Mgr Krzysztof Pontek Katedra Inwestycj Fnansowych Ubezpeczeń Akadema Ekonomczna we Wrocławu Modelowane struktury stóp procentowych na rynku polskm - wprowadzene Wprowadzene Na rynku stóp procentowych analzowana jest zmenna w czase stopa procentowa, będąca źródłem nepewnośc. Zabezpeczene przed ryzykem zwązanym ze zmanam stóp procentowych jest znaczne bardzej skomplkowane nż ochrona przed zmanam cen walut lub towarów. Obektem badana ne jest bowem cena nstrumentu bazowego, lecz cała krzywa dochodowośc paperów dłużnych. ermnowa struktura stóp procentowych jest podstawowym narzędzem analzy zarówno całego rynku paperów dłużnych, jak oceny atrakcyjnośc pojedynczych oblgacj zarówno o stałym, jak zmennym kupone. Odgrywa ona równeż nebagatelną rolę przy wycene akcj, jak nstrumentów pochodnych na stopę procentową. ermnowa struktura stóp procentowych pozwala odczytać przewdywane przez rynek przyszłe stopy procentowe. Inwestor, który potraf lepej nż nn przewdzeć przyszłe stopy procentowe, jest w stane osągnąć ponadprzecętne zysk. 1. Podstawowe defncje Podstawowym pojęcam pojawającym sę podczas modelowana struktury stóp procentowych są [1]:! R(t) 1 - stopa natychmastowa (spot), N-letna natychmastowa stopa procentowa jest to stopa procentowa dla nwestycj rozpoczynającej sę dzsaj trwającej N-lat.! F(t,) - stopa termnowa (forward), Stopa termnowa reprezentuje natomast oprocentowane pożyczk na pewen przyszły okres [t,].! r(t) - chwlowa stopa procentowa (nstantaneous nterest rate), Chwlowa stopa procentowa odpowada oprocentowanu pożyczk rozpoczętej dzsaj trwającej przez dowolne mały okres czasu [t,t+δt]. 1 Oczywśce jest wele alternatywnych sposobów oznaczana poszczególnych stóp procentowych 1
! f(t,) - chwlowa stopa termnowa (nstantaneous forward rate), Analogczne, chwlowa stopa forward odpowada stope pożyczk zakontraktowanej w chwl t, rozpoczynającej sę w momence zwracanej w neskończene krótką chwlę potem. Chwlową stopę forward f(t, ) można węc nterpretować jako oczekwaną przez rynek w chwl t dalszą ewolucję chwlowej stopy procentowej r(t). Nepewność zwązana przyszłoścą narzuca traktowane f(t,) jako procesu stochastycznego z nelosowym warunkem początkowym f(0,). Stopy natychmastowe oraz chwlowe stopy forward łączy następująca zależność: 1 R( ) = 0 f (0, s) ds Po zróżnczkowanu obu stron powyższego równana, możlwe jest wyznaczene chwlowych stóp forward: f ( 0, ) = R( ) + * R' ( ). Zgodne z modelem Heath a, Jarrowa Mortona, ne jest możlwe zrealzowane arbtrażu z wykorzystanem oblgacj oraz oszczędzanem na rachunku wtedy tylko wtedy, gdy chwlowa stopa procentowa forward będze opsana przez następujące równane całkowe[8] [2][9]: n t σ ( ν, ) σ ( ν, s) dsdν + = = f ( t, ) = f (0, ) + σ ( ν, ) dw ( ν ) gdze σ :{( t, ),0 t } R 1 0 ν, =1,...,n są dowolnym funkcjam spełnającym pewne ogólne warunk regularnośc, a {W 1 (t),...,w n (t)} oznacza n-wymarowy ruch Browna. n t 1 0 Aby prawdłowo wycenć nstrumenty fnansowe, bądź konstruować nowe produkty, należy znać zależność stóp procentowych od czasu oraz określć funkcje zmennośc σ (t,), =1,...,n. Nezbędna jest węc kalbracja modelu. Zdefnowaną ponżej krzywą rentownośc, opsującą zależność stóp natychmastowych od czasu, można wyznaczyć rynkowych kwotowań nstrumentów dłużnych. Dużo bardzej problematyczne jest wyznaczene odpowednch, najczęścej nelnowych, funkcj zmennośc, gdyż występują one jedyne jako parametry cen nstrumentów fnansowych. W dalszej częśc referatu przedstawone zostaną sposoby wyznaczana krzywej rentownośc. 2
2. Krzywa rentownośc 2 Struktura termnowa stóp procentowych defnowana jest jako zależność stóp procentowych od czasu. Zazwyczaj defnuje sę ją jako zależność stóp zwrotu wolnych od ryzyka oblgacj bezkuponowych od ch termnu wykupu [3]. Struktura termnowa dla oblgacj bezkuponowych obrazuje węc zależność pomędzy stopam natychmastowym a odpowednm termnam wykupu. Wyznaczene takej krzywej jest jednak w welu przypadkach utrudnone lub wręcz nemożlwe. Spowodowane jest to faktem, ż na rynkach jest jeszcze newele długotermnowych oblgacj bezkuponowych. W Polsce jedynym bezkuponowym paperam dłużnym są bony skarbowe o termnach wykupu ne dłuższych nż 52 tygodne. Drugm utrudnenem jest fakt, że oblgacje pownny charakteryzować sę takm samym ryzykem newypłacalnośc, płynnoścą sposobem opodatkowana. W praktyce strukturę termnową przyblża sę za pomocą krzywej rentownośc, którą wyznacza sę tylko dla pewnej założonej grupy oblgacj, np. zerokuponowych o tym samym ryzyku, czy oblgacj o stałym oprocentowanu. Jeżel krzywa dochodowośc jest rosnąca, krzywa dochodowośc oblgacj zerokuponowych znajduje sę ponad krzywą dochodowośc dla oblgacj kuponowych, a krzywa stóp termnowych ponad krzywą dla oblgacj zerokuponowych. Struktura czasowa stóp procentowych zmena sę wraz z upływem czasu. W lteraturze wyróżna sę cztery podstawowe kształty krzywej dochodowośc [4]: 2 W różnych opracowanach spotyka sę równeż nazwy krzywa dochodowośc lub krzywa stóp zwrotu. 3
Strukturę czasową stóp procentowych próbuje tłumaczyć wele teor. Do podstawowych należą [5]:! teora oczekwań rynkowych zakłada, że stopa termnowa dla danego okresu pownna być równa oczekwanej przyszłej natychmastowej stope procentowej dla tego okresu. eora ta zakłada, że ceny nstrumentów dłużnych kształtują sę na takch pozomach, że nwestorom jest obojętne, czy nwestować w papery o dłuższych termnach zapadalnośc, czy też renwestować kaptał o krótszych termnach wykupu, co sprowadza sę do założena o doskonałej substytucjonalnośc paperów krótko- długotermnowych.! teora preferencj płynnośc zakłada nepełną substytucję krótko- długotermnowych nstrumentów. Według tej teor stopy termnowe pownny być zawsze wyższe nż oczekwane przyszłe stopy natychmastowe. Stopę termnową przedstawa sę jako sumę oczekwanej przyszłej krótkotermnowej stopy procentowej oraz prem za ryzyko. Zakłada sę węc, że długotermnowe nstrumenty dłużne obarczone są wększym ryzykem zmany wartośc wynkającym z błędne oszacowanych stóp procentowych. Inwestorzy mogą węc wymagać różnych stóp zwrotu z oblgacj krótko- długotermnowych w cągu wspólnych przedzałów czasu.! teora segmentacj rynku (neefektywnośc rynku) zakłada ona, że welu nwestorów emtentów zadłużena przejawa slne preferencje dla nstrumentów o określonym termne wykupu. worzą on rozdzelne segmenty rynku. W teor tej o kształce krzywej dochodowośc decyduje przede wszystkm kształtowane sę relacj popytu podaży w poszczególnych segmentach rynku. W teor tej dopuszcza sę stnene newelkej grupy nwestorów o charakterze spekulantów, którzy wykorzystują możlwość lokowana aktywów wzdłuż całej krzywej dochodowośc. Skutkem ch dzałań jest wygładzene krzywej dochodowośc. 4
3. Estymacja krzywej rentownośc Na wyestymowaną krzywą rentownośc nakłada sę dwa warunk [6]: pownna być dostateczne dobrze dopasowana do danych, pownna być dostateczne gładka, co mplkuje późnej gładkość chwlowych stóp forward. W wększośc przypadków pełna krzywa dochodowośc ne jest obserwowalna bezpośredno na podstawe paperów bezkuponowych. Dla krótkch termnów wygaśnęca estymuje sę ja korzystając z nstrumentów rynku penężnego. W Polsce wykorzystuje sę do tego bony skarbowe. Rentowność dla takch nstrumentów wyznacza sę z następującego wzoru: FV M R( m) = 1, P m gdze: FV wartość nomnalna bonu, P cena ustalona na przetargu w dnu zakupu, M lczba przyjętych dn w roku, m lczba dn do termnu wykupu bonu skarbowego, Do wyznaczana krzywej przychodowośc stosuje sę w tym zakrese średną rentowność z przetargu odpowednch bonów skarbowych. Dalszą część krzywej dochodowośc zmuszen jesteśmy estymować na podstawe zboru oblgacj kuponowych. Metoda ta oparta jest na spostrzeżenu, że oblgacja kuponowa może być potraktowana jako portfel oblgacj bezkuponowych. Korzysta sę wtedy z następującego wzoru na wycenę takej oblgacj: c c c + WN P = + +... +, 2 k 1 + R(1) (1 + R(2)) (1 + R( k)) gdze: c - wypłacane kupony odsetkowe, WN - wartość nomnalna oblgacj. Najczęścej wykorzystuje sę metodę dekompozycj płatnośc gotówkowych [7], która polega na stopnowym oblczanu coraz dłuższych stóp natychmastowych. Zaczynając od najkrótszych stóp (wyznaczonych na podstawe rynku bonów skarbowych), rozbudowuje sę wedzę na temat całej krzywej stóp procentowych. Wyznaczene czteroletnej stopy procentowej wymaga węc wcześnejszego oszacowana stóp natychmastowych o długośc roku, dwóch trzech. 5
Podstawowym problemam występującym w tej metodze są nedostateczna lczba oblgacj, które mogą być wykorzystane do oblczeń oraz nerównomerne rozmeszczene termnów wykupu na os czasu. Brakujące stopy wyznacza sę na podstawe odpowednch nterpolacj. Odmenne podejśce do problemu wyznaczana stóp natychmastowych na podstawe oblgacj kuponowych opera sę na aproksymacj funkcj dyskontowej [5]. W metodze tej możlwe jest szacowane zarówno stóp dyskretnych, jak cągłych. Aby wyestymować dyskretne stopy procentowe stosuje sę odpowedne czynnk dyskontujące d(). 1 d( ) = (1 + R( )) Czynnk dyskontujące umożlwają następne wyznaczene -letnch stóp natychmastowych R(). Zbór czynnków dyskontujących dla wszystkch termnów zapadalnośc określany jest manem funkcj dyskontującej. Wartość funkcj dyskontującej dla danego termnu zapadalnośc jest węc równa cene odpowednej oblgacj bezkuponowej o nomnale 1 o tym samym termne wykupu. W celu unknęca sytuacj, w której stopy termnowe okazałyby sę ujemne, wprowadza sę zwykle warunek ogranczający, że współczynnk d() pownny być nerosnące. W przypadku, gdy kupony wypłacane są co pół roku należy zmodyfkować czynnk dyskontujące zastosować półroczne stopy procentowe. Wartość oblgacj kuponowej można przedstawć węc jako: P = cd( 1) + cd(2) +... + ( c + WN) d( k). Ceny oblgacj mogą różnć sę jednak od wyznaczonych przez powyższe równane z uwag na rozpętość cen kupna sprzedaży, różnce pomędzy właścwoścam oblgacj, czy wreszce ze względu na odstępstwa od stanu równowag rynku. Nezbędne staje sę dodane do modelu składnka losowego e. P = cd(1) + cd(2) +... + ( c + WN) d( k) + O le dysponuje sę odpowednm zborem oblgacj kuponowych, możlwe staje sę oszacowane średnch stóp natychmastowych. Metodą zapewnającą uśrednene jest regresja welowymarowa. Funkcje dyskontowe stanową węc odpowedne współczynnk równana regresj. Stosowane tej procedury w praktyce bywa dość utrudnone ze względu na to, że kupony dla różnych oblgacj wypłacane są w różnym czase. Stopy natychmastowe otrzymywane na podstawe tej procedury są stopam dyskretnym. Alternatywą jest estymacja cągłej funkcj dyskontowej. Najpopularnejszym postacam cągłych funkcj dyskontujących są [6]: e 6
funkcje welomanowe d(t)=1+β 0 +β 1 *t+β 2 *t 2 +...+β n *t n funkcje wykładncze d(t)=β 0 +β 1 *e -αt +β 2 *e -2αt +...+β n *e -nαt. Stosując powyższe postac funkcj dyskontujących należy przede wszystkm ustalć rząd funkcj dyskontującej. Na przykład zastosowane zbyt nskego stopna welomanu unemożlwa odpowedno dokładne przyblżene przebegu funkcj dyskontującej, natomast zbyt wysok rząd welomanu powoduje pojawene sę oscylacj wokół prawdzwej funkcj dyskontującej, co powoduje, że wyznaczone na podstawe wyznaczonej krzywej dyskontującej krzywe natychmastowej termnowej stopy procentowej są bardzo zaburzone. W welu przypadkach, poprawene modelu uzyskuje sę przez zastosowane funkcj sklejanych. Zamast aproksymować całą krzywą jedną funkcją, rozbja sę krzywą rentownośc na fragmenty znajduje funkcje, które najlepej aproksymują ją w danych sektorach. Dobra własnośc krzywej rentownośc uzyskuje sę przez nałożene restrykcj o równośc perwszych pochodnych poszczególnych funkcj aproksymujących w węzłach. W metodze tej kłopotlwe jest jednak wyznaczene lczby położena punktów węzłowych. Stosując powyższe metody wyznaczana krzywej rentownośc należy pamętać, że każda z metod może generować nawet dla tych samych danych różnące sę wynk. Dla tego zaleca sę stosowane klku model porównane otrzymanych wynków. 4. Przykład empryczny Ponżej przedstawona została próba wyznaczena krzywej rentownośc dla rynku polskego, na podstawe notowań oblgacj o stałym oprocentowanu, z wykorzystanem aproksymacj funkcj dyskontowej za pomocą welomanu. Oblczena przeprowadzone zostały dla 16.09.1999. Dane pochodzą z "Rzeczpospoltej" z notowań blokowych oblgacj. Przeprowadzona została próba wyznaczena struktury stóp natychmastowych dla termnów powyżej roku. Dla okresów krótszych krzywą można wyznaczyć na podstawe średnej rentownośc oferowanych w obroce wtórnym bonów skarbowych. 7
abela 1. Dane do oszacowana krzywej rentownośc na podstawe oblgacj o stałym oprocentowanu oblgacja oprocentowane cena czysta odsetk skum. cena brudna data płatnośc lość dn płatność OS0700 14% 8 27,78 1035,78 12.07.2000 300 1140 OS0800 14% 8 14,92 1022,92 12.08.2000 331 1140 OS02 12% 991 32,79 1023,79 12.06.2000 12.06.2001 12.06.2002 270 635 0 1 OS2 12% 990 112,70 1102,7 OS0203 12% 992 72,33 1064,33 OS03 12% 5 32,79 1037,79 OS3 12% 7 112,70 1119,7 OS0204 10% 950,27 1010,27 OS04 10% 950 27,32 977,32 OS4 10% 956 27,40 983,40 DS0509 6% 796 19,51 815,51 12.10.1999 12.10.2000 12.10.2001 12.10.2002 12.02.2000 12.02.2001 12.02.2002 12.02.2003 12.06.2000 12.06.2001 12.06.2002 12.06.2003 12.10.1999 12.10.2000 12.10.2001 12.10.2002 12.10.2003 12.02.2000 12.02.2001 12.02.2002 12.02.2003 12.02.2004 12.06.2000 12.06.2001 12.06.2002 12.06.2003 12.06.2004 12.10.1999 12.10.2000 12.10.2001 12.10.2002 12.10.2003 12.10.2004 24.05.2000 24.05.2001 24.05.2002 24.05.2003 24.05.2004 24.05.2005 24.05.2006 24.05.2007 24.05.2008 24.05.2009 26 392 757 1122 149 515 880 1245 270 635 0 1365 26 392 757 1122 1487 149 515 880 1245 1610 270 635 0 1365 1731 26 453 757 1122 1487 1853 źródło: oblczena własne na podstawe notowań z "Rzeczpospoltej" W dalszych oblczenach wykorzystano funkcję dyskontującą w postac welomanu czwartego stopna: d = + + + + 2 3 4 ( t) a0 a1t a2t a3t a4t P = Zgodne z wcześnejszym wzoram cenę oblgacj zapsujemy jako: t 0 CF( t) d( t) 241 616 981 1346 1712 2077 2442 2807 3173 3538 1 1 1 1 1 1 1 10 8
P = Po prostych przekształcenach otrzymujemy: t = 0 CF( t)( a 2 3 4 0 + a1t + a2t + a3t + a4t CF( t) + a1 ( tcf( t)) + a2 2 4 P = a0 ( t CF( t)) +... + a ( t CF( t)) t= 0 t= 0 t 0 ) Korzystając z powyższej postac wzoru możlwe jest oszacowane parametrów a funkcj dyskontowej przy pomocy regresj welorakej. Dla danych z tabel 1 otrzymujemy. a 0 = 1,07678 a 1 = -0,266624 a 2 = 0,08301 a 3 = -0,01404 a 4 = 0,000789 Znając współczynnk a można na podstawe funkcj dyskontującej d(t) wyznaczyć krzywą dochodowośc stóp natychmastowych R(t). Zakładając model kaptalzacj cągłej otrzymuje sę: [ R() t t] 4 t = 0 1 d( t) =, a następne exp R () t 1 1 = ln t d. () t Rys.1 Funkcja dyskontująca 9
Rys.2 Krzywa dochodowośc Na podstawe powyższych wynków można jednoznaczne stwerdzć, ż na polskm rynku oblgacje ne są wycenane w sposób konsekwentny. Szczególne odstępstwo można zaobserwować w funkcj dyskontującej oraz w krzywej dochodowośc dla termnów zapadalnośc wększych nż 5 lat. Ne spełnony jest warunek, aby funkcja dyskontująca była nerosnąca. Spowodowane jest to tym, że krzywa dla termnów dłuższych nż 5 lat estymowana jest na podstawe notowana tylko jednej oblgacj DS0509. Oblgacja ta ze względu na dług czas do wykupu charakteryzuje sę wyższym ponadto ryzykem. Dodatkowym faktem, który należy równeż uwzględnć jest mała płynność rynku blokowego oblgacj, co równeż może być przyczyną ne do końca prawdłowej wyceny przez rynek. Na podstawe powyższych oblczeń, można stwerdzć, że zaprezentowana metoda ne sprawdza sę podczas estymacj struktury stóp procentowych dla termnów dłuższych nż 5 lat. Wyjścem z tej sytuacj może być ewentualne pojawene sę na rynku kolejnych oblgacj o stałym oprocentowanu, których termn wykupu będze dłuższy nż 5 lat oraz zwększene wolumenu obrotu na poszczególnych oblgacjach. Wyestymowane natychmastowe stopy procentowe mogą zostać wykorzystane do wyceny nnych nwestycj metodą zdyskontowanych przepływów penężnych. Lteratura: [1] A. Weron, R. Weron, Inżynera fnansowa, Wydawnctwo Naukowo-echnczne, Warszawa 1998, [2] P. Sztuba, A. Weron, Metody numeryczne w modelowanu fnanswym. Kalbracja modelu HJM, Rynek ermnowy 5/99 [3] J. Hull, Kontrakty termnowe opcje. Wprowadzene, WIG PRESS, Warszawa 1998 10
[4] K. Jajuga, K. Kuzak, P. Markowsk, Inwestycje Fnansowe, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wroclawu, Wrocław, 1997 [5] E. Gruber, Nowoczesna teora portfelowa analza paperów wartoścowych, WIG PRESS, Warszawa 1998 [6]. Dacewcz, E. Radkowska, ermnowa struktura stóp procentowych, Nasz Rynek Kaptałowy 8/99 [7] R. Haugen, eora nowoczesnego nwestowana, WIG PRESS, Warszawa 1996 [8] D. Heath, R. Jarrow, A. Morton, Bond prcng and the term structure of nterest rates: a new methodology for contngent clams valuaton, Econometrca, 1992 [9] M. Musela, M. Rutkowsk, Martngale Methods n Fnancal Modelng, Berln, Sprnger- Verlag, 1997 11