Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
0. Funkcje trygonometryczne. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. b c a α sin α = b c cos α = a c tg α = b a ctg α = a b. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. y O r (x,y) x sin α = y r cos α = x r tg α = y x x 0 ctg α = x y y 0. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. f(x) = sin x Dziedzina R; Zbiór wartości [, ]; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja nieparzysta (sin( x) = sin x). y f(x)= cosx 0 x - f(x) = cos x Dziedzina R; Zbiór wartości [, ]; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja parzysta (cos( x) = cos x). f(x) = tg x Dziedzina R \ { π + kπ}, gdzie k Z; Zbiór wartości R; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja nieparzysta (tg( x) = tg x). 47
y 0 x f(x)= ctgx f(x) = ctg x Dziedzina R \ {kπ}, gdzie k Z; Zbiór wartości R; Funkcja okresowa: okres podstawowy π; Funkcja nieparzysta (ctg( x) = ctg x). 4. Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kata. sin x + cos x = tg x = sin x cos x jedynka trygonometryczna ctg x = cos x sin x tg x ctg x = 5. Funkcje podwojonego kąta. sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x = sin x = cos x tg x = tg x tg, gdy cos x 0, cos x 0 x ctg x = ctg x, gdy sin x 0, sin x 0 ctg x 6. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x sin y + sin x cos y tg(x + y) = tg x + tg y, gdy cos x cos y 0, cos(x + y) 0 tg x tg y ctg(x + y) = ctg x ctg y, gdy sin x sin y 0, sin(x + y) 0 ctg x + ctg y tg(x y) = tg x tg y, gdy cos x cos y 0, cos(x y) 0 + tg x tg y ctg(x y) = ctg x ctg y, gdy sin x sin y 0, sin(x y) 0 ctg x ctg y 48
7. Suma i różnica funkcji trygonometrycznych. sin x + sin y = sin x + y cos x + cos y = cos x + y cos x y cos x y sin x sin y = cos x + y cos x cos y = sin x + y sin x y sin x y tg x + tg y = ctg x + ctg y = tg x tg y = ctg x ctg y = 8. Związki między sin x i cos x a tg x. sin(x + y), gdy cos x cos y 0 cos x cos y sin(x + y), gdy sin x sin y 0 sin x sin y sin(x y), gdy cos x cos y 0 cos x cos y sin(y x), gdy sin x sin y 0 sin x sin y sin x = tg x + tg x cos x = tg x + tg x tg x = tg x tg x ctg x = ctg x ctg x 9. Tabela wartości funkcji trygonometrycznych kątów z pierwszej ćwiartki. π α 0 6 sin α 0 cos α tg α 0 ctg α nie istnieje π 4 π π 0 0 0. Tabela znaków funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach. α (0, π ) ( π, π) (π, π) ( π, π) sin α + + cos α + + tg α + + ctg α + +. Wzory redukcyjne. I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka π α α π + α π α π + α π α π + α π α sin α cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α 49
. Elementarne równania trygonometryczne. sin x = sin α x = α + kπ x = π α + kπ, k Z cos x = cos α x = α + kπ x = α + kπ, k Z tg x = tg α x = α + kπ, k Z ctg x = ctg α x = α + kπ, k Z Przykładowe zadania. Obliczyć: sin 40 6 π. sin 40 6 π = sin(66π + 5 6 π) (ze wzoru sin(kπ + α) = sin α) = sin 5 6 π = sin(π 6π) (ze wzorów redukcyjnych) = sin 6 π = Odpowiedź:.. Obliczyć: cos 0 π. cos 0 π = cos(6π + π) (ze wzoru cos(kπ + α) = cos α) = cos π = cos(π π) (ze wzorów redukcyjnych) = cos π = Odpowiedź:.. Obliczyć: tg ( 75 π). tg( 75 75 π) = tg π (funkcja tangens jest nieparzysta) = tg(90π + 5 π) (ze wzoru tg(kπ +α) = tg α) = tg 5 π = tg(π π) (ze wzorów redukcyjnych) = tg π = Odpowiedź:. 4. Obliczyć: ctg 7 4 π. ctg 7 4 π = ctg(6π + 7 4 π) (ze wzoru ctg(kπ + α) = ctg α) = ctg 7 4 π = ctg(π 4π) (ze wzorów redukcyjnych) = ctg 4 π = Odpowiedź:. 5. Sprawdzić tożsamość (sin x + cos x) + (sin x cos x) =. (sin x + cos x) + (sin x cos x) = sin x + sin x cos x + cos x + sin x sin x cos x + cos x = sin x + cos x = (sin x + cos x) = 6. Sprawdzić tożsamość cos x+cos x sin x sin x = ctg x. Tożsamość ta ma sens dla x kπ cos x+cos x sin x sin x = cos x+ cos x sin x cos x (bo cos α = cos α, sin α = sin α cos α) = cos x cos x sin x( cos x ) = cos x( cos x ) sin x( cos x ) = cos x sin x = ctg x 50
7. Rozwiązać równanie sin x =. = sin π, zatem sin x = sin π x = π + kπ x = π π π + kπ = π + kπ, k Z Odpowiedź: x = π + kπ x = π + kπ, k Z. 8. Rozwiązać równanie cos x =. Wprowadzamy zmienną pomocniczą u = x. Wówczas otrzymujemy równanie cos u =. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: u = π + kπ u = π + kπ Zatem x = 9 π + kπ x = 9 π + kπ, k Z Odpowiedź: x = 9 π + kπ x = 9 π + kπ, k Z. 9. Rozwiązać równanie tg x =. = tg 6 π, zatem tg x = tg 6 π x = 6 π + kπ, k Z Odpowiedź: x = 6 π + kπ, k Z 0. Rozwiązać równanie sin x + sin x = 0. Wprowadzamy zmienną pomocniczą sin x = t, t [, ]. t + t = 0, = 6, t = / [, ], t = Rozwiązujemy równanie sin x =. Ponieważ = sin π, zatem sin x = sin π, czyli x = π + kπ, k Z Odpowiedź: x = π + kπ, k Z.. Rozwiązać równanie ctg x cos x + = cos x + ctg x. ctg x cos x + cos x ctg x = 0 ctg x(cos x ) (cos x ) = 0 (cos x )(ctg x ) = 0 cos x = 0 ctg x = 0 cos x = ctg x = x = kπ x = 4 π + kπ, k Z Odpowiedź: x = kπ x = 4π + kπ, k Z.. Rozwiązać nierówność cos x + < 0 w przedziale [0, π]. 5
cos x < Z wykresu odczytujemy π < x < π 4 π < x < 5 π Odpowiedź: π < x < π 4 π < x < 5 π.. Rozwiązać nierówność sin x + cos x > 0. Korzystamy ze wzoru redukcyjnego cos x = sin( π x) Zatem sin x + sin( π x) > 0 Stosujemy wzór na sumę sinusów sin x + sin y = sin x+y cos x y sin x+( π x) cos x ( π x) ( ) > 0 sin 4 π cos x 4 π > 0 ( ) cos x 4 π > 0 ) cos (x 4 π > 0 Z wykresu funkcji cos odczytujemy π + kπ < x 4 π < π + kπ 4 π + kπ < x < 4 π + kπ, k Z Odpowiedź: 4 π + kπ < x < 4π + kπ, k Z. Zadania Obliczyć:. sin π. 4. tg 5 4 π. 7. cos( 45 6 π). 0. ctg 7 4 π.. cos 4 π. 5. sin 5 π. 8. tg 7 6 π.. sin 6 π.. tg 5 6 π. 6. ctg 4 π. 9. cos 6 π.. ctg 5 4 π. Poniższe kąty wyrazić w mierze łukowej (w radianach):. 75. 4. 45. 5. 60. Poniższe kąty są podane w mierze łukowej. Wyrazić je w mierze stopniowej: 6. 5 π. 7. 4 5 π. 8. 8π. 9. 4,. Obliczyć pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, jeśli: 0. sin α = 4, π < α < π. π. tg α =, < α < π.. cos α = 5, π < α < π.. ctg x = π < α < π. 5
Określić znak liczby: 4. cos. 5. tg( 0, 75). Sprawdzić tożsamość: 6. cos( 8). 7. ctg, 5. 8. cos(tg π 4 ). 9. tg(sin, 5). 0. cos α sin α = tg α.. tg α + ctgα = sin α.. 4 sin4 α + sin α = 4 sin α. Rozwiązać równanie:. sin x =. 4. cos x =. 5. tg x =. 6. sin x + cos x =. 7. cos(x π ) =. 8. sin x cos x =. 9. sin x + = cos x. 40. sin x = cos x. 4. sin 4 x + cos 4 x =. Obliczyć: 4. sin x wiedząc, że ctg x = i x (π, π). 4. cos x wiedząc, że cos x = i x (π, π). Zbadać, czy wśród podanych funkcji są funkcje parzyste lub nieparzyste: 44. cos x. 45. sin x. 46. sin x. 47. tg x. Rozwiązać nierówności: 48. cos x, gdy x [0, π]. 49. tg x, gdy x [ π, π]. 50. sin x >, gdy x ( π, π). 5. tg x > ctgx, gdy x (0, π). Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji: 5. y = sin x + sin x + 4. 54. y = sin x. 5. y = cos x 6 cos x + 0. Naszkicować wykresy funkcji: 55. f(x) = cos x. 56. f(x) = sin x. 57. f(x) = sin x +. 58. f(x) = ctg x. 59. f(x) = ctg x +. 60. f(x) = tg x +. 6. f(x) = cos x +. 6. f(x) = sin( x). 6. f(x) = cos x +. 64. f(x) = tg x. 5