Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa rozumaa dwojao. Częścej używaym pojęcem jest tzw. agregacja obetów, w przypadu tórej p. produt arodowy brutto jest agregatem producj wytworzoej przez poszczególe przedsęborstwa, a des gełdowy może być tratoway jao zagregowae odbce sytuacj zachodzącej a ryach poszczególych paperów wartoścowych. W drugm rozumeu mamy a myśl agregację czasową szeregów, tóre mogą być obserwowae z różą częstotlwoścą: p. co mutę, codzee, co tydzeń, co mesąc tp. W ejszym artyule wyorzystae zostaą obydwa pojęca agregacj. Główym celem artyułu jest próba oreślea wpływu agregacj czasowej szeregów obserwowaych a GPW w Warszawe a ch własośc dyamcze. Podstawowym przedmotem zateresowaa są stopy zwrotu z acj obserwowae w orese.0.995 3..00. Pytaa postawoe przed podjęcem badaa były astępujące: - czy agregacja czasowa zmea własośc aalzowaych procesów? - czy steje możlwość wyryca oresu cylu (lub cyl) wspólego dla węszośc szeregów obserwowaych a ryu aptałowym? - czy ewetuale wyryce cylu może meć jaeś mplacje pratycze? W celu zalezea odpowedz wyorzystae zostaą arzędza z zaresu aalzy spetralej, gdyż posadaa lczba obserwacj umożlwa ch stosowae. Agregacja obetowa polegać będze a tworzeu portel złożoych z wybraych acj. Portele te, a ścślej stopy zwrotu uzyswae z westycj w e, taże poddae zostaą aalze spetralej, celem oreślea wpływu agregacj po obetach a dyamcze własośc owo otrzymaych procesów. Aspety metodologcze omówoe zostaą w putach 3, atomast prezetacja wyów astąp w putach 4 5. W podpuce 6 przedstawoe zostaą wos z przeprowadzoych badań.
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43. Reprezetacja spetrala stacjoarych procesów asowych Nech z t będze rzeczywstym procesem stacjoarym z bezwzględe zbeżym szeregem autoowaracj za pomocą rówaa: ( τ ) () t = A + A ( ωt + α ) = 0, A, α, A, α ϕ 0 s z t K. Realzację moża przedstawć gdze A,... są stałym mającym oreśloe wartośc, zaś ω π T = jest częstoścą zwązaą z oresem T. Wówczas trasormata Fourera steje wyos: ( ) ωτ ω = K( τ ) e π τ = K τ = K τ, zaś odwrota trasormata Fourera ma postać: gdze ( ) ( ) K π ( τ ) = ( ω ) π Fucja ( ω ) e ωτ () () dω. (3) os azwę spetrum jest: cągła eujema (por. We (990)), a taże parzysta oresowa o orese π, Waracja procesu stacjoarego rówa sę polu ograczoemu rzywą ( ω ) oraz osą ω w przedzale [ π,π ]. Różcza ( ω ) dω oreśla udzał częstośc zawartych w przedzale ( ω, ω + dω ) w ogólej waracj procesu, gdze d ω jest dowole małym przyrostem częstośc, Nech day będze cąg autoowaracj oraz szereg czasowy, tóry możemy zapsać za pomocą cał Fourera-Steltjesa: z t = π π e ωt du ( ω ), (4) Relacja powyższa os azwę reprezetacj spetralej procesu stacjoarego. Fucja U ω może sę zmeać z realzacj a realzację, tz., dla ażdej z t ( ) z zajduje sę realzację U ( ω ) realzacj t. Jeżel rówae jest użyte do przedstawea wszystch możlwych realzacj procesu, to dla ażdego ω, ( ω ) U przyjmuje wartośc zespoloe procesu stochastyczego. A zatem cała w rówau (4) jest całą stochastyczą. Rówość (4) jest deowaa w średowadratowym sese. z t z t Por. Stawc (993), Talaga, Zelńs (986), Zelńs (979).
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Powyższa reprezetacja zwaa jest taże reprezetacją Cramera. Jest to zwązae z twerdzeem Kołmogorowa-Cramera, a podstawe tórego ażdy stacjoary proces stochastyczy moża przedstawć w postac (4). Do estymacj ucj gęstośc spetralej wyorzystuje sę perodogram. π Perodogramem cągu { z, z,..., z } przy częstośc ω =, = 0,,..., [] azywamy ucję: gdze t= ( ) tω I ω = zte. (5) Jeżel poadto 0 ω < π, to wówczas wzór (5) przyjmuje postać: tω I( ω ) = zte = ( a + b ), (6) π t= a, są współczyam Fourera, zaś = 0,,..., [ ]. b Perodogram słada sę z [ ] Pojedyczą welość ( ) welośc opsaych rówaem (6). I ω zwązaą z częstoścą ω azywamy tesywoścą przy częstośc ω. Istotość poszczególych ω sprawdza sę weryując hpotezy: H a b = 0 vs. H : a 0 b 0, 0 : = za pomocą statysty: ( 3)( a + b ) F = [ ], (7) j= ( a j + b j ) tóra ma rozład (, 3) j F. W pratyce, w szeregach czasowych, występują sład oresowe o ezaej częstośc. Dla modelu opsaego wzorem: Z t = α cos ωt + β sωt + ε, (8) ε jest bałym szumem o rozładze ( ) gdze t N 0, σ częstoścą, stawamy hpotezy: H α = β = 0 vs. H : α 0 β 0. 0 : Nech: () I ( ω() ) = max{ I( ω )}. Wówczas statystya Fshera ma postać: t, zaś ω jest ezaą Por. Stawc (993), Talaga, Zelńs (986), We (990).
T Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 I () = = [ ] ( ω ) I () ( ω ). (8) Poeważ hpoteza zerowa załada proces bałego szumu dla z t, Fsher poazał, że: m j N N P( T > g) = ( ) ( jg), (9) j= j gdze N = [ ], g > 0, zaś m jest ajwęszą lczbą aturalą mejszą od g. Zatem, dla daego pozomu stotośc α, do zalezea wartośc rytyczej moża użyć rówaa (9) lub: P T > g α =, (0) ( ) α Do oblczea wartośc rytyczej, używa sę róweż rówaa (9) w zmodyowaej postac graczej: N P( T > g) N( g). () Dla małego N wartośc rytycze oblczoe za pomocą wzoru (0) () są bardzo dobrym przyblżeem wartośc rytyczych oblczoych za pomocą wzorów (0) oraz (9). Relacja mędzy perodogramem a ucją spetrum jest astępująca: jeśl jest eparzyste: ˆ ( ω ) = I( ω ), =,,..., [] () 4π jeśl jest parzyste: ˆ ( ω ) = I( ω / ). (3) π W celu wygładzea ucj gęstośc spetralej wyorzystuje sę tzw. oa spetrale. W oblczeach przygotowaych dla celu prezetowaego reeratu wyorzystae zostało oo Parzea, postac: 4 3 s ( ) ( ωm 4) λm ω 3 8 s( ) (4) πm ω gdze M przyjmuje wartośc parzyste. Oo Parzea przyjmuje wartośc dodate dla dowolych częstośc, co mpluje, że estymator gęstośc spetralej przyjmuje wartośc eujeme. g α 3. Istota aalzy portelowej Podstawowym pojęcam charateryzującym westycje w papery wartoścowe są stopa zwrotu oraz ryzyo eosągęca oczewaej stopy zwrotu.
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Stopą zwrotu azywamy dochód przypadający a jedostę zawestowaego aptału. Korzystając z daych hstoryczych merzy sę oczewaą stopę zwrotu jao średą arytmetyczą stopę merzoą w przeszłośc dla ażdego oresu t. Ryzyo wąże sę bezpośredo ze zróżcowaem możlwych do osągęca zysów z tytułu posadaa paperu. Stąd też ajczęstszą marą ryzya jest odchylee stadardowe stopy zwrotu. Portel paperów wartoścowych jest to zestaw paperów wartoścowych, tóre posada westor. Portel zawera węc tyle sładów, le różych rodzajów paperów wartoścowych w m występuje. Szczególym przypadem portela jest portel jedosładowy, czyl zawerający tylo jede rodzaj paperu wartoścowego. W momece, gdy westor decyduje sę a ostrucję portela welosładowego, zbór możlwośc stote wzrasta, a zależość pomędzy oczewaą stopą zwrotu portela odchyleem jego stopy zwrotu e jest w prosty sposób zależa od aalogczych wartośc poszczególych sładów. Proces ostrucj portela welosładowego azywa sę dywersyacją portela. Teora portela dotyczy westycj w acje węcej ż jedej spół w ta sposób, aby osągąć orzyść z jedoczesego zwęszea dochodu zmejszea ryzya westycj. Teora ta wyorzystuje pojęce orelacj stóp zwrotu ( ρ ), czyl wzajemych zwązów pomędzy zmaam stóp zwrotu j poszczególych spółe. Pomaru orelacj doouje sę za pomocą współczya orelacj stóp zwrotu, wyorzystującego rozład stóp zwrotu dwóch spółe. W myśl agregacj obetów, portel acj welu spółe może być tratoway jao "sytetycza spóła", a zatem moża mówć o oczewaej stope zwrotu ryzyu portela. W celu oreślea portela ezbęde jest podae udzałów wartoścowych (sumowaych do jedośc) spółe w portelu. Oczewaa stopa zwrotu portela spółe daa jest wzorem: R p = = w R, (5) gdze: w udzał -tej spół w portelu, R oczewaa stopa zwrotu acj -tej spół. Jest to węc średa ważoa oczewaych stóp zwrotu portela, gdze wagam są udzały poszczególych spółe w portelu. Waracja stopy zwrotu ryzyo portela wyoszą odpowedo: V p = = w s + = j= + w w s s ρ, (6) j j s = w s + w w s s ρ. (7) p = = j= + j j j j
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Z uwag a at że wszyste portele ze względu a dochód ryzyo są zdomowae przez portele eetywe, westowae a ryu aptałowym ależy ograczyć wyłącze do portel eetywych. Jedym z portel eetywych jest portel o mmalym ryzyu. Udzał acj w portelu o mmalym ryzyu wyraża sę astępującym wzorem: w = C l, (8) gdze: w jest wetorem lczący + sładów, z tórych perwsze to udzały acj w portelu o mmalym ryzyu, l ozacza wetor lczący + sładów, z tórych perwsze to jedy, a ostate to zero, C macerz o wymarach (+) (+), tórej elemety są oreśloe astępująco: c = s, =, K,, c c c j = s s ρ,, + +, + = c j +, = 0. j,, j =, K,, =, K, Na ryu asowym obo westycj z decj obarczoych ryzyem, ja acje, steją róweż westycje wole od ryzya, tae ja zaup boów sarbowych. Stopa zwrotu strumetów wolych od ryzya azywaa jest stopą zwrotu wolą od ryzya. Zagadee tworzea portela z uwzględeem strumetów wolych od ryzya moża tratować jao problem tworzea portela dwusładowego, gdze jedym sładem jest portel acj (czyl strumetów ryzyowych), zaś drugm strumety wole od ryzya 3. Oczewaa stopa zwrotu odchylee stadardowe tego portela wyrażają sę wzoram: R p = w R + ( w ) Re, (9) s p = ( w ) se, (0) gdze: R stopa wola od ryzya, R e stopa zwrotu portela acj, s e odchylee stadardowe portela acj, w udzał w portelu strumetów wolych od ryzya. Łatwo zauważyć z powyższych wzorów, ż w marę wzrostu udzału strumetów wolych od ryzya w portelu, obserwuje sę lowy spade dochodu ryzya. Wówczas eetywy zbór rozwązań, zway lą ryu aptałowego, day jest wzorem: 3 K.Jajuga, T.Jajuga (00). j,
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 RM R R = R + s, () sm gdze: R oczewaa stopa zwrotu portela eetywego, s odchylee stadardowe portela eetywego, R M oczewaa stopa zwrotu portela ryowego, s M odchylee stadardowe stopy zwrotu portela ryowego. La ryu aptałowego domuje ad zborem eetywym wyzaczoym tylo dla portela acj. Jedyym putem wspólym obu zborów eetywych jest put M, zway portelem ryowym. Iym słowy la ryu aptałowego jest zborem portel eetywych zestawoych z westycj bez ryzya F oraz portela ryowego westycj ryzyowych M. Przeształcając powyższy wzór moża róweż powedzeć, że la ryu aptałowego jest zborem portel, dla tórych cea jedostowa ryzya jest stała wyos: R R RM R =. () s sm To, tóry portel eetywy zostae wybray przez westora, oreśloe jest udzałem strumetów wolych od ryzya w portelu. Portel ryowy (M) słada sę wyłącze z acj, zaś przesuwae sę "w lewo" po l ryu aptałowego ozacza zwęszae udzału strumetów wolych od ryzya w portelu, czyl prowadz do spadu ryzya spadu oczewaej stopy zwrotu. Różcę mędzy oczewaą stopą zwrotu portela ryowego, a stopą wolą od ryzya azywamy ryową premą za ryzyo. Warto zauważyć, że zaup strumetów wolych od ryzya tratować moża jao udzelee redytu emtetow tych strumetów. Zatem przesuwae sę "w lewo" po l ryu aptałowego poprzez zwęszee udzału strumetów wolych od ryzya w portelu, czy westora w coraz węszej proporcj redytodawcą. Aalogcze portele z l ryu aptałowego położoe "a prawo" od portela ryowego charateryzują sę ujemym udzałem strumetów wolych od ryzya. Iwestor staje sę redytoborcą, zacągając redyt a zaup paperów wolych od ryzya. 4. Agregacja czasowa stóp zwrotu z westycj w acje Z putu wdzea hpotezy ryu eetywego stopy zwrotu z westycj w acje powy charateryzować sę własoścam bałego szumu, tóry posada stałą ucję gęstośc spetralej. Nejsza praca staow oleją już w cylu aalz własośc stóp zwrotu z paperów wartoścowych otowaych a WGPW (por. Góra, Osńsa (00) (00)).
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Do badaa przyjęte zostały dae dzee, tygodowe, obserwowae w ażdy czwarte oraz mesęcze z ażdego ostatego da otowań w mesącu. Oblczea wyoae zostały dla wszystch spółe otowaych a WGPW w całym badaym orese. Najważejsze spostrzeżea moża podsumować astępująco: dla daych dzeych stotych było bardzo wele częstośc, a podstawe tórych trudo mówć o jaejś prawdłowośc w zarese cylczośc, w welu przypadach powtórzyła sę cylczość dla daych dzeych, tygodowych mesęczych, ja a przyład: 9 d = 8 tygode = 4 mesęcy dla spół Agros desu WIRR, 6 d = 5 tygode =,7 mesęcy dla spółe Agros Krachem, 54 d = 0,7 tygoda =,4 mesęca dla spółe Irea, Mostalwr oraz Raao, 5 tygode =,7 mesęcy dla spółe Agros, Jela, Krachem, Mostalex Polarbc oraz desów WIG, WIG0 WIRR, 3 d =,5 tygoda dla spółe: Bs, Dębca, Eletrm, Exbud, Kablehold, Kredytb, Optmus, Prochem, Żywec oraz desów WIG, WIG0, WIRR. Ozacza to, że a ogół cey acj zachowują sę w sposób zróżcoway, ale moża zaleźć przyłady prawdłowośc zarówo dla poszczególych walorów ja dla całej gełdy. Węcej szczegółowych wyów zaprezetowaych zostało w pracy Góra, Osńsa (00). 5. Aalza własośc dyamczych portel acj Spośród acj, dla tórych przyblżoa oresowość powtórzyła sę dla daych obserwowaych dzee, tygodowo lub mesęcze utworzoe zostały przyładowe portele eetywe. Portele tworzoe były w oparcu o dae mesęcze tygodowe. Roczą stopę wolą od ryzya przyjęto a pror a pozome 6%. Portel zawera spół, tórych oresowość, potwerdzoa aalzą przeprowadzoą w poprzedm puce powtarzała sę dla daych dzeych, tygodowych mesęczych, w portelu zalazły sę acje z oresowoścą dla daych tygodowych mesęczych, atomast w portelu 3 acje z oresowoścą dzeą tygodową. Odpowede ormacje zostały zameszczoe w tablcach -3. Tabela. Portele dla daych mesęczych ze zwyłą stopą zwrotu. Portele Portel Spół Portel optymaly Portel z m(s p ) Udzał R p Ores Udzał R p Ores Irea 5,9%,33%,48* 45%,3%,48* Mostalwr 47,% 46,%
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Raao 0% 8,9% Agros 0% 6,9% Jela 00% 39,8% Portel Krachem 0%,6%,7*,% Mostalex 0% 30,6% Polarb 0%,5% * - stoty ores względem testu F, ** - stoty ores względem testu F testu T. Źródło: opracowae włase.,0%,7** Tabela. Portele dla daych tygodowych ze zwyłą stopą zwrotu. Portele Spół Portel optymaly Portel z m(s p ) Udzał R p Ores Udzał R p Ores Irea 73% 3% Portel Mostalwr 7% 0,% 0,7* 39% 0,5% 0,7** Raao 0% 8% Agros 0% 5,6% Jela 00% 7,% Portel Krachem 0% 0,44% 5*,9% 0,% 5** Mostalex 0% 0,4% Polarb 0% 5% Bs 3% 6% Dębca 0% 4% Elerm 0% 0% Exbud 0% 8% Portel 3 Kablehold 47% 0,54% 3,5* 0% 0,5% 4,3* Kredytb 0% 5% Optmus % 3% Prochem 0% 8% Żywec 0% 37% * - stoty ores względem testu F, ** - stoty ores względem testu F testu T. Źródło: opracowae włase. Tabela 3. Portele budowae dla logarytmczych stop zwrotu z ryterum m(s p ). Dae tygodowe Dae mesęcze Portele Spół Udzał Ores Udzał Ores Portel Irea 33% 0,7** 45,8%,48*
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Mostalwr 40% 40,5% Raao 7% 3,7% Agros 4,3% 9,7% Jela 6,6% 30,4% Portel Krachem,% 5** 9,4% Mostalex,7% 3,7% Polarb 6,% 7,7% Bs 7% Dębca 5% Elerm 0% Exbud 7% Portel 3 Kablehold 0% 4,3* Kredytb 4% Optmus 3% Prochem 7% Żywec 37% * - stoty ores względem testu F, ** - stoty ores względem testu F testu T. Źródło: opracowae włase.,7** Uzysae wy pozwalają a sormułowae astępujących wosów: portele przeoszą przyblżoą oresowość stóp zwrotu sładających sę a e spółe a stopę zwrotu z portel acj, tz. a podstawe zachowaa sę jedej spół westor może próbować przewdzeć zachowae sę portela (por. wyresy -3); w portelu oresowość jest bardzej stota, poeważ została potwerdzoa dwoma testam statystyczym, tj. testem F oraz T; w portelu 3 wdocze są eety dywersyacj, tz. portel jao agregat posada oresowość odmeą, ażel spół wchodzące w jego sład; wos dotyczące zwyłych stóp zwrotu potwerdzają sę przy zastosowau logarytmczych stóp zwrotu, chocaż poszczególe udzały eco sę różą.
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 0,6 0,4 0, 0-0, 6 6 6 3 36 4 46 5 56 6 66 7 76 8-0,4-0,6-0,8 - Rys. Logarytmcze stopy zwrotu (dae mesęcze) dla ce acj spół Mostalex, słup ozaczają ores mesęcy. 0,6 0,4 0, 0-0, 6 6 6 3 36 4 46 5 56 6 66 7 76 8-0,4-0,6-0,8 - Rys. Logarytmcze stopy zwrotu (dae mesęcze) dla ce acj spół Jela, słup ozaczają ores mesęcy.
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 0,6 0,4 0, 0-0, 6 6 6 3 36 4 46 5 56 6 66 7 76 8-0,4-0,6-0,8 - Rys 3. Logarytmcze stopy zwrotu (dae mesęcze) dla Portela z m(s p ), słup ozaczają ores mesęcy. 6. Uwag ońcowe Aalza spetrala jest arzędzem rzado wyorzystywaym w badaach szeregów asowych. Oazuje sę, jeda że pozwala oa a wyryce pewych prawdłowośc emożlwych do opsaa ym metodam. Pojawee sę tych prawdłowośc jest dowodem a słabość hpotezy ryu eetywego. Ne ależy jeda tratować tych spostrzeżeń zbyt rygorystycze. Wydaje sę rozsąde przyjęce hpotezy ryu eetywego jao ocepcj graczej, do tórej rye asowy eedy dochodz. Obecość westorów eracjoalych, przywązaych do oreśloych spółe lub stosujących pewe stratege p. up trzymaj, wsazuje jeda, że stosowae loścowych metod pozwalających a wyrywae prawdłowośc może przyeść wymere eety asowe. Z przedstawoych przyładów portel wya możlwość pratyczego zastosowaa otrzymaych wyów.
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Lteratura Cuthbertso K., (996), Quattatve Facal Ecoomcs, Wley. Góra J., Osńsa M., (00), Eety agregacj czasowej szeregów asowych w śwetle aalzy spetralej, w: Dyamcze Modele Eoometrycze, Wyd. UMK, Toruń. Góra J., Osńsa M., (00), Tme aggregato acal tme seres spectral aalyss, w: Dyamc Ecoometrc Models V, Wyd. UMK, Toruń. Jajuga K., Jajuga J., (00) Iwestycje, PWN, Warszawa. Jajuga K. (red.), (00), Metody eoometrycze statystycze w aalze ryu aptałowego. Wyd. AE, Wrocław. Stawc J., (993), Metody ltracj w modelowau procesów eoomczych, rozprawy, UMK, Toruń. Talaga L., Zelńs Z., (986), Aalza spetrala w modelowau eoometryczym, PWN, Warszawa. We W.W.S., (990), Tme seres aalyss, Addso-Wesley Publshg Compay, Ic, Berl. Zelńs Z., (979), Metody aalzy dyam rytmczośc zjaws gospodarczych, PWN, Warszawa.