35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t( t + t( t( t t( t( t( t3, 6 4 gdze x t 35, 5, Stąd da x 3,58 ay t,6, a węc L 4 (, 6 35, 87395 # 35 Iterpoaca Herte a Defca 36 Zadae terpoacye Herte a poega a zaezeu da dae fuc f weoau H stopa eszego u rówego, taego że ( ( H ( x f ( x da,, K, ;,, K,, (3 przy czy +, N Lczę azyway rotoścą węzła x Da (,,, ay zadae terpoacye Lagrage a, a węc szczegóy przypade terpoac Herte a est terpoaca Lagrage a Twerdzee 36 Zadae terpoacye Herte a a dołade edo rozwązae Dowód Podoe, a w dowodze twerdzea 3, poażey aperw, że stee weoa stopa e wyższego ż, tóry speła waru (3 Wprowadźy fuce poocczą s (, da, + + K +, da >
3 III Iterpoaca Fuca s( est suą rotośc początowych węzłów terpoac Każdą czę,,, oża edozacze przedstawć w postac s( +, gdze # # oraz # #! Na przyład, s( + s( +! Oreśy teraz weoay p s( + : p ( x, s( ps ( + ( x ( ( K ( (,,, K, ;,, K, Zauważy, że da (,,, otrzyuey weoay występuące w defc weoau terpoacyego Newtoa (zo wzór (37 Szuay weoa H zapsuey w postac Newtoa (por p : W ceu wyzaczea ezaych współczyów (,,, weoa H przedstaway w postac H( x W( x + p( x + W ( x, (33 gdze W (x ozacza oacę ową weoaów p da,,,! o współczyach,,,!, a W (x oacę ową weoaów p da +, +,, o współczyach +, +,, Załóży, że współczy,,,! są zae Z wzorów (3 da s( + ay po podstaweu do (33 otrzyuey Różczuąc powyższy wzór -rote da x x ay Zaeżość (34 wya z fatu, że H ( x p ( x p ( x s ( + s ( + p ( x p ( x( xx s( s( H ( x W ( x + p ( x( x x + W ( x ( ( (3 H ( x W ( x +! ps( ( x (34 [ p ( x( ] s ( (! ( ps (( x( (! eś oczay pochodą w puce x x, to w powyższe sue wszyste sład z wyąte przyuą wartość Podoe, W (x, gdyż ażdy z weoaów p da $ + zawera czy x! x w pewe potędze węsze od Poeważ ( ( H ( x f ( x, węc z zaeżośc (34 otrzyuey
35 Iterpoaca Herte a 33 ( ( f ( x W ( x p ( x! s ( (35 Dowód edozaczośc przeega aaogcze, a w twerdzeu o edozaczośc rozwązaa zadaa terpoacyego Lagrage a # Przyład 35 Dae są puty x (,,, 3 o rotoścach wartośc fuc f e pochodych w tych putach: 3 x 3 3 f(x fn(x fo(x Naeży sostruować weoa terpoacyy Herte a Poeważ sua rotośc węzłów est rówa 7, węc weoa ędze stopa co awyże szóstego Szuay zate weoau Oreśy czy s(: H ( x p ( x p ( x 6 6 s(, 3 s(, s( + 3, s( 3 + + 6 s ( + s ( + Jeś, to, a węc czę oża przedstawć w postac s( + Da ay #!, a węc, Wya stąd, że s( + oraz s( + Gdy, to #!, czy,, ay 3 s( +, 4 s( + oraz 5 s( + Wreszce gdy 3, to # 3!, a węc, sąd wya, że 6 s(3 + Weoay p s( są astępuące: ps( ( x, p ( x x x x, s( s( p ( x ( xx ( x x x( x, s( 3 p ( x ( xx ( xx ( x x x( x ( x, 3 3
34 III Iterpoaca a weoay p są postac Możey teraz oreść współczy (,,, 6 Przy wyzaczau ay (przy dowoy H ( x p( x + W( x wzór (35 przyue postać (da ay, s( co da daych w przyładze dae Da, t, s(, ay Da (,, s( est p ( x p ( x p ( x( xx s( + s( p f ( x ( x!, s( W ( x p ( x f ( x W( x p ( x! s( W ( x p ( x + p ( x p ( x x, s( + a węc Da 3 (,, s( 3 ay f ( x W ( x p ( x! s( W( x p( x + p( x + p( x x+ p ( x x+ xx ( x s( + Zate Jeś 4 (,, s( 3, to 3 f ( x W( x p ( x s(! 4 W ( x x + p ( x x p ( x ( x x + 5, 3 3 4 s( W ( x 6x + x f ( x W ( x 6 7 + p ( x! s( 3 Gdy 5 (,, s( 3, to 3 3 7 W ( x x + 5+ 4p4( x x + 5+ ps( + ( x 3 7 7 4 3 45 x + 5+ x( x ( x x 6x + x 9x,
35 Iterpoaca Herte a 35 W ( x 4x 48x + 45x9, 3 W ( x 4x 96x+ 45, węc Wreszce gdy 6 ( 3,, s(3 6, to 7 4 3 45 W ( x x 6x + x 9x+ 5p5( x 7 4 3 45 9 x 6x + x 9x ps( + ( x 4 7 45 9 x 6x + x 9x x( x ( x 4 f ( x3 W( x3 3 3 6 + p ( x Zate szuay weoa Herte a a postać 5 Poprawość wyzaczea tego weoau ożey sprawdzć z waruów terpoac ( ( f ( x W ( x p ( x! s( H6 ( x f ( x, 3,,, ;,, K, 9 4 4 3 s( 3 3! 7 H6( x x+ x( x x( x + x( x ( x 9 3 3 xx ( ( x + xx ( ( x 4 # Wyzaczae weoau terpoacyego Herte a w sposó poday w twerdzeu 36 est żude O wee prostsze est ego oreśae wyorzystuąc poęce uogóoych orazów różcowych Defca 37 Nech fuca f ędze -rote różczowaa (,,, +! w puce x +, gdze,,, Uogóoy oraze różcowy fuc f azy- way: a da -rotego węzła x [ x, ; f ] ( f ( x, (! (36 da różych węzłów x, x +,, x + o rotoścach odpowedo, +,, + [ x, ; x+, + ; K ; x+, + ; f ] [ x, ; x+, + ; K; x+, + ; f ] [ x, ; K, x+, + ; x+, + ; f ] (37 +
36 III Iterpoaca Z defc te da węzłów edorotych otrzyuey: z wzoru (36 a z wzoru (37 [ x ; f ] f ( x, (por defca 35 wzór (36 Korzystaąc z poęca uogóoych orazów różcowych oża udowodć [ x+, x+, K, x+ ; f ] [ x, x+, K, x+ ; f ] [ x, x+, K, x+ ; f ] Twerdzee 37 Jeś fuca f a pochode do rzędu! w putach x (,,,, to współczy ( s( + ;,,, ;,,,! weoau terpoacyego Herte a są rówe orazo różcowy terpoowae fuc oparty a początowych węzłach z uwzgędee ch rotośc, t + [ x, ; x, ; K ; x, ; x, + ; f ] (38 Przyład 36 Rozważy to sao zadae co w przyładze 35 Z wzoru (38 wya, że [ x, ; f ], [ x, ; x, ; f ], [ x, ; x, ; f ], [ x, ; x, ; x, ; f ], 3 [ x, ; x, ; x, ; f ], 4 [ x, ; x, ; x, 3; f ], 5 [ x, ; x, ; x, 3; x, ; f ] 6 3 Uwzgędaąc zaeżośc (36 (37 ay f ( x, 3 [ x, ; f ] [ x, ; f ] f ( x f ( x, f ( x f ( x f ( x [ x, ; f ] [ x, ; x, ; f ] x x [ x, ; x, ; f ][ x, ; x, ; f ] [ x, ; x, ; f ] [ x, ; f ] [ x, ; f ] [ x, ; x, ; f ] x x,
36 Reszta w terpoac weoaowe 37 f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x f ( x x x x x Wyzaczee współczyów 4, 5 6 pozostaway Czyteow # 36 Reszta w terpoac weoaowe Defca 38 Resztą w terpoac weoaowe azyway wyrażee (w przypadu szczegóy: rx ( f( x L( x Twerdzee 38 Jeże fuca f est (! -rote różczowaa w putach x (,,,, to da x x ay gdze p x x x x x x x + ( ( ( K ( Dowód Nech H + ozacza weoa terpoacyy Herte a spełaący waru (3 oraz warue H+ ( x+ f ( x+, da pewego x + x (,,, May gdze współczy dae są wzore (38, a węc da x x + otrzyuey Stąd Woec dowoośc x + otrzyuey tezę twerdzea # Bezpośredo z powyższego twerdzea wya Wose 3 W przypadu terpoac Lagrage a rx ( p +( x[ x, x, K, x, x; f], gdze rx ( f( x H( x rx ( p +( x[ x, ; x, ; K ; x, ; x, ; f], (39 + H ( x p ( x p ( x + p ( x H ( x + p ( x, + + + + + H ( x H ( x + p ( x [ x, ; x, ; K ; x, ; x, ; f ] + + + + + + rx ( + f( x+ H( x+ H+ ( x+ H( x+ p ( x [ x, ; x, ; K ; x, ; x, ; f ] + + + p ( x ( xx +