ykład 6: Paca i enegia d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.l htt://laye.uci.agh.edu.l/z.szklaski/
negia a aca negia jest to wielkość skalana, okeślająca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. N. enegia kinetyczna jest związana ze stanem uchu ciała. Paca jest to enegia zekazana ciału lub od niego odebana w wyniku działania na ciało siłą. Gdy enegia jest zekazana ciału, aca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, aca jest ujemna. Paca jest ówna zmianie enegii. Jednostką acy i enegii w układzie SI jest J..3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
Paca stałej siły F φ φ B ekto zesunięcia B F s B F s cos s B skutek wykonanej nad ciałem acy wzasta jego ędkość od do B czyli ośnie enegia kinetyczna.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 3
.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 4 Pacę wykonuje składowa -owa siły F t a t s F φ F s a m s F B t a B t s B zatem k kb B B B B B m m t t m Paca wykonana zez siłę nad cząstką swobodną jest ówna zmianie enegii kinetycznej cząstki m k ale m m k
Paca zmiennej siły Załóżmy, że siła F zależy od ołożenia czyli F() Dzielimy zedział <, > na odcinki Δ, na któych można zyjąć, że siła jest stała. Obliczamy acę Δ wykonaną zez siłę stałą na odcinku Δ Δ = F Δ Sumując otzymamy F.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 5
F Gdy Δ lim F Fd ogólnym zyadku: B B F d skoo więc B d d dt t B B F d t dt Moc jest definiowana jako : P = d/dt t B t Pdt P F t.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 6
negia otencjalna nie tylko gawitacyjna k k k k Paca siły zależnej od ołożenia siły hamonicznej F k( ) F k d Fd k k d k skoo k d k negia otencjalna sężystości aca wykonana zez siłę sężystości.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 7
Poblem z enegią otencjalną sężystości? Powieszenie masy m wydłużyło sężynę o negia otencjalna ozciągniętej sężyny: s k k mg kosztem: k mg mg aunek ównowagi: k mg?? Stan ównowagi o wygaśnięciu dgań uzuełnienie zasady zachowania enegii: k mg Q Ile enegii taci sężyna - ołowę!!.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 8
negia otencjalna negia otencjalna jest to enegia związana z konfiguacją układu ciał, działających na siebie siłami. by móc wowadzić ojęcie enegii otencjalnej, ole sił musi mieć okeśloną własność - taką, że aca wykonana w tym olu nie może zależeć od dogi, wzdłuż któej zachodzi zemieszczenie Takie ola i siły nazywamy zachowawczymi.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 9
B Paca wykonana zez siłę zachowawczą nie zależy od dogi lecz zależy jedynie od ołożeń unktów i B. Doga Doga 3 F d L Doga B doga = B doga = B doga3 Paca wykonana zez siłę zachowawczą nad cząstką ouszającą się o dodze zamkniętej jest ówna zeu. = B + B =.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
Pzykład Dane jest ole wektoowe o składowych F = Ky; F y = K; F z = ; gdzie K jest stałą. Sawdzić czy to ole jest zachowawcze obliczając acę o kontuze tójkątnym o bokach y = ; y = ; =. Rozwiązanie F Kyiˆ Kj ˆ iˆ F d yj ˆ F d F y B(, ) C(,) (,) dy Kyd Kdy B B F dˆ F dˆ F dˆ B F d y C B Kyd y C F dˆ Kdy... y.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
ISTOTN SIŁY RZCZYIST Siły centalne: F f () ˆ Siła ciężkości (siła gawitacji) F() G Mm ˆ Siła oddziaływania elektostatycznego (siła kulombowska) Qq F( ) 4π ˆ są siłami zachowawczymi Siła tacia NI JST siłą zachowawczą!.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
Jak obliczać enegię otencjalną? Z definicji (B) () ( B) atość enegii otencjalnej w unkcie oisanym wektoem jest okeślona z dokładnością do stałej - ównej (), któą można obać umownie. Sens fizyczny ma jedynie óżnica enegii otencjalnej omiędzy dwoma unktami. ( ) ( ) () F d F d Umowa: leży w nieskończoności czyli ( )=.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 3
Jak obliczać enegię otencjalną gawitacji? g F g d F g GMm F g G d 3 Mm 3 d lub d F g G Mm ˆ g GMm d G Mm G Mm g G Mm.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 4
Siła zachowawcza negia otencjalna układ: F mg () mg masa m - Ziemia Mm F( ) G ˆ () G Mm masa m masa M Qq F( ) 4π ˆ () 4π Qq ładunek q ładunek Q F( ) kˆ () k masa m sężyna k.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 5
Związek omiędzy siłą a enegią otencjalną Pzyadek jednowymiaowy Uogólnienie na 3D F ˆi y () ˆj z ˆi F ( ) kˆ d ˆj y F d kˆ z gad F d d stąd F...? oeato nabla.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 6
zatem: F gad k(ˆi yˆj zkˆ ) k UG! Paca wykonana nad układem zez siłę zewnętzną jest zeciwna do acy wykonanej zez siły układu..3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 7
Pzykład siła sężystości negia otencjalna układu masa-sężyna dana jest wzoem: Kozystając z zależności sężystości. () k F gad wyowadzić wzó na siłę Rozwiązanie: () gad k F gad k( k ˆi ky ˆj y z kz kˆ k(ˆi yˆj zkˆ ) ) y z k (, y,z) k k y k y z z y z k y z ky kz.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 8
Zasada zachowania enegii układzie izolowanym, w któym zmiany enegii ochodzą jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i otencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna mech nie może ulegać zmianie. = Δ k + Δ = k - k + - k + = k + k + = const d dt ( k ).3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 9
Zastosowanie zasady zachowania enegii dla oscylatoa hamonicznego k m k d dt ( m k ) d dt ( k ) m d dt k d dt d dt m k ównanie oscylatoa hamonicznego.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
Podsumowanie Istnieje ścisły związek omiędzy acą a enegią O enegii otencjalnej układu można mówić tylko dla sił zachowawczych Zasada zachowania enegii mechanicznej ozwala ozwiązywać zagadnienia, któe są tudne lub niemożliwe do ozwiązania na guncie zasad dynamiki Całkowita enegia jest wielkością stałą. negia może być zekształcana z jednej fomy w inną, ale nie może być wytwazana ani niszczona = Δ mech + Δ tem +Δ wew.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
negia elatywistyczna Lukecjusz (99.n.e.-55.n.e.) De Reum Natua Rzeczy nie mogą owstawać z niczego, a gdy zostały stwozone, nie mogą zamienić się w nicość iewsze sfomułowanie ZSDY ZCHONI MTRII. Laoisie (743-794) zasada zachowania masy instein (95) Teoia względności ołączyła w jedną zasadę: zasadę zachowania masy i zasadę zachowania enegii. Masa elatywistyczna m m c m ( ) /.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i
m m zatem enegia kinetyczna: k m k mc mc m m c m c dla małych ędkości, gdy = /c << Zasada ównoważności masy i enegii: Każda ilość dostaczonej enegii owoduje wzost masy ciała. k m m c Pzykład: owstawanie deuteonu (jąda deuteu) m =,73 u m n =,867 u m d =,36 u n Δm =,38 u =,5 6 ev H.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 3
=,5 6 ev Taka enegia wyzwala się jako kwant - enegia wiązania. negia całkowita = en. soczynkowa + en. kinetyczna m stąd c k m m c c k negia a ęd nieelatywistycznie: m k elatywistycznie c m c k k stąd c m c HR, t4.3.8 ydział Infomatyki, lektoniki i 4