24.09.2017 Dodatek Matematyczny D LICZBY ZESPOLONE
1. Wprowadzenie Liczby zespolone straszą swoją egzotyką. I choć działać mogą odstraszająco, to ich pojawienie się wprowadziło do matematyki wiele ładu. Dziś nie może się bez nich obyć ani matematyka ani fizyka. Główną motywacją wprowadzenia liczb zespolonych była chęć poradzenia sobie z wyrażeniami typu pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Można oczywiście zapostulować, że wyrażenie typu 1 nie istnieje, ale oznacza to odebranie prawa do obywatelstwa w królestwie matematyki ogromnej liczbie matematycznych wyrażeń. Efekty tego są przykre. Na przykład od razu pojawi się cały szereg równań nie mających rozwiązania. Oto prosty przykład takiego równania x 2 + 1 = 0 Gdyby jednak wyrażenie pierwiastek z minus jednej miało sens, to i równanie (1.2) miałoby rozwiązanie. Jednakże nie istnieje liczba rzeczywista r, której kwadrat byłby równy -1 r 2 = 1; takie r nie istnieje wsród liczb rzeczywistych A gdyby tak założyć, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest kompletny, i że istnieje jednak liczba równa pierwiastkowi z minus jeden oznaczmy ją literką i. i = 1 1.4 Czemu nie - należy jedynie pokazać, że i sensownie wpisze się w resztę matematyki. Sensownie, to znaczy że jej wprowadzenie nie będzie prowadziło do sprzecznych stwierdzeń. Podjęte w tym kierunku wysiłki dały rezultaty, które przeszły wszelkie oczekiwania. Liczba i nie tylko gładko zintegrowała się z pozostałymi liczbami, ale również wniosła do matematyki zadziwiająco wiele elegancji i prostoty. Wygląda na to, że nikt jej na siłę do matematyki nie wprowadził; ona tam już dawno była, tylko czekała na odkrycie. Dlatego dziś wielu matematyków jest skłonnych mówić, że liczba i została odkryta a nie wymyślona. Spójrz na równanie x 3 3ax 2b = 0 1.5 Na sposób rozwiązywania takich równań wpadł Nicocolo Fontana (znany jako Tartaglia) około 1539, a wcześniej (co jest mniej znaną historią) Scipione del Ferro (około 1526). Rozwiązanie to ma postać: x = (b + t) 1 3 + (b + t) 1 3 1.1 1.2 1.3 1.6 2
t = (b 2 a 3 ) 1.7 Widać, że jeżeli b 2 < a 3 1.8 to wielkość t staje się pierwiastkiem kwadratowym liczby ujemnej. A taką liczbę zawsze można skonstruować z liczby i i z liczb rzeczywistych. r = 1 r = 1 r = i r 1.9 Jeżeli podstawimy tak otrzymane t do wzoru na x (1.6) i całość przeliczymy, to może się zdarzyć, że wszystkie liczby mnożone przez i uproszczą się. Zatem nawet wtedy, gdy równanie ma rozwiązania rzeczywiste, jego uzyskanie wymaga wycieczki przez terytorium zamieszkiwane przez liczby mnożone przez i, które później dyskretnie ulatniają się (lub nie, wtedy rozwiązanie jest liczbą nierzeczywistą). Obok liczby i równej pierwiastkowi z minus jedynki powyżej używałem liczb skonstruowanych jako iloczyn liczby i i dowolnej innej liczby rzeczywistej. Liczbę i nazywamy jednostka urojoną, a liczby rzeczywiste przemnożone przez i nazywamy liczbami urojonymi. Definicja 1.1: Jednostka urojona Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z liczby minus jeden. Definicja 1.2. liczby urojone Liczba r jest liczbą urojoną gdy da się przedstawić jako iloczyn jednostki urojonej i i liczby rzeczywistej różnej od zera. Jak widać z definicji (1.2) po wprowadzeniu jednostki urojonej i liczb urojonych zero dalej zachowuje swój szczególny status. Mnożenie zera przez i daje ciągle zero, które zaliczamy do liczb rzeczywistych choć równie dobrze możemy je zaliczyć do liczb urojonych. Możemy również skonstruować mieszane liczby, które nazywamy liczbami zespolonymi Definicja 1.3: liczby zespolone Liczba z jest liczbą zespoloną, gdy daje się przedstawić w postaci z=a+i b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Oczywiście każda liczba rzeczywista r jak również każda liczba urojona u są równocześnie liczbami zespolonymi postaci r = r + i 0 1.10a u = 0 + i u 1.10b Warto zwrócić uwagę na to, że znak plus w powyższych wyrażeniach nie jest tym samym plusem jaki znamy z dodawania liczb rzeczywistych. To po prostu znak 3
zespolenia liczb rzeczywistych i liczb urojonych, który z powodów historycznych i wygody wygląda tak jak zwykły plus. Jest to kolejny przykład przeładowania znaczenia znaku plus. Definicja 1.4: dodawanie liczb zespolonych Niech w będzie liczbą zespoloną postaci w=a+ib, a z będzie liczbą zespoloną postaci z=c+id, wtedy suma tych liczb zespolonych w+z jest liczbą zespoloną, która wyraża się wzorem w + z = a + c + i(b + d) 1.11 Widać, że dodajemy do siebie osobno części rzeczywiste i urojone liczb zespolonych. Przypomina to dodawanie współrzędnych dwóch wektorów dwuwymiarowych. Liczby zespolone w wielu aspektach przypominają dwuwymiarowe wektory zdefiniowane nad ciałem liczb rzeczywistych, ale nie są z nimi tożsame (są różnice). Iloczyn liczb zespolonych definiujemy zgodnie z logiką obliczania wyrażenia typu (a+b)(c+d). Definicja 1.5: mnożenie liczb zespolonych Niech w będzie liczbą zespoloną postaci a+ib, a z będzie liczbą zespoloną postaci, z=c+id, wtedy iloczyn tych liczb zespolonych w z jest liczbą zespoloną, która wyraża się wzorem w z = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = ac bd + i(ad + bc) 1.12 Znak mnożenia w powyższych wyrażeniach nie oznacza tego samego mnożenia jaki znamy z mnożenia liczb rzeczywistych. W oczywisty sposób definicja (1.5) uogólnia operację mnożenia, tak aby pasowała do zbioru liczb zespolonych. Zdefiniuję cztery inne operacje często używane na zbiorze liczb zespolonych Definicja 1.6. Funkcja Re Funkcja Re w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem Re(z) = a 1.13 Zadaniem funkcji Re jest wyłuskanie części rzeczywistej liczby zespolonej z. 4
Definicja 1.7. Funkcja Im Funkcja Im w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem Im(z) = b 1.14 Zadaniem funkcji Re jest wyłuskanie części urojonej (bez liczby i) liczby zespolonej z. Definicja 1.8. Funkcja * sprzężenia zespolone Funkcja * w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem z = a ib 1.15 Zadaniem funkcji sprzężenia zespolonego jest zmiana znaku część urojonej liczby zespolonej. Fakt 1.1: W niektórych podręcznikach sprzężenie oznacza się również przez kreskę nad liczbą z to to samo co z 1.15a Definicja 1.9. Moduł liczby zespolonej Funkcja moduł liczby zespolonej w działaniu na dowolną liczbę zespoloną z=a+ib jest zdefiniowana wzorem z = z z 1.16 Moduł liczby zespolonej jest równy pierwiastkowi z iloczynu tej liczby przez jej sprzężenie. Zachodzi ważne Twierdzenie 1.1. Moduł liczby zespolonej z=a+ib jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej z 2 = a 2 + b 2 1.17 Dowód polega na prostym przeliczeniu definicji (1.9) z = z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 + iab iab = a 2 + b 2 1.18 W zbiorze liczb zespolonych nie możemy zdefiniować relacji uporządkowania. Gdy mamy dwie liczby rzeczywiste (urojone), to wiemy, która jest większa, a która mniejsza. Nie można natomiast sensownie poukładać w rosnącym porządku liczb zespolonych. 5
Fakt 1.1: W zbiorze liczb zespolonych nie można zdefiniować operacji < lub > Jest to dość ważna różnic między zbiorem liczb rzeczywistych a zbiorem liczb zespolonych. Brak uporządkowania liczb zespolonych jest równoważny z faktem, że nie możemy ich przedstawić na jednej osi liczbowej. Potrzebujemy do tego dwóch osi. 1.1. Rysowanie liczb zespolonych Zwróciłem waszą uwagę, że już sama postać liczb zespolonych a+ib oraz reguły ich dodawania wskazują na bliski związek z dwuwymiarowymi wektorami. Nasuwa to pomysł na reprezentowanie liczby zespolonej na płaszczyźnie z wyróżnionym punktem początkowym reprezentującym liczbę 0=0+0i. Niech oś pozioma będzie osią rzeczywistą, a oś pionowa będzie osią liczb urojonych (choć moglibyśmy zadecydować na odwrót). Wtedy dana liczba zespolona powiedzmy 2+3i wyznacza punkt na tak opisanej płaszczyźnie (rys.1.1.1). Rysunek 1.1.1. Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić na płaszczyźnie, gdzie na osi pionowej odkładamy liczby urojone, a na osi poziomej liczby rzeczywiste. Płaszczyznę taką nazywamy płaszczyzną Arganda Sumę dwóch liczb zespolonych reprezentujemy teraz tak jak sumę dwóch dwuwymiarowych wektorów przez regułę równoległoboku (rys. 1.1.2). 6
Rysunek 1.1.2. Graficzna reprezentacja dodawania liczb zespolonych (jedna liczba to strzałka czerwona a druga to strzałka zielona). Tu liczby zespolone, podobnie jak wektory rysowane są jako strzałki. Koniec strzałki wskazuje punkt o współrzędnych równych odpowiednio rzeczywistej (oś x) i urojonej (oś iy) części liczby zespolonej. Dodawanie realizujemy korzystając z reguły równoległoboku (zielony wektor narysowany linią przerywaną). Czarny wektor reprezentuje sumę liczb zaznaczonych wektorem zielonym i czerwonym. Płaszczyzna, na której przedstawiamy liczby zespolone nie jest płaszczyzną euklidesową (choć jest do niej myląco podobna). Dla odróżnienia nazywamy ją płaszczyzną Arganda. Definicja 1.1.1: Płaszczyzna Arganda Płaszczyzna z wyróżnioną osią liczb rzeczywistych i prostopadłą do niej osią liczb urojonych nazywamy płaszczyzną Arganda Na rysunku (1.1.2) liczby zespolone przedstawione są przez strzałki. Długość strzałki, która reprezentuje liczbę z=a+ib to moduł liczby zespolonej (1.18) wynosi z = a 2 + b 2 Z rysunku (1.1.2) widać również, że z = z (cos(θ) + isin(θ)) 1.1.1 1.1.2 Wzór (1.1.2) przedstawia trygonometryczną reprezentację liczby zespolonej z. Kąt nazywamy argumentem liczby zespolonej Definicja 1.1.2: Argument liczby zespolonej Argumentem liczby zespolonej z nazywamy kąt jej reprezentacji trygonometrycznej Istnieje jeszcze jedna nader ważna postać zapisu liczb zespolonych postać wykładnicza, która opiera się na wzorze Eulera e iφ = cos(φ) + isin(φ) 1.1.3 7
Dowód tego nader istotnego związku można przeprowadzić odwołując się do szeregów Taylora ( DB 3). Dla poszczególnych funkcji we wzorze (1.1.3) mamy e x = 1 + x + x2 2! + = xn n! i=1 sin(x) = x x3 3! + x5 5! + = x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! i=1 x2n + = ( 1)n (2n)! i=1 1.1.4a 1.1.4b 1.1.4c Korzystając z tych wzorów możemy zdefiniować funkcje eksponent, sinus i cosinus dla argumentów zespolonych Definicja 1.1.3: funkcje eksponent, sinus i cosinus w dziedzinie zespolonej W dziedzinie zespolonej funkcja, wykładnicza, sinus i cosinus zdefiniowane są poprzez szeregi, odpowiednio e z = 1 + z + z2 2! + = zn n! i=1 sin(z) = z z3 3! + z5 5! + = z 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! cos(z) = 1 z2 2! + z4 4! i=1 z2n + = ( 1)n (2n)! i=1 1.1.5a 1.1.5b 1.1.5c Można pokazać, że szeregi (1.1.5) są zbieżne dla każdej liczby zespolonej z. Widać, że wzór (1.1.6a) można przedstawić jako kombinację wzorów (1.1.6b) i (1.1.6c) e iz = 1 + iz + (iz)2 2! + (iz)3 3! + (iz)4 4! = (1 z2 2! + z4 4! ) + i (z z3 3! + z5 ) = cos(z) + isin(z) 5! 1.1.7 Korzystając ze wzoru Eulera dowolną liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci 8
z = ρe iφ z = a + ib; ρ = a 2 + b 2 1.1.8 1.1.8a Postać wykładnicza liczby zespolonej pozwala na graficzne przedstawienie iloczynu dwóch liczb zespolonych z 1 = a 1 + ib 1 = ρ 1 e iφ 1 z 2 = a 2 + ib 2 = ρ 2 e iφ 2 z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e iφ 1e iφ 2 = ρ 1 ρ 2 e i(φ 1+φ 2 ) 1.1.9a 1.1.9b 1.1.9 Iloczyn dwóch liczb zespolonych jest równy iloczynowi ich modułów 1 i 2, a faza otrzymanej liczby jest równa sumie faz liczb składowych. Graficznie rzecz przedstawia rysunek (1.1.4). Rysunek 1.1.4. Iloczyn dwóch liczb zespolonych z1 (zielony odcinek) i z2 (niebieski odcinek). Dla uproszczenia przyjąłem, że moduł liczby z1 jest równy jeden. Wtedy 3= 1 2= 2. Iloczyn reprezentuje odcinek czerwony. Jego długość jest równa 3, a kąt 3= 2+ 1. Graficznie mnożenie liczb zespolonych sprowadza się do mnożenia ich modłów i obrotu odcinka jednego z nich o kąt drugiej liczby Wzór Eulera (1.1.3) daje nam ogromne możliwości. Weźmy kolejny przykład e i(α+β) = e iα e iβ = cos(α + β) + isin(α + β) = (cos(α) + isin(α))(cos(β) + isin(β)) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) + i(sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α)) Przyrównując odpowiednie wyrażenia rzeczywiste i urojone mamy 1.1.10 9
cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) sin(α + β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) 1.1.11a 1.1.11b W prosty sposób, za jednym rachunkiem, udowodniliśmy dwie znane tożsamości trygonometryczne. W podobnie prosty i elegancki sposób możemy wyprowadzić inne wzory znane z trygonometrii. Rozważmy wyrażenie e iωt 1.1.12 Gdzie t jest czasem, a prędkością kątową. W wyrażeniu (1.1.12) kąt rośnie liniowo z czasem. Na płaszczyźnie Arganda punkty reprezentujące liczby (1.1.12) dla kolejnych chwil czasu tworzą okrąg o promieniu 1 (rys. 1.1.5). Rysunek 1.1.5. Kolejne kropki reprezentują położenie punktu dla wyrażenia e iωt, dla kolejnych chwil czasu t. Jak widać, punkty te zakreślają jednostkowy okrąg. Wynika z tego, że wyrażenie ρe iωt 1.1.13 Przedstawia ruch po okręgu o promieniu =1. Wniosek z tego jest taki, że wyrażenie (1.1.13), jako funkcja nie jest jednoznacznie określona. To znaczy, że mamy relację ρe iωt = ρe i(ωt+2πm) 1.1.14 10
Gdzie m jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że reprezentacja wykładnicza lub trygonometryczna nie jest jednoznaczna, co nie powinno dziwić. Zwykle jednak przyjmujemy, że chodzi nam o wartość główną, czyli taką dla której m=0. Zespolona potęga liczby e nie powinna nam teraz sprawić kłopotu. a ib a ib a e e e e cos b isin b 1.1.15 Gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. 11
2. Potęgi i logarytmy Rozważmy n-tą potęgę liczby zespolonej z. z n = z n (e iφ ) n = z n e inφ Definicję tę można uogólnić na dowolny rzeczywisty wykładnik r z r = z r (e iφ ) r = z r e irφ Jeżeli dla przykłady weźmiemy r=1/2, to 2.1 2.2 z 1 2 = z = z e iφ 2 2.3 Wzór (2.3) nie wyczerpuje wszystkich możliwości. Korzystając z (1.1.14) mamy z 1 2 = z e i(φ 2 +m 2 2π) 2.4 Generuje to dwa różne rozwiązania, to znaczy, że mamy dwie liczby zespolone w 1 i w 2, takie, że w 1 w 2 oraz w 2 1 = w 2 2 = z 2.5 Wypiszę te liczby w 1 = z e iφ 2 oraz w w = z e i(φ 2 +π) 2.6 Ogólnie rzecz biorąc, pierwiastek n-tego (gdzie n jest liczbą naturalną) stopnia ma n różnych wartości danych wzorem z 1 n = z e i(φ n +m n 2π) 2.7 Wartości te uzyskujemy wstawiając kolejne m od 0 do n-1. Jeżeli n=r/k, gdzie r<k i ułamek r/k nie jest skracalny, to mamy k różny liczb w takich, że w = z r 2.8 k Pomyśl dlaczego tak jest. Gdy wykładnik jest liczbą niewymierną, to jest nieskończenie wiele liczb w takich, że w=z r. Rysunek (2.1) pokazuje rozmieszczenie liczby z n dla z o jednostkowym module i wybranych n. Gdy wykładnik potęgi jest większy od jeden, to dla zmieniającego się od zero do dwa punkt wykonuje więcej niż jedne obrót. Rysunek (2.2) pokazuje przebieg funkcji Re(z 2 ) i Re(z 5 ) na jednostkowym kole. Wykresy te tworzą powierzchnie o n-1 samoprzecięciach. 12
Rysunek 2.1. Rozmieszczenie pierwiastków n-tego stopnia dla liczby zespolonej o module jednostkowym dla: a) n=2/3; b) n=1/12; c) n=3/12. Zauważ, że w ostatnim przypadku ułamek jest skracalny do ¼, stąd zamiast 12 mamy cztery różne wartości. W pierwszym przypadku otrzymamy te same pierwiastki co dla n=1/3. Rysunek 2.2. a) wykres funkcji z 2 dla z leżącego w kole jednostkowym. Każdemu z odpowiadają dwie wartości, za wyjątkiem półosi dodatniej iy wzdłuż, której narysowane powierzchnie przecinają się; b) z 5 wykres funkcji z 5 dla z leżącego na kole jednostkowym. Półosie samoprzecięć leżą teraz na przemiennie, raz wzdłuż osi +iy raz wzdłuż osi iy. Niech a będzie liczbą rzeczywistą, a z liczbą zespoloną. Ile wynosi a z? Na razie wiemy tylko ile wynosi e z (1.1.5a), teraz szukamy definicji dla każdego a. Przy tym chcemy tak rozszerzyć operację potęgowania, aby rozszerzona definicja dawała znane wyrażenie potęgowe gdy zastosujemy ją w przypadku gdy z jest rzeczywiste (część urojona jest równa zeru) oraz by zachowała podstawowe własności funkcji wykładniczej o rzeczywistym wykładniku. Do takich własności należą na przykład 13
a z 1+z 2 = a z 1a z 2 a z 1 z2 = a z 1z 2 2.1a 2.1b Tutaj z 1 i z 2 są dwiema liczbami zespolonymi. Zależy nam również na funkcji logarytm. Chcemy aby można było rozszerzyć funkcję logarytm tak aby log z (a z ) = z Ponadto chcemy zachować najbardziej użyteczną cechę logarytmów to znaczy gdy z 1 i z 2 są liczbami zespolonymi, a a, b i c to liczby rzeczywiste, powinno zachodzić log c (a z 1 b z 2) = log c (a z 1) + log c (b z 2) Zacznę od tego, że dla funkcji eksponent z w e mamy z ln w 2.4 Zapiszę liczbę w w postaci wykładniczej ln i w e ln w i 2.5 To ciekawy wynik. Logarytm naturalny z liczby zespolonej to suma logarytmu naturalnego modułu tej liczby oraz jej argumentu przemnożonego przez i. Oczywiście tak zdefiniowany logarytm nie jest określony jednoznacznie. Zawsze możemy dodać wielokrotności 2. i i 2 m ln ln 2 2.5 w e e w i im Z (2.5) wynika, że z ln w ln w z ln w w e oraz e e Mając to na uwadze, możemy zdefiniować wyrażenie w z 2.2 2.3 2.6a zln w z ln i 2 im 2.6 z w e e Zauważ, że wykładnik liczby e jest tu liczbą zespoloną. A e do liczby zespolonej potrafimy obliczać przez wzór (1.1.5a lub 1.1.15). Zatem mamy definicję liczby zespolonej w podniesionej do potęgi zespolonej z. Dalej jednak musimy uważać na niejednoznaczność określenia logarytmu naturalnego z liczby zespolonej. Wynika z niej, że daną wartość w z możemy pomnożyć przez wyrażenie e 2 mi i otrzymamy to samo wyrażenie. Dla przykładu policzę wartość i i. Wiemy, że 1 ln i i 2 im 2 Przyjmę m=0 (wartość główna logarytmu) 1 ln i i 2 Zgodnie z (2.6) mamy 2.7a 2.7b 14
1 1 iln i i i i 2 2 i e e e 2.8 Na zakończenie tych krótkich rozważań chciałem przytoczyć wzór, który bywa nazywany najpiękniejszym wzorem matematyki i e 1 0 2.9 Wzór ten wiąże tak podstawowe liczby jak 0, 1, i, i e. 15
3. Różniczka funkcji zespolonej Czas zastanowić się nad kwestią obliczania pochodnych i różniczek z funkcji zespolonej. Funkcja zespolona działa na dziedzinie liczb zespolonych a zbiorem jej wartości jest również zbiór liczb zespolonych. Spotkaliśmy się już z przykładami takich funkcji (na przykład def. 1.8). Ponieważ wartościami funkcji zespolonej są liczby zespolone możemy ją zapisać w postaci f(z = x + iy) = u(x, y) + i w(x, y) Możemy oczywiście obliczyć pochodne po zmiennej x lub y. Biorąc pod uwagę, że (3.1) jest sumą funkcji rzeczywistych, przy czym jedna jest pomnożona przez stałą i, mamy 3.1. f x = x u(x, y) + i 3.2a x w(x, y) f y = y u(x, y) + i 3.2b y w(x, y) Interesuje nas jednak pochodna po zmiennej zespolonej traktowanej integralnie, to jest bez jej dzielenia na część rzeczywistą i urojoną. Pytamy zatem o sens wyrażenia df 3.3 dz Czy operację obliczania pochodnej możemy sensownie rozszerzyć na wyrażenie postaci (3.3)? Wiemy, że pochodna w punkcie x 0 zdefiniowana jest pod warunkiem, że znamy najbliższe otoczenie tegoż punktu. Aby wiedzieć co jest tym otoczeniem, trzeba mieć pojęcie miary. W zbiorze liczb rzeczywistych istnienie takiej miary jest dla nas naturalne. Możemy wybrać małe, tak małe jak tylko chcemy i powiedzieć, że do sąsiedztwa punktu x 0 należą te punkty, które spełniają nierówność x x 0 < ε 3.4 Jednak zbiór liczb zespolonych nie ma naturalnego uporządkowania; nie istnieje w nim relacja mniejsze większe. Nie pozostaje nam nic innego tylko wprowadzić przynajmniej namiastkę takiego porządku. Wybierzmy zatem, tak małe jak chcemy. Powiemy, że liczba zespolona z należy do otoczenia o promieniu, liczby z 0, gdy z z 0 < ε 3.5 16
Przy czym proste nawiasy oznaczają teraz obliczenie modułu (def. 1.9) liczby zespolonej. Moduł jest liczbą rzeczywistą i jako taki może być porównywany z inną liczbą rzeczywistą; w naszym wypadku z. Wzór (3.5) oznacza, że na płaszczyźnie Arganda liczby z leżą wewnątrz okręgu o środku w liczbie z 0 i promieniu. Zgadza się to z naszą intuicją bliskości na płaszczyźnie, ale pamiętajmy, że płaszczyzna Arganda nie jest tożsama z płaszczyzną Euklidesa. Na szczęście przenoszenie większość intuicji między tymi dwoma płaszczyznami daje dobre rezultaty. Możemy teraz zdefiniować klasę funkcji ciągłych Definicja 3.1: Ciągła funkcja zespolona jeżeli Funkcja zespolona f(z) jest ciągła w punkcie z0, jeżeli dla każdego >0 istnieje takie >0, że f(z) f(z 0 ) < ε z z 0 < 3.6a 3.6b Definicja ta jest kopią definicji ciągłości dla funkcji rzeczywistych. To skopiowanie było możliwe, dzięki wprowadzeniu miary bliskości dwóch liczb zespolonych. Zdefiniowanie pochodnej nie stanowi już większej trudności Definicja 3.2: Pochodna funkcji zespolonej Pochodną ciągłej funkcji zespolonej f, w punkcie z0, nazywamy granicę, jeżeli istnieje, f(z) f(z 0 ) f lim = lim z z 0 z z 0 z 0 z = f (z 0) Zauważ, że definicja (3.2) nie nakłada żadnych ograniczeń na sposób w jaki z z 0. Na płaszczyźnie Arganda możliwe są różne ścieżki (rys. 3.1). Wymagamy zatem aby wartość wyrażenia (3.7) nie zależała od ścieżki, po której z zbliża się do z 0. Widać zatem, że posiadanie pochodnej zespolonej jest własnością bardziej wymagającą niż posiadanie pochodnej po zmiennej x lub y. Prowadzi nas to do ważnej klasy funkcji analitycznych Definicja 3.3: Funkcje analityczne Funkcję zespoloną nazywamy analityczną w punkcie z0, gdy posiada ona pochodne zespolone w punkcie z0 i na pewnym jego otoczeniu. Jakie są warunki przy których funkcja jest różniczkowalna? Rozważmy funkcję f(z) = u(x, y) + iw(x, y) 3.8 3.7 17
Rysunek. 3.1. Wartość pochodnej w punkcie z0 nie powinna zależeć od drogi po której zbliżamy się do tego punktu Jeżeli jest ona różniczkowalna w punkcie z 0 to f (z 0 ) = lim ( u w 3.9 + i z 0 z z ) Przy czym granica ta nie powinna zależeć od drogi, po której dążymy do punktu z 0. Przejdźmy wobec tego do punktu granicznego po osi rzeczywistej, to jest przyjmujemy, że y=0, x= z, wtedy f (z 0 ) = lim ( u w + i x 0 x x ) = u w + i x x Przy przejściu do granicy po osi urojonej, to jest gdy: że x=0, i y= z f (z 0 ) = lim ( w u i y 0 y y ) = w u i y y Te dwie granice muszą być sobie równe, skąd mamy u x = w y w x = u y 3.10 3.11 3.12a 3.12b Warunki (3.12) są nazywane warunkami Cauchy ego-riemanna. Stanowią one warunek konieczny na to, aby funkcja f była różniczkowalna w sensie zespolonym. Warunki wystarczające to: a) spełnienie równań Cauchy ego- Riemanna, b) istnienie pierwszych pochodnych cząstkowych funkcji u i w oraz ciągłość tych pochodnych w punkcie z 0. Dowody na warunki dostateczne można znaleźć w podręcznikach do analizy funkcji zespolonych. Twierdzenie 3.1. Funkcje zespolone różniczkowalne Funkcja zespolona f(z)=u+iw jest różniczkowalna w danym punkcie, gdy w dowolnie małym otoczeniu tego punktu spełniony jest warunek Cauchy ego- Riemanna, oraz gdy pierwsze pochodne cząstkowe u i w są funkcjami ciągłymi na otoczeniu tego punktu. Jako przykład zbadajmy funkcję 18
f(z) = zz = z 2 = x 2 + y 2 Obliczmy pochodne cząstkowe u x = x x2 + y 2 = x x 2 + y 2 3.13 3.14a w 3.14b x = 0 u y = y x2 + y 2 = y x 2 + y 2 3.14c w 3.14d y = 0 Widać, że warunki (3.12a) nie są spełnione poza punktem x=0 i y=0. Oznacza to że badana funkcja jest różniczkowalna tylko w tym jednym punkcie i nie jest nigdzie analityczna. Jako drugi przykład rozważmy funkcję e z = e x (cos(y) + isin(y)) 3.15 Obliczmy jej pochodne cząstkowe u x = x ex cos(y) = e x cos(y) w x = x e x sin(y) = e x sin(y) u y = y e x cos(y) = e x sin(y) w y = y e x sin(y) = e x cos(y) 3.16a 3.16b 3.16c 3.16d Stąd już widać, że warunki (3.12) spełnione są na całej płaszczyźnie. Funkcja (3.15) jest analityczna na całej płaszczyźnie. Z powyższych rachunków wynika również d 3.17 dz e z = e z Przy okazji, z równania Eulera mamy e iφ = cos(φ) + isin(φ) Skąd otrzymujemy 3.18 19
cos(φ) = eiφ + e iφ 3.18a 2 sin(φ) = eiφ e iφ 3.18b 2 Nadto możemy rozszerzyć definicję funkcji sinus i cosinus na wartości zespolone cos(z) = eiz + e iz 3.19a 2 sin(z) = eiz e iz 3.19b 2 Z podanych definicji oraz z (3.17) mamy d 3.20a dz cos(z) = sin(z) d dz sin(z) = cos(z) 3.20b Korzystając z (3.19) możemy wykazać, że wzory na cosinusy lub sinusy sumy kątów i inne szkolne tożsamości trygonometryczne są spełnione dla argumentów zespolonych. 20