PROCEDURY GENEROWANIA HARMONOGRAMU DLA PROBLEMU MAKSYMALIZACJI ZDYSKONTOWANYCH PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH DLA PROJEKTU ROZLICZANEGO ETAPOWO 1

Transkrypt

1 PROCEDURY GENEROWANIA HARMONOGRAMU DLA PROBLEMU MAKSYMALIZACJI ZDYSKONTOWANYCH PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH DLA PROJEKTU ROZLICZANEGO ETAPOWO 1 Marcin KLIMEK, Piotr ŁEBKOWSKI Streszczenie: Harmonogramowanie proektu z maksymalizacą zdyskontowanych przepływów pieniężnych est ważnym zagadnieniem często podemowanym w badaniach. W artykule sformułowane est zagadnienie optymalizaci przepływów pieniężnych dla proektu rozliczanego etapowo (z kamieniami milowymi). Przedstawione są znane schematy generowania uszeregowań dekodowania rozwiązań z listy priorytetowe lub z listy czynności, dla problemów harmonogramowania proektu z ograniczonymi zasobami. Zaproponowane są też nowe procedury dekoduące dostosowane do harmonogramowania proektu z kamieniami milowymi. Działanie opisanych procedur zilustrowane est dla przykładowego proektu. Słowa kluczowe: harmonogramowanie proektu z ograniczoną dostępnością zasobów, wartość bieżąca netto, zdyskontowane przepływy pieniężne, procedury generowania harmonogramu 1. Wprowadzenie Konstruowanie harmonogramu proektu z ograniczeniami kolenościowymi i zasobowymi est ważnym zagadnieniem praktycznym wykorzystywanym w wielu przedsiębiorstwach realizuących m.in. zlecenia konstrukcyne, budowlane, produkcę na zlecenie (ang. make-to-order). Badania z harmonogramowania proektu stosuą różne modele optymalizacyne w zależności od m. in. sposobu realizaci czynności, typu wykorzystywanych zasobów, rodzau zależności kolenościowych, stosowanego kryterium optymalizacynego. Dla problemu harmonogramowania proektu z ograniczonymi zasobami RCPSP (ang. Resource-Constrained Proect Scheduling Problem) ako kryteria optymalizacyne rozpatrywane są przede wszystkim: minimalizaca czasu trwania (ang. makespan), maksymalizaca NPV (NPV ang. Net Present Value) [9] sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych RCPSPDCF (ang. Resource-Constrained Proect Scheduling Problem with Discounted Cash Flows). Przegląd stosowanych modeli i stosowanych kryteriów optymalizacynych dla problemu harmonogramowania proektu można znaleźć w pracach przeglądowych [1-2,7,14]. Uwzględnianie zdyskontowanych przepływów pieniężnych est szczególnie istotne w przypadku proektów długotrwałych, w których zmiany wartości pieniądza są istotne. Do takich przedsięwzięć realizowanych w długim czasie należą proekty informatyczne, budowlane, konstrukcyne. 1 Praca finansowana przez Narodowe Centrum Nauki (nr proektu: N N ) 587

2 Wartość bieżąca netto NPV est naczęście spotykanym kryterium oceny uwzględniaącym aspekty ekonomiczne w harmonogramowaniu proektu. Opis podeść, modeli, algorytmów stosowanych dla problemu harmonogramowania proektu, uwzględniaących kryteria ekonomiczne i przepływy pieniężne, można znaleźć w pracach badawczych [1-3,7-8,14]. W ninieszym artykule przedstawiony est model harmonogramowania proektu rozliczanego etapowo (ze zdefiniowanymi kamieniami milowymi) z kryterium optymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Dla tego modelu zaproponowane są zmodyfikowane procedury generuące rozwiązanie uwzględniaące umowne etapy proektu. Działanie tych procedur zilustrowane est dla przykładowego proektu. 2. Sformułowanie problemu Proekt (przedsięwzięcie) to unikalny zbiór współzależnych czynności (zadań) wykonywany za pomocą dostępnych zasobów (pracowników, maszyn, materiałów) dla osiągnięcia określonych celów. Czynności są niepodzielne i istniee eden sposób ich realizaci (ang. single-mode RCPSP). Do reprezentaci problemu harmonogramowania proektu z ograniczonymi zasobami RCPSP wykorzystue się grafy. Proekt można przedstawić ako graf (sieć) z czynnościami na węzłach AON (ang. Activity On Node) lub z czynnościami na łukach AOA (ang. Activity On Arc). W te pracy proekt prezentowany est ako sieć AON, będąca acyklicznym, spónym, prostym grafem skierowanym G(V, E), gdzie V to zbiór węzłów (zadań, czynności) natomiast E to zbiór łuków opisuących relace kolenościowe między zadaniami. W zbiorze V est n+2 węzłów (zadań). Węzły są ponumerowane od 0 do n+1 przy zachowaniu porządku topologicznego, tzn. poprzedniki maą zawsze niższe numery od następników. Węzły 0 i n+1 nie są rzeczywistymi czynnościami, przedstawiaą edynie początek i koniec grafu G(V, E). Zadania powiązane są wzaemnymi relacami kolenościowymi typu koniec-początek bez zwłoki, tzn. zadanie (następnik) może się rozpocząć bezzwłocznie dopiero po zakończeniu zadanie go poprzedzaącego (patrz wzór 1). Do realizaci czynności wykorzystywane są ograniczone zasoby odnawialne, których liczba est stała w czasie. W każde chwili t liczba zaangażowanych zasobów w realizacę zadań nie może przekraczać liczby dostępnych zasobów wynoszących a k (patrz wzór 2) dla każdego z typu zasobów k = 1,, K (K to liczba typów zasobów). ST d ST ( i, ) E (1) i i r ik i A( t ) a k t, k gdzie: ST i czas rozpoczęcia zadania i, d i czas realizaci zadania i, r ik zapotrzebowanie czynności i na zasób typu k, A(t) zbiór zadań wykonywanych w przedziale czasu [t-1, t], a k liczba dostępnych zasobów typu k. (2) 588

3 Rozwiązaniem problemu RCPSP est znalezienie czasów rozpoczęcia czynności ST 1,, ST n+1 uwzględniaąc kryteria oceny takie ak: minimalizaca czasu trwania proektu (makespan), maksymalizaca sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych. W te pracy analizowany est problem optymalizaci przepływów pieniężnych dla autorskiego modelu z kamieniami milowymi, w którym proekt est rozliczany etapowo, ze zdefiniowanymi karami umownymi za nieterminową realizacę etapów proektu. W praktyce często występue etapowe rozliczanie proektu (z kamieniami milowymi), gdyż rozliczanie przedsięwzięć dopiero po ich zakończeniu nie zawsze est korzystne zarówno dla klienta (zleceniodawcy) ak i wykonawcy. Korzyści dla wykonawcy to możliwość uzyskiwania wcześnie środków finansowych (płatności od klienta) za wykonane prace, które mogą być przeznaczane na wykonywanie kolenych zadań, zakup niezbędnych materiałów itp. bez konieczności samofinansowania lub kredytowania działalności. Dla klienta nie est opłacalne wykonywanie wcześnieszych wpłat. Jego korzyści z etapowego rozliczania prac to przede wszystkim możliwość kontrolowania przebiegu proektu podczas ego trwania oraz dodatkowe zabezpieczenie ego interesów przez wprowadzenie systemu kar umownych. Kary umowne za opóźnienia w realizaci etapu proektu to kwoty uszczuplaące płatności klienta za ten etap. Kamienie milowe (i terminy ich realizaci) ustalane są przez zleceniodawcę i wykonawcę w drodze negocaci przed rozpoczęciem proektu i powinny być uwzględnione przy ego planowaniu. Etapy proektu mogą być definiowane [4] przez określenie nieprzekraczalnych terminów zakończenia wszystkich zadań δ i, terminów wynikaących z przynależności zadania do danego etapu proektu (patrz wzór 3). Dany kamień milowy tworzą czynności o identycznym terminie realizaci. Jeśli M to zbiór zadań bezpośrednio związanych z -tym etapem proektu, to zbiór ten zawiera wszystkie zadania o takim samym nieprzekraczalnym terminie zakończenia tm (patrz wzór 4). M tm FTi i (3) i : tm, i V (4) i tm, 1, ) (5) 1 m gdzie: FT i czas zakończenia zadania i, δ i nieprzekraczalny termin zakończenia czynności i, m liczba umownych etapów proektu, tm nieprzekraczalny termin realizaci -tego etapu proektu. Przy przyęciu do harmonogramu prac proektowych tak zdefiniowanych kamieni milowych przedsięwzięcia (patrz wzory 3-5) możliwe est wprowadzenie etapowego finansowego rozliczania przedsięwzięcia. Proponowana est przez autorów funkca celu F (patrz wzór 6) uwzględniaąca etapy proektu, maksymalizuąca sumę zdyskontowanych przepływów pieniężnych NPV z punktu widzenia wykonawcy [5]. W analizowanym zagadnieniu wszystkie przepływy pieniężne związane z proektem są dyskontowane oddzielnie dla każdego okresu płatności, przy przyętym poziomie stopy dyskontowe α. Jeśli proekt est krótkotrwały i/lub zmiana wartości pieniądza w czasie est nieistotna, należy przyąć stopę dyskontową α =

4 MAX CFM n m CFA CFM i F (6) STi MT i 1 ( 1 α) 1 ( 1 α) PM CM max( MT tm,0) (7) gdzie: MT termin realizaci -tego etapu proektu w analizowanym uszeregowaniu, CFA i koszty (wydatki) wykonawcy związane z realizacą czynności i, CFM płatność klienta na rzecz wykonawcy za wykonanie -tego etapu proektu, PM umowna kwota płatności za wykonanie -tego etapu proektu. CM ednostkowy koszt opóźnień za nieterminowość wykonania -tego etapu proektu. Z punktu widzenia wykonawcy wpływy (cash inflows) to wpłaty klienta za realizacę etapów proektu CFM, natomiast wydatki (cash outflows) to płatności związane z wykonaniem czynności CFA i. Wydatki CFA i (t. koszty wykorzystania zasobów i materiałów w realizacę czynności i) ponosi wykonawca w terminie planowanego w harmonogramie bazowym czasu rozpoczęcia zadań. Są to np. środki finansowe przeznaczane np. na zakup materiałów i ich transport itp. potrzebnych do wykonywania dane czynności. Transfery gotówkowe CFM (patrz wzór 7) to wpłaty zleceniodawcy wykonywane na rzecz wykonawcy za realizacę -tego kamienia milowego. Klient płaci po wykonaniu etapu przedsięwzięcia umowne kwoty PM ustalone przed wykonaniem proektu. Ewentualne nieterminowe zakończenie kamienia milowego generue koszty (kary umowne wyliczane na podstawie ednostkowego kosztu opóźnień CM ), zmnieszaące przepływy pieniężne związane z tym kamieniem milowym. Dla uproszczenia obliczeń przyęto, że płatności CFM wykonywane są dokładnie w terminie zakończenia etapów przedsięwzięcia (ukończenia zadań z nim związanych). Nie est analizowany problem ewentualnych opóźnień w płatnościach zleceniodawcy. Opóźnienia te są niezależne od wykonawcy a rozważane est zagadnienie optymalizaci prac i przepływów pieniężnych zależnych od wykonawcy. 3. Reprezentace problemu. Procedury dekoduące. Rozwiązaniem problemu harmonogramowania, reprezentacą bezpośrednią problemu, est naczęście wektor czasów rozpoczęcia lub zakończenia zadań. Reprezentaca bezpośrednia nie est ednak często stosowana m.in. ze względu na małą skuteczność technik przeglądania przestrzeni potencalnych rozwiązań. W większości badań z harmonogramowania proektu z ograniczoną dostępnością zasobów stosowane są m. in. [7]: reprezentaca permutacyna rozwiązanie est tzw. listą czynności (ang. activity list) czyli ciągiem numerów kolenych zadań, w którym uwzględnione są ograniczenia kolenościowe tzn. zadanie nie może znadować się na liście czynności wcześnie niż ego poprzednik, reprezentaca reguł priorytetu rozwiązanie est listą priorytetową (ang. priority list), w które każde kolene czynności przypisana est reguła priorytetu, reprezentaca wektora opóźnień rozwiązanie to wektor opóźnień (ang. shift vector) poszczególnych zadań względem nawcześnieszego możliwego ich czasu 590

5 rozpoczęcia, te opóźnienia to przesunięcia czynności w czasie w prawo na wykresie Gantt a. Naskuteczniesze i naczęście wykorzystywane w algorytmach metaheurystycznych est kodowanie rozwiązania RCPSP za pomocą listy czynności w reprezentaci permutacyne. Dodatkowo dla te reprezentaci opracowanych est wiele efektywnych technik przeglądania sąsiedztwa [7]. Dla reprezentaci permutacyne (reprezentaci reguł priorytetu) konieczne est przekształcanie listy czynności (listy priorytetowe) w reprezentacę bezpośrednią, czyli w wektor czasów rozpoczęcia poszczególnych zadań. W tym celu stosowane są procedury przekształcaące (dekoduące) tzw. schematy generowania harmonogramu SGS (ang. Schedule Generation Scheme). Procedury SGS zamieniaą listę kolenych zadań w harmonogram w reprezentaci bezpośrednie uwzględniaący ograniczenia kolenościowe i zasobowe. Dla deterministycznego problemu harmonogramowania proektu z ograniczonymi zasobami opracowane są m.in. [6]: szeregowa procedura SGS (ang. serial SGS) schemat generowania uszeregowania określaący w kolenych krokach czas rozpoczęcia dla pierwszego nieuszeregowanego zadania z listy czynności, w nawcześnieszym możliwym terminie przy uwzględnieniu ograniczeń kolenościowych i zasobowych, równoległa procedura SGS (ang. parallel SGS) schemat generowania uszeregowania określaący czasy rozpoczęcia wszystkich nieuszeregowanych czynności (rozpatrywanych w koleności wynikaące z listy czynności) w kolenych momentach czasowych t, które mogą być rozpoczęte w momencie t przy uwzględnieniu ograniczeń kolenościowych i zasobowych. Procedury generowania harmonogramu (równoległa i szeregowa) tworzą uszeregowanie dopuszczalne, wykonalne (ang. feasible schedule), respektuące ograniczenia kolenościowe i zasobowe. Procedura szeregowa generue harmonogram aktywny (ang. active schedule), w którym czynności rozpoczynane są w nawcześnieszych możliwych terminach i nie ma możliwości ich wcześnieszego rozpoczęcia bez naruszenia ograniczeń kolenościowych i zasobowych. Procedura równoległa tworzy harmonogram bez opóźnień (ang. nondelay schedule) będący harmonogramem aktywnym, w którym zasoby, w dowolnym momencie czasu, są w pełni wykorzystane tzn. zasób nigdy nie pozostae wolny, gdy można go użyć do rozpoczęcia akieś czynności. Rozwiązanie wygenerowane z zastosowaniem równoległego lub szeregowego schematu SGS nie zawsze est odpowiednim dla zagadnienia maksymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych. W optymalnym rozwiązaniu dla tego zagadnienia zadania z przypisanymi dodatnimi przepływami pieniężnymi (ang. positive cash flow) są planowane ak nawcześnie a zadania z przypisanymi uemnymi przepływami pieniężnymi (ang. negative cash flow) ak napóźnie. W uszeregowaniach ustalonych procedurą dekoduącą równoległą lub szeregową zadania rozpoczynane są bez przesunięć prawostronnych (nie są opóźniane w czasie). W związku z tym często nie posiadaą nawyższego NPV dla proektów, w których zadaniom przypisane są uemne przepływy pieniężne (wydatki na zakup, dostawę materiałów itp.). Procedury dekoduące odpowiednie dla zagadnienia maksymalizaci NPV łączą techniki generowania harmonogramowania wstecz i wprzód [7]. Harmonogramowanie wprzód (ang. forward scheduling) to szeregowanie zadań w nawcześnieszych terminach, w których mogą się zacząć, przy spełnieniu ograniczeń kolenościowych i zasobowych. Harmonogramowanie wstecz (ang. backward scheduling) to szeregowanie zadań rozpoczynaąc od terminu pożądanego zakończenia przedsięwzięcia. Harmonogram wstecz 591

6 można tworzyć za pomocą przekształconych, wstecznych procedur SGS buduących rozwiązanie zaczynaąc od zadanego terminu realizaci proektu (od czynności kończących proekt). Tworzone est rozwiązanie z zadaniami rozpoczynanymi możliwie napóźnie zgodnie z zasadą ALAP (ang. As Late As Possible), przy dochowaniu zadanego terminu zakończenia proektu. Rozwiązanie ustalone podczas harmonogramowania wstecz może nie być odpowiednie dla proektów, w których zadaniom przypisane są dodatnie przepływy pieniężne i/lub dla których wcześniesze ukończenie niektórych zadań zwiększa NPV przedsięwzięcia. Dla problemu maksymalizaci NPV z zadaniami o uemnych i dodatnich przepływach pieniężnych zaproponowana est dwukierunkowa, wykorzystuąca zarówno harmonogramowanie wprzód, ak i wstecz, procedura generuąca harmonogram (ang. bidirectional SGS) [10]. Procedura ta działa następuąco: w kolenych iteracach wszystkie nieuszeregowane czynności, rozpatrywane w koleności ustalone na podstawie zastosowane reguły priorytetowe, które mogą być uż zaplanowane (wprzód lub wstecz) bez naruszenia ograniczeń (ang. eligible activities) wstawiane są w nawcześnieszym (harmonogramowanie wprzód) lub w napóźnieszym możliwym terminie rozpoczęcia (harmonogramowanie wstecz). W ten sposób na podstawie wartości priorytetu tworzony est częściowy harmonogram. Zadanie est dostępne do harmonogramowania wprzód, eśli ego wszystkie poprzedniki są uż umieszczone w harmonogramie częściowym. Z kolei zadanie est dostępne do harmonogramowania wstecz, eśli ego wszystkie następniki są uż umieszczone w rozwiązaniu częściowym. Celem dwukierunkowe procedury dekoduące est przypisanie zadaniom z dodatnimi przepływami pieniężnymi ak nawcześnieszych terminów rozpoczęcia a zadaniom z uemnymi przepływami ak napóźnieszych terminów. Poza użyciem przekształconych procedur dekoduących zwiększenie NPV może być osiągnięte przez zastosowanie procedur poprawiaących harmonogram w wyniku przesunięcia w prawo czynności o sumarycznych uemnych przepływach pieniężnych (dla harmonogramów ustalonych metodą harmonogramowania wprzód) i/lub w lewo zadań o dodatnich przepływach pieniężnych (dla harmonogramów ustalonych metodą harmonogramowania wstecz) [10,12-13]. Opracowana est m.in. też iteracyna procedura [11] harmonogramowania wprzód/wstecz równocześnie minimalizuąca czas trwania proektu i maksymalizuąca ego NPV. Analizowane są rozwiązania z różnymi przesunięciami w czasie czynności i sprawdzany est wpływ tych przesunięć na sumę zdyskontowanych przepływów pieniężnych, w celu znalezienia rozwiązania o nawiększe wartości NPV. Tworzone są także algorytmy wyszukuące zbiory zadań, których przesunięcie może zwiększyć NPV [12]. Należy zauważyć, że dla analizowanego w pracy problemu maksymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych z funkcą celu F (patrz wzór 6) wskazane est wcześniesze, niż w umownych terminach, kończenie kamieni milowych. Przyspieszenie prac prowadzi do wcześnieszych płatności klienta co może zwiększyć NPV, mimo wcześnieszych wydatków wykonawcy na realizacę zadań. W optymalnym uszeregowaniu dla analizowanego w pracy zagadnienia z funkcą celu F (patrz wzór 6) dodatnie przepływy pieniężne (płatności klienta za wykonanie etapów proektu) powinny być zaplanowane ak nawcześnie a uemne przepływy pieniężne (wydatki wykonawcy związane z rozpoczynaniem zadań) ak napóźnie. Wpłaty klienta są wykonywane bezpośrednio po zakończeniu danego etapu przedsięwzięcia, natomiast wydatki są ponoszone w momencie rozpoczynania czynności. W związku z tym, że z wszystkimi zadaniami związane są wydatki (uemne przepływy pieniężne) korzystne może być ich rozpoczynanie możliwie napóźnie, zgodnie z zasadą 592

7 ALAP, przy uwzględnieniu nie tylko umownego terminu zakończenia przedsięwzięcia, ale również terminów wykonania ego etapów. Opóźnianie w czasie wydatków związanych z realizacą zadań est opłacalne dla wykonawcy. Z drugie strony opóźnianie wykonywania zadań może prowadzić do przesunięte w czasie realizaci kamieni milowych co wiąże się z późnieszymi płatnościami klienta za zrealizowane etapy przedsięwzięcia. Przy ustalaniu odpowiedniego harmonogramu prowadzona est zatem oceny bilansu strat z późnieszych wpłat za zrealizowane etapy proektu i korzyści z odroczonych wydatków na rozpoczynanie zadań. Zawsze korzystne est odraczanie w czasie tych zadań (z przypisanymi uemnymi przepływami pieniężnymi), których późniesze rozpoczęcie nie prowadzi do opóźnienia w realizaci któregoś z kamieni milowych. Procedura SGS odpowiednia dla rozpatrywanego zagadnienia powinna uwzględniać kamienie milowe proektu. Przy harmonogramowaniu wstecz zadania są planowane wstecz od umownych terminów zdefiniowanych dla każdego z etapów proektu. Dla każdego zadania nieprzekraczalne terminy zakończenia wynikaą z przynależności do etapu przedsięwzięcia. 4. Przykład ilustracyny. Działanie procedur dekoduących dla zagadnienia maksymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych dla problemu harmonogramowania proektu rozliczanego etapowo, zostanie omówione dla przykładowego proektu składaącego się z 12 zadań (10 zadań niepozornych) realizowanych za pomocą ednego typu zasobu odnawialnego o dostępności równe 8 (a = 8). Informace o wykonywanych czynnościach, ich czasach trwania d i, zapotrzebowaniu na zasoby r i, terminach zakończenia δ i, bezpośrednich następnikach N i, wydatkach z nimi związanych CFA i przedstawione są w tabeli 1. Tab. 1. Informace o zadaniach w przykładowym proekcie i d i r i δ i N i CFA i , 2, 3, , 6, 8, , Zdefiniowane są trzy umowne etapy proektu o nieprzekraczalnych terminach zakończenia tm, zbiorze zadań do wykonania M, płatnościach klienta za realizacę PM, ednostkowych kosztach opóźnień CM zestawionych w tabeli 2. Tab.2. Informace o kamieniach milowych w przykładowym proekcie Etap proektu tm M PM CM , 3, 4, 6, , 7, 9, 10,

8 Na potrzeby obliczania NPV przyęto stopę dyskontową α = 0.01 przy okresie kapitalizaci wynoszącym 1 ednostkę czasową. Analiza procedur SGS przeprowadzona est dla listy czynności składaące się z kolenych zadań niepozornych L = {1, 4, 3, 5, 2, 8, 6, 7, 9, 10}. Na liście L zadania są w porządku uwzględniaącym relace kolenościowe. Harmonogramy uzyskane za pomocą procedur SGS harmonogramowania: wprzód znaduą się na rysunku 1 (w tych samych kolorach zadania związane z tym samym etapem proektu, należące do tego samego zbioru M ), wstecz na rysunku 2, wstecz przy uwzględnieniu etapów proektu na rysunku 3, wprzód przy uwzględnieniu etapów proektu na rysunku 4. Zestawienie wartości analizowane w pracy funkci celu dla znalezionych harmonogramów przedstawione są w tabeli 3. Rys. 1. Harmonogram wyznaczony wprzód szeregową (a) i równoległą (b) procedurą SGS Rys. 2. Harmonogram wyznaczony wstecz szeregową (a) i równoległą (b) procedurą SGS 594

9 Rys. 3. Harmonogram wyznaczony wstecz procedurą SGS uwzględniaącą etapy proektu Rys. 4. Harmonogram wyznaczony wprzód procedurą SGS uwzględniaącą kamienie milowe (a), z przesunięciem w prawo zadań w celu zwiększenia NPV (b) Tab.3. Wartości funkci celu F (patrz wzór 6) i e składowych (związanych z czynnościami CFA i i etapami proektu CFM ) dla harmonogramów z rysunków 1-4 1a 1b 2a 2b 3 4a 4b CFA i CFM F Dla analizowanego problemu ze zdefiniowanymi kamieniami milowymi proektu z maksymalizacą zdyskontowanych przepływów pieniężnych harmonogramy z rysunków 1-2 nie są odpowiednie. Przekroczone są terminy realizaci umownych etapów proektu, co wiąże się z koniecznością poniesienia kosztów umownych przez wykonawcę. Wprowadzenie kamieni milowych zmienia właściwości optymalnych harmonogramów. Harmonogram o minimalnym czasie trwania (np. ten z rysunku 1b) nie zawsze est odpowiedni. Przy harmonogramowaniu należy skoncentrować się na dotrzymaniu umownych terminów wykonania etapów proektu, gdyż przekraczanie terminów wykonania kamieni milowych uszczupla płatności klienta za realizacę etapów proektu. Korzyści z wcześnieszych płatności klienta za wcześniesze wykonanie proektu są mniesze (dla rozważanego przykładu obliczeniowego) niż koszty umowne ponoszone za nieterminowe wykonanie kamieni milowych. NPV proektu zmniesza także wcześniesze ponoszenie kosztów związanych z rozpoczynaniem czynności. 595

10 W analizowanym w pracy problemie maksymalizaci NPV wydatki (na realizacę zadań) powinny być wykonywane ak napóźnie a wpłaty (za ukończenie etapów proektu) uzyskiwane ak nawcześnie. Dla problemu RCPSPDCF często stosowane est harmonogramowanie wstecz z zasadą planowania zadań (z przypisanymi uemnymi przepływami pieniężnymi, wydatkami) napóźnie ak to możliwe ALAP, które zwiększa NPV przedsięwzięcia w związku z opóźnianiem wydatków na rozpoczynanie zadań. W analizowanym problemie harmonogramy wyznaczone wstecz (rysunek 2) nie są odpowiednie, gdyż zastosowane procedury nie uwzględniaą umownych etapów proektu. Kary za niedotrzymanie terminów wykonania są większe niż korzyści z opóźnionych wydatków na wykonywanie zadań. Dla analizowanego proektu nie est także wskazane rozpoczynanie zadań zgodnie z zasadą ALAP przy uwzględnieniu etapów proektu (rysunek 3). Straty z późnieszych wpłat za zrealizowanie kamieni milowych (mimo uniknięcia kar umownych) są większe niż korzyści z późnieszych wydatków na rozpoczynane czynności. Przy innych parametrach np. przy innych terminach i kwotach umownych płatności itp. realizaca zadań zgodnie z zasadą ALAP może być korzystna dla wykonawcy. Dla analizowanego proektu korzystne est natomiast opóźnianie rozpoczęcia tylko części zadań niekrytycznych, których późniesze rozpoczynanie nie powodue przesunięcia w czasie wykonania któregokolwiek z etapów proektu. Nawyższą wartość funkci celu F (patrz wzór 6) ma harmonogram z zadaniami rozpoczynanymi ak napóźnie bez opóźniania realizaci kamieni milowych (rysunek 4b). Korzyść w wysokości 0.2 ednostek pieniężnych w porównaniu z harmonogramem z rysunku 4a wynika z przesunięcia w prawo o 1 ednostkę czasową wydatków na rozpoczęcie zadań 5 i 7. Problem maksymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych nie est prostym zagadnieniem. Poza użyciem opracowanych i znanych procedur dekodowania SGS konieczne est opracowanie algorytmów analizuących możliwe przesunięcia w prawo zadań, których odroczenie w czasie zwiększa NPV proektu. 5. Podsumowanie W artykule przedstawiono problem maksymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych z punktu widzenia wykonawcy dla problemu harmonogramowania proektu rozliczanego etapowo (ze zdefiniowanymi kamieniami milowymi). Zaproponowano zmodyfikowane procedury generowania uszeregowania uwzględniaące umowne etapy proektu. Działanie procedur zilustrowano dla przykładowego przedsięwzięcia. Rozpatrywany model z etapowym, finansowym rozliczaniem przebiegu proektu może być wykorzystywany przy dużych proektach budowlanych, konstrukcynych. Przedmiotem dalszych prac autorów będzie m.in. opracowanie skutecznych algorytmów harmonogramowania, wykorzystuących proponowane procedury dekoduące i przetestowanie ich skuteczności dla problemu maksymalizaci NPV proektu rozliczanego etapowo. Literatura 1. Brucker P., Drexl A., Mohring R., Neumann K., Pesch E.: Resource-constrained proect scheduling: Notation, classification, models and methods, European Journal of Operational Research 112, 1999,

11 2. Hartmann S., Briskorn D.: A Survey of Variants and Extensions of the Resource- Constrained Proect Scheduling Problem, European Journal of Operational Research, 207(1), 2012, Herroelen W., Reyck B. D., Demeulemeester E.: Proect network models with discounted cash flows: A guided tour through recent developments, European Journal of Operational Research, 100, 1997, Klimek M.: Predyktywno-reaktywne harmonogramowanie produkci z ograniczoną dostępnością zasobów, Praca doktorska, AGH Kraków, Klimek M., Łebkowski P.: Proaktywne harmonogramowaniu proektu z optymalizacą przepływów pieniężnych, [w:] Automatyzaca procesów dyskretnych : teoria i zastosowania, T. II, red. Świerniak A., Krystek J. [materiały konferencyne], Gliwice 2012, Kolisch R.: Serial and parallel resource-constrained proect scheduling methods revisited: Theory and computation, European Journal of Operational Research, 90, 1996, Kolisch R., Padman R.: An integrated survey of deterministic proect scheduling, OMEGA The International Journal of Management Science 29, 2001, Mika M., Waligóra G., Węglarz J.: Simulated annealing and tabu search for multimode resource-constrained proect scheduling with positive discounted cash flows and different payment models, European Journal of Operational Research, 164(3), 2005, Russell A.H.: Cash flows in networks, Management Science, 16, 1970, s Selle T., Zimmermann, J.: A bidirectional heuristic for maximizing the net present value of large-scale proects subect to limited resources, Naval Research Logistics 50, 2003, Ulusoy, G., Özdamar, L.: A heuristic scheduling algorithm for improving the duration and net present value of a proect, International Journal of Operations and Production Management, 15, 1995, Vanhoucke M., Demeulemeester E., Herroelen W.: Maximizing the net present value of a proect with linear time-dependent cash flows, International Journal of Production Research, 39(14), 2001, Vanhoucke M.: A scatter search procedure for maximizing the net present value of a resource-constrained proect with fixed activity cash flows, Gent, Working Paper 2006/417, Węglarz J. (red.): Proect Scheduling: Recent Models, Algorithms and Applications, Kluwer Academic Publishers, Dr inż. Marcin KLIMEK Instytut Informatyki, Państwowa Szkoła Wyższa Biała Podlaska, ul. Sidorska 95/97 marcin_kli@interia.pl Dr hab. inż. Piotr Łebkowski, prof. AGH AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie, Wydział Zarządzania Kraków, al. Mickiewicza 30 plebkows@zarz.agh.edu.pl 597