Krótkookresowy model ryzyka ubezpeczenowego w przedsęborstwe Agneszka Rurka Cel artykułu stanowło zaprezentowane możlwośc zastosowana krótkookresowego modelu ryzyka w przedsęborstwe. Przedstawono przy tym stotę założena modelu zamknętego oraz dokonano przeglądu wybranych metod dentyfkacj rozkładu sumy szkód ubezpeczenowych. Omawane zagadnena zostały zobrazowane na przykładze. Przy pomarze ryzyka wykorzystano algorytm De Prla oraz aproksymację sumy szkód rozkładem normalnym. Podjęto ponadto próbę przedstawena możlwośc zastosowana modelu ndywdualnego ryzyka w ocene kontraktów ubezpeczenowych. W tym celu zaprezentowano sposób ustalana wysokośc współczynnka bezpeczeństwa oraz pozomu retencj w przypadku kontraktu ubezpeczenowego typu excess of loss.. Wprowadzene do zarządzana ryzykem ubezpeczenowym w przedsęborstwe Ryzyko wąże sę nezmenne z wszelkm formam egzystencj dzałanam człoweka. Jest węc też neodłącznym atrybutem każdej dzałalnośc gospodarczej oraz podmotów uczestnczących w tej dzałalnośc (Ronka-Chmelowec 00: 9). Manem ryzyka określa sę przedsęwzęce, którego wynk jest neznany, nepewny, problematyczny (Szymczak 98: 55). Atrybuty ryzyka łączą je węc ścśle z nepewnoścą, oznaczającą powątpewane w zdolność do przewdzena skutków obecnych dzałań (Wllams nn 00: 8). Nepewność zwązana jest z nemożnoścą określena rozwoju wydarzeń w sposób pewny. U źródeł tej nemożnośc leży złożoność zjawsk, a także dostępność nformacj na temat możlwego begu wydarzeń. Rodzaj posadanych nformacj, ch lość jakość, determnują postrzegane ryzyka oraz sposób tego postrzegana. Wynkem tego jest ndywdualny stosunek człoweka do ryzyka, przejawający sę w postac skłonnośc lub nechęc do ryzyka. Pozomy nepewnośc przedstawa ponższa tabela. W przedsęborstwe najczęścej występuje ryzyko o drugm trzecm pozome nepewnośc. Nechęć do ryzyka stanow motywację do podjęca próby przenese- Pozom nepewnośc Cechy Przykłady Brak (pewność) Pozom (nepewność obektywna) Pozom (nepewność subektywna) Pozom 3 rezultaty mogą być przewdzane z bardzo dużą dokładnoścą rezultaty są przewdywalne, a prawdopodobeństwa są znane rezultaty są przewdywalne, lecz prawdopodobeństwa ne są znane rezultaty ne są w pełn przewdywalne, a prawdopodobeństwa ne są znane prawa fzyk, nauk przyrodncze gry hazardowe: karty, gra w kośc, umeralność pożar, wypadek samochodowy, welokrotna nwestycja badana kosmczne, nżynera genetyczna Tab.. Pozomy nepewnośc Źródło: na podstawe. Wllams, A.C., Smth, M. L., Young, P.C. 00. Zarządzane ryzykem a ubezpeczena, Warszawa: Wydawnctwo Naukowe PWN. /006 65
na ryzyka na nższy pozom, co jest możlwe np. poprzez transfer ryzyka za pomocą ubezpeczena. Ubezpeczenu może jednak podlegać jedyne ryzyko czyste, którego realzacja powoduje stratę, natomast nezrealzowane ne prowadz do uzyskana korzyśc majątkowych. Ryzyko nepewność mają stotny wpływ na organzację, gdyż wymagają ponoszena kosztów ryzyka, do których należą, mędzy nnym, koszt strat (będących następstwem realzacj ryzyka) oraz koszt własny nepewnośc (pojawający sę w forme zmartwena lub trwog) (Wllams nn 00: 4-4). Prowadzene dzałalnośc gospodarczej wymaga przyjęca postawy w stosunku do ryzyka poprzez np. gnorowane, unkane, transfer, retencję czy redukcję. Odpowedn stosunek do ryzyka stanow podstawę zarządzana nm, czyl racjonalnego sterowana elementam ryzyka, mającego na celu unknęce lub ogranczene fnansowych skutków zdarzeń losowych (Szymańska 997: 5). Zarządzane ryzykem stanow szeroko rozumane dzałana zarządcze, których zadanem jest dentyfkacja ocena ryzyka nepewnośc oraz walka z ch przyczynam wpływem na organzację (Wllams nn 00: 57). Głównym elementam zarządzana ryzykem są: określene zadań, dentyfkacja (rozpoznane) analza potencjalnych zagrożeń źródeł ryzyka, kwantyfkacja (pomar) ocena ryzyka pomar sły dzałana określonych rodzajów ryzyka wartośc strat, kontrola ryzyka podjece dzałań zmnejszających je, fnansowane ryzyka gromadzene rezerw na pokryce strat lub kosztów transferu ryzyka, admnstrowane programem. Najczęścej wykorzystywaną formą zabezpeczena przed stratam powstałym w wynku realzacj ryzyka jest jego transfer przy pomocy nstytucj ubezpeczena. Zawerając umowę ubezpeczena, przedsęborca dokonuje transferu ryzyka na ubezpeczycela, nabywając odpowedn produkt ubezpeczenowy. Wysokość składk ubezpeczenowej stanow w tym przypadku koszt ochrony ubezpeczenowej 3. Przedsęborca podejmuje węc decyzję, jake ryzyko pozostawć (jake koszty szkód może sam poneść) oraz co ubezpeczać (w jakm zakrese, na jaką sumę), przed czym ubezpeczać (przed jakm zdarzenam losowym), gdze ubezpeczać (jakego ubezpeczycela wybrać), na jakch warunkach (jake są ogólne warunk ubezpeczeń), jak koszt jest skłonny w zwązku z tym poneść td. Badane analza ryzyka należą węc do podstawowych dzałań przed przystąpenem do ubezpeczena, zarówno dla ubezpeczycela, jak ubezpeczającego (Ronka-Chmelowec 997: 9). Nepewność jest kategorą subektywną, a w zwązku z tym nemerzalną. Zwązane z nepewnoścą ryzyko jest natomast zjawskem obektywnym jako take może być przedmotem oceny lub pomaru. Oceny ryzyka dokonuje sę w sytuacj, gdy ne jest możlwy jego pomar, np. w przypadku nowego rodzaju ryzyka lub ryzyka katastrofcznego. Ryzyko ubezpeczenowe, mogące stanowć przedmot transferu, może być traktowane jako zmenna losowa lub proces losowy (Ronka-Chmelowec 997: 6). W celu dokonana pomaru tego ryzyka mogą być wykorzystane szeroko omawane w lteraturze ubezpeczenowej modele ryzyka (np. ndywdualny model ryzyka kolektywny model ryzyka). Odpowednego aparatu narzędzowego do pomaru ryzyka ubezpeczenowego dostarcza statystyka ubezpeczenowa. Maram ryzyka zmennej losowej lub procesu stochastycznego są np. dystrybuanta, funkcja gęstośc prawdopodobeństwa, funkcja tworząca, momenty statystyczne tp.. Model ryzyka ndywdualnego W określonych przypadkach analza szkód, będących rezultatem zdarzeń losowych, może być oparta na krótkookresowym modelu ryzyka ndywdualnego (analzując wysokośc wypłat, pomja sę czynnk czasu, wobec czego model ma zastosowane do analz krótkookresowych zazwyczaj jednego roku) (Rolsk nn 999: ). Model ten znajduje zastosowane, mędzy nnym, w przypadku ubezpeczeń zdrowotnych, ubezpeczeń na życe (por. Kowalczyk nn 006: 4; Ronka-Chmelowec 997: 59; Ostasewcz 00: 06), a także nnych np. komunkacyjnych, ognowych, co do których spełnone są określone ponżej założena (por. Bowers 986: 33). Przyjmuje sę, że: 66 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
badany portfel składa sę z ustalonej lczby n jednorodnych lub nejednorodnyc jednostek ryzyka, w wynku zastnena szkody może zostać dokonana co najwyżej jedna wypłata (ewentualne, różne wypłaty można potraktować jako wypłatę zagregowaną), wypłaty X generowane przez szkody losowe zwązane z poszczególnym ryzykam w portfelu są statystyczne nezależnym zmennym losowym (Feller 968: 5), to znaczy realzacja jednego z ryzyk w portfelu ne wpływa na pozostałe ryzyko (Ronka-Chmelowec 997: 59). Przy powyższych założenach całkowta wypłata dla n-elementowego portfela może być określona jako (Bowers nn 986: 7): S X + X +... + X n X, n gdze X oznacza -tą nezależną wypłatę. Rozkład S dentyfkuje sę, stosując różne metody, a manowce: podając wartośc podstawowych parametrów (mędzy nnym takch jak: wartość oczekwana warancja) lub postać funkcj tworzącej prawdopodobeństwa (lub momenty), określając analtyczną postać dystrybuanty (lub funkcj gęstośc), korzystając ze splotów dystrybuant (lub funkcj gęstośc) (por. Bowers nn 986: 35; Kaas nn 00: 8; Feller 968: 67) stosując metodę rekurencyjną (por. Ostasewcz 00: ), w przypadku określonych portfel wyznaczając funkcję gęstośc prawdopodobeństwa za pomocą wzoru rekurencyjnego (stosując algorytm De Prla), określając rozkład przyblżony, stosując aproksymację rozkładem normalnym lub trójparametrycznym rozkładem gamma. Ponżej zostaną zaprezentowane wybrane zagadnena zwązane z dentyfkacją rozkładu S, które posłużyły w opracowanu przykładu praktycznego zastosowana prezentowanego modelu krótkookresowego. Rozkład sumy wypłat dentyfkuje sę określając wartośc wybranych momentów lub podając postać funkcj tworzącej momenty (Por. Jakubowsk, Sztencel 00: 97, 5). Wartość oczekwaną warancję rozkładu S uzyskuje sę korzystając z własnośc momentów dla sumy nezależnych zmennych losowych jako (Feller 968:, 30): E(X +... + X n )EX +... + EX oraz ( X +... + X ) D X +... D X D n + Wypłata X generowana przez -te ryzyko jest przy tym neujemna, to znaczy P ( X 0). Prawdopodobeństwo, że ne ma wypłaty ne wystąp szkoda jest dodatne P ( X 0) > 0. Wysokość -tej wypłaty o le do nej dojdze wynos B co oznacza, że jej rozkład jest tak, jak warunkowy rozkład zmennej X (tj. dla X > 0 ). Wypłata X może być określona jako (Ostasewcz 00: 06): X I B, gdze: I, gdy wystąpła wypłata w wynku -tej szkody, I 0, gdy ne wystąpła wypłata w wynku -tej szkody przy czym (Bowers nn 986: 8): q P( X > 0) P( I ) oznacza prawdopodobeństwo wypłaty oraz p P( X 0) P( I 0) q oznacza prawdopodobeństwo, że ne nastąp wypłata. Wartość oczekwaną (perwszy moment zwykły) wyznacza sę jako (Feller 968:, 30): μ gdze μ EB oznacza wartość oczekwaną zmennej. Warancja oraz dwa kolejne momenty centralne wynoszą (Ostasewcz 00: 0; Jóźwak, Podgórsk 006: 09-0): ( μ ( ) + σ ). /006 67
μ + μ ( + ) ( + ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) < gdze σ D B oznacza warancję zmennej B. Transformatę Laplace a rozkładu całkowtej wypłaty otrzymuje sę korzystając z własnośc funkcj tworzących momenty dla zmennych nezależnych (Jakubowsk, Sztencel 00: 05, 7; Feller 968: 67): a zatem: M S () n () () t M X () t p + qm B () t n ( ) gdze M B jest funkcją tworzącą momenty zmennej B. W modelu ryzyka ndywdualnego całkowta wypłata w portfelu S jest sumą n nezależnych zmennych losowych X (,,..., n) o dystrybuantach F (x), skończonych wartoścach oczekwanych EX μ < skończonych warancjach D X σ <. Korzystając z nezależnośc elementów cągu zmennych {X,,,..., n}, znając wartośc elementów cągów {μ <,,,..., n}, {σ <,,,..., n}, dla sumy S n X można wyznaczyć wartość oczekwaną warancję (Feller 968: 53): μ μ σ σ, Dokonując normalzacj zmennej losowej S według formuły (Jóźwak, Podgórsk 006: 80): μ σ otrzymuje sę zmenną zestandaryzowaną Z. Cąg dystrybuant {F(z)} zmennych losowych Z spełna wówczas (Lusznewcz, Słaby 00: 46-47): π ( ) wtedy tylko wtedy, gdy dla dowolnego z<0 spełnony jest warunek Lndeberga (Feller 968: 53): σ ( ) ( ) > σ co oznacza, że dla dowolnego ε>0 wszystkch dostateczne dużych n zachodz: σ < ε σ dla,,..., n. Oznacza to, że w przypadku dużej lczebnośc portfela n spełnenu warunków centralnego twerdzena grancznego Lndeberga-Levy ego rozkład Z jest zbeżny do standardowego rozkładu normalnego 4. 3. Przykład zastosowana modelu krótkookresowego w analze ryzyka Praktyczne wykorzystane modelu ryzyka krótkookresowego zostane przedstawone na przykładze przedsęborstwa zatrudnającego 60 pracownków (w tym samych mężczyzn w weku 30, 40 50 lat). Każdy z pracownków traktowany jest jako pojedyncze ryzyko, z którym zwązane są dwe charakterystyk prawdopodobeństwo zgonu w cągu roku oraz wysokość należnego odszkodowana z tego tytułu (wypłacanego rodzne). Portfel ryzyka przedsę- 68 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
borstwa jest zatem portfelem zamknętym, składającym sę z n60 ryzyk. Zakłada sę przy tym, że może on być przy tym podzelony na grupy jednorodne pod względem welkośc wypłat oraz prawdopodobeństwa wypłaty 5. Welkość -tej wypłaty w portfelu, o le do nej dojdze, wynos b : P(B b ) P(X b I ), przy czym stanow welokrotność pewnej jednostk penężnej c: b c dla,,..., r. Wysokość -tej wypłaty uzależnona jest od lczby lat pracy w danym przedsęborstwe, zgodne z wartoścam podanym w ponższej tabel. x 0 < x x b (w zł.) 0 5 0 000 5 0 0 000 0 5 30 000 5 0 40 000 0... 50 000 Tab.. Wysokość wypłat Źródło: opracowane własne. Wypłaty b stanową welokrotnośc 0 000 złotych (c). Wyznaczone grupy mają węc take same warunkowe rozkłady wypłaty oraz take samo prawdopodobeństwo wypłaty, co przedstawa tabela 3. q q q 3 n 30 33 3 3 7 3 0 35 8 43 4 0 8 0 38 5 0 0 9 9 n j 53 58 49 60 Tab. 3. Klasyfkacja ryzyka w przykładowym portfelu przedsęborstwa Źródło: opracowane własne. Lczbę wypłat z prawdopodobeństwem q j wyznacza sę jako sumę: r n n n, j 5 j j wobec czego całkowta lczba wypłat wynos: m 3 n n j n j 60. j j Przy stawanych założenach, do określena rozkładu prawdopodobeństwa całkowtej wypłaty w portfelu może być wykorzystany algorytm De Prla 6. Maksymalna możlwa welkość zagregowanej wypłaty M w portfelu wynos (De Prl 986: 09): gdze: n j oznacza lczbę wypłat (,,..., r) jednostek penężnych z prawdopodobeństwem q j p j (j,,..., m). Maksymalna wypłata w omawanym portfelu wynos zatem: Przedsęborstwo może węc być obcążone maksymalną wypłatą na pozome 4,63 mln. zł. Wartość oczekwaną warancję sumy wypłat w portfelu wyznacza sę jako (Cahn, Sharma 983: 85): oraz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) gdze N j oznacza oczekwaną lczbę wypłat -jednostek z j-tym prawdopodobeństwem (powstałą na baze n j ). Analzowany portfel ryzyka charakteryzuje duża zmenność, o czym śwadczy klasyczny współczynnk zmennośc na pozome ok. 3%. Rozkład prawdopodobeństwa całkowtej wypłaty S w portfelu, to znaczy p S (s)p(ss), określa sę zgodne z wzorem rekurencyjnym (De Prl 986: 0): /006 69
( ) ( ) [ ] () ( ) ( ) dla s0,,..., M, gdze: ( ) + ( ) ( ) ( ) oraz [s/]oznacza całkowtą część lczby, będącej wynkem lorazu s/7. Dla q j blskego zeru wyrażene: k q j p j jest małe, wec A(, k) szybko maleje, gdy k rośne, co przedstawa tabela 4. Przy znajdowanu prawdopodobeństwa p S (s) dokonywane sumowane może być ogranczone do małej lczby K składnków (Ostasewcz 00: 7): ( [ ] ) Rezultat ogranczena sumowana, przykładowo do K7 składnków, podaje tabela 5. Jeżel q j <0,5 (dla j,,..., m) co ma mejsce w analzowanym przypadku to suma bezwzględnych błędów tej aproksymacj jest następująco oszacowana z góry (De Prl 988: 6 68): < δ gdze + δ +. Oznacza to, że suma bezwzględnych błędów oszacowana dla omawanego przykładu ne przekracza wartośc: e 3,3566E 6. Przy spełnenu warunków centralnego twerdzena grancznego Lndeberga- Levy ego (por. Feller 968: 53; Lusznewcz, Słaby 00: 46 47), wykorzystując aproksymację normalną rozkładu zestandaryzowanej sumy wypłat, można oszacować wartość tzw. względnego ładunku bezpeczeństwa (względnego współczynnka narzutu na bezpeczeństwo) (Bowers nn 986: 4): θ, A(, k) 3 4 5 k 0,058690 0,04676 0,59367 0,995540 0,88080 0,0007 0,000338 0,003370 0,007766 0,00855 3 0,00000 0,00000 0,00004 0,000067 0,000076 4 0,000000 0,000000 0,000000 0,00000 0,00000 5 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 Tab. 4. Wartośc A(, k) Źródło: opracowane własne. s 0 3 4 5 p (7) S (s) 0,4833 0,0849 0,05980 0,096678 0,6043 0,096937 s 6 7 8 9 0 p (7) S (s) 0,00886 0,09303 0,03355 0,049 0,039... Tab. 5. Wartośc p S (7) (s) Źródło: opracowane własne. 70 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
gdze z p jest kwantylem rzędu p rozkładu normalnego standaryzowanego N(0, ) (Jóźwak, Podgórsk 006: ). Ładunek bezpeczeństwa postac θes określa wysokość środków ponad wartość oczekwaną szkody, zapewnającą z zadanym prawdopodobeństwem pokryce sumy szkód. Innym słowy, dla zadanego pozomu ufnośc stneje możlwość oszacowana wartośc środków (+θ)es, jake przedsęborstwo pownno zgromadzć, aby pokryć wypłaty zwązane z realzacją ryzyka. Przykładowe wartośc ładunku bezpeczeństwa oraz względnego ładunku bezpeczeństwa zawera tabela 6. Tak węc przedsęborstwo pownno dysponować środkam na pozome 53,0 tys. zł, aby z prawdopodobeństwem 0,8 pokryć wypłaty. Przy prawdopodobeństwe równym 0,9 zgromadzona kwota pownna wynosć 67,354 tys. zł, zaś dla prawdopodobeństwa 0,98 9,95 tys. zł, co stanow aż ok. 353% wartośc oczekwanej sumy wypłat. Φ(z p ) z p θ θes 0,80 0,846,0366,70746 0,8 0,9537,706,944693 0,84 0,99446,444 3,998 0,86,0803,3306 3,475346 0,88,7499,4467 3,779886 0,90,855,57793 4,695 0,9,40507,7300 4,50064 0,94,55477,9434 5,00637 0,96,75069,5556 5,63885 0,98,05375,587 6,6068 Tab. 6. Wartośc ładunku bezpeczeństwa Źródło: opracowane własne. d p F 5 3 0,000 0 0 0,0000 0,0005 0 0 0,00336 0,000 0 0 0,0743 0,0050 0 0,000534 0,000 0,004004 0,0500 0,000 0 0 0,06096 0,0005 0 0 0,04594 0,000 0 0,00000 0,8699 0,0050 0 0,03038 0,97877 0,000 0,08590 0,96896 0,0500 0,000 0,00545 0,059707 0,43805 0,0005 0,00930 0,068374 0,46546 3 0,000 0,00533 0,080536 0,499939 0,0050 0,07405 0,39093 0,755563 0,000 0,0653 0,560 0,94034 0,0500 0,000 0,0908 0,30476 0,6040 0,0005 0,09467 0,309 0,6697 4 0,000 0,097986 0,370 0,63366 0,0050 0,7597 0,449697 0,69030 0,000 0,7657 0,449697 0,75575 0,0500 0,78783 0,938 0,987575 5 dowolne 0,906 0,45088 0,6996 Tab. 7. Prawdopodobeństwa P(F re>s) Źródło: opracowane własne. /006 7
Przyjmując, że przedsęborstwo rozpatruje możlwość utrzymywana środków fnansowych F na pozome 50 tys. zł (30 tys. zł, 0 tys. zł), rozważane jest ubezpeczene częśc lub całośc posadanego ryzyka. W wynku zajśca szkody o wartośc x, zostane dokonana przez ubezpeczycela wypłata I(x). Zakłada sę przy tym dostępność kontraktów ubezpeczenowych, takch, że 0 I(x) x, przy czym wszystke wykonalne kontrakty o wartośc oczekwanej wypłaty E(I(X))β dostępne są za tę samą cenę P (Bowers nn 986: 6 7). Opłata za ubezpeczene jednostk ryzyka wynos przy tym p. Rozpatrywany jest zakup ubezpeczena typu excess of loss, zgodne z którym wypłata ubezpeczycela następuje wówczas, gdy welkość szkody przekracza określoną wartość d (Bowers nn 986: 7, Montalbett 970: 9): 0, x < d, I d () x x d, x d. Celem jest określene wysokośc retencj przedsęborstwa d mnmalzującej: P(F re>s), gdze re oznacza płatność za kontrakty ubezpeczenowe. Oczywste jest, że przy takej samej wysokośc retencj oraz dentycznej wysokośc opłaty ubezpeczenowej wartośc prawdopodobeństwa wzrastają, kedy maleje pozom środków własnych (najwyższe wartośc prawdopodobeństwa w kolumne dla F). Ponadto, przy zadanym pozome F p, prawdopodobeństwo P(F re>s) wzrasta wraz ze wzrostem pozomu retencj d. Przy zadanym pozome środków własnych F, przedsęborstwo wyberze nższy pozom retencj d (nższa wartość prawdopodobeństwa). Prawdopodobeństwo P(F re>s) jest tym nższe m nższa wartość p. Przy środkach fnansowych na pozome 0 tys. zł. nskej opłace ubezpeczenowej p0,000 przedsęborstwo dokona transferu ryzyka, wyberając pozom retencj d. Dla wyższej opłaty ubezpeczenowej np. p0,0, wyberany będze wyższy pozom retencj ryzyka. W skrajnym przypadku przedsęborstwo ne zakup kontraktu ubezpeczenowego (pozom retencj d5), gdyż opłata ubezpeczenowa będze przekraczała jego możlwośc. W zwązku z tym można sę spodzewać, że przewdywane wypłaty (wartość szkód) przekroczą wysokość posadanych środków z prawdopodobeństwem ok. 0,69. 4. Wnosk Funkcjonowanu przedsęborstwa neodłączne towarzyszy ryzyko zwązane zarówno z podejmowanem określonych dzałań realzacją zamerzeń, jak z zanechanem dzałań zachowanem stnejącego stanu rzeczy. Unkane ryzyka ne zawsze jest możlwe, a przedsęborstwo nastawone na gnorowane ryzyka ponos najwększy najmnej uzasadnony jego koszt koszt bezczynnośc trwog. Wydaje sę, że zwłaszcza w przypadku małych przedsęborstw, których możlwośc fnansowe organzacyjne bywają newystarczające na zapewnene efektywnej retencj czy dywersyfkacj ryzyka, korzystne jest dokonane transferu ryzyka przy pomocy ubezpeczena. W celu zapewnena odpowednej ochrony ubezpeczenowej należy dokonać, mędzy nnym, oszacowana ryzyka ubezpeczenowego. Wydaje sę, że odpowednm modelem ryzyka jest zmenna losowa (lub proces losowy). Podczas dokonywana analzy pomaru ryzyka zasadnym okazuje sę sęgnęce do model aktuaralnych, a w określonych przypadkach do krótkookresowego modelu ryzyka ndywdualnego. Wykorzystane metod dentyfkowana rozkładu sumy szkód (wypłat) pozwala przy tym na blższe scharakteryzowane ryzyka w przedsęborstwe, a co sę z tym wąże na wybór odpowednego kontraktu ubezpeczenowego. W praktyce często stosuje sę tzw. ubezpeczena szyte na marę. Efektywność tego narzędza będze tym wększa, m lepej będze zdjęta mara. Podsumowując, zaprezentowany przykład choć uproszczony oparty na pewnych założenach wydaje sę dobrze obrazować możlwość wykorzystana zamknętego modelu ryzyka w przedsęborstwe. Umożlwa on, dzęk zastosowanu algorytmu De Prla, określene wartośc oczekwanej, warancj funkcj prawdopodobeństwa rozkładu sumy wypłat. Posłużene sę aproksymacją normalną pozwala ponadto na wylczene współczynnka bezpeczeństwa oraz pozomu retencj przy rozpatrywanym type ubezpeczena. 7 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW
Informacje o autorce Mgr Agneszka Rurka Zakład Badań Operacyjnych Zarządzana, Wydzał Zarządzana Unwersytetu Warszawskego. E-mal: agarurka@mal.wz.uw.edu.pl. Przypsy Oprócz ryzyka czystego (ang. pure rsk) wyróżna sę ryzyko spekulatywne (ang. speculatve rsk), które wąże sę zarówno ze stratą, brakem straty lub zysku oraz z uzyskanem korzyśc (zysku). Przegląd klasyfkacj ryzyka ubezpeczenowego można znaleźć w: Ronka- Chmelowec, W. 997. Ryzyko w ubezpeczenach metody oceny, Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu, s. 6 9. Przegląd produktów ubezpeczenowych dla przedsęborców można znaleźć np. w: Próchnak, E. 00. Ubezpeczena majątkowe dla przedsęborców, Bydgoszcz: Ofcyna Wydawncza OPO. 3 Koszty nabywana ubezpeczeń, jak równeż koszty podejmowanych w przedsęborstwe dzałań prewencyjnych czy wartość wydatków zwązanych z pokrycem strat, które ne będą pokryte przez nne podmoty, stanową tzw. koszt ryzyka. Por. Sangowsk T. (red.) 999. Vademecum ubezpeczeń gospodarczych (pośrednka ubezpeczenowego), Poznań: Saga Prntng, s. 80. 4 W lteraturze statystycznej przyjmuje sę, że lczebność zapewnająca dostateczną zbeżność dystrybuant pozwalająca zastosować aproksymację to n30. Por. Bowers N.L., Gerber H.U., Hckman J.C., Jones D.A., Nesbtt C.J. (986), Actuaral Mathematcs, Socety of Actuares, Schaumburg, s. 38. 5 Prawdopodobeństwo wypłaty oznacza prawdopodobeństwo zajśca zdarzena losowego, polegającego na śmerc pracownka. W celu określena wartośc odpowednch prawdopodobeństw można w tym przypadku skorzystać z tablc trwana życa mężczyzn (dla roku 003). 6 Metoda rekursywna podana przez De Prla stanow uogólnene metody, którą Whte Grevlle zaproponowal dla rozkładu lczby szkód (por. Whte, R.P., Grevlle, T.N.E 959. On computng the probablty that exactly k of n ndependent events wll occur, Transactons of the Socety of Actuares, nr, s. 88 95, 96 99) oraz metody aproksymacj zagregowanego rozkładu szkód przedstawonej przez Kornya (por. Kornya P.S. 983. Dstrbuton of aggregate clams n the ndvdual rsk theory model, Transactons of the Socety of Actuares, nr 35, s. 83 836, (dyskusja) 837-858). Metoda rekurencyjna dla modelu ndywdualnego stanow odpowednk metody rekurencyjnej Panjera dla modelu kolektywnego (por. Panjer H.H. 98. Recursve evaluaton of a famly of compound dstrbutons, ASTIN Bulletn, vol., nr, s. 6). 7 Dowód np. w: De Prl N. 986. On the exact computaton of the aggregate clams dstrbuton n the ndvdual lfe model, ASTIN Bulletn, vol. 6, nr, s. 0; Ostasewcz W. (red.) 00. Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu, s. 6. Bblografa Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hckman, J.C., Jones, D.A., Nesbtt, C.J. 986. Actuaral Mathematcs, Schaumburg: Socety of Actuares. Cahn B., Sharma P.K. 983. Dscusson: Dstrbuton of aggregate clams n the ndvdual rsk theory model. Transactons of the Socety of Actuares, nr 35, s. 850 863. De Prl, N. 986. On the exact computaton of the aggregate clams dstrbuton n the ndvdual lfe model. ASTIN Bulletn, vol. 6, nr, s. 09. De Prl, N. 988. Improved approxmatons for the aggregate clams dstrbutons of a lfe nsurance portfolo. Scandnavan Actuaral Journal, s. 6 68. Feller, W. 968. An Introducton to Probablty Theory and Its Applcatons, vol. I, New York London Sydney: John Wley & Sons. Jakubowsk, J., Sztencel, R. 00. Rachunek prawdopodobeństwa dla (prawe) każdego, Warszawa: SCRIPT. Jóźwak, J., Podgórsk, J. 006. Statystyka od podstaw, Warszawa: PWE. Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denut, M. 00. Modern actuaral rsk theory, Dordrecht: Kluwer Academc Publshers. Kornya, P.S. 983. Dstrbuton of aggregate clams n the ndvdual rsk theory model. Transactons of the Socety of Actuares, nr 35, s. 83 836, (dyskusja) 837 858. Kowalczyk, P., Poprawska, E., Ronka-Chmelowec, W. 006. Metody aktuaralne zastosowana matematyk w ubezpeczenach, Warszawa: Wydawnctwo Naukowe PWN. Lusznewcz, A., Słaby, T. 00. Statystyka z paketem komputerowym STATISTICA PL - Teora zastosowana, Warszawa: Wydawnctwo C.H.Beck. Montalbett, E. 970. Reasekuracja, Warszawa: PWN. Ostasewcz, W. (red.) 00. Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu. Próchnak, E. 00. Ubezpeczena majątkowe dla przedsęborców, Bydgoszcz: Ofcyna Wydawncza OPO. /006 73
Rolsk, T., Schmdl, H., Schmdt, V., Teugles, J. 999. Stochastc processes for nsurance and fnance, New York: John Wley & Sons. Ronka-Chmelowec, W. (red.) 00. Ubezpeczena rynek ryzyko, Warszawa: PWE. Ronka-Chmelowec, W. 997. Ryzyko w ubezpeczenach metody oceny, Wrocław: Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej m. Oskara Langego we Wrocławu. Sangowsk, T. (red.) 999. Vademecum ubezpeczeń gospodarczych (pośrednka ubezpeczenowego), Poznań: Saga Prntng. Szymańska, K. 997. Jak gdze ubezpeczyć majątek frmy, Gdańsk. Szymczak, M. (red.) 98. Słownk języka polskego, tom III, Warszawa: PWN, s. 55. Whte, R.P., Grevlle, T.N.E 959. On computng the probablty that exactly k of n ndependent events wll occur. Transactons of the Socety of Actuares, nr, s. 88 95, 96 99. Wllams, A.C., Smth, M.L., Young, P.C. 00. Zarządzane ryzykem a ubezpeczena, Warszawa: Wydawnctwo Naukowe PWN. 74 Studa Materały Wydzał Zarządzana UW