POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI, TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI KATEDRA INŻYNIERII DŹWIĘKU LABORATORIUM: AKUSTYKI MUZYCZNEJ Ćwczene: A4 - CECHY ARTYKULACYJNE DŹWIĘKU PISZCZAŁEK ORGANOWYCH Opracowane: dr nż. B. Kostek mgr nż. G. Szwoch Gdańsk 997
. WPROWADZENIE Traktura właścwa, czyl mechanzm sterowana organam ma decydujący wpływ na jakość brzmena organów. Dotyczy to przede wszystkm możlwośc ndywdualnego kształtowana dźwęku. Wydaje sę neodzowne w tym mejscu wyjaśnene pojęca artykulacj. W muzyce termn ten stosuje sę na określene wszystkch umownych znaków, opsujących sposób wydobywana dźwęku lub welodźwęków w celu uzyskana zamerzonego efektu akustycznego uwypuklena charakteru utworu. O organach z trakturą mechanczną mów sę, że jako jedyne umożlwają osągnęce pełn muzycznego wyrazu, oznacza to m. n. precyzyjna grę pod względem rytmcznym. Kontakt organsty z pszczałką odbywa sę bezpośredno poprzez nacśnęce klawsza w klawaturze. Możlwość kształtowana stadum nabrzmewana dźwęku objawa sę w pokonywanu oporu klawsza połączonego mechanczne z zaworem watrowncy tonowej - początkowo wększego ze względu na cśnene powetrza docskające wentyl do otworu wlotowego późnejszego - złożonego tylko z oporu sprężyny. Ten dwufazowy charakter oporu pozwala w opn welu organstów na śwadome dowolne kształtowane procesu narastana dźwęku. 2. MODELOWANIE PROCESÓW NARASTANIA W DŹWIĘKU ORGANOWYM Przedmotem nnejszego ćwczena będze zapoznane sę z komputerowym modelowanem przebegów przejścowych w dźwęku organowym opartym o nelnową teorę generowana drgań w pszczałce (Fletcher []). Pszczałkę organową można potraktować jako system złożony z dwóch zasadnczych częśc. Perwszym podsystemem jest słup powetrza wewnątrz pszczałk. Jest to układ w przyblżenu lnowy posada neskończoną lczbę modów drgań własnych. Drug podsystem stanow strumeń powetrza (ang. jet) dzałający na wargę pszczałk. Jest to system wysoce nelnowy. Rozpatrując pszczałkę należy zatem zbadać dzałane obu tych podsystemów oraz mechanzm, który je sprzęga. Traktowane pszczałk jako rezonatora jest stosowane w welu publkacjach dotyczących akustyk pszczałek organowych. Zakłada sę, że pszczałka posada szereg modów drgań własnych o pulsacjach n. Stosunek tych pulsacj jest w przyblżenu harmonczny. Drgana te są tłumone przez opór ośrodka nne zjawska. Wychylene x dla tego modu drgań można opsać równanem: x + k x + n 2 x = λ F(t) () gdze: F(t) sła pobudzająca pszczałkę, n pulsacja rezonansowa tego modu drgań własnych, k współczynnk tłumena, λ współczynnk sprzężena. Dzałane drugego, nelnowego podsystemu jest o wele trudnejsze do opsana. Strumeń powetrza padający na wargę pszczałk jest odchylany na zewnątrz górnej warg (w takm przypadku cśnene w pszczałce maleje) lub do wnętrza pszczałk (cśnene wzrasta). Przy stałej prędkośc v sła wymuszająca F, wytwarzana przez strumeń powetrza, może być zapsana w forme welomanu: F = c 0 + c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 +... (2) Współczynnk c n są zależne od cśnena. Aby uzyskać dostateczne przyblżene krzywej F(v), potrzebne są czynnk przynajmnej do trzecego rzędu włączne. 2
W rozpatrywanym przypadku należy wząć pod uwagę, że przepływ powetrza o prędkośc v wpływa na strumeń powetrza opuszczający szczelnę, natomast odpowedź w postac cśnena pojawa sę z pewnym opóźnenem δ. Jest to czas potrzebny na przemeszczene sę wychylena pomędzy dolną a górną wargą. Na skutek zjawsk dyspersyjnych δ może zależeć od częstotlwośc oraz może wystąpć dodatkowe przesunęce fazy. Jeżel przez oznaczymy pulsację drgań tego modu drgań o pulsacj rezonansowej n, można uogólnć równane (2) zapsując je w postac: ι F(t) = cm x t δ (3) m= 0 = ι Zachowane sę sprzężonego nelnowego systemu pszczałka strumeń powetrza zostało zatem opsane za pomocą układu równań () (3), który można zapsać w równoważnej forme: gdze: m x + n 2 x = f (x j ) (4) f (x j ) - k x + λ F (x, x 2,...) (5) Należy zatem rozwązać powyższy układ równań. Jednak rozwązane tego układu metodam algebracznym ne jest możlwe, z uwag na znaczny stopeń skomplkowana problemu. Fletcher proponuje zastosowane metody małych parametrów []. Metoda ta jest słuszna w przypadku, gdy kształt oscylacj ne zmena sę znacząco z cyklu na cykl. Warunek ten jest w przypadku omawanego problemu spełnony. Rozwązane układu równań ma postać: x = a sn ( t + ) (6) gdze n oraz zarówno a jak wolno zmenają sę w czase. Po odpowednch przekształcenach uzyskuje sę: 2 2 n 2 = f( xj )sn( t+ ) + sn ( t + ) α 2 2 a( n ) a = f( xj)cos( t + ) sn ( t + ) cos ( t+ ) (8) Układ równań różnczkowych opsany wzoram (7) (8) dla tych modów drgań nadaje sę już do rozwązana metodam numerycznym. Poneważ jednak prawe strony tych równań mają bardzo skomplkowaną formę (funkcja f zawera dużą lczbę czynnków), czas oblczeń może być bardzo dług, a rozwązane może ne zostać znalezone. Dlatego też należy wprowadzć pewne uproszczena, które ne będą mały stotnego wpływu na dokładność wynków. Pochodne znajdujące sę w równanach (7) (8) zostaną zastąpone wartoścam średnm, znalezonym przez scałkowane równań po okrese drgań. Oznaczając wartość średną przez, można zapsać: n = f( xj )sn( t+ ) + a 2 2 2 (7) (9) 3
a = f( xj )cos( t+ ) (0) W oblczenach przyjęto wartośc parametrów, otrzymane przez Fletchera metodą pomarów. Przyjęto konwencję wyrażana cśnena powetrza w mlbarach ( mbar = 00 Pa). Prędkość fazowa zaburzeń poprzecznych dla strumena powetrza o średncy od do 2 mm wynos α 0,2 prędkośc strumena. Opóźnene propagacj δ dla strumena o długośc l cm wynos: l δ = 8 0 4 α p s () Pomja sę tutaj zjawska dyspersyjne zakłada, że opóźnene to ne zależy od częstotlwośc. Przyjmuje sę także wartość przesunęca fazowego: π (2) Równeż w tym przypadku pomja sę zależność od częstotlwośc. Następne przyjmuje sę wartośc zwązane z wymaram pszczałk: przekrój strumena powetrza 3 cm 0, cm przesunęce strumena powetrza 0,0 cm przekrój pszczałk 0 cm 2 wymar warg pszczałk cm Współczynnk opsujące słę pobudzającą pszczałkę do drgań dane są wzoram: c 0 = 30 p c = 0,4 γ p /2 c 2 = 4 0-4 γ 2 c 3 = 7 0-7 γ 3 p -/2 (3) W powyższych wzorach p oznacza cśnene. Parametr γ opsuje czułość prędkośc poprzecznej strumena powetrza na dzałane prędkośc akustycznej na wardze pszczałk. Pomja sę tutaj wele zjawsk fzycznych zachodzących w strumenu powetrza wychodzącym ze szczelny. Pozostaje jeszcze opsane cśnena dzałającego na wargę pszczałk. Jest to bardzo stotne, poneważ zmany tego cśnena w czase wpływają na postać transjentu początkowego dźwęku pszczałk. Fletcher przeprowadzł pomary wpływu cśnena na brzmene dźwęku za pomocą pszczałk ustawonej na symulowanej watrowncy z mechanczne otweranym zaworem. Jeżel zawór został otwarty nagle, to cśnene w pszczałce narastało szybko, osągając po ok. 0,0 s wartość szczytową, a następne zankało ze stałą czasową rzędu 0, s aż do osągnęca stanu ustalonego. Wartość szczytowa cśnena była w tym przypadku zwykle klka razy wększa nż wartość cśnena w stane ustalonym (która jest mnejsza nż cśnene statyczne w watrowncy). Wolnejsze otwerane zaworu zmnejszało wartość szczytową cśnena. Bardzo wolne otwerane zaworu pozwalało cśnenu w pszczałce wzrastać powol aż do osągnęca stanu ustalonego. Wszystke opsane powyżej rodzaje transjentów cśnena można z wystarczającą dokładnoścą opsać za pomocą następującego wyrażena: t pt () = p + ( p p)exp 0 0 (4) τ 4
gdze p oznacza początkową wartość cśnena (dla t = 0), p 0 cśnene w stane ustalonym, τ stałą czasowa, określającą szybkość narastana cśnena. Można rozważyć trzy przypadk. Jeżel p jest wększe nż p 0, początkowy wzrost cśnena jest znaczny można transjent tego typu nazwać wybuchowym (ang. plosve), poprzez analogę do termnu fonetycznego. Gdy p = p 0, stan ustalony jest osągany natychmast, a tak transjent nazywa sę ostrym (ang. abrupt). Jeżel p jest mnejsze nż p 0, transjent jest wolny (ang. slow). Wyrażene (4) może być wstawone bezpośredno do oblczanych równań. Dodatkowo potrzebne są początkowe wartośc ampltud a faz. Można je oblczyć na podstawe wzorów: a 0 = 0,5 p / n 0 = - π / 2 = n (5) Wyrażene (4) można powązać ze sposobem otwerana dopływu powetrza do pszczałk. Gdy p >> p 0, to można przyjąć że otwarce zaworu nastąpło w sposób gwałtowny. W przypadku, gdy p = p 0, dźwęk narasta szybko, osągając stan ustalony natychmast, zaś w trzecm przypadku p << p 0 narastane transjentu jest wolne. 3. SYSTEM MATHEMATICA System Mathematca służy do przeprowadzana różnorodnych oblczeń matematycznych. Dokument systemu Mathematca ma postać skryptu, składającego sę z komend systemu. Poszczególne komendy grupowane są w komórk (ang. cell). Wszystke komendy zawarte w jednej komórce wykonywane są wspólne w jednym cyklu oblczeń. Dokument systemu Mathematca otwera sę przy pomocy opcj Notebook / Open. Komendy wypsywane są w kolejnych werszach. Komendy w obrębe jednej komórk oznaczone są klamrą na prawym margnese. Wykonane komend w komórce polega na zaznaczenu komórk przez klknęce myszą na klamrze oraz jednoczesnym nacśnęcu klawszy Shft Enter (lub samego klawsza Enter na klawaturze numerycznej). Komórka zawerająca wykonane komendy jest oznaczana przez komunkat In[n], gdze n jest numerem wykonanej komórk, a wynk dzałana komend oznaczane są odpowedno przez komunkat Out[n]. Wybrane opcj Evaluate / Notebook umożlwa przelczene całego dokumentu, od perwszej do ostatnej komórk. 4. ZADANIA 4.. Za pomocą programu Mathematca przeprowadzć modelowane przebegów przejścowych dla zadanych wartośc współczynnków cśneń p0 p. Wartośc parametrów cśnena przyjąć następująco: p0, p 2mb, 6mb 2mb, 2mb 2mb, 0.5mb 5mb, 5mb 0mb, 0mb Wartośc pozostałych parametrów są wyznaczone eksperymentalne dotyczą pszczałk o ustalonych wymarach. Poneważ w programe ne można zmenać menzury pszczałk wskazane jest zachowane wartośc tych parametrów. 5
5. OPRACOWANIE 5.. Porównać wynk symulacj uzyskane dla różnych wartośc parametrów p p0. Zwrócć szczególną uwagę na postać transjentów oraz występowane przedęca. Opsać różnce w brzmenu poszczególnych dźwęków. Omówć wpływ postac transjentu na brzmene dźwęku. LITERATURA []. N. H. Fletcher, Transents n the Speech of Organ Flue Ppes - A Theoretcal Study, Acustca, vol. 34, 976. 6