Część I. MECHANIKA Wykład.. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni 1
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały (siła). Rys. Ruch - jedno z najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych POJĘCIA WSTĘPNE Ruch mechaniczny zmiana wzajemnego położenia ciała (punktu materialnego) w przestrzeni (lub jednych ich części względem drugich) pod wpływem czasu. Punkt materialny punkt geometryczny, w którym skupiona jest pewna masa, a którego rozmiary i kształty możemy w danym zagadnieniu pominąć. Układ odniesienia nieruchome w czasie obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego opisujemy ruch innych ciała w przestrzeni. Układ współrzędnych związany z danym układem odniesienia zespół wzajemnie prostopadłych osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni. Równania ruchu opisują zmiany położenia ciała w przestrzeni w funkcji czasu. Trajektoria ruchu krzywa w przestrzeni, opisująca zmianę położenia ciała.
Klasyfikacja ruchów: KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO A. Ze względu na tor (trajektorię) ruchu: prostoliniowe (postępowe); krzywoliniowe (w tym: po okręgu); B. Ze względu na zależność położenia od czasu: jednostajne; jednostajnie zmienne (przyspieszone lub opóźnione); pozostałe (np. niejednostajnie zmienny itp.). 3
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch prostoliniowy Położenie i przemieszczenie Prędkość średnia i chwilowa Przyspieszenie Spadek swobodny Ruch w dwóch i trzech wymiarach Rzut ukośny Ruch jednostajny po okręgu Ruch cząstek emitowanych w zderzeniach jąder atomowych, trwał ułamki milionowych części sekundy. (CERN, Rap.Ann.1986) 4
Ruch prostoliniowy Ruch jednowymiarowy podstawowe definicje i wzory Założenia: -ruch odbywa się tylko wzdłuż linii prostej (pionowej lub poziomej), - interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny, - poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy, czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru. 5
Ruch jednowymiarowy podstawowe definicje i wzory Przemieszczenie - zmiana położenia pomiędzy danymi punktami x 1 t t t x( t) x( 1) Prędkość średnia nachylenie prostej przemieszczenie v śrt 1 t x( t ) t x( t t 1) 1 x t przedział czasu na przemieszczenie 6
Położenie [m] Ruch jednowymiarowy podstawowe definicje i wzory Prędkość chwilowa- prędkość poruszania się ciała w danej chwili, v( t) lim t0 x t dx dt Czas [s] 7
Ruch jednowymiarowy podstawowe definicje i wzory Przyspieszenie określa jak zmienia się prędkość ciała. Przyspieszenie średnie = (przyrost prędkości)/ (przedział czasu, w którym on nastąpił) a śrt 1 t v( t ) v( t1) t t 1 v t lim Przyspieszenie chwilowe: a t 0 v t dv dt d dt x 8
Przyspieszenie stałe (a=constant) Najczęściej będziemy się spotykać ze stałym przyspieszeniem (opóźnieniem). Gdy przyspieszenie chwilowe i średnie są równe, można zapisać: gdzie Przekształcając powyższe, mamy : Ruch ze stałym przyspieszeniem a a : v0 oznaczaprędkoć wchwili począoczątkowej t0 śr v ( t ) v v t k k o v t 0 at 0 0, Rys. 1 a) Położenie cząstki poruszającej się ze stałym przyspieszeniem. b) Prędkość cząstki w ruchu przyspieszonym. c) Przyspieszenie cząstki w ruchu przyspieszonym jest stałe. Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki - tom I", PWN, Warszawa 005r. 9
Przyspieszenie ziemskie Spadek swobodny (rzut pionowy) Gdy rzucimy ciało w górę lub w dół i w jakiś sposób wyeliminujemy wpływ powietrza na jego ruch, to tak podczas wznoszenia jak i opadania ciało porusza się z przyspieszeniem, które nazywamy przyspieszeniem ziemskim (g). Nie zależy ono od własności przedmiotu (masa, kształt, itd.) gdy zaniedbamy wpływ powietrza. Wartość g zmienia się nieznacznie w zależności od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. W zadaniach będziemy używać wartości g=9,81 m/s Odpowiadającej średniej szerokości geograficznej i poziomowi morza. Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki, tom 10 I.
Ruch prostoliniowy Rzut pionowy w górę RÓWNANIA RUCHU: v 0 Dla ciała wyrzuconego z prędkością, t y v yt v y t 0 dy v0 dt gt gt (.10) (.11) (.1) (.13) Tablica- wyprowadzenie wzorów 11
Ruch prostoliniowy Rzut pionowy w dół Dla ciała wyrzuconego z wysokości H, prędkością v 0,: RÓWNANIA RUCHU: t y H v yt v y t 0 dy v0 dt gt gt (.14) (.15) Czas trwania rzutu. (.16) Wartość prędkości Końcowej. (.17) 1
Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny (a= const.) 13
Przykład 1 (tablica) Jechałeś samochodem z po prostej drodze z szybkością 70 km/h. Po przebyciu 8,4 km skończyło ci się paliwo i samochód się zatrzymał. Musiałeś iść pieszo km do stacji benzynowej, co zajęło 30 min. a) Ile wynosiło twoje przemieszczenie od początku podróży do stacji benzynowej? b) Ile czasu upłynęło od początku podróży, do chwili przybycia na stację benzynową? c) Ile wynosiła twoja prędkość średnia w czasie od początku podróży do przybycia na stację benzynową ( sposobami). d) Załóżmy, że nabrałeś benzyny i wróciłeś do samochodu co zajęło ci 45 min. Ile wynosi twoja średnia prędkość i średnia szybkość w czasie od początku podróży do chwili powrotu z benzyną do samochodu. e) Załóżmy, że po nalaniu benzyny powróciłeś do punktu startu z prędkością 35 km/h. Ile wynosi średnia prędkość dla całej podróży? 14
Ruch w dwóch i trzech wymiarach Założenia: - tor ruchu nie musi być linią prostą, - ciągle interesuje nas sam ruch i jego zmiany a nie ich przyczyny, -poruszające się ciało traktujemy jak obiekt punktowy, czyli obdarzony masą lecz bez rozmiaru 15
Prędkość w kartezjańskim trójwymiarowym układzie współrzędnych Wektor położenia ciała w funkcji czasu: r t x( t) iˆ y( t) ˆj z( t) kˆ (.1) A B Przemieszczenie: r r' r r x iˆ y ˆj z kˆ (.) Prędkość średnia: v śr. r t x iˆ t y t ˆj z t kˆ (.3) Rys. Wektor prędkości, w każdym punkcie toru poruszającego się ciała, (jego kierunek), pokrywa się ze styczną do toru i jest prędkością chwilową. Prędkość chwilowa: v vx y vz r dr dx dy dz iˆ ˆj t t dt dt dt dt kˆ v lim 0 (.4) dr m v 1 dt s (.5) 16
m..1. PRZYSPIESZENIE (ang. acceleration, a, jedn. 1 ), to wielkość wektorowa, która s określa zmiany wektora prędkości w czasie poruszającego się ciała (zarówno wartości, jak i kierunku). Ruch w dwóch i trzech wymiarach Rys. źródło: http://www.if.pwr.edu.pl/~piosit/we.php 17
Ruch w dwóch i trzech wymiarach PRZYSPIESZENIE ŚREDNIE: zmiana wektora prędkości a śr PRZYSPIESZENIE CHWILOWE : v t m 1 s przedział czasu (.7) a dr d( ) v dv dt d r lim t 0 t dt dt dt m 1 s (.8) Zauważamy, przyspieszenie jest też drugą pochodną wektora położenia względem czasu. styczna Składowe wektor przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych: tor a a ax y az dv dv x y dvz iˆ ˆj dt dt dt kˆ (.9) 18
Graficzne wyznaczanie drogi Ruch prostoliniowy- jednowymiarowy 19
Ruch w dwóch i trzech wymiarach Brachistochrona (krzywa najkrótszego czasu) jest to krzywa, po której czas staczania się ciała o masie m od punktu A do punktu B, pod wpływem stałej siły ciężkości, jest najkrótszy. Nazwa pochodzi od złożenia greckich słów brachistos - najkrótszy oraz chronos - czas. Rys. Brachistochrona, źródło: http://www.fiumsa.edu.bo/olimpiada/dfis_obf_obaa_noticias_008_f_files/image010.gif 0
.4.1. RZUT UKOŚNY ruch krzywoliniowy Rzut ukośny jest złożeniem dwóch ruchów : ruchu jednostajnego w kierunku poziomym - z prędkością: y v 0y v 0x v 0 z H g x v ox v 0 cos ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku pionowym: -z prędkością początkową: v(t): t dx dt vx v0 x v y t dy v0 dt Ruch w dwóch i trzech wymiarach y v 0x Rys. Rzut ukośny: w czasie ruchu składowa pozioma prędkości gt (.0) (.1) g i przyspieszeniem : r(t): x t t v 0x 0 t y v yt v oy v 0 gt sin v0 x const; przyspieszenie a- takie samo w każdym punkcie toru a(t): RÓWNANIA RUCHU: Dla ciała wyrzuconego z prędkością v, pod do poziomu: 0 a a x y 0 g (.) (.3) (.18) (.19) 1
Tablica- wyznaczenie parametrów toru: Rzut ukośny c.d. Otrzymane parametry toru: Zasięg (Z) rzutu: Z x( t c ) v 0 sin g (.4) Maksymalna wysokość wzniesienia Hmax: v ( t y w) 0 (z warunku: ) H max y( t w ) v 0 sin g (.5) Wyznaczając z równania (3.6) czas t i podstawiając do równania (3.7), znajdujemy równanie toru: Równanie toru dla rzutu ukośnego- trajektoria ruchu: y x tg x v o g cos x (.6) Tablica- Przykłady
Analiza rzutu ukośnego-opór powietrza Opór powietrza Źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki, tom I. 3
Stałe przyspieszenie w innym świetle *.4.1. Od przyspieszenia do równania ruchu Znając przyspieszenie (a =const.) ciała można znaleźć prędkość, przemieszczenie lub drogę tego ruchu. a dv dt Z definicji wynika : Całkując obie strony równania (.35), otrzymujemy: v v 0 dv dv adt t t 0 adt (.8) (.9) a ponieważ a= const, stąd: v v0 a( t t0) (.30) v( t) a t v W przypadku t 0 =0s, równość (.37) przyjmuje postać: 0 Z definicji prędkości chwilowej v dr dt, otrzymujemy: (.31) dr (.3) vdt Całkując obie strony równania (.39), otrzymujemy: (.33) Całka po czasie z wektora prędkości wyraża przemieszczenie ciała w przestrzeni. 4
Co wynika z całkowania stałego przyspieszenia? Przebytą drogę wyraża całka po czasie, ale z wartości bezwzględnej wektora prędkości: (.34) Jeśli prędkość nie zmienia się, to: (.35) Przykład ruch ze stałym przyspieszeniem. Dane są składowe [x, y, z] przyspieszenia, prędkości i położenia ciała w chwili t= 0s, Zakładając, że, zbadać ruch odpowiadając na pytania: 1. Jak zmienią się te wartości po czasie t?. Jaki będzie kształt toru? 5
.5. Ruch jednostajny po okręgu Ruch po okręgu - ruch cząstki odbywa się po okręgu lub kołowym łuku z prędkością o stałej wartości bezwzględnej, - choć wartość prędkości się nie zmienia, ruch cząstki jest ruchem przyspieszonym. Uzasadnienie. Przyspieszenie ( zmiana prędkości) kojarzy się ze Wzrostem lub zmniejszaniem się wartości bezwzględnej prędkości. Prędkość jest wektorem, a nie skalarem. Jeśli zmienia się choćby tylko jej kierunek, to ruch jest przyspieszony. (.36) Okres-czas potrzebny cząstce na jednokrotny Obieg zamkniętego toru. 6
Ruch po okręgu Wielkości kątowe wektor prędkości kątowej (.37) (.38) 7
Ruch po okręgu Wielkości kątowe przyspieszenie kątowe (.39) (.40) (.41) 8
Ruch po okręgu Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) (.4) 9
Ruch po okręgu Zależności między wielkościami liniowymi a kątowymi w ruchu po okręgu Występowanie: 30
Przykład (dla zainteresowanych) Talerz adaptera o średnicy d = 0 cm obraca się ruchem jednostajnym wykonując 33 obroty/min w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Oblicz : a) prędkość kątowa talerza, b) prędkość liniową i przyspieszenie dośrodkowe punktu na brzegu talerza. c) Ile obrotów/min powinien wykonywać talerz, aby przyspieszenie dośrodkowe punktu na jego brzegu było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Jaki byłby jego okres obrotu? d) Gdy adapter wyłączono talerz zatrzymał się po upływie 10 s. Zakładając, że siła oporu była stała obliczyć przyspieszenie kątowe talerza podczas hamowania oraz ilość obrotów, które wykonał talerz od momentu wyłączenia do zatrzymania. Oblicz przyspieszenie liniowe punktu na brzegu talerza w chwili rozpoczęcia hamowania. Narysuj wektory prędkości i przyspieszenia kątowego talerza oraz prędkości liniowej, przyspieszenia dośrodkowego, stycznego i całkowitego punktu na brzegu talerza tuż po wyłączeniu adaptera. 31
Dziękuję za uwagę! 3