5. Całka nieoznaczona

5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31

Całka nieoznaczona - motywacja Jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 2 / 31

Całka nieoznaczona - motywacja Jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 2 / 31

Całka nieoznaczona - motywacja Jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie, czyli obliczanie całki. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 2 / 31

Całka nieoznaczona - zastosowania rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 3 / 31

Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 3 / 31

Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy C k (x)). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest C k (x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 3 / 31

Całka nieoznaczona - zastosowania Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v(t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v(t). Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy C k (x)). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest C k (x). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym zestawie - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 3 / 31

Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 4 / 31

Funkcja pierwotna Funkcja pierwotna Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F, określoną i różniczkowalną na D f i spełniającą warunek: x Df F (x) = f (x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady funkcji, które pierwotnych nie mają, są dość patologiczne : w ramach tego wykładu nie natkniemy się na funkcje, dla których pierwotnej nie da się obliczyć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 4 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 5 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x 2 + 7 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 5 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x 2 + 7 lub x 2 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 5 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x 2 + 7 lub x 2 2 i generalnie x 2 + C, gdzie C R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 5 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Funkcja F (x) = x 2 jest pierwotną funkcji f (x) = 2x. Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x 2 + 7 lub x 2 2 i generalnie x 2 + C, gdzie C R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych. Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 5 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 6 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F 1 - dowolną funkcją pierwotną f. Wtedy F 2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C R takie, że dla każdego x D f F 2 (x) = F 1 (x) + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 6 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich: Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F 1 - dowolną funkcją pierwotną f. Wtedy F 2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C R takie, że dla każdego x D f F 2 (x) = F 1 (x) + C. C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek! Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 6 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 7 / 31

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie. Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x) = 2x, takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x) = x 2 + 1 i rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 7 / 31

Całka nieoznaczona Całka nieoznaczona Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji f. Zapisujemy: f (x) dx = F (x) + C, (gdzie F (x) = f (x)). W powyższym zapisie jest symbolem całki, a dx - tego, że całkujemy po zmiennej x (nie wolno tego opuszczać w zapisie!), zaś f nazywa się funkcją podcałkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 8 / 31

Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 9 / 31

Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 9 / 31

Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 9 / 31

Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 9 / 31

Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy) y = 2x (gdy y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y), 2xdy = 2xy + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 9 / 31

Całka nieoznaczona Przykład 1 Ile wynosi 2x dx? Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że 2xdx = x 2 + C, bo (x 2 + C) = 2x. Przykład 2 Ile wynosi 2x dy? W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy) y = 2x (gdy y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y), 2xdy = 2xy + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 9 / 31

Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 10 / 31

Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 10 / 31

Obliczanie prostych całek z definicji Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, zgadując rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy trudniejszych funkcjach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 10 / 31

Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r, r 1 1 x f (x)dx C x + C 1 r+1 x r+1 + C ln x + C rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 11 / 31

Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r 1, r 1 x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C ln x + C r+1 f (x) e x a x sin x cos x f (x)dx e x a + C x + C cos x + C sin x + C ln a rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 11 / 31

Całki prostych funkcji Całki prostych funkcji: f (x) 0 1 x r 1, r 1 x f (x)dx C x + C 1 x r+1 + C ln x + C r+1 f (x) e x a x sin x cos x f (x)dx e x a + C x + C cos x + C sin x + C ln a W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 11 / 31

Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 12 / 31

Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: O liniowości całki Zachodzą następujące zależności: 1) f (x) ± g(x)dx = f (x)dx ± g(x) 2) a R af (x)dx = a f (x)dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 12 / 31

Funkcja pierwotna Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia: O liniowości całki Zachodzą następujące zależności: 1) f (x) ± g(x)dx = f (x)dx ± g(x) 2) a R af (x)dx = a f (x)dx. Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 12 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x 2 + 1 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x 2 + 1 dx = 1 3 x 3 + x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x 2 + 1 dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x 2 + 1 dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x 2 + 1 dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = cos x + C, więc 5 sin x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Proste przykłady Przykład 1 Ile wynosi x 2 + 1 dx? Wiemy, że x 2 dx = 1 3 x 3 + C, i 1dx = x + C, więc x 2 + 1 dx = 1 3 x 3 + x + C. Przykład 2 Ile wynosi 5 sin x dx? Wiemy, że sin xdx = cos x + C, więc 5 sin x dx = 5 cos x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 13 / 31

Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 14 / 31

Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 14 / 31

Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 14 / 31

Problemy z całkami Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji. Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze). Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 14 / 31

Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 15 / 31

Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 15 / 31

Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x dx, x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 15 / 31

Całki nieobliczalne Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania: e x 2 dx, sin x x dx, 1 dx, ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 15 / 31

Na szczęście... Na szczęście, obliczanie całek skomplikowanych funkcji nie jest zazwyczaj potrzebne w zagadnieniach ekonomicznych. Dlatego będziemy się przede wszystkim zajmować funkcjami, które można policzyć za pomocą dwu sprytnych sposobów: przez części i przez podstawienie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 16 / 31

Twierdzenie o całkowaniu przez części Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 17 / 31

Twierdzenie o całkowaniu przez części Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu: Twierdzenie o całkowaniu przez części Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi: f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 17 / 31

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 18 / 31

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne: f (x) g(x) = (f (x) g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 18 / 31

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu: (f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x). Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne: f (x) g(x) = (f (x) g(x)) dx = f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemy f (x)g(x)dx od obu stron. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 18 / 31

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dyskusja Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Wydaje się, że zastosowanie tej formuły nie poprawia sytuacji, bo po obu jej stronach występuje całka, którą i tak musimy obliczyć. Jednak, ten wzór jest użyteczny, gdy mamy scałkować iloczyn dwu funkcji z których jedna znacząco się upraszcza, gdy się ją różniczkuje (f ), zaś druga się nie komplikuje zanadto przy całkowaniu (g ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 19 / 31

Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 20 / 31

Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 20 / 31

Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 20 / 31

Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 20 / 31

Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 20 / 31

Wieża całkowania przez części Twierdzenie o całkowaniu przez części f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać): funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje wykładnicze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 20 / 31

Wieża całkowania przez części funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje wykładnicze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 21 / 31

Wieża całkowania przez części funkcje logarytmiczne funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje wykładnicze. Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f, a tę, która wymieniona jest później jako g. Jest to o tyle logiczne, że: logarytmy po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po zróżniczkowaniu znikają, a funkcje wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 21 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Całkujemy iloczyn wielomianu (x 2 ) i funkcji wykładniczej (2 x ). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze podstawiamy f (x) = x 2 i g (x) = 2 x. Zapisujemy: x 2 2 x dx = f (x) = x 2 g (x) = 2 x f (x) = 2x g(x) = 2x ln 2 = x 2 2 x ln 2 2x 2x ln 2 dx = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx. Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 22 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 23 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 23 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 23 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 (x2x ln 2 2 x ln 2 dx) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 23 / 31

Całkowanie przez części - przykład Całkowanie przez części - przykład Ile wynosi x 2 2 x dx? x 2 2 x dx = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 x2 x dx = f (x) = x f (x) = 1 g (x) = 2 x g(x) = 2x ln 2 = = x 2 2 x ln 2 2 ln 2 (x2x ln 2 2 x ln 2 dx) = x 2 2 x ln 2 2x2x (ln 2) 2 + 2x+1 (ln 2) 3 + C Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 23 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x 1 dx = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez części - przykład 2 Całkowanie przez części - przykład 2 Ile wynosi ln x dx? Wydaje się, że nie ma tu żadnego iloczynu funkcji. Jednak możemy zapisać sprytnie tę całkę jako 1 ln x dx. Całkujemy iloczyn wielomianu (1) i funkcji logarytmicznej (ln x). Skoro funkcje wielomianowe były niżej niż logarytmiczne, we wzorze podstawiamy f (x) = ln x i g (x) = 1. Zapisujemy: ln x dx = f (x) = ln x g (x) = 1 f (x) = 1 x g(x) = x = x ln x x 1 x dx = = x ln x 1 dx = x ln x x + C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 24 / 31

Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 25 / 31

Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 25 / 31

Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). Zostaje nam pytanie: jak radzić sobie z funkcjami złożonymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 25 / 31

Całkowanie przez podstawienie - wstęp Całkowanie iloczynu, przynajmniej w niektórych sytuacjach, rozwiązujemy całkując przez części. Okazuje się, że nie ma tak sensownego podejścia do całkowania ilorazu (chyba, że iloraz traktujemy jako iloczyn z odwrotnością). Zostaje nam pytanie: jak radzić sobie z funkcjami złożonymi. Wtedy przydatna może być technika zwana całkowaniem przez podstawienie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 25 / 31

Całkowanie przez podstawienie - twierdzenie Całkowanie przez podstawienie Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są różniczkowalne i ich złożenie ma sens w pewnym przedziale otwartym, to zachodzi: f (g(x))g (x) dx = f (t) dt, gdzie t = g(x). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 26 / 31

Całkowanie przez podstawienie - twierdzenie Całkowanie przez podstawienie Jeśli funkcje rzeczywiste f i g są różniczkowalne i ich złożenie ma sens w pewnym przedziale otwartym, to zachodzi: f (g(x))g (x) dx = f (t) dt, gdzie t = g(x). Nazwa metody bierze się właśnie od podstawienia pomocniczej zmiennej t w miejsce funkcji wewnętrznej funkcji podcałkowej. Po obliczeniu prostej (przynajmniej mamy nadzieję, że prostej) całki po prawej stronie, powracamy do początkowych zmiennych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 26 / 31

Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 27 / 31

Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 27 / 31

Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 27 / 31

Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. W przypadku pierwszym podstawiamy nową zmienną (t ze wzoru) za tę właśnie funkcję, która występuje razem ze swoją pochodną, w przypadku drugim - za funkcję wewnętrzną złożenia. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 27 / 31

Całkowanie przez podstawienie - uwagi Całkowanie przez podstawianie wymaga trochę spostrzegawczości i jest dużo mniej schematyczne niż całkowanie przez części. Stosujemy je zasadniczo w dwu wypadkach: Gdy w skład funkcji podcałkowej wchodzi pewna funkcja i jej pochodna; Gdy mamy do czynienia ze złożeniem funkcji. W przypadku pierwszym podstawiamy nową zmienną (t ze wzoru) za tę właśnie funkcję, która występuje razem ze swoją pochodną, w przypadku drugim - za funkcję wewnętrzną złożenia. Niestety, nie ma gwarancji, że nawet jeśli któraś z tych sytuacji ma miejsce, całkowanie przez podstawienie doprowadzi nas do wyniku. Dodatkowo, nawet jeśli jeden sposób podstawienia nie działa, nie wiemy, czy nie zadziała jakiś inny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 27 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 3x + 1 dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x + 1 3 dx = 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x + 1 3 dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x + 1 3 dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 t dt = 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x + 1 3 dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 1 t dt = 3 3 t 1 2 dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x + 1 3 dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 1 t dt = 3 3 t 1 2 dt = 1 3 2 3 t 3 2 + C = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. 3x + 1 jest funkcją złożoną, więc całkowanie przez podstawienie jest naturalnym wyborem. Oczywiście podstawiamy t = g(x) = 3x + 1 (bo jest to funkcja wewnętrzna złożenia). Żeby skorzystać ze wzoru f (g(x))g (x) dx = f (t) dt potrzebujemy pod całką jeszcze g (x) = 3. Możemy zapisać: 1 3x + 1 dx = 3x + 1 3 dx = 3 g(x) = 3x + 1 = t g (x) = 3 = 1 1 t dt = 3 3 t 1 1 2 dt = 3 2 3 t 3 2 2 + C = (3x + 1) 9 3 + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 28 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. 3x + 1 dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 t 1 3 dt = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 = 1 3 2 3 t 3 2 + C = t 1 3 dt = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 1 Zadanie Obliczyć 3x + 1 dx. Inny zapis: pod całką nie mogą pojawić się dwie zmienne naraz. Dlatego gdy podstawiamy t = 3x + 1, musimy zastąpić też dx. Ten symbol można interpretować jako ślad po różniczkowaniu po x. By zmienić do na dt potrzebujemy obustronnie zróżniczkować t = 3x + 1, dopisując symbole śladów po różniczkowaniu. t = 3x + 1 3x + 1 dx = 1dt = 3dx = 1 dt = dx 3 t 1 3 dt = = 1 3 2 3 t 3 2 2 + C = (3x + 1) 9 3 + C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 29 / 31

Przykład 1 - komentarz Uwaga! Zapis typu 1dt = 3dx stosujemy tylko w sposób oddzielony od właściwych działań (np. pionowymi, zębatymi lub kwadratowymi) nawiasami, gdyż (przynajmniej na poziomie wiedzy potrzebnej dla Państwa) jest to zapis zupełnie nieformalny: nie istnieje coś takiego jak samo dx lub dt bez całki. Natomiast jest to zbyt użyteczna reguła techniczna zapisu, by z niej rezygnować tylko dlatego, że jest podejrzana jeśli chodzi o prawidłowość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 30 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1 x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 31 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 31 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. ln x x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 31 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. ln x x dx = t = ln x 1dt = 1 x dx = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 31 / 31

Całkowanie przez podstawienie - przykład 2 Zadanie Obliczyć ln x x dx. Teraz nie mamy żadnej funkcji złożonej, ale pod całką występuje jednocześnie funkcja ln x i jej pochodna 1. Dlatego narzuca się x podstawienie t = ln x. ln x x dx = t = ln x 1dt = 1 x dx = t dt = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 31 / 31