6.. WYRAśENIE WYMIERNE W ( ) WyraŜenie wymierne wyraŝa się wzorem y, gdzie W () i P() są wielomianami P( ) i P () nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną wyraŝenia wymiernego jest zbiór D { : P( ) 0} Przykład 6.. Określ dziedzinę wyraŝenia wymiernego: + a) ZałoŜenie: 0 Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. PoniewaŜ nie dzielimy przez zero, zatem mianownik musi być róŝny od zera. / : Rozwiązując załoŝenie otrzymujemy dziedzinę wyraŝenia wymiernego. D : R \ Dziedziną wyraŝenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem miejsc zerowych mianownika. b) + + ZałoŜenie: + 0 Mianownik nie moŝe być zerem. a ; b ; c 0 4 0 9 9 6 0 0 D : R \ {,0} Aby rozwiązać załoŝenie obliczamy miejsca zerowe mianownika korzystając ze wzorów: b 4 a c b a ; b + a Dziedziną wyraŝenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem miejsc zerowych mianownika.
Przykład 6... Oblicz wartości wyraŝenia wymiernego dla i. 9 ( ) + 5 Obliczamy wartość wyraŝenia wymiernego dla 9 9 ( ) 8 7 - sprzeczność 9 0 Wartość wyraŝenia dla nie istnieje. Obliczamy wartość wyraŝenia wymiernego dla nie naleŝy do dziedziny wyraŝenia wymiernego. 9 Skracanie wyraŝenia wymiernego polega na podzieleniu licznika i mianownika przez takie samo wyraŝenia róŝne od zera. Przykład 6... Skróć wyraŝenie wymierne: a) /: WyraŜenie wymierne skracamy przez 5 b) 6 Aby skrócić dane wyraŝenie wymierne musimy rozłoŝyć na czynniki mianownik i licznik. ( ) Rozkładając licznik przed nawias. wyciągamy czynnik ( ) 6 + Rozkładając mianownik 6 stosujemy wzór skróconego mnoŝenia a b a ab + b ( ) 6 ( ) ( ) /:( ) WyraŜenie 6 skracamy przez
c) + + + + + + + a ; b ; c 4 + + + + + + + + ( )( ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) Aby skrócić dane wyraŝenie wymierne musimy rozłoŝyć na czynniki mianownik i licznik. Rozkładając licznik + + korzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej. Obliczmy miejsca zerowe wyraŝenia + + korzystając ze wzorów b 4 a c b b + ; a a > + + a PoniewaŜ 0, to zapisując wyraŝenie w postaci iloczynowej stosujemy wzór ( )( ) Rozkładając mianownik + + + stosujemy metodę grupowania wyrazów. WyraŜenia + nie moŝna rozłoŝyć na czynniki liniowe, poniewaŝ 0 4 4 < 0 + + + + + ( + )( + ) + /: + ( + )( + ) ( ) + WyraŜenie przez + + + + + + skracamy Rozszerzanie wyraŝenia wymiernego polega na pomnoŝeniu licznika i mianownika przez takie samo wyraŝenia róŝne od zera. Przykład 6..4. Rozszerz wyraŝenie wymierne tak, aby otrzymać wyraŝenie o wskazanym mianowniku: a) 6 ( ) / 6 9 Aby w mianowniku zamiast wyraŝenie otrzymać musimy rozszerzyć przez 6,.
b) 4 ( )( ) 4 + Aby zauwaŝyć przez ile musimy rozszerzyć ( ) ( + ) 4 + ( )( + ) / + 4 wyraŝenie, mianownik 4 rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnoŝenia a b ( a b)( a + b) Aby w mianowniku zamiast otrzymać 4, wyraŝenie musimy rozszerzyć przez +. Przykład 6..5. Rozszerz wyraŝenia wymierne tak, aby miały jak najprostszy wspólny mianownik. + a) i + Najmniejszym wspólnym mianownikiem obu ( ) 6 wyraŝeń jest ( + )( ). Dlatego wyraŝenie + / ( ) ( + )( ) rozszerzamy przez ( ), natomiast + + ( + )( + ) + + + / ( + ) ( )( + ) wyraŝenie przez ( +) b) i 9 6 + ( + ) ( ) ( ) Aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik danych wyraŝeń, ich mianowniki musimy rozłoŝyć ma czynniki Rozkładając mianownik wyciągamy czynnik przed nawias. 9 6 + + Rozkładając mianownik 9 6 + stosujemy wzór skróconego mnoŝenia a b a ab + b ( ) 9 ( ) ( ) ( )( ) ( ) / ( ) Najmniejszym wspólnym mianownikiem obu wyraŝeń jest ( ). Dlatego wyraŝenie rozszerzamy przez ( ),
9 6 + ĆWICZENIA ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ćwiczenie 6... (pkt.) Określ dziedzinę wyraŝenia: 5 natomiast wyraŝenie przez 9 6 + Podanie dziedziny wyraŝenia. Ćwiczenie 6... (pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b dziedziną wyraŝenia jest zbiór R /{,}. + a + b UłoŜenia układu równań z niewiadomymi a, b. Podanie a, b. Ćwiczenie 6... (pkt.) Oblicz wartość wyraŝenia Podanie wartości wyraŝenia dla. 8 + 6 dla. Ćwiczenie 6..4. (pkt.) Skróć wyraŝenie + 4 + 4 RozłoŜenie licznika na czynniki. RozłoŜenie mianownika na czynniki. Podanie wyraŝenia po skróceniu. Ćwiczenie 6..5. (pkt.) Rozszerz wyraŝenie wymierne tak, aby otrzymać wyraŝenie + wskazanym liczniku: +
RozłoŜenie licznika + na czynniki. Podanie wyraŝenia po rozszerzeniu.