Zastosowaie metody elemetów dyskretych do opisu procesu pękaia w betoie podczas jedoosiowego ściskaia i rozciągaia Dr iż. Michał Nitka, prof. dr hab. iż. Jacek Tejchma Politechika Gdańska, Wydział Iżyierii Lądowej i Środowiska Proces pękaia jest fudametalym zjawiskiem w materiałach kruchych [1, 9, 13]; jest główą przyczyą ich iszczeia i przyczyia się do zaczej degradacji ich wytrzymałości. Jest to zjawisko iezwykle skomplikowae ze względu a iejedorodą strukturę materiałów kruchych o wielkości zmieiającej się, p. w betoie, od kilku aometrów (zhydratyzoway cemet) do milimetrów (kruszywo), która powia być uwzględioa podczas opisu ich zachowaia w czasie obciążeia. Zrozumieie procesu pękaia w betoie jest kluczowe w zapewieiu bezpieczeństwa kostrukcjom betoowym i żelbetowym oraz ich optymalizacji. Na poziomie skali mezo (poziom ziare kruszywa) beto może być opisay jako trójfazowy materiał kompozytowy złożoy ze spoiwa cemetowego, kruszywa oraz stref przejściowych między kruszywem a spoiwem. Szczególie istota jest obecość kruszywa, poieważ zajmuje oo zwykle aż 70 75% objętości betou, a także stref przejściowych o grubości około 50 µm, które są ajsłabszym ogiwem w betoie. Zaletą podejścia dyskretego mezoskopowego jest fakt, że modeluje oo bezpośredio mikrostrukturę betou; może być zatem zastosowae do aalizy mikrostrukturalych zjawisk a poziomie kruszywa betou, tj. mechaizmu powstawaia i propagacji lokali- INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014 527
zacji odkształceń i rys, które wpływają a ieliiowe globale zachowaie się betou. Modele dyskrete mogą zastąpić z czasem doświadczeia w skali laboratoryjej do ustaleia ilościowego wpływu mikrostruktury (p. objętości, kształtu, wymiaru i sztywości kruszywa, objętości zaczyu cemetowego) a zachowaie się betou. Wadą modeli dyskretych jest długi czas obliczeń oraz truda kalibracja ze względu a brak iformacji o właściwościach geometryczych i mechaiczych poszczególych składików mikrostruktury. Do opisu mezoskopowego betou stosuje się rozszerzoe modele kotyuale [10] oraz modele dyskrete: DEM [4] lub metody beleczkowe [5]. W artykule przedstawioo wstępe wyiki uzyskae metodą elemetów dyskretych DEM, opisujące zachowaie się iezbrojoego betou podczas quasi-statyczego jedoosiowego ściskaia i rozciągaia. Do obliczeń zastosowao przestrzey model dyskrety YADE, który sformułowao w Uiwersytecie Greoble [6]. Model te był poprzedio zastosoway z sukcesem do opisu zachowaia się materiałów graulowaych bez i z uwzględieiem lokalizacji odkształceń styczych [7, 16]. Szczególą uwagę zwrócoo a proces kalibracji modelu oraz a wyiki procesu pękaia. Orygiale aspekty artykułu to: aaliza iektórych zjawisk mikrostrukturalych a poziomie ziare kruszywa oraz obliczeia betou opisaego jako materiał 3-fazowy. Model, propooway przez autorów, w porówaiu a) z iymi modelami dyskretymi DEM [3, 8, 10] wyróżia się prostotą ormalego prawa kotaktu (przyjęto kotakt liiowy) oraz kształtu ziare kruszywa (przyjęto kule). METODA ELEMENTÓW DYSKRETNYCH W obliczeiach zastosowao model 3D YADE, w którym stosuje się tzw. podejście miękkie (odkształceie elemetów dyskretych jest symulowae w postaci ich achodzeia a siebie) [6]. Przyjęto liiowy ormaly model kotaktu z spójością. Ziara kruszywa i zaczy cemetowy przyjęto w uproszczeiu w postaci kul. Siły kotaktowe F pomiędzy 2 dyskretymi elemetami sferyczymi rozłożoo a siły stycze i ormale, które połączoo z odpowiedimi przemieszczeiami poprzez sztywość ormalą kotaktów K i sztywość styczą kotaktów K s (rys. 1a-c): F = KUN (1) s Fs = Fs + Ks Xs + Fmax (2) gdzie: U głębokość peetracji (achodzeia a siebie) elemetów dyskretych, N wektor ormaly w pukcie kotaktów kul, X s przyrostowe przemieszczeie stycze, s F siła kohezji pomiędzy kulami. max b) c) d) Rys. 1. Model DEM przyjęty w obliczeiach [6, 12] a) styczy model kotaktu, b) ormaly model kotaktu, c) obciążeie i odciążeie w styczym modelu kotaktu i d) model Coulomba-Mohra 528 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014
Sztywości kotaktów wyzaczoo za pomocą modułu sprężystości kotaktu E c i dwóch promiei sąsiadujących kul R A i R B (do określeia K ) i za pomocą modułu sprężystości kotaktu E c, liczby Poissoa kotaktu ν c oraz R A i R B (do określeia K s ) [6, 12]: K 2RR A B = E c R R A + B i 2RR A B s = νc c A + B K E R R Poślizg w miejscu kotaktów kul miał miejsce, gdy siły kotaktu F s i F spełiały typowe rówaie Coulomba-Mohra materiałów tarciowo-spoistych (rys. 1c). F F ta m 0 (4) gdzie: μ lokaly kąt tarcia wewętrzego. s (3) mi F Najmiejsza siła ormala kotaktu mogła być rówa (wtedy dochodziło do pękięcia kotaktów i braku przeoszeia sił). Przyjęto, że siła spójości i siła rozciągająca były odpowiedio fukcjami aprężeia spoistego C i ormalego aprężeia rozciągającego T oraz miimalego promieia dwóch kul w kotakcie [3]: F s max = C R i 2 mi F mi = T R (5) W celu dysypacji eergii kietyczej w układzie dyskretym przyjęto proste ielepkie tłumieie ze współczyikiem tłumieia α [2]: k k k k F damped = F α sg( v ) F (6) gdzie: k F k i v k- składowe siły rezydualej i prędkości. Model DEM wymaga określeia pięciu główych mi max parametrów lokalych: E c, ν c, m, F i F s, które skalibrowao za pomocą typowych jedoosiowych badań laboratoryjych betou (ściskaie i rozciągaie) wykoaych przez va Vlieta i va Miera [14] oraz va Vlieta i va Miera [15]. Dodatkowo, model wymaga zajomości promieia i gęstości elemetów dyskretych oraz współczyika tłumieia. 2 mi WYNIKI DYSKRETNE BETONU NA POZIOMIE GLOBALNYM Obliczeia umerycze jedoosiowego ściskaia i rozciągaia betou w warukach statyczych wykoao główie do modelu płaskiego 2D. W tym przypadku grubość próbek betoowych była rówa średicy kul (modelowao a grubości tylko jedą warstwę elemetów dyskretych). Kule opisujące kruszywo i macierz cemetową miały róże średice d: miimalą = 0,125 2 mm i maksymalą d max = 12 mm. Średia średica kul wyosiła zawsze d 50 = 2 mm, gęstość ρ = 2500 kg/ m 3, lokaly kąt tarcia wewętrzego m = 30 i współczyik tłumieia α = 0,08. Wartości d 50 i d max przyjęto jak w doświadczeiach [14, 15]. Moduł sprężystości E c i liczba Poissoa ν c dla wszystkich sferyczych kotaktów były rówe: E c = 15 GPa i ν c = 0,2 (3). Naprężeia C i T (5) wyosiły odpowiedio 140 MPa i 23 MPa. W badaiach jedoosiowego ściskaia 2D [14] przyjęto próbki betou o wymiarach 0,1 0,1 m 2 (rys. 2a), a w badaiach a) b) Rys. 2. Próbki betoowe ze stochastyczie rozłożoymi kulami pomiędzy gładkimi sztywymi brzegami do obliczeń dyskretych DEM a) jedoosiowego ściskaia i b) jedoosiowego rozciągaia betou według doświadczeń va Vlieta i va Miera [14, 15] rozciągaia 2D [15] próbki betou w kształcie tzw. kości psa (wysokość 0,15 m, szerokość wzdłuż dolego i górego brzegu 0,10 m, szerokość w środku próbki 0,06 m) (rys. 2b). Poziome brzegi próbek były zawsze idealie gładkie. Każdą próbkę betoową wstępie skostruowao poprzez umieszczeie w sposób przypadkowy kul o różych średicach ze sztuczym lokalym kątem tarcia wewętrzego m = 0. Następie pozwoloo a osiadaie kul do mometu, gdy eergia kietycza była blisko zeru. Usuięto wtedy wszystkie siły kotaktu, wstawioo lokaly kąt tarcia m = 30 i próbki poddao bardzo wolemu procesowi ściskaia lub rozciągaia. Wpływ wstępego zagęszczeia (aalizy płaskie 2D) We wszystkich próbkach 75% ich objętości wypełioo kulami o średicy d 2 mm, które symulowały ziara kruszywa. Następie dodao kule o średicy d < 2 mm opisujące spoiwo cemetowe, aż osiągięto całkowitą objętość: V 1 = 90%, V 1 = 95%, V 1 = 100% lub V 1 = 125% (V 1 = V s /V, V s objętość kul i V objętość próbki). Przy V 1 = 100% i V 1 = 125% doszło do wstępego achodzeia a siebie kul. Całkowita liczba kul była rówa 3992, 5016, 6048 i 11168 (ściskaie) oraz 4935, 6206, 7266 i 13193 (rozciągaie). Maksymala średica kul była rówa d max = 12 mm, a miimala = 1 mm (d 50 = 2 mm). Obliczoy przebieg pioowego aprężeia ormalego w fukcji pioowego odkształceia ormalego σ y = f (ε ) y przy jedoosiowym ściskaiu i rozciągaiu pokazao a rys. 3 w porówaiu z wyikami doświadczalymi [14, 15] (σ y = P/A, ε y = u y /h, P wypadkowa siła pioowa, A powierzchia przekroju próbek, u y pioowe przemieszczeie górego brzegu, h wysokość próbek). Wyiki a rys. 3 wykazują, że im bardziej zagęszczoa próbka, tym większa jest jej początkowa sztywość, wytrzymałość oraz kruchość. W porówaiu z doświadczeiami, odpowiedź próbek jest zawsze jedak zbyt krucha. Wyiki wstępej sztywości V 1 = 90% są zgode z doświadczeiami. INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014 529
a) b) Rys. 3: Obliczoe krzywe s y = f (ε y ) podczas: a) jedoosiowego ściskaia i b) jedoosiowego rozciągaia betou ( = 1 mm, d 50 = 2 mm, d max = 12 mm ) z różym współczyikiem objętości kul V 1 : (a) V 1 = 90%, (b) V 1 = 95%, (c) V 1 = 100% i (d) V 1 = 125% ( exp doświadczeia va Vlieta i va Miera [14, 15]) a) b) Rys. 4: Obliczoe krzywe s y = f (ε y ) podczas: a) jedoosiowego ściskaia i b) jedoosiowego rozciągaia betou (d 50 = 2 mm, d max = 12 mm i V 1 = 90%) przy różej miimalej średicy kul : (a) = 1 mm, (b) = 0,5 mm i (c) = 0,25 mm ( exp doświadczeia va Vlieta i va Miera [14, 15]) Wpływ miimalej średicy kul (aalizy płaskie 2D) Miimala średica kul była rówa w obliczeiach = 1,0 mm, = 0,5 mm lub = 0,25 mm (d 50 = 2 mm, d max = 12 mm i V 1 = 90%). Liczba kul wyosiła 3992, 8791 i 23488 podczas ściskaia oraz 4935, 10949 i 28862 podczas rozciągaia. Krzywe aprężeie-odkształceie pokazują, że im miejsza miimala średica kul podczas ściskaia, tym miejsza jest kruchość próbek i ieliiowość przed osiągięciem wytrzymałości (rys. 4a). Podczas rozciągaia (rys. 4b) kruchość ie zależy od, ale wytrzymałość wzrasta wraz z wzrostem. Obliczoe początkowe sztywości i wytrzymałości przy = 0,25 mm są zgode z doświadczeiami. Wpływ grubości próbek betoowych (aalizy przestrzee 3D) Obliczeia 3D wykoao przy grubości próbek betoowych przyjętych w doświadczeiach t = 10 cm (d max = 12 mm, = 1,0 mm, d 50 = 90%). Przy ściskaiu przyjęto 291577 kul, a przy rozciągaiu 337982. Odpowiedź betou przy próbkach 3D (rys. 5) jest bardziej ciągliwa, a fluktuacje aprężeia stają się pomijale. Przebieg aprężeia w fukcji odkształceia jest bardzo podoby do uzyskaego w doświadczeiach [14, 15]. Wpływ obecości trzech faz (aalizy płaskie 2D) Beto składał się z trzech różych faz (d max = 12 mm, = 2 mm, V 1 = 90%): kruszywa, spoiwa cemetowego oraz stref przejściowych ITZ, aalogiczie jak w modelu dyskretym beleczkowym [5, 9] (rys. 6). Przyjęto, że strefy przejściowe są ajsłabszym ogiwem w betoie [9]. Wszystkie kule o średicy większej iż 1 mm opisywały ziara kruszywa (E c = 50 GPa, ν c = 0,2, m = 30, C = 140 MPa i T = 23 MPa), atomiast kule o średicy miejszej iż 1 mm staowiły spoiwo cemetowe (E c = 10 GPa, ν c = 0,2, m = 30, C = 140 MPa i T = 23 MPa). Ziara kruszywa o średicy większej iż 2 mm 530 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014
a) b) Rys. 5: Obliczoe krzywe σ y ε y podczas: a) jedoosiowego ściskaia i b) jedoosiowego rozciągaia betou (d 50 = 2 mm, d max = 12 mm i V 1 = 90%) (a) wyiki aalizy płaskiej 2D przy = 0,25 mm i (b) wyiki aalizy przestrzeej 3D przy = 1,0 mm ( exp doświadczeia va Vlieta i va Miera [14, 15]) zawierały dodatkowo strefy przejściowe o astępujących właściwościach: E c = 5 GPa, ν c = 0,2, m = 30, C = 100 MPa i T = 16 MPa. Sztywości przyjęto w proporcji podobej do tej, jak w modelu dyskretym beleczkowym [9]. Wyiki aaliz płaskich 2D (rys. 7) wykazują, że obecość trzech faz poprawia przebieg krzywych aprężeie-odkształceie w obszarze pokrytyczym w porówaiu z doświadczeiami poprzez wzrost eergii pękaia. Obecość stref przejściowych ITZs przyczyia się do wzrostu długości propagacji rys, co powoduje większą ciągliwość i miejszą wytrzymałość próbek betoowych. WYNIKI DYSKRETNE NA POZIOMIE ZIARNA Rys. 6: Mikro-struktura betou trójfazowego a) ziara kruszywa o średicy d > 2 mm ze strefami przejściowymi ITZ, b) ziara kruszywa o średicy 1 mm d 2 mm i c) ziara spoiwa cemetowego o średicy d < 1 mm Na rys. 8 i 9 pokazao ewolucję pękaia w płaskich próbkach betoowych (materiał jedofazowy i trojfazowy) podczas ściskaia i rozciągaia. W próbkach ściskaych pojawiło się kilka pioowych i achyloych rys w kieruku adaego od- a) b) Rys. 7: Obliczoe krzywe s y = f (ε y ) podczas: a) jedoosiowego ściskaia i b) jedoosiowego rozciągaia betou a podstawie obliczeń płaskich 2D (d max = 12 mm, = 2 mm, V 1 = 90%): (a) materiał jedofazowy i (b) materiał trójfazowy ( exp doświadczeia va Vlieta i va Miera [14, 15]) INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014 531
A) B) Rys. 8. Ewolucja pękaia w płaskich próbkach betoowych 2D (materiał jedofazowy, d max = 2 mm, V 1 = 90%) podczas: A) jedoosiowego ściskaia (a) ε yy = 0,05% (sta początkowy), (b) ε yy = 0,15% (miejsce maksymalej siły pioowej), (c) ε yy = 0,25% (obszar pokrytyczy) B) jedoosiowego rozciągaia (a) ε yy = 0,005% (sta początkowy), (b) ε yy = 0,015% (miejsce maksymalej siły pioowej), (c) ε yy = 0,05% (obszar pokrytyczy) A) B) Rys. 9. Ewolucja pękaia w płaskich próbkach betoowych 2D (materiał trójfazowy, d max = 2 mm, V 1 = 90%) podczas: A) jedoosiowego ściskaia (a) ε yy = 0,05% (sta początkowy), (b) ε yy = 0,15% (miejsce maksymalej siły pioowej), (c) ε yy = 0,25% (obszar pokrytyczy) B) jedoosiowego rozciągaia (a) ε yy = 0,005% (sta początkowy), (b) ε yy = 0,015% (miejsce maksymalej siły pioowej), (c) ε yy = 0,05% (obszar pokrytyczy) 532 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014
a) b) Rys. 10: Ewolucja globalego wskaźika porowatości e w płaskich próbkach betoowych 2D (materiał jedofazowy, d max = 90%): a) jedoosiowe ściskaie i b) jedoosiowe rozciągaie a) b) Rys. 11. Ewolucja średiej liczby kotaktów kul w płaskich próbkach betoowych 2D (materiał jedofazowy, d max = 90%): a) jedoosiowe ściskaie i b) jedoosiowe rozciągaie kształceia (rys. 8). Natomiast w próbce rozciągaej (rys. 8) a początku pojawiły się dwie prawie poziome rysy w środkowej części próbki, atomiast w fazie ziszczeia była widocza już tylko jeda rysa pozioma. W materiale trójfazowym powstało a początku bardzo dużo mikro-rys w ajsłabszych strefach przejściowych (rys. 9). Późiej połączyły się oe w jedą makro-rysę, która była dłuższa i bardziej zakrzywioa iż w materiale jedofazowym (rys. 8). Obliczoy sta zarysowaia był podoby jak w doświadczeiach. Na rys. 10 pokazao ewolucję globalego współczyika porowatości e = V p /V s (V p objętość porów, V s objętość szkieletu ziare). Podczas ściskaia pojawiła się a początku miimala kotraktacja materiału, a późiej miała już tylko miejsce jego duża dylatacja wskutek zarysowaia. Podczas rozciągaia występowała tylko dylatacja. Średia liczba kotaktów kul zmiejszała się w próbkach ze względu a ich silą dylatację (rys. 11). Rozkład lokalej porowatości w próbkach betoowych był bardzo iejedorody wskutek powstaia stref lokalizacji odkształceń z lokalym poluźieiem (rys. 12). W miejscach rozbitych połączeń spoistych wystąpiły małe obroty kul (rys. 13) (p. 1 przy ściskaiu i 0,01 przy rozciągaiu). Zmiay lokalego wskaźika porowatości i obrotów kul obliczoo z kwadratowej komórki 5d 50 5d 50 przesuwaej o wielkość d 50. Rozkład sieci ormalych sił kotaktu pokazao a rys. 14. Grubość liii ozacza wartość sił kotaktu (czerwoy kolor siły ściskające, iebieski kolor siły rozciągające). Widać wyraźie, że obciążeie jest przeoszoe w próbkach tylko przez iektóre łańcuchy sił. Maksymala siła kotaktu wyosiła 250 N (ściskaie) i 35 N (rozciągaie). Podczas jedoosiowego ściskaia duże ormale siły ściskające były w kieruku obciążeia, a małe ormale siły rozciągające były w kieruku poziomym. Podczas jedoosiowego rozciągaia duże ormale siły rozciągające były w kieruku obciążeia (w obszarach zarysowaych powstały także małe siły ściskające). Liczba kotaktów zmiejszała się w procesie obciążeia wskutek dylatacji betou. Na początku obciążeia całkowita liczba kotaktów sił była rówa 13757 (ściskaie) i 12350 (rozciągaie). Przy dużych odkształceiach próbek liczba kotaktów zmiejszyła się do 8613 przy ściskaiu (ε y = 0,3%) i do 11013 przy rozciągaiu (ε y = 0,05%). INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014 533
A) B) Rys. 12: Rozkład zmia lokalego współczyika porowatości w płaskich próbkach betoowych 2D (czerwoy kolor wzrost objętości, kolor szary redukcja objętości) (materiał jedofazowy, d max = 90%) podczas: A) ściskaia jedoosiowego przy (a) ε y = 0,15%, (b) ε y =0,20% i (c) ε y = 0,25% oraz B) jedoosiowego rozciągaia przy (a) ε y = 0,010%, (b) ε y = 0,015% i (c) ε y = 0,050% (zak (+) wzrost objętości) A) B) Rys. 13: Rozkład obrotów kul w płaskich próbkach betoowych 2D (materiał jedofazowy, d max = 90%) podczas: A) jedoosiowego ściskaia przy (a)ε y = 0,15%, (b) ε y = 0,20% i (c) ε y = 0,25%, B) jedoosiowego rozciągaia przy (a) ε y = 0,01%, (b) ε y = 0,015% i (c) ε y = 0,05% (czary kolor ozacza większe obroty) 534 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014
A) d) e) f) B) d) e) f) Rys. 14: Rozkład ormalych sił kotaktu w płaskich próbkach betoowych 2D (materiał jedofazowy, d max = 90%) podczas: A) jedoosiowego ściskaia przy (a) ε y = 0,10%, (b) ε y = 0,18%, (c) ε y = 0,21% (d) ε y = 0,23%, (e) ε y = 0,25% i (f) ε y = 0,3% oraz B) jedoosiowego rozciągaia przy (a) ε y = 0,005%, (b) ε y = 0,008%, (c) ε y = 0,010%, (d) ε y = 0,017%, (e) ε y = 0,025% i (f) ε y = 0,03% (czerwoy kolor siły ormale ściskające, kolor iebieski siły ormale rozciągające) INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014 535
WNIOSKI Wyiki umeryczych symulacji wykazują, że model dyskrety DEM jest w staie opisać w sposób rzeczywisty zachowaie się iezbrojoego betou podczas jedoosiowego ściskaia i rozciągaia. Zgodość wyików dyskretych aprężeie odkształceie z doświadczalymi wzrastała w aalizach przestrzeych 3D w obecości ziare o małej średicy oraz uwzględieia trzech faz składowych. Im bardziej zwarta jest struktura betou, tym większa jest jego wytrzymałość i kruchość. Im miejsza była średica ziare, tym bardziej wzrastała wytrzymałość a rozciągaie i ciągliwość przy ściskaiu. Rozkład sił kotaktowych między ziarami był silie iejedorody. Ich liczba zmiejszała się w procesie obciążeia wskutek dylatacji materiału. W obszarach zarysowaych pojawiały się obroty ziare. Wyiki symulacji dyskretych mogą być wykorzystae do lepszej kalibracji rozszerzoych ciągłych modeli kostytutywych do opisu betou z uwzględieiem lokalizacji odkształceń i rys w odiesieiu do gradietowych i ielokalych składików mikrostruktury. LITERATURA 1. Bažat Z., Plaas J.: Fracture ad size effect i cocrete ad other quasi-brittle materials. CRC Press LLC, Boca Rato, 1998. 2. Cudall P. A., Hart R.: Numerical modelig of discotiua. J. Eg. Comp. 9, 1992, 101-113. 3. Ergeziger Ch., Seifried R., Eberhard P.: A discrete elemet model to describe failure of strog rock i uiaxial compressio. Graular Matter 13, 2011, 341-364. 4. Hetz S., Daudeville L., Doze F.: Discrete elemet modellig of cocrete ad idetificatio of the costitutive behavior. Joural of Egieerig Mechaics 130, 6, 2004, 709-719. 5. Kozicki, J., Doze, F.: A ew ope-source software developer for umerical simulatios usig discrete modelig methods. Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig, 197, 2008, 4429-4443. 6. Kozicki J., Tejchma J.: Modellig of fracture processes i cocrete usig a ovel lattice model. Graular Matter 10, 2008, 377-388. 7. Kozicki J., Tejchma J., Mróz Z.: Effect of grai roughess o stregth, volume chages, elastic ad dissipated eergies durig quasi-static homogeeous triaxial compressio usig DEM. Graular Matter 14, 4, 2012, 457-468. 8. Kruggel-Emde H., Simsek E., Rickelt S.,Wirtz S., Scherer V.: Review ad extesio of ormal force models for the discrete elemet method. Powder Techol. 171, 2007, 157-173. 9. Lilliu G., va Mier J.G.M.: 3D lattice type fracture model for cocrete. Egieerig Fracture Mechaics 70, 2003, 927-941. 10. Obermayr M., Dressler K., Vrettos C., Eberhard, P.: A bodedparticle model for cemeted sad. Computers ad Geotechics 49, 2013, 299-313. 11. Skarżyski Ł., Tejchma J.: Calculatios of fracture process zoes o meso-scale i otched cocrete beams subjected to three-poit bedig. Europea Joural of Mechaics A/Solids 29, 4, 2010, 746-760. 12. Šmilauer V., Chareyre B.: Yade DEM Formulatio. Maual, 2011. 13. Tejchma J., Bobiński J.: Cotiuous ad discotiuous modelig of fracture i cocrete usig FEM. Spriger, Berli-Heidelberg (eds. W. Wu ad R. I. Borja), 2013. 14. va Vliet M. R. A., va Mier J. G. M.: Experimetal ivestigatio of cocrete fracture uder uiaxial compressio. Mechaics of Cohesive-Frictioal Materials 1, 1996, 115-127. 15. va Vliet M. R. A., va Mier J. G. M.: Experimetal ivestigatio of size effect i cocrete ad sadstoe uder uiaxial tesio. Egieerig Fracture Mechaics 65, 2000, 165-188. 16. Widuliski L., Tejchma J., Kozicki J., Leśiewska D.: Discrete simulatios of shear zoe patterig i sad i earth pressure problems of a retaiig wall. It. J. Solids ad Structures 48, 7-8, 2011, 1191-1209. PODZIĘKOWANIE: Prace badawcze wykoao w ramach gratów NCN Doświadczale i teoretycze badaia mikrostrukturalych zjawisk wewątrz lokalizacji odkształceń w materiałach graulowaych (2011/03/B/ ST8/05865) oraz Doświadczala i umerycza aaliza sprzężoego determiistyczego-statystyczego efektu skali w materiałach kruchych (2013/09/B/ST8/03598). 536 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, r 5/2014