Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego. Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład jednostajny, normalny, wykładniczy. Transformacje zmiennej losowej. Przykłady do zadania 3. : (a) Niech X oznacza ocenę z egzaminu (w czterostopniowej skali ocen:, 3, 4, 5) losowo wybranego studenta z dużej grupie studenckiej. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli: n 3 4 n 3 4 5 p n,,3,4 C Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że ocena jest wyższa niż 3. p n C 4 p n, +, 3 +, 4 + C, 8 + C C, n Oba warunki spełnione są dla C,. P (X > 3) P (X 4) + P (X 5) p 3 + p 4, 4 +,, 6 (b) Dla jakiej wartości stałej c ciąg p n c ln ( ), n, 3,..., określa rozkład pewnej n zmiennej losowej? Podać trzy różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla każdego z nich prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 5, i mniejsza od 7,9999. p n dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c (bo < ). n p n c(ln(n ) + ln(n + ) ln n) lim n n n c(ln ( ) + n ln ) c( ln ) wtedy i tylko wtedy, gdy c. ln Oba warunki są spełnione dla c. ln Aby podać rozkład zmiennej losowej z wykorzystaniem p n trzeba jeszcze określić zbiór jej wartości, czyli różnowartościowy ciąg ( n ). Przykład. Zmienna losowa X, dla której n n dla n, 3, 4,.... (Zbiór wartości to, 3,...}.) Wtedy P (5, < X < 7, 9999) P (X 6) + P (X 7) p 6 + p 7 ( ln ( 36 ln Przykład. ) + ln ( 49 )), 7. Zmienna losowa Y, dla której n dla n, 3, 4,.... (Zbiór wartości to 6, 4, 3,,...}.) n 5 Wtedy P (5, < Y < 7, 9999) P (Y 6) p ln ( ) ln 4, 45. Przykład 3. Zmienna losowa Z, dla której n 8+n dla n, 3, 4,.... (Zbiór wartości to, 7,...}.) Wtedy P (5, < Z < 7, 9999).
(c) Zmienna losowa X przyjmuje wartość n n, n,,..., z prawdopodobieństwem p n proporcjonalnym do. Wyliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 4,5 i 3n mniejsza od 6,3. ciag n } jest różnowartościowy; p n c dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c. 3n p n c n n 3 c n 3 c wtedy i tylko wtedy, gdy c. 3 Wszystkie warunki na ciąg określający rozkład są spełnione dla c, tzn. p n 3 n. P (4, 5 < X < 6, 3) P (X 6) p 3, 74. 33 Przykład do zadania 3. : (a) Wiadomo, że % skrzynek pomarańczy psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób losowy pobiera się skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż % badanych skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu? Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrzynki z popsutymi owocami, p, (%), n. Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród badanych. X ma rozkład Bernoulliego B(n, p, ), czyli przyjmuje wartość k k z prawdopodobieństwem p k ( ) k (, ) k (, ) k dla k,,...,. Transport jest odrzucany, gdy X > %. Prawdop. odrzucenia transportu wynosi zatem P (X > ) P (X ) P (X ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) 9, 43. (b) Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczyszczeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o dystrybuancie dla, F () 3 (4 3) dla <, dla >. Wybrano niezależnie cztery próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że () dokładnie jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń; () co najmniej jedna próbka zawiera ponad 5% zanieczyszczeń.
Model: schemat Bernoulliego, sukces-procent zanieczyszczeń w próbce jest większy niż 5%, czyli X >, 5; p P (X >, 5) F (), n 4. 6 lim,5+ Niech Y oznacza ilość próbek z więcej niż 5% zanieczyszczeń wśród 4 badanych (czyli ilość sukcesów w n 4 próbach). Y ma rozkład Bernoulliego B ( ) n 4, p 6, czyli przyjmuje wartość k k z prawdopodobieństwem p k ( ) ( ) 4 k ( ) 4 k k 6 6 dla k,,..., 4. Mamy zatem () P (Y ) ( 4 ) ( 6 ) ( ) 3 6, 84; ) ( () P (Y ) P (Y ) ( 4 6 ) ( ) 4 6, 99. (c) Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie 6. Niech X oznacza liczbę wykonanych rzutów. Jakie są możliwe wartości X i z jakim prawdopodobieństwem przyjmuje każdą z nich? Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów. Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła szóstka, p 6. X to czas oczekiwania na pierwszy sukces, który przyjmuje wartości k,,... z prawdopodobieństwami p k P (X k) ( ) k 6 ( ) 5 k. 6 5 6 Prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, wynosi P (X parzyste) p k ( ) l 5 5 6 5, 45. k parzyste (Uwaga: jest ono różne od,5). l (d) Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich sześć i rzuca je aż do pierwszego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym rzucie wynosi,. Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p,. Wyobraźmy sobie, że mamy nieograniczoną liczbę krążków, i oznaczmy przez Y czas oczekiwania na pierwsze trafienie. Wiemy, że Y ma rozkład geometryczny Geo(, ), czyli przyjmuje wartość k k z prawdop. p k, (, ) k dla k,,.... Graczowi zostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y 5. Szukane prawdopod. wynosi zatem P (Y 5) 5 p k 5, (, 9) k (, 9) 5, 4. k k 3
Przykłady do zadania 3.3 : (a) Dla X o rozkładzie Bernoulliego B(n, p, ) wyliczyć P (X > ) i porównać otrzymany wynik z przybliżeniem Poissona. Ze wzorów dokładnych dostajemy P (X > ) (P (X ) + P (X ) + P (X )) ( ), 99 +,, 99 99 99 +,, 99 98, 794. Z tw. Poissona otrzymujemy przybliżenie P (X > ) p p p, 3679, 3679, 839, 83, gdzie p k odczytane są z tablic rozkładu Poissona dla λ np,. Porównanie otrzymanych wartości P (X > ): wzory dokładne z tw. Poissona,794,83 (Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza tu np,.) (b) Wśród ziaren pszenicy znajduje się.6% ziaren chwastów. Oszacować na podstawie przybliżenia Poissona, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych ziaren znajduje się () co najwyżej 6 ziaren chwastów, () co najmniej 3 ziarna chwastów, (3) dokładnie 6 ziaren chwastów. Oszacować błąd przybliżenia. Model: schemat Bernoulliego, sukces-natrafiono na ziarno chwastu, p, 6, n. Niech X oznacza liczbę sukcesów, czyli liczbę ziaren chwastów wśród ziaren. () P (X 6) 6 p k, 9998; k gdzie p k odczytane są z tablic rozkładu Poissona z λ np, 6 6. () P (X 3) p p p, 5, 49, 446, 6, 938; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np, 6 6. (3) P (X 6) p 6, 66, gdzie p 6 odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np, 6 6. Błąd przybliżenia w każdym przypadku nie przekracza np, 36. 4
(c) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi książkę, wynosi,. Reklamę wysłano do osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że () dokładnie osoby, () więcej niż osoby przyślą zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną i przybliżoną z tw. Poissona. Porównać wyniki. Model: schemat Bernoulliego, sukces-osoba odpowie na reklamę, p,, n. Niech X oznacza liczbę osób, które zamówiły książkę, czyli liczbę sukcesów. () Wzór dokładny: P (X ) ( ) (, ) (, ), 85. Przybliżenie Poissona: P (X ) p, 77; gdzie p odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np,. () Wzory dokładne: P (X > ) P (X ) P (X ) P (X ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) (, 9), (, 9) 9 9 (, ) (, 9) 8, 33. Przybliżenie Poissona: P (X > ) p p p, 353, 77, 77, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np,. Porównanie otrzymanych wartości : wzory dokładne z tw. Poissona P (X ),85,77 P (X > ),33,333 (Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza np,.) (d) Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego na gruźlicę jest,. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród ludzi prześwietlonych będzie nie mniej niż 3 chorych. Oszacować błąd przybliżenia. Model: schemat Bernoulliego, sukces-pacjent jest chory, p,, n. Niech X oznacza liczbę chorych. Mamy oszacować P (X 3). Przybliżenie Poissona: P (X 3) p p p, 353, 77, 77, 333; gdzie p k odczytane z tablic rozkładu Poissona z λ np,. Błąd przybliżenia nie przekracza np,. 5
Przykłady do zadania 3.4 : (a) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f() dla, c 4/3 dla > była gęstością pewnego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. f()d c d 3c /3 3c wtedy i tylko wtedy, gdy c 4/3. 3 Dla takiego c f() dla każdego, więc wtedy oba warunki na gęstość są spełnione. Odp. Tak, c 3. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f() rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. dla, c /3 dla > była gęstością pewnego Całka f()d c d jest rozbieżna do c dla c lub zbieżna do dla c. /3 Zatem f() nie może być gęstością niezależnie od c. Odp. Nie. była gęstością pew- dla / [, a], (c) Czy można dobrać stałą a tak, aby funkcja f() dla [, a] nego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. a z postaci przedziału f() dla każdego dla dowolnego a f()d a d a3 3 wtedy i tylko wtedy, gdy a 3 3. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy a 3 3. Odp. Tak, dla a 3 3 funkcja f() jest gęstością. 6
Przykład do zadania 3.5 : Dobrać stałą c tak, aby funkcja f() dla <, c( 4) dla <, dla <, c( 5) dla < 3, dla 3 była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Wyliczyć P (, 5 X <, 5) i P (X, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. f() dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy c (wzory bez c dają funkcje ujemne na podanych przedziałach). f(), c 3 3 4 5.5.5.5.5.5 3 3.5 f()d c ( 4)d + c 3 ( 5)d 6 c wtedy i tylko wtedy, gdy c 6. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy c 6. P (, 5 X <, 5),5,5 ( 6 4 + 3 3 8 ) 4 36 P (X, 5),5 f()d 6 f()d 6,5, 74,5 ( 6 9,5 5 + 5, 5 ) 7 36 3 ( 4)d 6 ( 5)d 6, 4. 5 3 3 3 4,5,5.5.4 f(), c 6/ P(.5 X<.5).3 P( X.5)...5.5.5..5.5.5.5.5 3 3.5 7
Dystrybuanta ma postać F () f(t)dt dla <, (t 4)dt dla <, 6 6 44 + ( 6 (t 4)dt dla <, ) (t 5)dt dla < 3, dla 3.5.4.3.. F().5.4.3.. dla <, (( )+) dla <, 44 dla <, 3( ) 4 dla < 3, dla 3 F(). 3. 3.5.4.3.. F().5.4 + +.3.. F(). 3. 3 F().8.6 44/,7458.4. 3.5.5.5.5.5 3 3.5 8
Przykłady do zadania 3.6 : (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja dla, F () A + B dla <, dla < była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego rozkładu. Z przykładu.3 (a) wiemy, że dla A i B spełniających warunki: B, A B funkcja F jest dystrybuantą. Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego, dodatkowo F musi być funkcją ciągłą, co ma miejsce, gdy czyli dla A i B. Wtedy F () lim F () B + A + B F () lim F (), + dla, F () dla <, dla <. F() f() dystrybuanta gestosc Taka dystrybuanta F () jest różniczkowalna poza co najwyżej punktami i, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości f() F () dla, dla ; dla < <, poza tym. 9
dla, (b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F () A + B arc sin() dla <, była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego dla < rozkładu. Dla wszystkich A i B funkcja F () jest lewostronnie ciągła oraz i lim F (). lim F () Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego F musi być funkcją ciągłą, co ma miejsce, gdy czyli dla A i B π. ( ) π F ( ) lim F () A B + ( ) π A + B F () lim F (), + Dla takich A i B funkcja F jest niemalejąca na całej prostej, zatem jest dystrybuantą. F() f() dystrybuanta gestosc Ponadto wtedy F jest różniczkowalna poza punktami ±, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości F f() () dla, π dla < <, dla ; poza tym.
(c) Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae dla, F () B +, 5 dla < ln, C e dla > ln była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego rozkładu. Z przykładu.3 (b) wiemy, ze funkcja F jest dystrybuantą dla C oraz A i B spełniających warunki: A, 5, B,5 ln. Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego dodatkowo F musi być funkcją ciągłą. Musimy więc mieć dodatkowo co daje A, 5, B,5 ln. A F () lim F (), 5 + B ln +, 5 F (ln ) lim F () C, 5, 5 ln + F() f(),5/ln 8 ln 8 8 ln dystrybuanta gestosc 8 Dla takich stałych A i B funkcja F () jest różniczkowalna poza - być może - punktami i ln, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości, 5e dla <, F f() () dla ;, ; ln, dla,,5 dla < < ln, dla poza tym; ln dla ln, e dla > ln
Przykłady do zadania 3.7 : (a) Gracz rzuca kostką do gry i otrzymuje 5 zł za liczbę oczek podzielną przez 3, a płaci 5 zł za każdy inny wynik. Ma on możliwość wykonania co najwyżej 5 rzutów, a jednocześnie musi przerwać grę po pierwszej wygranej. Niech Y oznacza wynik gracza (w zł). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y. X - czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego, sukces - liczba oczek podzielna przez 3, p 3 X ma rozkład geometryczny Geo( ), P (X k) ( ) k 3 3 3 dla k,,... 5 + ( 5) (X ), gdy X 5, Y 5 5 5, gdy X > 5. ( ) k Zatem P (Y 5 5(k )) 3 3 dla k,, 3, 4, 5 P (Y 5) 4 ) k ( 5 3) k Rozkład Y możemy także podać w tabeli: X 3 4 5 >5 3 Y y k 5 5 5-5 ( 3 4 8 6 3 p k 3 9 7 8 43 43,3333,,48,988,658,38 (b) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Ep(). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X., gdy, X ma rozkład wykładniczy Ep(), czyli gęstość postaci f X () e, gdy >. Dystrybuanta zmiennej losowej Z X to F Z (z) P (Z < z) P (X < z), gdy z, P ( X < z) F X ( z) F X ( z + ) F X ( z) F X ( z), gdy z > ; gdzie F X () to dystrybuanta zmiennej losowej X, tak że f X () F X() dla niemal wszystkich. F Z (z) odpowiada gęstości f Z (z) F Z(z) dla niemal wszystkich z., gdy z, Zatem f Z (z) z (f X( z) + f X (, gdy z, z)), gdy z >. z z e, gdy z >. Zauważmy, że jest to rozkład Weibulla W (, ).
(c) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4, 9; 5, ) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Znaleźć rozkład masy M tej kuli., gdy r / [4, 9; 5, ], Gęstość R ma postać: f R (r) 5, gdy r [4, 9; 5, ]. 5, 4,9 Masa kuli równa jest M a 3 R 3, gdzie a ( ) 4 7,88π /3 3, 37. Dystrybuanta zmiennej losowej M ma postać F M (m) P (M < m) P (R 3 < a 3 m) P (R < am /3 ) F R (am /3 ), gdzie F R (r) to dystrybuanta rozkładu R. Stąd M ma rozkład o gęstości f M (m) F M(m) dla niemal wszystkich m., gdy m / Zatem f M (m) a 3 m /3 f R (am /3 [m, m ) ], 5a 3 m /3, gdy m [m, m ], gdzie m ( 4,9 a ) 3 3883, 39, m ( ) 5, 3 a 4378, 5. (d) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y arctgx. Gęstość rozkładu Cauchy ego C(, ) ma postać f X () Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F X () f X (t)dt π arctg +. π( + ). Dystrybuanta zmiennej losowej Y arctgx to F Y (y) P (Y <y), gdy y π, P (X <tgy) F X (tgy) π y +, gdy π < y < π,, gdy y π. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y / ( π Zatem f Y (y), ) π,, gdy y ( π, ) π π. Jest to gęstość rozkładu jednostajnego U ( π, π ). Wniosek: Y ma rozkład jednostajny U ( π, π ). 3
(e) Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N (, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X. X ma rozkład normalny N (, ), czyli gęstość postaci f X () π e. Dystrybuanta zmiennej losowej Y X to F Y (y) P (Y < y), gdy y, P ( X < y ) F X (y ) F X ( y + ) F X (y ) F X ( y ), gdy y > ; gdzie F X () to dystrybuanta rozkładu X. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y, Zatem f Y (y) y(f X (y ) + f X ( y )) 4 ye y4, gdy y >. π 4