ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNĄ częściowe notatki z wykładów, rozwiązane przykłady, zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki zadania strona główna Spis treści I Geometria analityczna w R Płaszczyzna i wektory Własności operacji na wektorach Iloczyn skalarny Zastosowanie iloczynu skalarnego do wyznaczania kątów Własności długości wektorów i iloczynu skalarnego Miary stopniowa i łukowa kąta 4 Kąty trójkąta równobocznego 5 Kąty równoramiennego trójkąta prostokątnego 5 Prosta i okrąg na płaszczyźnie 6 II Liczby zespolone 8 Rys historyczny 8 Podstawowe definicje i własności 9 Postać trygonometryczna 11 Postać wykładnicza 1 Pierwiastkowanie 14 Rozwiązywanie równań kwadratowych 15 III Wielomiany i funkcje wymierne 16 Wielomiany 16 1

Funkcje wymierne 18 IV Macierze i wyznaczniki 19 Macierze 19 Wyznaczniki Dalsze własności wyznaczników Postać macierzy odwrotnej 4 Część I Geometria analityczna w R Płaszczyzna i wektory Płaszczyzna w ujęciu geometrii analitycznej to iloczyn kartezjański R = R R = {x, y : x, y R}. Pary uporządkowane x, y R traktujemy jak punkty płaszczyzny lub wektory, które możemy dodawać lub mnożyć przez skalary czyli przez liczby rzeczywiste. Dodawanie wektorów: u 1, u + v 1, v = u 1 + v 1, u + v. Mnożenie przez skalary: λu 1, u = λu 1, λu. Długość wektora odległość między końcami tego wektora: u 1, u = Wektor zerowy: 0 = 0, 0. Wektor przeciwny do danego wektora: u 1, u = u 1, u. u 1 + u. Własności operacji na wektorach Prawa łączności: u + v + w = u + v + w, λµu = λµu,

Prawa rozdzielności: Przemienność dodawania: λu + v = λu + λv, λ + µu = λu + µu, u + v = v + u, Inne własności: 0 + u = u + 0 = u, u + u = u + u = 0, 1u = u. Iloczyn skalarny Definicja 1 Iloczyn skalarny pomiędzy wektorami u = u 1, u, v = u 1, u R możemy określić na dwa, równoważne sposoby: geometryczny, u v = u v cosϕ, gdzie ϕ [0, π] jest niezorientowanym kątem tzn. kolejność wektorów nie ma znaczenia pomiędzy niezerowymi wektorami u i v, ponadto przyjmujemy 0 v = u 0 = 0 lub analityczny, u v = u 1 v 1 + u v. Zastosowanie iloczynu skalarnego do wyznaczania kątów Jeśli wektory u = u 1, u, v = u 1, u R są niezerowe, to kosinus kąta ϕ [0, π] pomiędzy nimi wyraża się wzorem cosϕ = u v u v = u 1 v 1 + u v. u 1 + u v 1 + v Dwa wektory u, v R sa prostopadłe oznaczamy: u v wtedy i tylko wtedy, gdy u v = 0. Własności długości wektorów i iloczynu skalarnego u + v u + v nierówność trójkąta, λu = λ u, u v u v, u v = v u przemienność iloczynu skalarnego, λu v = u λv = λ u v, u 1 + u v = u 1 v + u v.

Miary stopniowa i łukowa kąta 4

Kąty trójkąta równobocznego Kąty równoramiennego trójkąta prostokątnego 5

Prosta i okrąg na płaszczyźnie Równanie A x + B y + C = 0, gdzie A, B, C R oraz A + B 0, zwane równaniem ogólnym prostej na płaszczyźnie, wyznacza prostą i jednocześnie, każda prosta na płaszczyźnie daje się opisać takim równaniem. Z powyższego równania ogólnego natychmiast można odczytać współrzędne wektora prostopadłego do prostej, u = A, B. { x = x0 + t u Niekiedy prostą opisujemy równaniem parametrycznym 1 gdzie x y = y 0 + t u, 0, y 0, u 1, u R są ustalonymi liczbami, a parametr t przebiega zbiór liczb rzeczywistych R. Z równania parametrycznego prostej natychmiast można odczytać współrzędne jednego z jej punktów: x 0, y 0 oraz wektor kierunkowy u = u 1, u tej prostej czyli niezerowy wektor równoległy do tej prostej. Prostą przechodzącą przez punkty x 1, y 1 x, y R opisuje równanie y y 1 x x 1 = y y 1 x x 1. Kosinus kąta ϕ u v u v. [ 0, π ], pomiędzy prostymi o wektorach kierunowych u, v, wyraża się wzorem cosϕ = Odległość punktu P 0 = x 0, y 0 R od prostej l R o równaniu Ax + By + C = 0 wyraża się wzorem d P 0, l = Ax 0 + By 0 + C. A + B Równaniem okręgu na płaszczyźnie o środku w punkcie x 0, y 0 R i promieniu r > 0 jest x x 0 + y y 0 = r. Przykłady 1. Wyznacz w mierze łukowej niezorientowany kąt ϕ [0, π] pomiędzy niezerowymi wektorami u, v dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub różnice odpowiednich kątów, jeśli a u = 1,, v = 1,. : cosϕ = 1 + = 1, ϕ = π. b u =, 1, v = 1,. : + cosϕ = =, ϕ = π 6. c u =,, v = 1,. : ϕ = ϕ 1 + ϕ, gdzie ϕ 1 jest niezorientowanym kątem pomiędzy wektorami u i 1, 0, a ϕ kątem pomiędzy wektorami 1, 0 i v. Wyznaczamy, np. za pomocą iloczynu skalarnego, ϕ 1 = π 4, ϕ = 11 π, zatem ϕ = 1 π. Znając wartości funkcji trygonometrycznych kąta π i postępując jak w pierwszych dwóch podpunktach, możemy wyznaczyć odpowiedź bez rozbijania ϕ na sumę kątów. 1 d u =,, v =, 1. : Analogicznie jak w poprzednim podpunkcie, otrzymujemy ϕ = 7 1 π.. Wyznacz kąt ϕ przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = 1, 1, B =, +, C = 1 +,. : ϕ jest kątem niezorientowanym pomiędzy wektorami AC =, 1, BC = 1,. 6

Ponieważ AC BC = = 0,to kąt ϕ jest prosty, ϕ = π 4.. Oblicz wysokość h opuszczoną z punktu B w trójkącie o wierzchołkach A =, 5, B = 0, 6 oraz C =,. : h jest odległością punktu B od prostej l przechodzącej przez punkty A, C. AC = 1, jest wektorem kierunkowym prostej l,zatem równaniem parametrycznym prostej l jest x, y =, 5 + t 1, = t, 5 t, t R, a równaniem ogólnym, po wyeliminowaniu t np. przez obliczenie x y = 4, jest x y 4 = 0. Korzystając ze wzoru na odległość punktu x 0, y 0 od prostej o równaniu ax + by + c = 0, otrzymujemy h = ax 0 + by 0 + c 0 6 4 = a + b + 1 = 10. 4. Wyznacz { punkt przecięcia S = x { 0, y 0 oraz kąt ϕ, pod jakim przecinają się proste, określone parametrycznie oraz x = t x = s y = 5 + t, y = 1 gdzie t, s R. s, : By znaleźć punkt przecięcia, np. przyrównujemy współrzędne x, y dla obu prostych, stąd t = 1 i S =, 4. Kąt pomiędzy prostymi to kąt pomiędzy wektorami kierunkowymi prostych u = [ Ponieważ kąt między prostymi jest z przedziału 0, π ], obliczamy cosϕ =, 1 5. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = 4, 6, B = 5, 5 i C = 6,. Odpowiedź: x 1 + y = 5., v = = { t = s 5 + t = 1 s, 1,., ϕ = π 6. 6. Nazwij i opisz równaniem zbiór tych punktów z płaszczyzny, których odległość od punktu A = 1, jest dwa razy większa od odległości od punktu B = 4, 5. Odpowiedź: okrąg zwany okręgiem Apoloniusza, o równaniu x 5 + y 6 = 8. 7. Wyznacz równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli a S = 1,, A = 1,, B =, 4. Odpowiedź: x 1 + y + = 19 1. b S =, 1, A = 1,, B = 4, 1. Odpowiedź: x + + y + 1 = 1 10. 8. Napisz równania tych stycznych do okręgu o równaniu x + x + y = 0, które przecinają się z prostą x y + 1 = 0 pod kątem π. Odpowiedź: y =, y =, y = x + 4, y = x 4. 7

Część II Liczby zespolone Twierdzenie 1 Jeśli x R, to x 0. Rys historyczny Potrzeba obliczania pierwiastków keadratowych z liczb ujemnych występowała już w pracach Herona z Aleksandrii ok. 75 r. przy obliczeniach związanych z piramidami, Diofantusa wiek, matematyków hinduskich: Bhaskara Acharya 5 wiek czy Machawira Acharya ok. 850 r.. Girolamo Cardano opublikował w 1545 r. pracę Ars Magna o rozwiązywaniu równań kwadratowych x + bx + c = 0 i sześciennych x + ax + bx + c = 0. W pracy tej znajduje się pierwsze według obecnej wiedzy zapisanie pierwiastka z liczby ujemnej. Problem Cardano Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40. Obliczenia: x + y = 10, x y = 40, zatem x10 x = 40, x 10x + 40 = 0, co daje rozwiązania x 1 = 5 + 15, x = 5 15. Cardano formalnie mnożył x 1 x = 5 15 = 5 15 = 40. Rozwiązując równanie sześcienne x = ax + b, Cardano wyprowadził wzór x = b + b a + b b a. Dla równania x = 15x + 4, wzór powyższy daje x = + 11 + 11, a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku. Zauważmy, że powyższe równanie x = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, +,, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x + 1 = 0. Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = + 11 + 11, otrzymanym przez Cardano. Rafael Bombelli 156-7 spróbował składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie, + 11 = a + b, 11 = a b; wydedukował, że a =, b = 1 i pokazał w ten sposób, że x = + 11 + 11 = + 1 + 1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych. Leonhard Euler 1707-8 dziwił się, że wyrażenia takie, jak 1, nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 czyli są nieporównywalne z zerem. Oznaczył i = 1 i był zmieszany absurdem: 6 = 6 = 4 9 = 4 9 = 1 4 1 9 = i i = i 6 = 6. Wątpliwości, jak powyższe, trwały przez około dwa i pół stulecia. Pomimo tego, w tym samym czasie liczby zespolone były intensywnie używane. Karl Friedrich Gauss 1777-1855 zaproponował geometryczną interpretację liczb zespolonych jako punkty płaszczyzny i wprowadził nazwę: liczby zespolone. Publikacja miała miejsce w roku 181, ale z jego dziennika wynika, że znał interpretację już w roku 1797. Wyjaśnienie problemu Eulera Zarówno 6 = 6, jak i 6 = 6. Inaczej: do jednej liczby 6 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby 6, czyli 6 6 6. 8

Zamiast przyjmować, że 6 = 6, moglibyśmy określić 6 = 6. Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych: 6 = 6 = 4 9 = 4 9 = = 6. Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla argumentów niezerowych, np. 6 = {6, 6}. Wtedy {6, 6} = 6 = 4 9 = 4 9 = {i, i} {i, i} = {i i, i i, i i, i i} = { 6, 6, 6, 6} = { 6, 6}. Podstawowe definicje i własności Liczby zespolone utożsamiamy z punktami płaszczyzny, a zbiór liczb zespolonych oznaczamy przez C. Jeśli z C, to z = x, y, gdzie x, y R. Liczbę x R nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznaczamy x = Rez, a liczbę y R nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy y = Imz. Liczby zespolone dodajemy, jak wektory na płaszczyźnie, zatem dodawanie liczb zespolonych ma te same własności, co dodawanie wektorów. Oznaczamy i = 0, 1, 1 = 1, 0. Jeśli z = x, y C, gdzie x, y R, to z = x, 0 + 0, y = x 1, 0 + y 0, 1 = x 1 + y i = x + y i. Definicja Przedstawienie z = x + y i, gdzie x, y R, nazywamy postacią algebraiczną liczby zespolonej z C. Liczby zespolone mnożymy z zachowaniem prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania i przy założeniu i = 1. Jeśli z 1 = x 1 + y 1 i, z = x + y i, gdzie x 1, y 1, x, y R, to z 1 z = x 1 + y 1 i x + y i = x 1 x y 1 y + x 1 y + x y 1 i. Zbiór liczb zespolonych C z dodawaniem i mnożeniem jest ciałem, to znaczy C z dodawaniem tworzy grupę przemienną dodawanie jest łączne, przemienne, dodanie elementu neutralnego zera nie zmienia liczby, dodanie liczby przeciwnej daje zero: z + z = 0, zbiór C \ {0} z mnożeniem jest także grupą przemienną elementem neutralnym jest 1, w zbiorze C zachodzi prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Definicja Jeśli z = x + y i jest postacią algebraiczną liczby zespolonej z C, to liczbę zespoloną nazywamy sprzężeniem lub liczbą sprzężoną do z, rzeczywistą liczbę nieujemną z = x y i z = x + y nazywamy modułem niekiedy: wartością bezwzględną liczby z. 9

Zauważmy, że z z = x + yix yi = x yi = x + y = z, z = z, z 1 z jest odległością pomiędzy punktami z 1, z na płaszczyźnie, z 1 + z z 1 + z nierówność trójkąta, z 1 z = z 1 z, z 1 = z 1 z. z Przykłady 1. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną a z = 1 + i i. z = 1 + i i = 1 + i i + i + i = 1 + i 4 + 1 = 1 5 + 5 i. b z = + i 4 + 5i. z = + i 4 + 5i = + i 4 + 5i 4 5i + i = = 4 5i 41 41 + 41 i.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek a Re iz + 4 0. Podstawiając z = x + yi, gdzie x = Rez, y = Imz, otrzymujemy Re iz + 4 = Re ix + yi + 4 = Re4 + y xi = 4 + y 0, co przedstawia półpłaszczyznę y. b Imz i = Im iz + i. Odpowiedź Prosta y = 1 x.. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek c Re z = [Imiz] 4. Podstawiając z = x + yi, gdzie x = Rez, y = Imz, otrzymujemy Rez = Rex + yi = Rex y + xyi = x y, [Imiz] 4 = [Im ix + yi ] 4 = [Im y + xi] 4 = x 4, stąd x y = x 4, y = 4, y = y = ; zbiór A to dwie proste na płaszczyźnie, o powyższych równaniach. d iz + = iz i. Odpowiedź: Prosta y = x. e z = 4z 4. Odpowiedź: Okrąg o środku w punkcie 4, 0 i promieniu. 10

Postać trygonometryczna Przekształćmy nieco algebraiczną postać niezerowej liczby zespolonej z C \ {0}: x z = x + y i = z z + y z i. Definicja 4 Przedstawienie z = z cosϕ + i sinϕ, gdzie ϕ R, nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej z C \ {0}. Kąt ϕ R nazywamy argumentem liczby zespolnej z, a jeśli ϕ [0, π, to mówimy o argumencie głównym. Przykład Zapisz w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną z = 1 + i. Obliczamy z =, zatem z = 1 + 1 i = { cosϕ = 1 Rozwiązujemy układ równań sinϕ = 1. 1 + 1 i. Gdybyśmy rozwiązali w przedziale [0, π układ { cos ϕ0 = 1 sin ϕ 0 = 1, to otrzymalibyśmy ϕ 0 = π,zatem mo- 4 żemy przyjąć ϕ = π ϕ 0 = π, gdyż cosπ α = cosα, sinπ α = sinα. Formułujemy odpowiedź: 4 1 + i = cos 4 π + i sin 4 π. Przyjrzyjmy się uważniej mnożeniu liczb zespolonych, zapisanych w postaci trygonometrycznej. Jeśli z 1 = z 1 cos[ ϕ 1 + i sin ϕ 1, z = z cos ϕ + i sin ϕ, to z 1 z = z 1 z cos ϕ 1 cos ϕ sin ϕ 1 sin ϕ + ] i cos ϕ 1 sin ϕ + sin ϕ 1 cos ϕ = z 1 z [cos ϕ 1 + ϕ + i sin ϕ 1 + ϕ ]. 11

Twierdzenie Liczby zespolone, zapisane w postaci trygonometrycznej, mnożymy według wzoru: z 1 z = z 1 z [cos ϕ 1 + ϕ + i sin ϕ 1 + ϕ ], zatem modułem iloczynu jest iloczyn modułów, a argumentem iloczynu suma argumentów. W przypadku, gdy mnożymy liczbę zespolonę przez samą siebie, czyli podnosimy do którejś potęgi, otrzymujemy ważny wniosek: Wniosek 1 Wzór de Moivre a Liczbę zespoloną, zapisaną w postaci trygonometrycznej z = z cosϕ + i sinϕ, podnosimy do potęgi n N według wzoru: z n = z n [cos n ϕ + i sin n ϕ], zatem moduł podnosimy do n tej potęgi, a argument mnożymy przez n. Przykłady. Zapisz w postaci algebraicznej liczbę zespoloną 0 1 + i a z = 1 i 40, 0 [ 1 + i cos π + i sin π ] 0 z = 1 i 40 = [ cos 7π 4 + i sin 7π ] 40 = 4 0 cos 0π + i sin 0π 0 cos 7 40π 4 + i sin 7 40π = cos π + i sin π cos 0 + i sin 0 4 1 + i40 b z = 0, i = 1 + i = 1 1 + i, [ cos π 4 + i sin π ] 40 4 z == [ cos 11π 6 + i sin 11π 6 1 1 + i 1 i 1 i = 4 i c z = 14. 1 i 1 i 0 ] = 0 cos 40π 4 0 0 cos 0π 1 i = 1 1 i, 6 + i sin 40π 4 + i sin 0π = 6 cos 0 + i sin 0 cos π + i sin π = [ cos 11π 6 + i sin 11π ] 4 6 z = [ cos 5π + i sin 5π ] 14 [ cos 7π 4 + i sin 7π ] 0 = 4 4 cos 11 4π 6 + i sin 11 4π 6 14 cos 70π + i sin 70π 10 cos 7 0π 4 + i sin 7 0π = 4 cos 0 + i sin 0 1 cos 4π + i sin 4π = cos π + i sin π 1 = i 1 1 1 + i 1 i 1 i = 1 i = 1 1 i. 4. Opisz oraz zaznacz na płaszczyźnie zbiór A liczb zespolonych z spełniających warunek 1

a 0 arg1 + iz π//, pierwszy sposób nierówności w treści zadania oznaczają, że liczby 1 + iz leżą w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, branej razem z brzegiem i bez początku układu współrzędnych, to znaczy Re1 + iz 0 Im1 + iz 0 z 0. Liczby iz powstają z liczb 1 + iz przez odjęcie liczby 1, zatem tworzą zbiór powstały z przesunięcia poprzedniego o wektor 1, 0. Liczby z powstają z liczb iz przez domnożenie przez i, zatem tworzą zbiór powstały z obrotu poprzedniego o kąt π. W rezultacie, zbiór A składa się z liczb zespolonych z, określonych przez warunki Rez 0 Imz 1 z i przesunięta o wektor 0, 1 czwarta ćwiartka układu współrzędnych, z brzegiem i bez punktu 0, 1. 5. a drugi sposób zapisując z w postaci algebraicznej, wynik można otrzymać rozwiązując układ równań Re1 + iz 0 Im1 + iz 0, przy założeniu z 0, b Im z 4 < 0. zapisujemy liczbę z w postaci trygonometrycznej, z = rcosϕ + i sinϕ, gdzie r = z 0, ϕ [0, π. Stosując wzór de Moivre a otrzymujemy z 4 = r 4 cos4ϕ + i sin4ϕ oraz Imz 4 = r 4 sin4ϕ < 0. Wynika z tego, że r > 0 oraz 4ϕ π + kπ, π + kπ, gdzie k {0, 1,, } gdyż 4ϕ [0, 8π, π 4, π 5π 4, π 7π 4, π, czyli argz π 4, π co na płaszczyźnie przedstawia sumę wnętrz czterech kątów. Postać wykładnicza Definicja 5 Oznaczmy e ϕ i = cosϕ + i sinϕ, gdzie ϕ R. Przedstawienie z = z e ϕ i, gdzie ϕ R, nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej z C. Wniosek Rozważmy liczby zespolone z 1, z C, zapisane w postaciach wykładniczych z 1 = z 1 e ϕ1 i, z = z e ϕ i. Wówczas z 1 z = z 1 z e ϕ1+ϕ i. Jeśli z = z e ϕ i C jest liczbą zespoloną zapisaną w postaci wykładniczej oraz n N, to inny zapis wzoru de Moivre a z n = z n e n ϕ i 1

Pierwiastkowanie Definicja 6 Jeśli n N + oraz z C, to rozwiązania równania w n = z nazywamy pierwiastkami n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Twierdzenie Jeśli n N + oraz 0 z C, to istnieje dokładnie n pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Pierwiastki, o których mowa w powyższym twierdzeniu, wyliczamy według wzoru [ ] w k = z 1 ϕ + k π ϕ + k π n cos + sin i, n n gdzie z = z cosϕ + i sinϕ jest liczbą zespoloną zapisaną w postaci trygonometrycznej, z 1 n 0 oznacza tradycyjny, nieujemny pierwiastek [ n-tego stopnia ] z liczby z, a indeks k {0, 1,,..., n 1}. π π Ponieważ w k+1 = w k cos + sin i, to niekiedy może być łatwiej wyznaczyć pierwiastek w 0, n n π π a kolejne otrzymywać za pomocą domnażania przez liczbę cos + sin i. n n Przykłady 5. Zapisz w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby a z = 1, Odpowiedź w 0 = 1 + i, w 1 = 1, w = 1 b z = i, Odpowiedź w 0 = + 1 i, w 1 = c z = + i, i, + 1 i, w = i, Zapisujemy liczbę z = + i w postaci trygonometrycznej, z = stąd pierwszy pierwiastek trzeciego stopnia wynosi w 0 = 1 cos π 4 + i sin π = 4 + i = 1 + i, a pozostałe dwa możemy wyliczyć ze wzoru π w k = 1 4 cos + kπ π 4 + i sin + kπ dla k {1, } cos π 4 + i sin π, 4 14

lub łatwiej, aby nie obliczać funkcji trygonometrycznych kąta π 1, w k = w k 1 cos π + i sin π = w k 1 1 + i, zatem w 1 = 1 + d z = 1 + i. Odpowiedź w 0 = 1 + + Wskazówka: cos π 1 1 + i, w = 1 + + 1 i, w 1 = 1 + 1 i, w = 1 1+cos = 1 π = 1 1 + i. + = 1+, sin π 1 Rozwiązywanie równań kwadratowych Spróbujmy rozwiązać równanie kwadratowe z + b z + c = 0, i. = 1. gdzie b, c C. Przekształcamy tak, jak w przypadku licb rzeczywistych: z +b z +c = z + b b 4 +c = z + b 4, gdzie = b 4 c. Otrzymujemy z + b = 4, dlatego z + b 4 =. W przypadku liczb zespolonych, rozwiązywanie równań kwadratowych upraszcza się zatem do jednego wzoru: gdzie = {w C : w = }. Przykłady 1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie a z z + 4 = 0, = 4 4 = 1,, zatem = { i, i}. z b +, Otrzymujemy z = + i = 1 + i lub z = 1 i. b z 4 = 1 + z 4. Obie liczby z, 1 + z są niezerowe. Po podzieleniu równania np. przez 1 + z, otrzymujemy 4 z z = 1, zatem liczby są pierwiastkami czwartego stopnia z 1. 1 + z 1 + z Ponieważ 4 1 = {1, i, 1, i}, to wystarczy rozwiązać cztery równania. z Dla pierwszego równania, = 1, z = 1 + z, z = 1. 1 + z z Z pozostałych trzech równań: 1 + z = i, z 1 + z = 1, z 1 + z = i, wyliczamy kolejno 5 1 5 i, 1 oraz 5 + 1 5 i. Formułujemy odpowiedź: z {1, 5 15 i, 1, 5 + 15 i }. 15

. Wyznacz pole figury F = {z C : Im z 0 1 Imz < 0}. [ 0, π ] [ ] π, π [ 4π, 5π ] trójkąt o wierzchołkach, 1 Warunek Im z 0 opisuje sumę trzech kątów wraz z ich brzegami, argz Warunek 1 Imz 0 wycina z kąta argz [ 4π, 5π, ]., 1, 0, 0, którego pole wynosi. Część III Wielomiany i funkcje wymierne Wielomiany Definicja 7 Niech K = R lub K = C, n N oraz a 0, a 1,..., a n K, a n 0. Funkcję P : K K, określoną wzorem P z = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 = n ak z k nazywamy wielomianem stopnia stp = n. Dodatkowo, funkcję 0, stale równą zeru, nazywamy wielomianem zerowym, którego stopień dla wygody określamy jako st0 =. Jeśli K = R, to mówimy o wielomianie rzeczywistym, jeśli K = C, to mówimy o wielomianie zespolonym. Twierdzenie 4 DZIELENIE WIELOMIANÓW Jeśli P, Q są wielomianami oraz Q 0, to istnieją wielomiany I iloraz, R reszta z dzielenia takie, że str < stq oraz P = Q I + R. Wniosek TWIERDZENIE BEZOUT Jeśli liczba a K jest pierwiastkiem wielomianu P, to P dzieli się przez wielomian z a z resztą 0 bez reszty. Definicja 8 KROTNOŚĆ PIERWIASTKA Jeśli liczba a K jest pierwiastkiem wielomianu P, to największą z liczb naturalnych k N + takich, że P dzieli się przez wielomian z a k z resztą 0, nazywamy krotnością pierwiastka a. Przykłady 1. Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P x przez Qx, jeśli a P x = x 5 x 4 + x + x + 7, Qx = x + x + 1. x 5 x 4 + x + x + 7 : x + x + 1 = x x 5 x x = x 4 + x x + x + 7 x x 4 + x + x = x + x + 7 x x = 5, zatem Ix = x x +, Rx = 5. k=0 16

b P x = x 4 + x + x + x + 1, Qx = x + x +. Odpowiedź: Ix = x + x, Rx = x + 10. Twierdzenie 5 ZASADNICZE TWIERDZENIE ALGEBRY Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma przynajmniej jeden pierwiastek inaczej: miejsce zerowe. Wniosek 4 Każdy wielomian zespolony daje się przedstawić w postaci iloczynu stałej i czynników liniowych postaci z a, a każdy wielomian rzeczywisty daje się przedstawić w postaci iloczynu stałej, nierozkładalnych wielomianów stopni, postaci x + b x + c, gdzie = b 4 c < 0 oraz czynników liniowych postaci x a. Twierdzenie 6 Jeśli P z = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to znaczy a 0, a 1,..., a n Z, a liczba wymierna z 0 Q, zapisana w postaci ułamka nieskracalnego z 0 = l m, gdzie l Z, m N +, jest pierwiastkiem wielomianu P, to l a 0 liczba l dzieli a 0 oraz m a n. Wniosek 5 Załóżmy, że P z = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wówczas jeśli liczba całkowita l Z jest pierwiastkiem wielomianu P, to l a 0 oraz jeśli a n = 1, to pierwiastkami wymiernymi wielomianu P mogą być tylko liczby całkowite, podzielniki wyrazu a 0. Przykłady 1. Rozłóż na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian P x = x 4 + x x 4x 4. : Wielomian P ma współczynniki całkowite, współczynnik przy z w najwyższej potędze wynosi 1, zatem jedynymi pierwiastkami wymiernymi mogą być podzielniki liczby a 0 = 4. Zbiorem możliwych pierwiastków wymiernych jest A = {1, 1,,, 4, 4}. Podstawiając przekonujemy się, że P = 0 oraz P = 0. Dzielimy wielomian P przez iloczyn x x + i otrzymujemy iloraz Ix = x + x + 1, który jest już wielomianem rzeczywistym nierozkładalnym, gdyż = 1 4 < 0. Formułujemy odpowiedź: P x = x + x x + x + 1.. Nie wykonując dzielenia, wyznacz resztę z dzielenia wielomianu P x = x 4 +x +x +x+1 przez wielomian Qx = x 1. Poszukiwana reszta Rx z dzielenia jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia, postaci Rx = a x + b, ponadto Qx = x 1 = x 1 x + 1, zatem x 4 + x + x + x + 1 = x 1 x + 1 Ix + a x + b. Podstawiając kolejno do obu stron x = 1 oraz x = 1, otrzymujemy układ dwóch równań co po rozwiązaniu daje a =, b =. Formułujemy odpowiedź: Rx = x +.. Rozłóż na czynniki liniowe wielomian zespolony P z = z z + 4z 8. Odpowiedź P z = z z + iz i. { 5 = a + b 1 = a + b, 17

Funkcje wymierne Definicja 9 Niech K = R lub K = C. Funkcje f : K K, postaci fz = P z Qz, gdzie P, Q są wielomianami oraz Q 0, nazywamy funkcjami wymiernymi. Jeśli stp < stq, to mówimy o funkcji wymiernej właściwej, w przeciwnym przypadku o funkcji wymiernej niewłaściwej. Wniosek 6 WNIOSEK Z DZIELENIA WIELOMIANÓW Każdą funkcję wymierną niewłaściwą możemy przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Twierdzenie 7 Rozkład na rzeczywiste ułamki proste Niech f = P będzie rzeczywistą funkcją wymierną właściwą, przedstawioną w postaci ilorazu wielomianów. Q Wówczas f możemy zapisać w postaci sumy tak zwanych ułamków prostych, gdzie w rozkładzie mianownika Qx na czynniki nierozkładalne, 1. funkcji liniowej x a, o krotności k N + w wielomianie Q, odpowiada suma proste pierwszego rodzaju dla pewnych liczb rzeczywistych b j R, k j=1 b j x a j ułamki. a funkcji kwadratowej x + bx + c, o wyróżniku = b 4c < 0 i krotności k N + w wielomianie Q, odpowiada suma ułamki proste drugiego rodzaju dla pewnych liczb rzeczywistych k c j x + d j j=1 x j + bx + c c j, d j R. 4. Rozłóż na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą x + a fx = x + x + 5x + 4. : Rozkładamy mianownik na czynniki nierozkładalne, x +x +5x+4 = x+1 x + x + 4, zatem fx = a x + 1 + bx + c x dla pewnych a, b, c R. + x + 4 Sprowadzamy prawą stronę do wspólnego mianownika równego mianownikowi funkcji f i ponownie x + przyrównujemy strony, fx = x + x + 5x + 4 = a x + x + 4 + x + 1bx + c x + x. + 5x + 4 Liczniki są równe, więc x + = a + bx + a + b + cx + 4a + c. a + b = 1 Rozwiązujemy jakimś sposobem układ równań a + b + c = 0 4a + c = i otrzymujemy a = 1, b = 0, c = 1. Formułujemy odpowiedź: fx = 1 x + 1 + x + x + x + 4x + 4. b fx = Odpowiedź fx = x x + x + + 1 x +. c fx = x + 4x + 5x + 5 x 4 + x + x + x +. Odpowiedź fx = 1 x + 1 + 1 x + + 1 x + 1. 18 1 x + x + 4.

5. Rozłóż na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną fx = x4 5x + 5x 19x 1 x 5x. + 4x 0 Odpowiedź fx = x + 1 x 5 + 1 x + 4. Twierdzenie 8 Rozkład na zespolone ułamki proste Niech f = P będzie zespoloną funkcją wymierną właściwą, przedstawioną w postaci ilorazu wielomianów. Q Wówczas f możemy zapisać w postaci sumy zespolonych ułamków prostych, gdzie w rozkładzie mianownika Q na czynniki nierozkładalne, funkcji liniowej z α, o krotności k N + w wielomianie Q, odpowiada suma dla pewnych liczb zespolonych β j C. k j=1 β j z α j 6. Rozłóż na sumę zespolonych ułamków prostych funkcję wymierną fz = Odpowiedź fz = 1 1 z + 1 + 4 i z + i + 1 4 i z i. Część IV Macierze i wyznaczniki Macierze Definicja 10 Załóżmy, że n, m N +. Niech K = C lub K = R. z + z + 5 z + z + 4z + 4. Funkcję A : {1,,,..., n} {1,,,..., m} K nazywamy macierzą nad ciałem K, wymiaru n m. Jeśli K = C, to mówimy o macierzy zespolonej, jeśli K = R, to mówimy o macierzy rzeczywistej. Zbiór wszystkich macierzy nad K, wymiaru n m, oznaczamy przez M n m K lub skrótowo, przez M n m. Wartości Ai, j funkcji A, gdzie i {1,,,..., n}, j {1,,,..., m}, nazywamy elementami tej macierzy i często oznaczamy Ai, j = a ij ; macierz A zapisujemy wówczas jako A = a ij n m lub skrótowo, A = a ij. Jeśli n = m, to macierz A nazywamy kwadratową i mówimy, że jest stopnia n. Zbiór macierzy kwadratowych oznaczamy symbolem M n. Macierz A M n m zwykle przedstawiamy w postaci tablicy, a 11 a 1 a 1... a 1m a 1 a a... a m A = a 1 a a... a m... a n1 a n a... a nm o n wierszach i m kolumnach. Macierz powstałą z danej macierzy A = a ij M n m przez zamianę wierszy z kolumnami, nazywamy macierzą transponowaną do A i oznaczamy przez A T = a j i M m n. 19

W przypadku macierzy kwadratowej A M n, elementy postaci a ii tworzą tak zwaną główną przekatną. Macierz zerowa 0 0 0... 0 0 0 0... 0 0 n m = 0 0 0... 0... M n m, 0 0 0... 0 macierz jednostkowa macierz trójkątna górna macierz trójkątna dolna I n = 1 0 0... 0 0 1 0... 0 0 0 1... 0... 0 0 0... 1 a 11 a 1 a 1... a 1n 0 a a... a n 0 0 a... a n... 0 0 0... a nn a 11 0 0... 0 a 1 a 0... 0 a 1 a a... 0... a n1 a n a... a nn M n, M n, M n. Macierze liczbowe dodajemy tak, jak funkcje, Aby dodawane było wykonalne, obie macierze potrzebują mieć tą samą dziedzinę, to znaczy powinny być tego samego wymiaru. a 11 a 1 a 1... a 1m a 1 a a... a m Dodawanie możemy zapisać skrótowo, a ij +b ij = a ij + b ij lub przedstawić graficznie, a 1 a a... a m... + a n1 a n a... a nm b 11 b 1 b 1... b 1m a 11 + b 11 a 1 + b 1 a 1 + b 1... a 1m + b 1m b 1 b b... b m b 1 b b... b m... = a 1 + b 1 a + b a + b... a m + b m a 1 + b 1 a + b a + b... a m + b m. Macierze liczbowe możemy mnożyć przez liczby tak, jak funkcje, to znaczy λ a ij = λ a ij.... b n1 b n b... b nm a n1 + b n1 a n + b n a + b n... a nm + b nm Zbiór macierzy liczbowych tego samego wymiaru, z dodawaniem i mnożeniem przez skalary, ma podobne podstawowe własności, co np. zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem przez liczby, lub przestrzeń wektorów z dodawaniem i mnożeniem przez liczby. Skrótowo ujmujemy to poniższym stwierdzeniem, gdzie pojęcie przestrzeni liniowej ma być wprowadzone później. Twierdzenie 9 Zbiór macierzy M n m K, z dodawaniem i mnożeniem przez skalary λ K, tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K. Ponadto, A T T = A, A + B T = A T + B T, λ A T = λ A T. Przykład 1 4 1 0 1 0 1 4 0 0 1 1 4 = =. Ze 5 6 7 8 0 1 0 1 5 6 7 8 0 0 5 4 7 6 składaniem tak zwanych przekształceń liniowych związane jest mnożenie macierzy przez inne macierze, ale możemy nauczyć się algorytmu i podstawowych własności bez odwoływania do przekształceń liniowych. 0

Definicja 11 Załóżmy, że n, k, m N +. Niech ponadto A = a is M n k K oraz B = b sj M k m K. Określamy iloczyn A B = c ij M n m K jako macierz, której element c ij jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A oraz j-tej kolumny macierzy B, c ij = w i k j = Przykład 1 0 1 4 0 1 5 6 7 8 1 0 = 0 1 1 1 + 0 + 1 + 4 0 1 0 + 1 + 0 + 4 1 = 5 1 + 6 0 + 7 1 + 8 0 5 0 + 6 1 + 7 0 + 8 1 Mnożenie macierzy, o ile wykonalne, jest łączne, to znaczy A B C = A B C, n a is b sj. s=1 4 6 1 14. stałą λ K możemy umieścić w dowolnym miejscu iloczynu, to znaczy λ A B = λ A B = A λ B, zachodzą prawa rozdzielności, A + B C = A C + B C, A B + C = A B + A C, nie ma własności przemienności nawet wykonalne może być tylko w jedną stronę, mnożenie macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową tego samego stopnia nie zmienia danej macierzy, to znaczy I A = A I = A, w przypadku transponowania, A B T = B T A T. Przykłady 1. Wyznacz macierz A wymiaru, której wyrazy określone są za pomocą wzoru a ij = i j. a 11 = 1 1 = 1, a 1 = 1 = 1, a 1 = 1 = 4, a = =, a 1 = 1 = 7, a = = 5, stąd A = 1 1 4. 7 5. Podaj przykład dwóch macierzy wymiaru dowodzący, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Wystarczy rozważyć niemal dowolne dwie macierze, na przykład A = Wówczas A B = 0 0 1 0. Rozwiąż równanie macierzowe 0 0 B A = 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0. 1 1 0 1 1 0 + A T = Mnożymy dwie macierze po lewej stronie i otrzymujemy równanie A T = 1 1 1 0 1 1 = 0, A T = 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0, B = 0 0. + A T = 1 1. i na koniec A = 0 1 1 1 1 1, skąd. 1

4. Wyznacz iloczyn A = x y 1 a h g h b f x y, a następnie z jego pomocą, w notacji g f c 1 macierzowej, zapisz równanie okręgu x + y + 4 x + 6 y 1 = 0. Zaznacz ten okrąg na płaszczyźnie. Wykonujemy kolejno mnożenia, A = x a + y h + 1 g x h + y b + 1 f x g + y f + 1 c a x + h x y + b y + g x + f y + c. By otrzymać macierz x + y + 4 x + 6 y 1, współczynniki wynoszą odpowiednio a = 1, b = 1, g =, f =, c = 1, h = 0. Formułujemy pierwszą odpowiedź: x y 1 1 0 x 0 1 y = 0. 1 1 Przekształcamy równanie x + y + 4 x + 6 y 1 = 0 i otrzymujemy x + + y + = 5, co przedstawia okrąg o środku w punkcie, i promieniu 5. Wyznaczniki Definicja 1 Niech n N +, K = R lub K = C. Funkcję det : M n K K, spełniającą warunki: 1. det k 1 k... k i 1 k i + λ k i k i+1... k n = det k 1 k... k i 1 k i k i+1... k n +λ det k 1 k... k i 1 k i k i+1... k n dla dowolnej macierzy A = k 1 k... k i 1 k i k i+1... k n M n K, i {1,,,..., n}, kolumny k i M n 1 K, liczby λ K,. det A = 0 dla macierzy A o dwóch takich samych kolumnach oraz. det I n = 1, nazywamy wyznacznikiem. Wniosek 7 Jeśli macierz A ma kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0. Wniosek 8 Jeśli macierz A powstała z macierzy A przez zamianę dwóch kolumn, to det A = det A. x y 1 = Wniosek 9 Niech n N +, K = R lub K = C, A = k 1 k... k i 1 k i k i+1... k n M n K. Wówczas det k 1 k... k i 1 k i + λ k j k i+1... k n = deta dla i j {1,,,..., n}, λ K. Wniosek 10 obliczanie wyznaczników macierzy stopnia a b Jeśli A = M c d K, to deta = ad bc. Wniosek 11 obliczanie wyznaczników macierzy stopnia wzór Sarrusa a b c Jeśli A = d e f M K, to g h i deta = aei + bfg + cdh ceg fha ibd.

Definicja 1 Niech n N +. Różnowartościową funkcję σ : {1,,,..., n} {1,,,..., n} nazywamy permutacją zbioru {1,,,..., n}. Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,,,..., n} oznaczamy przez S n. Mówimy, że liczby i, j {1,,,..., n} tworzą inwersję w permutacji σ S n, jeśli i < j oraz σi > σj. Jeśli permutacja σ S n ma parzystą liczbę inwersji w tym zero, to premutację nazywamy parzystą i określamy jej znak jako sgnσ = 1; w przeciwnym wypadku mówimy o permutacji nieparzystej, o znaku sgnσ = 1. Twierdzenie 10 Niech n N +, K = R lub K = C. Wówczas istnieje i jest jedyny wyznacznik det : M n K K. Wyraża się on wzorem det a i j = sgnσ aσ1 1 a σ a σ... a σn n. σ S n Wniosek 1 wyznacznik macierzy transponowanej Niech A M n K. Wówczas det A = det A T. Wniosek 1 Twierdzenia o wyznacznikach, związane z kolumnami macierzy, mają swoje odpowiedniki dla wierszy. Wniosek 14 Wyznacznik macierzy trójkątnej, zarówno górnej, jak i dolnej, jest równy iloczynowi wyrazów na przekątnej głównej tej macierzy. Do obliczenia dowolnego wyznacznika wystarczy zatem przekształcić daną macierz do macierzy trójkątnej, przez operacje niezmieniające wyznacznika lub zmieniające go w znany sposób. Twierdzenie 11 wyznacznik iloczynu macierzy twierdzenie Cauchy ego Jeśli n N +, A, B M n K, to deta B = deta detb. Wniosek 15 wyznacznik macierzy odwrotnej Jeśli istnieje macierz odwrotna A 1 do macierzy A M n K, to znaczy A A 1 = A 1 A = I n, wówczas A 1 M n K, deta 0 oraz det A 1 1 = deta. Dalsze własności wyznaczników Definicja 14 Jeśli A = a i j M n K oraz i, j {1,,,..., n}, to określamy minor M i j jako wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny, dopełnienie algebraiczne D i j elementu a i j jako liczbę D i j = 1 i+j M i j. Twierdzenie 1 rozwinięcie Laplace a wyznacznika Jeśli A = a i j M n K, to dla dowolnych i, j {1,,,..., n}. det A = n a i k D i k = k=1 n a k j D k j Wniosek 16 zamiana wiersza lub kolumny w rozwinięciu Laplace a wyznacznika Jeśli A = a i j M n K oraz i j {1,,,..., n}, to n a i k D j k = k=1 k=1 n a k j D k i = 0. k=1

Postać macierzy odwrotnej Definicja 15 Jeśli A M n K, to macierz A D = D i j T nazywamy macierzą dołączoną macierzy A. Twierdzenie 1 Niech A M n K. Macierz A jest odwracalna to znaczy istnieje do niej macierz odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy deta 0. Jeśli deta 0, to macierz odwrotna wyraża się wzorem A 1 = AD deta. Uwaga 1 bezwyznacznikowy sposób znajdowania macierzy odwrotnej Niech A M n K oraz deta 0. Ze wzorów A A 1 = A 1 A = I n oraz własności mnożenia macierzy wynika pewien sposób wyznaczania macierzy odwrotnej. Przez następujące operacje, wykonywane równolegle na wierszach macierzy A i macierzy jednostkowej I n : dodanie wiersza pomnożonego przez stałą do innego wiersza, pomnożenie wiersza przez stałą niezerową, zamiana wierszy doprowadzamy macierz A do macierzy jednostkowej. Wówczas macierz powstała z macierzy jednostkowej to macierz odwrotna A 1. Macierz odwrotną A 1 otrzymujemy także przez analogiczne operacje wykonywane wyłącznie na kolumnach. Przykłady 1. Rozłóż na iloczyn cykli rozłącznych, a następnie transpozycji permutację 1 4 5 6 a σ =, 4 6 1 5 1 4 5 6 7 b σ =. 7 5 4 1 6 Określ parzystość i znak permutacji σ. W rozkładach zastosuj zapis cykliczny.. Za pomocą permutacyjnej definicji wyznacznika wyprowadź wzory na wyznaczniki macierzy stopnia i wzór Sarrusa.. Dwoma sposobami, za pomocą rozwinięcia Laplace a oraz przez sprowadzenie do wyznacznika macierzy trójkątnej, a dodatkowo w podpunkcie a ze wzoru, w podpunkcie b ze wzoru Sarrusa, oblicz wyznacznik a 1 5, 1 1 1 b 1 1 4, 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1. 1 1 1 4. Dla jakich wartości parametru a R macierz 4

a a a A = a b A = c B = jest nieosobliwa?, a 1 1 1 1 a 1 a 1, a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 5. Dwoma sposobami, za pomocą dopełnień algebraicznych oraz przez przekształcanie razem z macierzą jednostkową, wyznacz macierz odwrotną do macierzy 1 1 a A =, 1 4 1 1 1 b B = 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 c C = 1 1. 1 1 Odpowiedzi, wskazówki 1. Przykładowe zapisy: a σ = 1 4 6 = 1 4 1 6, permutacja nieparzysta, znak sgnσ = 1, b σ = 1 7 4 5 = 1 4 1 1 7 5, permutacja parzysta, znak sgnσ = 1.. Dla n = są dwie permutacje, zatem dwa składniki w sumie. Permutacji zbioru trzyelementowego jest 6.. a 1, b, c 1. 4. a a R \ {0, }, b a R \ {, 1}, c a R \ {, 1}. 5. a A 1 = 4 5 1 5 b B 1 = c C 1 =, 1 1 5 5 1 1 0 1 1 0 1 1 0, 1 1 1 1 0 1 0 1. 5