v. 4 aproks_prosta.xmcd Aproksymacja linią prostą Tablica z danymi do aproksymacji dane.3 3.6 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 6.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 9 77.69 X dane Y dane Współczynniki prostej a line( X, Y) Funkcja aproksymująca y( x) a + a x Można też tak p q line X, Y ( ) y( x) p + q x 26-- :28
v. 4 aproks_prosta.xmcd x,.95.. 2 8 Y 6 y( x) 4 2 2 X, x 26-- :28
v. 4 aproks_prosta-2.xmcd Tablica z danymi do aproksymacji Aproksymacja linią prostą - 2 dane.3 3.6 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 6.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 9 77.69 X dane Y dane Współczynniki prostej b intercept( X, Y) m slope( X, Y) Funkcja aproksymująca: y( x) b + m x 8 Y y( x) 6 4 2 2 5 8 4 7 2 X, x 27--25 2:52
v. 4 regress.xmcd Aproksymacja wielomianem stopnia n Tablica z danymi do aproksymacji dane.3 3.6 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 6.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 9 77.69 X dane Y dane Współczynniki wyznaczane przez funkcję regress dla funkcji interp S regress( X, Y, 5) Funkcja aproksymująca fit( x) interp( S, X, Y, x) /2 27--25 2:59
v. 4 regress.xmcd z,... 9 8 Y 6 fit( z) 4 2 5 5 2 X, z 2/2 27--25 2:59
loess-.xmcd Aproksymacja wielomianami stopnia drugiego Tablica z danymi do aproksymacji dane 5 22.86.6 42.86 3 23.6 5 27.57 4 24.26 6 9.63 8 3.4 2 5.3 48.22 3 6.33 6 7.89 4 59.8 7 84.27 7.5 77.69 X dane Y dane Współczynniki wyznaczane przez funkcję loess dla funkcji interp S loess( X, Y,.5) S2 loess( X, Y,.5) Funkcje aproksymujące: fit( x) interp( S, X, Y, x) fit2( x) interp( S2, X, Y, x) /2 28--29 :29
loess-.xmcd z 3, 3.25.. 7.5 8 Y 6 fit( z) fit2( z) 4 2 5 5 2 X, z 2/2 28--29 :29
linfit-.xmcd Zastosowanie funkcji linfit do wyznaczenia wspołczynników wielomianu aproksymacyjnego drugiego stopnia.9.6 2.3 vx 3.5 vy 6.7 F( x) 4.2 5 5.8 3 4.8 5.2 6.5 3.2 x x 2 Składowe wektora F(x) mogą być dowolnymi funkcjami. a linfit( vx, vy, F) yp( x) 2 i = ( a i F( x) i ) a =.763 4.638.749 x.9,.. 5.8 8 6 yp( x) 4 vy 2 2 3 4 5 6 x, vx 26-- :22
genfit-.xmcd Aproksymacja nieliniowa za pomocą funkcji genfit Wektory danych do aproksymacji.3.4 vx vy.4 2 4 9.4.2 5 3 6 Pierwszy element po prawej stronie funkcji F(z,u) jest funkcją, która będzie aproksymować dane. Następne elementy to pochodne cząstkowe F względem poszukiwanych współczynników u i. F( z, u) e u + u z+ u 2 z 2 e u + u z+ u 2 z 2 z e u + u z+ u 2 z 2 z 2 e u + u z+ u 2 z 2 Poniższy wektor zawiera założone początkowe wartości poszukiwanych współczynników u, u, and u 2. vg 28--29 : P genfit( vx, vy, vg, F)
genfit-.xmcd Wektor P zawiera optymalne wartości współczynników u, u, and u 2, obliczone przez genfit. P = 2.5654.788.364 Krzywa nalepiej dopasowana do danych g( x) F( x, P) i.. 5 x.3,.3.. 4 vy i g( x) 5 2 3 4 vx i, x dane wyznaczona krzywa Zastosowanie funkcji genfit z numerycznym wyznaczaniem pochodnych F( z, u) e u + u z+ u 2 z 2 28--29 :
genfit-.xmcd P genfit( vx, vy, vg, F) Prawym klawiszem myszy kliknąć w nazwę funkcji "genfit" i wybrać metodę: Optimized Levenberg Marquardt P = 2.5654.788.364 28--29 :
Regresja nieliniowa vx vx vx : = vx2 (a) M vx n vy vy vy : = vy2 (b) M vy n az vg : = b z (c) cz Funkcja wykładnicza b x wsp : = expfit(vx, vy, vg) (2a) y = a e + c (2b) wsp wsp = wsp wsp 2 (3a) a = wsp b = wsp c = wsp 2 (3b) Funkcja logistyczna wsp : = lgsfit(vx, vy, vg) (4a) y a = (4b) cx + b e Funkcja logarytmiczna wsp : = logfit(vx, vy, vg) (5a) y = a ln( x + b) + c (5b) Funkcja potęgowa wsp : = pwrfit(vx, vy, vg) (6a) y = a x + c (6b) Funkcja sinusoidalna wsp : = sinfit(vx, vy, vg) (7a) y = a sin( x + b) + c (7b)
expfit-.xmcd Zastosowanie funkcji expfit do wyznaczenia współczynników a i funkcji aproksymującej postaci yp( x) a e a x + a 2..9.2 vx 2 vy 2.8 3.4 4.55 5.2 8.2 6.5 25 33 48. Wartości początkowe az i (założone) az a expfit( vx, vy, az) a = 9.794.26 5.989 yp( x) a e a x + a 2 x.,.2.. 4.55 5 4 yp( x) 3 vy 2 2 3 4 5 x, vx 28--29 :3
expfit-.xmcd n 6 (7 punktów o numerach od do 6) Suma kwadratów S n i = ( vy i yp( vx i )) 2 S = 3.894 Odchylenie średniokwadratowe n ( vy i yp( vx i )) 2 i = S S =.746 n + Można też tak p q r expfit( vx, vy, az) yp( x) p e q x + r yp( ) = 9.673 2 28--29 :3
minimize-apr.xmcd Zastosowanie funkcji minimize do wyznaczenia współczynników funkcji aproksymującej dowolnej postaci..9.2 vx 2 vy 2.8 3.4 4.55 5.2 3.43.2 8.5 6 33 48. fit( a, x) a + a x 2 a 2 e a 3 x + S( a) last( vx) i = ( vy i fit( a, vx i )) 2 a a a 2 a 3 a Minimize( S, a) a = 2.468.76 2.567.37 yp( x) fit( a, x) 28--29 :4
minimize-apr.xmcd x.,.2.. 4.55 5 4 yp( x) 3 vy 2 2 3 4 5 x, vx n 6 (7 punktów o numerach od do 6) Suma kwadratów S n i = ( vy i yp( vx i )) 2 S = 88.82 Odchylenie średniokwadratowe n ( vy i yp( vx i )) 2 i = S S = 3.547 n + 2 28--29 :4