Wykład 6 14 Zasada zachowania energii mechanicznej Informatyka 011/1 Stajesz na szczycie góry Mocujesz deskę, zakładasz gogle i zaczynasz szaleńczy zjazd W miarę jak twoja energia otencjalna zamienia się w energię kinetyczną rośnie twoja szybkość Podczas ruchu ciał zmianie może ulegać nie tylko ich energia kinetyczna, ale również otencjalna Energia mechaniczna ciała /układu ciał to suma energii kinetycznej i otencjalnej : E m = E + Ek 1
Wykład 6 Rozatrzmy rzyadek, kiedy na ciało orócz siły zachowawczej działa siła niezachowawcza Informatyka 011/1 F P P = bvv Obliczmy racę wykonaną rzez te siły na rzemieszczeniu od A do B: W = W + W cała AB zach AB niezach AB Praca siły zachowawczej może być wyrażona orzez zmianę energii otencjalnej ciała: W = E + W cała AB niezach AB F = mg Całkowita raca wszystkich sił owoduje wzrost energii kinetycznej ciała: cała W AB = E k E E = E E + W B A A B niezach Dostajemy:, k k AB a stąd: E + E = E + E + W B k B A k A niezach AB E = E + W B m A m niezach AB
Jeśli E = E + W B m A m niezach AB niezach P = 0 B A, to = 0 i mamy: E = E W AB m Wykład 6 m Informatyka 011/1 Doszliśmy do (można ją rozszerzyć na układ ciał): Całkowita energia mechaniczna ciała/układu ciał, na które działają tylko siły zachowawcze, jest stała Powyższe rawo może osłużyć do badania ruchu ciał wówczas, gdy rozwiązanie równań ruchu jest zbyt trudne Energia mechaniczna w olu grawitacyjnym byłaby zachowana, gdyby zaniedbać oory ruchu E m = mgh 1 mv + = const 3
Wykład 6 Energia mechaniczna w olu grawitacyjnym byłaby zachowana, gdyby zaniedbać oory ruchu E m0 =grawitacyjna energia otencjalna Informatyka 011/1 Przemiany energii w czasie skoków na bungee: E m = mgh 0 (Wysokość liczona od końca rozciągniętej liny, h=l+ l ) l E m0 =energia kinetyczna + grawitacyjna energia otencjalna 1 v mgh = m + mgy htt://wwwwayfaringinfo/w-content/uloads/011/03/bungee_44863njg Szarnięcie liny - lina zaczyna się rozciągać Koniec skoku - maksymalne rozciągnięcie liny l l E m0 =energia kinetyczna + grawitacyjna energia otencjalna + srężysta energia otencjalna E m0 =srężysta energia otencjalna 1 mgh = 1 mv + mgy + k( l y ) 1 mk = k l E m 0 E = 4
15 Jak znaleźć siłę, jeśli znana E? Wykład 6 Informatyka 011/1 Przyomnijmy sobie, że Energię otencjalną ciała E, w olu siły zachowawczej F (r), zdefiniowaliśmy jako jednoznaczną funkcję skalarną ołożenia E = E (r ), niezależną od czasu, ciągłą i mającą ciągłe ochodne, sełniającą zależność: dw de = F dr = Dla rzyadku jednowymiarowego (n oscylatora harmonicznego z ostatniego rzykładu): = F Czyli F x jest równa ujemnej ochodnej funkcji E! x dx d E i stąd: F x de = dx Uogólniając owyższe wyrażenie na trzy wymiary, otrzymujemy wzór ozwalający znaleźć siłę, jeśli znana jest funkcja E (x,y,z): E x E, y E, z F = i F E x + E j y - ochodne cząstkowe + k E z = grad E ( x, y, z) 5
Gradient: grad = iˆ Jeśli energia otencjalna oscylatora dwuwymiarowego dana jest wzorem: to siła: Jeśli E = E (r), to F x + ˆj Dostaliśmy siłę srężystą: y + kˆ z Wykład 6 E ( x, y) 1 k( x y = + Informatyka 011/1 E E E = grad E ( x, y, z) = i + j + k x y z = 1 k [ i (x) + j(y) + k 0] = k( xi + y j ) F = k r F = grad E de ( r) = dr grad r ) de = dr r r = Powyższy wzór można zastosować do znalezienia siły w każdym olu centralnym, jeśli tylko znamy E N: E Mm = G, r de F = dr r Mm r = G r r r 6
Jeśli odczas ruchu ciała wystęuje siła tarcia (lub inna siła niezachowawcza), to energia mechaniczna ulega rozroszeniu Wykład 6 Informatyka 011/1 16 Siły niezachowawcze a zasada zachowania energii Praca wykonana rzez siłę niezachowawczą: W niezach AB jest ujemna, bo zwrot siły, n tarcia, rzeciwny do kierunku ruchu! = E B m E A m A N dla samochodu na stoku: A m niezach AB E + W = E B m 1 mgh + ( Ftarcia s) = mv, B Stracona energia mechaniczna zamieniana jest na energię wewnętrzną rzesuwanego ciała i odłoża (sumę energii kinetycznych i otencjalnych cząsteczek) r F tarcia Silnik wyłączony! Jeśli uwzględnimy wzrost energii wewnętrznej ciał, to energia całkowita izolowanego układu jest zawsze zachowywana 7
Wykład 6 Informatyka 011/1 Podsumowanie na zakon czenie omawiania raw zachowania rawo zachowania ędu; rawo zachowania momentu ędu; rawo zachowania energii; Nie zależą one od charakteru wystęujących oddziaływań Za omocą raw zachowania można uzyskać szereg ważnych danych dotyczących zjawiska, bez konieczności rozwiązywania równań ruchu 8
Wykład 6 Informatyka 011/1 3 Elementy mechaniki relatywistycznej Szczególna teoria względności Wyniki badań naukowych ostatnich dziesięcioleci okazały, że klasyczna mechanika newtonowska nie jest w stanie oisać zjawisk wystęujących rzy ruchu ciał z szybkościami bliskimi szybkości światła w różni c N cząstki rzysieszane w akceleratorach nie mogą rzekroczyć górnej granicy szybkości, jaką jest c Gdyby stosowała się do nich mechanika klasyczna, ich szybkość rosłaby nieograniczenie Twórca szczególnej teorii względności 9
31 Transformacja Galileusza Zasada względności Galileusza W mechanice klasycznej transformacja Galileusza ozwala obliczyć ołożenie i rędkość ciała w jednym inercjalnym układzie odniesienia, jeśli znamy jego ołożenie i rędkość w innym układzie inercjalnym r = r + ut, t = t, v = v + u, a = a W układzie S Beduina ołożenie motolotni dane wektorem r x z Informatyka 011/1 O S Czas w obu układach łynie tak samo y r x z O S u y r W układzie S jeea ołożenie motolotni dane wektorem r u Jeśli jee orusza się ze stałą rędkością względem Beduina, to oba układy odniesienia S i S możemy traktować jako inercjalne Wykład 6 10
x z S y Jeśli obserwatorzy z obu układów inercjalnych S i S zmierzą jednakowe rzysieszenia danego ciała, to również zmierzą jednakową siłę działającą na to ciało z x S u y Żyrosko, na jego zasadzie oiera się działanie żyrokomasu W każdym układzie inercjalnym, na rzycumowanym statku w orcie, czy statku łynącym o morzu, działanie żyrokomasu odlega tym samym rawom Zasada względności Galileusza: Prawa mechaniki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia Informatyka 011/1 Oznacza to, że nie możemy wyróżnić jakiegoś układu sośród innych za omocą ekserymentów mechanicznych i twierdzić, że ois ruchu ciał jest w nim bardziej orawny niż w ozostałych Wykład 6 11
Ograniczenia transformacji Galileusza Wykład 6 Informatyka 011/1 Fakt doświadczalny: szybkość światła w różni c =99 79,458 km/s jest górną granicą rozchodzenia się sygnałów oraz szybkości ciał i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia Poruszające się z bardzo dużą szybkością iony π 0 są nietrwałe i rozadają się z emisją romieniowania γ Z transformacji Galileusza wynika, że jeśli źródło orusza się z u=0,999 75c, to romieniowanie γ w układzie laboratoryjnym owinno mieć szybkość: c lab =c + u = 0,999 75c + c =1,999 75c! 0,999 75c π 0 0,999 75c γ c Zmierzona szybkość romieniowania γ c laboratorium z x y Widzimy, że transformacja Galileusza nie stosuje się w rzyadkach, gdy ciała oruszają się z wielkimi szybkościami - relatywistycznymi, bliskimi szybkości światła w różni, v c 1
Wykład 6 Transformacja Galileusza i rawa fizyki klasycznej nie dają orawnych wyników,gdy v c Informatyka 011/1 Przy szybkościach większych niż ok 10%c obserwuje się, że czas i rzestrzeń są wzajemnie owiązane i zależności te są różne dla obserwatorów oruszających się względem siebie relatywistyczna teoria czasu i rzestrzeni, obejmująca zjawiska zachodzące rzy rędkościach orównywalnych z rędkością światła c Jest odstawą do naszego zrozumienia rzestrzeni fizycznej i czasu Podstawą tej teorii są dwa ostulaty: 1 Postulat stałej rędkości światła: Prędkość rozchodzenia się światła w różni jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia i nie zależy od ruchu źródła, ani ruchu obserwatora Postulat względności: Wszystkie rawa fizyki są identyczne we wszystkich inercjalnych układach odniesienia 13
a) Zmieniamy ołożenie magnesu względem nieruchomej zwojnicy, b) Unieruchamiamy magnes i oruszamy odstawkę ze zwojnicą w górę i w dół W każdym rzyadku miernik wskazuje rzeływ w obwodzie wyindukowanego rądu Wykład 6 Informatyka 011/1 Dwa doświadczenia z indukowaniem rądu elektrycznego w zwojnicy za omocą magnesu sztabkowego: Einstein rozszerza zasadę względności Galileusza na wszystkie rawa fizyki (n elektromagnetyzmu czy otyki) Układy inercjalne są sobie całkowicie równoważne i żaden z nich nie może być wyróżniony Nie oznacza to, że obserwatorzy we wszystkich układach inercjalnych uzyskają te same wartości mierzonych wielkości fizycznych Tylko rawa fizyki, wiążące ze sobą wyniki omiarów, maja być takie same 14
3 Względność czasu Wykład 6 Informatyka 011/1 Przez zdarzenie rozumiemy takie zjawisko fizyczne (lub jakiekolwiek inne), którego rozciągłość w czasie i rzestrzeni możemy ominąć Obserwator dowolnemu zdarzeniu rzyisuje wsółrzędne czasorzestrzenne (trzy wsółrzędnych rzestrzenne x,y,z oraz wsółrzędną czasową t), bowiem w teorii względności czas i rzestrzeń są ze sobą wzajemnie owiązane Obserwatorzy oruszający się względem siebie z dużą rędkością, mierząc odstę czasu między dwoma zdarzeniami otrzymają na ogół różne wyniki Inaczej niż w transformacji Galileusza, czas w różnych układach odniesienia łynie inaczej W szczególnej teorii względności z ostulatu Einsteina, że szybkość światła c nie zależy od układu odniesienia wynika zjawisko zwane dylatacją (wydłużeniem) czasu 15
Przykład Jaki czas biegu imulsu świetlnego zmierzą Jacek i Wacek, jeśli szybkość światła c = const c jest taka sama w układzie każdego z nich? S y u t d W układzie odniesienia Jacka: t '= d c z x S y t c t/ d c t/ u t z Informatyka 011/1 d + 1 4 u t = 1 4 c t W układzie odniesienia Wacka: t = t ' u 1 c Wykład 6 16 x
Wykład 6 Definiujemy czas własny τ = t rzedział czasu zmierzony dla dwóch zdarzeń, które zaszły w tym samym miejscu w inercjalnym układzie odniesienia Pomiar w jakimkolwiek innym inercjalnym układzie odniesienia odstęu czasu między tymi zdarzeniami, da zawsze większą wartość Informatyka 011/1 (x,y,z) Czas własny mierzony w rakiecie t = τ u 1 c Czas własny łynie wolniej rocesy zachodzące w układzie S dla obserwatora w układzie S (jego zegar rzemieszcza się względem miejsca, gdzie zachodzi zdarzenie) trwają dłużej niż dla obserwatora w układzie S (mierzącego czas własny) 17
u γ = 1 c 1 Srawdźmy, że ze wzoru na dylatacje czasu wynika, że dla szybkości u<<c t τ czasy mierzone w różnych układach są identyczne, tak jak w klasycznej transformacji Galileusza Zastanów się: Czynnik, γ 6 5 4 3 1 Wykład 6 Informatyka 011/1 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 Prędkość, u / c Wyrowadziliśmy wyrażenie na dylatację czasu rzebiegu imulsu świetlnego mierzonego rzez Wacka, odczas gdy Jacek w oruszającym się wagonie mierzył czas własny A jeśli ekseryment z imulsem świetlnym wykona Wacek, to jaki czas zmierzy on, a jaki Jacek w swoim wagonie? Który z nich będzie mierzył czas własny, a który wydłużony? Czas własny odstę czasu między dwoma zdarzeniami - może być również mierzony rzez zegar w układzie S (jeśli zdarzenia zachodzą w tym układzie); wówczas czas wydłużony zmierzy obserwator w układzie S oruszającym się względem S 18
Gdzie należy uwzględnić zjawisko dylatacji czasu? Wykład 6 Informatyka 011/1 Błędy w lokalizacji obiektów naziemnych w systemie GPS udało się wyeliminować doiero wówczas, gdy odowiedzialni za system inżynierowie uwzględnili za radą fizyków orawki relatywistyczne, min dylatację czasu (7 μs/dzień, rzy szybkości satelity v = 4 km/s) htt://wwwearthmagazineorg/mediafiles/i/009/6/1/491 htt://wwwwizl/obrazki/najwiekszy_04_08jg htt://kresy4l/uload/cern_atom_akceleratorjg Wielki zderzacz hadronów (LHC) w CERNIe od Genewą tunel i urządzenie rejestrujące cząstki W akceleratorach cząstki elementarne rzysieszane są do szybkości bliskich c Średni czas życia nietrwałych cząstek w układzie laboratoryjnym ulega wydłużeniu 19
33 Skrócenie długości Układ Ziemi Wykład 6 Długość własna ciała - długość zmierzona w inercjalnym układzie odniesienia, w którym ono soczywa S z x l 0 t y S τ c t 1 d = d = c t c t τ = = l + u u 1 t 1 ( 1 u / c ) = l u t l l l t = t1 + t = + = = c u c + u c u l γ c l 0 c Informatyka 011/1 Mierzymy czas rzebiegu imulsu świetlnego wzdłuż linijki w układzie rakiety: l 0 - długość własna, τ - czas własny oraz w układzie obserwatora na Ziemi: l t = τ γ = 0 γ, c l l0 γ = γ, c c l γ = l 0 0
Skrócenie Lorentza długości zachodzi dla wymiarów równoległych do kierunku ruchu; długość linijki l zmierzona w układzie odniesienia, w którym ona się orusza, jest zawsze mniejsza niż jej długość własna l 0 : l = l 0 u 1 c htt://nobelrizeorg/educational_games/hysic s/relativity/transformationsimages/contractiongif Natomiast wymiary rostoadłe do kierunku ruchu nie ulegają zmianie rzy rzejściu z jednego układu odniesienia do innego! Długości l i l 0 wystęujące we wzorze to, a nie ostrzegane wzrokiem! Informatyka Wykład 6 1
Wykład 6 Informatyka 011/1 34 Różnica między długością mierzoną a widzianą wwwanueduau/physics/savage/tee/site/ Rowerzysta w soczynku (a), zmierzony w ruchu z szybkością 93% c (b), i widziany odczas ruchu z szybkością 93% c (c) Obserwator (kamera) ostrzega zniekształcony obiekt, onieważ światło docierające do oka z dalszych unktów obiektu musiało być wyemitowane wcześniej, gdyż miało do rzebycia dłuższy odcinek (c ma skończoną wartość!)
Wykład 6 Informatyka 011/1 Stąd symulacje komuterowe obrazów rejestrowanych rzez kamerę oruszającą się z v c rzedstawiają inne efekty niż te, wynikające z czystego skrócenia długości, czy dylatacji czasu! u<<c v c u<<c u c u c 3
Informatyka 011/1 Wykład 6 Na czym olega zasadnicza różnica między długością mierzoną a widzianą Skrócenie Lorentza - mierzona długość oddalanie się +1 l w / l 0 Widziana długość zbliżanie się S -1 +1 u/c Zaamiętaj: z x omiar długości olega na równoczesnym wyznaczeniu ołożeń oczątku i końca oruszającego się obiektu, tj t 1 = t Widzenie (obserwacja) długości obiektu olega na tym, że do naszego oka w tej samej chwili dociera światło, które niejednocześnie ouściło oczątek i koniec oruszającego się obiektu 4