Metody dowodowe: wst p

Metody dowodowe: wst p Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 1 / 31

Uwagi organizacyjne Wymagania Korzysta b dziemy z wiadomo±ci przekazanych na kursach: Wprowadzenie do logiki, Logika I, Logika II. Kurs Matematyczne podstawy kognitywistyki nie byª obowi zkowy dla studentów obecnego V roku. Potrzebne nam poj cia matematyczne b d omawiane na bie» co. Konwersatoria 17 prowadzi Jerzy Pogonowski Kolokwium I (na konwersatorium 8) Konwersatoria 914 prowadzi Szymon Chlebowski Kolokwium II (na konwersatorium 15) Syllabus jest dost pny na stronach ZLiK. Kurs ko«czy si egzaminem. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 2 / 31

Spis tematów wykªadu 1 Preliminaria matematyczne i logiczne oraz uwagi historyczne 2 Ogólne operacje konsekwencji 3 Metoda aksjomatyczna 4 Postacie normalne i preksowe 5 Tablice analityczne Smullyana 6 Rezolucja 7 Dedukcja naturalna 8 Rachunki sekwentów 9 Dual tableaux (diagramy Rasiowej-Sikorskiego) 10 Metody dowodowe: zalety, wady, wzajemne zwi zki 11 Wybrane twierdzenia metalogiczne i metody ich dowodzenia 12 Teoria rekursji a metody dowodowe 13 Automatyzacja rozumowa«14 Rozstrzygalno± 15 Dowody matematyczne. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 3 / 31

Literatura Literatura podstawowa 1 Fitting, M. 1996. First-Order Logic and Automated Theorem Proving. Springer, Berlin. 2 Šawrow, I.A., Maksimowa, Š.L. 2004. Zadania z teorii mnogo±ci, logiki matematycznej i teorii algorytmów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 3 Pogorzelski, W.A. 1992. Elementarny sªownik logiki formalnej. Wydawnictwo Filii Uniwersytetu Warszawskiego, Biaªystok. 4 Stanford Encyclopedia of Philosophy: http://plato.stanford.edu/ (artykuªy po±wi cone teorii dowodu oraz automatyzacji rozumowa«: The development of proof theory, Automated reasoning). Proponuj tak»e lektur zamieszczonych na stronach ZLiK materiaªów dydaktycznych: Pani Dr Doroty Leszczy«skiej-Jasion, Pana Prof. Mariusza Urba«skiego oraz Pana prof. Andrzeja Wi±niewskiego. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 4 / 31

Literatura Literatura dodatkowa 1 D'Agostino, M., Gabbay, D., Hähnle, R., Posega, J. (Eds.) 1999. Handbook of Tableaux Methods. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London. 2 Gallier, J. 2003. Logic for Computer Science. Foundations of Automated Theorem Proving. Dover Publications, Mineola, New York. 3 Kaye, R. 2007. The Mathematics of Logic. A guide to completeness theorems and their applications. Cambridge University Press, Cambridge. 4 Negri, S., von Plato, J. 2001. Structural Proof Theory. Cambridge University Press, Cambridge. 5 Nerode, A., Shore, R.A. 1997. Logic for Applications. Springer-Verlag, New York. 6 Orªowska, E., Goli«ska-Pilarek, J. 2011. Dual Tableaux: Foundation, Methodology, Case Studies. Springer, Dordrecht Heidelberg London New York. 7 Smullyan, R. 1968. First-Order Logic. Springer, Berlin. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 5 / 31

Metody dowodowe Przykªady matematyczne Uciechy szkolne Podano kilkaset dowodów Twierdzenia Pitagorasa. Znasz co najmniej jeden? Czy istnieje najwi ksza liczba pierwsza? Szok cywilizacyjny: wielko±ci niewspóªmierne. Czy równanie n 2 = 2m 2 ma rozwi zanie dla wzgl dnie pierwszych liczb m, n N, m > 0? Czy 2 2 jest liczb wymiern czy niewymiern? Jak obliczy 2 2 2 2? Czy mo»liwa jest kwadratura koªa? Szkoªa uczyªa gªownie prostych algorytmów. Pami tasz algorytm dzielenia Euklidesa? Urocze uªamki ªa«cuchowe wygoniono ze szkoªy. Dlaczego ró»niczkowanie jest ªatwiejsze od caªkowania? Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 6 / 31

Metody dowodowe Przykªady logiczne Uciechy studenckie Wykªadnicze okrucie«stwo algorytmu 0 1. Có», M dra Ksi ga nie obiecywaªa,»e wszystkie algorytmy b d dziaªa w czasie wielomianowym. Okrucie«stwo metody aksjomatycznej: co dobre dla teorii, niekoniecznie jest przyjazne (Czªowiekowi, a nawet Maszynie). Metody dowodowe popularne wspóªcze±nie: tablice analityczne, rezolucja, dedukcja naturalna, rachunki sekwentów. Wspóªcze±nie stosowane notacje (znasz) i notacje porzucone (Frege, Le±niewski). Algorytmiczne po»ytki z diagramów Venna i Carrolla. Rozwa»my dwa przykªady argumentacji: Nasza Pani od Biologii i Nietoperze Milicja, Wrocªaw i ja Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 7 / 31

Metody dowodowe Przykªady logiczne Nasza Pani od Biologii i Nietoperze Nasza Pani od Biologii opowiada o Nietoperzach: Je±li Nietoperze nie maj piór, to: s Ptakami, o ile fruwaj. Nasza Pani od Biologii wyci ga z kieszeni Nietoperza i stwierdza: Nietoperze nie maj piór. Nasza Pani od Biologii zagl da do podr cznika systematyki Zwierz t i stwierdza: Ale przecie» Nietoperze nie s Ptakami. Nasza Pani od Biologii konkluduje: A zatem Nietoperze nie fruwaj. p: Nietoperze maj pióra. q: Nietoperze fruwaj. r: Nietoperze s Ptakami. Przesªanka: p (q r) Przesªanka: p Przesªanka: r Wniosek: q Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 8 / 31

Metody dowodowe Przykªady logiczne Nasza Pani od Biologii i Nietoperze Drzewo argumentacji (dowodu) ma posta nast puj c : r q p (q r) p q r W tej argumentacji posªu»ono si kolejno reguªami: modus ponens modus tollens. Argumentacja jest poprawna z logicznego punktu widzenia. Wniosek jest faªszywy, a zatem która± z przesªanek jest faªszywa. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 9 / 31

Metody dowodowe Przykªady logiczne Milicja, Wrocªaw i ja Czy na podstawie uznania nast puj cych stwierdze«: Je±li nie udowodniono podejrzanemu popeªnienia morderstwa, to: stwierdzono samobójstwo denata lub wykonano sentencj wyroku, o ile udaªo si zatrzyma podejrzanego. Podejrzanemu nie udowodniono popeªnienia morderstwa. Nie stwierdzono samobójstwa denata. Udaªo si zatrzyma podejrzanego. gotowa jeste± uzna stwierdzenie: Wykonano sentencj wyroku? Uwaga: musimy podj decyzj dotycz c reprezentacji skªadniowej pierwszej przesªanki. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 10 / 31

Metody dowodowe Przykªady logiczne Milicja, Wrocªaw i ja Zdania proste w tym tek±cie: p: Udowodniono podejrzanemu popeªnienie morderstwa. q: Stwierdzono samobójstwo denata. r: Udaªo si zatrzyma podejrzanego. s: Wykonano sentencj wyroku. Przesªanka: p (q (r s)) Przesªanka: p Przesªanka: q Przesªanka: r Wniosek: s Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 11 / 31

Metody dowodowe Przykªady logiczne Milicja, Wrocªaw i ja Drzewo argumentacji (dowodu): r q r s p p (q (r s)) q (r s) s W tej argumentacji posªu»ono si kolejno reguªami: modus ponens (reguªa odrywania) opuszczania alternatywy modus ponens. Argumentacja jest poprawna z logicznego punktu widzenia. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 12 / 31

Metody dowodowe Dowody, algorytmy, obliczenia Ku Wrogiej Sztucznej Inteligencji? Dowody (w sensie logicznym): dobrze okre±lone obiekty syntaktyczne. Dowody matematyczne: argumentacje stosowane w matematyce. Dogmat: ka»dy dowód matematyczny mo»e zosta przeksztaªcony w dowód w sensie logicznym. Algorytm: czysto mechaniczna procedura, pozwalaj ca w sko«czonej liczbie prostych, z góry okre±lonych kroków uzyska wynik (odpowied¹, rozwi zanie). Intuicyjne poj cie procedury obliczalnej poddano formalizacji, na wiele sposobów: funkcje rekurencyjne, maszyny Turinga, systemy Posta, algorytmy Markowa, rachunek λ Churcha, itd. Uzyskano wyniki dotycz ce niezupeªno±ci oraz nierozstrzygalno±ci wa»nych teorii matematycznych. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 13 / 31

Uwagi historyczne Logika matematyczna Optymistyczne pocz tki Pocz tki logiki: Arystoteles, Stoicy, logicy redniowiecza, Leibniz. Pocz tki logiki matematycznej: De Morgan, Boole, Peano, Frege, Pierce, Schröder, Russell, Le±niewski, Šukasiewicz,... Nurt algebraiczny w logice Stanowiska lozoczne: logicyzm, formalizm, intuicjonizm Inspiracje matematyczne Szkoªa Lwowsko-Warszawska Podstawy matematyki i metalogika 4T: teoria dowodu, teoria modeli, teoria rekursji, teoria mnogo±ci Uwaga: bardziej szczegóªowe informacje historyczne podawane b d podczas kolejnych wykªadów. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 14 / 31

Uwagi historyczne Logika matematyczna Zªoty wiek XX David Hilbert (18621943) i jego program Ernst Zermelo (18711953): teoria mnogo±ci Emil Post (18971954): algebra logiki, systemy Posta Gerhard Gentzen (19091945): dedukcja naturalna, sekwenty Alan Turing (19121954): teoria oblicze«jacques Herbrand (19081931): twierdzenie Herbranda, obliczalno± Thoralf Skolem (18871963): teoria mnogo±ci, arytmetyka Kurt Gödel (19061978): niezupeªno± PM, teoria mnogo±ci Luitzen Egbertus Jan Brouwer (18811966): intuicjonizm Alonzo Church (19031995): nierozstrzygalno± KRP Stanisªaw Ja±kowski (19061965): dedukcja naturalna Alfred Tarski (19031983): teoria modeli Adolf Lindenbaum (19041941): lemat Lindenbauma Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 15 / 31

Uwagi historyczne Automatyzacja rozumowa«nadchodzi Matrix Bªogosªawiony Rajmund Lull (Doctor Illuminatus, 12321315): logika w sªu»bie nawracania niewiernych. Gottfried Wilhelm von Leibniz (16461716): prekursor logiki formalnej. Od mechanicznych kalkulatorów do elektronicznych maszyn cyfrowych. Matematyczne reprezentacje oblicze«. Teza Churcha-Turinga. Automatyczne dowodzenie twierdze«: ile mo»na osi gn? Marciszewski, W., Murawski, R. 1995. Mechanization of reasoning in a historical perspective. Rodopi, Amsterdam-Atlanta. Ligonniére, R. 1992. Prehistoria i historia komputerów. Ossolineum, Wrocªaw-Warszawa-Kraków. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 16 / 31

Preliminaria matematyczne Drzewa Drzewem (o korzeniu x 0 ) nazwiemy ka»dy ukªad X, R, x 0 taki,»e: 1 X, R jest grafem o zbiorze wierzchoªków X i zbiorze kraw dzi R X X ; 2 R jest cz ±ciowym porz dkiem w X ; 3 x 0 jest elementem R-najmniejszym w X ; 4 zbiór wszystkich R-poprzedników ka»dego wierzchoªka jest liniowo uporz dkowany przez relacj R. Li± mi drzewa D nazywamy wszystkie te jego wierzchoªki, które nie maj R-nast pników. Je±li (x, y) R jest kraw dzi w D, to x nazywamy przodkiem y, a y nazywamy potomkiem x. Je±li (x, y) R R 2 jest kraw dzi w D, to x nazywamy bezpo±rednim przodkiem y, a y nazywamy bezpo±rednim potomkiem x. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 17 / 31

Preliminaria matematyczne Drzewa Ka»dy podzbiór zbioru wierzchoªków drzewa D, który jest uporz dkowany liniowo przez R nazywamy ªa«cuchem w D (czasem: ±cie»k w D). Ka»dy ªa«cuch maksymalny (wzgl dem inkluzji) w D nazywamy gaª zi w D. Przez dªugo± ªa«cucha P rozumiemy liczb elementów zbioru P. Rz dem wierzchoªka x nazywamy moc zbioru wszystkich bezpo±rednich potomków x. Rz dem drzewa D jest kres górny rz dów wszystkich wierzchoªków drzewa D. Drzewo D jest sko«czone, je±li zbiór jego wierzchoªków jest sko«czony; w przeciwnym przypadku jest niesko«czone. Drzewo D jest rz du sko«czonego (jest sko«czenie generowane), je±li ka»dy jego wierzchoªek ma rz d sko«czony. Przez indukcj deniujemy poziomy drzewa: 1 poziom zerowy to zbiór jednoelementowy, zªo»ony z korzenia drzewa; 2 poziom k + 1 to zbiór wszystkich bezpo±rednich nast pników wierzchoªków poziomu k. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 18 / 31

Preliminaria matematyczne Drzewa Oswajanie drzew W dalszym ci gu b dziemy rozwa»a gªównie drzewa sko«czone lub rz du sko«czonego. Bli»ej oswoimy si z drzewami na konwersatorium. Drzewo dwójkowe to drzewo, w którym ka»dy wierzchoªek ma co najwy»ej dwóch bezpo±rednich potomków. Peªne drzewo dwójkowe to drzewo, w którym ka»dy wierzchoªek ma dokªadnie dwóch bezpo±rednich potomków. Przez drzewo znakowane (elementami ze zbioru L) rozumiemy par uporz dkowan (D, f ), gdzie D jest drzewem, a f jest funkcj ze zbioru wierzchoªków drzewa D w zbiór L. Zwykle L b dzie pewnym zbiorem formuª. Graczne reprezentacje drzew s rysunkami, na których wierzchoªki (jako± znakowane punktami, liczbami, formuªami, itd.) poª czone s liniami, odpowiadaj cymi kraw dziom. Przy tym, je±li X, R, x 0 jest drzewem, to na rysunku zaznaczamy tylko kraw dzie nale» ce do R R 2. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 19 / 31

Preliminaria matematyczne Lemat Königa Lemat Königa. Je±li drzewo D = X, R, x 0 rz du sko«czonego jest niesko«czone, to ma gaª ¹ niesko«czon. Dowód. Przypu± my,»e D jest niesko«czone. Zdeniujemy gaª ¹ niesko«czon {x 0, x 1, x 2,...} w D przez indukcj matematyczn. Element x 0 (czyli korze«drzewa D) jest pierwszym elementem konstruowanej gaª zi. Poniewa» D jest niesko«czone, wi c x 0 ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Przypu± my,»e x 0, x 1, x 2,..., x n 1 zostaªy zdeniowane tak,»e x i nale»y do i-tego poziomu drzewa D oraz x i ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Z zaªo»enia, x n 1 ma tylko sko«czenie wiele bezpo±rednich R-nast pników. Poniewa» x n 1 ma niesko«czenie wiele R-nast pników, wi c co najmniej jeden z jego bezpo±rednich R-nast pników tak»e ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Wybieramy wi c element x n z n-tego poziomu drzewa D o tej wªa±nie wªasno±ci. Wtedy x n ma niesko«czenie wiele R-nast pników. Poniewa» jest tak dla ka»dego n, pokazali±my istnienie niesko«czonej gaª zi {x 0, x 1, x 2,...} w drzewie D. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 20 / 31

Preliminaria matematyczne Indukcja strukturalna Logiczne BHP Konstrukcje syntaktyczne w j zykach systemów logicznych s jednoznaczne. Termy, formuªy, dowody mo»na reprezentowa np. przez stosowne drzewa. Indukcyjne denicje termów i formuª wykorzystywa mo»na w dowodach wielu wªasno±ci, opieraj c si na nast puj cym twierdzeniu o oczywistym dowodzie (zob. np. Fitting 1990, 10): Twierdzenie. (Zasada Indukcji Strukturalnej). Ka»da formuªa j zyka KRZ ma wªasno± Q, o ile: 1 Krok pocz tkowy. Ka»da formuªa atomowa ma wªasno± Q; 2 Kroki indukcyjne. 1 Je±li ϕ ma wªasno± Q, to ϕ ma wªasno± Q; 2 Je±li ϕ oraz ψ maj wªasno± Q, to (ϕ ψ) ma wªasno± Q, gdzie jest funktorem dwuargumentowym. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 21 / 31

Preliminaria matematyczne Indukcja strukturalna Logiczne BHP W teorii mnogo±ci dowodzi si twierdzenia o deniowaniu przez rekursj. Jego zastosowaniem w przypadku j zyków logiki jest twierdzenie (zob. np. Fitting 1990, 10): Twierdzenie. (Zasada Rekursji Strukturalnej). Istnieje dokªadnie jedna funkcja f okre±lona na zbiorze F wszystkich formuª j zyka KRZ taka,»e: 1 Krok pocz tkowy. Warto± f jest podana wyra¹nie dla formuª atomowych. 2 Kroki rekurencyjne. 1 Warto± f dla ψ jest okre±lona w terminach warto±ci f dla ψ; 2 Warto± f dla (ϕ ψ) jest okre±lona w terminach warto±ci f dla ϕ oraz dla ψ, gdzie jest funktorem dwuargumentowym. Mo»emy zatem deniowa m.in. ró»ne funkcje o warto±ciach liczbowych, charakteryzuj cych zªo»ono± formuª. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 22 / 31

Preliminaria logiczne Ustalenia terminologiczne Chyba nie spaliªa± notatek z wykªadów? W omawianiu wªasno±ci metod dowodowych po»yteczne b dzie korzystanie z Lematu Hintikki oraz Twierdzenia o Istnieniu Modelu (najpierw: dla KRZ; pó¹niej: dla KRP); zob. np. Fitting 1990, 5156. Zakªadamy te»,»e intensywne prze»ycia wakacyjne nie wymazaªy z pami ci sªuchaczy denicji podstawowych poj logicznych (z KRZ oraz KRP). Zwykle korzysta b dziemy jedynie z wybranych funktorów prawdziwo±ciowych (primary connectives w terminologii podanej w Fitting 1990, 13). By mo»e sªuchacze mieli ju» styczno± z notacj Smullyana (α-formuªy i β-formuªy). Oswoimy si z ni na konwersatorium. Nie zakªadamy pryncypialnie,»e podczas caªego cyklu wykªadów zachowamy konsekwencj w oznaczeniach. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 23 / 31

Preliminaria logiczne Funkcje prawdziwo±ciowe Wszystkie funkcje prawdziwo±ciowe 2-argumentowe p q p q q p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Pierwsze dwie kolumny podaj wszystkie ukªady warto±ci argumentów, kolejne kolumny podaj warto± dla tego ukªadu argumentów ka»dej z szesnastu dwuargumentowych funkcji prawdziwo±ciowych. Czy widzisz jakie± symetrie w tej tabeli? Lubimy odró»nia : spójnik, funktor oraz funkcj (wszystkie z okre±leniem: prawdziwo±ciowy). Nie jeste±my jednak ortodoksami i przystajemy na uproszczenia w podr cznikach. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 24 / 31

Preliminaria logiczne Funktory pierwszorz dne Funktory pierwszorz dne 1arg. 2 arg. 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 Poszczególne kolumny tej tabeli odpowiadaj : pierwszemu argumentowi, drugiemu argumentowi, koniunkcji, alternatywie, implikacji prostej, implikacji odwrotnej, kresce Sheera, binegacji, zaprzeczeniu implikacji prostej, zaprzeczeniu implikacji odwrotnej. Funktor jest (przez informatyków) nazywany NAND, natomiast nazywany jest (przez informatyków) NOR. Uwaga na porz dek wierszy tej tabeli! Taki podaje Fitting, my lubimy dokªadnie odwrotny porz dek. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 25 / 31

Preliminaria logiczne Notacja Smullyana Notacja Smullyana Od kilku dekad karier robi notacja zaproponowana przez Raymonda Smullyana, zwana te» jednolit notacj (uniform notation). Notacja ta motywowana jest wªasno±ciami semantycznymi. Naszym zdaniem ªatwo j zapami ta, patrz c na diagram Hassego stosownej algebry Lindenbauma-Tarskiego, który narysujemy na konwersatorium. W±ród funktorów pierwszorz dnych oraz ich zaprzecze«wyró»nimy te, które dziaªaj koniunkcyjnie oraz te, które dziaªaj alternatywnie. Formuªy z tymi pierwszymi funktorami oznacza si symbolem α, te drugie za± symbolem β. Skªadniki takich formuª s oznaczane symbolami, odpowiednio: α 1, α 2 oraz β 1, β 2. Skªadniki te wyznaczane s wedle nast puj cej konwencji: Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 26 / 31

Preliminaria logiczne Notacja Smullyana Formuªy koniunkcyjne i formuªy alternatywne α α 1 α 2 ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ β β 1 β 2 (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ Pó¹niej rozszerzymy jednolit notacj na j zyk KRP. Zasady: Indukcji Strukturalnej oraz Rekursji Strukturalnej zachodz te» w nast puj cych wersjach: Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 27 / 31

Preliminaria logiczne Zasada Indukcji Strukturalnej raz jeszcze Zasada Indukcji Strukturalnej Twierdzenie. (Zasada Indukcji Strukturalnej). Ka»da formuªa j zyka KRZ ma wªasno± Q, o ile: 1 Krok pocz tkowy. Ka»da formuªa atomowa oraz jej negacja maj wªasno± Q; 2 Kroki indukcyjne. 1 Je±li ϕ ma wªasno± Q, to ϕ ma wªasno± Q; 2 Je±li α 1 oraz α 2 maj wªasno± Q, to α ma wªasno± Q. 3 Je±li β 1 oraz β 2 maj wªasno± Q, to β ma wªasno± Q. Dowód (Fitting 1990, 2122). Zaªó»my,»e Q jest wªasno±ci speªniaj c warunki twierdzenia. Powiemy,»e formuªa ψ jest dobra, je±li ψ oraz ψ maj wªasno± Q. Je±li poka»emy,»e ka»da formuªa jest dobra, to wyniknie z tego,»e ka»da formuªa ma wªasno± Q. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 28 / 31

Preliminaria logiczne Zasada Indukcji Strukturalnej raz jeszcze Dowód Zasady Indukcji Strukturalnej Je±li ψ jest atomowa, to jest dobra (na mocy kroku pocz tkowego). Zaªó»my,»e ψ jest dobra. Wtedy ψ, ψ maj wªasno± Q. Na mocy kroku indukcyjnego 1, ψ ma wªasno± Q. A zatem ψ jest dobra. Zaªó»my,»e ϕ oraz ψ s dobre. Je±li (ϕ ψ) jest α-formuª, to (ϕ ψ) jest β-formuª, a je±li (ϕ ψ) jest β-formuª, to (ϕ ψ) jest jest α-formuª. W ka»dym z tych przypadków, {α 1, β 1 } {ϕ, ϕ}. Poniewa» ϕ oraz ϕ s dobre, wi c obie maj wªasno± Q (czyli α 1 i β 1 maj wªasno± Q). Podobnie, {α 2, β 2 } {ψ, ψ}, a wi c α 2, β 2 maj wªasno± Q. Na mocy ostatnich dwóch kroków indukcyjnych, α i β maj wªasno± Q. Na mocy pierwotnej wersji Zasady Indukcji Strukturalnej, ka»da formuªa jest dobra, czyli ka»da formuªa ma wªasno± Q. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 29 / 31

Preliminaria logiczne Zasada Indukcji Strukturalnej raz jeszcze Zasada Rekursji Strukturalnej Twierdzenie. (Zasada Rekursji Strukturalnej). Istnieje dokªadnie jedna funkcja f okre±lona na zbiorze F wszystkich formuª j zyka KRZ taka,»e: 1 Krok pocz tkowy. Warto± f jest podana wyra¹nie dla formuª atomowych oraz ich negacji. 2 Kroki rekurencyjne. 1 Warto± f dla ψ jest okre±lona w terminach warto±ci f dla ψ; 2 Warto± f dla α jest okre±lona w terminach warto±ci f dla α 1 oraz dla α 2. 3 Warto± f dla β jest okre±lona w terminach warto±ci f dla β 1 oraz dla β 2. Twierdzenie to mo»na wykorzysta do deniowania stopnia zªo»ono±ci formuª, zapisywanych w jednolitej notacji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 30 / 31

Preliminaria logiczne Stopnie i rangi formuª Stopnie i rangi formuª j zyka KRZ Funkcja stopnia dg zdeniowana jest indukcyjnie: Stopie«formuª atomowych (zmiennych oraz i ) jest równy 0. dg( ψ) = dg(ψ) + 1 dg((ϕ ψ)) = dg(ϕ) + dg(ψ) + 1, gdzie jest funktorem dwuargumentowym. Funkcja rangi rk zdeniowana jest indukcyjnie: rk(p) = rk( p) = 0 dla zmiennych zdaniowych p. rk( ) = rk( ) = 0. rk( ψ) = rk(ψ) + 1 rk(α) = rk(α 1 ) + rk(α 2 ) + 1 rk(β) = rk(β 1 ) + rk(β 2 ) + 1 Jerzy Pogonowski (MEG) Metody dowodowe: wst p MDTiAR 31 / 31