WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24
Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na ćwiczenia 2 Egzamin: (zakres materiału z wykładu + ćw.) 5 zadań, każde po 6 pkt. dodatkowo za aktywność na ćwiczeniach można uzyskać max 5 punktów Ocena z egzaminu - skala w tabeli punkty < 16 [16, 18] (18, 21] (21, 24] (24, 27] > 27 ocena ndst dst dst+ db db+ bdb Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 2 / 24
Literatura 1 J. Kłopotowski, Rachunek prawdopodobieństwa, SGH 2 J. Kłopotowski, M. Wrzosek, Zadania z Rachunku prawdopodobieństwa, SGH 3 J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego, Script 4 J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script 5 W. Krysicki i in. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom I, PWN 6 A. Boratyńska, Zadania z rachunku prawdopodobieństwa, www.e-sgh.pl/boratynska/121280-0059 7 S. Jaworski, W. Zieliński, Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, http://wojtek.zielinski.statystyka.info/innosci/sw zbior.pdf Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 3 / 24
Tematyka zajęć Definicja i własności prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, warunkowe, niezależność zdarzeń Zmienna losowa, rozkład zmiennej losowej skokowej i ciągłej, funkcje zmiennej losowej, podstawowe rozkłady Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej: momenty, kwantyle, funkcja tworząca momenty Zmienna losowa dwuwymiarowa skokowa, sumy zmiennych losowych Rodzaje zbieżności ciągu zmiennych losowych Twierdzenia graniczne Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 4 / 24
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Doświadczenie losowe - obserwacja zjawiska, którego przebiegu nie umiemy w pełni przewidzieć, możemy ocenić z jakim prawdopodobieństwem wystąpią rozmaite wyniki Zbiór wszystkich możliwych wyników to przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω, jej elementy to zdarzenia elementarne ω Zdarzeniami losowymi nazywamy wyróżnione podzbiory zbioru Ω Jeśli Ω jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to możemy przyjąć, że każdy podzbiór zbioru jest zdarzeniem losowym. W ogólnym przypadku o zdarzeniach losowych zakładamy, że należą do rodziny F (zwanej σ-ciałem lub σ-algebrą) spełniającej warunki: Ω F i F Jeśli A F to A = Ω A F Jeśli A n F dla n = 1, 2,..., to A 1 A 2 A 3 F Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 5 / 24
Operacje logiczne na zdarzeniach Ω - zdarzenie pewne, - zdarzenie niemożliwe A B - suma zdarzeń, zaszło A lub B A B - iloczyn zdarzeń, zaszło A i B A B - zaszło A i nie zaszło B A = Ω A - nie zaszło A A B - A pociąga B ω A - zdarzenie elementarne ω sprzyja zdarzeniu A A B = - A i B wykluczają się Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 6 / 24
PRZYKŁAD Rzut kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zdarzenia: A = {2, 4, 6} - wypadła parzysta liczba oczek B = {4, 5, 6} - wypadła liczba oczek większa od 3 Wyznacz: A B =? A B =? A B =? B A =? A =? Intuicyjny sens pojęcia prawdopodobieństwa wiąże się z możliwością wielokrotnego powtarzania tego samego doświadczenia losowego. Gdy mówimy, że prawdopodobieństwo otrzymania szóstki w rzucie kością jest równe 1/6 to wyrażamy przekonanie, że w około 1/6 spośród wielu rzutów pojawi się szóstka. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 7 / 24
Definicja prawdopodobieństwa (Kołmogorow 1933) Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a F rodziną zdarzeń losowych. Prawdopodobieństwem lub rozkładem prawdopodobieństwa nazywamy funkcje P : F R spełniającą warunki: 1 P(A) 0 dla każdego A F; 2 P(Ω) = 1; 3 jeśli zdarzenia losowe A n F, gdzie n = 1, 2,..., są parami rozłączne, to P(A 1 A 2... ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... zbiór Ω wyposażony w rozkład prawdopodobieństwa P nazywamy przestrzenią probabilistyczną. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 8 / 24
PRZYKŁADY przestrzeni probabilistycznych Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeśli Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n }, F jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω, to funkcja P : F R określona wzorem P(A) = A Ω, gdzie A oznacza moc zbioru A, jest prawdopodobieństwem. PRZYKŁAD. Dwukrotny rzut monetą Rzut kostką Ω = {(O, O); (R, O); (O, R); (R, R)}, P({ω}) = 1 4 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, P({2, 4, 6}) = 1 2 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 9 / 24
PRZYKŁADY przestrzeni probabilistycznych cd. Zdarzenia nie muszą być jednakowo prawdopodobne Towarzystwo ubezpieczeniowe wypłaca z pewnej polisy 7 kategorii odszkodowań: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Prawdopodobieństwo, że klient otrzyma wypłatę 1 jest równe 1 3, pozostałe wypłaty mają jednakowe szanse. Wtedy Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} P({1}) = 1 3 P({i}) = 1 9, i = 2,..., 7 Oczekiwanie na pierwszego orła Rzucamy moneta do chwili uzyskania pierwszego orła. Wtedy Ω = {O, RO, RRO, RRRO,... } ω O RO RRO RRRO... 1 1 1 1 P({ω}) 2 4 8 16... Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 10 / 24
PRZYKŁADY przestrzeni probabilistycznych cd. Prawdopodobieństwo geometryczne Niech Ω będzie podzbiorem przestrzeni R n o o skończonej dodatniej mierze (odpowiednio np.: długości, polu powierzchni, objętości), prawdopodobienstwo zdarzenia losowego A określamy jako P(A) = A Ω, gdzie A oznacza miarę zbioru A. PRZYKŁAD. 1 Rzucamy do tarczy w kształcie koła o promieniu 1. Trafienie w każdy punkt koła jest jednakowo prawdopodobne. Jaka jest szansa, że trafimy w koło o promieniu 1/2 zawarte w tarczy. P(A) = π (1/2)2 π 1 2 = 1/4 2 (Losowe rendez-vous) Dwóch studentów (Pani i Pan) umawia się pod gmachem G SGH między 12 a 13. Ustalili, że każdy czeka 15 min. i odchodzi. Przychodzą losowo ale tylko między 12 i 13. Oblicz prawdopodobieństwo, że się spotkają. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 11 / 24
Twierdzenie. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1 P( ) = 0 2 P(A ) = 1 P(A) 3 P(A) 1 4 Jeśli A B, to P(B A) = P(B) P(A) 5 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 6 Jeżeli A 1 A 2 A 3... jest wstępującym ciągiem zdarzeń losowych, to P( + n=1 A n) = lim n + P(A n ) 7 Jeżeli A 1 A 2 A 3... jest zstępującym ciągiem zdarzeń losowych, to P( + n=1 A n) = lim n + P(A n ) 8 (Wzór włączeń i wyłączeń) P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) i<j n P(A i A j )+ i P(A 1<i 2<i 3 n i 1 A i2 A i3 )... ( 1) n+1 P( n i=1 A i) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 12 / 24
Prawdopodobieństwo warunkowe Definicja Niech P(B) > 0. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest równe P(A B) = P(A B) P(B) PRZYKŁAD 1 Losujemy rodzinę spośród rodzin z dwójką dzieci, przy czym pary (c, c), (c, d), (d, c), (d, d) sa jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy rodzinę z dwoma chłopcami jeśli wiemy, że a) starsze jest chłopcem b) jest co najmniej 1 chłopiec. 2 (Losowe rendez-vous cd.) Oblicz prawdopodobieństwo, ze Pan czeka na Panią jeśli wiadomo, że Pani przyjdzie po 12:30. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 13 / 24
Wzór łańcuchowy Twierdzenie Jeśli P(A 1 A 2 A 3 A n ) > 0, to P(A 1 A 2 A 3 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A 2 A n 1 ) PRZYKŁAD (Niemiro (1999)) Prawdopodobieństwo, że pojadę do Australii oceniam na 0,5. Jeśli będę w Australii, to z prawdopodobieństwem 0,001 mogę zostać zaatakowany przez rekina. Jeśli zaatakuje mnie rekin, to mnie zje z prawdopodobieństwem 0,8. Jaka jest szansa, że w Australii zje mnie rekin? Odp. 0, 5 0, 001 0, 8 = 0, 0004 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 14 / 24
Przykład (Drzewka) Z urny, w której jest 10 kul białych i 20 czarnych losujemy kolejno 3 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, ze otrzymamy układ: biała, czarna, biała. Mamy A 1 zdarzenie, że wylosujemy kulę białą w I losowaniu A 2 zdarzenie, że wylosujemy kulę czarną w II losowaniu A 3 zdarzenie, że wylosujemy kulę białą w III losowaniu P(A 1 ) = 10 30 Interesuje nas P(A 2 A 1 ) = 20 29 P(A 3 A 2 A 1 ) = 9 28 P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 ) = 10 20 9 30 29 28 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 15 / 24
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Niech zdarzenia H 1, H 2,..., H k,... spełniają warunki: i j H i H j = H 1 H 2 H k = Ω i P(H i ) > 0. Wtedy dla dowolnego zdarzenia A P(A) = i P(A H i )P(H i ) Dowód. ( ) P(A) = P (A H i ) = i P(A H i ) = i P(A H i )P(H i ) i Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 16 / 24
PRZYKŁAD W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy kulę i nie oglądając jej odkładamy na bok. Następnie losujemy drugą kulę. Jaka jest szansa, że druga kula jest biała? Ω = B 1 C 1, gdzie B 1 zdarzenie, że w I losowaniu kula biała, C 1 zdarzenie, że w I losowaniu kula czarna. P(B 1 ) = b b+c, P(C 1) = c b+c B 2 zdarzenie, że w II losowaniu kula biała P(B 2 B 1 ) = b 1 b+c 1, P(B 2 C 1 ) = b b+c 1 P(B 2 ) = P(B 2 B 1 )P(B 1 ) + P(B 2 C 1 )P(C 1 ) = b 1 b + c 1 b b + c + b b + c 1 c b + c = b b + c Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 17 / 24
Wzór Bayesa Prz założeniach wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, jeśli ponadto P(A) > 0, to P(H k A) = P(A H k)p(h k ) i P(A H i)p(h i ) Dowód. Korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego i wzoru na prawdopodobieństwo całkowite P(H k A) = P(A H k) P(A) = P(A H k)p(h k ) i P(A H i)p(h i ). Typowe zastosowanie wzoru Bayesa jest wtedy, gdy zajście lub niezajście zdarzenia A jest widoczne, podczas gdy zdarzenia H i mają wpływ na zdarzenia A, ale same są trudne lub niemożliwe do zaobserwowania. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 18 / 24
PRZYKŁAD (fabryki) Mamy trzy fabryki produkujące ten sam produkt. Pierwsza wypuszcza 100p 1 % wadliwych towarów, druga 100p 2 % a trzecia 100p 3 %. W partii jest n 1, n 2, n 3 sztuk towaru odpowiednio z fabryk I, II i III. Wybieramy losowo jedną sztukę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy sztuke wadliwą? n P(W F i ) = p i oraz P(F i ) = i n 1 +n 2 +n 3, zatem p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 P(W ) = + + n 1 + n 2 + n 3 n 1 + n 2 + n 3 n 1 + n 2 + n 3 Przypuśćmy, że wybrana sztuka okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej fabryki? P(F 1 W ) = P(W F 1)P(F 1 ) P(W ) = p 1 n 1 p 1 n 1 + p 2 n 2 + p 3 n 3 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 19 / 24
PRZYKŁAD (test na rzadką chorobę) (Jakubowski, Sztencel) Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest 1 osoba na 1000 daje tzw. fałszywą pozytywną odpowiedź u 5% zdrowych, u chorych daje zawsze pozytywną odpowiedź. Jaka jest szansa, że u losowo wybranej osoby test da odpowiedź pozytywną? D zdarzenie, że test da odpowiedź pozytywną P(CH) = 0, 001 i P(Z) = 0, 999 P(D CH) = 1 i P(D Z) = 0, 05 P(D) = 1 0, 001 + 0, 05 0, 999 = 0, 05095 Jaka jest szansa, że osoba u której test dał odpowiedź pozytywną jest faktycznie chora? P(CH D) = 1 0, 001 = 0, 0196 1 0, 001 + 0, 05 0, 999 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 20 / 24
Nieależność zdarzeń Definicja Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli P(A B) = P(A)P(B) Twierdzenie Jeżeli P(B) > 0, to zdarzenia A i B są niezależne P(A B) = P(A) Informacja o zajściu zdarzenia B nie wpływa na ocenę szansy zajścia zdarzenia A Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 21 / 24
PRZYKŁADY 1 Losowe rendez-vous A zdarzenie Pan przyszedł przed momentem h, A = {(x, y) : y < h} B zdarzenie Pani przyszła po momencie g, B = {(x, y) : x > g} 2 Dwa rzuty monetą A orzeł w pierwszym rzucie; B orzeł w drugim rzucie 3 Losowanie karty z talii 52 kart A wylosowanie pika B wylosowanie asa. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 22 / 24
Niezależność n zdarzeń Definicja Zdarzenia A 1, A 2,... A n są niezależne i<j P(A i A j ) = (A i )P(A j ) i<j<k P(A i A j A k ) = (A i )P(A j )P(A k )...... P (A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 )... P(A n ) PRZYKŁAD. Dwa rzuty symetryczną monetą. A = {(O, R); (O, O)}, B = {(R, O); (O, O)}, C = {(O, R); (R, O)} Zdarzenia A, B, C są parami niezależne, ale nie są niezależne, ponieważ P(A B) = P(A C) = P(B C) = 1 4 ale P(A B C) = 0 P(A)P(B)P(C) = 1 8 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 23 / 24
Twierdzenie Jeżeli A 1, A 2,... A n są niezależne, to niezależne są zdarzenia B 1, B 2,... B n, gdzie B i = A i lub B i = A i Jeżeli A, B, C sa niezależne to A, B C są niezależne oraz A, B C są niezależne Twierdzenie Jeżeli A 1, A 2,... są niezależne, to P(A 1 A 2... ) = 1 (1 P(A 1 ))(1 P(A 2 ))... Dowód. + P( = 1 P i=1 (( + ) ) A i ) = 1 P A i ( + i=1 A i ) = 1 i=1 + i=1 (1 P(A i )) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 24 / 24