Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

Podobne dokumenty
Egzamin z ekonometrii - wersja IiE, MSEMAT

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Ekonometria Ćwiczenia 19/01/05

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Metoda najmniejszych kwadratów

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT

Ekonometria egzamin 01/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMat Pytania teoretyczne

Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 26/06/08

Ekonometria egzamin 31/01/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12

Ekonometria egzamin 07/03/2018

Egzamin z ekonometrii wersja IiE, MSEMAT

Egzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne

Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 12

Testowanie hipotez statystycznych

Ekonometria dla IiE i MSEMat Z12

Wprowadzenie Testy własności składnika losowego. Diagnostyka modelu. Część 1. Diagnostyka modelu

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13

Testy własności składnika losowego Testy formy funkcyjnej. Diagnostyka modelu. Część 2. Diagnostyka modelu

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9

Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13

Egzamin z ekonometrii wersja ogólna Pytania teoretyczne

Czasowy wymiar danych

Egzamin z ekonometrii wersja ogolna

Ekonometria egzamin wersja ogólna 17/06/08

1 Modele ADL - interpretacja współczynników

Autokorelacja i heteroskedastyczność

Diagnostyka w Pakiecie Stata

Ekonometria egzamin wersja Informatyka i Ekonometria 29/01/08

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8

Ekonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 10

In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia

1. Pokaż, że estymator MNW parametru β ma postać β = nieobciążony. Znajdź estymator parametru σ 2.

Heteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów

1.9 Czasowy wymiar danych

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki. Wykład 6

Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/

Przyczynowość Kointegracja. Kointegracja. Kointegracja

1.8 Diagnostyka modelu

, a reszta dla pominiętej obserwacji wynosi 0, RSS jest stałe, T SS rośnie, więc zarówno R 2 jak i R2 rosną. R 2 = 1 n 1 n. rosnie. n 2 (1 R2 ) = 1 59

Wprowadzenie Modele o opóźnieniach rozłożonych Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych. Modele dynamiczne.

Natalia Nehrebecka. 18 maja 2010

1 Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) 2 Interpretacja parametrów modelu. 3 Klasyczny Model Regresji Liniowej (KMRL)

Zmienne sztuczne i jakościowe

Wst p do ekonometrii II

Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Estymacja modeli ARDL przy u»yciu Staty

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13

Budowa modelu i testowanie hipotez

Diagnostyka w Pakiecie Stata

Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10

Problem równoczesności w MNK

Ekonometria egzamin wersja ogólna 29/01/08

Ekonometria - wykªad 8

Wykªad 6: Model logitowy

Metody probablistyczne i statystyka stosowana

Wykªad 1+2: Klasyczny model regresji liniowej. Podstawy R

EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Natalia Neherbecka. 11 czerwca 2010

Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 14

Ekonometria. Metodologia budowy modelu. Jerzy Mycielski. Luty, 2011 WNE, UW. Jerzy Mycielski (WNE, UW) Ekonometria Luty, / 18

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Modele wielorównaniowe (forma strukturalna)

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Ekonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 1

1.7 Ograniczenia nakładane na równanie regresji

Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6

Ekonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Testowanie hipotez statystycznych

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 13

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t

Matematyka z elementami statystyki

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Testowanie hipotez statystycznych

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH

Heteroskedastyczość w szeregach czasowyh

Stacjonarne szeregi czasowe

Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Transkrypt:

Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 27-0-202 Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej? 2. Wyprowadzi rozkªad maªopróbkowy estymatora MNK. Jakie zaªo»enie, poza standardowymi zaªo-»eniami KMRL, nale»y w tym przypadku przyj? 3. Pokaza,»e w modelu ze staª ±rednia warto± zmiennej zale»nej równa jest ±redniej z warto±ci dopasowanych. 4. Jaki skutek mo»e mie pomini cie istotnej zmiennej w modelu?

Zadanie Analizowano model z jedn zmienn obja±niaj c i bez wyrazu wolnego: y i = βx i + ε i, ε i N(0, σ 2 ) gdzie x jest nielosowe.. Wyznaczy estymator MNK parametru β. 2. Obliczy wariancj estymatora MNK parametru β. 3. Zaproponowano jako estymator parametru β wyra»enie w postaci jest nieobci»ony. 4. Wyznaczy wariancj estymatora parametru β postaci ȳ x. ȳ x. Pokaza,»e ten estymator 5. Czy istnieje estymator parametru β postaci Cy, gdzie C jest pewnym wektorem a y jest wektorem zawieraj cym obserwacje zmiennej zale»nej, który jest nieobci»ony i ma mniejsz wariancj ni» estymator uzyskany w punkcie? Odpowied¹ nale»y uzasadni. Rozwi zanie Zadanie. Wyznaczy estymator MNK parametru β. X X = X y = x x 2. x N x x 2. x N b = (X X) X y = x x 2. x N y y 2. y N ( N = N = N i= x iy i ) N i= x iy i = N i= x ( N iy ) i 2

2. Obliczy wariancj estymatora MNK parametru β. Zakªadaj c, i» w modelu nie wyst puje autokorelacja skªadnika losowego: V ar(y i ) = V ar(βx i + ε i ) wiedz c,»e { ε i N(0, σ 2 ) } i x jest nielosowe otrzymujemy V ar(y i ) = σ 2. Wobec tego: ) V ar(b) = V ar = [ ( N ( N i= x ( N iy ) i = [ ( N )] 2 N V ar(y i) = )] 2 V ar( N i= x iy i ) [ ( N σ 2 3. Zaproponowano jako estymator parametru β wyra»enie w postaci jest nieobci»ony. ] ) ȳ x. Pokaza,»e ten estymator E [ ] ȳ x = x E(ȳ) = x E( N N i= y i) = x N N i= E(y i) = N xn i= (x iβ) = β N xn i= x i = β 4. Wyznaczy wariancj estymatora parametru β postaci ȳ x. Zakªadaj c, i» w modelu nie wyst puje autokorelacja skªadnika losowego: V ar [ [ ȳ x] = x] 2 [ ] 2 V ar(ȳ) = x V ar( N N i= y i) = [ ] 2 N xn i= σ2 = [ ] 2 xn N σ 2 = σ2 x 2 N 5. Czy istnieje estymator parametru β postaci Cy, gdzie C jest pewnym wektorem a y jest wektorem zawieraj cym obserwacje zmiennej zale»nej, który jest nieobci»ony i ma mniejsz wariancj ni» estymator uzyskany w punkcie? Odpowied¹ nale»y uzasadni. Zakªadaj c, i» w modelu nie wyst puje autokorelacja skªadnika losowego: model speªnia zaªo»enia twierdzenia Gaussa-Markowa, wobec tego estymator MNK w klasie liniowych (estymator postaci Cy) i nieobci»onych estymatorów ma najmniejsz wariancj. Nie istnieje estymator liniowy i nieobci»ony, który miaªby mniejsz wariancj ni» estymator MNK. 3

Zadanie 2 Na podstawie danych BAEL z 200 roku oszacowano dªugo± trwania bezrobocia ( trwanie - logarytm dªugo±ci trwania bezrobocia). Zmiennymi obja±niaj cymi s wiek, miejsce zamieszkania ( miasto: 0 - wie±, - miasto), pªe (plec: 0 - m»czyzna, - kobieta), wyksztaªcenie (educ: 0 - podstawowe, - ±rednie, 2 - wy»sze), interakcja mi dzy pªci a wyksztaªceniem. Oszacowania parametrów znajduj si poni»ej. Hipotezy testowa na poziomie istotno±ci 0,05. Odpowiedzi uzasadni podaj c p-value. Source SS df MS Number of obs = 6048 -------------+------------------------------ F( 7, 6040) = 42.97 Model 33.722374 7 44.87489 Prob > F = 0.0000 Residual 6299.8287 6040.043079 R-squared = 0.0474 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0463 Total 663.55054 6047.093698 Root MSE =.023 ------------------------------------------------------------------------------ trwanie Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- wiek.048782.0027 3.26 0.000.026793.070772 _Imiasto_ -.098665.0269657-3.66 0.000 -.5524 -.045799 _Iplec_.062546.039864.57 0.7 -.055966.406886 _Ieduc_ -.064898.04069 -.53 0.26 -.402353.072557 _Ieduc_2 -.78470.0567782-3.4 0.002 -.2897756 -.067646 _IpleXedu_~ -.03382.058624 -.76 0.078 -.282824.052 _IpleXedu_~2 -.6390.0778669-2. 0.035 -.365569 -.02633 _cons.5245.050608 30.2 0.000.42494.62336 ------------------------------------------------------------------------------ RESET F(3,6037) =.00 [0.0000] Jarque-Berra chi2(2) = 23.24 [0.0000] White chi2(9) = 28.93 [0.0670] Breusch-Pagan chi2() = 3.86 [0.0002]. Czy zmienne obja±niaj ce s ª cznie istotne? 2. Zinterpretowa warto± wspóªczynnika determinacji. 3. Oceni, które zmienne s istotne. 4. Zinterpretowa oszacowania parametrów przy zmiennych istotnych. 5. Zbada, czy w modelu wyst puje heteroskedastyczno±. 6. Zbada, czy bª d losowy ma rozkªad normalny. 7. Sprawdzi, czy forma funkcyjna modelu jest poprawna. 8. Je»eli model nie speªnia zaªo»e«kmrl okre±li : (a) Które zaªo»enia nie sa speªnione? (b) Jakie to ma konsekwencje dla interpretacji modelu i wnioskowania statystycznego? (c) W jaki sposób mo»na rozwi za problemy zasygnalizowane przez wyniki testów? 4

Rozwi zanie Zadanie 2. Test na ª czn istotno± regresji: F =42.97, p value = 0.000 < 0.05 odrzucamy hipotez zerow o ª cznej nieistotno±ci regresji. 2. 4.74% zmienno±ci czasu trwania bezrobocia zostaªo wyja±nione za pomoc zmiennych niezale»nych. 3. Istotne zmienne, to te dla których p value jest mniejsze od przyj tego poziomu istotno±ci wynosz cego 0.05. Czyli istotne zmienne to: (a) wiek ( t = 3.26, p value = 0.000) (b) educ_2 ( t = -3.4, p value= 0.002) (c) plecxeduc_2 ( t = -2., p value = 0.035) (d) miasto_ ( t = -3.66, p value = 0.000) 4. Interpretacja oszacowa«parametrów: (a) wzrost wieku o rok powoduje wzrost czasu trwania bezrobocia ±rednio o.5% ceteris paribus (β wiek ). (b) m»czy¹ni z wyksztaªceniem wy»szym maj ±rednio o 7.8% krótszy czas trwania bezrobocia ni» m»czy¹ni z wyksztaªceniem podstawowym ceteris paribus (β educ_2). (c) kobiety z wyksztaªceniem wy»szym maj ±rednio o 34.2% (6.4%+7.8%) krótszy czas trwania bezrobocia ni» kobiety z wyksztaªceniem podstawowym ceteris paribus (β educ_2+β plecxeduc_2). (d) osoby mieszkaj ce w mie±cie maj ±rednio o 9.9% krótszy czas trwania bezrobocia ni» osoby mieszkaj ce na wsi ceteris paribus (β miasto_). 5. Wyst powanie heteroskedastyczno±ci testujemy za pomoc : (a) testu White'a: i. hipoteza zerowa: homoskedastyczno± skªadnika losowego. ii. warto± statystyki testowej wynosi: chi2(9)= 28.93 oraz p value = 0.0670 > 0.05, wi c brak podstaw do odrzuceniu hipotezy zerowej o homoskedastyczno±ci. (b) testu Breuscha-Pagana: i. hipoteza zerowa: homoskedastyczno± skªadnika losowego. ii. warto± statystyki testowej wynosi chi2() = 3.86 oraz p value = 0.0002 < 0.05, wi c odrzucamy hipotez zerow o homoskedastyczno±ci. 6. Normalno± zaburzenia losowego testujemy za pomoc : (a) testu Jarque-Bera: i. hipoteza zerowa: zaburzenie losowe ma rozkªad normalny. ii. warto± statystyki testowej wynosi chi2(2) = 23.24 oraz p value = 0.000 <0.05, czyli odrzucamy hipotez zerow o normalno±ci zaburzenia losowego. 7. Poprawnosc przyjetej formy funkcyjnej modelu testujemy za pomoc : (a) test RESET: i. hipoteza zerowa: przyj ta posta funkcyjna modelu jest prawidªowa. ii. warto± statystyki testowej F(3, 6037) =.00 i p value = 0.0000 < 0.05, wi c odrzucamy hipotez zerow o poprawno±ci przyj tej formy funkcyjnej. 8. Odpowiedzi s nast puj ce: (a) Nie jest speªnione zaªo»enie o homoskedastyczno±ci zaburzenia losowego oraz zaªo»enie o sposobie generowania danych: y = βx + ε (czyli zaªo»enie o liniowej zaleno±ci mi dzy zmienn zale»n i zmiennymi niezale»nymi). Nie jest tak»e speªnione dodatkowe zaªo»enie o normalno±ci skªadnika losowego. (b) Konsekwencje dla interpretacji modelu i wnioskowania statystycznego s nast puj ce: 5

i. W przypadku nie speªnienia zaªo»enia o homoskedastyczno±ci zaburzenia losowego, estymator b jest co prawda nieobci»ony i zgodny, ale nieefektywny. Estymator macierzy wariancji-kowariancji b jest ju» obci»ony i niezgodny. Macierz wariancji-kowariancji jest wykorzystywana do testowania hipotez na temat istotno±ci zmiennych, wi c poprawno± wnioskowania statystycznego jest podwa»ona. ii. Odrzucenie hipotezy o poprawno±ci przyj tej formy funkcyjnej podwa»a interpretacj ekonomiczn modelu (interpretacja oszacowanych parametrów). Takie wªasno±ci jak nieobcia-»ono± czy efektywno± estymatora MNK s wyprowadzane przy zaªo»eniu prawdziwo±ci przyj tej formy funkcyjnej modelu. iii. Próba zawiera 6048 obserwacji (mo»na przyj, i» jest to du»a próba). Dla du»ych prób rozkªady statystyk s bliskie standardowym rozkªadom. (c) Rozwi zanie problemów zasygnalizowanych przez wyniki testów: i. Niepoprawna forma funkcyjna: mo»emy próbowa poprawi form funkcyjn modelu wprowadzaj c do modelu interakcje mi dzy zmiennymi, dokona przeksztaªce«zmiennych (np. przeksztaªcenie Boxa-Coxa), zastosowa model wielomianowy, schodkowy lub krzywej ªamanej. ii. Problem heteroskedastyczno±ci mo»na rozwi za za pomoc Stosowalnej UMNK lub odpornego estymatora White'a macierzy wariancji kowariancji. 6

Zadanie 3 Na podstawie danych BAEL z 200 roku oszacowano dªugo± trwania bezrobocia ( trwanie - logarytm dªugo±ci trwania bezrobocia). Zmiennymi obja±niaj cymi s wiek, miejsce zamieszkania ( miasto: 0 - wie±, - miasto), pªe (plec: 0 - m»czyzna, - kobieta), wyksztaªcenie (educ: 0 - podstawowe, - ±rednie, 2 - wy»sze), interakcja mi dzy pªci a wyksztaªceniem. Oszacowania parametrów znajduj si poni»ej. Hipotezy testowa na poziomie istotno±ci 0,05. Source SS df MS Number of obs = 6048 -------------+------------------------------ F( 8, 6039) = 39.70 Model 330.46258 8 4.3078225 Prob > F = 0.0000 Residual 6283.08796 6039.040486 R-squared = 0.0500 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0487 Total 663.55054 6047.093698 Root MSE =.02 ------------------------------------------------------------------------------ trwanie Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- wiek.04665.0079998 5.83 0.000.0309686.0623336 wiek2 -.000409.000024-4.0 0.000 -.00067 -.00020 _Imiasto_ -.095289.0269453-3.54 0.000 -.48043 -.0424595 _Iplec_.0482998.0399698.2 0.227 -.0300553.266549 _Ieduc_ -.0557332.040445 -.39 0.65 -.344308.0229644 _Ieduc_2 -.953223.0568628-3.43 0.00 -.3067937 -.0838509 _IpleXedu_~ -.0956098.058573 -.63 0.03 -.204305.092 _IpleXedu_~2 -.488798.07786 -.9 0.056 -.3053.0037536 _cons.9754.45903 6.68 0.000.689075.2648 ------------------------------------------------------------------------------ Variable VIF /VIF -------------+---------------------- wiek 54.94 0.08202 wiek2 54.89 0.08220 _IpleXedu_~ 3.6 0.36280 _IpleXedu_~2 2.89 0.346095 _Ieduc_2 2.50 0.400457 _Iplec_ 2.3 0.433586 _Ieduc_ 2.20 0.45536 _Imiasto_.04 0.96034 -------------+---------------------- Mean VIF 5.49. W modelu uwzgl dniono dodatkowo zmienn wiek do kwadratu (wiek2 ). Nast pnie obliczono wielko±ci statystyk VIF. Sprawdzi, czy w modelu wyst puje problem niedokªadnej wspóªliniowo±ci. Je±li wyst puje niedokªadna wspóªliniowo±, to w jaki sposób mo»na rozwi za ten problem? 2. Je±li wykonywany zawód wpªywa na dªugo± trwania bezrobocia, a estymowany jest model bez tej zmiennej, to jakie b d wªasno±ci estymatora MNK? 3. Je±li pªe respondenta nie wpªywa na dªugo± trwania bezrobocia, ale w estymowanym modelu zawarta jest zmienna zero-jedynkowa zwi zana z pªci, to jakie b d wªasno±ci estymatora MNK? 4. Zaproponowa sposób przetestowania hipotezy,»e wyksztaªcenie nie wpªywa na trwanie bezrobocia. 7

Rozwi zanie Zadanie 3. Wynik wskazuje na zbyt siln korelacj zmiennych wiek i wiek2 (V IF >0). Nie jest to jednak wynik zaskakuj cy, obydwie te zmienne s w modelu istotne, za± wprowadzeniu do modelu zmiennej wiek2 byªo uzasadnione merytorycznie - zmienne powinny w modelu pozosta. 2. Pomini ta zostanie jedna ze zmiennych obja±niaj cych czyli wykonywany zawód, co spowoduje obci»enie estymatora MNK. 3. Uwzgl dnienie w estymowanym modelu zmiennej obja±niaj cej, dla której w rzeczywisto±ci β = 0, spowoduje,»e estymator MNK stanie si nieefektywny, cho dalej b dzie nieobci»ony. 4. Musimy przetestowa ª cznie cztery ograniczenia, które mo»na zapisa w nast puj cy sposób: H 0 : β educ_ = β educ_2 = β plecxeduc_ = β plecxeduc_2 = 0 Nast pnie szacujemy model bez ogranicze«. Korzystaj c z modelu bez ogranicze«i modelu z ograniczeniami obliczamy statystyk : F = (S R S)/g F (g, N K) S/(N K) gdzie: S R - suma kwadratów reszt modelu z ograniczeniami, S - suma kwadratów reszt modelu bez ograniczeniami, g - liczba ogranicze«. Je±li statystyka testowa F jest wi ksza od statystyki krytycznej F (g, N K), to odrzucamy hipotez zerow o braku wpªywu wyksztaªacenia na trwanie bezrobocia. 8