Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z talii 54 kart (pełna talia z dwoma jokerami). Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że Alicja wylosowała króla? A Alicja wylosowała króla Rozwiązanie:

Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z talii 54 kart (pełna talia z dwoma jokerami). Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia, że Alicja wylosowała króla? Alicja poinformowała nas, że wylosowała pika ( ), ile wynosi teraz prawdopodobieństwo zdarzenia, że Alicja wylosowała króla? A Alicja wylosowała króla B Alicja wylosowała pika Rozwiązanie:

Morał1: przestrzeń warunkowa W przypadku prawdopodobieństwa klasycznego, dodatkowa informacja oznacza, że trzeba zmodyfikować przestrzeń zdarzeń elementarnych: (nowe Ω) = Ω B = B trzeba zmodyfikować zdarzenie sprzyjające: (nowe zdarzenie sprzyjające) = A B

Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 2 Alicja przychodzi do restauracji w losowym momencie między 18.00 a 18.30. Podobnie postępuje Bob. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Alicja przyszła przed 18.15? Rozwiązanie: A Alicja przyszła przed 18.15

Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 2 Alicja przychodzi do restauracji w losowym momencie między 18.00 a 18.30. Podobnie postępuje Bob. Wiadomo, że Bob przyszedł pierwszy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Alicja przyszła przed 18.15? Rozwiązanie: A Alicja przyszła przed 18.15 B Bob przyszedł pierwszy

Morał2: przestrzeń warunkowa W przypadku prawdopodobieństwa geometrycznego, dodatkowa informacja oznacza, że trzeba zmodyfikować przestrzeń zdarzeń elementarnych: (nowe Ω) = Ω B = B trzeba zmodyfikować zdarzenie sprzyjające: (nowe zdarzenie sprzyjające) = A B

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Definicja A oraz B są zdarzeniami losowymi, zakładamy, że P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B nazywamy liczbę P(A B) P(A B) =. P(B)

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Definicja przypomnienie P(A B) = P(A B). P(B) Przykład 3 Rzucamy niestandardową kostką, w której 1, 2, 3 oczka wypadają z prawdopodobieństwem 1 12 i 4, 5, 6 oczek wypadają z prawdopodobieństwem 1 4. Opisz przestrzeń prob. (Ω, F, P) opisującą ten eksperyment.

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Definicja przypomnienie P(A B) = P(A B). P(B) Przykład 3 Rzucamy niestandardową kostką, w której 1, 2, 3 oczka wypadają z prawdopodobieństwem 1 12 i 4, 5, 6 oczek wypadają z prawdopodobieństwem 1 4. Opisz przestrzeń prob. (Ω, F, P) opisującą ten eksperyment. Wiemy, że wypadła liczba oczek co najwyżej 4. Ile wynosi wtedy prawdopodobieństwo wyrzucenia: liczby nieparzystej?

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego Morał3 Prawdopodobieństwo warunkowe zadaje nowy sposób losowania! prawdopodobieństwo warunkowe zadaje nową funkcję prawdopodobieństwa (miarę probabilistyczną) P B na podzbiorach Ω B = B: P B (A) = P(A B) W związku z tym mamy nową (warunkową) przestrzeń probabilistyczną (B, F B, P B ), gdzie F B = {A : F F A = F B}

Wzór łańcuchowy Przykład 4 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy kolejno bez zwracania 2 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie wybrane kule są białe? Rozwiązanie 1: drzewkiem Rozwiązanie 2: C 1 pierwsza kula jest biała C 2 druga kula jest biała P (C 2 C 1 ) = P (C 1 C 2 ) P (C 1 )

Wzór łańcuchowy Twierdzenie (wzór łańcuchowy) Jeśli zdarzenia A 1,..., A n spełniają warunek P(A 1 A n 1 ) > 0, wówczas P(A 1 A n ) = Dowód: P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A n 1 )

Wzór łańcuchowy Twierdzenie (wzór łańcuchowy) Jeśli zdarzenia A 1,..., A n spełniają warunek P(A 1 A n 1 ) > 0, wówczas P(A 1 A n ) = Dowód: Przykład 5 P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 ) P(A n A 1 A n 1 ) Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy kolejno bez zwracania 4 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane kule są białe? Rozwiązanie:

Prawdopodobieństwo całkowite Przykład 6 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo jedną kulę i jeśli jest biała to wrzucamy z powrotem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wybrana kula jest biała? Rozwiązanie drzewkiem : Rozwiązanie formalne:

Definicja Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy rodzinę (B i ) n i=1 = {B 1, B 2,..., B n } zdarzeń, które są parami rozłączne i których suma jest całą przestrzenią Ω. Tzn. 1 B i B j =, dla i j; 2 Ω = B 1 B 2... B n.

Definicja Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy rodzinę (B i ) n i=1 = {B 1, B 2,..., B n } zdarzeń, które są parami rozłączne i których suma jest całą przestrzenią Ω. Tzn. 1 B i B j =, dla i j; 2 Ω = B 1 B 2... B n. Twierdzenie (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite) Jeśli (B i ) n i=1 jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach, wówczas dla dowolnego zdarzenia A. n P(A) = P(B i ) P(A B i ) i=1 Dowód:

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite przypomnienie Jeśli (B i ) n i=1 jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach, wówczas dla dowolnego zdarzenia A Przykład 6 bis P(A) = n P(A B i ) P(B i ) i=1 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo dwie kule i wszystkie wylosowane białe wrzucamy z powrotem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecia wybrana kula jest biała? Rozwiązanie:

Przykład 7 (Paradoks Monty ego Halla) W grze Idź na całość są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek.

Przykład 7 (Paradoks Monty ego Halla) W grze Idź na całość są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek. Następnie prowadzący odkrywa jedną z bramek, za którą kryje się kot. W tym momencie grający może zmienić bramkę. Czy mu się opłaca zamienić, czy zostać przy poprzedniej decyzji?

Przykład 7 (Paradoks Monty ego Halla) W grze Idź na całość są trzy bramki. Za jedną kryje się samochód za dwiema pozostałymi koty (Zonki). W pierwszej turze grający wybiera jedną z bramek. Następnie prowadzący odkrywa jedną z bramek, za którą kryje się kot. W tym momencie grający może zmienić bramkę. Czy mu się opłaca zamienić, czy zostać przy poprzedniej decyzji?

Przykład 8 Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo jedną kulę i jeśli jest biała wrzucamy z powrotem. Tym razem wiemy, że druga wybrana kula jest biała. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pierwsza wylosowana kula była czarna? Rozwiązanie bez specjalistycznych wzorów:

Twierdzenie (wzór Bayesa) Jeśli (B i ) jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie oraz P(A) > 0, to P(B j A) = P(B j) P(A B j ) P(A) = P(A B j) P(B j ) i P(B i) P(A B i ) Dowód.

Twierdzenie (wzór Bayesa) Jeśli (B i ) jest rozbiciem Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie oraz P(A) > 0, to P(B j A) = P(B j) P(A B j ) P(A) = P(A B j) P(B j ) i P(B i) P(A B i ) Dowód. Przykład 8 bis Przypuśćmy, że urna zawiera 10 kul białych i 20 czarnych. Wybieramy losowo dwie kule i wszytstkie białe wrzucamy z powrotem. Tym razem wiemy, że trzecia wybrana kula jest biała. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu wybralismy dwie czarne kule? Rozwiązanie korzystające ze wzoru Bayesa:

Przykład 9 Pewne małżeństwo zrobiło swojemu nienarodzonemu dziecku badanie prenatalne, które dało pozytywny wynik na obecność pewnej rzadkiej wady genetycznej (co 10000 osoba na nią cierpi). Wiadomo, że u chorych każdy wynik jest pozytywny a u zdrowych co 100 wynik daje fałszywy pozytywny wynik. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że ich dziecko jest chore. Czy przyszli rodzice mają popadać w histerię czy raczej poczekać spokojnie do narodzin?

Przykład 9 Pewne małżeństwo zrobiło swojemu nienarodzonemu dziecku badanie prenatalne, które dało pozytywny wynik na obecność pewnej rzadkiej wady genetycznej (co 10000 osoba na nią cierpi). Wiadomo, że u chorych każdy wynik jest pozytywny a u zdrowych co 100 wynik daje fałszywy pozytywny wynik. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że ich dziecko jest chore. Czy przyszli rodzice mają popadać w histerię czy raczej poczekać spokojnie do narodzin?

Przykład 10 Firma ubezpieczeniowa dzieli kierowców na trzy grupy: ostrożnych (10 % kierowców) przeciętnych (70%) i ryzykantów (20%). Z prowadzonych przez firmę statystyk wynika iż prawdopodobieństwo, że kierowca z danej grupy ma wypadek w okresie jednego roku wynosi: 0,1,0,2,0,9, odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej grupie. Franek w pierwszym roku ubezpieczenia spowodował wypadek, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy do grupy ryzykantów?

Przykład 10 Firma ubezpieczeniowa dzieli kierowców na trzy grupy: ostrożnych (10 % kierowców) przeciętnych (70%) i ryzykantów (20%). Z prowadzonych przez firmę statystyk wynika iż prawdopodobieństwo, że kierowca z danej grupy ma wypadek w okresie jednego roku wynosi: 0,1,0,2,0,9, odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej grupie. Franek w pierwszym roku ubezpieczenia spowodował wypadek, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy do grupy ryzykantów?

Przykład bonus 1 W urnie znajdują się 3 monety jedna zwykła, jedna z orłami po obu stronach i jedna z reszkami po obu stronach. Magik wyjmuje losowo jedną monetę i kładzie ją na stole. Widoczny jest orzeł. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie też jest orzeł?

Przykład bonus 1 W urnie znajdują się 3 monety jedna zwykła, jedna z orłami po obu stronach i jedna z reszkami po obu stronach. Magik wyjmuje losowo jedną monetę i kładzie ją na stole. Widoczny jest orzeł. Ile wynosi prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie też jest orzeł?

Przykład bonus 2 Uczciwa sześcienna kostka ma następujące napisy na bokach: wygrana (na 2 bokach), przegrana (na 3 bokach) i graj dalej (na 1 boku). Rzucamy kostką aż do definitywnej przegranej lub wygranej. Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite wyznacz: szansę wygranej i szansę przegranej. Ile wynosi szansa na nieskończoną grę?