Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert Mřík, 8
1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. N následujících strnách si vysvětlíme geometricky hlvní myšlenky definice Riemnnov integrálu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. 3 Křivk n obrázku je grfem funkce y = x x + Rozdělíme intervl. Norm dělení je. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx..8.9 3 Křivk n obrázku je grfem funkce y = x x + Rozdělíme intervl. Norm dělení je. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx..8.9 3 Křivk n obrázku je grfem funkce y = x x + Rozdělíme intervl. Norm dělení je. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Nkreslíme integrální součet ploch červeného obrzce. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. 1 3 Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je 1. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx..8 1.6.9 1 3 Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je 1. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx..8 1.6.9 1 3 Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je 1. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu. Nkreslíme integrální součet ploch červeného obrzce. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx..1 1 3 Ponecháme dělení. Norm dělení je pořád 1. Zvolíme reprezentnty v kždém podintervlu, le jink, než v předchozím kroku. Nkreslíme integrální součet ploch červeného obrzce. Integrální součet závisí n výběru reprezentntů. 1.7. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx...55 1. 1.75.5 1 1.5.4 3 Zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je.6 (nejdelší intervl je ten poslední). Zvolíme reprezentnty určíme integrální součet ploch červeného obrzce..3.8 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx..15.35.55.75.951.151.351.551.751.95.15.35.55.75.95..4.6.8 1 1. 1.4 1.6 1.8..4.6.8 3 Opět zjemníme dělení. Norm tohoto dělení je. Zvolíme reprezentnty určíme integrální součet. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. 3 Pokrčujeme ve zjemňování dělení. Nyní je norm.1. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. 3 Pokrčujeme ve zjemňování dělení d infimum. Nyní je norm.5. Pokud se hodnot integrálních součtů ustálí (integrální součty mjí limitu při normě dělení jdoucí k nule) pokud tto limit nezávisí ni n konkrétním výběru reprezentntů ni n způsobu, jk dělení zjmeňujeme, říkáme, že funkce je Riemnnovsky integrovtelná její Riemnnův (= určitý) integrál je on limit integrálních součtů. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Definice (dělení intervlu). Bud [, b] uzvřený intervl < < b <. Dělením intervlu [, b] rozumíme konečnou posloupnost D = {x, x 1,..., x n } bodů z intervlu [, b] s vlstností = x < x 1 < x < x 3 < < x n 1 < x n = b. Čísl x i nzýváme dělící body. Normou dělení D rozumíme mximální číslo, které udává vzdálenost sousedních dělících bodů. Normu dělení D oznčujeme ν(d). Je tedy ν(d) = mx{x i x i 1, 1 i n}. Definice (integrální součet). Bud [, b] uzvřený intervl f funkce definovná ohrničená n [, b]. Bud D dělení intervlu [, b]. Bud R = {ξ 1,..., ξ n } posloupnost čísel z intervlu [, b] splňující x i 1 ξ i x i pro i = 1..n. Potom součet n σ(f, D, R) = f (ξ i )(x i x i 1 ) i=1 nzýváme integrálním součtem funkce f příslušným dělení D výběru reprezentntů R. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Definice (Riemnnův integrál). Bud [, b] uzvřený intervl f funkce definovná ohrničená n [, b]. Bud D n posloupnost dělení intervlu [, b] R n posloupnost reprezentntů. Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu [, b], jestliže existuje číslo I R s vlstností lim σ(f, D n n, R n ) = I pro libovolnou posloupnost dělení D n, splňující lim n ν(d n ) = při libovolné volbě reprezentntů R n. Číslo I nzýváme Riemnnův integrál funkce f n intervlu [, b] oznčujeme f (x) dx. Definice (horní dolní mez). Číslo v definici Riemnnov integrálu se nzývá dolní mez číslo b horní mez Riemnnov integrálu. Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Vět 1 (postčující podmínky pro integrovtelnost funkce). 1. Funkce spojitá n intervlu [, b] je n tomto intervlu Riemnnovsky integrovtelná.. Funkce ohrničená n [, b], která má n tomto intervlu konečný počet bodů nespojitosti je Riemnnovsky integrovtelná. 3. Funkce monotonní n [, b] je n tomto intervlu Riemnnovsky integrovtelná. Vět (linerit určitého integrálu vzhledem k funkci). Necht f, g jsou funkce integrovtelné n [, b], c necht je reálné číslo. Pk pltí [f (x) + g(x)] dx = cf (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. g(x) dx, Vět 3 (ditivit určitého integrálu vzhledem k mezím). Necht f je funkce integrovtelná n [, b]. Bud c (, b) libovolné. Pk je f integrovtelná n intervlech [, c] [c, b] pltí f (x) dx = c f (x) dx + c Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8 f (x) dx.
Vět 4 (monotonie vzhledem k funkci). Bud te f g funkce integrovtelné n [, b] tkové, že f (x) g(x) pro x (, b). Pk pltí f (x) dx g(x) dx. Definice (střední hodnot). Bud f funkce (Riemnnovsky) integrovtelná n intervlu [, b]. Číslo 1 b f (x) dx b se nzývá střední hodnot funkce f n intervlu [, b]. Funkce Střední hodnot stř. hodnot b b Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. c Robert Mřík, 8
Výpočet Newtonov Leibnizov vět. Vět 5 (Newtonov Leibnizov vět). Necht funkce f (x) je Riemnnovsky integrovtelná n [, b]. Necht F (x) je funkce spojitá n [, b], která je intervlu (, b) primitivní k funkci f (x). Pk pltí f (x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Příkld. (x x + ) dx = [ x 3 3 x + x ] 3 = 33 3 3 +.3 = 3 3 + 6 = 6 [ 3 3 +. ] Výpočet Newtonov Leibnizov vět. c Robert Mřík, 8
3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo Vrátíme se k definici Riemnnov integrálu k integrálním součtům. Budeme se snžit co nejlépe proximovt plochu pod křivkou. Pro větší početní komfort budeme intervl dělit n stejně dlouhé dílky. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. 3 Dělení integrální součet Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. I h ( ) f (x ) + f (x 1 ) + f (x ) + f (x 3 ) h = 1 je délk mezi sousedními znčkmi n ose x x = x 1 = 1 x = x 3 = 3 Nhrdíme kždý obdélník lichoběžníkem. Aproximce je lepší výpočet se moc nezhorší. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. I h ( ) f (x ) + f (x 1 ) + f (x ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) + f (x 5 ) h =.6 je délk mezi sousedními znčkmi n ose x x = x 1 =.6 x = 1. x 3 = 1.8 x 4 =.4 x 5 = 3 Volíme krtší výšku lichoběžníků proximce je ještě lepší, počítání je všk delší. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
Integrál (x x + ) dx. I h ( ) f (x ) + f (x 1 ) + + f (x 5 ) + f (x 6 ) h =.5 je délk mezi sousedními znčkmi n ose x x x 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 Pro jemnější dělení je proximce ještě lepší. Chyb, které se dopustíme, je mlá jestliže použijeme dosttečně jemné dělení, funkce se příliš neliší od lineární funkce (to le neovlivníme). Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i 1.841471 1.841471 1 1.1.81189 1.6377 1..776699 1.553398 3 1.3.741199 1.48397 4 1.4.73893 1.47785 5 1.5.664997 1.39993 6 1.6.64734 1.49467 7 1.7.58333 1.166664 8 1.8.5416 1.853 9 1.9.49853.99615 1.454649 1.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 proto sin x x dx h S = S =.65918. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x i x i = + hi y i = sin x i x i m my i 1.841471 1.841471 1 1.1.81189 1.6377 1..776699 1.553398 3 1.3.741199 1.48397 4 1.4.73893 1.47785 5 1.5.664997 1.39993 6 1.6.64734 1.49467 7 1.7.58333 1.166664 8 1.8.5416 1.853 9 1.9.49853.99615 1.454649 1.454649 Rozdělíme intervl n 1 dílků, n = 1. Délk jednoho dílku bude h = Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 proto b = 1 sin x 1 x dx n h S 1 = = S =.65918. Výpočet zznmenáme v následující tbulce (budeme zokrouhlovt n 6 desetinných míst). Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i 1.841471 1.841471 1 1.1.81189 1.6377 1..776699 1.553398 3 1.3.741199 1.48397 4 1.4.73893 1.47785 5 1.5.664997 1.39993 6 1.6.64734 1.49467 7 1.7.58333 1.166664 8 1.8.5416 1.853 9 1.9.49853.99615 1.454649 1.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 proto sin x x dx h S = S =.65918. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i 1.841471 1.841471 1 1.1.81189 1.6377 1..776699 1.553398 3 1.3.741199 1.48397 4 1.4.73893 1.47785 5 1.5.664997 1.39993 6 1.6.64734 1.49467 7 1.7.58333 1.166664 8 1.8.5416 1.853 9 1.9.49853.99615 1.454649 1.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 proto sin x x dx h S = S =.65918. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i 1.841471 1.841471 1 1.1.81189 1.6377 1..776699 1.553398 3 1.3.741199 1.48397 4 1.4.73893 1.47785 5 1.5.664997 1.39993 6 1.6.64734 1.49467 7 1.7.58333 1.166664 8 1.8.5416 1.853 9 1.9.49853.99615 1.454649 1.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 proto sin x x dx h S = S =.65918. Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
sin x Příkld. Hledejme dx. n = 1, h =.1. 1 x 1 i x i = + hi y i = sin x i x i m my i 1.841471 1.841471 1 1.1.81189 1.6377 1..776699 1.553398 3 1.3.741199 1.48397 4 1.4.73893 1.47785 5 1.5.664997 1.39993 6 1.6.64734 1.49467 7 1.7.58333 1.166664 8 1.8.5416 1.853 9 1.9.49853.99615 1.454649 1.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 proto sin x x dx h S = S =.65918. Použití přesnějších metod vede k přesnější hodnotě I které jsme se odchýlili n čtvrtém desetinném místě.. =.659399643551, od Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo c Robert Mřík, 8
4 Aplikce výpočet objemů obshů Obsh křivočrého lichoběžníku objem rotčního těles y y x x S = f (x) dx f (x) dx Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Obsh množiny mezi křivkmi objem těles, vzniklého rotcí této množiny y f (x) g(x) y b x x S = [f (x) g(x)] dx [ ] f (x) g (x) dx Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = = 9 + 7 = 9 x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = S = 1 (x 1) ( x) dx = 1 (x x + 1) + x dx [ ] 3 [ ] [ 3 První z křivek = x je prbol, + 3x dx = x3 druhá 3 + z křivek je přímk 3x = 33 3 + y = x. 33 Křivky se protínjí v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici 3 3 + 3 ] = 9 + 7 = 9 1 (x 1) = x Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x3 3 + 3x = 9 + 7 = 9 Průsečíky křivek jsou body [, ] [3, 3]. 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. 1 (x 1) = x 1 (x x + 1) = x 1 x + x 1 = x 3x x = (3 x)x = y 3 x 3 y = 1 (x 1) = 1 (x x + 1) = x x = x( x) Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = 9 + 7 = 9 x + y = y = x = [ ] 33 3 + 33 [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = Umocníme. x + 3x dx = = 9 + 7 = 9 x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = = 9 + 7 = 9 Uprvíme integrnd. x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 = 9 + 7 = 9 f (x) dx = [F (x)] b = F (b) F () [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 = 9 + 7 = 9 f (x) dx = [F (x)] b = F (b) F () [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = 1 (x 1) x + y =. y 3 x 3 S = 1 (x 1) ( x) dx = [ = x + 3x dx = = 9 + 7 = 9 Dopočítáme obsh množiny. x3 3 + 3x 1 (x x + 1) + x dx ] 3 = [ ] 33 3 + 33 [ ] 3 3 + 3 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete obsh množiny mezi křivkmi y = e x y = e x pro x [, 1] objem těles, které vznikne rotcí této množiny okolo osy x. S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Zkreslíme křivky. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vyjádříme obsh plochy jko určitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vypočteme neurčitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy Leignizovy formule. Dosdíme tedy meze. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Dopočítáme numericky. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vyjádříme objem těles jko určitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Uprvíme, bychom mohli použít vzorec. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Vypočteme neurčitý integrál. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Použijeme Newtonovu Leibnizovu formuli. Dosdíme tedy meze. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
y = e x, y = e x, x [, 1], S =?, V =?. y 1 1 x S = ( ) f (x) g(x) dx ( ) f (x) g (x) dx S = ex e x dx = [ e x + e x] 1 = e1 + e 1 [ e + e ] = e + 1 e [ 1 (ex ) (e x ) dx = π e x e x dx = π ex + 1 ] 1 e x [ 1 = π e + 1 ( 1 e e + 1 )] [ 1 e = π e + 1 ] e 1 Uprvíme. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
Určete objem těles, vzniklého rotcí množiny pod grfem funkce y = e x pro x [, 1] okolo osy x. ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 x ( x 1 ) ] 1 e Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x y() = e = e = 1 y(1) = e 1 = e 1.7 e y Obrázek y = 1 e x x x e y = 1 1 x e x 1 x x x = 1 x 1 e x x x 1 ( e ) x dx Odhdneme průběh funkce y = e x. Dom si ( e ) spočíteje obsh tohoto x = obrzce t (postup je podobný jko postup 4x = t x dx = e x dx 4 dx = t dt = 1 uvedený níže, výsledek je S = ). t e t dt 1 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8 1 1 x
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 Užijeme vzorec pro objem. [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 x ( ) ] 1 e x 1 Vypočítáme bokem neurčitý integrál. [ ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Uprvíme funkci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Použijeme substituci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Použijeme substituci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) Použijeme metodu per-prtés u [ v 1 dx = x ( u v u ) ] 1v dx x 1 [ e ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx Dokončíme integrci. x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x Vytkneme ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 [ e x ( x 1 ) ] 1 ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) x dx ( e ) x dx = e x dx x = t 4x = t 4 dx = t dt dx = 1 t dt = 1 t e t dt u = t u = 1 = 1 ( ) t e t 1 e t dt = 1 (te t e t) v = e t v = e t = 1 et (t 1) = 1 e x ( x 1 ) ( e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 x ( ) ] 1 Použijeme zpětnou substituci pro návrt k proměnné x. Integrční konstnt e x 1 může být libovolná, volíme ji npříkld nulovou. [ ( ) ( ) ] Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) ( x dx e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 e x ( x 1 ) ] 1 [ 1 = π e( 1 ) 1 e( 1 ) ] [ ] e = π + 1 = π e + 1 Použijeme Newtonovu Leibnizovu větu. Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
V =?, x [, 1], y = e x ( e ) ( x dx e ) x 1 dx = x e ( x 1 ) [ 1 e x ( x 1 ) ] 1 [ 1 = π e( 1 ) 1 e( 1 ) ] [ ] e = π + 1 = π e + 1 Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8
KONEC Aplikce výpočet objemů obshů c Robert Mřík, 8