9 0,9 834 0,9 893 0,9 850 0,9 8305 0,9 8359 0,9 84 0,9 846 0,9 85 0,9 8559 0,9 8605,9 3,0 0,9 8650 0,9 8694 0,9 8736 0,9 8777 0,9 887 0,9 8856 0,9 8893 0,9 8930 0,9 8965 0,9 8999 3,0 3, 0,9 3 034 0,9 3 0646 0,9 3 0957 0,9 3 60 0,9 3 553 0,9 3 836 0,9 3 0,9 3 378 0,9 3 636 0,9 3 886 3, 3, 0,9 3 39 0,9 3 3363 0,9 3 3590 0,9 3 380 0,9 3 400 0,9 3 430 0,9 3 449 0,9 3 463 0,9 3 480 0,9 3 499 3, 3,3 0,9 3 566 0,9 3 5335 0,9 3 5499 0,9 3 5658 0,9 3 58 0,9 3 5959 0,9 3 603 0,9 3 64 0,9 3 6376 0,9 3 6505 3,3 3,4 0,9 3 663 0,9 3 675 0,9 3 6869 0,9 3 698 0,9 3 709 0,9 3 797 0,9 3 799 0,9 3 7398 0,9 3 7493 0,9 3 7585 3,4 3,5 0,9 3 7674 0,9 3 7759 0,9 3 784 0,9 3 79 0,9 3 7999 0,9 3 8074 0,9 3 846 0,9 3 85 0,9 3 88 0,9 3 8347 3,5 3,6 0,9 3 8409 0,9 3 8469 0,9 3 857 0,9 3 8583 0,9 3 8637 0,9 3 8689 0,9 3 8739 0,9 3 8787 0,9 3 8834 0,9 3 8879 3,6 3,7 0,9 3 89 0,9 3 8964 0,9 4 0039 0,9 4 046 0,040799 0,9 4 58 0,9 4 504 0,9 4 838 0,9 4 59 0,9 4 468 3,7 3,8 0,9 4 765 0,9 4 305 0,9 4 337 0,9 4 3593 0,9 4 3848 0,9 4 4059 0,9 4 433 0,9 4 4558 0,9 4 4777 0,9 4 4988 3,8 3,9 0,9 4 590 0,9 4 5385 0,9 4 5573 0,9 4 5753 0,9 4 596 0,9 609 0,9 4 653 0,9 4 6406 0,9 4 6554 0,9 4 6696 3,9 4,0 0,9 4 6833 0,9 4 6964 0,9 4 7090 0,9 4 7 0,9 4 737 0,9 4 7439 0,9 4 7536 0,9 4 7649 0,9 4 7748 0,9 4 7843 4,0 4, 0,9 4 7934 0,9 4 80 0,9 4 806 0,9 4 886 0,9 4 863 0,9 4 8338 0,9 4 8409 0,9 4 8477 0,9 4 854 0,9 4 8605 4, 4, 0,9 4 8665 0,9 4 873 0,9 4 8778 0,9 4 883 0,9 4 888 0,9 4 893 0,9 4 8978 0,9 5 06 0,9 5 0655 0,9 5 066 4, 4,3 0,9 5 460 0,9 5 837 0,9 5 09 0,9 5 545 0,9 5 876 0,9 5 393 0,9 5 3497 0,9 5 3788 0,9 5 4066 0,9 5 433 4,3 4,4 0,9 5 4587 0,9 5 483 0,9 5 5065 0,9 5 588 0,9 5 550 0,9 5 5706 0,9 5 590 0,9 5 6089 0,9 5 668 0,9 5 6439 4,4 4,5 0,9 5 660 0,9 5 6759 0,9 5 6908 0,9 5 705 0,9 5 787 0,9 5 738 0,9 5 744 0,9 5 756 0,9 5 7675 0,9 5 7784 4,5 4,6 0,9 5 7888 0,9 5 7987 0,9 5 808 0,9 5 87 0,9 5 858 0,9 5 8340 0,9 5 849 0,9 5 8494 0,9 5 8566 0,9 5 8634 4,6 4,7 0,9 5 8699 0,9 5 876 0,9 5 88 0,9 5 8877 0,9 5 893 0,9 5 8983 0,9 6 030 0,9 6 0789 0,9 6 35 0,9 6 66 4,7 4,8 0,9 6 067 0,9 6 453 0,9 6 8 0,9 6 373 0,9 6 3508 0,9 6 387 0,9 6 43 0,9 6 440 0,9 6 4696 0,9 6 4958 4,8 4,9 0,9 6 508 0,9 6 5446 0,9 6 5673 0,9 6 5889 0,9 6 6094 0,9 6 689 0,9 6 6475 0,9 6 665 0,9 6 68 0,9 6 698 4,9 Wartości k gdy Φ (k) α. α 0,9 0,9 0,9 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,975 0,98 0,985 0,99 0,995 k,8,34,405,476,555,645,75,88,960,054,70,36,576 α 0,6 0,7 0,8 α 0,999 0,9999 0,99999 0,999999 k 0,53 0,54 0,84 k 3,090 3,79 4,65 4,753 30
3 Tablica III. Tablica rozkładu chi kwadrat Tablica podaje wartości x α takie, że P Y x ( ) > α α, n - liczba stopni swobody α n 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,70 0,50 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 n 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 0,000 0,00 0,5 0,97 0,554 0,87,39,646,088,558 3,053 3,57 4,07 4,660 5,9 5,8 6,408 7,05 7,633 8,60 8,897 9,54 0,96 0,856,54,98,879 3,565 4,56 4,953 0,0006 0,0404 0,85 0,49 0,75,34,564,03,53 3,059 3,609 4,78 4,765 5,368 5,985 6,64 7,55 7,906 8,567 9,37 9,95 0,600,93,99,697 3,409 4,5 4,847 5,574 6,306 0,004 0,03 0,35 0,7,45,635,67,733 3,35 3,940 4,575 5,6 5,89 6,57 7,6 7,96 8,67 9,390 0,7 0,85,59,338 3,09 3,848 4,6 5,379 6,5 6,98 7,708 8,493 0,06 0, 0,584,064,60,04,833 3,490 4,68 4,865 5,578 6,304 7,04 7,790 8,547 9,3 0,085 0,865,65,443 3,40 4,04 4,848 5,659 6,473 7,9 8,4 8,939 0,599 3,364 0,064 0,446,005,649,343 3,070 3,8 4,594 5,380 6,79 6,989 7,807 8,634 9,467 0,307,5,00,857 3,76 4,587 5,445 6,34 7,87 8,06 8,940 9,80 0,703,588,475 3,364 0,48 0,73,44,95 3,000 3,88 4,67 5,57 6,393 7,67 8,48 9,034 9,96 0,8,7,64 3,53 4,440 5,35 6,66 7,8 8,0 9,0 9,943 0,867,79,79 3,647 4,577 5,508 0,455,386,366 3,357 4,35 5,348 6,346 7,344 8,343 9,34 0,34,340,340 3,339 4,339 5,338 6,338 7,338 8,338 9,337 0,337,337,337 3,337 4,337 5,336 6,336 7,336 8,336 9,336,074,408 3,665 4,878 6,064 7,3 8,383 9,54 0,656,78,899 4,0 5,9 6,6 7,3 8,48 9,5 0,60,689,775 3,858 4,939 6,08 7,096 8,7 9,46 30,39 3,39 3,46 33,530,64 3,665 4,64 5,989 7,89 8,558 9,803,030,4 3,44 4,63 5,8 6,985 8,5 9,3 0,465,65,760 3,900 5,038 6,7 7,30 8,49 9,553 30,675 3,795 3,9 34,07 35,39 36,50,706 4,605 6,5 7,779 9,36 0,645,07 3,36 4,684 5,987 7,75 8,549 9,8,064,307 3,54 4,769 5,989 7,04 8,4 9,65 30,83 3,007 33,96 34,38 35,563 36,74 37,96 39,087 40,56 3,84 5,99 7,85 9,488,070,59 4,067 5,507 6,99 8,307 9,675,06,36 3,685 4,996 6,96 7,587 8,869 30,44 3,40 3,67 33,94 35,7 36,45 37,65 38,885 40,3 4,337 4,557 43,773 5,4 7,84 9,837,668 3,388 5,033 6,6 8,68 9,679,6,68 4,054 5,47 6,873 8,59 9,633 30,995 3,346 33,687 35,00 36,443 37,659 38,968 40,70 4,566 4,856 44,40 45,49 46,693 47,96 6,635 9,0,345 3,77 5,086 6,8 8,475 0,090,666 3,09 4,75 6,7 7,688 9,4 30,578 3,000 33,409 34,805 36,9 37,566 38,93 40,89 4,638 4,980 44,34 45,64 46,963 48,78 49,588 50,89 0,87 3,85 6,68 8,465 0,57,457 4,3 6,5 7,877 9,588 3,64 3,909 34,58 36,3 37,697 39,5 40,790 4,3 43,80 45,35 46,797 48,68 49,78 5,79 5,60 54,05 55,476 56,893 58,30 59,703 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30
3 Tablica IV. Tablica rozkładu Studenta Tablica podaje wartości x α takie, że P T x ( ) > α α, n - liczba stopni swobody α n 0,90 0,80 0,70 0,60 0,40 0,30 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 n 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 60 0 0,58 0,4 0,37 0,34 0,3 0,3 0,30 0,30 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,6 0,6 0,6 0,6 0,35 0,89 0,77 0,7 0,67 0,65 0,63 0,6 0,6 0,60 0,60 0,59 0,59 0,58 0,58 0,58 0,57 0,57 0,57 0,57 0,57 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,56 0,55 0,54 0,54 0,53 0,50 0,445 0,44 0,44 0,408 0,404 0,40 0,399 0,398 0,397 0,396 0,395 0,394 0,393 0,393 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,390 0,390 0,390 0,390 0,390 0,389 0,389 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,77 0,67 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,54 0,540 0,539 0,538 0,537 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,533 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,530 0,530 0,530 0,59 0,57 0,56 0,54,376,06 0,978 0,94 0,90 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,86 0,86 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854 0,85 0,848 0,845 0,84,963,386,50,90,56,34,9,08,00,093,088,083,079,076,074,07,069,067,066,064,063,06,060,059,058,058,057,056,055,055,050,046,04,036 3,078,886,638,533,476,440,45,397,383,37,363,356,350,345,34,337,333,330,38,35,33,3,39,38,36,35,34,33,3,30,303,96,89,8 6,34,90,353,3,05,943,895,860,833,8,796,78,77,76,753,746,740,734,79,75,7,77,74,7,708,706,703,70,699,697,684,67,658,645,706 4,303 3,8,776,57,447,365,306,6,8,0,79,60,45,3,0,0,0,093,086,080,074,069,064,060,056,05,048,045,04,0,000,980,960 3,8 6,965 4,54 3,747 3,365 3,43,998,896,8,764,78,68,650,64,60,583,567,55,539,58,58,508,500,49,485,479,473,467,46,457,43,390,358,36 63,657 9,95 5,84 4,604 4,03 3,707 3,499 3,355 3,50 3,69 3,06 3,055 3,0,977,947,9,898,878,86,845,83,89,807,797,787,779,77,763,756,750,704,660,67,576 636,69 3,598,94 8,60 6,859 5,959 5,405 5,04 4,78 4,587 4,437 4,38 4, 4,40 4,073 4,05 3,965 3,9 3,883 3,850 3,89 3,79 3,767 3,745 3,75 3.707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,55 3,460 3,373 3,9 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 40 60 0
Tablica V. Tablica rozkładu F - Snedecora P F ; k) α ( n n 3 4 5 6 7 8 0 0 40 60 00 Tablica dla α 0,05: n n 6 00 6 5 30 34 37 39 4 48 5 5 53 54 8,5 9,0 9, 9, 9, 9,3 9,3 9,4 9,4 9,4 9,5 9,5 9,5 9,5 3 0, 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,79 8,66 8,59 8,57 8,55 8,53 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 5,96 5,8 5,7 5,69 5,66 5,63 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,74 4,56 4,64 4,43 4,4 4,37 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,06 3,87 3,77 3,74 3,7 3,67 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,64 3,44 3,34 3,3 3,7 3,3 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,35 3,5 3,04 3,0,97,93 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,4,94,83,79,76,7 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07,98,77,66,6,59,54 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,85,65,53,49,46,40 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,75,54,43,38,35,30 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,67,46,34,30,6, 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,60,39,7,,9,3 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,54,33,0,6,,07 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,49,8,5,,07,0 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,45,3,0,06,0,96 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,4,9,06,0,98,9 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,38,6,03,98,94,88 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,35,,99,95,9,84 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,3,0,96,9,88,8 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,30,07,94,89,85,78 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,7,05,9,86,8,76 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,5,03,89,84,80,73 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,4,0,87,8,78,7 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,,99,85,80,76,69 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,0,97,84,79,74,67 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,9,96,8,77,73,65 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,8,94,8,75,7,64 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,6,93,79,74,70,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,08,84,69,64,59,5 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,03,78,63,58,5,44 00 3,94 3,09,70,46,3,9,0,03,93,68,5,45,39,8 00 3,89 3,04,69,4,6,4,06,98,88,6,46,39,3,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,83,57,39,3,4,00 8. 0.04 33