Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze 4. Równanie Master 5. Samodzielne studia: Równania Master dla procesów Markova jednorodnych w czasie i przestrzeni w granicy małych czasów. Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 1
Demonstracje: dyfuzja gazu po usunięciu ścianek Dyfuzja Rozkład ρ(x) N(x)/N Jednowymiarowa analiza 2
(kropla atramentu wstrzyknięta do płaskiego naczynia z wodą) 3
Twierdzenie Zastosowanie Bayesa twierdzenia Bayesa B A 1 A 6 A 5 A 4 A 2 A 3 Twierdzenie Bayesa ma bezpośrednie zastosowanie przy analizie procesów stochastycznych; Równanie Master o którym dzisiaj powiemy jest szczególnym przypadkiem tego twierdzenia Lech Longa Termodynamika i Fizyka Statystyczna 4
Wzór Bayesa dla ciągów zmiennych losowych: gęstości i prawdopodobieństwa warunkowe dla wielowymiarowych zmiennych losowych P x 1,x 2,.,x k /x k 1,, x n ) P x 1, x 2,.,x k,x k 1,, x n ) P x k 1,, x n ) (obszerna dyskusja znajduje się w: A. Papoulis Prawdopodobieństwo, zmienne losowe i procesy stochastyczne Str. 249 5
Zastosowanie teorii prawdopodobieństwa: Procesy stochastyczne (proces stochastyczny: zastąpienie skomplikowanej dynamiki układu makroskopowego (o liczbie stopni swobody rzędu liczby Avogadro) poprzez opis probabilistyczny dynamiki jedynie kilku interesujących nas stopni swobody; wpływ nieuwzględnionych stopni swobody redukujemy do praw statystycznych). Okazuje się, że w wielu interesujących przypadkach jest to możliwe. Poznamy ważną klasę takich procesów, które w literaturze nazywają się procesami Markova. x(0) Przestrzeń zdarzeń Z każdym zdarzeniem ( zmienną stochastyczną x) zwiążemy inne zdarzenie x(t), gdzie t (tutaj czas) będzie dodatkową zmienną opisującą (indeksującą) ten związek. x(t) - zmienna losowa, bądź - w naszym przypadku proces stochastyczny x(t) x(t) Ω Ω Ω Ω Ω x(t) Równania Langevina (cząstka Browna, 1907): t 0 t 1 t n-1 t n m d dt x t γ v t F t k=1 n 6
Procesy stochastyczne Dwa stany do obsadzenia w dowolnej chwili: dyskretny czas t 1 < t 2 < t k < t k+1 < t k+m? 7
pamięć Terminologia: P m/k ( / ) - prawdopodobieństwo warunkowe znalezienia układu w stanach x k+1 w chwili t k+1,.. w stanie x k+m w chwili t k+m pod warunkiem, że wcześniej był w stanach x 1 w chwili t 1.., x k w chwili t k ; symbol m/k w P m/k informuje, że mamy prawdopodobieństwo warunkowe z k stanami przed t k i m stanami po t k (zakładamy chronologię czasów jak na rysunku) 8
k 9
(proces zależy od jednej chwili czasowej wstecz) k 10
Proces Markova (z krótką pamięcią) krótka pamięć prawdopodobieństwo przejścia Wszystkie funkcje rozkładu można odtworzyć ze znajomości dwóch funkcji P1 /1 oraz P1 11
( t t t 12
13
Proces Markova (podsumowanie) Indeksy można zmieniać t 1 t 2 Przykład równania Master 14
Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego (ćwiczenia): +1 (losowy telegrafista) -1 t (dwustanowy proces Markova: losowy ciąg impulsów) 15
Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego: Jest to matematyczny model ruchów Browna w jednym wymiarze przestrzennym (późniejszy przykład dyfuzji w kapilarze). Funkcja rozkładu P 1 jest gęstością położenia (y) cząstki podlegającej jednowymiarowej dyfuzji. (później przykład z dyfuzją w kapilarze) Przy założeniu P 1 (y 1,0) = δ(y 1 ) otrzymujemy Gaussowski rozkład położeń w chwilach późniejszych. 16
Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego: Tutaj zmienna `y` pełni rolę prędkości cząstki ( w jednym wymiarze) 17
Przykłady prawdopodobieństw warunkowych spełniających r. Chapmana- Kołmogorowa-Smoluchowskiego: Proces Poissona zlicza zdarzenia jakie zaszły do danej chwili; 1/λ jest średnim czasem oczekiwania na kolejne zdarzenie. Z warunku początkowego: P 1 (n 1,0) = δ, możemy wyznaczyć P 1 w dowolnej innej chwili czasowej: (funkcje P 1/1 oraz P 1 definiują proces Markova) 18
P 1 P 0 Stany stacjonarne: P * =W P * 19
Przykład 1 Pijak błądzi po nieskończonej prostej od latarni do latarni (pełne rozwiązanie-ćwiczenia): (P 1 =P) numery kolejnych latarni n+1 n n-1 0 t-1 t (czas) 20
Przykład 2 : dyfuzja Brownowska w kapilarze 21 Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 0 t 3 - t 1 = t t 2 - t 1 = t - t 0 t 3 - t 2 = t 0
Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 22 0
Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 23
24
Dyfuzja w nieskończonej jednowymiarowej kapilarze Proces jednorodny przestrzennie i czasowo: 25 D>0 (a więc otrzymaliśmy Proces Wieniera-Levy) t 0 P x, t P / x y,t P y,0 t 0
26 Można sprawdzić, że P 1/1 spełnia najprostsze równanie dyfuzji (równanie Fokkera-Plancka): UWAGA: jest to szczególny przypadek ogólnego równania dyfuzji (z dryftem)
Dyfuzja Browna: film 27
Stacjonarne procesy Markova: (opisują np. fluktuacje wokół stanu równowagi) dx δ x y : delta Diraca lub Kronneckera (w przypadku dyskretnym) Równanie Master (granica małych τ) Prawdopodobieństwo pozostania w y 1 w jednostce czasu W: prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu od y 1 do y 2 28
Równanie Master (granica małych τ) (Prawdopodobieństwo przejścia z y 1 do y 2 w czasie τ) 29
prawdopodobieństwo pozostania w y 1 w jedn. czasu prawdopodobieństwo przejścia z y 1 do y 2 w jednostce czasu Wstawiamy do równania C-K-S 30
(Wstawiamy rozwinięcie) (pozostawiamy bez zmian) Zostawiam wyrazy liniowe w τ i τ ; dzielę przez τ i przechodzę z τ do zera Upraszczam notację: y y 31
Równania Master (a) dzielę przez τ i przechodzę z τ do zera Dowolny rozkład; np. jakiś początkowy rozkład prawdopodobieństwa (b) Mnożę stronami przez P 1 (y 1 ), całkuję po y 1 dzielę przez τ i przechodzę z τ do zera 32
Równania Master y (n) ( z rachunku perturbacyjnego ) Równanie Master: równanie zysków i strat dla prawdopodobieństw 33
Warunki: równowagi oraz równowagi szczegółowej (równanie Master jest równaniem na bilans prawdopodobieństw. Dla procesów jednorodnych w czasie jest to różniczkowa postać r. CKS) Warunek równowagi: w każdym stanie prawdopodobieństwa wypływające oraz wpływające `kasują się` = 0 n Warunek równowagi szczegółowej: = 0 n, n (można pokazać, że mikroskopowa odwracalność równań ruchu w czasie dla układów izolowanych implikuje spełnienie warunku równowagi szczegółowej) 34
Podsumowanie Równanie C-K-S jest nieliniowym równaniem wyrażającym markowowskość procesu, jednak nie zawiera informacji o żadnym konkretnym procesie Markova; W równaniu Master rozważamy prawdopodobieństwa przejść dla konkretnego systemu; znając je rozwiązujemy liniowe równania na prawdopodobieństwa (określające mezoskopowy stan układu) 35
(Materiał do samodzielnych studiów) 36
37
38
39
40
41
Dziękuję 42