Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Przemysław Patryk Jarosz Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej Praca licencjacka wykonana w Katedrze Matematyki Dyskretnej i Teoretycznych Podstaw Informatyki pod kierunkiem prof. dr hab. Adama Doliwy Olsztyn, 015 rok

University of Warmia and Mazury in Olsztyn Faculty of Mathematics and Computer Science Field of Study: Mathematics Przemysław Patryk Jarosz Application of entangled states in quantum computing Bachelor s Thesis is performed in Chair of Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science under supervision of prof. dr hab. Adam Doliwa Olsztyn, 015

Składam serdeczne podziękowania dla Pana prof. dr hab. Adama Doliwy za poświęcony mi czas i nieocenioną pomoc okazaną w trakcie pisania niniejszej pracy.

Spis treści Wstęp............................................ 3 Rozdział 1. Struktura matematyczna mechaniki kwantowej.......... 5 1.1. Przestrzeń Hilberta................................. 5 1.. Operatory liniowe.................................. 6 1.3. Postulaty mechaniki kwantowej.......................... 9 1.4. Proste przykłady.................................. 10 Rozdział. Układy złożone i stany splątane.................... 13.1. Iloczyn tensorowy.................................. 13.. Układy złożone................................... 17.3. Kopiowanie stanów kwantowych.......................... 18 Rozdział 3. Zastosowanie stanów splątanych.................... 0 3.1. Supergęste kodowanie................................ 0 3.. Teleportacja kwantowa............................... 1 Rozdział 4. Nierówności Bella............................. 4 Streszczenie......................................... 8 Bibliografia......................................... 30

Wstęp Informatyka kwantowa jest dyscypliną, która rozwija się w szybkim tempie. Powinna ona zainteresować nie tylko fizyków, ale również szersze grono naukowców ze względu na nowoczesny charakter pojęć, na których się opiera. Niniejsza praca została zainspirowana wykładem prowadzonym dla studentów informatyki. Celem owej pracy jest przybliżenie pojęcia splątania, a także sposobów wykorzystywania stanów splątanych w informatyce kwantowej. Praca podzielona jest na cztery części, począwszy od wprowadzenia podstawowych pojęć do przedstawiania bardziej złożonych zagadnień informatyki kwantowej. Koncentrujemy się na przedstawieniu matematycznych aspektów informatyki kwantowej. Dwudziesty wiek przyniósł idee, które zrewolucjonizowały nauki fizyczne. Obraz świata przedstawiony przez Newtona, czy Maxwella uległ radykalnej zmianie. Do opisu zachowań olbrzymich układów w mikroskali posłużyła teoria względności stworzona przez Alberta Einsteina. Natomiast, z całkiem innej strony, do opisu ciał o rozmiarach atomu posłużyła mechanika kwantowa, która pozwoliła na modelowanie zjawisk jakie zachodzą w mikroświecie. Poprzedni wiek był okresem narodzin oraz szybkiego rozwoju informatyki. Od czasu gdy powstał pierwszy komputer, w technice komputerowej nastąpił olbrzymi postęp. Gordon Moore w swoich obserwacjach w 1965 stwierdził, że moc obliczeniowa komputerów podwajać się będzie co półtora roku. Z tego też powodu nasuwa się wiele pytań. Jak długo taki proces może trwać? I czy istnieje górna granica możliwości komputerów? Rozważając prawo Moore a możemy stwierdzić, że kiedyś każdy bit informacji będzie wymagał zapisu w układzie o subatomowych rozmiarach. Jeszcze kilka lat temu takie rozważania były czystą fikcją, teraz natomiast traktuje się to poważnie. Jednym z takich przykładów zastosowania komputera kwantowego jest algorytm Shora, który umożliwia szybki rozkład na czynniki pierwsze liczb naturalnych. W 001 roku grupa informatyków z IBM i Uniwersytetu Stanford pokazała działanie algorytmu Shora na 7-kubitowym komputerze kwantowym opartym o jądrowy rezonans magne- 3

tyczny. W 011 roku udało się stworzyć układ złożony z 10 miliardów kubitów, a niespełna lata później udało się utrzymać 10 miliardów kubitów w stanie splątanym przez 39 minut. W rozdziale pierwszym przedstawiam podstawowe pojęcia matematyczne wykorzystywane w mechanice kwantowej. Między innymi prezentuję przestrzeń Hilberta, a także różne typy operatorów. W tej części pracy zawarłem również podstawowe postulaty mechaniki kwantowej oraz przykłady operatorów, które wykorzystuję. W kolejnym rozdziale przedstawiam pojęcia iloczynu tensorowego i stanu splątanego. Przy okazji przedstawię pewne aspekty istnienia kwantowej maszyny kopiującej, a raczej jej nieistnienia. W rozdziale trzecim prezentuję dwa sposoby zastosowania stanów splątanych. Pierwszy z nich to supergęste kodowanie, gdzie przy wykorzystaniu jednego kubitu możemy przesłać dwa bity klasyczne. Drugi z zastosowań to teleportacja kwantowa. Pokażę tu, że wykorzystując klasyczne metody przesyłania informacji jest możliwość przesłania jednego kubitu bez jego fizycznego przemieszczenia,. Ostatni rozdział pracy, jest jej rozszerzeniem o pewną dygresję z wykorzystaniem stanów splątanych. Przedstawię tam nierówność Bella, której naruszenie zaobserwowane doświadczalnie stanowi dowód na nieklasyczny charakter korelacji w stanie splątanym.

Rozdział 1 Struktura matematyczna mechaniki kwantowej 1.1. Przestrzeń Hilberta Wszystkie fakty podane w tym rozdziale należą do standardowego kanonu wiedzy matematycznej [1]. Definicja 1.1. Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową H, w której określony jest funkcjonał : H H C spełniający warunki: 1. x x 0 x x = 0 x = 0,. x y = y, x, 3. x λy = λ x y dla λ C, 4. x 1 + x y = x 1 y + x y. Uwaga. Punkty i 3 z definicji 1.1 implikują antyliniowość funkcjonału w pierwszej zmiennej λx y = λ x y. W podręcznikach analizy matematycznej (na przykład [6]) przyjmuje się czasami liniowość w pierwszej zmiennej a antyliniowość w drugiej. Funkcjonał, spełniający warunki 1-4 nazywamy iloczynem skalarnym. Za pomocą iloczynu skalarnego można wprowadzić w H rzeczywisty funkcjonał : H R : = x x. (1.1) Stwierdzenie 1.1. Funkcjonał jest normą w H. Stwierdzenie 1.1 pokazuje, że jest sens pytać o zupełność przestrzeni H. Przypomnijmy, że zupełność przestrzeni metrycznej oznacza, że każdy ciąg spełniający warunek Cauchy ego zbieżności ciągu ma granicę należącą do tej przestrzeni. Definicja 1.. Zupełną przestrzeń unitarną nazywamy przestrzenią Hilberta. Przykład 1.1 (Przestrzeń C n ). W przestrzeni C n wprowadźmy iloczyn skalarny elementów x = {x 1,..., x n } i y = {y 1,..., y n } wzorem: n x y = x i y i. (1.) 5 i=1

Łatwo sprawdzić, że jest to przestrzeń unitarna i indukowana tym iloczynem skalarnym norma x = n x i, (1.3) jest zwykłą normą euklidesową, w której ta przestrzeń jest zupełna. Definicja 1.3 (Ortogonalność i baza przestrzeni). Wektory ψ i φ w przestrzeni Hilberta H nazywamy ortogonalnymi, jeżeli ich iloczyn skalarny równy jest zero. Zbiór wektorów przestrzeni Hilberta jest ortogonalny, jeżeli jego elementy są ortogonalne parami. Ortonormalnym nazywamy zbiór ortogonalny o tej własności, że norma każdego elementu wynosi 1. Jeżeli P jest zbiorem ortonormalnym, wówczas mamy: i=1 0 jeśli ψ φ, ψ, φ P ψ φ = 1 jeśli ψ = φ. (1.4) Rozważamy ortonormalny zbiór β wektorów pewnej przestrzeni H (zakładamy, że β jest zbiorem przeliczalnym) i niech każdy element ψ H ma jednocześnie przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów z β, to znaczy ψ = φ β c φ φ, c φ C. (1.5) Zbiór β o takiej własności nazywamy bazą ortonormalną przestrzeni Hilberta. Uwaga. W zastosowaniach fizycznych najważniejsze są przestrzenie z bazą przeliczalną. W informatyce kwantowej wykorzystywane są głównie przestrzenie skończonego wymiaru. 1.. Operatory liniowe Definicja 1.4. Przekształcenie A: H H nazywamy operatorem liniowym, jeżeli dla wszystkich liczb zespolonych c 1, c i dla dowolnych wektorów ψ 1, ψ przestrzeni Hilberta H spełniony jest warunek A(c 1 ψ 1 + c ψ ) = c 1 Aψ 1 + c Aψ. (1.6) Uwaga. W przypadku operatorów będziemy zwykle pomijać nawiasy i zamiast A(φ) pisać Aφ. Złożenie operatorów A i B oznaczamy BA Do celów pracy wyróżniamy następujące typy operatorów: 6

1. Operator A nazywamy sprzężeniem operatora A, jeżeli dla wszystkich wektorów ψ, φ przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek ψ Aψ = A ψ φ.. Jeżeli A = A, to operator A nazywamy samosprzężonym lub hermitowskim, wtedy zachodzi Aφ ψ = φ Aψ. 3. Operator A jest unitarny, jeśli dla dowolnej pary wektorów przestrzeni φ, ψ zachodzi Aψ Aφ = ψ φ. Operator unitarny można przedstawić jako przekształcenie liniowe, do którego istnieje przekształcenie odwrotne A 1 i A 1 = A. Rzeczywiście, z definicji operatora sprzężonego, dla wektorów przestrzeni Hilberta φ, ψ otrzymujemy ψ φ = Aψ Aφ = A Aψ φ, (1.7) czyli A A jest przekształceniem identycznościowym, ponieważ powyższa równość zachodzi dla wszystkich wektorów. 4. Operator P spełniający warunek P = P nazywamy operatorem idempotentnym lub rzutowania. 5. Jeżeli H = W W jest rozkładem przestrzeni Hilberta ma sumę prostą przestrzeni wzajemnie ortogonalnych to każdy wektor ψ w przestrzeni Hilberta H można przedstawić w postaci ψ = φ+φ, gdzie φ W, φ W oraz φ φ = 0. Operator P, który dowolny wektor ψ przekształca w odpowiadający mu wektor φ z przestrzeni W, nazywany jest operatorem rzutowania ortogonalnego na tę przestrzeń. Operatory rzutowania ortogonalnego są samosprzężone i idempotentne. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń Hilberta jest izomorficzna z przestrzenią ciągów liczb zespolonych o skończonej liczbie wyrazów, o której mowa w przykładzie 1.1. Jeżeli w przestrzeni Hilberta H istnieje baza przeliczalna, to wektory tej przestrzeni można przedstawić jak ciągi liczbowe. Definicja 1.5 (Postać macierzowa operatora). Niech B = (φ 1, φ,, φ n ) będzie bazą n-wymiarowej przestrzeni Hilberta, wtedy dowolny wektor przestrzeni ψ będziemy mogli przedstawić w postaci kombinacji liniowej jej elementów n ψ = α k φ k, (φ 1, φ,, φ n ) = B, α 1, α,, α n C. (1.8) k=1 Taka reprezentacja elementów pozwala z każdym operatorem A skojarzyć macierz M A o rozmiarze n n, gdzie n jest wymiarem przestrzeni φ 1 Aφ 1 φ 1 Aφ φ 1 Aφ n φ Aφ 1 φ Aφ φ Aφ n A M A =.. (1.9)..... φ n Aφ 1 φ n Aφ φ n Aφ n 7

Definicja 1.6. Wartością własną operatora A nazywamy taką liczbę zespoloną λ, że dla pewnego wektora φ 0 zachodzi Aφ = λφ. Wektor φ nazywamy wektorem własnym operatora A skojarzonym z wartością własną λ. Stwierdzenie 1.. Wartości własne operatora samosprzężonego są liczbami rzeczywistymi. Dowód. Niech ψ będzie wektorem własnym operatora samosprzężonego operatora A, zaś λ wartością własną skojarzoną z ψ, czyli Aψ = λψ. Wszystkie operatory samosprzężone spełniają dla dowolnych wektorów ψ, φ warunek Aψ φ = ψ Aφ, a w szczególności Aψ ψ = ψ Aψ. Wykorzystując wcześniejsze ustalenia i definicje 1.1 warunek uzyskujemy λ ψ ψ = λψ ψ = Aψ ψ = ψ Aψ = ψ λψ = λ ψ ψ. (1.10) Z definicji iloczynu skalarnego otrzymujemy, że ψ ψ = 0 tylko gdy ψ = 0. Jednak wektor zerowy nie może być wektorem własnym operatora, dlatego λ = λ i λ musi być liczbą rzeczywistą. Stwierdzenie 1.3. Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym operatora samosprzężonego są do siebie ortogonalne. Dowód. Rozważmy ciąg równości λ ψ ψ φ = λ ψ ψ φ = Aψ φ = ψ Aφ = ψ λ φ φ = λ φ ψ φ. (1.11) Mamy zatem λ ψ ψ φ = λ φ ψ φ, a stąd ψ φ = 0 lub λ ψ = λ φ. Z założenia o nierówności wartości własnych λ ψ λ φ i z faktu, że są liczbami rzeczywistymi wnioskujemy, że ψ φ = 0. Warto wspomnieć, że wektory własne jednej wartości własnej λ tworzą podprzestrzeń przestrzeni Hilberta. Przestrzeń tę oznaczamy przez H(λ). Każde dwie przestrzenie H(λ i ) i H(λ j ) są ortogonalne, o ile λ i λ j. W każdej przestrzeni H(λ i ) można wyznaczyć bazę ortonormalną, a zbiór będący sumą mnogościową baz poszczególnych przestrzeni jest ortonormalny w H. Stąd wynika, że operator samosprzężony w przestrzeni skończonego wymiaru n nie może mieć więcej niż n wartości własnych. Twierdzenie 1.1 (Twierdzenie spektralne). Dla danego operatora samosprzeżonego A w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta H zachodzi następujący rozkład na sumę prostą podprzestrzeni H = H(λ 1 ) H(λ )... H(λ k ), (1.1) 8

gdzie λ 1, λ,..., λ k są wartościami własnymi rozważanego samosprzężonego operatora liniowego. Wymiar przestrzeni H(λ i ) jest równy krotności, z jaką λ i jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy, określonego przez det(m A λi). Operator A ma wtedy postać A = k λ j P j, (1.13) j=1 gdzie P j jest rzutowaniem ortogonalnym na H(λ j ). Dowód twierdzenia 1.1 znajduje się w pozycji [9]. Uwaga. Rozkład (1.1) jest równoważny z rozkładem operatora identyczności ma sumę samosprzężonych operatorów rzutowych k I = P j. j=1 1.3. Postulaty mechaniki kwantowej Przestrzenie Hilberta są podstawowym aparatem matematycznym, za pomocą którego fizyka kwantowa opisuje rzeczywistość. Podstawy tego formalizmu zostały omówione w poprzednich punktach, teraz zajmiemy się nadaniem teorii przestrzeni Hilberta fizycznej interpretacji. Postulat 1. Każdemu układowi kwantowemu można przypisać przestrzeń Hilberta, w której określa się kwantowo-mechaniczną teorię tego układu. Stanom kwantowym układu przypisujemy wektory jednostkowe w tej przestrzeni Hilberta. Postulat. Ewolucję układu kwantowego w czasie opisuje operator unitarny, działający w tej przestrzeni. Postulat 3. Każdej mierzalnej wielkości fizycznej odpowiada liniowy operator hermitowski (obserwabla). Postulat 4. Po dokonaniu pomiaru wielkości fizycznej układ kwantowy może znaleźć się w jednym ze stanów własnych liniowego hermitowskiego operatora tej wielkości. Za wartość pomiaru uznaje się wartość własną związaną z tym wektorem. Prawdopodobieństwo pomiaru wartości własnej λ i jeśli układ jest w stanie ψ wynosi p i = ψ P i ψ. Twierdzenie 1.. Wartość oczekiwana wielkości fizycznej związanej z operatorem A przy pomiarze układu w stanie ψ wynosi ψ Aψ. 9

Dowód. Niech A będzie liniowym operatorem hermitowskim wielkości fizycznej, a jego wartościami własnymi liczby λ 1,..., λ k. To wartość oczekiwana pomiary w układzie w stanie ψ dla operatora A wyniesie: k k k k ψ Aψ = P i ψ A P j ψ = P i ψ λ j P j ψ = i=1 j=1 i=1 j=1 k k k = λ j ψ P i P j ψ = λ i ψ P i P i ψ = i=1 j=1 i=1 k k = λ i ψ P i ψ = λ i p i. i=1 i=1 (1.14) W rozdziale. pojawi się jeszcze jeden postulat mechaniki kwantowej dotyczący układów złożonych. 1.4. Proste przykłady Przykład 1.. Rozpatrzmy układ kwantowy mający za przestrzeń Hilberta standardową przestrzeń C ze zwykłym iloczynem skalarnym. Przestrzeń taka opisuje na przykład spin elektronu. Niech Z będzie operatorem hermitowskim danym w bazie standardowej macierzą Z = 1 0 0 1. (1.15) Jak łatwo zauważyć jego wartościami własnymi są ±1, a stanami własnymi wektory oznaczane w informatyce kwantowej symbolami 0 = 1, 1 = 0. (1.16) 0 1 Odpowiednie operatory rzutowe mają postać macierzową P 1 = 1 0, P 1 = 0 0, 0 0 0 1 a rozkład spektralny operatora Z wygląda następująco Z = 1 1 0 + ( 1) 0 0. 0 0 0 1 W przestawionej powyżej interpretacji fizycznej operator Z opisuje pomiar spinu elektronu. W tym kontekście zamiast stanu własnego 0 pisze się czasami (spin do góry), a zamiast stanu własnego 1 pisze się (spin do dołu). 10

Przykład 1.3. Innym ważnym operatorem hermitowskim jest operator X mający postać macierzową X = 0 1 1 0. (1.17) Łatwo zauważyć, że tak jak w przypadku operatora Z jego wartościami własnymi są ±1, z odpowiadającymi unormowanymi wektorami własnymi wektory ± = 1 ( 0 ± 1 ). Jego operatory rzutowe mają postać macierzową P 1 = 1 1 1, P 1 = 1 1 1 1 1 1 1, a rozkład spektralny operatora X wygląda następująco X = 1 1 1 1 + ( 1) 1 1 1 1 1 1 1. Jak łatwo sprawdzić operator X jest również operatorem unitarnym, a odpowiednia ewolucja kwantowa zamienia ze sobą wektory 0 i 1. Z tego względu operator ten nazywa się operatorem kwantowej negacji lub kwantową bramką N OT. Również operator Z może być interpretowany jako operator kwantowej ewolucji. Wyznaczona przez niego ewolucja nie ma jednak odpowiednika klasycznego i nazywana jest zmianą fazy. Przykład 1.4. Jedną z najczęściej stosowanych bramek (elementarny operator wykorzystywany w obliczeniach kwantowych) jest bramka Hadamarda, którą oznaczymy symbolem H. Operator ten przekształca wektory bazy standardowej w wektory ± nazywane w tym kontekście bazą Hadamarda. Bramkę opisuje macierz H = 1 1 1. (1.18) 1 1 Warto zauważyć, że gdy x jest stanem bazowym, czyli x jest równe 0 lub 1, to H x = 1 ( 0 + ( 1) x 1 ) Przykład 1.5. Bramką o którą często można spotkać jest operator, który nazywa się pierwiastkiem kwadratowym negacji i jest oznaczany jako NOT. 1 NOT = 1 i 1 + i. 1 + i 1 i 11

Podejrzewamy, że jeżeli złożymy dwa operatory NOT otrzymamy bramkę NOT. Zatem wykonując działanie NOT NOT, otrzymamy 1 1 i 1 + i 1 + i 1 i 1 1 i 1 + i 1 + i 1 i = 1 4 0 4 4 0 = 0 1 1 0 = NOT. Uwaga. Operator NOT jest unitarny ale nie jest samosprzężony. Pokażemy teraz, że operator NOT jest operatorem unitarnym. Aby operator był unitarny musi zostać spełniony warunek: + NOT NOT = I, gdzie NOT + będzie sprzężeniem hermitowskim postaci + 1 NOT = 1 + i 1 i 1 i 1 + i Sprawdźmy zatem czy dany warunek jest spełniony w tym przypadku. Wykonujemy działanie NOT + NOT = 1 1 + i 1 i 1 i 1 + i 1. 1 i 1 + i = 1 1 + i 1 i 4 Z tego wniosek, że operator NOT jest operatorem unitarnym. 4 0 0 4 = 1 0 0 1 = I. 1

Rozdział Układy złożone i stany splątane.1. Iloczyn tensorowy Definicja.1. Niech dane będą przestrzenie Hilberta H n z bazą ortonormalną (x 1,..., x n ) i H m z bazą ortonormalną (y 1,..., y m ). Iloczyn tensorowy przestrzeni H n i H m jest przestrzenią Hilberta oznaczoną przez H n H m. Bazę ortonormalną tej przestrzeni stanowią wektory x i y j nazywane iloczynem tensorowym wektorów bazowych x i oraz y j. Iloczyn tensorowy wektorów innych niż wektory bazowe definiuje się w taki sposób, aby był on dwuliniowy: ( n ) m n m α i x i β j y j = α i β j x i y j. (.1) i=1 j=1 i=1 j=1 Uwaga. Chociaż w definicji użyliśmy konkretnych baz to można pokazać [9], że konstrukcja przestrzeni H n H m od tych baz nie zależy. Elementy przestrzeni H n H m które można przedstawić w postaci v w, gdzie v H n, a w H m nazywamy tensorami prostymi. Jak łatwo sprawdzić iloczyn skalarny dwóch tensorów prostych wynosi v 1 w 1 v w = v 1 v w 1 w. Przykład.1. Jeżeli mamy dwie przestrzenie wektorowe takie, że H 1 = H = C, z bazą ortonormalną { 0, 1 }, to iloczyn tensorowy tych dwóch przestrzeni tworzy czterowymiarową przestrzeń C C z bazą ortonormalną { 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 }. Przy opisie układów kwantowych pomijamy symbol i stosujemy notację bliższą historycznej idei traktowania x i y j jako pary (x i, y j ): x i y j = x i y j = x i, y j = x i y j. Bazę ortonormalną tej czterowymiarowej przestrzeni można przedstawić jako { 00, 01, 10, 11 }. 13

Definicja.. Jeżeli operator A działa w przestrzeni H 1 i B działa w przestrzeni H to iloczyn tensorowy A B operatorów A i B definiuje się na tensorach prostych jako (A B)(u v) = (Au) (Bv), gdzie u H 1 i v H, a następnie rozszerza się przez liniowość na pozostałe elementy przestrzeni H 1 H. Uwaga (1). Każdy operator działający w iloczynie tensorowym H 1 H przestrzeni skończenie wymiarowych może być przedstawiony w postaci skończonej sumy A i B i, gdzie A i działa w H 1, a B i działa w H. Uwaga (). Niech A 1, A będą operatorami liniowymi działającymi w przestrzeni H 1 oraz B 1, B będą operatorami liniowymi działającymi w przestrzeni H, to wtedy zachodzi równość: (A 1 B 1 )(A B ) = (A 1 A ) (B 1 B ). Jeśli mamy podane postacie macierzowe operatorów A oraz B to forma macierzowa ich iloczynu tensorowego jest reprezentowana przez tak zwany iloczyn Kroneckera macierzy. Definicja.3. Iloczynem Kroneckera macierzy A M m n i macierzy B M k l nazywamy macierz wymiaru mn nl postaci A B = A 11 B A 1 B A 1n B A 1 B A B A n B.. (.)..... A m1 B A m B A mn B Uwaga. Iloczyn Kroneckera daje reprezentację macierzową iloczynu tensorowego operatorów zgodnego z mnożeniem rozważanym w uwadze () po definicji.. Przykład.. Używając iloczynu Kroneckera macierzy składających się z jednej kolumny i reprezentujących wektory możemy przedstawić odpowiednią postać bazy { 00, 01, 10, 11 } przestrzeni C C. W postaci wektorowej będą one wyglądały następująco: 1 0 0 0 0 1 0 0 00 =, 01 =, 10 =, 11 =. 0 0 1 0 0 0 0 1 14

Przykład.3. Niech X = 0 1 oraz Y = 0 i, to iloczyn tensorowych tych 1 0 i 0 dwóch macierzy będzie wyglądał następująco 0 0 0 i X Y = 0 Y 1 Y 0 0 i 0 =. 1 Y 0 Y 0 i 0 0 i 0 0 0 Uwaga. Trójka macierzy X, Y, Z nazywana jest w fizyce kwantowej macierzami Pauliego. Są to macierze unitarne i hermitowskie. Macierze te mają następujące właściwości X = Y = Z = I, XY = iz, Y Z = ix, XZ = iy. Przykład.4. Niech dane będą macierze X = 0 1 oraz I = 1 0. Rozważmy 1 0 0 1 dwa iloczyny tensorowe tych macierzy X I oraz I X. Jako pierwszy obliczymy 0 0 1 0 X I = 0 I 1 I 0 0 0 1 =, 1 I 0 I 1 0 0 0 0 1 0 0 następnie obliczmy I X = 1 X 0 X 0 X 1 X = 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0. Jak można zauważyć X I I X, z tego wniosek, że iloczyn tensorowy jest nieprzemienny. Przykład.5. Przykładem operatora działającego w przestrzeni C C, który nie daje się przedstawić w postaci iloczynu tensorowego dwóch operatorów działających w przestrzeni C jest bramka kontrolowanej negacji CNOT, która dla x, y {0, 1} dokonuje operacji CNOT x, y = x, y x, (.3) gdzie oznacza alternatywę wykluczającą (dodawanie modulo ): 0 0 = 0, 0 1 = 1, 1 0 = 1, 1 1 = 0. 15

x x y x y Rysunek.1. Schemat działania bramki CN OT Neguje ona drugi kubit jeśli pierwszy jest równy 1, a nie zmienia go gdy pierwszy kubit jest równy 0. W bazie z przykładu. ma ona postać macierzową 1 0 0 0 0 1 0 0 CNOT =. (.4) 0 0 0 1 0 0 1 0 Operator ten możemy przedstawić jako następującą sumę CNOT = 1 0 0 0 I + 0 0 0 1 X (.5) Fakt.1. Nie istnieją macierze A, B takie, że CNOT = A B. Dowód. Załóżmy, że istnieją takie macierze przestawić w postaci A B. Niech A oraz B będą postaci A = a 11 a 1 a 1 a, B = A, B, że możemy bramkę CN OT b 11 b 1 b 1 b Iloczyn tensorowy macierzy A, B ma następującą postać. A B = a 11B a 1 B a 1 B a B. Porównując A B z bramką CNOT otrzymujemy a 11 B = 1 0 0 1, a B = 0 1 1 0 Z tego wnioskujemy, że a 11 0 oraz a 0. W następnym kroku sprawdzając współczynniki macierzy a 11 B, widzimy że a 11 b 11 = 1, czyli b 11 0. Z macierzy a B dostajemy a b 11 = 0, co by oznaczało, że b 11 = 0. Otrzymaliśmy więc sprzeczność. 16.

.. Układy złożone Załóżmy, że jesteśmy zainteresowani złożonym układem kwantowym składającym się z dwóch lub więcej podukładów fizycznych. Jak powinniśmy opisać ten układ złożony? Następny postulat opisuje jak przestrzeń stanów układu złożonego zbudowana jest z przestrzeni stanów podukładów. Postulat 5. Przestrzeń stanów złożonego układu fizycznego jest iloczynem tensorowym przestrzeni stanów podukładów składowych. Ponadto, jeżeli mamy podukłady ponumerowane od 1 do n, a podukład o numerze i jest przygotowany w stanie ψ i, wtedy łączny stan układu złożonego jest postaci ψ 1 ψ ψ n. Postulat 5 również pozwala na określenie jednego z najciekawszych i zagadkowych pomysłów związanych z złożonym układem kwantowym - splątanie. Rozważmy stan dwóch kubitów ψ = 00 + 11. (.6) Stan ten ma niezwykłą właściwość, że nie istnieją pojedyncze stany kubitu a oraz b takie, że ψ = a b, to znaczy, że ψ nie jest tensorem prostym. Fakt.. ψ a b zachodzi dla wszystkich pojedynczych kubitów a oraz b. Dowód. Załóżmy, że mamy złożony układ kwantowy ψ dany wzorem (.6) który chcemy zapisać jako ψ = a + b, gdzie a = α 1 0 +β 1 1 oraz b = α 0 +β 1. Wtedy otrzymujemy 00 + 11 = α 1 α 00 + α 1 β 01 + β 1 α 10 + β 1 β 11. Porównujemy współczyniki przy wektorach bazy przestrzeni C C : współczynnik przy 00 daje α 1 α = 1, czyli α 1 0 α 0, z kolei współczynnik przy 01 daje α 1 β = 0, co na mocy α 1 0 implikuje β = 0. Jest to w sprzeczności z warunkiem β 1 β = 1 uzyskanym z porównania współczynnika przy 11. Mówimy, że stan układu złożonego o tej własności (nie można go zapisać jako iloczynów stanów składowych układu) jest stanem splątanym. Stany splątane odgrywają kluczową rolę w obliczeniach i informacji kwantowej. W podrozdziale 3. pokażemy, że pełnią one ważną funkcję w teleportacji kwantowej. 17

.3. Kopiowanie stanów kwantowych Kopiowanie informacji to pewien sposób jej przetwarzania. To operacja często stosowana i pożądana. W informatyce kwantowej taka operacja nazywana jest kopiowaniem stanów układu kwantowego. Definicja.4. Unitarny operator U w przestrzeni H n H n nazywamy kwantową maszyną kopiującą, jeżeli dla dowolnego stanu x H n oraz dla ustalonego stanu x 0 H n zachodzi U( x x 0 ) = U( x x 0 ) = x x. (.7) Stan x 0 to stan na którym zamierzamy zapisać kopię. Twierdzenie.1. Dla n kwantowa maszyna kopiująca nie istnieje. Dowód. Rozpatrzmy dowód nie wprost. Załóżmy, że maszyna kopiująca istnieje. Oprócz stanu x 0 wybieramy ortogonalny do niego stan x 1 (jest to możliwe bo n ). Z definicji maszyny kopiującej mamy U( x 0 x 0 ) = x 0 x 0, U( x 1 x 0 ) = x 1 x 1. Dodając obie równości stronami otrzymujemy U( x 0 x 0 ) + U( x 1 x 0 ) = 1 ( x 0 x 0 + x 1 x 1 ). (.8) Z liniowości operatora U lewą stronę przekształcamy do postaci ( ) x0 + x 1 U x 0 = x 0 + x 1 x 0 + x 1 = = 1 ( x 0 x 0 + x 0 x 1 + x 1 x 0 + x 1 x 1 ), (.9) gdzie zastosowaliśmy też definicję kwantowej maszyny kopiującej. Porównując prawe strony równości (.8) i (.9) dochodzimy do sprzeczności, zatem maszyna kopiująca U nie istnieje. Teza podanego twierdzenia nie oznacza jednak, że nie można skopiować żadnych stanów. Stany bazowe mogą zostać skopiowane. Poniżej zaprezentuję tego przykład. Przykład.6. W przestrzeni C wektory bazy { 0, 1 } możemy kopiować na stan 0 przy użyciu bramki CNOT, omówionej w przykładzie.5. Wtedy to dla y = 0 oraz x {0, 1} otrzymujemy CNOT x, 0 = x, 0 x = x, x. 18

x x 0 x Rysunek.. Schemat kopiowania stanów bazowych przy użyciu bramki CN OT Przykład.7. Opisane powyżej kopiowanie stanów bazowych w przestrzeni C możemy w łatwy sposób uogólnić do kopiowania stanów bazowych przestrzeni n-kubitowych (C ) n. Posłużymy się konkretnym przykładem dla n = przestrzeni C C z bazą { 00, 01, 10, 11 } CNOT 13 CNOT 4 x 0 x 1 00 = x 0, x 1 0 x 0, 0 x 1 = x 0 x 1 x 0 x 1. Użyliśmy tu standardowej notacji A ij do oznaczenia operatora działającego jak dwukubitowy operator A w i-tym i j-tym kubicie, a w pozostałych jako operator identycznościowy. 1 x 0 x 0 x 1 x 1 3 0 x 0 4 0 x 1 Rysunek.3. Schemat kopiowania wektorów bazowych przestrzeni C C przy użyciu dwóch bramek CNOT

Rozdział 3 Zastosowanie stanów splątanych 3.1. Supergęste kodowanie Na początek zadajmy pytanie, czy istnieje możliwość przesyłania kanałem kwantowym bitów klasycznych, oraz z jakim skutkiem? Przedstawiam poniżej protokół schematu przesyłania dwóch bitów klasycznych przy użyciu jednego kubitu. lab. 0 H A 00 : I 01 : X 10 : Z 11 : XZ H B 0 Rysunek 3.1. Schemat kanału kwantowego Układ przygotowany przez laboratorium według schematu będzie postaci: 0 A 0 B H 1 0 A + 1 A 0 B = 0 A0 B + 1 A 0 B CNOT 0 A0 B + 1 A 1 B. Protokół kodowania supergęstego: 1. Nadawca (Alicja) wykonuje na swoim kubicie operację a) Jeżeli chce przesłać bity postaci 00 wykonuje na swoim kubicie operację I. b) Jeżeli chce przesłać bity postaci 01 wykonuje na swoim kubicie operację X. c) Jeżeli chce przesłać bity postaci 10 wykonuje na swoim kubicie operację Z. d) Jeżeli chce przesłać bity postaci 11 wykonuje na swoim kubicie operację XZ. 0

Bity do przesłania Stan po operacji Alicji 00 1 ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) 01 1 ( 1 A 0 B + 0 A 1 B ) 10 1 ( 0 A 0 B 1 A 1 B ) 11 1 ( 1 A 0 B 0 A 1 B ). Alicja przekazuje swój kubit odbiorcy (Bob). 3. Bob ma dostęp do obu kubitów, dlatego wykonuje na nich operacje CNOT i H. Wszystkie możliwe rezultaty zaprezentowano poniżej w tabeli: Bity do przesłania Stan po operacji Alicji Stan po operacji Boba 00 1 ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) 00 01 1 ( 1 A 0 B + 0 A 1 B ) 01 10 1 ( 0 A 0 B 1 A 1 B ) 10 11 1 ( 1 A 0 B 0 A 1 B ) 11 4. Bob dokonuje pomiaru swoich kubitów, jak zauważyć można z tabeli powyżej bity zostały odtworzone poprawnie. Odpowiadając na pytanie zadane na początku podrozdziału. Tak, istnieje możliwość przesyłania bitów klasycznych kanałem kwantowym. Taka operacja nazywa się kodowaniem supergęstym, ponieważ pozwala przesłać dwa bity klasyczne wykorzystując przy tym jeden bit kwantowy. 3.. Teleportacja kwantowa Teleportacja jest innym interesującym zastosowaniem stanów splątanych, które mogą być wykorzystywane do przesyłania informacji kwantowej. Załóżmy, że Alicja chce przesłać do Boba informację dotyczącą stanu spinu połówkowego ϕ C cząstki C ϕ C = λ 0 C + µ 1 C, 1

który nie jest znany, bez przesłania mu bezpośrednio tej cząstki. Nie możemy dokonać pomiaru spinu tej cząstki, ponieważ pomiar rzutowałby ψ C na inny stan. Aby przesłać informację potrzebujemy dodatkowej pary cząstek A i B o spinie połówkowym, którą dzielą Alicja i Bob. Cząstki te muszą znajdować się w stanie splątanym, na przykład ψ AB = 1 ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ). Stan początkowy trzech cząstek wynosi: φ CAB = (λ 0 C + µ 1 C ) 1 ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) = = λ 0 C ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) + µ 1 C ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ). (3.1) Alicja poddaje kubity C i A najpierw działaniu bramki CNOT. Po tej operacji φ CNOT CA φ otrzymamy φ CAB = λ 0 C ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) + µ 1 C ( 1 A 0 B + 0 A 1 B ). (3.) Następnie stosuje bramki Hadamarda φ H C φ do kubitu C: φ CAB = λ + µ 1 ( 0 C + 1 C )( 0 A 0 B + 1 A 1 B )+ 1 ( 0 C 1 C )( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) = = 1 [λ 0 C0 A 0 B + λ 0 C 1 A 1 B + λ 1 C 0 A 0 B + λ 1 C 1 A 1 B ]+ (3.3) + 1 [µ 0 C0 A 0 B + µ 0 C 1 A 1 B + µ 1 C 1 A 0 B + µ 1 C 0 A 1 B ]. C A H Rysunek 3.. Schemat działania Alicji Jeżeli wydzielimy kubit Boba, to stan układu po operacjach dokonanych przez Alicję możemy zapisać w postaci φ CAB = 1 0 C0 A (λ 0 B + µ 1 B )+ + 1 0 C1 A (λ 1 B + µ 0 B )+ + 1. (3.4) 1 C0 A (λ 0 B µ 1 B )+ + 1 1 C1 A (λ 1 B µ 0 B )

Ostatnia operacja Alicji polega na zmierzeniu dwóch kubitów C i A w bazie obliczeniowej. Możliwymi do otrzymania wynikami są (każdy z prawdopodobieństwem 1) 4 Wynik Alicji Stan po obserwacji 00 0 C 0 A (λ 0 B + µ 1 B ) 01 0 C 1 A (λ 1 B + µ 0 B ) 10 1 C 0 A (λ 0 B µ 1 B ) 11 1 C 1 A (λ 1 B µ 0 B ) Alicja wysyła do Boba wynik obserwacji kanałem klasycznym. Bob po odczytaniu wiadomości, w zależności od informacji jakie uzyskał może wykonać na swoim kubicie jedną z czterech operacji 1. Otrzymuje 00, to nie musi nic robić bo jego kubit jest już w stanie jaki powinien otrzymać.. Otrzymuje 01, to musi zadziałać na swój kubit bramką negacji X = 0 1. 1 0 3. Otrzymuje 10, to musi zadziałać na swój kubit bramką zmiany fazy Z = 1 0. 0 1 4. Otrzymuje 11, to musi zadziałać na swój kubit najpierw bramką negacji X, a następnie bramką zmiany fazy Z.

Rozdział 4 Nierówności Bella Nierówności Bella stanowią dowód na nieklasyczny charakter korelacji w stanie splątanym. Rozważmy wstępnie przykład w którym Alicja i Bob posiadają splątaną parę kubitów postaci: 01 10. Zakładamy że Alicja i Bob są daleko od siebie. Alicja dokonuje pomiaru obserwabli Z, może otrzymać wynik ±1. Jeśli otrzyma +1 to jak można zauważyć Bob mierząc Z na swoim kubicie otrzyma wynik 1. Podobnie, jeżeli Alicja zmierzy na swoim kubicie 1 to Bob z pewnością na swoim kubicie zmierzy +1. Pomiary są skorelowane zarówno w opisie klasycznym jak i kwantowym. Wykonamy teraz eksperyment, który został przedstawiony na rysunku 4. Laboratorium przygotowuje dwie cząstki, zakładamy że takich par cząstek możemy stworzyć wiele. Przygotowane cząstki wysyłamy jedną do Alicji a drugą do Boba. W momencie jak Alicja otrzymuje swoją cząstkę wykonuje na niej pomiar. Zakładamy, że posiada ona dwie różne aparatury pomiarowe. Pomiary te oznaczam odpowiednio P Q i P R. Alicja nie wie z góry, którym urządzeniem wykona pomiar. Wręcz przeciwnie, gdy otrzymuje swoją cząstkę to rzuca monetą lub wykorzystuje inną losową metodę do zdecydowania jakim urządzeniem wykona pomiar. Dla uproszczenia możemy założyć, że każdy pomiar może dać jeden z dwóch wyników ±1. Załóżmy, że cząstka Alicji ma wartość Q dla własności P Q. Klasycznie przyjmuje się, że Q jest obiektywną własnością cząstki Alicji, która ujawnia się dopiero podczas pomiaru. Podobnie, niech R oznacza wartość, przy pomiarze własności P R. Możemy również założyć, że Bob może mierzyć jedną z dwóch własności P S oraz P T, po raz kolejny zakładamy istnienie S i T które przyjmują wartości ±1, dla danych własności. Bob nie decyduje wcześniej, którą wartość będzie mierzył, lecz gdy otrzyma swoją cząstkę wybiera losowo sposób pomiaru. Alicja i Bob dokonują swoich pomiarów w tym samym czasie, w związku z czym, Alicja 4

nie może przekazać wyników pomiaru dla Boba, ponieważ fizycznie informacja nie może poruszać się szybciej niż światło. Alicja Q = ±1 R = ±1 Bob S = ±1 T = ±1 Rysunek 4.1. Konfiguracja eksperymentu Zajmijmy się teraz prostą algebrą z wynikiem QS + RS + RT QT. Zauważmy że QS + RS + RT QT = (Q + R)S + (R Q)T. (4.1) Ponieważ R, Q = ±1, to w wynika z tego, że (Q + R)S = 0 albo (R Q)T = 0. W każdym przypadku łatwo zauważyć ze wzoru (4.1), że QS + RS + RT QT = ±. Załóżmy następnie, że p(q, r, s, t) jest to prawdopodobieństwo i, że przed pomiarem układ jest w stanie, gdzie Q = q, R = r, S = s i T = t. To prawdopodobieństwo może zależeć od tego jak laboratorium przygotowuje eksperymentalne cząstki. Niech E( ) oznacza wartość średnią, zatem otrzymujemy E(QS + RS + RT QT ) = E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ) = = qrst p(q, r, s, t)(qs + rs + rt qt) (4.) qrst p(q, r, s, t) =. Otrzymujemy zatem nierówność E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ). (4.3) Wynik ten jest nazywany nierównością CHSH od inicjałów jej czterech odkrywców (Clauser, Horne, Shimony i Holt). Jest to część większego zbioru nierówności znanej ogólnie jako nierówności Bella, on nazwiska Johna Bella który jako pierwszy przeanalizował ich konsekwencje. Powtarzając eksperyment wiele razy, Alicja i Bob mogą określić każdą wartość po lewej stronie nierówności Bella. Po zakończeniu eksperymentów, Alicja i Bob razem analizują zgromadzone dane. Przeglądają wszystkie eksperymenty, gdzie Alicja mierzy 5

P Q, a Bob mierzy P S. Przez przemnożenie swoich pomiarów, otrzymują wartość próbki QS. Przez uśrednienie tej próbki, mogą oszacować E(QS) z dokładnością ograniczoną liczbą eksperymentów które wykonali. Podobnie, mogą oszacować wszystkie pozostałe wartości z lewej strony nierówności Bella, a tym samym sprawdzić, czy jest ono przestrzegane w rzeczywistym eksperymencie. Wrócimy teraz do mechaniki kwantowej. Wykonamy następujący eksperyment kwantowy. Laboratorium przygotowuje stan dwukubitowy postaci ψ = 01 10. Przekazujemy pierwszy kubit Alicji, a drugi do Boba. Wykonują pomiary poniższych obserwabli: Q = Z 1, S = Z X, R = X 1, T = Z X. Jak łatwo sprawdzić wartości własne każdego z tych operatorów wynosi ±1. Wyznaczymy wartość oczekiwaną pomiaru obserwabli QS. Zapisując, ją w notacji mechaniki kwantowej otrzymujemy QS = 1 0 0 1 1 1 1 1 1 = 1 natomiast kubit ψ w postaci wektorowej wygląda następująco: 1 1 0 0 1 1 0 0, 0 0 1 1 0 0 1 1 ψ = 1 ( 01 10 ) = 1 0 1 1 0. Następnie korzystając z postulatu 4 oraz z twierdzenia 1., wyznaczamy wartość średnią pomiaru wielkości wyznaczonej obserwablą QS E(QS) ψ = QS = ψ QS ψ = 1 [ 1 ] 1 0 1 1 0 1 1 6 = 1 ( ) = 1

wykonując podobne obliczenia dla każdych obserwabli, uzyskamy następujące wartości średnie: QS = 1, RS = 1, RT = 1, QT = 1. Stąd otrzymujemy, QS + RS + RT QT =. Wiemy z równania (4.3), że wyrażenie E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ) ma być mniejsze od dwójki. Jednak tutaj, mechanika kwantowa mówi nam że wartość tego wyrażenia jest równa, co narusza nierówność Bella 4.3 Eksperymenty z zastosowaniem fotonów (cząstek światła) wykonane w celu porównania prognoz fizyki klasycznej z wynikami mechaniki kwantowej potwierdzają słuszność przewidywań mechaniki kwantowej. Istnieją dwa założenia zawarte w dowodzie nierówności (4.3) które są niepewne: 1. Założenie, że własności fizyczne P Q, P R, P S, P T mają wartości określone Q, R, S, T, które występują niezależnie od obserwacji. Znane jest to jako założenia realizmu.. Założenie, że wynik pomiaru Alicji, nie ma wpływu na wynik pomiaru Boba. Znane jest to jako założenie lokalności. Łącznie te założenia są znane jako, założenia lokalnego realizmu. Z pewnością są to założenia intuicyjne i wiarygodne mówiące o tym jak działa świat i pasują do naszych codziennych doświadczeń. Jednak, nierówności Bella łącznie przez doświadczenie pokazuje, że co najmniej jedno z tych założeń nie jest poprawne.

Streszczenie Niniejsza praca skupia się na podstawowych zastosowaniach stanów splątanych w informatyce kwantowej. Pierwszy rozdział posłużył do wprowadzania podstawowych pojęć matematycznych wykorzystywanych w mechanice kwantowej. Między innymi zostało przybliżone pojęcie przestrzeni Hilberta oraz wstępna wiedza o operatorach jak i macierzach, które odgrywają ważną rolę w obliczeniach kwantowych. Następnie przedstawiamy postulaty mechaniki kwantowej. Rozdział drugi posłużył do objaśnienia definicji iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta oraz operatorów liniowych działających w tych przestrzeniach. W następnej kolejności omówiono układy złożone, gdzie wprowadzone zostało pojęcie stanu splątanego. Przedstawiono, tu również pewną dygresję nieistnienia kwantowej maszyny kopiującej. W trzeciej części pracy znajdują się dwa przykłady zastosowania stanów splątanych w informatyce kwantowej: teleportacja kwantowa oraz supergęste kodowanie. Pierwszy z nich przesyła jeden kubit wykorzystując dwa bity klasyczne, natomiast drugie zastosowanie przesłania dwóch bitów klasycznych jednym kanałem kwantowym. Ostatni rozdział pracy przedstawia nierówności Bella. Pokazuje ona niezgodność pomiędzy przewidywaniami w fizyce klasycznej, a obserwacjami w mechanice kwantowej. 8

Abstract In the present work we concentrate on basic applications of entangled states in quantum computer science. In the first chapter we recall elements of the theory of Hilbert spaces, and we discuss operators that play important role in quantum computing. Then we present postulates of quantum mechanics. In the next chapter we define tensor product of the Hilbert spaces and the corresponding tensor product of linear operators. Next, we discuss composite systems, and we introduc the concept of an entangled state. We present here also a digression on non-existence of the quantum copy machines. In the third part of the work we contain two examples of application of entangled states in quantum computing: quantum teleportation and superdense coding. The first of them sends one qubit using two classical bits, while the second one to sends two bits of classical one using one qubit. The final chapter presents the Bell inequality. It shows the disagreement between predictions of classical physics and quantum mechanical observations.

Bibliografia [1] Andrzej Palczewski, Wykłady z analizy funkcjonalnej, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 1989 [] Krzysztof Giaro, Marcin Kamiński, Wprowadzenie do algorytmów kwantowych, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 003 [3] Marian Chudy, Wprowadzenie do informatyki kwantowej, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 011 [4] Mika Hirvensalo, Algorytmy kwantowe, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 004 [5] Michel Le Bellac, Wstęp do informatyki kwantowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 011 [6] Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986 [7] Aleksej Ivanovic Kostrikin, Urij Ivanovic Manin, Algebra liniowa i geometria, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1993 [8] Włodzimierz Mlak, Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 198 [9] Jacek Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978 [10] Michael A. Nilsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, New York 010 30