PROBLEM HARMONOGRAMOWANIA PŁATNOŚCI DLA WIELOETAPOWEGO PROJEKTU

W Y D A W N I C T W O P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J W G L I W I C A C H ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2018 Seria: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 131 PROBLEM HARMONOGRAMOWANIA PŁATNOŚCI DLA WIELOETAPOWEGO PROJEKTU Marcin KLIMEK Państwowa Szkoła Wyższa w Białej Podlaskiej, Zakład Inforatyki;.kliek@dydaktyka.pswbp.pl Streszczenie: W pracy przedstawiony jest proble haronograowania wieloetapowego projektu z ograniczonyi zasobai z aksyalizacją zdyskontowanych przepływów pieniężnych z perspektywy wykonawcy z uwzględnienie interesów klienta. Jako ujene przepływy finansowe rozpatrywane są wydatki wykonawcy związane z realizacją czynności. Dodatnii przepływai pieniężnyi są etapowe płatności klienta, wykonywane w wysokościach równych niezbędny wydatko wykonawcy ponoszony w następny etapie projektu. Wykonawca nie oże realizować czynności, jeśli nie otrzya środków finansowych od klienta. W pracy zilustrowany jest proponowany sposób ustalania etapowych rozliczeń iędzy kliente a wykonawcą. Następnie zaprezentowana jest etoda generowania rozwiązań dedykowanych dla analizowanego probleu: technika justyfikacji uwzględniająca etapy projektu. Słowa kluczowe: haronograowanie projektu z ograniczonyi zasobai i kapitałe, aksyalizacja zdyskontowanych przepływów pieniężnych, kaienie ilowe, płatności progresywne, justyfikacja. PAYMENT SCHEDULING PROBLEM FOR MULTI-STAGE PROJECT Abstract: The paper presents the proble of scheduling a ulti-stage project with liited resources with the axiization of discounted cash flows fro the perspective of the contractor, taking into account the client's interests. The contractor's expenses related to the execution of activities are considered as negative cash flows. The positive cash flows are staged client payents, ade in aounts equal to the necessary expenses of the contractor incurred in the next stage of the project. The contractor ay not execute activities if he does not receive funds fro the client. The paper illustrates the proposed ethod of establishing staged settleents between the client and the contractor. Next, the ethod of generating solutions dedicated to the analyzed proble is presented: the justification technique taking into account the project stages. Keywords: capital- and resource-constrained project scheduling proble, discounted cash flow axiization, ilestones, progress payents, justification.

210 M. Kliek 1. Wprowadzenie Haronograowanie projektu jest jedny z najważniejszych i najczęściej podejowanych zagadnień badawczych z zakresu badań operacyjnych. Analizowanych jest wiele odeli optyalizacyjnych uwzględniających praktyczne aspekty planowania prac projektowych (Hartann, Briskorn, 2012, p. 1-14). W tej pracy rozważany jest, często podejowany w ostatnich latach, proble haronograowania projektu z ograniczonyi zasobai z aksyalizacją zdyskontowanych przepływów pieniężnych RCPSP-DC (ang. Resource- Constrained Project Scheduling Proble with Discounted Cash Flows). W odelach optyalizacyjnych RCPSP-DC uwzględniana jest ziana wartości przepływów pieniężnych w czasie przez wyznaczanie ich wartości bieżącej NPV (ang. Net Present Value), szczególnie istotna dla projektów długotrwałych (Herroelen i in., 1997, p. 97-121). Do probleów powiązanych z proponowany w tej pracy odele optyalizacyjny RCPSP-DC, zaliczyć ożna haronograowanie płatności projektowych PPS (ang. Project Payent Scheduling) oraz haronograowanie projektu z ograniczeniai kapitałowyi CCPSP (ang. Capital Constrained PSP). W probleach PPS poza ustalenie terinów realizacji czynności, jak w haronograowaniu z czasowyi kryteriai optyalizacyjnyi, podejowane są decyzje dotyczące liczby, kwoty i terinów wykonywania płatności klienta na rzecz wykonawcy. W rozważanych w badaniach odelach najczęściej zakłada się, że: wydatki związane z realizacją projektu (i poszczególnych czynności) są znane i występują częściej niż przychody, ponoszone są z reguły z tytułu realizowanych czynności, wykonywane przy ich rozpoczynaniu, po ich zakończeniu lub proporcjonalnie przypisywane do początku i końca ich realizacji, koszty realizacji czynności ogą też być rozdzielane w zależności od postępu ich realizacji, przychody z reguły to płatności klienta kalkulowane na podstawie kosztów. Często przyjuje się, że całkowita kwota płatności klienta jest stała i znana. Cele optyalizacji jest znalezienie takiego haronograu realizacji czynności oraz terinów i wielkości wystąpienia płatności, dla którego aksyalizowana jest sua zdyskontowanych przepływów pieniężnych projektu z perspektywy klienta lub wykonawcy projektu. Występują rozbieżne interesy klienta i wykonawcy w zakresie oczekiwanego haronograu płatności. Najbardziej preferowaną przez klienta forą rozliczeń jest jednorazowa płatność po zakończeniu projektu LSP (ang. Lup Su Payent). Dla wykonawcy taka fora rozliczeń jest często nie do zaakceptowania, zwłaszcza dla projektów większych, długoterinowych, wyagających zaangażowania dużych własnych środków finansowanych przy jego realizacji. Dla wykonawcy korzystne jest pozyskiwanie jak najwcześniej jak największych środków pieniężnych od klienta. Wykonawca oczekuje aby klient, choćby częściowo, sfinansował prace projektowe przed ukończenie projektu, przez wykonywanie

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 211 płatności progresywnych. Analizowane są różne odele progresywnych płatności klienta (Leyan, Vanhoucke, 2016, p. 139-153; Mika i in., 2005, p. 639-668; Ulusoy i in., 2001, p. 237-261): płatności przypisywane są zdarzenio (odel PEO Payents at Event Occurences) z płatnościai etapowyi lub/i za zrealizowane czynności (odel PAC Payents at Activities Copletion ties), płatności występują w stałych, określonych z góry odstępach czasowych, z ustaloną (odel ETI Equal Tie Intervals) lub nieznaną (odel PP Progress Payents) liczbą płatności. Przy ustalaniu rozliczeń projektu, zarówno klient jak i wykonawca, ogą być skłonni aksyalizować własny zysk (Szerekovsky, 2005, p. 629-640). W badaniach rozważane są probley aksyalizacji NPV z perspektywy klienta (Dayanand, Padan, 2001, p. 1654-1667) lub wykonawcy (Leyan, Vanhoucke, 2016, p. 139-153). Szukane też są rozwiązania koproisowe, satysfakcjonujące obie strony (Bahrai, Moslehi, 2013, p. 497-511; He i in., 2014, p. 203-220; Kavlak i in., 2009, p. 93-112; Ulusoy, Cebelli, 2000, p. 262-278). Opracowywanie zasad rozliczeń iędzy kliente i wykonawcą w praktyce oże odbywać się w drodze negocjacji. Teoretyczne odele PPS ogą być wykorzystane w rzeczywistych projektach jako narzędzia wspoagania decyzji. Przy planowaniu płatności projektowych przydatne ogą być odele CCPSP, w których kapitał jest jedny z ograniczonych, nieodnawialnych zasobów, uwzględniany przy tworzeniu haronograu (Leyan, Vanhoucke, 2017, p. 757-776). Wielkość dostępnego kapitału zienia się w czasie w zależności od przepływów pieniężnych pojawiających się w związku z realizowanyi czynnościai. Ograniczoność kapitału sprowadza się do tego, że w każdej chwili trwania projektu wydatki i wpływy wykonawcy uszą się bilansować. Przyjuje się, że przed rozpoczęcie prac projektowych wykonawca dysponuje ograniczoną wielkością kapitału, która usi u wystarczyć do realizacji czynności projektowych, z któryi związane są wydatki (np. na zakup ateriałów, ich transport, koszty użytkowania zasobów). Kapitał w trakcie projektu jest powiększany dzięki wpływo z tytułu płatności klienta za zrealizowane czynności (etapy prac). Czynności ogą być wykonywane tylko wtedy, gdy są dostępne środki finansowe na ich realizację. Pozio dostępnego kapitału jest wielkością dynaiczną zależną od występujących przepływów pieniężnych, ustalanych dla danego haronograu. W badaniach rozważany jest odel CCPSP (Sith-Daniels i in., 1996, p. 241-254), w który kapitał jest jedyny ograniczony zasobe. Częściej podejowane jest zagadnienie, w który ograniczenia kapitałowe występują raze z ograniczeniai zasobowyi lub czasowyi. Wprowadzane są ograniczenia kapitałowe i czasowe TCCPSP (Tie & Capital PSP) (Doersch, Patterson, 1977, p. 882-889) dla odelu haronograowania projektu bez ograniczeń zasobowych z aksyalizacją NPV (ax-npv) (Russell, 1970,

212 M. Kliek p. 357-373). Ograniczenia czasowe sprowadzają się do określenia nieprzekraczalnego terinu realizacji projektu. W przykładowy odelu z ograniczonyi zasobai i kapitałe RCCPSP (ang. Resource & Capital Constrained PSP) (Bianco i in., 1998, p. 260-271) każda czynność projektowa oże być realizowana na różne sposoby, przy różnych kosztach realizacji. Dostępny kapitał stanowi ograniczenie przy wyborze sposobu realizacji czynności, nie są rozważane wpływy podczas trwania projektu. Ograniczenia zasobowe sprowadzają się do założenia, że czynności korzystające z tego saego typu zasobów nie ogą być realizowane równocześnie. Przyjętą funkcją celu jest inializacja czasu trwania projektu. Proble haronograowania projektu z ograniczonyi zasobai i kapitałe z aksyalizacją zdyskontowanych przepływów pieniężnych CRCPSPDC (ang. Capital- and Resource-Constrained Project Scheduling Proble with Discounted Cash flows) (Leyan, Vanhoucke, 2017, p. 757-776) jest rozszerzenie odelu CCPSP przez dodanie ograniczeń związanych z odnawialnyi zasobai wykorzystywanyi przy wykonywaniu projektu lub odelu RCPSPDC przez dodanie ograniczeń kapitałowych. Model CCRCPSPDC jest analizowany dla probleu z przypisanyi czynnościo ujenyi i dodatnii przepływai pieniężnyi z optyalizacją NPV. Szukany jest taki haronogra, dla którego sua zdyskontowanych przepływów pieniężnych jest aksyalna. W każdej chwili t podczas trwania projektu pozio kapitału nie oże być ujeny. Pozio kapitału jest wyznaczany jako sua kapitału początkowego i dodatnich przepływów pieniężnych (wpływy cash inflows) poniejszony o ujene przepływy pieniężne (wydatki cash outflows). W rozważanych odelach CRCPSPDC przepływy pieniężne są przypisywane zdarzenio związany z czynnościai projektowyi, tj. rozpoczęcie i/lub zakończenie czynności. Wpływy, powiększające dostępny kapitał, są osiągane w oentach zakończenia czynności. Dla wydatków, zniejszających dostępny kapitał, rozważane są różne teriny i kwoty ich realizacji: całkowity przepływ pieniężny związany z czynnością jest ponoszony w oencie jej rozpoczęcia lub po jej zakończeniu dostępny kapitał jest zniejszany jednokrotnie, w każdej chwili trwania czynności wykonywane są wydatki w wysokości proporcjonalnej do stopnia jej zrealizowania (Leyan, Vanhoucke, 2017, p. 757-776), dostępny kapitał jest zniejszany w każdej jednostce czasu podczas realizacji czynności. W tej pracy rozważany jest odel PPS, w który płatności klienta są wykonywane za zrealizowane etapy projektu (określone grupy czynności, kaienie ilowe) w oencie ich zakończenia (ilestones payents). Proponowane jest ustalanie tych płatności na podstawie kosztów realizacji zadań, w taki sposób aby zapewnić pełne finansowanie prac projektowych, dostarczyć kapitał do realizacji całego projektu. Kaienie ilowe są istotny eleente planowania prac w rzeczywistych projektach, io krytycznej oceny ich wprowadzania w popularnej aktualnie etodzie planowania

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 213 projektów CCPM (ang. Critical Chain Project Manageent) (Goldratt, 1997). Kaienie ilowe ułatwiają ocenę stopnia realizacji prac projektowych. Mogą być wykorzystywane przy opracowywaniu rozliczeń finansowych projektu iędzy kliente a wykonawcą. Są przypisywane zdarzenio taki jak zakończenie pojedynczej czynności lub, tak jak w tej pracy, zakończenie etapu złożonego z określonej grupy czynności (Kliek, Łebkowski, 2015). W badaniach z zakresu RCPSP stosowane są różne odele optyalizacyjne ze zdefiniowanyi płatnościai etapowyi.in. dla Multi-Mode RCPSP (He i in., 2012, p. 605-613), Discrete Tie/Cost Trade-off Proble (Ranjbar, 2011, p. 181-186) itp. Zgodnie z wiedzą autora, rozważany odel, nie był analizowany w innych pracach badawczych. W pracy analizowany jest proble haronograowania wieloetapowego projektu z ograniczonyi zasobai z aksyalizacją zdyskontowanych przepływów pieniężnych z perspektywy wykonawcy z uwzględnienie interesów klienta. Jako ujene przepływy finansowe rozpatrywane są wydatki wykonawcy związane z realizacją czynności. Dodatnii przepływai pieniężnyi są etapowe płatności klienta. Rozliczenia finansowe iędzy kliente a wykonawcą są opracowywane na podstawie wstępnie przyjętego haronograu bazowego. Kwoty oraz teriny wykonania etapowych płatności, kalkulowane są tak aby zapewnić środki finansowe na wykonywanie czynności projektowych. Wykonawca szuka takiego haronograu prac i płatności klienta, w który aksyalizowana jest z jego perspektywy sua zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Haronogra płatności usi być zaakceptowany przez klienta, czyli powinien z perspektywy klienta zwiększać NPV klienta, przy założony proficie klienta z ukończenia projektu. Klient wykonuje płatności etapowe w wysokościach równych niezbędny wydatko wykonawcy ponoszony w dany etapie projektu. Wykonawca nie oże realizować czynności, jeśli nie otrzya środków finansowych od klienta (występują ograniczenia kapitałowe). Cele pracy jest przedstawienie odelu planowania etapowych płatności projektowych uwzględniającego koszty realizowanych czynności i zaproponowanie etody generowania rozwiązań dedykowanych dla tego odelu tzn. techniki potrójnej justyfikacji uwzględniającej etapy projektu. W kolejnych rozdziałach przedstawione są następujące zagadnienia: w rozdziale 2 sforułowany jest analizowany proble, w rozdziale 3 opisana jest proponowana etoda rozwiązania rozważanego zagadnienia tzn. technika potrójnej justyfikacji uwzględniająca uowne etapy projektu, w rozdziale 4 zaprezentowany jest przykład ilustrujący sposób definiowania probleu i etodę rozwiązania, na koniec przedstawione jest podsuowanie i wskazane są kierunki dalszych prac.

214 M. Kliek 2. Sforułowanie probleu Projekt to unikalny zbiór współzależnych czynności (zadań), realizowanych za poocą dostępnych zasobów (ateriałów, pracowników, aszyn). W rozważany klasyczny probleie haronograowania projektu czynności są niepodzielne, o jedny sposobie realizacji (ang. nonpreeptive single-ode RCPSP). Projekt przedstawiany jest w reprezentacji AON (ang. Activity-On-Node) jako graf skierowany G(V, E), w który V to zbiór węzłów odpowiadających czynnościo, a E to zbiór łuków odpowiadających zależnościo kolejnościowy iędzy czynnościai. Funkcje celu wykonawcy (1) i klienta (2): M MT STi aksyalizacja NPV ( CFM e ) ( CFA e ), wyk i 0 i1 N (1) M STN1 MT aksyalizacja NPVkl B e ( CFM e ), (2) przy następujących ograniczeniach i zależnościach: gdzie: N i M 0 STi di STj ( i, j) E, (3) rik Rk, t 0,... STN 1, k 1,.., K, (4) ij () t MT, 1,...,, MD M (5) CFAi CFM, t 0,1,..., STN, 1 (6) iq N( t) Q M ( t) CFM 0 i: MT STi MT 1 CFA, (7) i: STi MT 1 i CFM CFAi 1,..., M 1, (8) liczba czynności, M 1 CFM MP CFM, (9) M 0 indeks czynności, i = 1,, N, dodatkowo czynności pozorne 0 i N+1, reprezentujące węzeł początkowy i końcowy w grafie G(V, E), liczba uownych etapów projektu, indeks etapu projektu, = 0,, M, K liczba typów zasobów, k indeks typu zasobu, k = 1,, K, di czas trwania czynności i, α stopa dyskontowa, STi planowany (w bieżący haronograie) czas rozpoczęcia czynności i, STN+1 czas rozpoczęcia czynności pozornej końcowej w grafie G(V, E) równy czasowi zakończenia projektu,

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 215 Rk liczba dostępnych zasobów typu k w każdej chwili t = 0, 1,, STN+1, rik liczba wykorzystywanych zasobów typu k przy realizacji czynności i, J(t) zbiór czynności realizowanych w przedziale czasu [t 1, t], QN(t) zbiór czynności rozpoczętych w przedziale czasu [0, t], QM(t) zbiór etapów projektu zakończonych w przedziale czasu [0, t], CFAi wydatki wykonawcy ponoszone przy realizacji czynności i w oencie jej rozpoczynania, CFM uowne płatności klienta ustalone na realizację +1 etapu projektu wyznaczone dla bieżącego haronograu (wpływy z perspektywy wykonawcy), MD uowny terin zakończenia etapu, MA zbiór czynności realizowanych w etapie z określony uowny terine ich zakończenia równy MD, MT planowany (w bieżący haronograie) terin zakończenia etapu, MT ax( ST d ), ima i i MP sua wszystkich płatności klienta, stała kwota przyjęta w rozliczeniach, B korzyść finansowa klienta z ukończenia projektu. Płatności klienta CFM (dodatnie przepływy pieniężne z perspektywy wykonawcy, ujene przepływy pieniężne z perspektywy klienta) wykonywane są dokładnie po ukończeniu uownych etapów w terinie MT. Uowne etapy są definiowane jako zbiory zadań MA do wykonania, które ogą być ustalone na podstawie wstępnego haronograu prac projektowych. Przyjęto, że wszystkie wydatki wykonawcy CFAi (ujene przepływy pieniężne z perspektywy wykonawcy) są powiązane z wykonywanie czynności i są wykonywane dokładnie w terinie ich planowanego rozpoczęcia (zakup niezbędnych ateriałów, ich transport, zaangażowanie zasobów itp.). Między czynnościai występują zależności kolejnościowe typu koniec-początek bez zwłoki (ang. finish-start zero-lag precedence), w których następnik oże się rozpocząć bezpośrednio po zakończeniu poprzednika (3). Czynności realizowane są przy wykorzystaniu ograniczonych, odnawialnych zasobów, których liczba jest stała w czasie (4). Czas ukończenia etapu projektu w planowany haronograie MT nie oże przekraczać uownego terinu realizacji MD (5). W każdej chwili t podczas realizacji haronograu pozio kapitału jest nieujeny sua wydatków jest niejsza lub równa suie płatności klienta (6). Łączna kwota płatności klienta jest ustalona dla projektu i wynosi MP (9), natoiast płatności etapowe CFM podlegają optyalizacji podczas haronograowania. Kwota pierwszej płatności klienta CFM0,wykonywanej w t = 0, jest wyznaczana jako sua kosztów realizacji czynności CFAi rozpoczynanych przed czase zakończenia pierwszego etapu projektu w aktualny haronograie (7). Kolejne płatności klienta CFM dla = 1,, M-1 są wykonywane w terinach MT+1 i kalkulowane na podstawie kosztów realizacji czynności CFAi

216 M. Kliek rozpoczynanych w przedziale czasu (MT+1, MT+1> w aktualny haronograie (8). Kwota ostatniej płatności, realizowanej bezpośrednio po ukończeniu projektu, jest równa różnicy łącznej kwoty płatności klienta MP i suy wszystkich wcześniejszych płatności (9). Aby wykonawcy opłacało się angażować w projekt łączna sua zdyskontowanych płatności klienta CFM powinna być wyższa niż łączne zdyskontowane koszty wykonywania zadań (NPVwyk > 0) (1). Klient zdecyduje się na realizację projektu, gdy jego zdyskontowany benefit z ukończenia prac B przewyższa łączną suę jego zdyskontowanych płatności (NPVkl > 0) (2). Przy generowaniu planu płatności ożliwe są ziany w kwotach płatności klienta CFM na rzecz wykonawcy. Klient wykonuje etapowe płatności w kwotach niezbędnych do realizacji czynności, które są planowane do rozpoczęcia przed wykonanie kolejnej płatności (nie tylko te wykonywane w dany etapie). Szukane jest takie rozwiązanie aksyalizujące NPVwyk projektu z perspektywy wykonawcy, które będzie satysfakcjonowało klienta. Przyjęto, że akceptowalne dla klienta jest takie rozwiązanie, w który jego NPVkl będzie nie niższe niż osiągane dla haronograu bazowego, który jest wykorzystywany przy definiowaniu wstępnych rozliczeń iędzy kliente i wykonawcą. Sposób ustalania rozliczeń finansowych dla przykładowego projektu jest zilustrowany w rozdziale 4. 3. Metoda rozwiązania probleu Przy tworzeniu haronograów dla RCPSP rozwiązania przedstawiane są w reprezentacji pośredniej, najczęściej jako lista czynności tzn. perutacja nuerów czynności uwzględniająca relacje kolejnościowe. Lista czynności jest przekształcana w realizowalne uszeregowanie uwzględniający ograniczenia kolejnościowe i zasobowe przy użyciu procedur SGS (ang. Schedule Generation Schee). Wyznaczany jest wektor czasów rozpoczęcia zadań, dla którego ożna wyznaczyć funkcje celu np. czas trwania projektu lub suę zdyskontowanych przepływów pieniężnych itp. W tej pracy do generowania rozwiązania stosowana jest procedura szeregowa SGS (ang. Serial SGS) (Kolisch, 1996, p. 320-333). Haronogra wygenerowany przy użyciu SGS ożna poprawić przez jak najwcześniejsze rozpoczynanie czynności (etapów) z przypisanyi dodatnii przepływai pieniężnyi i jak najpóźniejsze rozpoczynanie zadań (etapów) z przypisanyi ujenyi przepływai pieniężnyi. Analizowane są różne podejścia do generowania rozwiązań zwiększających NPV projektu. Vanhoucke (2006, p. 1-23) przedstawia przegląd stosowanych algorytów. Uszeregowania ogą być tworzone przy wykorzystaniu dwukierunkowej procedury SGS (Selle i Zierann, 2003, p. 130-148): w każdej iteracji wszystkie dostępne zadania z przypisanyi dodatnii przepływai pieniężnyi są planowane najwcześniej jak to ożliwe (haronograowanie w przód), natoiast wszystkie dostępne zadania z przypisanyi ujenyi przepływai pieniężnyi są planowane najpóźniej jak to ożliwe (haronograo-

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 217 wanie wstecz) uwzględniając ograniczenia kolejnościowe i zasobowe. Poprawa haronograów oże odbywać się za poocą wieloprzebiegowych procedur przesunięć w lewo (w prawo) czynności z przypisanyi dodatnii (ujenyi) przepływai pieniężnyi uwzględniając czas rozpoczęcia (zakończenia) projektu. Dobre rozwiązania są znajdowane dla rekurencyjnej techniki FBI (ang. Forward-Backward Iproveent) (Vanhoucke i in., 2001, p. 1131-1121), która jest zbliżona do justyfikacji. Opracowanie procedur tworzących rozwiązania odpowiednie dla zbliżonego probleu aksyalizacji zdyskontowanych przepływów pieniężnych wieloetapowego projektu jest przediote wcześniejszych badań (Kliek, 2017, s. 137-152; Kliek, Łebkowski, 2015, p. 613-622; Kliek, Łebkowski, 2017, p. 899-908). Badania wskazują, że najlepsze haronogray są tworzone przy użyciu haronograowania wstecznego z optyalizacją czasów wykonania uownych etapów projektu (Kliek, Łebkowski, 2017, p. 899-908) i/lub technik justyfikacji uwzględniających kaienie ilowe (Kliek, 2017, s. 137-152). W tej pracy proponowane jest użycie technik justyfikacji dostosowanych do rozważanego probleu. Justyfikacja haronograów jest skuteczna dla różnych odeli RCPSP (Valls i in., 2005, p. 375-386). Stosowane są, najczęściej łączone, prawa justyfikacja RJ (Right Justification) oraz lewa justyfikacja LJ (Left Justification). Przy operacji RJ (LJ) dla danej czynności ustalany jest jej najpóźniejszy (najwcześniejszy) czas rozpoczęcia, przy uwzględnieniu aktualnego haronograu oraz ograniczeń kolejnościowych i zasobowych. Kolejne czynności do RJ (LJ) ustalane są w porządku alejących (rosnących) czasów zakończenia (rozpoczęcia) w odyfikowany haronograie (strategia justification by extrees) (Valls i in., 2006, p. 205-223). Dla analizowanego probleu technika LJ nie wyaga odyfikacji, natoiast technika RJ, przy przesuwaniu w prawo czynności uwzględnia uowne MD lub aktualne czasy realizacji etapów projektu w odyfikowany haronograie. Przy generowaniu rozwiązań RJ i LJ są łączone. Dotychczasowe badania wskazują, że dla probleu aksyalizacji NPV wieloetapowego projektu efektywne jest użycie potrójnej justyfikacji RJ+LJ+RJ dla haronograów w przód i podwójnej justyfikacji LJ+RJ dla haronograów wstecznych. 4. Przykład ilustracyjny W celu zilustrowania rozważanego odelu optyalizacyjnego i proponowanej etody rozwiązania przeanalizujy przykładowy projekt (rys. 1).

218 M. Kliek Rysunek 1. Przykładowy projekt przedstawiony w reprezentacji AON. Źródło: opracowanie własne. Projekt składa się z 10 czynności, w ty dwóch czynności pozornych będących wierzchołkai początkowy (czynność 0) i końcowy (czynność 9) w grafie G(V, E). Jest wykonywany przy użyciu jednego typu odnawialnych zasobów o dostępności równej 10. Stopa dyskontowa wynosi α = 0.01. Łączna kwota płatności klienta MP = 150. Załóży, że wstępny haronogra (bazowy ang. baseline schedule) wykorzystywany do ustalenia etapowych wygenerowany jest przy użyciu szeregowej procedury SGS, dla listy czynności { 1, 2, 5, 3, 4, 6, 8, 7} (rys. 2). Rysunek 2. Haronogra wstępny. Źródło: opracowanie własne. Na podstawie haronograu wstępnego ustalane są etapowe rozliczenia. Przyjijy, że zdefiniowane są trzy uowne etapy rozliczeń z terinai ukończenia prac MD1 = 3, MD2 = 7, MD3 = 11 (w zodyfikowany haronograie teriny te nie ogą być przekroczone). Zbiory czynności do zrealizowania w poszczególnych etapach zawierają czynności zakończone w tych etapach w haronograie bazowy: MA1 = {1, 2}, MA2 = {3, 4, 5}, MA3 = {6, 7, 8} na wykresie Gantt a (rys. 2) w tych saych kolorach prezentowane są czynności z tego saego etapu projektu. Natoiast płatności etapowe ożna wyznaczyć na podstawie kosztów rozpoczynanych czynności w poszczególnych etapach. Pierwsza płatność wykonywana jest przed rozpoczęcie projektu w t = 0 w wysokości: CFM 0 CFA1 CFA2 CFA5 24.

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 219 Druga płatność występuje po ukończeniu pierwszego etapu w t = MD1 =4 w kwocie: CFM1 CFA3 CFA4 CFA6 CFA7 43. Trzecia płatność jest realizowania po ukończeniu drugiego etapu w t = MD2 = 8 w kwocie: CFM 2 CFA8 12. Ostatnia, czwarta płatność występuje po ukończeniu projektu w t = MD3 =12 w kwocie: CFM MP CFM CFM CFM 150 79 71. 3 0 1 2 Kalkulacja wartości NPV z perspektywy klienta oraz wykonawcy: N i1 M 0 ST 8 6 10 10 10 15 8 12 i ( CFAi e ) 76.453, 0.01 0 0.01 2 0.013 0.015 0.01 0 0.013 0.015 0.01 7 e e e e e e e e MT 24 43 12 71 ( CFM e ) 140.522, 0.01 0 0.013 0.01 7 0.0111 e e e e NPV 140.522 76.453 64.069, NPV wyk kl B 140.522. 0.0111 e Haronogra jest tworzony przez wykonawcę, który oże nie znać benefitu klienta B z realizacji projektu (podobnie jak przyjęto w obliczeniach w tej pracy). Wykonawca oże założyć, że zdyskontowany benefit z ukończenia prac B przewyższa łączną suę jego zdyskontowanych płatności (NPVkl > 0). W haronograie z rys. 2 zadanie 7 oże być rozpoczęte w etapie 3, bez ziany czasu realizacji etapów projektu. To poprawi NPVkl, który będzie bardziej skłonny zaakceptować plan swoich płatności. Haronogra z poniejszonyi płatnościai w wyniku przesuniętego rozpoczynania czynności ożna osiągnąć przez zastosowanie prawej justyfikacji (RJ). Dla analizowanego probleu RJ powinna uwzględniać teriny realizacji uownych etapów projektu. Dla odyfikowanego haronograu z rys. 2 do RJ wybierane są kolejno czynności o aksyalny czasie zakończenia: czynności 8, 7, 6, 4, 5, 3, 2, 1. Dla każdej justyfikowanej czynności ustalany jest czas rozpoczęcia najpóźniejszy jak to ożliwe, przy uwzględnieniu ograniczeń kolejnościowych i zasobowych oraz aktualnego czasu zakończenia etapu projektu, do którego ta czynność przynależy (MT1 = MD1 = 3, MT2 = MD2 = 7, MT3 = MD3 = 11). W wyniku RJ powstaje haronogra zaprezentowany na rys. 3.

220 M. Kliek Rysunek 3. Haronogra wstępny przekształcony przy użyciu RJ. Źródło: Opracowanie własne. Dla haronograu z rys. 3 wartości NPV z perspektywy klienta oraz wykonawcy: CFM 24, CFM CFA CFA CFA 35, CFM CFA CFA 20, CFM 71. N i1 M 0 0 1 3 4 6 2 7 8 3 ST 8 6 10 10 10 15 8 12 i ( CFAi e ) 75.674, 0.01 0 0.01 2 0.013 0.015 0.01 2 0.01 6 0.01 7 0.01 7 e e e e e e e e MT 24 35 20 71 ( CFM e ) 140.218, 0.01 0 0.013 0.01 7 0.0111 e e e e NPV 140.218 75.674 64.543, NPV wyk kl B 140.218. 0.0111 e Dla haronograu z rys. 3 zarówno NPVwyk jak i NPVkl ają wyższe wartości niż dla haronograu z rys. 2. Przyjijy, że rozwiązanie z rys. 3 jest bazowy haronograe, który jest zaakceptowany przez klienta i wykonawcę. Wykonawca dokonuje zian w haronograie bazowy, w taki sposób aby zaksyalizować suę przepływów pieniężnych ze swojej perspektywy NPVwyk przy uwzględnieniu interesów klienta (NPVkl nie oże być niższe niż w haronograie bazowy). Poszukiwany jest haronogra, w który będą opóźnione wydatki (ujene przepływy pieniężne) ponoszone w oencie rozpoczynania zadań (niższa zdyskontowana ich wartość) oraz przyspieszone płatności klienta za etapy projektu (dodatnie przepływy pieniężne) pozyskiwane w oencie ich zakończenia (wyższa zdyskontowana ich wartość). Haronogra bazowy z rys.3, który powstał w wyniku RJ, oże być poprawiony przez zastosowanie podwójnej justyfikacji LJ+RJ. Na początku wykonywana jest LJ, do której wybierane są kolejne czynności o inialny czasie rozpoczęcia w haronograie bazowy czynności 1, 2, 5, 3, 4, 6, 7, 8. Dla każdej justyfikowanej czynności ustalany jest czas rozpoczęcia najwcześniejszy jak to ożliwe, przy uwzględnieniu ograniczeń kolejnościowych i zasobowych. W wyniku LJ powstaje haronogra zaprezentowany na rys. 4.

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 221 Rysunek 4. Haronogra bazowy przekształcony przy użyciu LJ. Źródło: opracowanie własne. Dla haronograu z rys. 4 płatności etapowe są takie jak dla haronograu z rys. 3, ale są wykonywane we wcześniejszych terinach zakończenia etapów MT1 = 2, MT2 = 6, MT3 = 10, co zwiększa ich NPV: M 0 MT 24 35 20 71 ( CFM e ) 141.386. 0.01 0 0.01 2 0.01 6 0.0110 e e e e Wydatki wykonawcy ają wyższą zdyskontowaną wartość niż dla haronograu bazowego ze względu na wcześniejszą ich realizację: N i1 ST 8 6 10 10 10 15 8 12 i ( CFAi e ) 76.849. 0.01 0 0.01 0 0.01 2 0.01 4 0.011 0.01 2 0.01 6 0.01 6 e e e e e e e e Wartość NPV z perspektywy wykonawcy: NPV 141.386 76.849 64.537. wyk Haronogra z rys. 4 nie oże być zaakceptowany przez wykonawcę, ponieważ dla tego uszeregowania NPVwyk jest niższe niż dla haronograu bazowego. Poprawę NPV ożna uzyskać przez zastosowanie RJ uwzględniającej aktualne teriny realizacji uownych etapów projektu (MT1 = 2, MT2 = 6, MT3 = 10). Do RJ są wybieranie czynności o aksyalny czasie zakończenia w uszeregowaniu z rys. 4 kolejno czynności 8, 7, 6, 5, 4, 3, 1, 2. DW wyniku RJ powstaje haronogra zaprezentowany na rys. 5. Rysunek 5. Haronogra z rys. 4 przekształcony przy użyciu RJ. Źródło: opracowanie własne.

222 M. Kliek Dla haronograu z rys. 5 w porównaniu z haronogra z rys. 4 występuje opóźniony przepływ pieniężny związany z czynnością 6 co zniejszyło zdyskontowaną suę wydatków: N i1 ST 8 6 10 10 10 15 8 12 i ( CFAi e ) 76.414. 0.01 0 0.01 0 0.01 2 0.01 4 0.011 0.015 0.01 6 0.01 6 e e e e e e e e Wartości NPV z perspektywy klienta oraz wykonawcy: NPV 141.386 76.414 64.972, NPV wyk kl B 141.386. 0.0110 e Dla haronograu z rys. 5 NPVwyk = 64.972 a wyższą wartość niż dla haronograu bazowego NPVwyk = 64.543. To rozwiązanie jest preferowane przez wykonawcę. Aby klient je zaakceptował NPVkl usi być nie niższe niż w haronograie bazowy, czyli przy założeniu nieznanej wartości benefitu klienta z ukończenia projektu B: B e B 141.386 140.218 B 129.731. e 0.0110 0.0111 Korzyści finansowe B z ukończenia projektu uszą być wyższe niż 129.731, aby haronogra z rys. 5 był satysfakcjonujący dla klienta. Można założyć, że wartość NPVkl dla zaakceptowanego przez klienta haronograu bazowego powinna być większą od 0: B 140.218 0 B 156.522. 0.0111 e Z tego wynika, że jeśli haronogra bazowy był akceptowalny dla klienta, to benefit z projektu B 156.522, czyli haronogra z rys. 5 jest satysfakcjonujący dla klienta, ponieważ a wyższą wartość NPVkl niż haronogra bazowy (co zachodzi dla B 129.731). Zate jest to rozwiązanie korzystne zarówno dla wykonawcy jak i dla klienta. Wraz ze spadkie poziou stopy dyskontowej aleją korzyści finansowe z optyalizacji haronograu zarówno z perspektywy klienta jak i wykonawcy co jest pokazane w tabeli 1 (NPVkl jest kalkulowane przy beneficie B taki, że NPVkl = 0 dla haronograu bazowego). Tabela 1. Wartości NPVkl i NPVwyk przy różnych stopach dyskontowych Haronogra α = 0.05, B = 189.240 α = 0.01, B = 156.522 α = 0.005, B = 153.189 α = 0.001, B = 150.627 NPVwyk NPVkl NPVwyk NPVkl NPVwyk NPVkl NPVwyk NPVkl Rys. 2 43.009-1.248 64.069-0.304 67.437-0.156 70.271-0.032 Rys. 3 (bazowy) 45.103 0 64.543 0 67.678 0 70.320 0 Rys. 4 44.412 1.231 64.537 0.241 67.686 0.120 70.323 0.024 Rys. 5 46.303 1.231 6.972 0.241 67.907 0.120 70.368 0.024 Źródło: opracowanie własne.

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 223 Podsuowanie W tej pracy rozważany jest odel haronograowania płatności projektowych z kryteriu aksyalizacji zdyskontowanych przepływów pieniężnych z perspektywy wykonawcy, przy uwzględnieniu interesów klienta. Jako przepływy pieniężne uwzględniane są płatności klienta wykonywane po zakończeniu uownych etapów prac oraz wydatki wykonawcy ponoszone z tytułu wykonywania czynności. Proponowane jest ustalanie płatności etapowych klienta na podstawie kosztów realizacji zadań, w taki sposób aby dostarczać wykonawcy niezbędny kapitał do wykonywania wszystkich czynności projektowych. Dla probleu opracowana jest etoda rozwiązania wykorzystująca technikę justyfikacji uwzględniającą uowne etapy projektu. Zagadnienie i dedykowana technika generowania rozwiązań są zilustrowane dla przykładowego projektu. Podjęta teatyka jest aktualna. Proponowany syste etapowych rozliczeń prac projektowych oże znaleźć zastosowanie w praktyce. Jest korzystny zarówno dla klienta, jak i wykonawcy. W dalszych pracach opracowane będą zadania testowe dla opisanego odelu optyalizacyjnego, które posłużą do analizy efektywności różnych etod generowania rozwiązań, tj. zaprezentowana technika justyfikacji, haronograowanie wsteczne z optyalizacją czasów zakończenia etapów projektu itp. Bibliografia 1. Bahrai, F., Moslehi, G. (2013). Study of payent scheduling proble to achieve clientcontractor agreeent. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 64, 497-511. 2. Bianco, L., Dell'Olo, P., Speranza, M.G. (1998). Heuristics for ultiode scheduling probles with dedicated resources. European Journal of Operational Research, 107, 260-271. 3. Dayanand, N., Padan, R. (1997). On odelling payents in projects. Journal of the Operational Research Society, 48, 906-918. 4. Dayanand, N., Padan, R. (2001). Project contracts and payent schedules: The client s proble. Manageent Science, 47, 1654-1667. 5. Doersch, R.H., Patterson, J.H. (1977). Scheduling a Project to Maxiize Its Present Value: A Zero-One Prograing Approach. Manageent Science, 23, 882-889. 6. Goldratt, E.M. (1997). Critical Chain. MA: North River Press, Great Barrington.

224 M. Kliek 7. Hartann, S., Briskorn, D. (2012). A Survey of Variants and Extensions of the Resource- Constrained Project Scheduling Proble. European Journal of Operational Research, 207, 1-14. 8. He, Z., Liu, R., Jia, T. (2012). Metaheuristics for ulti-ode capital-constrained project payent scheduling. European Journal of Operational Research, 223, 605-613. 9. He, Z., Wang, N., Li, P. (2014). Siulated annealing for financing cost distribution based project payent scheduling fro a joint perspective. Annals of Operations Research, 213, 203-220. 10. Herroelen, W., Reyck, B.D., Deeuleeester, E. (1997). Project network odels with discounted cash flows: A guided tour through recent developents. European Journal of Operational Research, 100, 97-121. 11. Kavlak, N., Ulusoy, G., Sivrikaya-Serifoglu, F., Birbil, I. (2009). Client-contractor bargaining on net present value in project scheduling with liited resource. Naval Research Logistics, 56, 93-112. 12. Kliek, M. (2017). Finansowa optyalizacja dla probleu haronograowania wieloetapowego projektu. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, s. Organizacja i Zarządzanie, 105, 137-152. 13. Kliek, M., Łebkowski, P. (2015). Haronograowanie projektu rozliczanego etapowo. Kraków: AGH, 109. 14. Kliek, M., Łebkowski, P. (2015). Heuristics for project scheduling with discounted cash flows optiisation. Bulletin of the Polish Acadey of Sciences: Technical Sciences, 63, 613-622. 15. Kliek, M., Łebkowski, P. (2017). Financial optiisation of the scheduling for the ultistage project. Bulletin of the Polish Acadey of Sciences: Technical Sciences, 66, 899-908. 16. Kolisch, R. (1996). Serial and parallel resource-constrained project scheduling ethods revisited: Theory and coputation. European Journal of Operational Research, 90, 320-333. 17. Leyan, P., Vanhoucke, M. (2015). A new scheduling technique for the resourceconstrained project scheduling proble with discounted cash flows. Coputers & Industrial Engineering, 53, 2771-2786. 18. Leyan, P., Vanhoucke, M. (2016). Payent odels and net present value optiization for resource-constrained project scheduling. Coputers & Industrial Engineering, 91, 139-153. 19. Leyan, P., Vanhoucke, M. (2017). Capital- and resource-constrained project scheduling with net present value optiization. European Journal of Operational Research, 256, 757-776. 20. Mika, M., Waligóra, G., Węglarz, J. (2005). Siulated annealing and tabu search for ultiode resource-constrained project scheduling with positive discounted cash flows and different payent odels. European Journal of Operational Research, 164, 639-668.

Proble haronograowania płatności dla wieloetapowego projektu 225 21. Ranjbar, M. (2011). An Optial NPV Project Scheduling with Fixed Work Content and Payent on Milestones. International Journal of Industrial Engineering & Production Research, 22, 181-186. 22. Russell A.H. (1970). Cash flows in networks. Manageent Science, 16, 357-373. 23. Selle, T., Zierann, J. (2003). A bidirectional heuristic for axiizing the net present value of large-scale projects subject to liited resources. Naval Research Logistics, 50, 130-148. 24. Sith-Daniels, D.E., Padan, R., Sith-Daniels, V.L. (1996). Heuristic scheduling of capital constrained projects. Journal of Operations Manageent, 14, 241-254. 25. Szerekovsky, J.G. (2005). The Ipact of Contractor Behavior on the Client s Payent- Scheduling Proble. Manageent Science, 51, 629-640. 26. Ulusoy, G., Cebelli, S. (2000). An equitable approach to the payent scheduling proble in project anageent. European Journal of Operational Research, 127, 262-278. 27. Ulusoy, G., Sivrikaya-Serifoglu, F., Sahin, S. (2001). Four Payent Models for the Multi- Mode Resource Constrained Project Scheduling Proble with Discounted Cash Flows. Annals of Operations Research, 102, 237-261. 28. Valls, V., Ballestin, F., Quintanilla, S. (2005). Justification and RCPSP: a technique that pays. European Journal of Operational Research, 165, 375-386. 29. Valls, V., Ballestin, F., Quintanilla, S. (2006). Justification technique generalisations. In J. Józefowska, J. Węglarz (eds.), Perspectives in Modern Project Scheduling. Berlin: Springer, 205-223. 30. Vanhoucke, M. (2006). A scatter search procedure for axiizing the net present value of a resource-constrained project with fixed activity cash flows. Working Paper, 417. Gent, 1-23. 31. Vanhoucke, M., Deeuleeester, E., Herroelen, W. (2001). On axiizing the net present value of a project under renewable resource constraints. Manageent Science, 47, 1131-1121.