Marcin Studniarski Wyk ady z analizy portfelowej, cześć I (semestr letni 2007/08) Wyk ady sa udost epniane na stronie: http://math.uni.lodz.pl/marstud/ Pytania prosz e kierować na adres: marstud@math.uni.lodz.pl 1 Co to jest analiza portfelowa? Analiza portfelowa zajmuje si e optymalnym inwestowaniem w papiery wartościowe, g ównie w akcje. Analiza portfelowa aczy w sobie elementy nauki o - nansach, ekonomii zarzadzania i matematyki (teoria optymalizacji, teoria prawdopodobieństwa, metody numeryczne). Optymalizacji dokonuje si e pod wzgl edem dwóch kryteriów: zysku (maksymalizacja) i ryzyka (minimalizacja) jest to przyk ad optymalizacji wielokryterialnej (wektorowej). Portfel papierów wartościowych jest to zestaw papierów wartościowych, które posiada inwestor. 2 Historia analizy portfelowej Twórca analizy portfelowej by ekonomista amerykański Harry Markowitz. Rozwina on teori e alokacji środków nansowych w warunkach niepewności, która zajmuje si e optymalizowaniem inwestycji w zale zności od spodziewanego zysku i ryzyka. Pierwsza publikacja z tej dziedziny by a praca: H. Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1 (1952), 77-91. W 1963 r. William Sharpe opublikowa teori e modelu jednowskaźnikowego b ed ac a uproszczeniem teorii Markowitza. W 1990 r. H. Markowitz, W. Sharpe i M. Miller otrzymali nagrode Nobla, g ównie za prace z analizy portfelowej. 3 Cele analizy portfelowej Określenie charakterystyk papierów wartościowych (g ównie dotyczacych zysku i ryzyka). Określenie kryteriów wyznaczania optymalnego sk adu portfela papierów wartościowych (np. dobrze jest inwestować w akcje ró znych rm i to takie, które nie sa dodatnio skorelowane, tzn. nie obserwuje si e zgodnych wahań ich kursów). 1
Ocena posiadanego przez inwestora portfela w celu ewentualnej zmiany jego sk adu. (Z regu y inwestor nie pozbywa si e posiadanego portfela, lecz zamierza dalej inwestować. Jednak, poniewa z zmieniaja si e warunki rynkowe, portfel ten po pewnym czasie mo ze ju z nie być optymalny). 4 De nicje papieru wartościowego De nicja 1. Papier wartościowy (security) jest to dokument (instrument nansowy) potwierdzajacy jedna z trzech sytuacji: nabycie prawa do wspó w asności rmy, udzielenie kredytu rzadowi, rmie lub instytucji, uzyskanie prawa do otrzymania w przysz ości pewnej wartości (najcz eściej w postaci innego papieru wartościowego). De nicja 2. Papier wartościowy to dokument lub zapis w systemie informatycznym na rachunku papierów wartościowych, który ucieleśnia prawa majatkowe w taki sposób, ze dane uprawnienia przys uguja osobie wskazanej jako uprawniona w treści dokumentu (choćby jako okaziciel), a przed o zenie go jest warunkiem koniecznym i wystarczajacym dla realizacji uprawnienia. Ponadto, zniszczenie lub utrata dokumentu powoduje utrat e uprawnień dopóki nie zostanie wydane postanowienie o umorzeniu dokumentu. 5 Rodzaje papierów wartościowych 5.1 Akcje Akcja (stock, share) jest to dokument świadczacy o udziale jego w aściciela w kapitale spó ki akcyjnej. Posiadanie akcji zapewnia: prawo do dywidend, prawo do uczestnictwa w walnym zgromadzeniu akcjonariuszy, prawo do udzia u w majatku spó ki w przypadku jej likwidacji. Akcje dziela si e na zwyk e i uprzywilejowane. Uprzywilejowanie mo ze dotyczyć: g osu na zebraniach akcjonariuszy, pierwszeństwa w wyp acaniu dywidendy, pierwszeństwa w podziale majatku spó ki w przypadku jej likwidacji. 2
5.2 Obligacje Obligacja (bond) jest to papier wartościowy potwierdzajacy nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymania w określonym terminie sumy pieni edzy określonej w obligacji oraz ewentualnie odsetek Obligacja zamienna daje jej nabywcy prawo do wymiany na inne papiery wartościowe danego emitenta w przysz ości i na z góry określonych warunkach. Podzia obligacji ze wzgl edu na okres do wykupu: krótkoterminowe (1-5 lat), średnioterminowe (5-12 lat), d ugoterminowe (powy zej 12 lat). Podzia obligacji ze wzgl edu na oprocentowanie: o sta ym oprocentowaniu, o zmiennym oprocentowaniu (mo ze być ustalane na poczatku lub na końcu okresu oprocentowania), zerokuponowe (bezodsetkowe) brak odsetek jest rekompensowany sprzeda z a obligacji po cenie ni zszej od wartości nominalnej. 5.3 Prawa poboru i prawa do akcji Prawo poboru nowych akcji (PPA) ma zastosowanie w przypadku nowej emisji akcji przez spó ke; oznacza przys uguj ace dotychczasowym akcjonariuszom prawo pierwszeństwa do objecia nowych akcji, które mo ze być przedmiotem obrotu gie dowego. Prawo do akcji (PDA) instrument nansowy umo zliwiajacy nabywcom akcji nowej emisji ich odsprzedanie, zanim zostana wprowadzone do obrotu gie dowego. 5.4 Warranty subskrypcyjne Warrant subskrypcyjny jest to dokument (certy kat), cz esto do aczony do akcji lub obligacji, dajacy posiadaczowi ograniczone lub nieustajace prawo kupna papierów wartościowych lub innych aktywów po ustalonej cenie lub prawo do subskrypcji przysz ych emisji obligacji tego samego emitenta. 5.5 Kwity depozytowe Kwit depozytowy jest to papier wartościowy wystawiony poza granicami kraju, dokumentujacy prawo w asności akcji spó ki zagranicznej. 3
5.6 Listy zastawne Listy zastawne sa to d u zne papiery wartościowe, których podstawa sa wierzytelności banków hipotecznych zabezpieczone hipotekami lub gwarancja określonych instytucji (m.in. Skarb Państwa i NBP). Emitent listów bank hipoteczny, zobowiazuje si e wobec ich posiadacza do spe nienia określonego świadczenia pienie znego wyp aty odsetek i wykupienia samego listu w sposób i w terminach określonych w warunkach emisji. 5.7 Certy katy inwestycyjne Certy kat inwestycyjny jest to papier wartościowy emitowany przez zamkni ety fundusz inwestycyjny. Jest on papierem wartościowym na okaziciela, dlatego mo ze być notowany na gie dzie. 5.8 Pochodne papiery wartościowe (instrumenty pochodne) Instrument pochodny (derivative) jest to kontrakt nansowy, którego rozliczenie zale zy od innego instrumentu zwanego bazowym (np. akcji, indeksu, obligacji, stopy procentowej). G ówne rodzaje instrumentów pochodnych to: opcje (kupna lub sprzeda zy), kontrakty futures i forward. UWAGA. W niniejszym wyk adzie nie b edziemy zajmować si e instrumentami pochodnymi. B edziemy rozwa zać g ównie akcje i obligacje. 6 Stopa zysku z inwestycji Stopa zysku (stopa zwrotu) z inwestycji jest podstawowa miara określajac a efektywność inwestycji, w szczególności inwestycji w papiery wartościowe. Określamy ja wzorem K p R := K k ; (1) K p gdzie: K p > 0 kapita poczatkowy (zainwestowany na poczatku procesu inwestycji), K k kapita końcowy (posiadany na końcu inwestycji). Stop e zysku R podaje sie zwykle w procentach. Przekszta caj ac wzór (1), otrzymujemy wzór na kapita końcowy: K k = K p (1 + R): (2) Stwierdzenie 1. Dany jest skończony ciag inwestycji nansowych w przedzia ach czasowych [t i 1 ; t i ], i = 1; ::; n, gdzie t 0 < t 1 < ::: < t n. Za ó zmy, ze kapita końcowy dla poprzedniego okresu jest kapita em poczatkowym dla nast epnego 4
okresu. Je zeli R i jest stopa zysku dla okresu [t i 1 ; t i ], to stopa zysku dla okresu [t 0 ; t n ] wynosi ny R = (1 + R i ) 1: (3) Dowód. Oznaczmy przez K i kapita posiadany w momencie t i, i = 0; 1; :::; n. Zgodnie z (2) K i = K i 1 (1 + R i ), i = 1; :::; n: Zatem K 1 = K 0 (1 + R 1 ); K 2 = K 1 (1 + R 2 ) = K 0 (1 + R 1 )(1 + R 2 ); ::: K n = Y n K 0 (1 + R i ): (4) Poniewa z K n jest kapita em końcowym dla ca ego procesu inwestycji, wiec musi spe niać warunek (2), czyli K n = K 0 (1 + R): (5) Porównujac wzory (4) i (5), otrzymujemy (3). Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 za ó zmy dodatkowo, ze 1 + R i > 0. Liczb e v uut Y n R := n (1 + R i ) 1 (6) nazywamy średnia geometryczna stopa zysku (zwrotu) z inwestycji n- okresowej o stopach zysku R i, i = 1; :::; n. Sens liczby R jest nastepujacy: jest ona taka, ze inwestycja n-okresowa o równych stopach zysku w poszczególnych okresach, wynoszacych R, daje stop e zysku R określona wzorem (3). Istotnie, stosujac Stwierdzenie 1 do powy zszej sytuacji, otrzymamy R = ny (1 + R) 1 = (1 + R) n 1 = ny (1 + R i ) 1: Stwierdzenie 2. Przy za o zeniach Stwierdzenia 1 i warunku 1 + R i > 0 zachodzi nierówno sć R 1 R i ; (7) n tzn. srednia geometryczna stopa zysku nie przekracza sredniej arytmetycznej stóp zysku z poszczególnych okresów. 5
Dowód. Stosujemy znana nierówność pomi edzy średnia geometryczna i arytmetyczna liczb dodatnich a 1 ; :::; a n : v uy t n n a i 1 a i n (równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a i sa równe). Niech a i := 1 + R i, wówczas v uut Y R n = n (1 + R i ) 1 1 (1 + R i ) 1 n! = 1 n n n + X R i 1 = 1 R i : n 7 Zasada obliczania procentu sk adanego Szczególnym przypadkiem wzoru (4) jest zasada obliczania procentu sk adanego. Dotyczy ona np. oprocentowanych lokat bankowych, w których jest sta a stopa procentowa, a odsetki sa kapitalizowane po up ywie ka zdego roku: K n = K 0 (1 + R) n ; (8) gdzie: R stopa procentowa (b edaca jednocześnie stopa zysku dla ka zdego roku), K 0 kapita poczatkowy, K n kapita po n latach (wartość przysz a sumy K 0 po n latach). W przypadku, gdy odsetki sa dodawane do kapita u m razy w ciagu roku (przy tej samej rocznej stopie procentowej R), mamy nast epujacy wzór na wartość przysz a sumy K 0 po n latach: K n = K 0 1 + m R mn : (9) Wzór (9) przybiera konkretne postacie w zale zności od cz estości kapitalizacji odsetek: kwartalna: K n = K 0 1 + R 4n 4 miesieczna: K n = K 0 1 + R 12 dzienna: K n = K 0 1 + R 365 12n 365n 6
hipotetyczna ciag a : K n = K 0 lim 1 + R mn m!1 m " = K 0 lim 1 + 1 # m=r Rn m!1 m=r = K 0 lim 1 + 1 x Rn = K 0 e x!1 x Rn ; gdzie e 2; 7183 podstawa logarytmu naturalnego. Uwaga: wzrost czestości kapitalizacji odsetek ma niewielki wp yw na wzrost wartości przysz ej kapita u. 8 Zasada dyskonta Zasada dyskonta jest to zasada procentu sk adanego przedstawiona w odwrotnej postaci. Przekszta cajac wzór (7), otrzymujemy K 0 = K n (1 + R) n ; (10) gdzie K 0 nazywamy wartościa bie z ac a sumy pieniedzy K n uzyskiwanej w przysz ości (inaczej: wartościa zdyskontowana na okres bie z acy). Stop e procentowa R nazywamy tu stopa dyskontowa. Interpretacja: wartość bie z aca K 0 wskazuje, jaka sum e nale zy zainwestować na n lat, przy za o zeniu stopy procentowej R oraz rocznej kapitalizacji odsetek, aby otrzymać sume równa K n. 9 Efektywna stopa procentowa W celu wyrównania efektu śródrocznej kapitalizacji odsetek (m razy w ciagu roku) nale zy powi ekszyć stop e procentowa R wystepujac a w (9) do wartości zwanej efektywna stopa procentowa, oznaczanej R ef. Zatem efektywna stopa procentowa spe nia równanie K 0 (1 + R ef ) n = K 0 1 + m R mn : Stad wynika, ze R ef = 1 + R m m 1: (11) 7
10 Renta p atna z do u Rozwa zamy sytuacj e, gdy pod koniec okresu (np. roku) p acona jest sta a suma pieni e zna, przy czym po zap aceniu jej wartość jest kapitalizowana. Taka sta a p atność nazywamy renta p atna z do u (annuity-immediate). Wartość przysz a takiej renty po n okresach dana jest wzorem P n = P (1 + R) i 1 ; (12) gdzie R > 0 jest stopa procentowa obowiazuj ac a w pojedynczym okresie. Wartość przysz a P n jest suma wartości przysz ych kolejnych wp at zapisanych w odwrotnej kolejności, np. ostatni sk adnik sumy: P (1+R) n 1 dotyczy pierwszej wp aty, która w pierwszym okresie nie daje odsetek. W celu uproszczenia wzoru (12), skorzystamy ze wzoru na sum e cz eściowa szeregu geometrycznego o wyrazie poczatkowym a 2 R i ilorazie q 6= 1: aq i 1 = a(1 qn ) : (13) 1 q Przekszta caj ac (12) zgodnie z (13) przy a = 1 i q = 1 + R, otrzymujemy P n = P 1 (1 + R)n 1 (1 + R) = P R [(1 + R)n 1]: (14) Wartość bie z aca renty p atnej z do u jest dana wzorem (wynikajacym z poprzedniego) P n R P = (1 + R) n 1 : (15) 11 Renta p atna z góry Rozwa zamy sytuacj e podobna do poprzedniej, z ta ró znica, ze sta a kwota p acona jest na poczatku ka zdego okresu (i w tym momencie jest kapitalizowana). Taka sta a p atność nazywamy renta p atna z góry (annuity-due). Wzór na wartość przysz a po n latach ma teraz postać P n = P (1 + R) i : (16) W celu jego uproszczenia korzystamy z (13) przy a = q = 1 + R: P n = P (1 + R) 1 (1 + R)n 1 (1 + R) = P R (1 + R)[(1 + R)n 1]: (17) Wartość bie z aca renty p atnej z góry jest dana wzorem P = P n R (1 + R)[(1 + R) n 1] : (18) 8
12 Określanie wartości papierów wartościowych Za ó zmy najpierw, ze inwestor zatrzyma papier wartościowy przez rok. Oznaczmy: P wartość papieru wartościowego w momencie zakupu, czyli kapita (poczatkowy) zainwestowany w zakup. Oznaczmy t e wartość. C wp ywy gotówkowe z tytu u posiadania papieru wartościowego (zak adamy dla uproszczenia, ze uzyskiwane sa dok adnie po up ywie roku), R stopa zysku papieru wartościowego. Ze wzoru (2) wynika, ze C = P (1 + R), czyli P = C 1 + R : (19) Interpretacja: wartość papieru wartościowego jest to zdyskontowany przychód z tytu u posiadania papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest stopa zysku. Uogólnienie. Rozwa zamy papier wartościowy, z tytu u którego otrzymujemy wp ywy przez n kolejnych okresów. Uogólniajac wzór (19), otrzymujemy C i P = (1 + R) i ; (20) gdzie: P wartość papieru wartościowego, C i dochód z tytu u posiadania papieru wartościowego, uzyskany w i-tym okresie, R stopa dyskontowa, b ed aca jednocześnie stopa zysku osiaganego w pojedynczym okresie. De nicja. Wartość papieru wartościowego jest to suma zdyskontowanych na okres bie z acy wp ywów uzyskiwanych z tytu u posiadania tego papieru wartościowego, przy czym stopa dyskontowa jest równa jego stopie zysku. Sposoby korzystania ze wzoru (20): 1. Jeśli stopa zysku R jest znana (na podstawie stóp zysku papierów wartościowych podobnego typu), to mo zna porównać wartość P z cena rynkowa papieru wartościowego w celu podj ecia decyzji co do zakupu (zakup jest op acalny, jeśli cena nie przekracza P ). 2. Mo zna przyjać jako P cene rynkowa papieru wartościowego i rozwiazać równanie (20) wzgl edem R w celu wyznaczenia stopy zysku. Wymaga to stosowania metod przybli zonych. Znajac R, mo zna podjać decyzj e o zakupie (np. porównujac R ze stopa zysku, czyli oprocentowaniem, lokat bankowych). 13 Określanie wartości obligacji o sta ym oprocentowaniu Rozwa zmy obligacj e z n-letnim terminem wykupu, o wartości nominalnej M. Za ó zmy, ze odsetki p acone po up ywie ka zdego roku wynosza C. Zatem opro- 9
centowanie obligacji wynosi C=M. Stosujac (20), otrzymujemy wzór na wartość obligacji: C P = (1 + R) i + M (1 + R) n ; (21) gdzie Pn C (1+R) i M (1+R) n zdyskontowany przychód z odsetek, zdyskontowany przychód z wykupu obligacji. W (21) wystepuja dwie ró zne stopy procentowe: 1. C=M stopa procentowa określajaca oprocentowanie odsetek od obligacji (jest sta a i znana w momencie zakupu). 2. R stopa dyskontowa b edaca jednocześnie stopa zysku obligacji (zwana tak ze stopa rentowności). Wartość R jest zmienna w czasie, gdy z zale zy od ceny rynkowej. W praktyce P jest cena rynkowa i jest znana, a nieznana jest stopa zysku R. 14 Określanie wartości akcji zwyk ych Zysk z tytu u posiadania akcji pochodzi z dwóch źróde : 1. z dywidendy p aconej w danym okresie, 2. z przyrostu kapita u w danym okresie (wynikajacego z przyrostu ceny akcji). Za ó zmy najpierw, ze posiadacz akcji sprzeda ja po up ywie n lat. Wówczas z (20) otrzymujemy D i P = (1 + R) i + P n (1 + R) n ; (22) gdzie P wartość akcji w chwili obecnej, P n wartość akcji po n latach, D i dywidenda wyp acona w i-tym roku (dla uproszczenia zak adamy, ze jest wyp acana z końcem roku), R stopa zysku akcji, b ed aca stopa dyskontowa, zdyskontowany przychód z dywidend, P n P n (1+R) n D i (1+R) i zdyskontowany przychód ze sprzeda zy akcji. Za ó zmy teraz, ze nabywca akcji b edzie ja zawsze posiada. Wówczas znika ostatni sk adnik po prawej stronie (22), a zamiast skończonej sumy rozwa zamy jej wartość graniczna (o ile istnieje): P = lim n!1 D 1 i (1 + R) i = X 10 D i (1 + R) i : (23)
Wzór (23) nazywamy modelem zdyskontowanych dywidend. Uwagi. 1) Zbie zność szeregu w (23) ma miejsce np. wtedy, gdy istnieje taka sta a A > 0, ze D i D 1 A i 1 A, i = 2; 3; ::: oraz 1+R < 1. Wówczas lim n!1 D i (1 + R) i lim n!1 D 1 A i 1 (1 + R) i = D 1 1X A i 1 (1 + R) i ; A 1+R 2 gdzie szereg po prawej stronie jest szeregiem geometrycznym o ilorazie (0; 1), a wiec zbie znym. 2) We wzorze (23) wyd u zenie horyzontu czasowego inwestowania do nieskończoności (co jest oczywiście jedynie przybli zeniem rzeczywistej sytuacji) powoduje, ze nie rozpatrujemy przyrostu kapita u z powodu zmian cen akcji. Nie ma on znaczenia, gdy nieplanuje si e sprzeda zy akcji. Jedynym źród em dochodu z akcji staje si e dywidenda. Praktyczne zastosowanie wzoru (23). Dla wykorzystania tego wzoru niezb edna jest znajomość dywidend otrzymywanych w przysz ości z tytu u posiadania akcji. Na podstawie badań empirycznych zosta y zaproponowane ró zne modele kszta towania si e wartości dywidend. 14.1 Model sta ej wartości dywidendy Zak ada si e, ze rma nie rozwija si e, osiaga sta a (w przybli zeniu) wartość dochodów, a zatem wyp aca sta a dywidend e. Dla wyprowadzenia wzoru na wartość akcji w tym przypadku, skorzystamy ze wzoru na sum e nieskończonego szeregu geometrycznego o wyrazie poczatkowym a 2 R i ilorazie q 2 ( 1; 1): 1X aq i 1 = a 1 q : (24) Podstawiajac sta a wartość D zamiast D i do (23), a nastepnie stosujac (24) dla a = q = 1 1+R, otrzymamy P = D 1X 1 1 (1 + R) i = D W tym modelu stopa zysku akcji R = D P 1+R 1 1 1+R = D 1 1+R R 1+R = D R : (25) jest sta a i równa stopie dywidendy. 14.2 Model sta ego wzrostu dywidendy (model Gordona Shapiro) Zak ada sie, ze rma rozwija sie w sta ym tempie, a zatem wystepuje sta e roczne tempo (stopa) wzrostu dywidendy, które oznaczamy g, przy czym 0 < g < R. Jeśli wiec przez D 1 oznaczymy dywidende p acona w pierwszym roku, to dywidenda p acona w i-tym roku wyra za sie wzorem D i = D 1 (1 + g) i 1 : 11
Uwzgl edniajac powy zsze w (23), a nastepnie stosujac (24) dla a = 1 1+R i q = 1+g 1+R, otrzymamy P = D 1 X 1 (1 + g) i 1 (1 + R) i = D 1 1 1 1+R 1+g 1+R 1+R R g 1+R = D 1 1 = D 1 R g : (26) Jeśli chcemy wyznaczyć stop e zysku akcji, to przekszta camy (26) do postaci R = D 1 P + g: Zatem stopa zysku akcji jest suma bie z acej stopy dywidendy D 1 =P i tempa wzrostu dywidendy g. W praktyce g wyznacza si e na podstawie danych z przesz ości, korzystajac ze wzoru g = r t r e ; gdzie: r t wspó czynnik zatrzymania, tj. udzia zysku zatrzymanego (nie wyp aconego w formie dywidendy, a wi ec przeznaczonego na rozwój) w ca ości zysku rmy, r e stopa zwrotu z zatrzymanych dochodów (mo zna ja oszacować jako przeci etna stop e zwrotu z inwestycji dokonanych przez rm e w przesz ości). 14.3 Model dwóch faz Model ten wynika z obserwacji, ze wiele rm w poczatkowym okresie istnienia rozwija sie szybko, a po osiagnieciu dojrza ości rozwój jest wolniejszy. Zak ada sie, ze: 1. przez N lat dywidenda rośnie w tempie g 1, 2. nastepnie dywidenda rośnie zawsze w tempie g 2, gdzie g 2 < g 1. 14.4 Model trzech faz W modelu tym wystepuja nastepujace fazy rozwoju rmy: 1. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 1 przez N 1 lat, 2. wzrost dywidendy w zmiennym (malejacym) tempie g 2 przez N 2 lat, 3. wzrost dywidendy w sta ym tempie g 3 przez N 3 lat, przy czym g 3 < g 2 < g 1. 12
15 Przestrzeń probabilistyczna Niech b edzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwo przypisujemy podzbiorom zbioru nale z acym do tzw. klasy zdarzeń F, gdzie F 2. Zak adamy, ze F jest -cia em podzbiorów, tzn. spe nia nastepujace warunki: S1. F 6= ;. S2. Je zeli A 2 F, to na 2 F. S3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; :::, to S 1 A i 2 F. Z powy zszych warunków wynka, ze do F nale z a zdarzenia: (zdarzenie pewne) i ; (zdarzenie niemo zliwe). Najmniejsze -cia o zawierajace wszystkie zbiory otwarte w R n nazywamy -cia em zbiorów borelowskich w R n i oznaczamy B(R n ). Prawdopodobieństwem nazywamy dowolna funkcje P : F! R spe niajac a warunki: A1. P (A) 0 dla ka zdego A 2 F, A2. P () = 1, A3. Je zeli A i 2 F dla i = 1; 2; ::: oraz A i \ A j = ; dla i 6= j, to P! 1[ 1X A i = P (A i ): Przestrzenia probabilistyczna nazywamy trójke (; F; P ), gdzie jest dowolnym zbiorem, F jest -cia em podzbiorów, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F. W asności prawdopodobieństwa. Je zeli (; F; P ) jest przestrzenia probabilistyczna i zbiory A; B; A 1 ; :::; A n nale z a do F, to spe nione sa poni zsze warunki: W1. P (;) = 0. W2. Je zeli A i \ A j = ; dla i 6= j, to P ( S n A i) = P n P (A i). W3. P (na) = 1 P (A). W4. Je zeli A B, to P (BnA) = P (B) P (A). W5. Je zeli A B, to P (A) P (B). W6. P (A) 1. W7. P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B). Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to z równości = [ f!g!2!2 oraz z warunków A2 i W2 wynika, ze! X [ P (f!g) = P f!g = P () = 1: (27)!2 13
16 Zmienne losowe Niech (; F; P ) b edzie przestrzenia probabilistyczna. Zmienna losowa (wek- torem losowym) o wartościach w R n nazywamy odwzorowanie X :! R n takie, ze dla dowolnego zbioru borelowskiego A w R n zbiór X 1 (A) nale zy do F. Mo zna wykazać, ze X jest zmienna losowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka zdego uk adu liczb 1 ; :::; n 2 R mamy X 1 (( 1; 1 ] ::: ( 1; n ]) 2 F: Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to ka zda funkcja X :! R n jest zmienna losowa. Rozk adem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :! R n nazywamy funkcje P X : B(R n )! R dana wzorem P X (B) := P (X 1 (B)) dla B 2 B(R n ): (28) Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozk ad dyskretny, je zeli istnieje taki zbiór przeliczalny S R n, ze P X (S) = 1. Uwaga. Jeśli jest zbiorem skończonym i F = 2, to mo zna przyjać S := X() (zbiór skończony) i wtedy P X (S) = P X (X()) = P (X 1 (X())) = P () = 1: Zatem ka zda zmienna losowa określona na skończonym zbiorze zdarzeń elementarnych ma rozk ad dyskretny. 16.1 Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozk adzie dyskretnym Wartościa oczekiwana (lub średnia) zmiennej losowej X :! R o rozk adzie dyskretnym, przyjmujacej skończenie wiele wartości, nazywamy liczb e EX := X i2i x i P (X = x i ); (29) gdzie X() = fx i g i2i, I skończony zbiór indeksów, a P (X = x i ) jest skróconym zapisem wyra zenia P (f! 2 : X(!) = x i g). Wartościa oczekiwana wektora losowego X = (X 1 ; :::; X n ) :! R n, gdzie wszystkie zmienne losowe X i przyjmuja skończenie wiele wartości, nazywamy wektor EX := (EX 1 ; :::; EX n ): (30) 14
16.2 Wartość oczekiwana zmiennej losowej w przypadku ogólnym W przypadku dowolnej zmiennej losowej X :! R mówimy, ze ma ona wartość oczekiwana, je zeli jest ca kowalna, tzn. Z jxj dp < 1: Wówczas wartościa oczekiwana zmiennej losowej X nazywamy liczb e Z EX := XdP: (31) De nicja (31) jest uogólnieniem de nicji (29). W ogólnym przypadku do zde niowania wartości oczekiwanej wektora losowego u zywamy wzoru (30) przy za- o zeniu, ze wszystkie wspó rz edne maja wartość oczekiwana. Ze wzoru (30) i z podstawowych w asności ca ki wynika nastepujace twierdzenie. Twierdzenie 1. Niech X i Y b ed a zmiennymi losowymi na o warto sciach w R. Za ó zmy, ze istnieja warto sci oczekiwane EX i EY. Wówczas: (a) Je sli X 0, to EX 0. (b) jexj E jxj. (c) Dla dowolnych a, b 2 R istnieje warto sć oczekiwana ax + by i E(aX + by ) = aex + bey. (32) 17 Prognozowanie stopy zysku z inwestycji 17.1 Metoda 1 na podstawie danych z przesz ości W metodzie tej wykorzystuje si e dane z pewnej ilości okresów poprzedzajacych okres inwestowania. W przypadku akcji stopa zysku w okresie i jest określona wzorem R i = P i P i 1 + D i ; (33) P i 1 gdzie P i, P i 1 oznaczaja wartości akcji odpowiednio w okresach i, i 1, a D i dywidend e wyp acana w okresie i. Wzór (33) jest szczególnym przypadkiem ogólnego wzoru (1), gdzie kapita pocz atkowy K p przyjmujemy jako równy P i 1, a kapita końcowy K k jako równy P i +D i. Jeśli dysponujemy danymi z n poprzednich okresów, to dla prognozowania stopy zysku w nadchodzacym okresie (o tej samej d ugości) mo zemy u zyć średniej arytmetycznej R = 1 R i (34) n albo średniej geometrycznej określonej wzorem (6). 15
17.2 Metoda 2 wykorzystanie oczekiwanej stopy zysku Korzystajac z analiz ekspertów dotyczacych sytuacji danej rmy oraz ca ej gospodarki, mo zna próbować ocenić mo zliwe stopy zysku w ró znych sytuacjach oraz prawdopodobieństwa ich wystapienia. Wówczas do prognozowania przysz ej stopy zysku u zywamy oczekiwanej stopy zysku. Metod e t e nazywamy prognozowaniem ekspertowym. Oczekiwana stopa zysku (zwrotu) z inwestycji nazywamy liczb e ER := p i R i ; (35) gdzie R i stopa zysku wystepujaca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wystapienia i-tej sytuacji, n liczba mo zliwych ró znych scenariuszy rozwoju. 18 Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej Niech X :! R b edzie zmienna losowa. Jeśli E (X EX) 2 < 1, to te liczb e nazywamy wariancja zmiennej losowej X i oznaczamy Var X = D 2 X := E (X EX) 2 : (36) Wariancj e mo zna inaczej zapisać nast epujaco: Var X = E(X 2 ) (EX) 2 : (37) Dowód (37). Var X := E[(X EX) 2 ] = E[X 2 2XEX + (EX) 2 ] = E(X 2 ) (EX) 2. Ze wzorów (36) i (29) wynika, ze jeśli X przyjmuje skończona ilość wartości x i, i 2 I, to Var X = X P (X = x i )(x i i2i EX) 2 : (38) W asności wariancji. Jeśli X jest zmienna losowa, dla której E(X 2 ) < 1, to istnieje Var X i spe nia warunki (a) Var X 0. (b) Var(X) = 2 Var X ( 2 R). (c) Var(X + ) = Var(X) ( 2 R). (d) Var X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienna losowa X jest sta a z prawdopodobieństwem 1. Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy pierwiastek z wariancji: X = DX = p Var X: (39) 16
19 Ryzyko papieru wartościowego Ryzyko w analizie portfelowej oznacza niepewność wystapienia oczekiwanej sytuacji w procesie inwestowania. Określa ono tak ze skal e zró znicowania (rozproszenia) prognozy lub danych historycznych. Miarami ryzyka zwiazanego z inwestowaniem w papiery wartościowe sa wariancja i odchylenie standardowe papieru wartościowego. 19.1 Prognozowanie ekspertowe W przypadku prognozowania ekspertowego wariancj e papieru wartościowego de niujemy nast epujaco: V := p i (R i ER) 2 ; (40) gdzie R i stopa zysku wystepujaca w i-tej sytuacji, p i prawdopodobieństwo wystapienia i-tej sytuacji, ER oczekiwana stopa zysku z inwestycji, dana wzorem (35). Im mniejsza wartość V, tym mniejsze ryzyko osiagni ecia oczekiwanej stopy zysku. Najmniejsza mo zliwa do osiagni ecia wartościa jest 0. Wystepuje ona wtedy, gdy wszystkie mo zliwe scenariusze rozwoju charakteryzuja sie jednakowa stopa zysku. Sytuacja ta ma miejsce np. dla obligacji o sta ym oprocentowaniu. 19.2 Prognozowanie ryzyka na podstawie wartości historycznych stóp zysku Zak ada si e, ze rozk ad przysz ych stóp zysku b edzie si e charakteryzowa takim samym ryzykiem, jakie wyst epowa o w dotychczasowych notowaniach. Wariancj e dotychczasowych stóp zysku oblicza si e wed ug wzoru V := 1 n (R i R) 2 ; (41) gdzie n liczba okresów, z których pochodza dane, R i stopy zysku uzyskane w kolejnych okresach, R średnia historyczna stopa zysku, dana wzorem (34). Poniewa z nie sa określone prawdopodobieństwa wystapienia poszczególnych stóp zysku R i, przyjmuje sie, ze sa one jednakowe i wynosza 1=n. Wówczas ER = R zgodnie z wzorem (35), a zatem (41) jest szczególnym przypadkiem (40), gdzie p i = 1=n dla i = 1; :::; m. W przypadku ma ej liczby danych (n 30) do prognozowania wariancji stopy zysku stosuje si e wyra zenie ^V := 1 n 1 (R i R) 2 : (42) 17
Sens u zycia tego wzoru wynika z faktu, ze ^V jest tzw. estymatorem nieobcia zonym wariancji, co wyjaśnimy dok adniej w dalszej cz eści wyk adu. W obu przypadkach jako odchylenie standardowe stopy zysku przyjmujemy pierwiastek z odpowiedniego wyra zenia, tzn. p V lub p ^V. 20 Niezale zność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1 ; :::; X n o wartościach w R, określone na zbiorze, gdzie (; F; P ) jest przestrzenia probabilistyczna, nazywamy niezale znymi, je zeli dla dowolnych zbiorów B 1 ; :::; B n 2 B(R) zachodzi równość P (X 1 2 B 1 ; :::; X n 2 B n ) = P (X 1 2 B 1 ) ::: P (X n 2 B n ): (43) W powy zszym wzorze wyra zenie po lewej jest skróconym zapisem wyra zenia P f! 2 : X 1 (!) 2 B 1 ^ ::: ^ X n (!) 2 B n g; podobna uwaga dotyczy wyra zeń po prawej stronie. Twierdzenie 2. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n sa niezale zne i maja warto sć oczekiwana, to istnieje warto sć oczekiwana iloczynu Q n X i i zachodzi równo sć! ny ny E X i = EX i : (44) Dowód przeprowadzimy dla przypadku dwóch zmiennych losowych X, Y przyjmujacych skończenie wiele wartości. Za ó zmy, ze X() = fx i g i2i, Y () = fy j g j2j, gdzie I, J skończone zbiory indeksów. Poniewa z zbiory jednoelementowe fx i g i fy j g sa borelowskie, wi ec z (43) otrzymujemy P (X = x i ; Y = y j ) = P (X = x i )P (Y = y j ) (i 2 I, j 2 J). Stad na podstawie (29) E(XY ) = X X x i y j P (X = x i ; Y = y j ) i2i j2j = X X x i y j P (X = x i )P (Y = y j ) i2i j2j! 0 1 X = x i P (X = x i ) @ X y j P (Y = y j ) A = EX EY. i2i Twierdzenie 3. Przy za o zeniach Twierdzenia 2 zachodzi równo sć j2j Var! X i = Var X i : (45) 18
Dowód (dla dwóch zmiennych losowych X, Y ). Korzystajac kolejno ze wzorów (37), (32), (44) i ponownie z (37), otrzymujemy h Var(X + Y ) = E (X + Y ) 2i [E (X + Y )] 2 = E X 2 + 2XY + Y 2 [EX + EY ] 2 = E(X 2 ) + 2E (XY ) + E(Y 2 ) (EX) 2 2EX EY (EY ) 2 = E(X 2 ) (EX) 2 + E(Y 2 ) (EY ) 2 = Var X + Var Y. 21 Kowariancja i wspó czynnik korelacji zmiennych losowych Kowariancja ca kowalnych zmiennych losowych X i Y, spe niaj acych warunek E jxy j < 1, nazywamy liczb e Cov(X; Y ) := E [(X EX) (Y EY )] : (46) Z powy zszej de nicji i z Twierdzenia 1(c) otrzymujemy Cov(X; Y ) = E [XY (EX)Y X(EY ) + EX EY ] = E(XY ) 2EX EY + E(EX EY ) = E(XY ) EX EY; (47) gdzie ostatnia równość wynika z faktu, ze wartość oczekiwana zmiennej losowej o sta ej wartości jest równa tej sta ej. Jeśli Cov(X; Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi; w przeciwnym przypadku skorelowanymi. Korzystajac z nierówności Schwarza dla ca ek, mo zna wykazać nast epujac a nierówność: jcov(x; Y )j p Var X Var Y ; (48) przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z prawdopodobieństwem 1 zmienne losowe X i Y zwiazane sa zale znościa liniowa, tzn. istnieja takie liczby a, b 2 R, ze P fy = ax + bg = 1: (49) Wspó czynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y o dodatnich odchyleniach standardowych nazywamy liczb e (X; Y ) := Cov(X; Y ) X Y = Cov(X; Y ) p Var X Var Y : (50) Z nierówności (48) wynika, ze j(x; Y )j 1, a równość zachodzi tylko w przypadku liniowej zale zności miedzy zmiennymi X i Y. Z Twierdzenia 2 i z równości (47) wynika, ze jeśli zmienne losowe X i Y sa niezale zne i maja wartość oczekiwana, to sa nieskorelowane. 19
Za ó zmy teraz, ze zmienne losowe X i Y przyjmuja skończenie wiele wartości i ze dany jest rozk ad prawdopodobieństwa pary zmiennych losowych (X; Y ), tzn. dane sa skończone ciagi liczbowe x 1 ; :::; x n i y 1 ; :::; y n oraz ciag liczb dodatnich p 1 ; :::; p n takie, ze p i = 1 oraz P (X = x i ; Y = y i ) = p i, i = 1; :::; n: (51) Wówczas, korzystajac z wzoru (29) na wartość oczekiwana, mo zemy zapisać wzór (46) w postaci Cov(X; Y ) = p i (x i EX) (y i EY ) : (52) 22 Korelacja papierów wartościowych Rozwa zmy teraz przypadek, gdy zmiennymi losowymi X i Y sa odpowiednio stopy zysku R A i R B akcji A i B. Niech A i B oznaczaja odpowiednio odchylenia standardowe stóp zysku akcji A i B. W przypadku akcji za o zenie ich dodatniości jest na ogó spe nione. W przypadku prognozowania ekspertowego, jako szczególny przypadek wzoru (52), otrzymujemy nast epujac a de nicj e: Kowariancja akcji (ogólniej: inwestycji nansowych) A i B nazywamy liczb e Cov(R A ; R B ) := p i (R A;i ER A ) (R B;i ER B ) ; (53) gdzie: R A;i stopa zysku akcji A w i-tej sytuacji (podobnie dla akcji B), p i prawdopodobieństwo wystapienia i-tej sytuacji, n ilość mo zliwych sytuacji. Korzystajac ze wzorów (40), (50) i (53), otrzymujemy de nicj e wspó czynnika korelacji akcji A i B: A;B : = Cov(R A; R B ) A P B n = p i (R A;i ER A ) (R B;i ER B ) pp n p i(r A;i ER A ) 2p P n p i(r B;i ER B ) : (54) 2 Jeśli korelacj e określa si e na podstawie obserwacji statystycznych stóp zysku (R A;i ; R B;i ), i = 1; :::; n, to wzory określajace kowariancj e i wspó czynnik korelacji akcji A i B przyjmuja postać Cov(R A ; R B ) := 1 n R A;i ~ RA R B;i ~ RB ; (55) 20
gdzie ~ R A, ~ RB średnie arytmetyczne odpowiednio wielkości R A;i, R B;i (i = 1; :::; n), A;B : = Cov(R A; R B ) A B P n R A;i RA ~ R B;i RB ~ = q Pn (R A;i ~R A ) 2 q Pn (R B;i ~R B ) 2 : (56) W przypadku ma ej liczby danych, wspó czynnik 1=n wyst epujacy w (55) i (niejawnie) w (56) mo ze być zastapiony przez 1=(n 1), podobnie jak przy obliczaniu wariancji akcji. Mówimy, ze akcje (inwestycje nansowe) A i B sa (a) dodatnio skorelowane, jeśli A;B > 0, (b) ujemnie skorelowane, jeśli A;B < 0, (c) nieskorelowane, jeśli A;B = 0, (d) doskonale (dok adnie) dodatnio skorelowane, jeśli A;B = 1, (e) doskonale (dok adnie) ujemnie skorelowane, jeśli A;B = 1. Uwaga. Wspó czynnik korelacji jest miara zale zności liniowej (por. wzór (49)), tj. miara skupiania sie punktów (R A;i ; R B;i ) (w uk adzie wspó rzednych na p aszczyźnie) wokó linii prostej. 23 Model wartości kapita u w czasie Rozwa zamy kapita K, którego wartość w momencie t oznaczamy przez K(t), przy czym czas jest wyra zony w latach. Kapita K mo zna zatem traktować jako funkcje K : R! R. Zak adamy, ze znana jest wartość K(t 0 ) kapita u K w momencie t 0, przy czym K(t 0 ) > 0. W celu aktualizacji wartości tego kapita u na dowolnie wybrany moment t A odleg y od t 0 o ca kowita ilość lat, mo zemy zastosować wzór (8) na obliczanie procentu sk adanego (jeśli t A > t 0 ) albo zasade dyskonta (10) (jeśli t A < t 0 ). Przy obecnych oznaczeniach daje to odpowiednio K(t A ) = K(t A ) = K(t 0 )(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 > 0; (57) K(t 0 ) (1 + R) t0 t A = K(t 0)(1 + R) t A t 0, dla t A t 0 < 0: (58) Wzory (57) i (58) mo zna uogólnić w ten sposób, ze dla dowolnego momentu czasowego t, bez wzgledu na to, czy jest on wcześniejszy czy późniejszy ni z t 0, wartość kapita u zaktualizowana na moment t wynosi K(t) = K(t 0 )(1 + R) t t0, t 2 R: (59) 21
24 Estymatory nieobcia zone Rozwa zamy model doświadczenia polegajacy na n-krotnej realizacji pewnego doświadczenia losowego, którego modelem jest zmienna losowa X (o wartościch rezczywistych). Modelem takiej n-krotnej realizacji tego doświadczenia jest n- wymiarowy wektor losowy (X 1 ; :::; X n ), gdzie X 1 ; :::; X n sa niezale znymi zmiennymi losowymi, z których ka zda ma taki sam rozk ad prawdopodobieństwa jak X. Taki wektor losowy (X 1 ; :::; X n ) nazywamy n-elementowa próba losowa (prosta) zmiennej losowej X. Niech! 2 b edzie zdarzeniem elementarnym, w wyniku którego obserwujemy x 1 = X 1 (!); :::; x n = X n (!). Wówczas wektor (x 1 ; :::; x n ) nazywamy realizacja próby losowej (X 1 ; :::; X n ) odpowiadajac a zdarzeniu elementarnemu!. Statystyka nazywamy ka zda funkcje rzeczywista U n = '(X 1 ; :::; X n ) wektora losowego (X 1 ; :::; X n ) stanowiacego prób e wyjściowej zmiennej losowej X. Statystyka nazywa sie tak ze realizacje u n = '(x 1 ; :::; x n ) zmiennej losowej U n. Za ó zmy teraz, ze rozklad zmiennej losowej X zale zy od parametru 2 R. Wówczas rozk ad danej statystyki U n na ogó tak ze zale zy od, pomimo tego, ze sama statystyka nie jest funkcja. Obserwacje statystyki U n mo zna zatem wykorzystać do wnioskowania o parametrze. Zmienna losowa (statystyke) U n = '(X 1 ; :::; X n ), której realizacje przyjmujemy jako ocen e parametru, nazywamy estymatorem parametru. Estymator U n = '(X 1 ; :::; X n ) parametru nazywamy nieobcia zonym, je zeli EU n = ; w przeciwnym przypadku estymator U n nazywamy obcia zonym. Statystyke X := 1 X i (60) n nazywamy średnia z próby, a statystyke S 2 := 1 n (X i X) 2 (61) wariancja z próby. Stwierdzenie 3. Średnia z próby jest estymatorem nieobcia zonym warto sci oczekiwanej EX. Dowód. Korzystajac z liniowości wartości oczekiwanej (wzór (32)) oraz z faktu, ze zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja ten sam rozk ad (a wiec i wartość oczekiwana) co X, otrzymujemy E X = 1 n EX i = 1 nex = EX. (62) n Stwierdzenie 4. Wariancja z próby jest estymatorem obcia zonym wariancji Var X. 22
Dowód. Z de nicji S 2 = 1 n = 1 n = 1 n (X i X) 2 = 1 n X 2 i X 2 i (Xi 2 2X ix + X 2 ) 2X 1 X i + 1 X 2 n n 2X 2 + X 2 = 1 Xi 2 n Stad, poniewa z X i maja ten sam rozk ad co X, otrzymujemy E(S 2 ) = E 1 n Zgodnie z (37) i (62) mamy X 2 i! X 2 : E( X 2 ) = E(X 2 ) E( X 2 ): (63) E(X 2 ) = Var X + (EX) 2 ; (64) E( X 2 ) = Var X + (E X) 2 = Var X + (EX) 2 : (65) Ponadto na mocy (60), w asności (b) wariancji oraz Twierdzenia 3 Var X = Var 1 n! X i = 1 n 2 n Var X = 1 Var X. (66) n Ze wzorów (63) (66) dostajemy E(S 2 ) = Var X Var X = 1 1 Var X = n 1 Var X; n n co oznacza, ze S 2 jest estymatorem obcia zonym parametru Var X. Wniosek. Statystyka ^S 2 := n n 1 S2 = 1 n 1 (X i X) 2 jest estymatorem nieobcia zonym wariancji Var X. Powy zszy wniosek uzasadnia stosowanie wzoru (42) do prognozowania wariancji stopy zysku w przypadku ma ej liczby danych. 25 Wariancja sumy zmiennych losowych Dotychczas podaliśmy wzór na wariancj e sumy zmiennych losowych jedynie w przypadku zmiennych losowych niezale znych (wzór (45)). Obecnie podamy wzór dla przypadku ogólnego. 23
Twierdzenie 4. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e, to istnieje te z wariancja sumy P n X i i zachodzi rowno sć Var! X X i = Var X i + 2 Cov(X i ; X j ): (67) 1i<jn Dowód. otrzymujemy = Korzystajac kolejno z (37), (32), ponownie z (37) oraz z (47), Var! 2 X i = E 4 E(X 2 i ) (EX i ) 2 + 2 = Var X i + 2! 3 2 X i 5 X 1i<jn X 1i<jn! 2 EX i [E(X i X j ) EX i EX j ] Cov(X i ; X j ). Wniosek. Je zeli zmienne losowe X 1 ; :::; X n maja wariancj e i sa parami nieskorelowane, to zachodzi równo sć (45). 26 Portfel dwóch akcji Niech P oznacza portfel, w którym udzia y akcji A i B wynosza odpowiednio u A i u B. Udzia y te rozumiemy w sensie wartościowym, a nie ilościowym, co ilustruje poni zszy przyk ad. Przyk ad. Inwestor posiada portfel, w sk ad którego wchodzi 10 akcji Exbudu (typ A) oraz 20 akcji Wedla (typ B). Aktualna cena jednej akcji Exbudu wynosi 45 z 50 gr, a jednej akcji Wedla 16 z 50 gr. Wobec tego udzia y tych akcji w portfelu wynosza: u A = 10 45; 5 10 45; 5 + 20 16; 5 t 0; 58; u 20 16; 5 B = t 0; 42: 10 45; 5 + 20 16; 5 Ogólnie, udzia y akcji w portfelu sa liczbami z przedzia u [0; 1], które sumuja si e do jedności. Jest to równowa zne warunkom: u A 0, u B 0, u A + u B = 1: (68) Oznaczmy oczekiwane stopy zysku akcji A i B odpowiednie przez R A i R B. Moga to być równie z średnie historyczne stopy zysku obliczone na podstawie wcześniejszych notowań. Wówczas oczekiwana stopa zysku portfela P jest dana wzorem: ER P = E(u A R A + u B R B ) = u A ER A + u B ER B : (69) 24
Zatem oczekiwana stopa zysku portfela jest średnia wa zona oczekiwanych stóp zysku obu akcji, przy czym wagami sa udzia y tych akcji w portfelu. Korzystajac z wzoru (67), mo zemy wyznaczyć wariancj e (stopy zysku) portfela P : Var R P = Var(u A R A ) + Var(u B R B ) + 2 Cov(u A R A ; u B R B ) = u 2 A Var(R A ) + u 2 B Var(R B ) + 2u A u B Cov(R A ; R B ); (70) gdzie: Var(R A ), Var(R B ) wariancje odpowiednio akcji A i B, Cov(R A ; R B ) kowariancja akcji A i B. Przechodzac do ryzyka opisanego za pomoca odchylenia standardowego, otrzymujemy z wzoru (70) P = p q Var R P = u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B A;B ; (71) gdzie: P odchylenie standardowe (ryzyko) portfela P, A, B ryzyko odpowiednio akcji A i B, A;B wspó czynnik korelacji akcji A i B. Analizujac wzory (69) i (71) widzimy, ze wartości ER P i P zale z a od udzia ów poszczególnych akcji w portfelu oraz (w przypadku P ) od korelacji miedzy akcjami. Omówimy teraz ró zne przypadki w zale zności od wartości A;B. 26.1 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja dodatnia) Wzór (71) przyjmuje wówczas postać q P = u 2 A 2 A + u2 B 2 B + 2u Au B A B q = (u A A + u B B ) 2 = u A A + u B B : (72) Geometrycznie oznacza to na p aszczyźnie, gdzie portfelowi P odpowiada para ( P ; ER P ) ze wszystkie portfele utworzone przez akcje A i B le z a na odcinku aczacym punkty ( A ; ER A ) i ( B ; ER B ). Jest to przypadek ma o interesujacy dla inwestora, poniewa z nie mo zna uzyskać ryzyka portfela mniejszego ni z minf A ; B g. 26.2 Przypadek A;B = 1 (doskona a korelacja ujemna) Wzór (71) przyjmuje postać q P = u 2 A 2 A + u2 B 2 B 2u A u B A B q = (u A A u B B ) 2 = ju A A u B B j : (73) 25
Tutaj istnieje szansa na to, ze P < minf A ; B g. W szczególności, mo zna uzyskać wartość P = 0, jeśli u A A = u B B : (74) Uwzgl edniajac równość u A + u B = 1, czyli u A = 1 u B, otrzymujemy z (74) (1 u B ) A = u B B : Przekszta ćmy ten wzór w celu wyznaczenia u B : A u B A = u B B, A = u B ( A + B ): Stad A B u B =, u A = : (75) A + B A + B Zatem udzia y akcji A i B w portfelu o zerowym ryzyku sa dane wzorami (75). Oczekiwana stopa zysku takiego portfela wynosi ER P = u A ER A + u B ER B = BER A + A ER B A + B : (76) 26.3 Przypadek A;B = 0 (brak korelacji) Wzór (71) przyjmuje postać P = q u 2 A 2 A + u2 B 2 B : (77) Analiza wzoru (77) wykazuje, ze istnieje mo zliwość cz eściowej redukcji ryzyka portfela w stosunku do ryzyka akcji wchodzacych w jego sk ad. Aby znaleźć udzia y akcji tworzace portfel minimalnego ryzyka, nale zy rozwiazać równanie d P = d q u 2 A du A du 2 A + u2 B 2 B = 0: (78) A Mamy d P du A = 0 () u A 2 A 2 B + u A 2 B = 0 () 2 B u A = 2 A + 2 B, stad u B = 2 A 2 A + : (79) 2 B Minimalne ryzyko tego portfela osiagane przy udzia ach określonych wzorami (79) wynosi, zgodnie z (77), s 4 B P = 2 A + p 4 A 2 B 2 ( 2 A + = A 2 B (2 A + 2 B ) 2 B )2 2 A + = p A B : (80) 2 B 2 A + 2 B Oczekiwana stopa zysku tego portfela wynosi ER P = 2 B ER A + 2 A ER B 2 A + : (81) 2 B 26
27 Korelacja graniczna Analizujac wzór (71) określajacy ryzyko portfela dwóch akcji w ogólnym przypadku, mo zna postawić pytanie, dla jakich wartości A;B jest mo zliwe obni zenie ryzyka portfela poni zej minf A ; B g. Okazuje sie, ze jest to mo zliwe dla wartości A;B mniejszych od tzw. korelacji granicznej: A gr := min ; B : (82) B A Stwierdzenie 5. Je sli A;B < gr, to istnieja takie udzia y u A, u B, ze P < minf A ; B g. Je sli A;B gr, to minimalna warto scia P jest minf A ; B g. W szczególności, jeśli ryzyko obu akcji jest jednakowe ( A = B ), to dowolna korelacja poza idealna dodatnia (gdzie A;B = 1) powoduje obni zenie ryzyka portfela. 28 Zbiór portfeli dwóch akcji na p aszczyźnie Wszystkie portfele dwóch akcji A i B, przy dowolnej ich korelacji, mieszcza sie wewnatrz trójkata, którego wierzcho kami sa punkty A = ( A ; ER A ), B = ( B ; ER B ) i portfel zerowego ryzyka P 0 = (0; ER P0 ) (ten ostatni istnieje dla A;B = 1). 29 Portfel wielu akcji model Markowitza Oznaczmy: m liczba rm, których akcje sa w portfelu (ponumerowanych od 1 do m), n j ilość j-tych akcji znajdujacych sie w portfelu. Zak adamy, ze n j (j = 1; :::; m) sa liczbami nieujemnymi. Aby portfel by niepusty, trzeba za o zyć, ze n j > 0 dla pewnego j. Liczby n j wyznaczaja sk ad ilościowy portfela. Nas interesuje sk ad procentowy (wartościowy) portfela, tzn. jaki jest stosunek wartości j-tych akcji w portfelu do acznej wartości wszystkich akcji znajdujacych sie w tym portfelu. W celu wyznaczenia sk adu procentowego oznaczmy: p j cena rynkowa j-tej akcji (p j > 0). Wówczas udzia procentowy (w sensie wartości) j-tej akcji w portfelu określa liczba n j p j u j := P m n, j = 1; :::; m: (83) ip i Uwaga. atwo sprawdzić, ze u j 0; j = 1; :::; m; u j = 1 (84) j=1 (tzw. równanie bud zetowe). 27
Stwierdzenie 6. We zmy dowolne liczby u j spe niajace (84). Wówczas istnieja takie liczby nieujemne n 1 ; :::; n m, wyznaczone z dok adno scia do proporcjonalno sci, ze spe nione sa równo sci (83). Dowód. atwo sprawdzić, ze: (a) odwzorowanie (n 1 ; :::; n m ) 7! (n 1 p 1 ; :::; n m p m ) przekszta ca zbiór R m + nf0g = f(n 1 ; :::; n m ) : n i 0, i = 1; :::; mgnf(0; :::; 0)g na siebie; (b) odwzorowanie (y 1 ; :::; y m ) 7! y1 Pm ; :::; Pm y m przekszta ca zbiór yi n yi R m + nf0g na zbiór (u 1 ; :::; u m ) 2 R m + : P o m j=1 u j = 1. Z powy zszych w asności (a), (b) wynika istnienie liczb n 1 ; :::; n m spe niaja- cych równości (83). Dowód jednoznaczności: za ó zmy, ze u j = n j p P j ^n j p m n = P j m ip i ^n, j = 1; :::; m: ip i Wówczas P m ^n j = n ^n ip i j P m n = n j ; ip i gdzie wspó czynnik proporcjonalności, niezale zny od j. Uwaga. W teorii mo zemy traktować liczby u j spe niajace za o zenia Stwierdzenia 6 jako udzia y j-tych akcji w portfelu, o ile dopuścimy mo zliwość posiadania przez inwestora dowolnych cześci tych akcji (za o zenie nieskończonej podzielności papierów wartościowych). Zbiór 8 9 < = P m := : u = (u 1; :::; u m ) 2 R m : u i 0, i = 1; :::; m, u j = 1 (85) ; nazywamy zbiorem portfeli m-sk adnikowych. Wspó rzedna u j wektora u oznacza udzia j-tych papierów wartościowych w portfelu u. Zbiór P m jest sympleksem m-wymiarowym o wierzcho kach (0; ::; 0; 1 i ; 0; :::; 0), i = 1; :::; m, gdzie 1 i oznacza jedynke na i-tym miejscu. Dla dowolnego portfela u 2 P m przyjmujemy nastepujace oznaczenia: R j stopa zysku z inwestycji w j-te papiery wartościowe, R = (R 1 ; :::; R m ) wektor (losowy) stóp zysku, = ( 1 ; :::; m ) wektor oczekiwanych stóp zysku, gdzie i := E(R i ) (i = 1; :::; m), K p kapita poczatkowy inwestora, K p;j := u j K p cześć kapita u poczatkowego zainwestowana w j-te papiery wartościowe, K k kapita końcowy inwestora, K k;j kapita końcowy w j-tych papierach wartościowych. Ze wzoru (2) otrzymujemy K k;j = K p;j (1 + R j ), j = 1; :::; m. j=1 28
Stop e zysku portfela u de niujemy, zgodnie z wzorem (1), jako zmienna losowa o wartościach rzeczywistych: K p R(u) := K k : (86) K p W dalszym ciagu symbolem hx; yi b edziemy oznaczać iloczyn skalarny w przestrzeni R m : hx; yi := x i y i dla x = (x 1 ; :::; x m ), y = (y 1 ; :::; y m ): (87) Stwierdzenie 7. Zachodzi równo sć R(u) = hu; Ri : (88) Dowód. R(u) = K P m k K p j=1 = K P m k;j j=1 K p;j P K m p j=1 K p;j P m j=1 = K P m p;j(1 + R j ) j=1 K P m p;j j=1 P m j=1 K = K p;jr j P m p;j j=1 K p;j = K P m p j=1 u jr j P m K p j=1 u j = u j R j = hu; Ri. j=1 Oczekiwana stopa zysku portfela u jest dana wzorem 0 1 ER(u) = E @ u j R j A = u j j = hu; i : (89) j=1 30 Macierz kowariancji wektora losowego Niech X :! R m b edzie wektorem losowym. Jeśli istnieja wariancje Var X j, j = 1; :::; m, to macierz j=1 C := [c ij ] m i;j=1, gdzie c ij = Cov(X i ; X j ); (90) nazywamy macierza kowariancji wektora losowego X = (X 1 ; :::; X m ). Istnienie kowariancji Cov(X i ; X j ) dla dowolnej pary (i; j) wynika z przyjetego za- o zenia i ze wzoru (48). Stwierdzenie 8. Macierz kowariancji ma nast epujace w asno sci: (a) jest symetryczna, tzn. c ij = c ji dla dowolnej pary (i; j), (b) jest nieujemnie określona, tzn. hu; Cui = u i u j c ij 0 dla ka zdego u 2 R m : (91) i;j=1 29
Dowód. (a) wynika ze wzoru (46). (b) Rozwa zmy zmienna losowa Y := P m u ix i. Jeśli EX i = i (i = 1; :::; m), to EY = P m u i i oraz 2 0 Var Y = E! 3 2 (Y EY ) 2 = E 4 u i (X i i ) 5 2 3 = E 4 u i u j (X i i )(X j j ) 5 = i;j=1 = u i u j E (X i i )(X j j ) i;j=1 u i u j Cov(X i ; X j ) = hu; Cui. (92) i;j=1 Stosujac cz eść (b) powy zszego dowodu do zmiennej losowej R(u) określonej wzorem (88) (gdzie u 2 R m + ), otrzymujemy Wniosek. Wariancja stopy zysku portfela u 2 P m jest dana wzorem Var R(u) = hu; Cui ; (93) gdzie C jest macierza kowariancji wektora stóp zysku R = (R 1 ; :::; R m ). Ryzyko portfela u jest określone jako odchylenie standardowe (u) = p Var R(u): (94) Mówimy, ze macierz C jest dodatnio określona, je zeli hu; Cui > 0 dla ka zdego u 2 R m nf0g: (95) Uwaga. Cz esto w literaturze macierz nieujemnie określona nazywa si e macierza dodatnio okre slona. Wówczas macierz spe niajac a warunek (95) nazywa sie macierza scísle dodatnio okre slona. Stwierdzenie 9. Macierz kowariancji C wektora losowego X nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja takie liczby u 1 ; :::; u m nie wszystkie równe zeru, ze zmienna losowa P m u ix i jest sta a z prawdopodobieństwem jeden. Dowód. Zaprzeczenie warunku (95) oznacza, ze istnieje taki wektor u 6= 0, ze hu; Cui = 0. Na mocy (92) jest to równowa zne warunkowi 2! 3 m 2 X E 4 u i X i u i i 5 = 0: (96) Wiadomo, ze wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta zmienna losowa jest równa zeru z prawdopodobieństwem 1. Zatem warunek (96) oznacza, ze P m u ix i jest z prawdopodobieństwem 1 równa sta ej P m u i i. 30
Wniosek. Macierz kowariancji C nie jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy jedna ze zmiennych losowych X i zale zy (z prawdopodobieństwem jeden) w sposób liniowy od pozosta ych zmiennych losowych. Dowód. Na mocy Stwierdzenia 9 macierz C nie jest ściśle dodatnio określona, 9u 6= 0, P m u ix i = z prawdopodobieństwem 1, gdzie jest pewna sta a. Wybierajac spośród liczb u i jedna ró zna od zera (oznaczmy ja u s ), otrzymamy równowa zny warunek (tak ze z prawdopodobieństwem 1) 0 1 X s = 1 @ X u i X i + A. u s i6=s Uwaga. W przypadku macierzy kowariancji wektora stóp zysku portfela u 2 P m sytuacja opisana w powy zszym wniosku oznacza, ze jeden z papierów wartościowych znajdujacych sie w portfelu mo zna usunać, zastepujac go kombinacja pozosta ych papierów wartościowych. 31 Zbiór mo zliwości i jego w asności Odwzorowaniem Markowitza nazywamy odwzorowanie M : P m! R + R określone wzorem M(u) := ((u); ER(u)): (97) Zbiorem mo zliwości nazywamy zbiór wartości odwzorowania M: M := M(P m ) = f((u); ER(u)) : u 2 P m g: (98) Stwierdzenie 10. Zbiór mo zliwo sci M ma nast epujace w asno sci: (a) jest zwarty i spójny, (b) je zeli (x 1 ; y) 2 M i (x 2 ; y) 2 M, to f(x 1 ; y) + (1 )(x 2 ; y) : 2 [0; 1]g M: Dowód. (a) Ze wzorów (89), (93) i (94) wynika ciag ość odwzorowania M. Zatem M jest zwarty i spójny jako obraz ciag y zbioru zwartego i spójnego P m. (b) Niech (x i ; y) = M(u i ), i = 1; 2 (gdzie u i 2 P m ). Nale zy wykazać, ze (x 1 ; y)+(1 )(x 2 ; y) = (x 1 +(1 )x 2 ; y) 2 M dla ka zdego 2 [0; 1]: (99) Ustalmy 2 [0; 1]. Funkcja ' : [0; 1] 3 t 7! (tu 1 + (1 t)u 2 ) jest ciag a i '(0) = (u 2 ) = x 2, '(1) = (u 1 ) = x 1, zatem na mocy w asności Darboux przyjmuje wszystkie wartości pośrednie miedzy x 1 i x 2. W szczególności, istnieje takie t 2 [0; 1], ze (tu 1 + (1 t)u 2 ) = '(t) = x 1 + (1 )x 2 : (100) 31
Zbiór P m jest wypuk y, zatem u := tu 1 +(1 i = 1; 2, wtedy t)u 2 2 P m. Niech u i = (u i 1; :::; u i m), u = (tu 1 1 + (1 t)u 2 1; :::; tu 1 m + (1 t)u 2 m): Obliczmy stop e zysku portfela u, zgodnie ze wzorem (88): R(u) = = t (tu 1 j + (1 j=1 u 1 jr j + (1 j=1 t)u 2 j)r j t) u 2 jr j : Stad, korzystajac z liniowości wartości oczekiwanej i z (89), otrzymujemy ER(u) = t u 1 j j + (1 j=1 Ze wzorów (101) i (100) wynika, ze t) u 2 j j j=1 j=1 = ter(u 1 ) + (1 t)er(u 2 ) = ty + (1 t)y = y: (101) M(u) = ((u); ER(u)) = ((tu 1 + (1 t)u 2 ); y) = ( x 1 + (1 )x 2 ; y); co kończy dowód (99). Stwierdzenie 11. Je sli wszystkie warto sci i ( i = 1; :::; m) sa równe, to zbiorem mo zliwo sci jest odcinek domkni ety równoleg y do osi (który mo ze redukować si e do punktu). Dowód. Niech = i dla i = 1; :::; m. Wówczas dla ka zdego u 2 P m mamy na podstawie wzoru (89) ER(u) = u j j = u j = ; j=1 zatem funkcja ER() jest sta a na P m. Poniewa z funkcja () jest ciag a, wiec zbiór jej wartości osiaganych na P m jest zwarty i spójny w R, czyli jest przedzia em domknietym. W konsekwencji obraz M(P m ) jest odcinkiem domknietym równoleg ym do osi, po o zonym na wysokości. Uwaga. W dalszym ciagu b edziemy zak adać, ze nie wszystkie i sa równe. j=1 32 Funkcje wypuk e i ich w asności Zbiór A R n nazywamy wypuk ym, je zeli dla dowolnych x, y 2 A [x; y] := fx + (1 )y : 2 [0; 1]g A: (102) 32