WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19
Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P). Zmienną losową X nazywamy funkcję X : Ω R, taką, że dla każdego przedziału (, a) zachodzi {ω Ω : X (ω) (, a)} F Oznaczenia: X, Y, Z zdarzenie X = a jest to zbiór {ω Ω : X (ω) = a} zdarzenie X a jest to zbiór {ω Ω : X (ω) a} PRZYKŁADY Dwukrotny rzut monetą, X liczba orłów Rzut do tarczy bedącej kołem o r = 1, Y odległość od środka tarczy Losowanie 13 kart z talii 52, Z liczba asów wśród wylosowanych Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 2 / 19
Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Definicja Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy funkcję, która zbiorowi B R (mierzalnemu) przyporządkowuje liczbę P(X B) = P({ω Ω : X (ω) B} Definicja Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R określoną wzorem F (t) = P(X t) = P({ω Ω : X (ω) t} Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 3 / 19
PRZYKŁAD. Dwukrotny rzut monetą, X liczba orłów Ω = {(O, O); (R, O); (O, R); (R, R)}, P({ω}) = 1 4 ω (R, R) (R, O) (O, R) (O, O) X (ω) 0 1 1 2 rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta x 0 1 2 P(X = x) 1 4 1 2 1 4 F (t) = P(X t) = 0 gdy t < 0 1 4 gdy t [0, 1) 3 4 gdy t [1, 2) 1 gdy t 2 Dystrybuanta zmiennej X 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 4 / 19
PRZYKŁAD. Rzut do tarczy będącej kołem o r = 1, Y odległość od środka tarczy Ω = {ω = (x, y) : x 2 + y 2 1} Y (ω) = Y (x, y) = x 2 + y 2 Dystrybuanta F Y (t) = P(Y t) = P({(x, y) Ω : x 2 + y 2 t 2 }) 0 gdy t < 0 F Y (t) = t 2 gdy t [0, 1) 1 gdy t 1 Dystrybuanta zmiennej 1,2 Y 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-3 -2-1 0 1 2 3-0,2 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 5 / 19
Twierdzenie Własności dystrybuanty Jeśli F jest dystrybuantą zmiennej losowej X, to P(a < X b) = F (b) F (a); P(X = a) = F (a) F (a ); P(a X b) = F (b) F (a ); P(a < X < b) = F (b ) F (a); P(a X < b) = F (b ) F (a ); F jest funkcją niemalejącą; F jest funkcją prawostronnie ciągłą, czyli F (a) = F (a + ); F ( ) = P( ) = 0 i F (+ ) = P(Ω) = 1. Znając F możemy wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa. Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 6 / 19
Zmienna losowa dyskretna Definicja Zmienna losowa X ma dyskretny rozkład, jeśli zbiór jej wartości jest skończony lub przeliczalny. Dyskretny rozkład opisujemy tabelą, gdzie x 1, x 2,... to wartości zmiennej X a f (x 1 ), f (x 2 ),... prawdopodobieństwa przyjmowania tych wartości. x x 1 x 2 x 3... P(X = x) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 )... Własności funkcji prawdopodobieństwa f : 0 f (x i ) 1; x i f (x i ) = 1; P(a X b) = a x i b f (x i). Dystrybuanta ma postać F (t) = x k t P(X = x k) = x k t f (x k) i P(x k+1 ) = F (x k+1 ) F (x k ); jest funkcją schodkową, jest stała na każdym przedziale [x k, x k+1 ); Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 7 / 19
Zmienna losowa ciągła Definicja Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły, jeśli istnieje funkcja nieujemna f : R R nazywana gęstością prawdopodobieństwa taka, że dla dowolnych a < b mamy P(a < X < b) = P(a X b) = b a f (x)dx Przyjmujemy, że gęstość f jest równa 0 poza zbiorem wartości zmiennej X. Własności funkcji gęstości: f (x) 0; + f (x)dx = 1 Dystrybuanta ma postać F (t) = t f (x)dx; jest funkcją ciągłą; w punktach, w których f jest ciagła zachodzi f (x) = d dx F (x) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 8 / 19
Wybrane rozkłady dyskretne Rozkład jednopunktowy istnieje a takie, że P(X = a) = 1 Rozkład dwupunktowy x a b P(X = x) p q = 1 p Jeśli a = 1 i b = 0 to rozkład zero-jedynkowy Rozkład równomierny x x 1 x 2... x n P(X = x) 1 n 1 1 n... n Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 9 / 19
Rozkład hipergeometryczny W urnie jest N kul, wśród których jest M kul wyróżnionych (np. białych). Losujemy n kul i niech X oznacza liczbę kul wyróżnionych wśród wylosowanych. Wtedy X ma rozkład hipergeometryczny P(X = x) = ( M )( N M ) x n x ( N n), max{0, n N + M} x min{m, n} Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 10 / 19
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) X bin(n, p) Rozważamy n niezależnych powtórzeń takiego samego doświadczenia, które ma dwa możliwe wyniki nazywane sukcesem S i porażką F. Takie doświadczenia nazywamy próbami Bernouliliego. p prawdopodobieństwo sukcesu q = 1 p prawdopodobieństwo porażki X = liczba sukcesów w n próbach ma rozkład dwumianowy bin(n, p) ( ) n P(X = k) = p k q n k gdy k = 0, 1, 2,..., n k PRZYKŁAD Rzucamy niezależnie symetryczną kostką do gry 5 razy. Niech X będzie liczbą szóstek. Wtedy ( ) (1 5 k ( ) 5 n k P(X = k) = gdy k = 0, 1, 2,..., 5 k 6) 6 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 11 / 19
Rozkład geometryczny X Ge(p) Przypuśćmy, że próby Bernoulliego powtarzamy do chwili uzyskania pierwszego sukcesu X = liczba wykonanych prób ma rozkład geometryczny P(X = n) = q n 1 p gdy n = 1, 2, 3,... PRZYKŁAD Rzucamy niezależnie symetryczną kostką do chwili uzyskania szóstki. Niech X będzie liczbą prób. Wtedy P(X = n) = ( ) n 1 ( ) 5 1 6 6 gdy n = 1, 2,... Uogólnienie rozkład ujemny dwumianowy bin (r, p) próby Bernoulliego powtarzamy do chwili uzyskania r-tego sukcesu X = liczba porażek, wtedy X bin (r, p) ( ) k + r 1 P(X = k) = p r q k gdy k = 0, 1, 2,... k Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 12 / 19
Rozkład Poissona X Poiss(λ) Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 λ λx P(X = x) = e x! x = 0, 1, 2,.... PRZYKŁADY w zastosowaniach: liczba cząstek zarejestrowanych w jednostce czasu przez licznik Geigera-Mullera liczba błędów drukarskich na stronie liczba wypadków (zachodzących niezależnie) w jednostce czasu Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 13 / 19
TwierdzeniePoissona Niech X n, n = 1, 2,... będą zmiennymi losowymi o rozkładach dwumianowych X n bin(n, p n ). Jeżeli lim n + np n = λ i lim n + p n = 0, to lim P(X n = k) = n + lim n + ( ) n p k k n(1 p n ) n k λ λk = e k! k = 0, 1, 2,.... Dowód. (dla np n = λ) P(X n = k) = ( ) n pn k (1 p n ) n k n! λ k ( = k k!(n k)! n k 1 λ ) n ( 1 λ ) k n n n(n 1)... (n k + 1) = n n n Dokładność oczacowania λ k ( 1 λ ) n ( 1 λ ) k λ λk e k! n n k! P(X n = k) e λ λk k! λ2 Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 14 / 19 n
PRZYKŁADY Totolotek Prawdopodobieństwo trafienia szóstki = 1 ( 49 6 ) 7, 151 10 8. Przypuśmy, że 10mln osób wypełniło niezależnie po jednym kuponie. Oszacuj prawdopodobieństwo jednej szóstki. λ = np 10 7 7, 151 10 8 = 0, 7151 = P(X = 1) exp( λ) λ 1 0, 35 błąd przybliżenia 0, 5 10 7 Kryształki w torebkach z cukrem W 10000 torebkach z cukrem rozmieszczono losowo 5000 kryształków. Oszacuj prawdopodobieństwo, że w wybranej torebce będzie co najmniej jeden kryształek. p = 1 10000, n = 5000, λ = np = 0, 5, P(X 1) = 1 P(X = 0) 1 e λ Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 15 / 19
Rozkład jednostajny X U(a, b) Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (a, b) jeżeli funkcja gęstości rozkładu tej zmiennej jest postaci { 1 f (x) = b a gdy x (a, b) 0 w przeciwnym przypadku Dystrybuanta 0 gdy t < a t a F (t) = P(X t) = b a gdy t [a, b) 1 gdy t b PRZYKŁAD Autobus przyjeżdza na przystanek co 10 min. Pan A przychodzi w losowym momencie. Podaj rozkład zmiennej losowej opisującej czas oczekiwania na autobus Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 16 / 19
Rozkład wykładniczy X Ex(λ) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 jeżeli funkcja gęstości rozkładu tej zmiennej jest postaci { λe λx gdy x > 0 f (x) = 0 w przeciwnym przypadku Dystrybuanta F (t) = { 0 gdy t < 0 1 e λt gdy t 0 Rozkład wykładniczy i rozkład geometryczny to rozkłady z brakiem pamięci. Jeżeli X Ge(p), to n,k N P(X n + k X > n) = P(X k) Jeżeli X Ex(λ) to t,s>0 P(x t + s X > s) = P(x t) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 17 / 19
Rozkład gamma X Gamma(α, β) Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami α > 0 i β > 0 jeżeli funkcja gęstości rozkładu tej zmiennej jest postaci { β α f (x) = Γ(α) x α 1 e βx gdy x > 0 0 w przeciwnym przypadku Ex(λ) = ( Gamma(1, ) λ) Gamma 1 2 n, 1 2 = χ 2 n Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 18 / 19
Rozkład normalny X N(µ, σ 2 ) Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ R i σ > 0 jeżeli funkcja gęstości rozkładu tej zmiennej jest postaci f (x) = 1 ( ) (x µ)2 exp 2πσ 2σ 2, x R. P(µ 2.58σ < X < µ + 2.58σ) 0.99. Gęstość rozkładów N(3,4) i N(3,16) Dystrybuanta rozkładów N(3,4) i N(3,16) Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 19 / 19