1 Przestrzenie Hilberta

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie, : H H IR spełniajace następujące warunki dla x, y, z H (i) x, x > 0 dla x 0, (ii) x + y, z = x, z + y, z, (iii) ax, y = a x, y, a IR, (iv) x, y = y, x. Powyższe odwzorowanie nazywa się iloczynem skalarnym, a parę (H,, ) przestrzenią unitarną. Dla iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej zachodzi tzw. nierówność Schwarza x, y 2 x, x y, y, x, y H. Wiadomo również, że w przestrzeni unitarnej można określić normę wzorem h := h, h, h H. Jeśli przestrzeń unitarna (H,, ) jest zupełna w powyższej normie, to nazywamy ją przestrzenią Hilberta. Od tej pory H będzie zawsze przestrzenią Hilberta. Mówiny, że h, g H są ortogonalne jeśli h, g = 0. Piszemy wtedy h g. Jeśli h, g H są ortogonalne, to h + g 2 = h 2 + g 2. Jeśli H 0 H jest podprzestrzenią liniową, to oznaczmy przez H 0 := {h H : h g dla każdego g H 0 }. Zauważmy, że H0 jest domkniętą podprzestrzenią H. Nazywa się ją dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni H 0. Twierdzenie 1.1 (Twierdzenie o rzucie ortogonalnym) Jeśli H 0 H jest domkniętą podprzestrzenią liniową, to H = H 0 H 0. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że każdy element h H możemy (jednoznacznie) przedstawić w postaci h = h 0 + h 1, gdzie h 0 H 0, h 1 H 0 oraz h 0 h 1. Element h 0 nazywamy rzutem ortogonalnym elementu h na podprzestrzeń H 0. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym dostajemy również

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 2 Lemat 1.2 Podprzestrzeń H 0 H jest gęsta w H wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym elementem z H ortogonalnym do H 0 jest zero. Twierdzenie 1.3 Niech {h n } n 1 H będzie ciągiem ortogonalnych wektorów. Wtedy następujące warunki sa równoważne: (i) Szereg h n jest zbieżny w H, (ii) h n 2 <, (iii) Szereg h n, g jest zbieżny dla każdego g H. Układ ortogonalny {e n } n 1 H nazywamy układem ortonarmalnym jeśli e n = 1 dla n 1. Wtedy e n, e m = δ n,m, gdzie δ n,m jest symbolem Kroneckera. Jeśli {a n } n 1 l 2 wtedy z twierdzenia 1.3 szereg (1.1) jest zbieżny oraz a n e n a n e n = a 2 n. W drugą stronę. Jeśli dla pewnego ciągu {a n } n 1 szereg (1.1) jest zbieżny, to z twierdzenia 1.3 {a n } n 1 l 2. Zauważmy, że jeśli przez h oznaczymy sumę szeregu (1.1), to Wystarczy w tym celu zauwazyć, że a k = h, e k, k 1. m a k = a n e n, e k, dla m k i przejść do granicy dla m. Liczby h, e k, k 1 nazywamy współczynnikami Fouriera elementu h H względem układu ortonormalnego {e n } n 1, a szereg (1.2) h, e n e n szeregiem Fouriera elementu h H względem tego układu. Z następującej tożsamości dostajemy h m 2 h, e n e n = h 2 m h, e n 2, m = 1, 2, 3,...

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 3 Twierdzenie 1.4 Jeśli {e n } n 1 jest układem ortonormalnym w H, to dla dowolnego elementu h H szereg h, e n 2 jest zbieżny oraz zachodzi nierówność Bessla tj. h, e n 2 h 2, która przechodzi w równość wtedy i tylko wtedy, gdy h = Jeśli dla każdego h H mamy h = h, e n e n. h, e n e n, to układ {e n } n 1 nazywamy bazą ortonormalną w Przestrzeni Hilberta H. Twierdzenie 1.5 W każdej ośrodkowej przestrzeni Hilberta istnieje co najwyżej przeliczalna baza ortonormalna. Mamy następującą charakteryzację baz ortonormalnych. Lemat 1.6 (O bazach ortonormalnych) Niech {e n } n 1 będzie układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta H. Następujące warunki są równoważne: (a) Układ {e n } n 1 jest bazą ortonormalną w H. (b) Dla każdego h H mamy h 2 = h, e n 2. (c) Dla każdego h H, jeśli h, e n = 0 dla n 1, to h = 0 (zupełność układu). (d) span{e n : n 1} = H. Dowód. (a) (b) wynika natychmiast z twierdzenia 1.4. (b) (c) jest natychmiastowy. (c) (d): Oznaczmy H 1 = span{e n : n 1} i załóżmy, że H 1 H. Ponieważ H 1 H, więc z twierdzenia o rzucie ortogonalnym H = H 1 H1, gdzie H 1 {0}. Zatem istnieje h 0 i h H1. Stąd h e n dla n 1, więc z (c) mamy h = 0 co daje sprzeczność, bo załóżyliśmy, że h 0.

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 4 (d) (a) wynika z następujacej własności rzutu ortogonalnego m h m, h h, e n e n a n e n dla an IR, n = 1, 2,..., m, m 1. Niech {e n } n 1 będzie bazą ortonormalną w Przestrzeni Hilberta H. Zbiór E H jest zbiorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony i szereg Fouriera h, e n e n, h E jest na zbiorze E zbieżny jednostajnie (do h E). Np. domknięta kula jednostkowa w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hiberta H nie jest zbiorem zwartym. 1.2 Operatory liniowe ograniczone Operator liniowy A : H H nazywamy operatorem ograniczonym jesli istnieje stała M > 0 taka, że (1.3) A(h) M h, h H. Najmniejszą stałą M > 0 spełniającą (1.3) nazywamy normą operatora i będziemy ją oznaczać przez A. Jak wiadomo ograniczoność operatora A jest równoważna jego ciągłości. Zbiór operatorów liniowych i ograniczonych A : H H tworzy przestrzeń liniową, którą będziemy oznaczać przez L(H) := L(H, H). Przestrzeń ta z normą A, A L(H) jest przestrzenią Banacha. Można udowodnić, że norma operatora A L(H) jest równa A = sup A(h) = sup A(h). h 1 Dla przypomnienia kilka twierdzeń o ciągach operatorów ograniczonych (w ogólnej postaci) Twierdzenie 1.7 (Banacha-Steinhausa) Niech {A n } n 1 będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni unormowanej Y. Wtedy ciąg { A n } n 1 norm tych operatorow jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego x X ciąg {A n (x)} n 1 jest ograniczony. Dwa bezpośrednie wnioski z tego twierdzenia Wniosek 1.8 Jeśli {A n } n 1 jest ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni unormowanej Y i ciąg {A n (x)} n 1 jest zbieżny dla każdego x X, to operator określony wzorem A(x) = lim n A n(x), jest operatorem liniowym ograniczonym. x X

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 5 Wniosek 1.9 Niech {A n } n 1 będzie ciągiem operatorów liniowych ograniczonych określonych na przestrzeni Banacha X, o wartościach w przestrzeni Banacha Y. Załóżmy, że ciag norm { A n } n 1 jest ograniczony. Jeśli zbiór E X jest gęsty w przestrzeni X i ciąg {A n (x)} n 1 jest zbieżny dla każdego x E, to stąd wynika zbieżność tego ciągu dla każdego x X. Twierdzenie 1.10 (Banacha o operatorze odwrotnym) Jeżeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowującym wzajemnie jednoznacznie przestrzeń Banach X na przestrzeń Banacha Y, to operator odwrotny A 1 też jest ograniczony. Twierdzenie 1.11 Jeżeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwracalnym odwzorowującym przestrzeń Banach X w przestrzeń Banacha Y, to następujace warunki są równoważne: (i) Operator odwrotny A 1 jest ograniczony. (ii) Istnieje stała m > 0 taka, że A(x) m x dla każdego x X. (iii) Zbiór wartości operatora A jest domknięty. Kolejne twierdzenie mówi, że operator liniowy ograniczony określony na podprzestrzeni gęstej można rozszerzyć na całą przestrzeń z zachowaniem normy, dokładniej Twierdzenie 1.12 Niech X będzie przestrzenią unormowaną, a Y przestrzenią Banacha, a A 0 operatorem liniowym ograniczonym określonym na podprzestrzeni gęstej X 0 X (tzn. X 0 = X). Wtedy istnieje (jedyny) operator liniowy ograniczony określony na X, o wartościach w Y taki, że A(x) = A 0 (x) dla x X 0 oraz A = A 0. Niech X przestrzeń unormowana. Operator liniowy ograniczony f : X IR nazywamy ciągłym funkcjonałem liniowym. Przez X oznaczamy przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych na X. Można wykazać, że jest to przestrzeń Banacha (z normą operatorową). W przypadku przestrzeni Hilberta mamy równość H = H (z dokładnością do izometrii), co wynika z twierdzenia Twierdzenie 1.13 (Riesza) Jeżeli f H, to istnieje dokładnie jeden element a H, taki, że f(h) = h, a, h H oraz f = a.

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 6 Niech H jak zawsze będzie przestrzenia Hilberta i A L(H). Dla każdego elementu h H określmy funkcjonał liniowy wzorem f h (x) = A(x), h, x H. Jest to oczywiście funkcjonał ograniczony. Na mocy twierdzenia Riesza istnieje h H taki, że f h (x) = x, h dla każdego x H. Zatem przyjmując A (h) = h definiujemy pewien operator A : H H spełniajacy związek A(x), h = x, A (h), x, h H. Operator A jest oczywiście operatorem liniowym. Można udowodnić, że jest on ograniczony oraz A = A. Nazywamy go operatorem sprzężonym z operatorem A. Ponadto jeśli A 1, A 2 L(H), to (A 1 A 2 ) = A 2 A 1. Operator A L(H) nazywamy samosprzężonym (symetrycznym) jeśli A = A tzn. A(x), y = x, A(y), x, y H. Twierdzenie 1.14 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym. Wtedy A = sup A(h), h. Operator A L(H) nazywamy dodatnio określonym jeśli A(h), h 0 dla każdego h H. Twierdzenie 1.15 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym, dodatnio określonym. Wtedy istnieje jedyny operator B L(H) samosprzężony, dodatnio określony taki, że B 2 := B B = A. Ponadto B C = C B, jeśli A C = C A, gdzie C L(H). Operator B nazywamy pierwiastkiem operatora A i oznaczamy A := A 1/2 := B. Zauważmy, że jeśli A jest odwracalny, to B jest rownież, bo a stąd B A = A B A 1 B A = B A 1 B = B A 1 (A 1 B) B = I, B (A 1 B) = B (B A 1 ) = I. Zatem B jest odwracalny oraz B 1 = A 1 B = B A 1.

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 7 1.3 Operatory zwarte Niech X, Y będą przestrzeniami unormowanymi. Operator liniowy A : X Y nazywamy operatorem zwartym, jeśli dla każdego zbioru ograniczonego U X obraz A(U) jest warunkowo zwarty w Y tzn. A(U) jest zbiorem zwartym w Y. Równoważnie, gdy dla każdego ciągu {x n } n 1 ograniczonego w X z ciągu {A(x n )} n 1 można wyjąć podciąg zbieżny do pewnego elementu z Y. Zauważmy, że każdy liniowy operator zwarty A jest operatorem ograniczonym. Rzeczywiście, załóżmy, że nie jest ograniczony. Wtedy intnieje ciąg {x n } n 1 taki, że x n 1, n 1 oraz A(x n ), gdy n. Stąd ciąg {A(x n )} n 1 nie zawiera podciągów zbieżnych, mimo że ciąg {x n } n 1 jest ograniczony. Przeczy to zwartości operatora A. Istnieją operatory liniowe ograniczone, które nie są operatorami zwartymi np. operator identycznościowy w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta (czy unormowanej). Jeśli A, B L(H) oraz A jest operatorem zwartym, to złożenia A B i B A są operatorami zwartymi. Operator liniowy A : X Y nazywamy skończenie wymiarowym jeśli dim A(X) <. Każdy operator liniowy ograniczony skończenie wymiarowy jest operatorem zwartym, bo gdy U X jest ograniczony, to z nierówności A(x) A x dla x X wynika, że A(U) A(X) jest zbiorem ograniczonym. Ponieważ A(X) jest skończenie wymiarowa, więc jest zbiorem domkniętym, zatem A(U) A(X). Zbiory ograniczone i domknięte w przestrzeniach skończenie wymiarowych są zbiorami zwartymi, wiec A(U) jest zbiorem zwartym. Nietrudno zauważyć, że operatory zwarte A : X Y tworzą podprzestrzeń liniową w L(X, Y ), a jeśli Y jest przestrzenią Banacha to jest to podprzestrzeń domknięta tzn. mamy Twierdzenie 1.16 Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, Y przestrzenią Banacha, a operatory A n L(X, Y ), n 1 operatorami zwartymi oraz A n A, gdy n tzn. A n A 0, gdy n, to A jest operatorem zwartym. Z twierdzenia tego wynika, że granica w normie operatorowej ciągu operatorów skończenie wymiarowych ograniczonych jest operatorem zwartym. Gdy Y jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to każdy operator liniowy zwarty jest granicą w normie operatorowej ciągu operatorów skończenie wymiarowych. Rzeczywiście, niech A L(X, Y ) będzie operatorem zwartym. Określmy n A n (x) = A(x), e k e k, x X, n 1, k=1 gdzie {e k } k 1 jest dowolną bazą ortonormalną w Y. Zauważmy, że A n = P n A,

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 8 gdzie P n jest rzutem ortogonalnym Y na span{e 1,..., e n } tzn. P n (y) = n y, e k e k, y Y, n 1. k=1 Niech U = {x X : x = 1}, Zbiór A(U) jest zwarty w Y, więc P n (y) y jednostajnie na A(U) tzn. dla każdego ε > 0 istnieje n 0 IN takie, że jeśli n n 0, to Stąd jeśli x = 1, to czyli P n (y) y < ε dla dowolnego y A(U). (A n A)(x) = P n (A(x)) A(x) < ε dla n n 0, A n A = sup (A n A)(x) ε dla n n 0. x =1 Z dowolności ε > 0 dostajemy A n A 0, gdy n. Twierdzenie 1.17 (Schauder) Niech H będzie przestrznią Hilberta (Banacha) oraz A L(H). Wtedy A jest operatorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A jest operatorem zwartym. 1.4 Elementy analizy widmowej Niech A L(X), gdzie X jest przestrzenią Banacha (rzeczywistą). Liczbę rzeczywistą λ nazywamy wartością regularną operatora A, jeśli operator A λi : X X jest odwracalny (na X). Przez widmo operatora A rozumiemy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych λ nie będacych wartościami regularnymi tego operatora. Mówimy, że λ IR jest wartością własną operatora A, Jeżeli operator A λi nie jest różnowartościowy tzn. istnieje x 0 takie, że A(x) λx = 0. Wtedy x nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Dla danej wartości własnej λ zbiór X λ (A) = {x X : A(x) = λx} nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą wartości własnej λ. Zauważmy, że każda wartość własna należy do widma. Twierdzenie 1.18 Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią Banacha i niech A L(X). Widmo operatora A jest zbiorem domkniętym zawartym w przedziale [ A, A ].

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 9 Twierdzenie 1.19 (Widmo operatora zwartego) Niech X będzie przestrzenią Banacha i niech A L(X) będzie operatorem zwartym. Wtedy: (i) Każda liczba λ 0 należąca do widma jest wartością własną. (ii) Dla każdej wartości własnej λ 0 odpowiednia przestrzeń własna X λ (A) jest skończenie wymiarowa. (iii) Zbiór wszystkich wartości własnych operatora A jest co najwyżej przeliczalny. Punktem skupienia tego zbioru może być jedynie punkt λ = 0. Twierdzenie 1.20 (Alternatywa Fredholma) Niech X będzie przestrzenią Banacha, A : X X operatorem zwartym oraz λ 0. Wtedy ker(a λi) = {0} (A λi)(x) = X. W przypadku operatorów liniowych samosprzężonych w przestrzeni Hilberta twierdzenie 1.18 ma postać (nawet w przpadku zespolonym, bo każda liczba zespolona nie będąca liczbą rzeczywistą jest wartością regularną operatora samosprzężonego). Twierdzenie 1.21 Niech H będzie przestrzenią Hilberta i niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym. Widmo operatora A jest zawarte w przedziale [λ, λ ], gdzie λ = inf A(h), h, λ = sup A(h), h. Obie liczby λ i λ należą do widma. Z tego twierdzenia mamy natychmiastowy wniosek: Widmo operatora samosprzężonego w przestrzenia Hilberta jest zbiorem niepustym. Zauważmy również, że przestrzenie własne odpowiadajace różnym wartościom własnym operatora samosprzężonego A L(H) są ortogonalne. Rzeczywiście, niech λ 1 λ 2 będą wartosciami własnymi operatora A oraz niech h 1 H λ1 (A), h 2 H λ2 (A) tj. A(h 1 ) = λ 1 h 1 oraz A(h 2 ) = λ 2 h 2. Wtedy z samosprzężoności operatora A mamy czyli λ 1 h 1, h 2 = λ 1 h 1, h 2 = A(h 1 ), h 2 = h 1, A(h 2 ) = h 1, λ 2 h 2 = λ 2 h 1, h 2, (λ 1 λ 2 ) h 1, h 2 = 0, ale λ 1 λ 2, więc h 1, h 2 = 0 tzn. h 1 i h 2 są ortogonalne. Stąd w szczególności wynika, że zbiór wartości własnych operatora samosprzężonego w ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest co najwyżej przeliczalny.

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 10 Lemat 1.22 Niech H będzie rzeczywistą ośrodkowa przestrzenią Hilberta, a A : H H liniowym operatorem samosprzężonym. Wtedy Stąd mamy następujący wniosek. A(H) = H kera = {0}. Wniosek 1.23 Niech H będzie rzeczywistą ośrodkowa przestrzenią Hilberta, A : H H liniowym operatorem samosprzężonym, a λ IR. Wtedy (i) Jeśli (A λi)(h) H, to λ jest wartością własną. (ii) Jeśli (A λi)(h) = H oraz (A λi)(h) H, to λ należy do widma i nie jest wartością własną. (iii) Jeśli (A λi)(h) = H, to λ jest wartością regularną. Zobaczmy jak wygląda widmo operatora zwartego samosprzężonego w ośrodkowej przestrzeni Hilberta. W tym celu musimy skorzystać z twierdzenia 1.19 o widmie operatorów zwartych w przestrzeniach Banacha (teoria Riesza). Z tego twierdzenia i twierdzenia 1.21 wynika, że każdy operator samosprzężony zwarty A L(H), A 0, ma przynajmniej jedną różną od zera wartość własną (taką, że λ = A ). Niech A L(H) będzie samosprzężonym operatorem zwartym na przestrzeni Hilberta H. Z twierdzenia o widmie operatora zwartego wynika, że wartości własne operatora A tworzą zbiór co najwyżej przeliczalny. Możemy wszystkie różne od zera ustawić w ciąg {η n } n 1 (skończony lub nieskończony zbieżny do zera). Można przyjąć, że η 1 η 2... η n.... Jak już wiemy odpowiadające im przestrzenie własne H ηn (A), n 1 są skończenie wymiarowe. Niech {e 1,..., e i1 } będzie bazą ortonormalną w H η1 (A), {e i1 +1,..., e i1 +i 2 } bazą ortonormalną w H η2 (A), itd. Ponieważ wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne, więc określony w ten sposób ciag wektorów {e k } k 1 jest układem ortonormalnym. Nazywać będziemy go pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych operatora A. Przez {λ k } k 1 oznaczać będziemy ciąg odpowiednich wartości własnych tj. λ k = η 1 dla k = 1, 2,..., i 1, λ k = η 2 dla k = i 1 + 1, i 1 + 2,..., i 1 + i 2 itd. Stąd każda wartość własna η n powtarza się w ciągu {λ k } k 1 tyle razy, ile wynosi wymiar przestrzeni H ηn (A). Lemat 1.24 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym zwartym, a {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych operatora A. Wtedy dla każdego h H istnieje dokładnie jeden wektor h 0 H taki, że A(h 0 ) = 0 oraz h = h 0 + k 1 h, e k e k

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 11 Dowód. Oznaczmy H 1 = span{e k : k 1}. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym mamy h = h 1 + h 0, gdzie h 1 H 1, h 0 H1. Z lematu o bazach ortonormalnych wynika, że h 1 = k 1 h 1, e k e k. Ale h 1, e k = h h 0, e k = h, e k h 0, e k = h, e k, więc h 1 = k 1 h, e k e k. Pozostaje wobec tego udowodnić, że A(h 0 ) = 0. Zauważmy, że A(H 1 ) H 1. Rzeczywiście, jeśli y A(H1 ) tzn. istnieje x H 1 takie, że y = A(x), to x, e k = 0 dla k 1. Wobec tego, że A(e k ) = λ k e k i λ k 0, k 1, dostajemy x, A(e k ) = 0, a stąd A(x), e k = 0 dla k 1. każdego g H 1 tzn. y = A(x) H1, czyli A(H 1 ) H 1. Zatem A(x), g = 0 dla H1 jest przestrzenią Hilberta i operator A H1 odwzorowuje ją w siebie. Jeśli założymy, że A(h 0 ) 0, to A H 0, a ponieważ jest to operator samosprzężony i zwarty, więc 1 posiada różną od zera wartość własną i niezerowy wektor własny h λ H1. Z drugiej strony h λ H 1. Zatem h λ = 0, co daje sprzeczność, więc A(h 0 ) = 0. Twierdzenie 1.25 (Hilberta) Jeżeli H jest ośrodkową przestrzenia Hilberta, a {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych samosprzężonego zwartego operatora A L(H), to w przestrzeni H istnieje baza ortonormalna złożona z układu {e k } k 1 i pewnego układu {e k,0 } k 1 wektorów własnych operatora A odpowiadających wartości własnej λ = 0 (jeżeli λ = 0 jest wartością własną). Dowód. Jeżeli zero nie jest wartością własną, to z lematu 1.24 wynika, że układ ortonormalny {e k } k 1 jest bazą (bo wtedy h 0 = 0). Przypuśćmy, że zero jest wartością własną. Wtedy z twierdzenia 1.5 przestrzeń własna H 0 (A) posiada bazę ortonormalną {e k,0 } k 1. Suma mnogościowa {e k } k 1 {e k,0 } k 1 tworzy układ ortonormalny. Aby wykazać, że jest bazą ortonormalną wystarczy z lematu o bazach ortonormalnych wykazać jego zupełność. Niech więc h {e k } k 1 {e k,0 } k 1.

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 12 Z lematu 1.24 wektor h ma przedstawienie h = h 0 + k 1 h, e k e k, gdzie h 0 H 0 (A). Ponieważ h, e k = 0 dla k 1, więc h = h 0. Ale h {e k,0 } k 1, więc z zupelności {e k,0 } k 1 dostajemy h = 0, co kończy dowód. Wniosek 1.26 Niech {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych samosprzężonego zwartego operatora A L(H), {λ k } k 1 ciągiem odpowiednich wartości własnych, to A(h) = k 1 λ k h, e k e k, h H. Dowód. Wynika bezpośrednio z lematu 1.24 i tego, że A(e k ) = λ k e k, k 1. Wniosek 1.27 Operator samosprzężony zwarty A L(H) ma skończoną ilość wartości własnych wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowy. Dowód. Wynika bezpośrednio z wniosku 1.26. Wniosek 1.28 Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym zwartym, a {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych operatora A. Następujące warunki są równóważne: (a) Układ ortonormalny {e k } k 1 jest bazą. (b) Operator A jest odwracalny (na obrazie A(H)). (c) A(H) = H. Dowód. (a) (b): Niech A(h) = 0 dla pewnego h H. Z wniosku 1.26 mamy 0 = A(h) 2 = k 1 λ 2 k h, e k 2. Stąd h, e k = 0 dla k 1, bo λ k 0 dla k 1. Zatem z założenia (a) mamy h = 0 tzn. A jest różnowartościowy, czyli odwracalny na obrazie. (b) (c): Załóżmy, że A jest odwracalny oraz A(H) H. Wtedy istnieje (z twierdzenia o rzucie ortogonalnym) 0 h A(H), a stąd h e k, dla k 1, bo e k = A(e k /λ k ). Z drugiej strony z założenia i lematu 1.24 mamy h = k 1 h, e k e k.

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 13 Zatem h = 0 co daje sprzeczność, bo założyliśmy, że h 0, więc A(H) = H. (c) (a): Z lematu o bazach ortonarmalnych wystarczy wykazać zupełność układu {e k } k 1. Niech więc h e k dla k 1. Z wniosku 1.26 mamy h A(H), a stąd h A(H) = H. Zatem h = 0, czyli układ {e k } k 1 jest zupełny tzn. jest bazą ortonormalną. Wniosek 1.29 Niech {e k } k 1 pełnym układem ortonormalnym wektorów własnych zwartego samosprzężonego operatora A L(H), {λ k } k 1 ciągiem odpowiednich wartości własnych, to A(h), h = k 1 λ k h, e k 2, h H. Dowód. Wynika bezpośrednio z wniosku 1.26 i lematu 1.24. Z ostatniego wniosku mamy Wniosek 1.30 Operator samosprzężony zwarty A L(H) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy ma nieujemne wartości własne. Wniosek 1.31 Dla każdego samosprzężonego zwartego operatora dodatniego A L(H) zachdzi wzór A = sup A(h), h = A(e), e = λ, gdzie λ jest największą wartością własną operatora A, a e dowolnym unormowanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej λ. Dowód. Z twierdzenia 1.14, dodatniości operatora A i wniosku 1.29 mamy A = sup A(h), h = sup λ k h, e k 2 λ sup k 1 k 1 h, e k 2 = λ, gdzie λ jest osiągana np. dla h = e 1, gdy λ = λ 1. 1.5 Operatory śladowe Niech H będzie ośrodkową rzeczywistą przestrzenią Hilberta. Operator liniowy A : H H nazywamy operatorem śladowym (nuklearnym, jądrowym) jeśli istnieją ciągi {a k } k 1 H i {b k } k 1 H takie, że a k b k <. k 1

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 14 oraz A(h) = k 1 h, a k b k, h H Zauważmy od razu, że ograniczone operatory skończenie wymiarowe są operatorami śladowymi, bo gdy dima(h) = m i {e 1,..., e m } jest bazą ortonormalną w A(H), to dla każdego h H mamy m m A(h) = A(h), e k e k = h, A (e k ) e k. k=1 Możemy, wiec przyjąć a k = A (e k ) i b k = e k dla k = 1, 2,..., m. Z wniosku 1.8 po twierdzeniu Banach-Steinhausa wynika, że operatory śladowe są operatorami ograniczonymi, co więcej są operatorami zwartymi. Rzeczywiście, określmy A n (h) = k=1 n h, a k b k, h H. k=1 Jak widać operatory A n są ograniczonymi operatorami skończenie wymiarowymi, a więc zwartymi. Pokażemy, że A jest granicą (w normie operatorowej) operatorów A n, więc z twierdzenia 1.16 dostaniemy zwartość operatora A. Dla h H mamy A(h) A n (h) = h, a k b k h a k b k. Stąd A A n = sup A(h) A n (h) a k b k 0. n Jeśli A jest operatorem śladowym, to ślad operatora A określa się wzorem tra = k 1 A(e k ), e k, gdzie {e k } k 1 jest dowolną bazą ortonormalną w H. Pokażemy teraz, że ślad operatora A jest dobrze określony (tzn. szereg powyższy jest zbieżny bezwzglednie) oraz nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej. Niech więc A(h) = a j b j, h H oraz a j b j <. j 1 h, j 1 Mamy dla k 1 A(e k ), e k = j 1 e k, a j e k, b j. Korzystając teraz z tej równości i z nierówności Schwarza dostajemy

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 15 A(e k ), e k e k, a j e k, b j k 1 j 1 k 1 ( e k, a j 2) 1/2( e k, b j 2) 1/2 = a j b j <. j 1 k 1 k 1 Stąd ślad jest dobrze określony (szereg jest zbieżny bezwzględnie). Ślad nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej, bo k ), e k = k 1 A(e e k, a j e k, b j = k 1 j 1 k, a j e k, b j = j 1 k 1 e a j, b j. j 1 Na zakończenie twierdzenie charakteryzujące operatory śladowe wśród operatorów liniowych samosprzężonych dodatnio określonych. Twierdzenie 1.32 (O operatorze śladowym) Niech A L(H) będzie operatorem samosprzężonym dodatnio określonym. Wtedy A jest operatorem śladowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej bazy ortonormalnej {e k } k 1 mamy k 1 A(e k), e k < Ponieważ operator A jest dodatnio określony, więc A(e k ), e k 0 dla k 1. Dowód. " " Jest oczywisty. " " Niech T = A. Pokażemy najpierw, że T jest operatorem zwartym. Określmy operatory skończenie wymiarowe T n wzorem Dla h H mamy bo T 2 = A. Stąd T (h) T n (h) 2 = T n (h) = T (h) j 1 n T (h), e k e k, h H. k=1 n 2 2 T (h), e k e k = T (h), e k e k = k=1 T (h), e k 2 = h, T (e k ) 2 h 2 T (e k ) 2 = h 2 T (e k ), T (e k ) = h 2 k ), e k, A(e T T n 2 = sup T (h) T n (h) 2 A(e k ), e k 0. n

M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 16 Stąd T jest zwarty, więc A = T 2 też jest operatorem zwartym. Ponieważ A jest operatorem samosprzężonym i dodatnio określonym, więc A możemy przedstawić w postaci (1.4) A(h) = j 1 λ j h, f j f j, h H, gdzie {λ j } j 1 jest ciągiem wartości własnych (nieujemnych) operatora A, a {f j } j 1 odpowiadającym mu ciągiem unormowanych ortogonalnych wektorów własnych tzn. A(f j ) = λ j f j, j 1. Ponieważ A(e k ), e k = j 1 λ j e k, f j 2, więc k ), e k = k 1 A(e λ j e k, f j 2 = λ j <, k 1 j 1 j 1 bo na mocy założenia k 1 A(e k), e k <. Przyjmijmy teraz a j = f j oraz b j = λ j f j dla j 1. Wtedy a j b j = λ j < j 1 j 1 oraz z (1.4) mamy A(h) = a j b j, h H, j 1 h, tzn. A jest operatorem śladowym. Literatura 1. G. Da Prato, Introduction to stochastic analysis and Malliavin calculus, Piza 2008. 2. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN 1970. 3. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN 2001.