Algebry odwrócone oswojonego typu reprezentacyjnego

Transkrypt

1 UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA W TORUNIU Grzegorz Bobiński Algebry odwrócone oswojonego typu reprezentacyjnego Praca magisterska wykonana w Zakładzie Algebry i Topologii Wydziału Matematyki i Informatyki pod kierunkiem prof. dr hab. Andrzeja Skowrońskiego TORUŃ 999

2 Spis treści Wstęp 3 Wiadomości wstępne z teorii reprezentacji algebr 8.. Algebry i moduły Kołczany Kołczany z translacją Kołczan Auslandera Reiten Grupa Grothendiecka i forma Eulera Typ reprezentacyjny algebr Rozszerzenia jednopunktowe algebr Rozszerzenia tubularne algebr Algebry odwrócone Moduły odwracające Algebry odwrócone Algebry odwrócone typu Euklidesa Oswojone algebry odwrócone typu dzikiego Forma Eulera oswojonej algebry odwróconej Wierne pierwiastki formy Eulera Twierdzenie de la Peña Algebry 2-parametryczne Przygotowanie

3 SPIS TREŚCI 3.2. Przypadek Ẽ Podprzypadek x Podprzypadek y Podprzypadek z Przypadek Ẽ Przypadek Ẽ Przypadek D m Przypadek Ãn Główne twierdzenie Algebry samoinjektywne Algebry powtórzone Algebry samoinjektywne A Funkcje addytywne na stabilnych kołczanach z translacją 93 A.. Główne twierdzenie A.2. Funkcje addytywne na ZQ A.3. Dowód głównego twierdzenia Bibliografia 99 Skorowidz symboli 03 Skorowidz nazw 05 Spis list algebr 08 3

4 Wstęp Zgodnie z twierdzeniem Drozda [Dr] skończenie wymiarowe łączne algebry z jedynką nad ciałem algebraicznie domkniętym K mogą być podzielone na dwie rozłączne klasy. Jedna z nich jest utworzona przez algebry oswojone, dla których dla dowolnej liczby naturalnej d prawie wszystkie nierozkładalne d- wymiarowe moduły tworzą (z dokładnością do izomorfizmu) skończoną ilość rodzin parametryzowanych przez elementy ciała K. Druga klasa jest utworzona przez dzikie algebry, dla których opis klas izomorfizmów skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów jest równoważny klasyfikacji skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych wraz z działaniem dwóch (niekoniecznie przemiennych) endomorfizmów. W związku z tym realnie oceniając można liczyć na sklasyfikowanie skończenie wymiarowych modułów tylko dla algebr oswojonych. Problem typu reprezentacyjnego, a także klasyfikacja skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów w przypadku oswojonym, zostały w pełni rozwiązane dla algebr dróg skończonych kołczanów bez zorientowanych cykli. Kołczanem nazywamy układ złożony ze zbioru wierzchołków i zbioru strzałek pomiędzy tymi wierzchołkami. Jeśli Q jest skończonym kołczanem bez zorientowanych cykli, to algebra dróg KQ kołczanu Q jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa, której bazę stanowią wszystkie drogi w kołczanie Q, wraz z mnożeniem indukowanym przez składanie dróg. Z twierdzeń Gabriela [Ga], Donovana Freislich [DonFr] i Nazarowej [Na] wynika, że algebra KQ jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest rozłączną sumą kołczanów typu Dynkina lub Euklidesa. Powyższy fakt podaje pełny opis oswojonych skończenie wymiarowych algebr globalnego wymiaru co najwyżej jeden, ponieważ kategorie skończenie wymiarowych modułów takich algebr są równoważne z kategoriami skończenie wymiarowych modułów algebr dróg skończonych kołczanów bez zorientowanych cykli [Ga2]. Z algebrami dróg kołczanów blisko związane są algebry odwrócone. Algebrą odwróconą nazywamy algebrę endomorfizmów A = End KQ (T ) odwracającego KQ-modułu T, gdzie Q jest skończonym i spójnym kołczanem bez 4

5 Wstęp zorientowanych cykli. Skończenie wymiarowy KQ-moduł T jest odwracający, jeśli nie posiada samorozszerzeń i jest sumą prostą n parami nieizomorficznych nierozkładalnych KQ-modułów, gdzie n jest liczbą wierzchołków w kołczanie Q. Teoria reprezentacji algebr odwróconych zapoczątkowana pracami Bernsteina Gelfanda Ponomarjewa [BeGePo], Brenner Butler [BrBu], Bongartza [Bon], Happela Ringela [HaRi], oraz rozwinięta przez Ringela [Ri2], Kernera [Ke], [Ke2], Straussa [St],..., odgrywa obecnie podstawową rolę w badaniu reprezentacji dowolnych skończenie wymiarowych algebr. Ważną cechą algebr odwróconych jest to, że są one globalnego wymiaru co najwyżej dwa. Wiadomo ponadto, zgodnie z twierdzeniem Brenner Butler [BrBu], że jeśli A := End KQ (T ) dla pewnego odwracającego KQmodułu T, to każdy skończenie wymiarowy nierozkładalny A-moduł jest postaci Hom KQ (T, X) lub Ext KQ(T, X) dla pewnego skończenie wymiarowego nierozkładalnego KQ-modułu X. Z drugiej strony jednak, aby otrzymać w ten sposób wszystkie skończenie wymiarowe nierozkładalne A-moduły, nie musimy wykorzystywać wszystkich skończenie wymiarowych nierozkładalnych KQ-modułów, a więc może być mniej skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów niż skończenie wymiarowych nierozkładalnych KQ-modułów. Oznacza to, że możemy w ten sposób otrzymać z dzikiej algebry dróg oswojoną algebrę odwróconą. Jest to jedna z przyczyn tego, że nasza wiedza na temat oswojonych algebr odwróconych jest jeszcze daleka od zadowalającej. Warto jednak powiedzieć, że pewnych informacji na temat oswojonych algebr odwróconych dostarcza nam twierdzenie Kernera [Ke], które opisuje ogólną postać kołczanu Auslandera Reiten tych algebr. Kołczan Auslandera Reiten Γ A skończenie wymiarowej algebry A jest ważnym niezmiennikiem homologicznym i kombinatorycznym kategorii skończenie wymiarowych modułów. Wierzchołkami kołczanu Γ A są klasy izomorfizmów skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów, zaś strzałki odpowiadają nieprzywiedlnym odwzorowaniom pomiędzy tymi modułami. Okazuje się, że w sytuacji oswojonych algebr odwróconych kołczan ten składa się ze skończonej ilości składowych preprojektywnych, skończonej ilości rodzin rur promieniowych indeksowanych prostą rzutową P (K) nad ciałem K, składowej łączącej, skończonej ilości rodzin rur kopromieniowych również indeksowanych elementami prostej rzutowej P (K), oraz skończonej ilości składowych preinjektywnych. Jeszcze dalej w opisie kołczanu Auslandera Reiten algebr odwróconych idzie twierdzenie de la Peña [Pe]. Wiadomo bowiem, co pokazał Ringel [Ri2], że jeśli algebra A posiada wierny moduł kierujący, to jest odwrócona. De la Peña udowodnił, że jeśli założymy dodatkowo, że algebra A jest oswojona, 5

6 Wstęp to jej kołczan Auslandera Reiten zbudowany jest z jednej składowej preprojektywnej, co najwyżej jednej rodziny rur promieniowych, składowej łączącej (która może być składową preprojektywną lub preinjektywną), co najwyżej jednej rodziny rur kopromieniowych, oraz jednej składowej preinjektywnej. Skończenie wymiarowy nierozkładalny moduł X nazywamy kierującym, jeśli nie istnieje ciąg X = X 0 X X n X n = X, n, niezerowych nieizomorfizmów pomiędzy skończenie wymiarowymi nierozkładalnymi modułami. Ponadto skończenie wymiarowy moduł nazywamy wiernym, gdy wszystkie proste moduły pojawiają się jako ilorazy w jego ciągu kompozycyjnym. Inaczej można zdefiniować wierność modułu korzystając z grupy Grothendiecka i wektorów wymiaru. W przypadku kategorii skończenie wymiarowych modułów skończenie wymiarowej algebry A grupa Grothendiecka K 0 (A) jest to grupa wolna, której wolne generatory stanowi zbiór klas izomorfizmów prostych A-modułów. Z każdym skończenie wymiarowym modułem M możemy związać wektor wymiaru dim M K 0 (A), którego współrzędne zliczają krotności wystąpień poszczególnych modułów prostych jako ilorazów w ciągu kompozycyjnym modułu M. Zatem moduł jest wierny, gdy wszystkie współrzędne jego wektora wymiaru są niezerowe. Jeżeli A ma skończony wymiar globalny, to na grupie Grothendiecka K 0 (A) mamy określoną homologiczną formę Eulera χ A, która spełnia warunek χ A (dim M) = ( ) i dim K Ext i A(M, M) i=0 dla dowolnego skończenie wymiarowego A-modułu M. Okazuje się, że forma ta może być wykorzystywana do określania typu reprezentacyjnego algebr. Kerner udowodnił bowiem [Ke], że algebra odwrócona A jest oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy jej forma Eulera jest słabo nieujemna, tzn. χ A (x) 0 dla każdego wektora x K 0 (A) o nieujemnych współrzędnych. Forma Eulera odgrywa również ważną rolę w opisie skończenie wymiarowych nierozkładalnych modułów. Mówimy, że forma Eulera χ A kontroluje kategorię skończenie wymiarowych A-modułów, jeśli na wektorach wymiaru skończenie wymiarowych nierozkładalnych A-modułów przyjmuje tylko wartości 0 i, dla każdego spójnego wektora dodatniego d K 0 (A) takiego, że χ A (d) =, istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalny A-moduł X taki, że dim X = d, oraz dla każdego spójnego wektora dodatniego d K 0 (A) takiego, że χ A (d) = 0, istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych nierozkładalnych A-modułów o wektorze wymiaru d. Dobrze znanym faktem udowodnionym przez Ringela [Ri2] jest, że jeśli A 6

7 Wstęp jest algebrą odwróconą typu Dynkina bądź Euklidesa (tzn. algebrą endomorfizmów odwracającego modułu nad algebrą dróg kołczanu typu Dynkina lub Euklidesa), to forma χ A kontroluje kategorię skończenie wymiarowych A-modułów. Własność tę na dowolne oswojone algebry odwrócone rozszerza twierdzenie de la Peña [Pe]. Głównym celem pierwszej części pracy (rozdział 2) jest przedstawienie pełnych dowodów wspomnianych wyżej twierdzeń de la Peña o strukturze i własnościach oswojonych algebr odwróconych. Przedstawione w pracy dowody wykorzystują główne idee i fakty pracy [Pe], oraz usuwają istotne usterki zaprezentowanych tam rozumowań. W związku z tym w rozdziałach i 2 przedstawiamy szereg pojęć i znanych faktów z teorii reprezentacji algebr wykorzystywanych w dowodach twierdzeń de la Peña. W drugiej części pracy (rozdziały 3 i 4) za cel stawiamy sobie udowodnienie nowych twierdzeń o strukturze oswojonych algebr odwróconych oraz oswojonych algebr samoinjektywnych, których kołczan Auslandera Reiten ma prawie stabilne składowe skierowane (tzn. bez zorientowanych cykli) posiadające tylko skończoną ilość orbit ze względu na działanie translacji Auslandera Reiten. Główne wyniki tej części pracy można znaleźć w publikacjach [BobSk] i [Bob2]. Omówimy teraz dokładniej zawartość drugiej części naszej pracy. Niech A będzie skończenie wymiarową algebrą nad algebraicznie domkniętym ciałem K oraz Γ A jej kołczanem Auslandera Reiten. Spójną składową C kołczanu Γ A będziemy nazywać stabilną, jeśli nie zawiera ani modułów projektywnych ani injektywnych. Powiemy, że składowa C jest prawie stabilna, jeśli należy do niej dokładnie jeden moduł projektywno-injektywny, zaś wszystkie pozostałe moduły w C nie są ani projektywne ani injektywne. Kołczan powstały przez usunięcie ze składowej prawie stabilnej jedynego projektywno-injektywnego modułu nazywamy stabilną częścią tej składowej. Ogólnie, jeśli w składowej kołczanu Auslandera Reiten poza modułami, które są projektywno-injektywne, znajdują się tylko moduły, które nie są ani projektywne ani injektywne, to jej stabilną częścią jest kołczan powstały z tej składowej przez usunięcie modułów projektywno-injektywnych. Wiadomo, że kołczan Γ A nie może zawierać stabilnej składowej postaci Z, gdzie jest kołczanem Dynkina lub Euklidesa. Ponadto stabilną częścią prawie stabilnej składowej kołczanu Γ A nie może być kołczan Z, gdzie jest kołczanem Dynkina. Dowody tych faktów przedstawione zostały w dodatku, opracowanym na podstawie publikacji [Bob]. Znane są natomiast oswojone algebry odwrócone, których składowa łącząca jest prawie stabilna. Za przykład mogą służyć pewne rodziny algebr z pracy [Pe2]. W tej sytuacji stabilna 7

8 Wstęp część składowej łączącej jest postaci Z, gdzie jest kołczanem Euklidesa. W rozdziale 3 podajemy pełną klasyfikację oswojonych algebr odwróconych, których kołczan Auslandera Reiten ma prawie stabilną składową łączącą. Główny wynik rozdziału 3 stosujemy do opisu pewnych klas oswojonych algebr samoinjektywnych. Algebrę A nazywamy samoinjektywną, jeśli każdy A-moduł projektywny jest injektywny. Jest dobrze znanym faktem, że spójne i nieproste algebry samoinjektywne są nieskończonego globalnego wymiaru. Ważna klasa algebr samoinjektywnych jest utworzona przez algebry samoinjektywne typu Euklidesa, tzn. algebry postaci B/G, gdzie B jest algebrą powtórzoną (w sensie [HuWa]) algebry odwróconej B typu Euklidesa, zaś G dopuszczalną grupą K-liniowych automorfizmów algebry B. Okazuje się bowiem, co udowodnił Skowroński [Sk], że oswojona algebra samoinjektywna A, w której kołczanie Auslandera Reiten występuje tylko skończnie wiele indeksowanych elementami prostej rzutowej P (K) rodzin składowych, których stabilne części są rurami, posiada jednospójne nakrycie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy A jest algebrą typu Euklidesa. W rozdziale 4 opisujemy wszystkie algebry samoinjektywne typu Euklidesa, które posiadają prawie stabilną składową skierowaną. W szczególności dowodzimy, że wszystkie składowe skierowane kołczanu Auslandera Reiten algebry samoinjektywnej A typu Euklidesa są prawie stabilne wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A jest izomorficzna z algebrą postaci B/G, gdzie B jest domowym rozszerzeniem tubularnym kanonicznej algebry ukrytej (w sensie [Ri2]). Stosujemy też wyniki Skowrońskiego Yamagaty [SkYa] i [SkYa2] do sklasyfikowania oswojonych algebr samoinjektywnych posiadających prawie stabilne uogólnione standardowe (w sensie [Sk3]) składowe skierowane. Jako konsekwencję otrzymujemy pełny opis oswojonych algebr samoinjektywnych, które posiadają ugólnioną standardową składową skierowaną, i dla których wszystkie skierowane składowe kołczanu Auslandera Reiten są prawie stabilne. Autor składa podziękowania Panu prof. dr hab. Andrzejowi Skowrońskiemu za liczne dyskusje i uwagi dotyczące przedstawianych w pracy zagadnień. 8

9 Rozdział Wiadomości wstępne z teorii reprezentacji algebr W rozdziale tym przedstawimy podstawowe pojęcia oraz fakty z teorii reprezentacji skończenie wymiarowych algebr nad ciałem algebraicznie domkniętym wykorzystywane w pracy. Dokładniejszą prezentację poruszanych zagadnień można znaleźć w [AsSiSk], [AuReSm] i [Ri2]. Jako źródło niezbędnych informacji z ogólnej teorii modułów polecamy [AnFu], zaś z algebry homologicznej [Ba]... Algebry i moduły Nasz krótki wstęp do teorii reprezentacji algebr rozpoczniemy od zaprezentowania podstawowych pojęć związanych z algebrami i modułami. Przez cała pracę K będzie ustalonym ciałem algebraicznie domkniętym, zaś przez algebrę rozumieć będziemy skończenie wymiarową łączną K-algebrę z jedynką. Jeśli A jest algebrą, to A-modułem nazywać będziemy skończenie wymiarowy lewy A-moduł. Kategorię A-modułów będziemy oznaczać przez mod A. Pomiędzy kategoriami lewych i prawych A-modułów mamy standardową dualność D zdefiniowaną wzorem D(M) := Hom K (M, K) dla A-modułu (lewego bądź prawego) M. Niech M będzie niezerowym A-modułem. Moduł M będziemy nazywać nierozkładalnym, jeśli dla każdego rozkładu M = X Y na sumę prostą A-modułów mamy X = 0 lub Y = 0. Pełną podkategorię kategorii mod A utworzoną przez nierozkładalne A-moduły będziemy oznaczać przez ind A. 9

10 .. Algebry i moduły Moduł M jest prosty, jeśli nie zawiera w sobie żadnego właściwego niezerowego podmodułu. Sumę wszystkich prostych podmodułów modułu M będziemy nazywać cokołem soc M modułu M. Radykałem rad M modułu M nazwiemy przekrój wszystkich jego maksymalnych podmodułów. Niezerowy A-moduł P będziemy nazywać projektywnym, jeśli dla dowolnego epimorfizmu A-modułów f : M N oraz homomorfizmu g : P N istnieje homomorfizm h : P M taki, że g = fh. Jeśli M jest A-modułem, to epimorfizm f : P M będziemy nazywać nakryciem projektywnym, jeśli P jest modułem projektywnym oraz dowolny endomorfizm α : P P o własności f = f α jest automorfizmem. W powyższej sytuacji będziemy często mówić o module P jako o projektywnym nakryciu modułu M, gdyż, jak łatwo zauważyć, jest on wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. W kategorii mod A istnieją nakrycia projektywne. Rezolwentą projektywną modułu M będziemy nazywać ciąg dokładny f i f g P i Pi P P0 M 0, w którym moduły P i, i N, są projektywne. Powyższa rezolwenta jest minimalna, jeśli wszytkie homomorfizmy f i : P i Im f i, i N +, oraz homomorfizm g, są nakryciami projektywnymi. Jeśli powyższa rezolwenta jest minimalna oraz istnieje liczba naturalna d taka, że P d 0 i P d+ = 0, to mówimy, że wymiar projektywny pd A M modułu M jest równy d. W przeciwym wypadku jest on równy nieskończoność. Kres górny wymiarów projektywnych wszystkich A-modułów nazywamy wymiarem globalnym gl. dim A algebry A. Wykorzystamy teraz rezolwenty projektywne do zdefiniowania grup rozszerzeń oraz grup torsyjnych. Niech M będzie A-modułem oraz f i f g P i Pi P P0 M 0 jego minimalną rezolwentą projektywną. Niech ponadto f 0 : P 0 0 będzie odwzorowaniem zerowym. Jeśli n jest liczbą naturalną oraz N jest A- modułem, to n-tą grupą rozszerzeń Ext n A(M, N) modułu M przez moduł N będziemy nazywać grupę Ker Hom A (f n+, N)/ Im Hom A (f n, N). Podobnie, jeśli L jest prawym A-modułem, to n-tą grupą torsyjną modułów L i M, oznaczaną Tor A n (L, M), nazywamy grupę Ker(Id L A f n )/ Im(Id L A f n+ ). 0

11 .2. Kołczany Nie jest zaskakującym fakt, że pd A M = d wtedy i tylko wtedy, gdy d jest najmniejszą z liczb naturalnych k o własności Ext k+ A (M, N) = 0 dla wszystkich A-modułów N. Stąd wynika, że jeśli wymiar globalny algebry A jest skończony, to jest on najmniejszą liczbą naturalną k o własności Ext k+ A (M, N) = 0 dla wszystkich A-modułów M i N. Zauważmy jeszcze, że Ext 0 A(M, N) Hom A (M, N) oraz Tor A 0 (L, M) L A M dla wszystkich A-modułów M i N oraz dowolnego prawego A-modułu L. Pojęciem dualnym do projektywności jest injektywność. Niezerowy A- moduł I jest injektywny, jeśli dla dowolnego monomorfizmu A-modułów f : M N oraz homomorfizmu g : M I istnieje homomorfizm h : N I taki, że g = hf. Definiujemy także powłokę injektywną A-modułu M jako monomorfizm f : M I taki, że I jest modułem injektywnym oraz dowolny endomorfizm α : I I o własności f = αf jest automorfizmem. Ponownie w kategorii mod A istnieją powłoki injektywne. Analogicznie jak rezolwenty projektywne możemy zdefiniować także rezolwenty injektywne i minimalne rezolwenty injektywne oraz wykorzystać je do zdefiniowania wymiaru injektywnego id A M modułów M mod A. Ponadto wymiar globalny algebry może być równoważnie zdefiniowany jako kres górny wymiarów injektywnych A- modułów oraz przy pomocy rezolwent injektywnych można przedstawić inną konstrukcję grup rozszerzeń. W szczególności wymiar injektywny A-modułu M jest najmniejszą liczbą naturalną k o własności Ext k+ A (N, M) = 0 dla wszystkich A-modułów N. Pierwsza grupa rozszerzeń ma dobrą interpretację w postaci ciągów dokładnych. Nie będziemy jej tutaj dokładnie omawiać, istotny dla nas będzie fakt, że jeśli Ext A(M, N) 0 dla pewnych A-modułów M i N, to istnieje nierozszczepialny ciąg dokładny A-modułów postaci 0 N L M Kołczany Istotną rolę w teorii reprezentacji algebr odgrywa pojęcie kołczanu. Kołczanem będziemy nazywać układ Q = (Q 0, Q, s, e) taki, że Q 0 i Q są zbiorami, zaś s, e : Q Q 0 dwiema funkcjami. Elementy zbioru Q 0 nazywamy wierzchołkami, zaś elementy zbioru Q strzałkami. Jeśli α Q jest strzałką, to x := s(α) będziemy nazywać początkiem strzałki α, zaś y := e(α) jej końcem. Przy powyższych oznaczeniach będziemy także pisać α : x y lub x α y. Zazwyczaj będziemy opuszczać funkcje s i e, i pisać Q = (Q 0, Q ). Kołczan Q jest skończony, jeśli zbiory Q 0 i Q są skończone.

12 .2. Kołczany Niech Q = (Q 0, Q ) będzie kołczanem. Drogą w kołczanie Q długości l > 0 z wierzchołka x do wierzchołka y nazwiemy ciąg (y α l,..., α x) taki, że α,..., α l są strzałkami spełniającymi warunki e(α i ) = s(α i+ ) dla i =,..., l oraz s(α ) = x i e(α l ) = y. Ponadto dla każdego wierzchołka x definiujemy drogę (x x) długości 0. Drogę dodatniej długości z wierzchołka x do wierzchołka x nazwiemy zorientowanym cyklem. Zorientowany cykl długości (czyli strzałkę α o własności s(α) = e(α)) nazywamy pętlą. Kołczan bez zorientowanych cykli nazywa się skierowany. Jeśli dany jest skończony kołczan Q = (Q 0, Q ), to możemy zdefiniować algebrę dróg kołczanu Q. Jeśli to przestrzeń K-liniowa, której bazę stanowią wszystkie drogi w kołczanie Q, zaś mnożenie jest indukowane przez złożenie dróg zdefiniowane wzorem (z β k,..., β y)(y α l,..., α x) := (z β k,..., β, α l,, α x) dla dowolnych dróg (y α l,..., α x) i (z β k,..., β y). W przeciwnym wypadku złożenie dwóch dróg jest zerowe. Algebrę dróg kołczanu Q będziemy oznaczać przez KQ. Zauważmy, że algebra dróg kołczanu nie musi być skończenie wymiarowa, ale skończoność kołczanu Q gwarantuje nam, że posiada ona jedynkę, która jest sumą wszystkich dróg długości 0. Ze względu na powyższe mnożenie drogę (y α l,..., α x) będziemy też zapisywać jako α l α. Ideał I KQ będziemy nazywać dopuszczalnym, jeśli wszystkie niezerowe elementy ideału I są kombinacjami liniowymi dróg długości co najmniej 2 oraz istnieje liczba naturalna n 2 taka, że wszystkie drogi kołczanu Q długości co najmniej n należą do I. Układ (Q, I) złożony z kołczanu Q oraz ideału dopuszczalnego I KQ będziemy nazywać kołczanem ograniczonym przez ideał I. Zauważmy, że jeśli (Q, I) jest kołczanem ograniczonym, to algebra A := KQ/I jest skończenie wymiarowa i bazowa, tzn. algebra ilorazowa A/ rad A jest produktem skończonej ilości kopii ciała K. Zauważmy przy tym, że rad A jest to przestrzeń liniowa rozpięta przez wszystkie drogi dodatniej długości. Mamy także twierdzenie odwrotne (patrz [Ga2], a także [Ga3]). Twierdzenie.2. (Gabriel). Jeśli A jest algebrą bazową, to istnieje wyznaczony jednoznacznie kołczan Q oraz ideał dopuszczalny I KQ taki, że A KQ/I. Kołczan, o którym mowa w twierdzeniu, będziemy nazywać kołczanem algebry A oraz oznaczać przez Q A. Od tego momentu zakładać będziemy, że wszystkie rozważane algebry są bazowe. 2

13 .2. Kołczany Ciekawy jest związek między kołczanem algebry A i algebry przeciwnej A op. Przypomnijmy, że jeśli A jest algebrą, to algebra przeciwna A op do A jest to algebra określona na tej samej przestrzeni liniowej co A z działaniem danym wzorem a b := ba dla a, b A. Jeśli A KQ/I, Q = (Q 0, Q ), to wtedy A op KQ op /I op, gdzie Q op := (Q op 0, Q op ), przy czym Q op 0 = Q 0, zaś dla każdej strzałki α : x y w Q mamy strzałkę α op : y x w Q op. Ponadto element i λ iα op i, αop i,l i należy do I op wtedy i tylko wtedy, gdy i λ iα i,li α i, należy do I. Kołczan Q op nazywamy kołczanem przeciwnym do Q. Powyższe twierdzenie pozwala nam utożsamić moduły z reprezentacjami kołczanów. Niech (Q, I), gdzie Q = (Q 0, Q ), będzie kołczanem ograniczonym. Reprezentacją kołczanu (Q, I) nazywać będziemy układ (V x, V α ) x Q0 α Q skończenie wymiarowych przestrzeni K-liniowych V x, x Q 0, oraz przekształceń K-liniowych V α : V s(α) V e(α), α Q, takich, że zachodzi równość i λ iv αi,li V αi, = 0 dla każdego elementu i λ iα i,li α i, ideału I takiego, że e(α i,li ) = e(α j,lj ) i s(α i, ) = s(α j, ) dla wszystkich indeksów i i j. Jeśli V = (V x, V α ) i W = (W x, W α ) są dwiema reprezentacjami kołczanu (Q, I), to morfizm f : V W reprezentacji zadany jest przez układ (f x ) x Q0 przekształceń K-liniowych takich, że f x : V x W x, x Q 0, oraz dla każdej strzałki α Q mamy równość f e(α) V α = W α f s(α). Kategorię wszystkich reprezentacji kołczanu (Q, I) oznaczać będziemy przez rep(q, I). Jeśli A := KQ/I i M jest A-modułem, to możemy z nim związać reprezentację (M x, M α ) określoną wzorami M x := (x x)m, M α v := αv, dla x Q 0, α Q, v M s(α). Podobnie, każdej reprezentacji (V x, V α ) rep(q, I) można przyporządkować A-moduł V zdefiniowany na przestrzeni liniowej x Q 0 V x, w którym mnożenie przez elementy postaci (x x), x Q 0, polega na wyliczaniu x-tej współrzędnej w powyższym rozkładzie na sumę prostą, mnożenie przez strzałki jest indukowane przez odwzorowania V α, α Q, zaś mnożenie przez dowolny element algebry A jest naturalnym rozszerzeniem tego mnożenia. Powyższe wzory, wraz z analogicznymi wzorami dla morfizmów, zadają równoważność kategorii mod A i rep(q, I). Opiszemy teraz kilka podstawowych klas A-modułów, gdzie A = KQ/I, Q = (Q 0, Q ). Niech x Q 0. Definiujemy moduły P x := A(x x) i I x := D((x x)a). Wtedy moduły P y, y Q 0, tworzą pełny układ parami nieizomorficznych nierozkładalnych projektywnych A-modułów, zaś moduły I y, y Q 0, pełnią tę samą rolę wśród nierozkładalnych A-modułów injektywnych. Ponadto, jeśli S x := P x / rad P x = soc I x, to moduły S y, y Q 0, tworzą 3

14 .2. Kołczany pełny układ parami nieizomorficznych prostych A-modułów. Można udowodnić, że w opisanej sytuacji reprezentacja (E y, E α ) odpowiadająca modułowi S x opisana jest wzorami E y = δ x,y K, E α = 0, dla y Q 0, α Q. Ponadto P x jest nakryciem projektywnym modułu S x, zaś I x jego powłoką injektywną. Na zakończenie tego paragrafu wprowadzimy jeszcze użyteczne słownictwo związane z kołczanami. Przede wszystkim, jeśli x i y są takimi wierzchołkami kołczanu Q, że w Q istnieje droga z x do y, to x nazywamy poprzednikiem wierzchołka y, zaś y następnikiem wierzchołka x. W sytuacji, gdy wierzchołki x i y są połączone strzałką o początku x i końcu y, to x nazywamy bezpośrednim poprzednikiem wierzchołka y, zaś y bezpośrednim następnikiem wierzchołka x. Zbiór wszystkich bezpośrednich poprzedników wierzchołka z będziemy oznaczać przez z, zaś zbiór wszystkich jego bezpośrednich następników przez z +. Wierzchołek z jest źródłem w Q, jeśli z =, oraz jest ujściem w Q, gdy z + =. Bezpośredni poprzednicy i bezpośredni następnicy wierzchołka z są nazywani jego sąsiadami. Kołczan Q jest lokalnie skończony, jeśli każdy jego wierzchołek ma skończoną liczbę sąsiadów. Kołczan Q jest spójny, jeśli dla dowolnych jego wierzchołków x i y, istnieje ciąg wierzchołków z 0 = x, z,..., z l, z l = y taki, że z i jest sąsiadem wierzchołka z i dla i =,..., l. Każdy kołczan Q można w jednoznaczny sposób przedstawić w postaci rozłącznej sumy spójnych kołczanów Q (i) = (Q (i) 0, Q (i) ), i =,..., t, tzn. Q 0 = Q () 0 Q (t) 0, Q = Q () Q (t), Q (i) 0 Q (j) 0 =, Q (i) Q (j) =, i j. Kołczany Q (i), i =,..., t, nazywamy składowymi kołczanu Q. Niech Q = (Q 0, Q, s, e) i Q = (Q 0, Q, s, e ) będą dwoma kołczanami. Będziemy mówić, że Q jest podkołczanem kołczanu Q, jeśli Q 0 Q 0, Q Q, oraz s (α) = s(α) i e (α) = e(α) dla wszystkich α Q. Zauważmy, że składowe kołczanu są jego podkołczanami w myśl powyższej definicji. Podkołczan Q jest wypukły, jeśli dla każdej drogi (y α l,..., α x) o własności x, y Q 0, mamy α i Q, i =,..., l. Zauważmy, że warunek ten implikuje, iż s(α i ), e(α i ) Q, i =,..., l. Podkołczan Q jest pełny, jeśli Q = {α Q s(α), e(α) Q 0}. Oczywistym jest, że każdy podkołczan wypukły jest też pełnym podkołczanem. Pojęcie wypukłości podkołczanu oraz twierdzenie Gabriela.2. pozwalają nam zdefiniować pojęcie podalgebry wypukłej. Algebra B jest wypukłą podalgebrą algebry A = KQ/I, jeśli B = KQ /I dla pewnego wypukłego 4

15 .3. Kołczany z translacją podkołczanu Q kołczanu Q i I := I KQ. Zauważmy, że gdy B jest wypukłą podalgebrą algebry A, to dzięki utożsamieniu modułów z reprezentacjami każdy B-moduł jest w naturalny sposób A-modułem, zaś dla każdego A- modułu M mamy zdefiniowane obcięcie M B modułu M do algebry B..3. Kołczany z translacją Układ Γ = (Γ 0, Γ, τ) nazwiemy kołczanem z translacją, jeśli (Γ 0, Γ ) jest lokalnie skończonym kołczanem bez pętli, zaś τ : Γ 0 Γ 0 funkcją różnowartościową taką, że Γ 0 Γ 0 oraz dla każdego z Γ 0 i y Γ 0 ilość strzałek z y do z jest równa ilości strzałek z τz do y (w szczególności (τz) + = z, co jest wystarczające, gdy w kołczanie Γ dowolne dwa wierzchołki łączy co najwyżej jedna strzałka). Jeśli ponadto z dla każdego z Γ 0, to kołczan Γ nazwiemy właściwym. Funkcję τ będziemy nazywać translacją. Wierzchołki kołczanu Γ 0, które nie należą do Γ 0, nazwiemy projektywnymi, zaś wierzchołki, które nie należą do τ(γ 0), injektywnymi. Każdy zbiór postaci {τ k x k Z} dla pewnego x Γ 0 tworzy τ-orbitą. τ-orbitę bez wierzchołków projektywnych i injektywnych nazywamy stabilną. Kołczan, którego wszystkie τ-orbity są stabilne (tzn. taki, dla którego Γ 0 = Γ 0 i τ jest bijekcją) nazywa się stabilny. Niech Γ = (Γ 0, Γ, τ) i Γ = (Γ 0, Γ, τ ) będą dwoma kołczanami z translacją. Kołczan Γ jest pełnym podkołczanem z translacją kołczanu Γ, jeśli (Γ 0, Γ ) jest pełnym podkołczanem kołczanu (Γ 0, Γ ) oraz τ x = y wtedy i tylko wtedy, gdy x, y Γ 0 oraz τx = y. Właściwy i skierowany kołczan z translacją Γ nazwiemy preprojektywnym, jeśli ma on skończenie wiele τ-orbit, z których każda zawiera wierzchołek projektywny. Jeśli Γ jest składową kołczanu z translacją Γ, która jest preprojektywna, to wierzchołki kołczanu Γ będziemy nazywać preprojektywnymi. Dualnie definiujemy kołczan preinjektywny i wierzchołki preinjektywne. Niech Q = (Q 0, Q ) będzie lokalnie skończonym kołczanem. Zdefiniujemy stabilny kołczan z translacją ZQ następująco. Zbiorem wierzchołków (ZQ) 0 kołczanu ZQ jest zbiór Z Q 0, zaś dla każdej strzałki α : x y w Q i każdej liczby n Z, mamy strzałki (n, α) : (n, x) (n, y) i (n, α) : (n, y) (n, x) w ZQ. Ponadto definiujemy translację τ : Z Q 0 Z Q 0 wzorem τ(n, x) := (n, x) dla n Z, x Q 0. Jeśli I Z, to przez IQ oznaczamy pełny podkołczan z translacją kołczanu ZQ o zbiorze wierzchołków I Q 0. 5

16 .3. Kołczany z translacją Ustalmy liczbę naturalną k > 0 oraz lokalnie skończony kołczan Q = (Q 0, Q ). W zbiorze Z Q 0 wprowadzamy relację równoważności wzorem (n, x) (m, y) wtedy i tylko wtedy, gdy x = y i k m n. Podobnie definiujemy relację równoważności w zbiorze strzałek kołczanu ZQ. Otrzymany w ten sposób kołczan ilorazowy, wraz z translacją pochodzącą od τ, oznaczać będziemy przez ZQ/(τ k ). Niech A będzie kołczanem o zbiorze wierzchołków N + i strzałek z n do n + dla każdego n N +. Kołczan ZA /(τ k ) nazwiemy stabilną rurą rangi k. Stabilne rury rangi nazywamy jednorodnymi. Zbiór wierzchołków stabilnej rury postaci [(n, r)], n Z, nazywać będziemy poziomem r, r > 0. Niech Γ = (Γ 0, Γ, τ) będzie kołczanem z translacją. Drogę x 0 x x l nazwiemy sekcyjną, jeśli x i τx i+2 dla i = 0,..., l 2. Podobnie definiujemy nieskończone drogi sekcyjne. Niech x będzie wierzchołkiem kołczanu Γ. Definiujemy pełne podkołczany x i x (bez translacji) kołczanu Γ o zbiorach wierzchołków danych wzorami (x ) 0 := {y Γ 0 istnieje droga z x do y i każda droga z x do y jest sekcyjna}, (x ) 0 := {y Γ 0 istnieje droga z y do x i każda droga z y do x jest sekcyjna}. W pewnych przypadkach kołczany x i x będą stanowić przykłady przekrojów. Załóżmy, że kołczan Γ jest spójny. Spójny, wypukły, skierowany i pełny podkołczan (bez translacji) Σ kołczanu Γ będziemy nazywać przekrojem wtedy i tylko wtedy, gdy część wspólna jego zbioru wierzchołków z każdą τ-orbitą w Γ jest jednoelementowa. Niech Γ = (Γ 0, Γ, τ) będzie kołczanem z translacją. Funkcję f : Γ 0 Z nazywamy addytywną na Γ, jeśli f(x) + f(τx) = f(s(α)) α Γ,e(α)=x lub równoważnie f(x) + f(τx) = f(e(α)) α Γ,s(α)=τx 6

17 .4. Kołczan Auslandera Reiten dla wszystkich nieprojektywnych wierzchołków x Γ 0. Założmy dodatkowo, że kołczan Γ jest skierowany, spójny i posiada skończoną liczbę τ-orbit. Dla każdego wierzchołka x kołczanu Γ oznaczmy przez Γ (x) pełny podkołczan z translacją kołczanu Γ, którego zbiorem wierzchołków Γ (x) 0 jest zbiór wszystkich następników wierzchołka x. Przez d Γ oznaczać będziemy funkcję d Γ : Γ 0 Γ 0 Z spełniającą warunki: () d Γ (x, y) = 0, jeśli nie istnieje droga z x do y; (2) d Γ (x, x) = ; (3) jeśli x Γ 0, y x jest wierzchołkiem projektywnym w Γ (x), to d Γ (x, y) = d Γ (x, s(α)); α Γ,e(α)=y (4) funkcja d Γ (x, ) (x) Γ jest addytywna na Γ (x) dla dowolnego x Γ 0. 0 Można pokazać, że funkcja d Γ istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie przez powyższe warunki..4. Kołczan Auslandera Reiten Ustalmy algebrę A. Niech X będzie nierozkładalnym A-modułem. Homomorfizm f : X Y nazwiemy minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, jeśli () f nie jest rozszczepialnym monomorfizmem; (2) dla każdego homomorfizmu g : X M, który nie jest nierozszczepialnym monomorfizmem, istnieje homomorfizm h : Y M taki, że g = hf; (3) jeśli endomorfizm α : Y Y spełnia warunek αf = f, to α jest automorfizmem. Analogicznie definiujemy minimalne prawe prawie rozszczepialne odwzorowania. Zauważmy, że minimalne prawie rozszczepialne odwzorowania są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu. Jeśli moduł P jest nierozkładalnym modułem projektywnym, to włożenie rad P P jest minimalnym prawym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. Jeśli nierozkładalny moduł Z nie jest projektywny, to także istnieje minimalne prawe prawie rozszczepialne odwzorowanie g : Y Z i jest ono epimorfizmem. Ponadto wtedy moduł Ker g jest nierozkładalny i włożenie Ker g Y jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. W powyższej sytuacji 7

18 .4. Kołczan Auslandera Reiten piszemy Ker g = τ A Z. Podobnie, gdy I jest nierozkładalnym modułem injektywnym, to odwzorowanie ilorazowe I I/ soc I jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem. Dla nierozkładalnych modułów nieinjektywnych X minimalne lewe prawie rozszczepialne odwzorowania f : X Y są monomorfizmami takimi, że kanoniczne surjekcje Y Y/ Im f są minimalne prawe prawie rozszczepialne. Piszemy Y/ Im f = τ A X. Zauważmy, że gdy nierozkładalny A-moduł Z nie jest projektywny, to τ A Z nie jest injektywny i τ A (τ AZ) Z. Podobnie τ A (τ A X) X dla nierozkładalnego nieinjektywnego A-modułu X. Funkcje τ A i τ A nazywamy translacjami Auslandera Reiten. Translacje Auslandera Reiten znajdują zastosowanie przy liczeniu grup rozszerzeń. Niech M i N będą A-modułami. Przez Hom A (M, N) oznaczać będziemy przestrzeń Hom A (M, N) podzieloną przez podprzestrzeń utworzoną przez wszystkie homomorfizmy f : M N, dla których istnieją moduł projektywny P oraz homomorfizmy g : M P i h : P N takie, że f = hg (tzn. homomorfizmy faktoryzujące się przez moduły projektywne). Podobnie Hom A (M, N) jest ilorazem przestrzeni Hom A (M, N) przez podprzestrzeń homomorfizmów, które faktoryzują się przez moduły injektywne. Dla dowolnych nierozkładalnych A-modułów X i Y mamy wzory, zwane wzorami Auslandera Reiten [AuRe] Ext A(X, Y ) D Hom A (τ A Y, X) D Hom A(Y, τ A X), przy czym w powyższych wzorach stosujemy umowę, że τ A X = 0, gdy X jest projektywny, oraz τ A Y = 0, jeśli Y jest injektywny. Innym zastosowaniem translacji Auslandera Reiten jest liczenie wymiarów homologicznych modułów. Dokładniej, jeśli X jest nierozkładalnym A- modułem, to pd A X > wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje moduł injektywny I o własności Hom A (I, τ A X) 0 (równoważnie możemy napisać Hom A (D(A), τ A X) 0). Analogicznie id A X > jeśli Hom A (τ A X, A) 0 (tzn. istnieje moduł projektywny P o własności Hom A (τ A X, P ) 0). Zauważmy, że konsekwencją tych faktów jest prostsza postać wzorów Auslandera Reiten dla modułów, których projektywny bądź injektywny wymiar nie przekracza. Mamy mianowicie wzory Ext A(X, Y ) D Hom A (τ A Y, X) jeśli id A Y i Ext A(X, Y ) D Hom A (Y, τ A X) jeśli pd A X. Ciąg dokładny A-modułów 0 X f Y g Z 0 nazwiemy ciągiem Auslandera Reiten, jeśli moduły X i Z są nierozkładalne, zaś f i g są minimalnymi, odpowiednio lewym i prawym, odwzorowaniami 8

19 .5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera prawie rozszczepialnymi. Zauważmy, że z powyższych rozważań wynika, że moduł X nie może być injektywny, moduł Z nie może być projektywny, oraz X τ A Z i Z τ A X. Powyższe pojęcia pozwolą nam zdefiniować pojęcie kołczanu Auslandera Reiten algebry A, który będziemy oznaczać przez Γ A. Jest to kołczan z translacją, którego zbiorem wierzchołków jest zbiór klas izomorfizmów nierozkładalnych A-modułów, które będziemy także identyfikować z samymi modułami. Jeśli X i Y są dwoma nierozkładalnymi A-modułami, X M jest minimalnym lewym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, N Y jest minimalnym prawym prawie rozszczepialnym odwzorowaniem, to ilość strzałek z X do Y w Γ A jest równa krotności modułu Y w M lub, równoważnie, modułu X w N. Translacja w kołczanie Γ A jest indukowana przez τ A. Dzięki utożsamieniu nierozkładalnych A-modułów z wierzchołkami kołczanu Γ A możemy mówić o nierozkładalnych modułach preprojektywnych i preinjektywnych. Ogólnie, moduł będziemy nazywać preprojektywnym, gdy jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preprojektywnych, zaś preinjektywnym, gdy jest sumą prostą nierozkładalnych modułów preinjektywnych. Jeśli C jest składową skierowaną kołczanu Auslandera Reiten o skończonej liczbie τ A -orbit, to będziemy mówić, że składowa C jest standardowa, jeśli mamy równość dim K Hom A (X, Y ) = d C (X, Y ) dla wszystkich nierozkładalnych A-modułów X i Y należących do C. Przypomnijmy, że funkcja d C została zdefiniowana w paragrafie Grupa Grothendiecka i forma Eulera Niech A = KQ/I będzie algebrą, gdzie Q = (Q 0, Q ) jest jej kołczanem. Definiujemy grupę Grothendiecka K 0 (A) kategorii mod A jako Z Q 0. Elementy grupy K 0 (A) będziemy nazywać wektorami. W grupie K 0 (A) możemy wprowadzić porządek. Jeśli x, y K 0 (A), to x y wtedy i tylko wtedy, gdy x(x) y(x) dla każdego x Q 0. Możemy także mówić o nierównościach ostrych. W szczególności w K 0 (A) mamy wektory dodatnie określone przez warunek x > 0. Dla każdego A-modułu M definiujemy wektor wymiaru dim M K 0 (A) wzorem dim M(x) := dim K (x x)m dla x Q 0. Wektory wymiaru mają dobrą interpretację. Okazuje się bowiem, że dim M(x) = dim K Hom A (P x, M) = dim K Hom A (M, I x ) 9

20 .5. Grupa Grothendiecka i forma Eulera dla x Q 0. Warto dodać, że wzory zadające równoważność kategorii mod A i rep(q, I) implikują, iż jeśli 0 N L M 0 jest ciągiem dokładnym A-modułów, to dim L = dim M + dim N. Wektor x K 0 (A) jest spójny, jeśli jego nośnik supp x := {x Q 0 x(x) 0} jest spójny. (Dokładniej, pełny podkołczan kołczanu Q generowany przez supp x jest spójny. Często pisząc supp x będziemy mieli na myśli ten kołczan.) Nośnik wektora wymiaru modułu M będziemy nazywać nośnikiem supp M modułu M. Zauważmy, że jeśli B = KQ /I jest wypukłą podalgebrą algebry A, to kategorię mod B możemy utożsamiać z pełną podkategorią kategorii mod A utworzoną przez A-moduły o nośniku zawartym w Q. Jeśli C jest składową kołczanu Auslandera Reiten algebry A, to będziemy także mówić o nośniku supp C tej składowej, który jest zdefiniowany wzorem supp C := X C supp X. Zauważmy, że jeśli M i N są dwoma A-modułami o własności supp M supp N =, to Hom A (M, N) = 0. Wektor x jest wierny, gdy supp x = Q. Podobnie definiujemy wierne A-moduły. Wyróżnimy pewne wektory wymiaru. Określamy p x := dim P x, q x := dim I x i e x := dim S x dla x Q 0. Mamy wtedy wzory e x (y) = δ x,y dla x, y Q 0. Definiujemy macierz Cartana C A algebry A jako Q 0 Q 0 -macierz określoną warunkiem C A (x, y) := dim K Hom A (P x, P y ) = dim K Hom A (I x, I y ). Jeśli macierz C A jest odwracalna (tak jest na przykład, gdy algebra A jest trójkątna, tzn. kołczan Q jest skierowany), to możemy zdefiniować dwuliniową formę, A na K 0 (A) wzorem x, y A := x(c A )T y T dla x, y K 0 (A). Ringel pokazał (patrz [Ri2]), że forma ta ma następującą interpretację homologiczną. Jeśli M i N są A-modułami takimi, że pd A M < lub id A N <, to dim M, dim N A = ( ) i dim K Ext k A(M, N). k=0 Formę kwadratową χ A daną wzorem χ A (x) := x, x A 20

21 .6. Typ reprezentacyjny algebr dla x K 0 (A) nazwiemy formą Eulera algebry A. Będziemy także korzystać z symetrycznej formy dwuliniowej (, ) A zdefiniowanej warunkiem dla x, y K 0 (A). (x, y) A := x, y A + y, x A W przypadku, gdy algebra A jest trójkątna oraz gl. dim A 2, to, jak pokazał Bongartz [Bon2], forma, A ma opis kombinatoryczny. Niech x i y będą wierzchołkami kołczanu Q. Definiujemy I(x, y) jako przekrój ideału I z przestrzenią liniową generowaną przez wszystkie drogi z x do y. Określamy I 0 jako podzbiór zbioru a,b Q0 I(a, b) generujący ideał I o najmniejszej możliwej ilości elementów. Niech r(x, y) := I 0 I(x, y). Przy powyższych założeniach i oznaczeniach mamy równość x, y A = a Q 0 x(a)y(a) α Q x(s(α))y(e(α)) + a,b Q 0 r(a, b)x(a)y(b). Mówimy, że forma χ A kontroluje kategorię mod A, jeśli spełnione są następujące warunki: () χ A (dim X) {0, } dla każdego nierozkładalnego A-modułu X; (2) dla każdego spójnego dodatniego wektora x K 0 (A) takiego, że χ A (x) =, istnieje dokładnie jeden (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalny A-moduł X taki, że dim X = x; (3) dla każdego spójnego dodatniego wektora x K 0 (A) takiego, że χ A (x) = 0, istnieje nieskończenie wiele parami nieizomorficznych A-modułów X λ, λ K, takich, że dim X λ = x. Spójne i dodatnie wektory x K 0 (A) o własności χ A (x) = będziemy nazywać pierwiastkami formy χ A, podczas gdy te, dla których χ A (x) = 0, nazwiemy 0-pierwiastkami. Będziemy mówić, że forma χ A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy χ A (x) > 0 dla wszystkich x K 0 (A), x 0. Jeśli w powyższym warunku dopuścimy nierówność nieostrą, tzn. jeśli χ A (x) 0 dla x K 0 (A), to formę χ A nazywamy dodatnio półokreśloną. Ograniczając się do badania powyższych nierówności tylko dla wektorów dodatnich dostajemy pojęcia słabej dodatniości i słabej nieujemności formy χ A..6. Typ reprezentacyjny algebr Niech A będzie algebrą. Będziemy mówić, że A jest skończonego typu reprezentacyjnego, jeśli w mod A jest skończenie wiele parami nieizomorficznych 2

22 .6. Typ reprezentacyjny algebr nierozkładalnych modułów. O algebrach, które nie są skończonego typu reprezentacyjnego, będziemy mówić, że są nieskończonego typu reprezentacyjnego. Powiemy, że A jest oswojonego typu reprezentacyjnego, gdy dla każdej liczby naturalnej dodatniej d istnieją A-K[X]-bimoduły M,..., M n, które są wolne skończonej rangi jako prawe K[X]-moduły oraz prawie wszystkie, z dokładnością do izomorfizmu, d-wymiarowe nierozkładalne A-moduły można przedstawić w postaci M i K[X] K[X]/(X λ) dla pewnego λ K i i {,..., n}. Przypomnijmy, że K[X] oznacza pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w K. Najmniejszą z liczb naturalnych n o powyższej własności będziemy oznaczać przez µ A (d). Jeśli istnieje liczba naturalna m taka, że µ A (d) m dla wszystkich d N +, to mówimy, że algebra A jest algebrą co najwyżej m-parametryczną. Jeśli A jest algebrą co najwyżej m-parametryczną, ale nie jest algebrą co najwyżej (m )-parametryczną, to mówimy, że A jest algebrą m-parametryczną. O wszystkich algebrach m- parametrycznych, m N, będziemy mówić, że są algebrami domowego typu reprezentacyjnego, lub krócej algebrami domowymi. O algebrze, która nie jest oswojonego typu reprezentacyjnego będziemy mówić, że jest dzikiego typu reprezentacyjnego. Czasami w celu skrócenia zapisu będziemy też mówić o algebrach dzikich i oswojonych. Zauważmy, że algebry skończonego typu reprezentacyjnego są algebrami 0-parametrycznymi, a więc są algebrami oswojonego typu. Problem typu reprezentacyjnego jest w pełni opisany dla algebr dziedzicznych. Algebra A jest dziedziczna, jeśli gl. dim A. Równoważnie można powiedzieć, że ma to miejsce, gdy A KQ dla pewnego skończonego kołczanu Q bez zorientowanych cykli. Mamy następujące twierdzenia (patrz [Ga], [DonFr], [Na]). Twierdzenie.6. (Gabriel). Jeśli Q jest skończonym i spójnym kołczanem bez zorientowanych cykli, zaś A := KQ, to następujące warunki są równoważne: (a) algebra A jest skończonego typu reprezentacyjnego; (b) forma χ A jest dodatnio określona; (c) Q jest kołczanem Dynkina. Twierdzenie.6.2 (Donovan Freislich, Nazarowa). Dla skończonego i spójnego kołczanu Q bez zorientowanych cykli takiego, że algebra A := KQ jest nieskończonego typu reprezentacyjnego, następujące warunki są równoważne: (a) algebra A jest oswojonego typu reprezentacyjnego; 22

23 .6. Typ reprezentacyjny algebr (b) forma χ A jest dodatnio półokreślona; (c) Q jest kołczanem Euklidesa. W przypadku obu twierdzeń forma χ A kontroluje kategorię mod A. Poniżej przedstawiamy listę grafów Dynkina i Euklidesa. Odpowiednie kołczany powstają z nich przez zorientowanie krawędzi, przy czym w przypadku grafu Ãn trzeba zadbać, aby nie powstał zorientowany cykl. Grafy Dynkina A n : n wierzcho lk ow, n D m : m wierzcho lk ow, m 4 E 6 : E 7 : E 8 : Ã n : Grafy Euklidesa (n + ) wierzcho lk ow, n D m : (m + ) wierzcho lk ow, m 4 23

24 .6. Typ reprezentacyjny algebr Ẽ 6 : Ẽ 7 : Ẽ 8 : Ze względu na powyższe twierdzenia spójne i skierowane kołczany, które nie są ani kołczanami Dynkina ani Euklidesa, będziemy nazywać dzikimi. Opiszemy teraz postać kołczanu Γ A algebry A := KQ, jeśli Q jest kołczanem Dynkina bądź Euklidesa. W sytuacji, gdy Q jest kołczanem Dynkina, to kołczan Γ A ma tylko jedną skończoną, skierowaną i standardową składową, jest więc jednocześnie preprojektywny i preinjektywny. Załóżmy teraz, że Q jest kołczanem Euklidesa. Wtedy Γ A składa się ze składowej preprojektywnej P, rodziny T = (T λ ) λ P (K) stabilnych rur, gdzie P (K) := K { }, oraz składowej preinjektywnej Q. Składowa preprojektywna ma postać NQ i zawiera wszystkie nierozkładalne moduły projektywne, składowa preinjektywna ma postać ( N)Q i znajdują się w niej wszystkie nierozkładalne moduły injektywne. Ponadto obie składowe są standardowe. Wszystkie rury T λ, λ P (K), są stabilne i prawie wszystkie są jednorodne. Istnieje dodatni wektor h K 0 (A) taki, że jeśli χ A (x) = 0 dla pewnego dodatniego wektora x, to x jest postaci ph dla pewnego p N +. Wektor h jest wierny oraz nierozkładalny A-moduł ma wektor wymiaru równy ph, p N +, wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się w pewnej rurze T λ na poziomie rp, gdzie r jest rangą rury T λ. Wynika z tego, że algebra A jest algebrą co najmniej -parametryczną. W istocie jest ona -parametryczna. Rodzina rur T separuje składowe P i Q, tzn. dla każdego homomorfizmu f : X Y takiego, że X P i Y Q, oraz dla dowolnego λ P (K), istnieją moduł H T λ oraz homomorfizmy g : X H i h : H Y takie, że f = gh. Z własności tej wynika, że jeśli przy powyższych oznaczeniach f 0, to dla każdego nierozkładalnego A-modułu H o wektorze wymiaru postaci ph, p N +, mamy Hom A (X, H) 0 i Hom A (H, Y ) 0. Mamy ponadto równości Hom A (H, X) = 0, Hom A (Y, X) = 0, Hom A (Y, H) = 0, dla dowolnych X P, H T, Y Q, oraz Hom A (H, H 2 ) = 0 dla H T λ, 24

25 .7. Rozszerzenia jednopunktowe algebr H 2 T µ, λ µ..7. Rozszerzenia jednopunktowe algebr Niech A będzie algebrą, zaś R A-modułem. Jednopunktowym rozszerzeniem A[R] algebry A przez moduł R nazywamy algebrę postaci [ ] A R { [ ] a r } A[R] := := a A, r R, λ K. 0 K 0 λ Algebra A jest w powyższej sytuacji wypukłą podalgebrą algebry A[R], kołczan algebry A[R] powstaje przez dodanie do kołczanu algebry A jednego wierzchołka ω, będącego źródłem, przy czym rad P ω = R oraz I ω = S ω. Z drugiej strony, gdy B jest algebrą, zaś wierzchołek x jest źródłem w Q B, to B = C[rad P x ], gdzie C jest wypukłą podalgebrą algebry B o kołczanie powstającym z Q B przez usunięcie wierzchołka x i wszystkich wychodzących z niego strzałek. Kategorię A[R]-modułów możemy utożsamić z kategorią trójek postaci (V 0, V ω, γ V ), gdzie V 0 jest A-modułem, V ω przestrzenią liniową, zaś γ V : V ω Hom A (R, V 0 ) przekształceniem liniowym. Jeśli V = (V 0, V ω, γ V ) i W = (W 0, W ω, γ W ) są dwoma obiektami tej kategorii, to morfizm f : V W jest dany przez parę f = (f 0, f ω ), gdzie f 0 : V 0 W 0 jest homomorfizmem A-modułów, zaś f ω : V ω W ω jest przekształceniem liniowym, przy czym Hom A (R, f 0 )γ V = γ W f ω. Trójce (V 0, V ω, γ V ) odpowiada A[R]-moduł określony na przestrzeni liniowej V 0 V ω wzorem [ ] [ ] [ ] a r m am + [γv (v)](r) := 0 λ v λv dla a A, r R, λ K, m V 0, v V ω. Ponadto z opisu tego wynika, że jeśli M jest A-modułem, który możemy identyfikować z trójką (M, 0, 0), zaś N jest A[R]-modułem, to Hom A[R] (M, N) = Hom A (M, N A ), oraz jeśli Hom A (N A, M) = 0, to Hom A[R] (N, M) = 0. Korzystając z powyższego utożsamienia możemy opisać ciągi Auslandera Reiten w mod A[R] o końcach w A-modułach, zwane ciągami podniesionymi [Ri2, (2.5)]. Jeśli 0 X f Y g Z 0 25

26 .7. Rozszerzenia jednopunktowe algebr jest ciągiem Auslandera Reiten w mod A, to 0 (X, X, Id X ) (f, Id X ) (Y, X, f ) (g,0) (Z, 0, 0) 0 jest ciągiem Auslandera Reiten w mod A[R], gdzie := Hom A (R, ) jest funktorem z kategorii mod A do kategorii przestrzeni wektorowych. Funktor Hom A (R, ) pozwoli nam także sformułować kryterium, które będzie użyteczne przy badaniu, kiedy kategoria ind A jest koskończona w ind A[R], tzn. prawie wszystkie nierozkładalne A[R]-moduły są postaci (X, 0, 0), gdzie X jest nierozkładalnym A-modułem. Aby sformułować owe kryterium w bardziej zwarty sposób wprowadzimy użyteczną terminologię. Będziemy mówić, że dwa nierozkładalne A-moduły X i Y są nieporównywalne (ze względu na moduł R) wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieją homomorfizmy f : X Y i g : Y X takie, że Hom A (R, f) 0 lub Hom A (R, g) 0. W przypadku, gdy moduły X i Y nie są izomorficzne oraz istnieje homomorfizm f : X Y taki, że Hom A (R, f) 0, to będziemy pisać X Y. Zauważmy, że gdy X Y, to Hom A (R, X) 0 i Hom A (R, Y ) 0. Mamy następujące twierdzenie [Kl], (patrz także [Si]). Twierdzenie.7. (Kleiner). Niech A będzie algebrą i R A-modułem takim, że dim K Hom A (R, X) dla wszystkich X ind A oraz istnieje skończenie wiele (z dokładnością do izomorfizmu) nierozkładalnych A-modułów X takich, że Hom A (R, X) 0. Wtedy, kategoria ind A jest koskończona w ind A[R] wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma miejsca żadna z następujących sytuacji: (a) istnieją parami nieporównywalne nierozkładalne A-moduły X, X 2, X 3, X 4 takie, że Hom A (R, X i ) 0 dla i =, 2, 3, 4; (b) istnieją nierozkładalne A-moduły X, X 2, Y, Y 2, Z, Z 2 takie, że X X 2, Y Y 2, Z Z 2, oraz moduły oznaczone różnymi literami są nieporównywalne; (c) istnieją nierozkładalne A-moduły X, X 2, X 3, Y, Y 2, Y 3, Z takie, że X i X j, Y i Y j, dla i < j, Hom A (R, Z) 0, oraz moduły oznaczone różnymi literami są nieporównywalne; (d) istnieją nierozkładalne A-moduły X, X 2, X 3, X 4, X 5, Y, Y 2, Z takie, że X i X j, dla i < j, Y Y 2, Hom A (R, Z) 0, oraz moduły oznaczone różnymi literami są nieporównywalne; (e) istnieją nierozkładalne A-moduły X, X 2, X 3, X 4, Y, Y 2, Z, Z 2 takie, że X i X j, dla i < j, Y Y 2, Z Z 2, oraz moduły oznaczone różnymi literami są nieporównywalne, z wyjątkiem Z Y 2. 26