OICZNIE ŁW SZEREGOWYCH N ODŁOŻU SRĘŻYSTYM Z OMOCĄ METODY NITYCZNEJ (model Winklera, metoda leicha).. Oznaczenia sił wewnętrznych. Założenia i dane obciążenie q o (x) > 0 0 odpór podłoża r(x) > 0 y > 0 M(x) > 0 Q(x) > 0 Na rysunku obok przedstawiono zwroty dodatnich obciążeń zewnętrznych, działających na ławę q o (x), r(x) i reakcji równoważących siły wewnętrzne M(x), Q(x) w przekroju o współrzędnej x, liczonej od lewego końca ławy (punkt x ). Osiadanie przekroju x wynosi y(x), natomiast szerokość ławy jest stała i wynosi..2. Związki statyczne dla obciążenia wypadkowego q(x) = r(x) - q o (x) zachodzi: dq/dx = q, dm/dx = Q warunek Eulera-ernoulliego: M = -EI/ρ -EI d 2 y/dx 2 założenie Winklera: r(x) = C y(x), gdzie C - współczynnik podłoża [MN/m 3 ], r [MN/m].3. Równanie osi odkształconej belki na podłożu Winklera Związki statyczne z p..2. prowadzą do równania różniczkowego zwyczajnego (: d y( x) EI = q ( x) C y( x) o ( dx gdzie EI,, C nie zależą od x. Szukane jest przemieszczenie osi obojętnej belki y(x). Równanie można uprościć stosując zmienne bezwymiarowe ξ zamiast x: d y( q ( ) x EI y( ) o ξ + ξ =, gdzie ξ =, W = (2) dξ C W C arametr w [m] nazywa się cechą sztywność belki. 2. Rozwiązanie ogólne i podstawowe 2.. Rozwiązanie ogólne Na odcinku nieobciążonym, gdzie q o 0, rozwiązaniem równania (2) jest funkcja: y ( = e ( C cosξ + C2 sin + e ξ ( C3 cosξ + C sin (3) Do wyznaczenia czterech stałych C i, i=,2,3,, konieczne są cztery warunki nałożone na funkcjê y(x) lub jej pochodne (siły wewnętrzne). 2.2. Rozwiązanie podstawowe Najważniejsze znaczenie ma rozwiązanie szczególne równania (3) dla belki nieskończonej ( ; + ), obciążonej siłą skupioną: wystarczy rozwiązać belkę, tj. znaleźć y(, dla jednej siły skupionej w punkcie x/ w = ξ, ponieważ dowolne obciążenie q o (x) jest sumą (całką) takich sił d = q o dx a przemieszczenia y(x) też się odpowiednio sumują (całkują),
wystarczy rozwiązać zagadnienie dla ξ > 0, bo osiadania y( muszą być funkcją parzystą; na tej półosi ξ > 0 nie ma żadnego obciążenia belki, a więc q o 0 w równaniu (2). rzy tych spostrzeżeniach formułuje się następujące trzy warunki brzegowe. Warunek oussinesqa: ξ y( 0... stąd C = C 3 w rozwiązaniu (3) 2) warunek symetrii (funkcja parzysta): ξ dy/dξ... stąd C 2 = C 3) warunek antysymetrii: ξ 0+ (tj. ξ 0, ξ > 0) Q( /2... stąd C = 2 C. w Ostatecznie otrzymuje się rozwiązanie podstawowe () dla półosi ξ > 0. ( ) y ξ = e (cosξ + sin = Yo ( 2Cw 2Cw r( = C y( = Yo ( 2 w ( = w 2 M e (sinξ cos = w Mo( ξ Q( = e cosξ = Qo( (),5 3,5 3 2,5 2,5 0,5 0-0,5 - -,5-2 -2,5 Yo - funkcja parzysta Mo - funkcja parzysta Qo- funkcja nieparzysta 0 2 3 Yo Mo Qo Dla ξ < 0 rozwiązanie jest odpowiednio symetrycznym albo antysymetrycznym odbiciem rozwiązania () dla ξ > 0. Uwaga : Y o = -2e -ξ sinξ, Y o = M o, Y o = Q o, Y o IV = -Y o. dy(/dx = dy(/dξ dξ/dx = y / W, d 2 y(/dx 2 = d[y (/ W ]/dξ dξ/dx = y /( W ) 2, itd. więc: M = -EI d 2 y(x)/dx 2 = = -EI d 2 y(/dξ 2 /( W ) 2 Q = -EI d 3 y(x)/dx 3 = = -EI d 3 y(/dξ 3 /( W ) 3 Uwaga 2: Rozwiązując własne zadania Studenci często zapominają o tym dzielniku W! ξ jest bezwymiarową współrzędną przekroju liczoną od działającej siły skupionej, siła ta więc nie musi być przyłożona w przekroju x o, ale wtedy ξ w rozwiązaniu () należy zastąpić przez ξ - ξ o, gdzie ξ o = x o / W Uwaga 3: obowiązuje zasada superpozycji, tj. efekty działania kilku sił skupionych rozpatruje się osobno, a wyniki sumuje się w danym przekroju.
3. Rozwiązanie dla belki o skończonej długości za pomocą metody leicha i 3.. Warunki brzegowe 0 x, 0 ξ / W x i na swobodnym końcu : Σ M i, Σ Q i (5) na swobodnym końcu : Σ M i, Σ Q i 3.2. Metoda H.leicha unkt o współrzędnej ξ jest początkiem belki, a punkt o współrzędnej ξ = jest jej końcem. Zamiast skończonej belki rozpatruje się belkę nieskończenie długą, fikcyjnie przedłużoną do ±. Mają więc zastosowanie wzory (), warunki brzegowe (5) nie są wówczas na ogół spełnione w przekrojach, belkę obciąża się dodatkowo czterema siłami skupionymi T i poza odcinkiem ; są to tzw. siły fikcyjne, wartości tych sił T i dobiera się w taki sposób, żeby były spełnione warunki brzegowe (5) dla układu sił, 2,..., n, T, T 2, T 3, T, suma rozwiązań od tego układu n+ sił skupionych stanowi ścisłe rozwiązanie zagadnienia rozpatrywane w przedziale 0 x ( 0 ξ λ= / W ), ponieważ - jest postaci (3), - są odpowiednie skoki wartości sił poprzecznych Q i o i w punktach x i - spełnione są warunki brzegowe (5), - rozwiązanie o tej własności jest tylko jedno (teoria równań różniczkowych!). Nieznane siły fikcyjne T i przykłada się zazwyczaj w następujących odległościach: T T 3 T 2 T λ=/ W ξ i ξ 2 ξ 3 ξ ξ ξ = ξ 3 = π/, ξ 2 = ξ = π/2, bo wtedy niektóre współczynniki wg () się zerują. Dla belki o swobodnych końcach siły fikcyjne T i oblicza się z układu równań (5), tj.: M W Q [ T ( ξ ξ2) T3 ( λ + ξ3) T λ + ξ) ] = Qi M W T ( λ + ξ ( λ + ξ2) + T3 ( ξ3) + T = Mi = Q [ T λ + ξ ( λ + ξ2) T3 ( ξ3) T ξ) ] = Qi [ T ( ξ ( ξ2) + T3 ( λ + ξ3) + T ( λ + ξ) ] = Mi [ ] 0 gdzie λ = / W, stosuje się funkcje M o, Q o z rozwiązania () oraz: M, Q, M - wypadkowe momenty w przekrojach (x=0), (x=) belki nieskończenie długiej od wszystkich sił rzeczywistych i, i =,2,...,n Q - wypadkowe siły poprzeczne w przekrojach x, x = belki nieskończenie długiej od wszystkich sił rzeczywistych i, i=,2,...,n.
Uwaga : dla dużych odległości sił T, T 2 od prawego końca belki (np. ξ > 5) wpływ tych sił można zwykle pominąć, ze względu na bardzo małe wartości czynnika exp{-ξ}. nalogicznie dla dwóch pozostałych sił i lewego końca belki. Równania się wówczas upraszczają, ale wynik jest przybliżony. Uwaga 2: nie są to zagadnienia trudne, ale wymagają pewnej wprawy i biegłości rachunkowej. Samą ideę obciążeń fikcyjnych warto sobie dobrze przemyśleć, bo występuje ona w bardzo wielu działach mechaniki, metod numerycznych i in. Jest to podejście w pełni poprawne matematycznie. Zaleca się przeanalizowanie różnych pytań i zadań zamieszczonej w kilku miejscach na tej stronie www.. ytania sprawdzające. Obciążenie belki wynosi q o (x). Ile wynosi osiadanie powierzchni ośrodka Winklera poza belką (nieobciążona powierzchnia). Czy odpowiedź zależy od sztywności belki EI? 2. Sprawdzić, że równomierne obciążenie belki na podłożu Winklera powoduje jej równomierne osiadanie, niezależnie od sztywności 0 EI + oraz niezależnie od długości belki. 3. Czy siły fikcyjne T i mogą być w dowolnej odległości od siebie?. Czy teoretycznie można rozmieścić je wszystkie po jednej stronie punktu? praktycznie? 5. Czy wystarczy użyć 3 zamiast sił fikcyjnych? Czy 6 sił fikcyjnych T i zapewni większą dokładność wyników? 6. Jak przyjąć siły fikcyjne, gdy belka jest jednostronnie nieskończenie długa? 7. Czy metodę leicha można stosować, jeśli obciążenie belki stanowią wyłącznie momenty skupione M i a nie siły skupione i?. Co zrobić, jeżli na końcu belki działa moment skupiony M? 9. Zaproponować sposób analitycznego rozwiązania belki o odcinkowo zmiennej sztywności EI = Ei i const(i) lub i const(i) lub C i const(i) (metoda leicha nie jest tu najprostsza). 0. Rozwiązanie podstawowe dla belki nieskończenie długiej obciążonej momentem skupionym M ma postać: M y( = e sin( 2 C W Wyprowadzić to rozwiązanie odpowiednio modyfikując metodę z p.2.2.. Czy można wymyślić własną metodę leicha, która będzie używała momentów fikcyjnych skupionych M i (czyli rozwiązania z pyt.0) zamiast fikcyjnych sił skupionych T i? 2. Czy prawdą jest stwierdzenie, że metoda leicha dla belek jest metodą przybliżoną?
Wskazówki i odpowiedzi:. oza belką osiadanie jest wszędzie zerowe, niezależnie od q o i niezależnie od EI, co wynika z definicji ośrodka Winklera (niezależnie od rodzaju fundamentu, czy jego braku). 2. Jeśli q o = const, to w równaniu ( rozwiązaniem jest odpowiednie y = const. 3. Mogą, ale oczywiście nie mogą być w tym samym przekroju, bo de facto oznaczałoby to jedną siłę. Tak naprawdę w metodzie leicha są warunki do spełnienia, ale jest niewiadomych: wartości sił i położenia tych sił (współrzędne). Tradycyjnie, przyjmuje się z góry położenia tych sił w odległościach π/ oraz π/2, bo to trochę upraszcza obliczenia, ale z tych niewiadomych można byłoby z góry przyjąć inne parametry, w tym np. 2 siły i 2 odległości.. Teoretycznie mogą być m.in. wszystkie siły z jednej strony belki. W praktyce jednak trzeba tutaj zachować pewną ostrożność. Gdyby np. siły fikcyjne były b.b.daleko od końców belki (np. 0 x W lub więcej), to musiałyby one mieć b.duże wartości, aby skorygować do zera siły przekrojowe w odpowiednich przekrojach. Mała niedokładność w wyznaczeniu wartości sił fikcyjnych (np. błędy zaokrągleń rzędu E-05) mogłaby istotnie rzutować na dokładność rozwiązania pomiędzy tymi przekrojami. Jest to tzw. problem dobrego/złego uwarunkowania numerycznego metody. 5. Dla skończonej belki są równania liniowe, więc muszą być dokładnie siły fikcyjne. Te siły mogą mieć wartości dodatnie, mogą mieć wartości ujemne, a więc czasem może też wyjść zerowa wartość siły fikcyjnej i wygląda jakby tej siły nie było... 6. Dla nieskończonej belki są tylko dwa warunki brzegowe do spełnienia, więc będą 2 siły fikcyjne. ozostałe warunki zerowania się w nieskończoności są automatycznie spełnione przez wykorzystywane rozwiązanie podstawowe. 7. Można i to dokładnie w ten sam sposób, bo koryguje się wartości sił w przekrojach, i nie jest istotne co powoduje siły wewnętrzne w tych przekrojach.. odstawić tę wartość zamiast 0 po prawej stronie w pierwszym z czterech równań w p.3.2. 9. Można rozwiązywać osobno każdy z n odcinków pryzmatycznych, na którym W = const. Rozwiązania podstawowe (3) dają wtedy n stałych C i do wyznaczenia. Wyznacza się je z n równań: 2 warunki na lewym końcu belki, 2 warunki na prawym końcu, (n- warunków ciągłości na sklejeniu n- segmentów pryzmatycznych. Te warunki sklejenia to: ciągłość linii ugięcia y (bo belka się nie przerywa), ciągłość pochodnej y (kąt obrotu), ciągłość momentów (brak momentu skupionego w przekroju) i ciągłość sił poprzecznych (brak siły poprzecznej skupionej w przekroju). Te cztery warunki ciągłości są zupełnie oczywiste, może jednak nie do końca, jeśli chodzi o ciągłość kąta obrotu. o prostu zakładamy, że linia ugięcia jest gładka (nie ma nieróżniczkowalnych dziubków w miejscach sklejenia). 0. To trochę żmudne zadanie rachunkowe, rozwiązywane też oczywiście najpierw na odcinku ξ > 0. Jest ono przedstawione w innym miejscu na stronie www w Uzupełnieniach.. Można. Można też brać np. dwie siły skupione i dwa momenty skupione, itp. - w dodatku dowolnie usytuowane (por. pyt.3). 2. Nie, nie jest to metoda przybliżona. Jest to dla podłoża Winklera metoda matematycznie ścisła. Metoda leicha jest metodą ścisłą.