Geometria rozmaitości modułów nad oswojonymi algebrami kwaziodwróconymi

UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU Grzegorz Bobiński Geometria rozmaitości modułów nad oswojonymi algebrami kwaziodwróconymi Rozprawa doktorska przygotowana w Zakładzie Algebry i Topologii Wydziału Matematyki i Informatyki pod kierunkiem prof. dr hab. Andrzeja Skowrońskiego TORUŃ 2000

Spis treści Wstęp 3 1 Algebry kwaziodwrócone 7 1.1 Kołczany i ich reprezentacje................... 7 1.2 Algebry dziedziczne........................ 11 1.3 Algebry odwrócone i tubularne................. 13 1.4 Algebry kanoniczne........................ 16 1.5 Oswojone algebry kwaziodwrócone............... 20 2 Rozmaitość modułów 23 2.1 Redukowalność.......................... 23 2.2 Degeneracje............................ 27 2.3 Normalność rozmaitości modułów................ 29 3 Geometria modułów periodycznych 33 3.1 Stabilne rury........................... 33 3.2 Wymiar.............................. 37 3.3 Normalność............................ 40 3.4 Orbity maksymalne........................ 44 4 Geometria modułów kierujących 49 4.1 Moduły kierujące i moduły odwracające............ 49 4.2 Wymiar i orbity maksymalne.................. 53 4.3 Geometria modułów odwracających............... 56 4.4 Geometria modułów preprojektywnych............. 59 1

2 Spis treści 5 Geometria nierozkładalnych modułów kierujących 63 5.1 Nierozkładalne moduły kierujące................ 63 5.2 Składowe nieprzywiedlne..................... 65 5.3 Normalność............................ 67 5.4 Wyjątkowe moduły kierujące................... 71 5.5 Główne wyniki.......................... 77 6 Geometria modułów nierozkładalnych 79 6.1 Rury promieniowe......................... 79 6.2 Moduły nierozkładalne...................... 82 6.3 Główne wyniki.......................... 87 7 Przykłady 91 Spis cytowanej literatury 99 Skorowidz symboli 105 Skorowidz nazw 107 Życiorys autora 109

Wstęp Zgodnie z twierdzeniem Drozda o dychotomii pochodzącym z pracy [Dr] (patrz także [CB]) skończenie wymiarowe algebry nad ciałem algebraicznie domkniętym mogą być podzielone na dwie rozłączne klasy. Pierwsza z nich składa się z algebr oswojonych, dla których dla każdej liczby naturalnej d nierozkładalne moduły wymiaru d tworzą skończoną liczbę jednoparametrycznych lub jednopunktowych rodzin. Druga klasa składa się algebr dzikich, dla których klasyfikacja modułów nierozkładalnych równoważna jest klasyfikacji skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z działaniem dwóch endomorfizmów. Problem ten jest dobrze znanym nierozwiązanym problemem równoważnym klasyfikacji skończenie wymiarowych modułów nad dowolną skończenie wymiarową algebrą. Zatem realnie oceniając można liczyć na pełną klasyfikację skończenie wymiarowych modułów tylko w przypadku algebr oswojonych. Jeśli dana jest algebra A i nieujemny wektor d należący do grupy Grothendiecka K 0 (A), to możemy rozważać stowarzyszoną z nimi rozmaitość afiniczną mod A (d) A-modułów o wektorze wymiaru d. Na rozmaitości tej mamy określone działanie produktu GL(d) odpowiednich grup liniowych, którego orbity pozostają w jednojednoznacznej odpowiedniości z klasami izomorfizmów A-modułów o wektorze wymiaru d. Interesującym problemem jest badanie własności geometrycznych rozmaitości mod A (d) takich jak nieprzywiedlność, normalność, czy też wymiar. Wśród prac podejmujących tę problematykę można wymienić [Bon4], [Bon5], [CoSt], [Kr1], [Pe1], [Rin1] i inne, z których część pojawi się jako referencje w dalszym toku pracy. W ostatnim okresie uzyskano także wyniki charakteryzujące pewne wyróżnione klasy algebr oswojonych w terminach geometrycznych (patrz prace [PeSk], [SkWey], [SkZw1] i [SkZw2]). Istotną rolę w teorii reprezentacji algebr odgrywają algebry kwaziodwrócone, które są algebrami endomorfizmów odwracających obiektów w dziedzicznych kategoriach abelowych. W pracy [HaReSm] pokazano, że klasa algebr kwaziodwróconych pokrywa się z klasą algebr globalnego wymiaru co najwyżej 2, dla których każdy nierozkładalny moduł ma projektywny 3

4 Wstęp bądź injektywny wymiar nie większy od 1. Klasycznymi przykładami algebr kwaziodwróconych są algebry odwrócone, tubularne i kanoniczne. Ostatnio Dieter Happel w pracy [Ha] przedstawił twierdzenie strukturalne opisujące dziedziczne kategorie abelowe posiadające obiekty odwracające. Opis ten wspólnie z pracą [LeSk] daje pełną klasyfikację algebr kwaziodwróconych. Równocześnie z próbami klasyfikacji algebr kwaziodwróconych prowadzone były badania mające na celu opisanie struktury kategorii modułów dla oswojonych algebr kwaziodwróconych (patrz między innymi [Rin2] oraz prace [Ke] i [Pe2]). Ostateczny wynik w tym kierunku został uzyskany przez Andrzeja Skowrońskiego w pracy [Sk3]. Poza opisem kategorii modułów w terminach kołczanu Auslandera Reiten pokazano tam między innymi, że algebra kwaziodwrócona jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy stowarzyszona z nią forma Eulera jest słabo nieujemna, tzn. przyjmuje nieujemne wartości dla wektorów wymiaru skończenie wymiarowych A-modułów. Ponadto, gdy algebra A jest oswojona, to wektory wymiaru nierozkładalnych A-modułów są pierwiastkami bądź wektorami radykalnymi tej formy. Pełny opis kategorii modułów dla oswojonych algebr kwaziodwróconych uzyskany w pracy [Sk3] stwarza nadzieję na wykorzystanie go do zbadania własności rozmaitości mod A (d) w sytuacji, gdy A jest oswojoną algebrą kwaziodwróconą. Aby było to możliwe niezbędna jest znajomość faktów wiążących własności punktów rozmaitości mod A (d) z własnościami odpowiadających im A-modułów. W rozważaniach, które będziemy prowadzić w tej pracy, kluczową rolę odgrywać będą dwa fakty. Pierwszy z nich autorstwa Detlefa Voigta pochodzący z pracy [Voi] wiąże pierwszą grupę samorozszerzeń modułu M z przestrzenią styczną do rozmaitości w punkcie odpowiadającym modułowi M. Drugi rezultat udowodniony przez Skowrońskiego i Zwarę w pracach [SkZw1] i [Zw] wyraża wzajemne relacje pomiędzy domknięciami GL(d)-orbit w mod A (d) w terminach krótkich ciągów dokładnych. W pracy naszym celem jest opisanie własności rozmaitości mod A (d) w sytuacji, gdy A jest oswojoną algebrą kwaziodwróconą, zaś d jest wektorem wymiaru A-modułu mającego pewne ustalone własności. Opis ten będzie szczególnie precyzyjny i wyczerpujący w sytuacji, gdy d jest wektorem wymiaru nierozkładalnego A-modułu. W rozdziale 1 wprowadzimy podstawowe definicje oraz przedstawimy kluczowe fakty dotyczące teorii reprezentacji algebr kwaziodwróconych. Przyjrzymy się w szczególności bliżej algebrom kanonicznym, które odegrają istotną rolę w rozdziale 5. Kolejny rozdział poświęcony będzie zdefiniowaniu rozmaitości modułów oraz prezentacji metod, którymi będziemy posługiwać się przy ich badaniu. W szczególności zamieszczone w nim będzie kryterium normalności rozmaitości mod A (d), a także charakteryzacja porządku degeneracyjnego w terminach

Wstęp 5 ciągów dokładnych. Rozdział 3 będzie pierwszym z serii rozdziałów poświęconych omawianiu otrzymanych wyników. W rozdziale tym skoncentrujemy się na sytuacji, gdy algebra A jest oswojoną algebrą ukrytą lub algebrą tubularną, zaś d wektorem wymiaru A-modułu, który jest periodyczny ze względu na działanie translacji Auslandera Reiten τ A. Okazuje się, że w tym przypadku rozmaitość mod A (d) jest normalnym i nieprzywiedlnym zupełnym przekrojem. Wyniki uzyskane w tym rozdziale będą miały zastosowanie w przypadku, gdy A jest dowolną oswojoną algebrą kwaziodwróconą, zaś d wektorem wymiaru nierozkładalnego A-modułu τ A -periodycznego. W rozdziale 4 zajmiemy się badaniem rozmaitości mod A (d) w sytuacji, gdy d jest wektorem wymiaru kierującego modułu M nad algebrą oswojoną A. W tej sytuacji bez straty ogólności możemy założyć, że algebra A jest odwrócona, co pozwala sprowadzić rozważania do wyjściowej klasy algebr. Pokażemy, że rozmaitość mod A (d) jest zupełnym przekrojem oraz udowodnimy, że gdy dodatkowo moduł M jest odwracający lub preprojektywny (dualnie preinjektywny), to rozmaitość mod A (d) jest normalna i nieprzywiedlna. W następnym rozdziale uściślimy nasze rozważania dotyczące geometrii modułów kierujących w przypadku nierozkładalnych modułów kierujących. Wykażemy, że w tej sytuacji rozmaitość mod A (d) może mieć co najwyżej dwie składowe nieprzywiedlne, oraz że jej nieprzywiedlność jest równoważna normalności. Opiszemy też dokładnie algebry A i wektory wymiaru d, dla których rozmaitość mod A (d) jest przywiedlna. Rozdział 6 stanowić będzie dopełnienie rozważań poświęconych rozmaitości mod A (d) dla oswojonych algebr kwaziodwróconych A oraz wektorów wymiaru d nierozkładalnych A-modułów. Dzięki wspomnianym wcześniej wynikom Skowrońskiego wektory te mają dobrą charakteryzację kombinatoryczną w terminach formy Eulera. Odgrywa to istotną rolę w badaniach stowarzyszonych z nimi rozmaitości modułów, a także pozwala rozpoznawać te wektory wymiaru bez znajomości odpowiadających im modułów. Opis rozmaitości mod A (d) będzie podobny do tego uzyskanego dla nierozkładalnych modułów kierujących. Ostatni rozdział stanowić będzie ilustrację prowadzonych we wcześniejszych rozdziałach rozważań. Można w nim też będzie znaleźć uwagi dotyczące trudności na jakie napotyka się próbując rozszerzyć przedstawione w pracy wyniki na inne klasy algebr. Autor składa podziękowania Panu prof. dr hab. Andrzejowi Skowrońskiemu za liczne dyskusje i uwagi dotyczące przedstawianych w pracy zagadnień. Badania w toku których uzyskane zostały prezentowane w pracy wyniki finansowane były ze źródeł KBN, grant KBN 2PO3A 012 14, oraz FNP.

Rozdział 1 Algebry kwaziodwrócone W tym rozdziale naszym celem będzie przedstawienie podstawowych faktów z teorii reprezentacji algebr kwaziodwróconych, które będziemy wykorzystywać w pracy. Jako główne źródło przedstawionych tutaj wiadomości i ich dowodów można traktować książki [AsSiSk] oraz [Rin2]. W książkach tych można też znaleźć fakty dotyczące kategorii modułów nad oswojonymi algebrami kwaziodwróconymi, które będziemy wykorzystywać bez powoływania się na konkretne pozycje w następnych rozdziałach. 1.1. Kołczany i ich reprezentacje Przez całą pracę K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. Przez algebrę będziemy zwykle rozumieć skończenie wymiarową łączną K- algebrę z jedynką, zaś przez moduł skończenie wymiarowy lewy moduł. Będziemy zazwyczaj zakładać, że rozważane algebry są bazowe. Przypomnijmy, że algebrę A nazywamy bazową, o ile A/ rad A K K. Wiadomo, że dla dowolnej algebry A istnieje wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu algebra bazowa A 0 taka, że kategorie A-modułów i A 0 -modułów są równoważne. Z pracy [Bon4] wynika też, że ograniczenie się do rozważania algebr bazowych jest dopuszczalne z geometrycznego punktu widzenia. Jeśli A jest algebrą, to kategorię A-modułów oznaczać będziemy przez mod A, zaś ind A oznaczać będzie pełną podkategorię w mod A, której obiektami są moduły nierozkładalne. Niech Q będzie skończonym kołczanem, tzn. zorientowanym grafem. Przez Q 0 oznaczać będziemy zbiór wierzchołków kołczanu Q, zaś przez Q 1 zbiór jego strzałek. Dla każdej strzałki α s(α) oznaczać będzie początek strzałki α, zaś t(α) jej koniec. Podobne oznaczenie stosować będziemy także dla dróg (ciągów α r α 1 strzałek, dla których s(α i+1 ) = t(α i ), i = 1,..., r 1) i 7

8 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone relacji (kombinacji liniowych dróg o tym samym początku i końcu) w kołczanie Q. Przez KQ oznaczymy algebrę dróg kołczanu Q, tj. algebrę określoną poprzez mnożenie indukowane przez składanie dróg w przestrzeni liniowej, której bazę stanowią wszystkie drogi w kołczanie Q. Ideał I KQ nazywamy dopuszczalnym, gdy istnieje liczba naturalna n taka, że r n I r 2, gdzie r jest ideałem w KQ generowanym przez strzałki. Parę (Q, I), gdzie Q jest skończonym kołczanem, zaś I KQ ideałem dopuszczalnym, nazywać będziemy kołczanem ograniczonym przez ideał I, natomiast algebrę KQ/I algebrą dróg kołczanu ograniczonego (Q, I). Zauważmy, że gdy I KQ jest ideałem dopuszczalnym, to rad KQ/I = r/i. Każdy ideał dopuszczalny w algebrze KQ jest generowany przez skończony zbiór relacji. Niech A będzie algebrą. Dzięki założeniu bazowości algebrę A możemy przedstawić jako algebrę dróg KQ/I ograniczonego kołczanu (Q, I). Kołczan Q jest wyznaczony jednoznacznie przez algebrę A i będziemy go nazywać kołczanem algebry A. Wierzchołki kołczanu Q można utożsamiać z klasami izomorfizmów prostych A-modułów, natomiast ilość strzałek pomiędzy wierzchołkami odpowiadającymi klasom [S 1 ] i [S 2 ] równa jest wymiarowi przestrzeni Ext 1 A(S 1, S 2 ), gdzie S 1 i S 2 są dwoma prostymi A-modułami, natomiast przez [X] oznaczamy klasę izomorfizmu modułu X. Niech Q będzie kołczanem. Reprezentacją kołczanu Q nazwiemy układ V = (V x, V α ) skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych V x, x Q 0, i przekształceń liniowych V α : V s(α) V t(α), α Q 1. Jeśli V = (V x, V α ) i W = (W x, W α ) są dwiema reprezentacjami kołczanu Q, to każdy układ f = (f x ) przekształceń liniowych f x : V x W x, x Q 0, spełniających warunki f t(α) V α = W α f s(α), α Q 1, nazywamy morfizmem reprezentacji V i W. Kategorię reprezentacji kołczanu Q oznaczać będziemy przez rep K Q. Niech V = (V x, V α ) będzie reprezentacją kołczanu Q. Jeśli ω = α r α 1 jest drogą w kołczanie Q, to piszemy V ω := V αr V α1. Podobnie dla relacji ρ = λ 1 ω 1 + + λ k ω k piszemy V ρ := λ 1 V ω1 + + λ k V ωk. Mówimy, że reprezentacja V spełnia relację ρ, gdy V ρ = 0. Jeśli A = KQ/I jest algebrą dróg ograniczonego kołczanu (Q, I), to kategoria A-modułów jest równoważna kategorii reprezentacji kołczanu Q spełniających wszystkie relacje należące do I, którą oznaczamy przez rep K (Q, I), i którą nazywamy kategorią reprezentacji kołczanu ograniczonego (Q, I). Równoważność tę zadaje funktor przyporządkowujący każdemu modułowi M mod A reprezentację (M x, M α ) rep K (Q, I), gdzie M x := e x M, x Q 0, zaś M α : M s(α) M t(α), α Q 1, jest wyznaczone poprzez mnożenie przez α. W powyższym wzorze e x oznacza drogę trywialną o początku i końcu w wierzchołku x. Z reprezentacją (V x, V α ) związujemy moduł zdefiniowany w przestrzeni liniowej x Q 0 V x, w którym mnożenie przez strzałkę α indukowane jest przez V α. Powyższe funktory na morfizmach zadane są w naturalny sposób. Odtąd będziemy często

1.1. Kołczany i ich reprezentacje 9 utożsamiać A-moduły z odpowiadającymi im reprezentacjami oraz vice versa. Dzięki powyższemu utożsamieniu można pokazać, że grupa Grothendiecka K 0 (A) jest izomorficzna z Z Q 0. Izomorfizm ten też będziemy traktować jako utożsamienie. Dla każdego A-modułu M mamy wektor wymiaru dim M K 0 (A) zdefiniowany wzorem (dim M) x := dim K M x dla x Q 0. Element d K 0 (A) dla którego istnieje A-moduł M taki, że d = dim M, będziemy nazywać wektorem wymiaru. Łatwo zauważyć, że wektor d K 0 (A) jest wektorem wymiaru wtedy i tylko wtedy, gdy d x 0 dla wszystkich x Q 0. Dla algebry A = KQ/I możemy opisać proste moduły oraz nierozkładalne moduły projektywne i injektywne. Jeśli x Q 0 jest wierzchołkiem kołczanu Q 0, to przez S A (x) oznaczać będziemy A-moduł zdefiniowany, jako reprezentacja kołczanu (Q, I), wzorami S A (x) x := K, S A (x) y := 0 dla y x i S A (x) α = 0 dla α Q 1. Moduły S A (x), x Q 0, tworzą pełny układ parami nieizomorficznych prostych A-modułów. Jeśli x jest wierzchołkiem kołczanu Q odpowiadającym klasie izomorfizmu modułu prostego S, to S A (x) S. Niech P A (x) będzie nakryciem projektywnym modułu S A (x), zaś I A (x) jego powłoką injektywną. Wtedy P A (x) Ae x i I A (x) D(e x A), gdzie D( ) := Hom K (, K). Moduły P A (x), x Q 0, pełny układ parami nieizomorficznych nierozkładalnych A-modułów projektywnych, natomiast moduły I A (x), x Q 0, pełny układ parami nieizomorficznych nierozkładalnych A-modułów injektywnych. Dla nierozkładalnych modułów projektywnych i injektywnych mamy proste wzory na wymiary przestrzeni homomorfizmów. Dokładniej, dim K Hom A (P A (x), M) = (dim M) x = dim K Hom A (M, I A (x)) dla dowolnego A-modułu M. Jeśli jest kołczanem, to kategorią dróg kołczanu nazywamy kategorię, której obiektami są wierzchołki kołczanu, zaś dla x, y 0 przestrzeń morfizmów z x do y jest to przestrzeń liniowa, której bazę stanowią drogi o początku x i końcu y. Kategorię dróg kołczanu oznaczać będziemy przez K, gdyż jest ona uogólnieniem pojęcia algebry dróg kołczanu na przypadek, gdy kołczan nie jest skończony. Jeśli kołczan jest skończony, to każdy ideał dopuszczalny w algebrze dróg kołczanu wyznacza w oczywisty sposób ideał w kategorii dróg kołczanu. W szczególności algebrę A = KQ/I dróg ograniczonego kołczanu (Q, I) możemy utożsamić z kategorią ilorazową kategorii dróg kołczanu Q przez ideał w tej kategorii wyznaczony przez I. Przy takim spojrzeniu A-moduły, a więc reprezentacje kołczanu (Q, I), odpowiadają kowariantnym funktorom z kategorii A, rozumianej jak wyżej, do kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych. Niech M będzie A-modułem. Przez supp M oznaczać będziemy pełną podkategorię algebry A, której obiektami są te wierzchołki x kołczanu Q, dla których M x = e x M 0. Powyższą kategorię będziemy nazywać nośnikiem

10 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone modułu M. W podobny sposób definiujemy nośnik supp d wektora wymiaru d K 0 (A). Moduł M nazwiemy wiernym, gdy supp M = A. Pełną podkategorię B algebry A nazywać będziemy wypukłą, jeśli dla każdej drogi ω = α r α 1 takiej, że s(ω), t(ω) B, mamy s(α i ), t(α i ) B dla wszystkich i. Zauważmy, że jeśli B jest wypukłą podkategorią algebry A, to B jako algebra jest izomorficzna z A/J, gdzie J jest ideałem w A generowanym przez wszystkie drogi e x, x B. Dzięki temu każdy B-moduł jest także A-modułem. Z drugiej strony, gdy M jest A-modułem, którego nośnik zawarty jest w B, to JM = 0, a więc M ma też strukturę B-modułu. Podkategorie wypukłe odgrywają istotną rolę, gdyż jeśli B jest podkategorią wypukłą algebry A, zaś M i N są dwoma B-modułami (równoważnie dwoma A-modułami o nośnikach zawartych w B), to Ext i A(M, N) = Ext i B(M, N) dla i 0. Jeśli M jest dowolnym A-modułem i B wypukłą podkategorią algebry A, to przez M B oznaczać będziemy moduł otrzymany z modułu M, traktowanego jako reprezentacja kołczanu A, przez ograniczenie do kołczanu algebry B (innymi słowy, ograniczenie funktora stowarzyszonego z modułem M do podkategorii B). Oczywiście M B M, gdy nośnik modułu M jest zawarty w B. Podobnie przez d B będziemy oznaczać wektor wymiaru otrzymany z d przez ograniczenie wektora d do kołczanu algebry B. Niech A = KQ/I będzie algebrą. Przez ν A oznaczać będziemy funktor Nakayamy ν A ( ) := D Hom A (, A). Funktor ten ustala równoważność pomiędzy kategoriami A-modułów projektywnych i A-modułów injektywnych. Zauważmy, że ν A (P A (x)) I A (x) dla każdego wierzchołka x kołczanu Q. Niech M będzie A-modułem. Ustalmy minimalną prezentację projektywną f P 0 P1 M 0 modułu M (jako źródło wykorzystywanych faktów z zakresu algebry homologicznej polecamy książkę [Bal]). Wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu moduł Ker ν A (f) oznaczać będziemy przez τ A M. Podobnie, wykorzystując funktor ν A := Hom A(D(A), ) i minimalne prezentacje injektywne, możemy zdefiniować przyporządkowanie τ A. Przyporządkowania τ A i τ A noszą nazwę translacji Auslandera Reiten. Jeśli X jest nierozkładalnym A-modułem nieprojektywnym, to τ A X jest nierozkładalnym A-modułem nieinjektywnym i τ A τ AX X. Podobnie, gdy X jest nierozkładalnym A-modułem nieinjektywnym, to τ A X jest nierozkładalnym A-modułem nieprojektywnym i τ A τ A X X. Ponadto dla każdego nierozkładalnego nieprojektywnego A-modułu X mamy wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu ciąg dokładny 0 τ A X M X 0 taki, że dla dowolnego N mod A indukowane odwzorowanie Hom A (N, M) Hom A (N, X) jest epimorfizmem na rad A (N, X) (równoważnie epimorfizmem na rad A (τ A X, N) jest odwzorowanie Hom A (M, N)

1.2. Algebry dziedziczne 11 Hom A (τ A X, N)). W powyższych wzorach rad A oznacza radykał Jacobsona kategorii mod A. Ciągi powyższej postaci nazywamy ciągami Auslandera Reiten. Krotność, z jaką dowolny moduł nierozkładalny Y występuje w powyższym ciągu w rozkładzie modułu M na sumę prostą modułów nierozkładalnych, równa jest wymiarowi przestrzeni liniowej rad A (Y, X)/ rad 2 A(Y, X) (równoważnie wymiarowi przestrzeni liniowej rad(τ A X, Y )/ rad 2 (τ A X, Y )). Translacje Auslandera Reiten są przydatne przy liczeniu grup rozszerzeń oraz badaniu wymiarów homologicznych modułów. Wiadomo bowiem, że Ext 1 A(X, Y ) D Hom A (Y, τ A X) D Hom A (τ A Y, X), gdzie dla dowolnych A-modułów M i N Hom A (M, N) oznacza iloraz przestrzeni Hom A (M, N) przez podprzestrzeń tych homomorfizmów z M do N, które faktoryzują się przez moduły injektywne. Podobnie Hom A (M, N) jest ilorazem przestrzeni Hom A (M, N) przez podprzestrzeń homomorfizmów faktoryzujących się przez moduły projektywne. Wzory powyższe noszą nazwę wzorów Auslandera Reiten. Wiadomo także, że jeśli M jest A-modułem, to pd A M 1 wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma niezerowych odwzorowań z modułów injektywnych do τ A M. Podobnie id A M 1 wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń homomorfizmów z τ A M do dowolnego modułu projektywnego jest zerowa. Łącząc te reguły z wcześniejszymi wzorami otrzymujemy, że Ext 1 A(X, Y ) D Hom A (Y, τ A X), gdy pd A X 1, oraz Ext 1 A(X, Y ) D Hom A (τ A Y, X), gdy id A Y 1. Kołczanem z translacją nazywamy trójkę (Γ 0, Γ 1, τ), gdzie (Γ 0, Γ 1 ) jest lokalnie skończonym kołczanem (tzn. w każdym wierzchołku zaczyna się i kończy się tylko skończona ilość strzałek), zaś τ : Γ 0 Γ 0, dla Γ 0 Γ 0, jest funkcją różnowartościową zwaną translacją. Translacja τ musi spełniać warunek, że dla każdych dwóch wierzchołków x Γ 0 i y Γ 0 ilość strzałek z y do x równa jest ilości strzałek z τx do y. Z każdą algebrą A możemy związać kołczan z translacją, zwany kołczanem Auslandera Reiten algebry A, który będziemy oznaczać przez Γ A. Wierzchołkami kołczanu Γ A są w klasy izomorfizmów nierozkładalnych A-modułów. Często będziemy utożsamiać moduł nierozkładalny X z odpowiadającym mu wierzchołkiem [X] kołczanu Γ A. Jeśli X i Y są dwoma A-modułami nierozkładalnymi, to ilość strzałek w Γ A z wierzchołka [X] do wierzchołka [Y ] równa jest wymiarowi przestrzeni rad A (X, Y )/ rad 2 A(X, Y ). Translacja w kołczanie Γ A indukowana jest przez translację Auslandera Reiten τ A. 1.2. Algebry dziedziczne Algebra A jest skończonego typu reprezentacyjnego, jeśli istnieje tylko skończenie wiele klas izomorfizmów nierozkładalnych A-modułów. Algebry, które

12 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone nie są skończonego typu reprezentacyjnego, nazywamy algebrami nieskończonego typu reprezentacyjnego. Algebrę A nazwiemy oswojoną (oswojonego typu reprezentacyjnego), jeśli dla każdej liczby naturalnej d istnieją A-K[X]- bimoduły M 1,..., M nd, które są wolne skończonej rangi jako prawe K[X]- moduły oraz prawie wszystkie, z dokładnością do izomorfizmu, d-wymiarowe nierozkładalne A-moduły są postaci M i K[X] K[X]/(X λ) dla pewnych i {1,..., n} i λ K. Algebra A jest dzika (dzikiego typu reprezentacyjnego), gdy istnieje A-K X, Y -bimoduł M wolny skończonej rangi jako prawy K X, Y -moduł i taki, że funktor M K X,Y : mod K X, Y mod A zachowuje nierozkładalność i nieizomorficzność modułów. W powyższych wzorach K X, Y oznacza wolną algebrą nieprzemienną o dwóch generatorach, zaś mod K X, Y kategorię skończenie wymiarowych modułów nad tą algebrą. Zgodnie z twierdzeniem Drozda zawartym w pracy [Dr] każda algebra jest albo oswojona albo dzika, ale nie może być jednocześnie dzika i oswojona. Niech A = KQ/I będzie algebrą dróg ograniczonego kołczanu (Q, I). Algebra A jest dziedziczna wtedy i tylko wtedy, gdy w kołczanie Q nie ma zorientowanych cykli oraz I = 0. Przypuśćmy, że A jest dziedziczną algebrą spójną. Wtedy A jest skończonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest typu Dynkina, tzn. gdy Q jest kołczanem Dynkina (patrz [Ga], także [BeGePo]). Algebra A jest algebrą oswojoną nieskończonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy jest typu Euklidesa (patrz [DonFr] i [Na]). Niech A będzie algebrą dziedziczną. Nierozkładalny A-moduł X nazwiemy preprojektywnym, gdy istnieje liczba naturalna m taka, że τa m X jest modułem projektywnym. Podobnie nierozkładalny A-moduł X nazwiemy preinjektywnym, gdy τ m A X jest modułem injektywnym dla pewnej liczby naturalnej m. Pozostałe nierozkładalne A-moduły nazywamy modułami regularnymi. Są one scharakteryzowane przez własność τ m τ m X X dla wszystkich liczb całkowitych m. O modułach preprojektywnych, preinjektywnych i regularnych będziemy mówić też w kontekście modułów rozkładalnych. Moduł M jest preprojektywny (odpowiednio preinjektywny, regularny), gdy jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preprojektywnych (odpowiednio preinjektywnych, regularnych). Niech A będzie spójną algebrą dziedziczą i P(A) pełnym podkołczanem z translacją kołczanu Γ A, którego wierzchołkami są klasy izomorfizmów nierozkładalnych A-modułów preprojektywnych. Wtedy P(A) jest składową kołczanu Γ A. Składowa ta nie zawiera zorientowanych cykli i ma skończoną ilość τ A -orbit, z których każda zawiera wierzchołek projektywny. Każdy spójny kołczan z translacją mający powyższe własności nazywać będziemy preprojektywnym. Dzięki temu będziemy mogli mówić o składowych i modułach preprojektywnych dla dowolnych algebr. Analogicznie definiujemy składową

1.3. Algebry odwrócone i tubularne 13 preinjektywną I (A) dla spójnej algebry dziedzicznej A oraz rozszerzamy tę definicję na przypadek dowolnej algebry. Jeśli A jest spójną algebrą dziedziczną skończonego typu reprezentacyjnego, to P(A) jest jedyną składową kołczanu Γ A równą I (A). Oczywiście składowa ta jest skończona. Gdy A jest algebrą nieskończonego typu reprezentacyjnego, to składowe P(A) i I (A) są różne i obie te składowe są nieskończone. Ponadto istnieje nieskończenie wiele składowych zbudowanych z A-modułów regularnych. Opiszemy teraz jakie składowe są utworzone przez A-moduły regularne w przypadku, gdy algebra A jest oswojona. W tym celu musimy zdefiniować pojęcie stabilnej rury. Niech r będzie liczbą dodatnią. Definiujemy kołczan Γ, którego zbiorem wierzchołków jest Z r N, gdzie Z r = {0,..., r 1}, zaś N oznacza zbiór liczb naturalnych (całkowitych nieujemnych). Dla każdej pary (i, j) Z r N mamy strzałki (i, j) (i, j + 1) i (i 1, j + 1) (i, j). Ponadto określamy translację τ wzorem τ(i, j) = (i 1, j). W obu powyższych wzorach działania na pierwszej współrzędnej wykonywane są modulo r. Kołczan Γ nazywamy stabilną rurą rangi r. Stabilne rury rangi 1 nazywać będziemy rurami jednorodnymi, o pozostałych będziemy mówić, że są niejednorodne. O wierzchołkach postaci (i, 0) będziemy mówić, że tworzą usta rury Γ. Niech A będzie algebrą dziedziczną typu Euklidesa. Wtedy A-moduły regularne tworzą P 1 (K)-rodzinę stabilnych rur, z których prawie wszystkie są jednorodne. Dokładniej, co najwyżej trzy spośród tych rur są rangi większej niż 1. Ponadto, gdy r 1, r 2 i r 3 oznaczają trzy największe rangi, to 1 r 1 + 1 r 2 + 1 r 3 > 1. 1.3. Algebry odwrócone i tubularne Niech A będzie algebrą. Moduł T mod A nazywamy odwracającym, jeśli pd A T 1, Ext 1 A(T, T ) = 0 i istnieje ciąg dokładany postaci 0 A T T 0, gdzie T, T add T. Przez add T oznaczamy pełną podkategorię kategorii mod A utworzoną przez skończone sumy proste składników prostych modułu T. Definicję tę możemy rozszerzyć i mówić o kategorii add C w przypadku, gdy C jest dowolną podkategorią kategorii mod A. Jeśli A = KQ jest spójną algebrą dziedziczną, zaś T A-modułem odwracającym, to algebrę B := End A (T ) op nazywamy algebrą odwróconą typu Q. Aby otrzymana w ten sposób algebra była algebrą bazową należy dodatkowo założyć, że moduł T nie ma wielokrotnych nierozkładalnych składników prostych. Niech A = KQ będzie spójną algebrą dziedziczną nieskończonego typu reprezentacyjnego. Jeśli T jest preprojektywnym A-modułem odwracającym, to algebrę odwróconą B := End A (T ) op nazywamy ukrytą. Algebra B jest

14 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ x φ Rysunek 1.1: Nieskończona gałąź oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy A jest algebrą oswojoną, a więc gdy Q jest kołczanem Euklidesa. Algebry ukryte zawdzięczają swoją nazwę temu, że struktura kategorii modułów nad algebrą ukrytą jest bliska strukturze kategorii modułów nad wyjściową algebrą dziedziczną. W szczególności możemy zastosować wprowadzony wcześniej podział na moduły preprojektywne, preinjektywne i regularne. Więcej, kategorie A-modułów regularnych i B- modułów regularnych są równoważne. W szczególności, gdy B jest oswojoną algebrą ukrytą, to nierozkładalne B-moduły regularne tworzą P 1 (K)-rodzinę stabilnych rur, w której ilość rur niejednorodnych i ich rangi są takie same jak w algebrze A. Zdefiniujemy teraz pojęcie rozszerzenia tubularnego oswojonej algebry ukrytej. Jednopunktowym rozszerzeniem algebry A przez moduł R nazywamy algebrę A[R], którą w postaci macierzowej można przedstawić jako A[R] := [ A R 0 K Nazwa pochodzi stąd, że kołczan algebry A[R] powstaje z kołczanu algebry A przez dodanie jednego nowego wierzchołka ω i wychodzących z niego strzałek. Wierzchołek ω ma własność rad P A[R] (ω) = R. Gałęzią w x nazywać będziemy każdy skończony i spójny podkołczan kołczanu przedstawionego na rysunku 1.1 zawierający wierzchołek x. Niech C będzie oswojoną algebrą ukrytą. Ustalmy parami nieizomorficzne nierozkładalne C-moduły R i, i = 1,..., k, leżące na ustach stabilnych rur w ].

1.3. Algebry odwrócone i tubularne 15 Γ C. Dla każdego i = 1,..., k ustalmy gałąź i w wierzchołku x i. Konstruujemy nową algebrę w następujący sposób. Niech B := C[R 1 ] [R k ] będzie iterowanym rozszerzeniem jednopunktowym algebry C. Wtedy B = K /J dla pewnego kołczanu ograniczonego (, J). Istnieją parami różne wierzchołki ω 1,..., ω k kołczanu takie, że rad P B (ω i ) = R i dla i = 1,..., k. Definiujemy algebrę A jako algebrę dróg ograniczonego kołczanu (Q, I), gdzie Q powstaje z kołczanu oraz gałęzi 1,..., k przez utożsamienie wierzchołków ω i i x i dla każdego i = 1,..., k. Ideał I jest generowany przez ideał J oraz wszystkie relacje postaci ψφ, gdzie ψ i φ są takie jak rysunku 1.1. Zdefiniowaną powyżej algebrę A będziemy oznaczać C[R 1, 1 ] [R k, k ]. Algebry tej postaci nazywamy rozszerzeniami tubularnymi algebry C. Stabilne rury w kołczanie Auslandera Reiten Γ C algebry C są indeksowane przez elementy prostej rzutowej P 1 (K). Oznaczmy przez T (λ) rurę w Γ C odpowiadającą λ P 1 (K). Dla każdego λ P 1 (K) niech r (λ) oznacza rangę rury T (λ), zaś I (λ) będzie zbiorem tych indeksów i {1,..., k}, dla których R i T (λ). Definiujemy s (λ) wzorem s (λ) := r (λ) + i I (λ) i, gdzie i oznacza ilość wierzchołków w gałęzi i. Ponieważ wśród liczb r (λ), λ P 1 (K), tylko skończona ilość jest większa od jeden, więc także wśród liczb s (λ), λ P 1 (K), tylko skończenie wiele jest większych od 1. Niech λ 1,..., λ l będą tymi indeksami λ P 1 (K), dla których s (λ) > 1. Załóżmy przy tym, że s (λ 1) s (λ l). Ciąg (s (λ 1),..., s (λ l) ) nazywamy typem tubularnym algebry A (dopuszczamy także ciąg pusty dla l = 0). Algebra A jest oswojonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z następujących trzech warunków: (a) l 2; (b) l = 3 i 1 s (λ 1 ) + 1 s (λ 2 ) + 1 s (λ 3 ) 1; (c) l = 4 i 1 s (λ 1 ) + 1 s (λ 2 ) + 1 s (λ 3 ) + 1 s (λ 4 ) 2. 1 Zauważmy, że w sytuacji, gdy l = 4, warunek + 1 + 1 + 1 2 s (λ 1 ) s (λ 2 ) s (λ 3 ) s (λ 4 ) pociąga za sobą, że s (λ 1) = = s (λ 4) = 2. Jeśli l 2 lub l = 3 i 1 + 1 + 1 > 1, to A jest algebrą odwróconą typu Euklidesa. Pozostałe rozszerzenia tubularne oswojonych algebr ukrytych nie są algebrami s (λ 1 ) s (λ 2 ) s (λ 3 ) odwróconymi. Te z nich, które są oswojone, będziemy nazywać algebrami tubularnymi. Zauważmy, że rozszerzenie tubularne oswojonej algebry ukrytej jest algebrą tubularną wtedy i tylko wtedy, gdy jego typ tubularny jest postaci (s (λ1),..., s (λl) 1 ), gdzie l = 3 i + 1 + 1 = 1 lub l = 4 i s (λ 1 ) s (λ 2 ) s (λ 3 ) s (λ1) = = s (λ4) = 2. Oznacza to, że możliwe typy tubularne algebr tubularnych to (3, 3, 3), (4, 4, 2) i (6, 3, 2).

16 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone W sposób dualny można zdefiniować korozszerzenia jednopunktowe algebr oznaczane symbolem [R]A oraz korozszerzenia tubularne oswojonych algebr ukrytych. Dowodzi się, że każda algebra odwrócona typu Euklidesa, która jest nieskończonego typu reprezentacyjnego, jest rozszerzeniem bądź korozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej. Można by też mówić o algebrach kotubularnych, które byłyby oswojonymi korozszerzeniami tubularnymi oswojonych algebr ukrytych, które nie są algebrami odwróconymi. Okazuje się jednak, że klasa takich algebr pokrywa się z klasą algebr tubularnych. 1.4. Algebry kanoniczne Postaramy się teraz zilustrować wprowadzone w poprzednim paragrafie pojęcia na przykładzie algebr kanonicznych i ich rozszerzeń tubularnych. Niech l 2 będzie liczbą naturalną i p = (p 1,..., p l ) ciągiem liczb naturalnych takim, że p 1 p l 2. Dopuszczamy także możliwość p 1 = 1 lub p 2 = 1 w sytuacji, gdy l = 2. Ustalmy ciąg λ= (λ 3,..., λ l ) parami różnych niezerowych elementów ciała K. Naszym pierwszym celem w tym paragrafie będzie zdefiniowanie algebry C(p,λ). Algebry tej postaci nazywać będziemy algebrami kanonicznymi. Niech (p,λ) będzie następującym kołczanem α 1,1 α 2,1 α l,1 α 1,2 α 2,2 α l,2 α 1,p1 1 α 2,p2 1 α l,pl 1 α 1,p1, α l,pl α 2,p2 zaś przez I(p,λ) oznaczmy ideał w K (p,λ) generowany przez elementy α 1,1 α 1,p1 + λ k α 2,1 α 2,p2 + α k,1 α k,pk, k = 3,..., l. Wtedy C(p,λ) := K (p,λ)/i(p,λ). Zauważmy, że gdy l = 2, to C(p,λ) jest algebrą dziedziczną typu Euklidesa Ãp 1 +p 2 1. Ponieważ w tej sytuacji ciąg λ jest pusty, więc będziemy pisać C(p 1, p 2 ) zamiast C(p,λ). Gdy l = 3, to bez straty ogólności można założyć, że λ 3 = 1, ponieważ algebry otrzymywane dla różnych wartości λ 3 0 są izomorficzne. Wtedy ideał I(p,λ) jest generowany przez element α 1,1 α 1,p1 +α 2,2 α 2,p2 +α 3,1 α 3,p3. W związku z tym będziemy w tym przypadku dla algebry C(p,λ) używać oznaczenia C(p 1, p 2, p 3 ). Przypuśćmy teraz, że l 3 i oznaczmy przez Q kołczan powstały z (p,λ) przez usunięcie strzałek α k,pk, k = 1,..., l, i ich wspólnego począt-

1.4. Algebry kanoniczne 17 ku. Wtedy C(p,λ) = KQ[R], gdzie R jest nierozkładalnym KQ-modułem, 1 którego wektor wymiaru jest równy 2 1. 1 1 1 Jeśli l = 3 i p 1 + 1 p 2 + 1 p 3 > 1, to Q jest kołczanem Dynkina. Gdy l = 3 1 i p 1 + 1 p 2 + 1 1 p 3 = 1 lub l = 4 i p 1 + 1 p 2 + 1 p 3 + 1 p 4 = 2, to Q jest kołczanem Euklidesa. W pozostałych przypadkach Q nie jest ani kołczanem Dynkina ani Euklidesa. W tej sytuacji algebra KQ jest dzika, a więc tym bardziej algebra C(p,λ) jest dzika. Gdy natomiast Q jest kołczanem Dynkina, to C(p,λ) jest oswojoną algebrą ukrytą, której typ tubularny jest równy (p 1,..., p l ). Załóżmy teraz, że Q jest kołczanem Euklidesa. Wtedy R jest modułem leżącym na ustach stabilnej rury w Γ KQ, zatem C(p,λ) jest rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej. Typ tubularny algebry C(p,λ) jest równy (p 1,..., p l ), zatem jest to algebra tubularna. Z powyższych rozważań wynika, że algebra kanoniczna C(p,λ) jest oswojoną algebrą odwróconą wtedy i tylko wtedy, gdy l = 2 lub l = 3 i 1 p 1 + 1 p 2 + 1 p 3 > 1. W szczególności w tej drugiej sytuacji musi być p 3 = 2. Ze względu na późniejsze zastosowania opiszemy teraz rozszerzenia tubularne kanonicznych oswojonych algebr ukrytych, które są algebrami odwróconymi typu Euklidesa posiadającymi wierny nierozkładalny moduł injektywny. Niech C = C(p, q), a więc C jest algebrą dróg kołczanu α 1 β 1 α 2 β 2 α p 1 β q 1 α p β q dla p, q 1. W kołczanie Γ C mamy rurę rangi p, rurę rangi q, zaś pozostałe rury są jednorodne. W pierwszej z tych rur na ustach znajdują się moduły postaci 0 0 0 0 w drugiej 0 K 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, K K 1 1 K K K K 1 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 K 0 0 0 K 1 K K 1 K 1 1 0, K K 0 0 0 0,

18 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone zaś w pozostałych K 1 K K 1 K 1 1 K K 1 λ K K K K 1 1 dla λ 0. W związku z tym możliwe rozszerzenia jednopunktowe algebry C o moduły leżące na ustach stabilnych rur w Γ C są postaci KQ/I, gdzie (Q, I) jest jedną z następujących par Q = α 1 x β 1 β 2 β 3 α 2 α 3 α 1 Q = x β 1 Q = α 1 x β 1 α 2 β 2 φ α k α k+1 β q 2 α p 2 β k β k+1 φ α p 1 β q 1 α p β q β q 1 α p 1 φ α p β q α p β q, I = α k φ, k = 1,..., p, I = β k φ, k = 1,..., q, I = λα 1 α p φ β 1 β q φ. We wszystkich przypadkach x jest jedynym wierzchołkiem kołczanu Q, z którego nie wychodzi żadna strzałka. Zatem jeśli istnieje wierny nierozkładalny KQ/I-moduł injektywny, to musi być on postaci I KQ/I (x). Stąd wynika, że w pierwszym przypadku w otrzymanej algebrze mamy wierny nierozkładalny moduł injektywny tylko dla k = p, podobnie jak w drugim przypadku dla k = q, w trzecim zaś zawsze otrzymujemy algebrę posiadającą wierny nierozkładalny moduł injektywny. Zauważmy przy tym, że w trzecim przypadku możemy bez straty ogólności założyć, że λ = 1, gdyż algebry otrzymane dla różnych wartości λ są izomorficzne. Niech B = C[R 1, 1 ] [R k, k ] będzie algebrą odwróconą typu Euklidesa. Z opisu rozszerzeń tubularnych wynika, że algebra B posiada wierny nierozkładalny moduł injektywny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wierny nierozkładalny moduł injektywny nad algebrą C[R 1 ] [R k ] oraz dla każdego i = 1,..., k gałąź i jest postaci ω i,

1.4. Algebry kanoniczne 19 gdzie ω i jest jedynym wspólnym wierzchołkiem gałęzi i i kołczanu algebry C[R 1 ] [R k ]. Wykorzystując charakteryzację algebr odwróconych typu Euklidesa w terminach typów tubularnych otrzymujemy następujący fakt. Stwierdzenie 1.4.1. Niech B będzie algebrą odwróconą typu Euklidesa będącą rozszerzeniem tubularnym algebry C(p, q), p, q 1, i posiadającą wierny nierozkładalny moduł injektywny. Wtedy istnieją r, s, t 1 takie, że B jest ilorazem algebry dróg kołczanu α 1 β 1 α 2 β 2 α p 1 β q 1 α p ρ 1 ξ 1 β q σ 1 ρ 2 ξ 2 σ 2 przez ideał generowany przez elementy α p ρ 1, β q σ 1 i α 1 α p ξ 1 β 1 β q ξ 1, przy czym 1 + 1 + 1 > 1. Na odwrót, jeśli r, s, t 1 są liczbami p+r 1 q+s 1 t całkowitymi spełniającymi powyższe warunki, to otrzymana w powyższy sposób algebra jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, która jest rozszerzeniem tubularnym algebry C(p, q), i która posiada wierny nierozkładalny moduł injektywny. ρ r 1 ξ t 1 Zauważmy, że gdy r = 1, s = 1 lub t = 1, to otrzymujemy algebry, w których kołczanie nie ma odpowiednich ramion, a co za tym idzie odpowiednie generatory ideału I są równe 0. Analogiczne rozważania prowadzone w przypadku, gdy C = C(p, q, 2) prowadzą do następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 1.4.2. Niech B będzie algebrą odwróconą typu Euklidesa będącą rozszerzeniem tubularnym algebry C(p, q, 2), p, q 2, i posiadającą wierny nierozkładalny moduł injektywny. Wtedy istnieją r, s 1 takie, że B jest ilorazem algebry dróg kołczanu α 1 β 1 α 2 α p ρ 1 γ 1 γ 2 β 2 α p 1 β q 1 β q σ 1 przez ideał generowany przez elementy α 1 α p +β 1 β q +γ 1 γ 2, α p ρ 1 i β q σ 1, przy czym 1 + 1 > 1. Na odwrót, jeśli r, s 1 są liczbami całkowitymi p+r 1 q+s 1 2 spełniającymi powyższe warunki, to otrzymana w powyższy sposób algebra jest algebrą odwróconą typu Euklidesa, która jest rozszerzeniem tubularnym algebry C(p, q, 2), i która posiada wierny nierozkładalny moduł injektywny. ρ 2 σ 2 σ s 1 ρ r 1 σ s 1

20 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone Podobnie jak poprzednio dla r = 1 lub s = 1 otrzymujemy zdegenerowane wersje powyższej algebry. Paragraf ten zakończymy sformułowaniem jeszcze jednego faktu dotyczącego algebr odwróconych typu Euklidesa posiadających wierne nierozkładalne moduły injektywne. Nierozkładalny A-moduł X nazywamy kierującym, jeśli nie istnieje ciąg X = X 0 f 1 X1 f 2 X n 1 f n Xn = X niezerowych nieizomorfizmów f i, i = 1,..., n, pomiędzy nierozkładalnymi A- modułami X i, i = 0,..., n, dla n 1. Stwierdzenie 1.4.3. Niech B będzie algebrą odwróconą typu Euklidesa będącą rozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej i posiadającą wierny nierozkładalny moduł injektywny I. Wtedy A := B[I] jest oswojoną algebrą odwróconą. Ponadto, jeśli przez ω oznaczymy nowy wierzchołek kołczanu algebry A, to P A (ω) jest nierozkładalnym modułem kierującym. Dualny stwierdzenie mamy w sytuacji, gdy B jest algebrą odwróconą typu Euklidesa będącą korozszerzeniem tubularnym oswojonej algebry ukrytej i posiadającą wierny nierozkładalny moduł projektywny P, przy czym A := [P ]B i moduł P A (ω) musimy zastąpić modułem I A (ω). Dowód opiera się na rozważaniach przedstawionych w pracy [BobSk4]. Wykorzystuje on charakteryzację algebr odwróconych zawartą w twierdzeniu Liu Skowroński (patrz prace [Li] i [Sk1]) oraz metody kategorii przestrzeni wektorowych (patrz [Si]), których prezentacja wykracza poza ramy tej pracy. 1.5. Oswojone algebry kwaziodwrócone Rozważane przez nas dotychczas algebry były algebrami globalnego wymiaru nie większego od 2. Ponadto dla każdego modułu nierozkładalnego albo jego wymiar projektywny nie przekraczał 1, albo jego wymiar injektywny nie przekraczał 1. Obserwacja ta jest punktem wyjścia do zdefiniowania klasy algebr kwaziodwróconych. Algebrę A będziemy nazywać kwaziodwróconą, jeśli gldim A 2 oraz pd A X 1 lub id A X 1 dla każdego nierozkładalnego A-modułu X. Algebry kwaziodwrócone stanowią uogólnienie algebr odwróconych nie tylko ze względu na powyższe własności wymiarów homologicznych, ale także dlatego, że klasa algebr kwaziodwróconych pokrywa się z klasą algebr endomorfizmów obiektów odwracających w dziedzicznych K-kategoriach abelowych (patrz [HaReSm]). W naszych rozważaniach istotną rolę odgrywać będzie klasa oswojonych algebr kwaziodwróconych. Algebry te można scharakteryzować przy pomocy formy Eulera. Jeśli A jest algebrą skończonego globalnego wymiaru, to

1.5. Oswojone algebry kwaziodwrócone 21 mamy dwuliniową formę, A : K 0 (A) K 0 (A) Z zdefiniowaną poprzez warunek dim X, dim Y A := i=0 ( 1)i dim K Ext i A(X, Y ). Z formą tą mamy związaną formę kwadratową χ A : Z Q 0 Z zadaną w oczywisty sposób χ A (x) := x, x A, zwaną formą Eulera algebry A. Gdy A jest algebrą trójkątną, tzn. gdy w kołczanie Q algebry A nie ma zorientowanych cykli, to możemy też zdefiniować formę Titsa q A : Z Q 0 Z wzorem q A (x) := a Q 0 x 2 a α Q 1 x s(α) x t(α) + a,b Q 0 r a,b x a x b, gdzie r a,b oznacza ilość relacji o początku w wierzchołku a i końcu w wierzchołku b w minimalnym zbiorze R relacji generujących ideał I. Jak pokazał Bongartz w pracy [Bon2] liczby r a,b nie zależą w tym wypadku od wyboru ideału I i zbioru R, mamy bowiem równości r a,b = dim K Ext 2 A(S A (a), S A (b)). Jeśli dodatkowo gldim A 2, to formy Eulera i Titsa pokrywają się. Ponadto w tej sytuacji formę dwuliniową, A możemy zapisać wzorem x, y A = a Q 0 x a y a α Q 1 x s(α) y t(α) + a,b Q 0 r a,b x a y b. Ponieważ każda algebra kwaziodwrócona A jest algebrą trójkątną globalnego wymiaru nie większego od 2, więc formy Titsa q A i Eulera χ A istnieją i są identyczne, a także obowiązuje powyższy wzór na formę dwuliniową, A. Mamy następujące twierdzenie pochodzące z pracy [Sk3]. Twierdzenie 1.5.1 (Skowroński). Jeśli A jest algebrą kwaziodwróconą, to następujące warunki są równoważne: (i) algebra A jest oswojonego typu reprezentacyjnego; (ii) forma Eulera χ A jest słabo nieujemna, tzn. χ A (d) 0 dla każdego nieujemnego wektora d K 0 (A); (iii) forma Eulera χ A kontroluje kategorię mod A, tzn.: (a) χ A (dim X) {0, 1} dla X ind A; (b) jeśli χ A (d) = 1 dla pewnego spójnego wektora wymiaru d K 0 (A), to istnieje dokładnie jeden, z dokładnością do izomorfizmu, nierozkładalny A-moduł o wektorze wymiaru d; (c) jeśli χ A (d) = 0 dla pewnego spójnego niezerowego wektora wymiaru d K 0 (A), to istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych nierozkładalnych A-modułów o wektorze wymiaru d. Informacja o tym, że forma Eulera przyjmuje wartości 0 i 1 na wektorach wymiaru modułów nierozkładalnych nad oswojonymi algebrami kwaziodwróconymi, będzie odgrywała istotną rolę w rozważaniach dotyczących geometrii rozmaitości modułów dla tych wektorów wymiaru.

22 Rozdział 1. Algebry kwaziodwrócone Dokładniejszy opis struktury kategorii modułów dla poszczególnych klas oswojonych algebr kwaziodwróconych przedstawimy w kolejnych rozdziałach, gdy będziemy wykorzystywać te informacje w rozważaniach geometrycznych.

Rozdział 2 Rozmaitość modułów Rozdział ten poświęcimy zdefiniowaniu pojęcia rozmaitości modułów oraz omówieniu faktów, które będziemy wykorzystywać w przy ich badaniu. Wykorzystywane fakty z geometrii algebraicznej są zaczerpnięte z książek [Ei] i [Hu]. 2.1. Redukowalność Niech A = KQ/I będzie algebrą dróg ograniczonego kołczanu i d K 0 (A) wektorem wymiaru. Definiujemy przestrzeń afiniczną A(d) wzorem A(d) := α Q 1 M t(α) s(α) (K). Zauważmy, że pierścień współrzędnych K[A(d)] przestrzeni A(d) jest pierścieniem wielomianów od α Q 1 d t(α) d s(α) zmiennych X (α) i,j, α Q 1, i = 1,..., t(α), j = 1,..., s(α). Z każdą strzałką α Q 1 możemy związać t(α) s(α)-macierz M (α) o współczynnikach w K[A(d)], M (α) := (X (α) i,j ). W naturalny sposób rozszerzamy tę definicję na drogi i relacje. Dla drogi ω = α m α 1 definiujemy M (ω) := M (αm) M (α1), zaś dla relacji ρ = λ 1 ω 1 + +λ k ω k mamy M (ρ) := λ 1 M (ω1) + +λ k M (ωk). Wykorzystując tę obserwację możemy ideałowi I przyporządkować ideał I A (d) K[A(d)]. Generatorami ideału I A (d) są współrzędne macierzy M (ρ), ρ I. Jeśli algebra A jest trójkątna, to ideał I A (d) jest generowany przez x,y r x,yd x d y wielomianów, gdzie r x,y jest ilością relacji o początku x i końcu y w minimalnym zbiorze relacji generujących ideał I. Niech R A (d) := K[A(d)]/I A (d). Naszym celem w tym paragrafie będzie dostarczenie narzędzi umożliwiających zbadanie, kiedy pierścień R A (d) jest zredukowany, tzn. kiedy R A (d) = R A (d) red := K[A(d)]/ I A (d). Niech Max(R A (d)) będzie spektrum maksymalnym pierścienia R A (d), a więc zbiorem ideałów maksymalnych w R A (d) wraz z topologią Zariskiego. Dla ideału m Max(R A (d)) przestrzeń (m/m 2 ) będziemy nazywać 23

24 Rozdział 2. Rozmaitość modułów przestrzenią styczną do Max(R A (d)) w punkcie m. Przestrzeń tę będziemy oznaczać przez T m (Max(R A (d)). Wiadomo, że dim K T m (Max(R A (d))) dim m Max(R A (d)), gdzie dim m Max(R A (d)) oznacza wymiar Max(R A (d)) w punkcie m, zdefiniowany jako maksimum wymiarów składowych nieprzywiedlnych do których należy punkt m. Punkt m nazwiemy nieosobliwym w Max(R A (d)), jeśli dim K T m (Max(R A (d))) = dim m Max(R A (d)). Punkty, które nie są nieosobliwe, będziemy nazywać osobliwymi. Pierścień R A (d) nazywamy zupełnym przekrojem, jeśli mamy dim R A (d) = dim Max(R A (d)) = dim A(d) ν(i A (d)), gdzie ν(i A (d)) jest minimalną ilością generatorów ideału I A (d). Wiadomo, że jeśli R A (d) jest zupełnym przekrojem, to wszystkie składowe nieprzywiedlne w Max(R A (d)) mają ten sam wymiar. W szczególności dostajemy wtedy, że dim m Max(R A (d)) = dim Max(R A (d)) dla każdego m Max(R A (d)). Mamy też następujące kryterium na redukowalność pierścienia R A (d) w przypadku, gdy jest on zupełnym przekrojem. Stwierdzenie 2.1.1. Jeśli pierścień R A (d) jest zupełnym przekrojem, to jest on zredukowany wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów osobliwych w Max(R A (d)) jest kowymiaru co najmniej 1. Wykorzystując równość A(d) = α Q 1 M t(α) s(α) (K) otrzymujemy naturalne działanie grupy reduktywnej GL(d) := x Q 0 GL di (K) na A(d) przez sprzężenia, tzn. g X := (g t(α) X α g 1 s(α) ) dla g = (g x ) GL(d) i X = (X α ) A(d). Działanie to indukuje działanie grupy GL(d) na K[A(d)]. Zauważmy, że jeśli M jest macierzą o współczynnikach w K[A(d)] i przez g M oznaczymy macierz otrzymaną z M przez zadziałanie elementem g na współrzędnych macierzy M, to g M (ρ) = g 1 t(ρ) M (ρ) g s(ρ) dla każdej relacji ρ w KQ. Stąd GL(d)[I A (d)] I A (d), zatem otrzymujemy działanie grupy GL(d) na pierścieniu R A (d). Ponieważ elementy grupy GL(d) działają na R A (d) przez automorfizmy, więc dostajemy w ten sposób GL(d)- działanie na spektrum maksymalnym Max(R A (d)) pierścienia R A (d). Jeśli m Max(R A (d)), to przez O(m) oznaczać będziemy GL(d)-orbitę ideału m. Orbita O(m) jest zbiorem lokalnie domkniętym w Max(R A (d)), więc posiada strukturę rozmaitości. W szczególności możemy mówić o przestrzeni stycznej T m (O(m)) do orbity O(m) w punkcie m. Wiadomo, że orbita O(m) składa się z punktów nieosobliwych w O(m), więc dim K T m (O(m)) = dim O(m). Zgodnie z twierdzeniem Hilberta o zerach każdemu ideałowi maksymalnemu m w R A (d) można w jednoznaczny sposób przyporządkować punkt V = (V α ) V (I A (d)) := {X A(d) f(x) = 0 dla f I A (d)} A(d) zdefiniowany przez warunek f(v ) = 0 dla wszystkich f m. Punkt ten wyznacza reprezentację (K dx, V α ) kołczanu Q, która spełnia wszystkie relacje

2.1. Redukowalność 25 należące do ideału I. Ze względu na równoważność kategorii rep K (Q, I) i mod A otrzymujemy A-moduł, który będziemy oznaczać przez M(m). Można pokazać, że dim O(m) = dim GL(d) dim K End A (M(m)) (patrz [Kr1]). Mamy też następujący fakt pochodzący z pracy [Voi] (patrz także [Kr2]). Twierdzenie 2.1.2 (Voigt). Dla dowolnego m Max(R A (d)) istnieje kanoniczny izomorfizm T m (Max(R A (d)))/t m (O(m)) Ext 1 A(M(m), M(m)). Zauważmy, że powyższe twierdzenie implikuje między innymi, że jeśli Ext 1 A(M(m), M(m)) = 0, to domknięcie O(m) orbity O(m) ideału m jest składową nieprzywiedlną przestrzeni topologicznej Max(R A (d)). Przypuśćmy, że algebra A jest trójkątna. Wtedy, na mocy twierdzenia Krulla zachodzi dim Max(R A (d)) dim A(d) x,y Q 0 r x,y d x d y =: a A (d) oraz gdy dim Max(R A (d)) = a A (d), to pierścień R A (d) jest zupełnym przekrojem. Ponieważ r x,y = dim K Ext 2 A(S A (x), S A (y)) dla algebr trójkątnych, więc definicję liczby a A (d) możemy rozszerzyć kładąc a A (d) := dim A(d) x,y Q 0 dim K Ext 2 A(S A (x), S A (y))d x d y dla dowolnej algebry A i wektora wymiaru d K 0 (A). W szczególności mamy, że a A (d) = a B (d), gdy B jest wypukłą podkategorią algebry A i d K 0 (A) jest wektorem wymiaru o nośniku zawartym w B. Ponadto, gdy A jest algebrą trójkątną, to a A (d) = dim GL(d) q A (d), gdyż dim GL(d) = x Q 0 d 2 x i A(d) = α Q 1 d s(α) d t(α). Wykorzystując powyższe obserwacje możemy udowodnić następujący warunek na nieosobliwość punktu m Max(R A (d)). Lemat 2.1.3. Jeśli A jest algebrą trójkątną globalnego wymiaru nie większego niż 2, to dim K T m (Max(R A (d))) = a A (d) + dim K Ext 2 A(M(m), M(m)) dla dowolnego ideału m Max(R A (d)). W szczególności, gdy zachodzi równość Ext 2 A(M(m), M(m)) = 0, to dim m Max(R A (d)) = a A (d) i punkt m jest nieosobliwy w Max(R A (d)). Dowód. Wykorzystując fakt, że dla algebr trójkątnych globalnego wymiaru nie większego niż 2 forma Titsa pokrywa się z formą Eulera, a więc ma interpretację homologiczną, otrzymujemy następujący ciąg równości, w których M := M(m) a A (d) = dim GL(d) q A (d) = dim GL(d) dim K End A (M) + dim K Ext 1 A(M, M) dim K Ext 2 A(M, M) = dim O(m) + dim K Ext 1 A(M, M) dim K Ext 2 A(M, M) = dim K T m (O(m)) + dim K Ext 1 A(M, M) dim K Ext 2 A(M, M) = dim K T m (Max(R A (d))) dim K Ext 2 A(M, M),