PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ Copyright by Now Er Sp z oo
Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprwne i spełnijące wrunki zdni Zdnie (0 ) Próbny egzmin mturlny z Nową Erą Wymgni ogólne II Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji Wymgni szczegółowe R Funkcje Zdjący n podstwie wykresu funkcji y f^xh szkicuje wykresy funkcji y f^xh, y c$ f^xh, y f^cxh Poprwn odpowiedź C Zdnie (0 ) II Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R Rchunek różniczkowy Zdjący korzyst z włsności pochodnej do wyznczeni przedziłów monotoniczności funkcji A Zdnie (0 ) II Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R5 Ciągi Zdjący oblicz grnice ciągów, korzystjąc z grnic ciągów typu n, n orz z twierdzeń o dziłnich n grnicch ciągów D Zdnie (0 ) II Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R5 Ciągi Zdjący rozpoznje szeregi geometryczne zbieżne i oblicz ich sumy B Zdnie 5 (0 ) II Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji R85 Geometri n płszczyźnie krtezjńskiej Zdjący posługuje się równniem okręgu ^x- h + ^x- bh r orz opisuje koł z pomocą nierówności D Zdnie 6 (0 ) IV Użycie i tworzenie strtegii 6 Trygonometri Zdjący: P) stosuje proste zleżności między funkcjmi sin trygonometrycznymi: sin + cos, tg cos orz sin^90c - h cos ; R5) stosuje wzory n sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów 55 Uwg Ocenie podleg tylko odpowiedź zkodown z 0
Zdnie 7 (0 ) 5 W czworokącie ABCD dne są: AC 5, BBAD BBCD 90c, sin B ABC Oblicz długość przekątnej BD tego czworokąt Wymgnie ogólne IV Użycie i tworzenie strtegii Wymgni szczegółowe R7 Plnimetri Zdjący: ) stosuje twierdzeni chrkteryzujące czworokąty wpisne w okrąg i czworokąty opisne n okręgu; 5) znjduje związki mirowe w figurch płskich z zstosowniem twierdzeni sinusów i twierdzeni cosinusów Przykłdowe rozwiązni Sposób I Wprowdzmy oznczeni n rysunku A D 5 C α B Poniewż BDAB + BDCB 80c, więc n tym czworokącie możn opisć okrąg, przekątn BD czworokąt jest jednocześnie średnicą tego okręgu (kąt wpisny prosty jest oprty n średnicy) Z twierdzeni sinusów w trójkącie ABC otrzymujemy: AC sin BD, Stąd BD 5 5 BD 5 Sposób II Wprowdzmy oznczeni n rysunku A β D 5 C α B BDAC 90c - b orz BADC 60c-$ 90c- 80c - z 0
Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkątch ABC i ACD BC 5 sin b sin BC 5sin b Z twierdzeni Pitgors w trójkącie BCD otrzymujemy: BD BC + CD, BD ^ 5sinbh + ^ 5cos bh, BD 5^sin b+ cos bh, BD 5 5 CD 5 sin^90c- bh sin^80c- h CD 5cos b Schemt ocenini Zdjący otrzymuje gdy sporządzi poprwny rysunek Zdjący otrzymuje gdy sporządzi rysunek i: zuwży, że n czworokącie możn opisć okrąg, przekątn BD jest średnicą tego okręgu lbo uzleżni długości odcinków BC i CD od funkcji trygonometrycznych kąt β: BC 5sin b, CD 5cos b, i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje gdy obliczy długość przekątnej: BD 5 pkt pkt pkt Zdnie 8 (0 ) Udowodnij, że dl kżdej liczby rzeczywistej x prwdziw jest nierówność: x -x - x + x+ 9 H 0 Wymgnie ogólne V Rozumownie i rgumentcj Wymgni szczegółowe P Wyrżeni lgebriczne Zdjący używ wzorów skróconego mnożeni n ^! bh orz - b R7 Równni i nierówności Zdjący rozwiązuje łtwe nierówności wielominowe Przykłdowe rozwiązni Sposób I Lew stron nierówności jest wielominem W^xh x -x - x + x + 9 o współczynnikch cłkowitych Szukmy pierwistków tego wielominu wśród dzielników liczby 9 W^-h + -- + 9 0 Wykonujemy dzielenie wielominu W przez dwumin x + i otrzymujemy P^xh x - 5x + x+ 9 Terz szukmy pierwistków wielominu P(x) wśród dzielników liczby 9 P^-h --5- + 9 0 Wykonujemy dzielenie wielominu P przez dwumin x + i otrzymujemy Q^xh x - 6x+ 9 z 0
Korzystmy ze wzorów skróconego mnożeni i zpisujemy Q^xh ^x -h A ztem W^xh ^x+ h ^x- h Dl kżdej liczby x! R prwdziwe są nierówności ^x + h H 0 i ^x - h H 0, więc prwdziw jest też nierówność ^x+ h ^x-h H 0, co nleżło udowodnić Sposób II Przeksztłcmy lewą stronę nierówności, stosując wzory skróconego mnożeni i metodę grupowni wyrzów x - x - x + x + 9 x - x + - x + 6x- x + 8 ^x -h -x^x- h^x+ h -^x - h ^x- h ^x+ h -^x- h^x + x + h ^x+ h ^x - x+ - x+ 8h ^x+ h ^x - 6x + 9h ^x+ h ^x- h Dl kżdej liczby x! R prwdziw jest nierówność ^x+ h ^x-h H 0, bo kwdrt dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, czego nleżło dowieść Sposób III Rozwżmy funkcję f^xh x -x - x + x + 9 Wielomin jest funkcją ciągłą w zbiorze liczb rzeczywistych, 9 lim f^xh lim x - x x x - + + k, "! "! x x x więc wystrczy wykzć, że njmniejsz wrtość wielominu f jest dodtni Wyznczmy funkcję pochodną: f ' ^xh x -x - x+, i obliczmy jej miejsc zerowe f ' ^xh 0 + x -x - x+ 0 x ^x - h - ^x - h 0 ^x- h^x+ h^x- h 0 x lub x - lub x Szkicujemy wykres znku pochodnej f (x) ++++++++ +++ x Funkcj f jest mlejąc w kżdym z przedziłów (-, - H orz, i rosnąc w kżdym z przedziłów -, orz, h, więc wrtość njmniejszą przyjmuje w jednym z minimów loklnych, czyli dl x - lub x f( -) + -- + 9 0 f^h 8-$ 7-8 + 6 + 9 0 Wrtość njmniejsz funkcji f jest równ 0, ztem f^xh H 0 dl x! R, co kończy dowód 5 z 0
Schemt ocenini Zdjący otrzymuje pkt gdy znjdzie przynjmniej pierwistki wielominu stopni czwrtego i zpisze ten wielomin w postci iloczynu wielominów stopni co njwyżej drugiego lbo gdy grupę skłdników: x - x + zpisze w postci: ^x- h ^x+ h lub grupę skłdników: - x + x+ 8rozłoży n czynniki, np do postci: -^x- h^x + x + h lbo gdy wyznczy funkcję pochodną: f ' ^xh x -x - x+ i obliczy jej miejsc zerowe: x! "-,,, i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje pkt gdy zpisze nierówność w postci ^x+ h ^x-h H 0 lbo gdy zbd znk pochodnej i ustli rgumenty, dl których wielomin może osiągnąć wrtość njmniejszą i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje pkt gdy przeprowdzi pełne rozumownie Zdnie 9 (0 ) Ciąg ^ n h jest określony wzorem: n log08 n log n+ + log n+ + log n+ + + ^ ^ h ^ h ^ h + h dl n H Uzsdnij, że wzór ciągu ^ n h możn zpisć w postci: n log08! ^n+ h i oblicz wrtość wyrżeni: + + + + 07 Wymgnie ogólne II Wykorzystnie i interpretownie reprezentcji Wymgni szczegółowe Liczby rzeczywiste Zdjący: P6) wykorzystuje definicję logrytmu i stosuje w obliczenich wzory n logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym R) stosuje w obliczenich wzór n logrytm potęgi orz wzór n zminę podstwy logrytmu P5Ciągi Zdjący wyzncz wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym Przykłdowe rozwiąznie Ze wzoru n zminę podstwy logrytmu wynik, że log b logb Ztem wzór ciągu: n log^n+ h + log^n+ h + + log08 ^n + h możn zpisć w postci: n log + log + + log 08 n+ n+ n+ 6 z 0
Po zstosowniu wzoru n sumę logrytmów otrzymujemy: n logn+ ^$ $ $ $ 08h, n log n+ 08!, log ^n+ h n 08! Terz możn obliczyć wrtość sumy + + + + 07 log08! + log08! + log08! + + log08! 08 log ^$ $ $ $ 08h log 08! 08! 08! Próbny egzmin mturlny z Nową Erą Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp Zdjący zpisze wzór ciągu w postci: n logn+ + logn+ + + logn+ 08 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Pokonnie zsdniczych trudności zdni Zdjący zpisze wzór ciągu w postci: log ^n+ h n 08! i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Rozwiąznie pełne Zdjący obliczy wrtość wyrżeni + + + + 07 pkt pkt pkt Zdnie 0 (0 5) Wyzncz wszystkie liczby rzeczywiste x spełnijące równnie: sin x- cos x Oblicz sumę wszystkich rozwiązń tego równni nleżących do przedziłu 0r, Wymgnie ogólne IV Użycie i tworzenie strtegii Wymgni szczegółowe R66 Trygonometri Zdjący rozwiązuje równni i nierówności trygonometryczne P5 Ciągi Zdjący stosuje wzór n n-ty wyrz i n sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego Przykłdowe rozwiązni Rozwiąznie zdni skłd się z dwóch etpów: pierwszy to ustlenie rozwiązń równni trygonometrycznego, drugi wyznczenie sumy wszystkich rozwiązń równni nleżących do przedziłu 0r, Relizcj pierwszego etpu Sposób I Korzystmy ze wzoru n cosinus podwojonego kąt i przeksztłcmy równnie sin x- cos x sin x-^- sin xh sin x sin x sin x lub sin x 7 z 0 -
Szkicujemy wykres funkcji sinus, by wyznczyć wszystkie rozwiązni osttniej lterntywy y π π π 0 π π π π 5π π 7π π 9π x r r Ztem wszystkie rozwiązni równni możemy zpisć w postci: x + k$, gdzie k jest liczbą cłkowitą Sposób II Korzystmy ze wzoru n cosinus podwojonego kąt i przeksztłcmy równnie sin x- cos x - cosx - sin x - cosx cos x cos x 0 cos x 0 r x + kr r r Stąd x + k$, gdzie k jest liczbą cłkowitą Relizcj drugiego etpu Spośród rozwiązń równni nleżących do przedziłu 0r, wybiermy njmniejsze jest to r r x0 (dl k 0) Poniewż kżde dw sąsiednie rozwiązni równni różnią się o, więc dl r kolejnych liczb nturlnych k tworzą one rosnący ciąg rytmetyczny, w którym pierwszy wyrz, r różnic r Wzór ogólny tego ciągu m postć: r r r r n + ^n- h $ n - Wyznczmy liczbę wyrzów tego ciągu znjdujących się w przedzile 0r, n G r r r n - G r Po przeksztłceniu nierówności otrzymujemy wrunek: więc n! ",,,, 6, Ztem 6 początkowe wyrzy ciągu n n G 6, 5, ^ h nleżą do przedziłu 0r, Obliczmy ich sumę r r $ S + 6 $ 6 $ 6 0 r Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni Zdjący przeksztłci równnie do postci: sin x lub sin x - lbo cos x 0 8 z 0 pkt
Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp pkt r r Zdjący pod rozwiązni równni, np w postci: x + k$, gdzie k jest liczbą cłkowitą Pokonnie zsdniczych trudności zdni pkt Zdjący obliczy liczbę wyrzów ciągu rytmetycznego nleżących do przedziłu 0r, : n 6 Rozwiąznie pełne Zdjący obliczy sumę wszystkich rozwiązń równni trygonometrycznego nleżących do przedziłu 0r, : S 0 6 r Próbny egzmin mturlny z Nową Erą Uwgi Jeżeli zdjący w wyniku przeksztłceń zpisze tylko jedno z równń sin x lbo sin x -, pod poprwne rozwiązni tego równni i n tym zkończy lub dlej popełni błędy, to otrzymuje punkt Jeżeli zdjący pod poprwnie rozwiązni tylko jednego z równń: sin x lub sin x - r lbo zpisze równość x + kr i stąd błędnie wyznczy rozwiązni równni, to otrzymuje punkty Jeżeli zdjący rozwiąże tylko jedno z równń sin x, sin x - lbo z kżdego z wymienionych równń pod tylko jedną serię wyników i konsekwentnie stosując włsności ciągu rytmetycznego obliczy sumę wszystkich rozwiązń nleżących do przedziłu 0r,, to otrzymuje punkty 5 pkt Zdnie (0 5) Urn zwier 5 kul ponumerownych od do 5 Losowno z niej osiem rzy ze zwrcniem po jednej kuli i zpisywno wylosowne numery kolejno, od strony lewej do prwej Zpisne cyfry utworzyły liczbę ośmiocyfrową Oblicz prwdopodobieństwo zdrzeni, że w doświdczeniu otrzymmy liczbę przystą, w której zpisie dziesiętnym znjdą się dokłdnie trzy trójki i co njmniej jedn piątk Wynik podj w postci nieskrclnego ułmk zwykłego Wymgnie ogólne III Modelownie mtemtyczne Wymgni szczegółowe R0 Elementy sttystyki opisowej Teori prwdopodobieństw i kombintoryk Zdjący wykorzystuje wzory n liczbę permutcji, kombincji, wricji i wricji z powtórzenimi do zliczni obiektów w brdziej złożonych sytucjch kombintorycznych Przykłdowe rozwiązni Wszystkie zdrzeni elementrne są jednkowo prwdopodobne, jest to ztem model klsyczny Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów W pierwszym wyznczymy liczbę wszystkich możliwych wyników doświdczeni losowego, czyli X W drugim etpie obliczymy, n ile sposobów w doświdczeniu losowym możn otrzymć liczbę przystą, w której zpisie dziesiętnym znjdą się dokłdnie trzy trójki i co njmniej jedn piątk, czyli A W trzecim etpie wyznczymy prwdopodobieństwo zjści zdrzeni A Relizcj pierwszego etpu Zdrzenimi elementrnymi są wszystkie ośmiowyrzowe ciągi o wyrzch ze zbioru {,,,, 5}, czyli wricje z powtórzenimi Liczb wszystkich możliwych wyników doświdczeni losowego jest ztem równ: X 5 8 9 z 0
Relizcj drugiego etpu Niech A ozncz zdrzenie, że utworzymy ośmiocyfrową liczbę przystą, w której zpisie dziesiętnym wystąpią dokłdnie trzy trójki i co njmniej jedn piątk Sposób I Njpierw obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych przystych z dokłdnie trzem trójkmi, przy czym cyfry wybiermy ze zbioru {,,,, 5} Nleży uwzględnić nstępujące wrunki: liczb m być przyst, ztem cyfrę jedności wybiermy spośród {, }, mją być dokłdnie trzy cyfry, ztem miejsc dl nich wybiermy n ` 7 j sposobów (bo osttnie miejsce jest już zjęte), pozostją cztery wolne miejsc, n które możemy wstwić po jednej cyfrze ze zbioru {,,, 5} Korzystjąc z reguły mnożeni, otrzymujemy: 7 7! $ ` j $ $! $! $ 56 7 90 wybór cyfry jedności Sposób II Zbiór wyników sprzyjjących zdrzeniu A możn podzielić n zdrzeni wykluczjące się, uwzględnijąc liczbę piątek w zpisie dziesiętnym liczby ośmiocyfrowej: 7 z dokłdnie jedną cyfrą 5: $ ` j $ $ 7560 7 z dokłdnie dwiem cyfrmi 5: $ ` j$ ` j$ 780 7 z dokłdnie trzem cyfrmi 5: $ ` j$ ` j$ 80 7 z dokłdnie czterem cyfrmi 5: $ ` j 70 Rzem: 7560 + 780 + 80 + 70 50 Ztem A 50 wybór miejsc dl trzech Relizcj trzeciego etpu Jest to model klsyczny, więc: A 50 98 98 P^Ah 8 5 X 5 5 5 Próbny egzmin mturlny z Nową Erą wybór pozostłych cyfr Nstępnie obliczymy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych przystych z dokłdnie trzem trójkmi i bez cyfry 5 7 7! $ ` j $ $! $! $ 8 5670 wybór cyfry wybór miejsc wybór jedności dl trzech pozostłych cyfr (bez 5 i ) Wszystkich ośmiocyfrowych liczb przystych, w których zpisie dziesiętnym znjdą się dokłdnie trzy trójki i co njmniej jedn piątk, jest: A 7 90-5670 50 Schemt ocenini Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów Etp pierwszy to ustlenie liczby wszystkich możliwych wyników doświdczeni losowego: X 5 8 Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt 0 z 0
Etp drugi to obliczenie, n ile sposobów w doświdczeniu losowym możn otrzymć liczbę przystą, w której zpisie dziesiętnym znjdą się dokłdnie trzy trójki i co njmniej jedn piątk Z tę część rozwiązni zdjący może otrzymć punkty Podził punktów z drugi etp rozwiązni: punkty zdjący otrzymuje wtedy, gdy: obliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych przystych z dokłdnie trzem trójkmi, o cyfrch ze zbioru {,,,, 5}: 7 90 lbo obliczy, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych przystych z dokłdnie trzem trójkmi i bez cyfry 5: 5670 lbo poprwnie rozwży przynjmniej jeden przypdek uwzględnijący liczbę piątek w zpisie dziesiętnym liczb ośmiocyfrowych przystych z dokłdnie trzem trójkmi, o cyfrch ze zbioru {,,,, 5}: z piątką - 7560, z piątkmi - 780, z piątkmi - 80, z piątkmi - 70 punkty zdjący otrzymuje wtedy, gdy obliczy liczbę wszystkich wyników sprzyjjących zdrzeniu A: A 50 Etp trzeci to obliczenie prwdopodobieństw i zpisnie wyniku w postci ułmk zwykłego 50 98 nieskrclnego: P^Ah 8 5 5 Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt Uwg Z osttni etp punkt może zostć przyznny również wtedy, gdy zdjący popełni błąd rchunkowy w pierwszym lub drugim etpie i konsekwentnie obliczy P^Ah, pod wrunkiem, że otrzym wrtość z przedziłu (0, ) Łącznie z poprwne rozwiąznie cłego zdni (podnie odpowiedzi) zdjący otrzymuje 5 punktów Zdnie (0 5) W ostrosłupie ABCS podstw ABC jest trójkątem równormiennym o rmionch AC i BC długości i kącie między nimi 0 Punkt E środek krwędzi AB jest spodkiem wysokości tego ostrosłup, krwędź boczn CS tworzy z podstwą kąt 60 Ostrosłup przecięto płszczyzną przechodzącą przez krwędź AB i mjącą z przeciwległą krwędzią boczną CS wspólny punkt D (jk n rysunku) Oblicz pole otrzymnego przekroju, wiedząc, że tworzy on z podstwą ostrosłup kąt 75 Podj dokłdny wynik obliczeń Wymgnie ogólne IV Użycie i tworzenie strtegii Wymgni szczegółowe 9 Stereometri Zdjący: P) rozpoznje w grnistosłupch i ostrosłupch kąt między odcinkmi i płszczyznmi (między krwędzimi i ścinmi, przekątnymi i ścinmi), oblicz miry tych kątów; P) rozpoznje w grnistosłupch i ostrosłupch kąty między ścinmi; R) określ, jką figurą jest dny przekrój grnistosłup lub ostrosłup płszczyzną; R75 Plnimetri Zdjący znjduje związki mirowe w figurch płskich z zstosowniem twierdzeni sinusów i twierdzeni cosinusów z 0
Przykłdowe rozwiąznie Wprowdzmy oznczeni n rysunku Zuwżmy, że w trójkącie EDC mir kt EDC jest równ 5 S D 5 60 C Obliczmy długość krwędzi AB, stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC AB $ -$ $ cos 0c AB AB 6^- h - Korzystmy z twierdzeni Pitgors w trójkącie EBC i wyznczmy wysokość EC EC EC -_ - i EC EC 6-8+ ^+ h + Odcinek ED jest wysokością przekroju ABD Jego długość obliczymy, stosując twierdzenie sinusów w trójkącie ECD ED EC sin 60c sin 5c ED ED + $ + $ 6 Pole przekroju ABD jest ztem równe: P ABD $ - $ + $ 6 P 6 - Schemt ocenini 75 A E B T, T ABD $, PT ABD 6 Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni Zdjący obliczy mirę kąt EDC równą 5 Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp Zdjący obliczy długość krwędzi AB - lbo wysokość podstwy ostrosłup: EC + i n tym zkończy lub dlej popełni błędy pkt pkt z 0
Pokonnie zsdniczych trudności zdni Próbny egzmin mturlny z Nową Erą Zdjący obliczy długość krwędzi AB - i wysokość podstwy ostrosłup: EC + lbo obliczy wysokość podstwy ostrosłup: EC + i wysokość przekroju ABD: ED + $ 6 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Rozwiąznie prwie pełne pkt Zdjący obliczy długości odcinków: AB (krwędź podstwy ostrosłup), EC (wysokość podstwy ostrosłup) i ED (wysokość trójkąt ABD, będącego przekrojem ostrosłup) i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Rozwiąznie pełne 5 pkt Zdjący obliczy pole przekroju ostrosłup: PT ABD 6 Uwgi Jeżeli zdjący rozptruje inną bryłę, np ostrosłup prwidłowy trójkątny lbo ostrosłup, którego ściny boczne są trójkątmi równobocznymi, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdjący błędnie interpretuje kąt nchyleni krwędzi bocznej do podstwy lub kąt nchyleni płszczyzny przekroju do podstwy, le przy korzystniu z włsności figur, w których te kąty nie występują, wykzuje się innymi umiejętnościmi mtemtycznymi, to otrzymuje co njwyżej punkt Jeżeli zdjący odczyt przybliżone wrtości funkcji trygonometrycznych z tblic i wykon obliczeni n przybliżenich, to otrzymuje co njwyżej punkty pkt Zdnie (0 6) Funkcj kwdrtow f^xh ^m-hx - ^m+ h x+ m- m dw różne miejsc zerowe x, x Wyzncz wszystkie wrtości prmetru m, dl których odległość między miejscmi zerowymi wynosi nie więcej niż Wymgnie ogólne III Modelownie mtemtyczne Wymgni szczegółowe R Liczby rzeczywiste Zdjący wykorzystuje pojęcie wrtości bezwzględnej i jej interpretcję geometryczną R Równni i nierówności Zdjący: ) rozwiązuje równni i nierówności liniowe i kwdrtowe z prmetrem; 8) rozwiązuje proste nierówności wymierne Przykłdowe rozwiązni Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów W pierwszym wyznczymy wszystkie wrtości prmetru m, dl których funkcj kwdrtow f m dw miejsc zerowe W drugim etpie wyznczymy te wrtości prmetru m, dl których odległość między dwom miejscmi zerowymi funkcji jest równ co njwyżej W trzecim etpie wyznczymy wszystkie wrtości prmetru m spełnijące wrunki zdni z 0
Relizcj pierwszego etpu Funkcj f jest trójminem kwdrtowym, gdy m -! 0, czyli m! Funkcj f m dw miejsc zerowe, gdy wyróżnik trójminu kwdrtowego jest dodtni ^m+ h -^m-h^m -h 0 / m + m+ - m + m+ m - 0 -m + 5m 0 -mm ^ -5h 0 0 5 m Ztem dl m! ^05, h \ $ funkcj f jest trójminem kwdrtowym i m dw różne miejsc zerowe Relizcj drugiego etpu Z geometrycznej interpretcji wrtości bezwzględnej wynik, że odległość między dwom miejscmi zerowymi funkcji jest równ wrtości bezwzględnej ich różnicy Nleży ztem rozwżyć wrunek x - x G Sposób I Korzystmy ze wzorów n pierwistki trójminu kwdrtowego -b + T b T - - - G T G Obie strony nierówności są dodtnie, więc podnosząc obie strony nierówności do kwdrtu, otrzymujemy nierówność równowżną: T G 6, ^- m + 5mh G 6, gdzie m! ^m - h ^m - h ^m - h Wyrżenie jest dodtnie, więc mnożąc obie strony osttniej nierówności przez, otrzymujemy nierówność równowżną - m + 5m G ^m - h ^m - m+ h + m -5m H 0 7m - m+ H 0 m! `-, 7,, j Sposób II Obie strony nierówności x- x G są dodtnie, więc podnosząc obie strony nierówności do kwdrtu, otrzymujmy nierówność równowżną ^x- xh G 6 ^x + x h -xx G 6 z 0
Stosujemy wzory Viète m + c ^ h m m m - - $ - m - G 6, gdzie m! ^m + m+ h ^m-h^m-h 6^m h ^m-h - - G 0 / $ ^m - h ^m - h ^m -- h Po uproszczeniu otrzymujemy nierówność Próbny egzmin mturlny z Nową Erą 7m - m+ H 0 m! `-, 7,, j Relizcj trzeciego etpu Wyznczmy iloczyn zbiorów otrzymnych w etpch pierwszym i drugim 0 7 5 Ztem odległość między miejscmi zerowymi funkcji kwdrtowej f jest równ co njwyżej, gdy m! `0, 7, 5, j Schemt ocenini Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów Etp pierwszy to ustlenie, dl jkich wrtości prmetru m funkcj f jest trójminem kwdrtowym i m dw miejsc zerowe:! 0 i T 0 dl m! ^05, h \ $ Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkty Uwg Jeżeli zdjący nie rozwży wrunku! 0 lub zpisze T H 0, to z tę część otrzymuje 0 punktów Etp drugi to rozwiąznie nierówności x- x G Z tę część rozwiązni zdjący otrzymuje punkty Podził punktów z drugi etp rozwiązni: T punkt zdjący otrzymuje z zpisnie nierówności w postci 6 G lub x x ^ + h - xx G 6 punkty zdjący otrzymuje z zpisnie nierówności z jedną niewidomą m, np w postci ^-m + 5mh m + G 6 lub c ^ h m m ^m - h m - - $ - m - G 6 punkty zdjący otrzymuje z rozwiąznie nierówności: m! `-, 7,, j Etp trzeci to wyznczenie części wspólnej rozwiązń wrunków z etpów pierwszego i drugiego: m! `0, 7, 5, j Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt Uwg Z osttni etp punkt może zostć przyznny tylko wtedy, gdy zdjący poprwnie wykon przynjmniej jeden z etpów (pierwszy lub drugi), pondto w obu etpch otrzym zbiory niepuste i różne od zbioru liczb rzeczywistych orz konsekwentnie wyznczy iloczyn tych zbiorów Łącznie z poprwne rozwiąznie cłego zdni (podnie odpowiedzi) zdjący otrzymuje 6 punktów 5 z 0
Zdnie (0 6) Wyzncz równni wszystkich wspólnych stycznych do prboli o równniu y x i do okręgu 5 o równniu x + `y+ j Wymgnie ogólne Wymgni szczegółowe IV Użycie i tworzenie P7 Plnimetri strtegii Zdjący korzyst z włsności stycznej do okręgu R8 Geometri n płszczyźnie krtezjńskiej Zdjący: ) oblicz odległość punktu od prostej; 5) posługuje się równniem okręgu ^x- h + ^y- bh r R Rchunek różniczkowy Zdjący korzyst z geometrycznej interpretcji pochodnej Przykłdowe rozwiązni Punkt P ` p, p j jest dowolnym punktem nleżącym do prboli o równniu y x Zczynmy od wyznczeni równni stycznej do tej prboli w punkcie P w zleżności od wrtości prmetru p! R W tym celu obliczmy pochodną funkcji f ^ x h x : f ' ^xh x Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wrtości pierwszej pochodnej funkcji w punkcie styczności Stąd f ' ^ph p Styczn do prboli w punkcie P wyrż się ztem równniem postci: y - p p ^ x - p h, y px - p Nstępnie tk dobiermy wrtość prmetru p, by prost o równniu y px - p był styczn do 5 okręgu o środku S `0, - j i promieniu r Sposób I Prost jest styczn do okręgu wtedy, gdy odległość środk okręgu od tej prostej jest równ promieniowi okręgu Przeksztłcmy równnie prostej: y px - p do postci ogólnej: px -y- p 0 / $ px -y- p 0 i ukłdmy równnie, stosując wzór n odległość punktu od prostej 5 - p ^ph + ^-h 5- p 8p + 8 Obie strony równni są nieujemne, więc podnosząc je do kwdrtu, otrzymujemy równnie równowżne 5-0p + p 8p + 8 p - 8p + 7 0 Podstwimy p t, gdzie t H 0, i otrzymujemy równnie: t - 8t+ 7 0, które spełniją dwie liczby: t, t 7 Więc: p lub p 7, p! ",, - 7, 7, 6 z 0
Prbol i okrąg mją ztem cztery wspólne styczne Są to proste o równnich: 7 7 y - x-, y x-, y - 7 x-, y 7 x- Sposób II Prost jest styczn do okręgu wtedy, gdy m z nim dokłdnie jeden punkt wspólny Nleży tk dobrć Z y px - p ] prmetr p, by ukłd równń: [ mił dokłdnie jedno rozwiąznie 5 ] x + `y+ j \ Rozwiązujemy ukłd równń metodą podstwini 5 x + ` px- p + j 5 5 x + p x + p + - px+ 5px - p - 0 5 ^ 7 + p hx + ^5p- p hx+ p - p + 0 Ukłd równń m dokłdnie jedno rozwiąznie (tzn prost m dokłdnie jeden punkt wspólny z okręgiem) wtedy, gdy wyróżnik otrzymnego równni kwdrtowego jest równy zero T 0 5 ^ 7 5p-p h - ^ + p h` p - p + j 0 5p - 0p + p 6 - ^+ p h^p - 0p + 7h 0 Po wykonniu mnożeni i redukcji wyrzów podobnych otrzymujemy równnie: p 8p + 7 0, które spełniją liczby: p! ",, - 7, 7, Prbol i okrąg mją ztem cztery wspólne styczne Są to proste o równnich: 7 7 y -x-, y x-, y - 7 x-, y 7 x- Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni pkt Zdjący zpisze współrzędne punktu leżącego n prboli w zleżności od jednej zmiennej, np P ` p, p j orz wyznczy pochodną funkcji f^xh x: f ' ^xh xi n tym zkończy lub dlej popełni błędy Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp pkt Zdjący wyznczy funkcję pochodną: f ' ^xh xi pod współczynnik kierunkowy stycznej do prboli w zleżności od pierwszej współrzędnej punktu styczności, np f ' ^ph p i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Pokonnie zsdniczych trudności zdni pkt Zdjący wyznczy równnie stycznej do prboli w zleżności od pierwszej współrzędnej punktu styczności: y px - p i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Rozwiąznie zdni do końc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np błędy rchunkowe) pkt Zdjący zpisze równnie z jedną niewidomą wynikjące z wrunku styczności prostej do okręgu, 5 - p 5 np lub ^ 7 5p-p h - ^ + p h` p p ^ph + ^-h - + j 0 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy 7 z 0
Rozwiąznie prwie pełne 5 pkt Zdjący pod rozwiązni równni: p! ",, - 7, 7, i poprzestnie n tym lub rozwiąże zdnie do końc z błędem rchunkowym (nwet n wcześniejszych etpch rozwiązni), le otrzym cztery styczne Rozwiąznie pełne 6 pkt Zdjący pod równni wspólnych stycznych prboli i okręgu: y -x-, y x-, 7 7 y - 7 x-, y 7 x- Zdnie 5 (0 7) Prost o równniu: y x+ przecin hiperbolę o równniu: y x w dwóch punktch, A i B Wyrź długość odcink AB w zleżności od wrtości prmetru 0 Wyzncz równnie prostej, któr przecin opisną hiperbolę tk, że długość odcink AB jest njmniejsz Wymgnie ogólne III Modelownie mtemtyczne Wymgni szczegółowe R6 Rchunek różniczkowy Zdjący stosuje pochodne do rozwiązywni zgdnień optymlizcyjnych R Równni i nierówności Zdjący rozwiązuje ukłdy równń prowdzące do równń kwdrtowych P86 Geometri n płszczyźnie krtezjńskiej Zdjący oblicz odległość dwóch punktów Przykłdowe rozwiąznie Wyznczmy współrzędne punktów wspólnych prostej i hiperboli W tym celu rozwiązujemy ukłd równń y x+ *, gdzie x! 0 i 0 y x x+ x x + x - 0 T ^h- $ $ ^-h 5 T 5-5, bo 0 x x - *, * y y - Prost i hiperbol mją ztem dw punkty wspólne: A `, j, B `-, -j Obliczmy długość odcink AB AB ` + j + ^+ h AB + 5 $, gdzie! ^-, 0h Rozwżmy funkcję pomocniczą określoną wzorem f^h +, D f ^-, 0h Funkcj g^xh x jest rosnąc w przedzile 0, h z czego wynik, że funkcje AB i f mją tkie sme przedziły monotoniczności, ekstrem loklne (tego smego rodzju) przyjmują dl tych smych rgumentów 8 z 0
Wyznczmy pochodną funkcji f Próbny egzmin mturlny z Nową Erą 5 - ^ + h f ' ^h 5 f ' - ^ h, Df' Df ^-, 0h Obliczmy miejsc zerowe pochodnej 5 f ' ^h 0 + - 0 ^- h^+ h^ + h 0 0,, -, g D f Bdmy znk pochodnej w dziedzinie Poniewż minownik pochodnej jest dodtni, wystrczy zbdć znk licznik ++++++++ 0 f ' ^h 0 dl! ^-, -h orz f ' ^h 0 dl! ^-0, h Ztem funkcj f jest mlejąc w przedzile ^ -,- i rosnąc w przedzile -0, h Wynik stąd, że dl - funkcj f osiąg wrtość njmniejszą, więc i długość odcink AB jest njmniejsz, gdy - Szukn prost jest więc określon równniem: y x- Schemt ocenini Rozwiąznie zdni skłd się z trzech etpów Etp pierwszy to: y x+ ) zpisnie ukłdu równń: * orz wyprowdzenie z niego równni z jedną y x niewidomą i prmetrem, np x + x ; b) wyznczenie współrzędnych punktów wspólnych prostej i hiperboli w zleżności od wrtości prmetru 0, np A `, j, B `-, - j; c) zpisnie długości odcink AB jko funkcji zmiennej : AB + 5 $, gdzie! ^-, 0h Zdjący otrzymuje po punkt z relizcję kżdej z części tego etpu Etp drugi to: ) wyznczenie pochodnej funkcji wymiernej f + 5 ^ h : f ' - ^ h ; b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: 0,, - ; c) uzsdnienie, że funkcj f osiąg wrtość njmniejszą dl - Z poprwne rozwiąznie kżdej z części tego etpu zdjący otrzymuje punkt 9 z 0
Uwg W uzsdnieniu przyjmowni wrtości njmniejszej nie wystrcz stwierdzenie, że skoro pochodn zmieni znk z - n +, to dl - funkcj f osiąg minimum Uzsdnienie uznjemy z poprwne, jeżeli ze znku pochodnej zdjący określi przebieg funkcji w dziedzinie (np pod przedziły monotoniczności, zbuduje tbelę przebiegu zmienności lub nszkicuje wykres) i stąd wywnioskuje fkt, że funkcj f przyjmuje wrtość njmniejszą dl - Etp trzeci to wyznczenie równni prostej, któr przecin hiperbolę o równniu y x tk, że długość odcink AB jest njmniejsz: y x- Z poprwne rozwiąznie tego etpu zdjący otrzymuje punkt Uwgi Jeżeli zdjący zpisze długość odcink AB w zleżności od zmiennej, popełnijąc błąd rchunkowy, który nie ułtwi zncząco dlszych obliczeń, to może otrzymć co njwyżej 6 punktów Jeżeli zdjący zpisze długość odcink AB w zleżności od zmiennej, popełnijąc błąd merytoryczny, i otrzym zupełnie inną funkcję (np wielomin), to może otrzymć co njwyżej punkty (z etp I) 0 z 0