Nieparametryczna ANOVA

Podobne dokumenty
[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

Przegląd wybranych testów

1. Relacja preferencji

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Statystyka Wykład 9 Adam Ćmiel A3-A4 311a

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

ĆWICZENIE 3 ANALIZA WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK MASOWYCH

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

r h SSE EKONOMETRIA - WZORY p pk Opracowała: Joanna Kisielińska 1 Metody doboru zmiennych Metoda Nowaka Metoda Hellwiga Metoda momentów

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

Przetwarzanie danych meteorologicznych

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Planowanie eksperymentu pomiarowego I


Definicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W mn postaci

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Zmiana bazy i macierz przejścia

Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k

Procent prosty Gdy znamy kapitał początkowy i stopę procentową

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

. Wtedy E V U jest równa

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Indukcja matematyczna

STATYSTYKA PODSTAWOWE WZORY DOZWOLONE NA EGZAMINIE NA STUDIACH LICENCJACKICH

1 3. N i e u W y w a ć w o d y d o d o g a s z a n i a g r i l l a! R e k o m e n d o w a n y j e s t p i a s e k Z a w s z e u p e w n i ć s i

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015

ć ć ć ć ć ć ź ć ź ć Ć Ó Ż Ó Ć Ł ć ć ć ć ć Ą

r r r m dt d r r r r 2 dt r m dt dt

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

System finansowy gospodarki

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Testowanie hipotez statystycznych

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }

δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T


Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

JEDNOSTKI SI (przeliczanie) PRZEDROSTKI do tworzenia nazw i symboli jednostek krotnych

Testowanie hipotez statystycznych

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Rozdział 3 Zastosowanie języka SQL w statystyce opisowej 1 Wprowadzenie

Uwaga z alkoholem. Picie na świeżym powietrzu jest zabronione, poza licencjonowanymi ogródkami, a mandat można dostać nawet za niewinne piwko.

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Miary statystyczne. Katowice 2014

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84



L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

65120/ / / /200

Reprezentacja krzywych...

( ) RóŜne rodzaje grup. Symetrie i struktury ciała stałego. W.Sikora, Wyklad 3


Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Stosowana Analiza Regresji

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Niemili nie będą mili

Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

KRZYWOLINIOWA FUNKCJA REGRESJI W BAZIE FUNKCJI SKLEJANYCH

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

σ r z wektorem n r wynika

Parametry zmiennej losowej

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

Dziś: Pełna tabela loterii państwowej z poniedziałkowego ciągnienia

Transkrypt:

Nepaametyza NOV Jeżel z pewyh względów założee omaloś błędów w modelu NOV efetów stałyh est e do pzyęa, to moża zbudować ogóleszy model e ozystaąy z tyh ępuąyh założeń. ozważmy pewe epaametyzy odpowed edozyowe NOV. Ozazmy pzez F a epaametyzą odzę absolute ągłyh dystybuat a poste Mamy wę model X X póba posta z ozładu z ezaą absolute ągłą dystybuatą F,..., M X,..., X póba posta z ozładu z ezaą absolute ągłą dystybuatą F. Chemy testować hpotezę H 0 : F =...= F pzewo alteatywe H :, : F F. Szzególym pzypadem powyższego modelu est astępuąy model epaametyzy X Ozywśe = + ε,...,;,..., m ε d F(x F a ( E( ε = 0, V ( ε = σ X,..., X est póbą postą z ozładu o dystybuae F(x-m W tym modelu testuemy hpotezę H 0 : m =...= m pzewo alteatywe H :, : m m. Powyższy poblem pzypoma poblem ozważay wześe w zyowe NOV efetów stałyh. Ia est eda odza ozładów a stosowe pzestze pób. W tym pzypadu mamy do zyea z epaametyzą odzą ozładów paametyzowaą paametem (m,...,m,f F a. Ja testować H 0? Pomysł: Zmodyfować ozwązae uzysae w odpowedm modelu paametyzym ta, aby pzyame pzy pawdzwoś H 0 ozład zmodyfowae statysty testowe e zależał od ezae dystybuaty F(x F a. Faty Jeżel X=(X,...,X est póbą postą z ozładu o absolute ągłe dystybuae F F a, to weto statysty pozyyyh X =(X (,...,X ( est statystyą dostatezą zupełą (wę taże mmalą dostatezą. Pześe od póby X do X eduue póbę bez staty foma lez ozład X w dalszym ągu zależy od ezae dystybuaty F.

Za pomoą śśle osąe tasfoma moża dowoly ozład ągły a poste pzeształć a dowoly y ągły ozład a poste. Jeżel zmea losowa X ma pewe ozład F F a, to zmea F(X ma ozład edostay U[0,]. Jeżel G F a est zadaą dystybuatą a poste, to G - (F(X ma ozład o dystybuae G a fua złożoa G - F est śśle mootoza by poedua testowa e zależała do ezae dystybuaty F F a "powa" być oa ezmeza względem gupy osąyh be f : Masymalym ezmeem względem gupy osąyh be est weto ag (,..., gdze =mese (aga obsewa X w upoządowaym osąo wetoze X =(X (,...,X ( Wose. Test H 0 ależy opzeć e a suowyh obsewaah lez a h agah Test NOV usala Wallsa (95 Uwaga. Dla ozładów ągłyh z pawdopodobeństwem wszyste obsewae są óże wę ag są óże. Neh będze agą obsewa X w połązoe póbe Ozazea: = I = X X,...,,..., X,..., X. + = = + - suma ag w -te gupe - śeda aga w -te gupe ++ = ( + + = +... + = - suma wszysth ag + = + + = śeda aga w póbe elemetowe Statystya = ( + ( = ( + ( + + 6 ( = est maą typu χ zóżowaa śedh ag w gupah. Duże watoś statysty śwadzą pzewo hpoteze H 0.

Pzy pawdzwoś hpotezy H 0 ażdy uład ag ma tae samo pawdopodobeństwo!!...! uładów tyh ag powadz do tego samego uładu sum ag +,..., +. Metodam!. ażdy z ombatoyzym moża wę wyzazyć yt,aby P ( > (patz Zelńs -Table... H 0 yt Dla 5 ozład statysty moża pzyblżać ozładem χ. Uwaga. Jeżel powodu p. małe peyz pomau otzymuemy obsewae o tyh samyh watośah, to pzypsuemy m śedą agę- mówmy wówzas o agah zwązayh. W tae sytua statystya zostae zastąpoa statystyą T z popawą a ag zwązae T =, gdze S - lość obsewa z -tą agą zwązaą (-te mese ex aequo ( S S Moża poazać, ze statystya est zwązaa ze statystyą = ( ( (NOV wyoaa a agah wzoam ( = ; ( ( =. ( + ( Test usala-wallsa est ówoważy testow NOV wyoaemu a agah Uwaga. O.J. Du zapopoowała asymptotyzą poeduę poówań edozesyh typu Bofeoego, tóa otolue błąd dla wszysth poówań paam poeduę poówań edozesyh z wyóżoą gupą otolą (szzegóły p., ohatg Woolso Dla poówań paam gup ( zyl edoześe ( poówań popooway pzez O.J. Du test aże uzać gupy -tą oaz -tą za stote oże, gdy ( + > z ( + ; <, ( gdze z est watylem zędu ( ozładu N(0,. ( Pzy pawdzwoś H 0 pawdopodobeństwo zaobsewowaa fałszywe stote óży est ówe. Pzy poówaah - gup z wyóżoą gupą otolą (o umeze mamy egułę Gupa -ta stote óż sę od gupy otole gdy ( ( + > z ( + ; <-, Pzy pawdzwoś H 0 pawdopodobeństwo zaobsewowaa fałszywe stote óży est ówe.

Nepaametyza zyowa NOV Fedmaa. Model = β + ε,,...,,,..., X m + + = 0, β = 0 ε d o pewe ągłe dystybuae F F a E( ε = 0, V ( ε = σ Jest to ozywśe model epaametyzy, gdyż odza ozładów a pzestze pób est odzą epaametyzą. Jest to epaametyzy odpowed zyowe NOV efetów główyh (bez tea- model addytywy z obsewaą w ażde late (pomamy wę des umeu obsewa w late. Do taego modelu powadz pla zadomzoway w uładze bloowym lub edozyowa NOV w uładze z powtazalym pomaam. Zestawaą obsewae X w maez, wesze tatuemy ao edoode blo a olumy ao zabeg Testuemy hpotezę H 0 : β =...=β (zabeg e óżą sę mędzy sobą pzewo alteatywe H : H 0 Poedua testowaa powa być ezmeza ze względu a tasfomae zahowuąe poząde ( w edoodyh bloah Jedoodość blou zapewamy popzez zastosowae dla ażdego blou poządowe sal o ategoah. aguemy wę obsewae w ażdym z bloów (weszy z osoba ozazamy =(X - aga -te obsewa w -tym blou ( stąd Ozazmy (dla,..., + = -suma ag dla (-tego zabegu, -te olumy ( + Ozywśe =. Jeżel pawdzwa est hpoteza H 0, to E ( + = = Statystya S = ( + E + Statystya F Fedmaa opata a S ma postać S F = = + ( ( + ( + ( + ( mezy óżę pomędzy olumam (zabegam + ( + e ozład pzy pawdzwoś H 0 e zależy od ezae dystybuaty F F a est wyzazoy metodam ombatoyzym. Putem wyśa est fat, że pzy pawdzwoś H 0 ażdy z (! uładów ag w bloah est edaowo pawdopodoby. Poadto zay est ozład asymptotyzy: dla F ma ozład χ. Dla <6 są table ozładu F dla małyh. Zobaz ( 4

Zelńs., Zelńs W. Table statystyze st. 406 -Uwaga u Zelńsh obsewae są agowae w olumah -maez obsewa est we taspozyą maezy tu ozważae Jeżel zabeg stote óżą sę mędzy sobą, to dlatego że agowae w poszzególyh bloah F było podobe. Maą tego podobeństwa est edalla współzy zgodoś. W =, ( tóy pzymue watoś z pzedzału [0, ] ( spawdzć. Jeżel agowae w ażdym blou było detyze (peła zgodość, to sumy ag +,..., + są pemutaam lzb,,..., W=. Podobe eżel agowaa w bloah są ezależe to sumy ag +,..., + są sobe blse mogą być awet detyze. Wówzas współzy zgodoś W=0. Podobe a w pzypadu NOV usala-wallsa zae są testy poówań welootyh (zobaz Woolso.F. Statstal methods fo the aalyss of bomedal data, Wley, st. 78 79. Gupy -tą -tą (-ty -ty zabeg uzaemy za stote oże eżel ( + > q ( ; <, gdze q ( est watylem odpowedego ozładu (zobaz Woolso - tabla 5. Pawdopodobeństwo pzy H 0 zaobsewowaa fałszywe stote óży łąze w ( poówaah est ówe. Dla poówań z wyóżoą gupą otolą (o umeze eguła est podoba ( + > q ( 6 ; -, pzy zym ( est watylem stosowego (ego ż popzedo tablowaego ozładu q (zobaz Woolso - tabla 6. Uwaga. Test Fedmaa może być taże użyty do testowaa edoodoś ozładów w póbah zależyh pohodząyh z > wymaowego ozładu ągłego. Maowe eh X=(X,...,X będze wetoem (weszowymz -wymaowego ozładu ągłego, pzy zym sładowe X,...,X maą odpowedo ozłady bzegowe o dystybuatah F,...,F. Na podstawe elemetowe póby poste X = (X,...,X... X = (X,...,X z ozpatywaego ozładu zweyfować hpotezę H 0 : F =...=F wobe alteatywy H :, X st X (tz. F F. 5