Aproksymacja linią prostą. dane. X dane 0. Y dane 1. p q. line X, Y. Tablica z danymi do aproksymacji

Podobne dokumenty
Matematyka stosowana i metody numeryczne

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Interpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Interpolacja i aproksymacja, pojęcie modelu regresji

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna

Wprowadzenie do Mathcada 1

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

Jak korzystać z Excela?

x y

Krótka instrukcja opracowania danych w programie SciDAVis v. 1-D013-win

w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.

Metody eksploracji danych Laboratorium 1. Weka + Python + regresja

Elementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Całkowanie numeryczne

Regresja i Korelacja

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Metody numeryczne Wykład 6

METODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.

Regresja linearyzowalna

Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu


Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

1. Sporządzić tabele z wynikami pomiarów oraz wyznaczonymi błędami pomiarów dotyczących przetwornika napięcia zgodnie z poniższym przykładem

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Regresja nieparametryczna series estimator

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka





ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Wprowadzenie do Mathcad 15 ćwiczenie 4

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

Technika analogowa 2. Wykład 5 Analiza obwodów nieliniowych

Podstawy analizy matematycznej II

Funkcje dwóch zmiennych

Bardzo łatwa lista powtórkowa

Wycena nieruchomości w podejściu porównawczym - complex. Materiały reklamowe ZAWAM-Marek Zawadzki

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

DOPASOWYWANIE KRZYWYCH

Funkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5

Niepewności pomiarów

1. Równania i nierówności liniowe

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

Ekonometria. Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa. Paweł Cibis 24 marca 2007

Matematyka stosowana i metody numeryczne

MATLAB Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

1 Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe wyższych rzędów

(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:

Podstawowe człony dynamiczne

Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III

INSTRUKCJA OBSŁUGI PROGRAMU LOGGER PRO

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Metody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Rozwiązywanie równań nieliniowych

INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.

Układy równań i równania wyższych rzędów

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

Wykład 4 Związki i zależności

Uczenie sieci typu MLP

Metody numeryczne Wykład 7

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28

Prawdopodobieństwo i statystyka

Metody eksploracji danych 2. Metody regresji. Piotr Szwed Katedra Informatyki Stosowanej AGH 2017

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Wstęp do metod numerycznych Aproksymacja i zagadnienie najmniejszych kwadratów

Transkrypt:

v. 4 aproks_prosta.xmcd Aproksymacja linią prostą Tablica z danymi do aproksymacji dane.3 3.6 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 6.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 9 77.69 X dane Y dane Współczynniki prostej a line( X, Y) Funkcja aproksymująca y( x) a + a x Można też tak p q line X, Y ( ) y( x) p + q x 26-- :28

v. 4 aproks_prosta.xmcd x,.95.. 2 8 Y 6 y( x) 4 2 2 X, x 26-- :28

v. 4 aproks_prosta-2.xmcd Tablica z danymi do aproksymacji Aproksymacja linią prostą - 2 dane.3 3.6 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 6.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 9 77.69 X dane Y dane Współczynniki prostej b intercept( X, Y) m slope( X, Y) Funkcja aproksymująca: y( x) b + m x 8 Y y( x) 6 4 2 2 5 8 4 7 2 X, x 27--25 2:52

v. 4 regress.xmcd Aproksymacja wielomianem stopnia n Tablica z danymi do aproksymacji dane.3 3.6 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 6.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 9 77.69 X dane Y dane Współczynniki wyznaczane przez funkcję regress dla funkcji interp S regress( X, Y, 5) Funkcja aproksymująca fit( x) interp( S, X, Y, x) /2 27--25 2:59

v. 4 regress.xmcd z,... 9 8 Y 6 fit( z) 4 2 5 5 2 X, z 2/2 27--25 2:59

loess-.xmcd Aproksymacja wielomianami stopnia drugiego Tablica z danymi do aproksymacji dane 5 22.86.6 42.86 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 9.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 7.5 77.69 X dane Y dane Współczynniki wyznaczane przez funkcję loess dla funkcji interp S loess( X, Y,.5) S2 loess( X, Y,.5) Funkcje aproksymujące: fit( x) interp( S, X, Y, x) fit2( x) interp( S2, X, Y, x) /2 28--29 :29

loess-.xmcd z 3, 3.25.. 7.5 8 Y 6 fit( z) fit2( z) 4 2 5 5 2 X, z 2/2 28--29 :29

linfit-.xmcd Zastosowanie funkcji linfit do wyznaczenia wspołczynników wielomianu aproksymacyjnego drugiego stopnia.9.6 2.3 vx 3.5 vy 6.7 F( x) 4.2 5 5.8 3 4.8 5.2 6.5 3.2 x x 2 Składowe wektora F(x) mogą być dowolnymi funkcjami. a linfit( vx, vy, F) yp( x) 2 i = ( a i F( x) i ) a =.763 4.638.749 x.9,.. 5.8 8 6 yp( x) 4 vy 2 2 3 4 5 6 x, vx 26-- :22

genfit-.xmcd Aproksymacja nieliniowa za pomocą funkcji genfit Wektory danych do aproksymacji.3.4 vx vy.4 2 4 9.4.2 5 3 6 Pierwszy element po prawej stronie funkcji F(z,u) jest funkcją, która będzie aproksymować dane. Następne elementy to pochodne cząstkowe F względem poszukiwanych współczynników u i. F( z, u) e u + u z+ u 2 z 2 e u + u z+ u 2 z 2 z e u + u z+ u 2 z 2 z 2 e u + u z+ u 2 z 2 Poniższy wektor zawiera założone początkowe wartości poszukiwanych współczynników u, u, and u 2. vg 28--29 : P genfit( vx, vy, vg, F)

genfit-.xmcd Wektor P zawiera optymalne wartości współczynników u, u, and u 2, obliczone przez genfit. P = 2.5654.788.364 Krzywa nalepiej dopasowana do danych g( x) F( x, P) i.. 5 x.3,.3.. 4 vy i g( x) 5 2 3 4 vx i, x dane wyznaczona krzywa Zastosowanie funkcji genfit z numerycznym wyznaczaniem pochodnych F( z, u) e u + u z+ u 2 z 2 28--29 :

genfit-.xmcd P genfit( vx, vy, vg, F) Prawym klawiszem myszy kliknąć w nazwę funkcji "genfit" i wybrać metodę: Optimized Levenberg Marquardt P = 2.5654.788.364 28--29 :

Regresja nieliniowa vx vx vx : = vx2 (a) M vx n vy vy vy : = vy2 (b) M vy n az vg : = b z (c) cz Funkcja wykładnicza b x wsp : = expfit(vx, vy, vg) (2a) y = a e + c (2b) wsp wsp = wsp wsp 2 (3a) a = wsp b = wsp c = wsp 2 (3b) Funkcja logistyczna wsp : = lgsfit(vx, vy, vg) (4a) y a = (4b) cx + b e Funkcja logarytmiczna wsp : = logfit(vx, vy, vg) (5a) y = a ln( x + b) + c (5b) Funkcja potęgowa wsp : = pwrfit(vx, vy, vg) (6a) y = a x + c (6b) Funkcja sinusoidalna wsp : = sinfit(vx, vy, vg) (7a) y = a sin( x + b) + c (7b)

expfit-.xmcd Zastosowanie funkcji expfit do wyznaczenia współczynników a i funkcji aproksymującej postaci yp( x) a e a x + a 2..9.2 vx 2 vy 2.8 3.4 4.55 5.2 8.2 6.5 25 33 48. Wartości początkowe az i (założone) az a expfit( vx, vy, az) a = 9.794.26 5.989 yp( x) a e a x + a 2 x.,.2.. 4.55 5 4 yp( x) 3 vy 2 2 3 4 5 x, vx 28--29 :3

expfit-.xmcd n 6 (7 punktów o numerach od do 6) Suma kwadratów S n i = ( vy i yp( vx i )) 2 S = 3.894 Odchylenie średniokwadratowe n ( vy i yp( vx i )) 2 i = S S =.746 n + Można też tak p q r expfit( vx, vy, az) yp( x) p e q x + r yp( ) = 9.673 2 28--29 :3

minimize-apr.xmcd Zastosowanie funkcji minimize do wyznaczenia współczynników funkcji aproksymującej dowolnej postaci..9.2 vx 2 vy 2.8 3.4 4.55 5.2 3.43.2 8.5 6 33 48. fit( a, x) a + a x 2 a 2 e a 3 x + S( a) last( vx) i = ( vy i fit( a, vx i )) 2 a a a 2 a 3 a Minimize( S, a) a = 2.468.76 2.567.37 yp( x) fit( a, x) 28--29 :4

minimize-apr.xmcd x.,.2.. 4.55 5 4 yp( x) 3 vy 2 2 3 4 5 x, vx n 6 (7 punktów o numerach od do 6) Suma kwadratów S n i = ( vy i yp( vx i )) 2 S = 88.82 Odchylenie średniokwadratowe n ( vy i yp( vx i )) 2 i = S S = 3.547 n + 2 28--29 :4