Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych"

Transkrypt

1 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych mgr inż. Olga Siedlecka Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35

2 Plan seminarium Wstęp Historia Fizyka klasyczna Układy probabilistyczne Mechanika kwantowa Informacja kwantowa Algorytm Grovera Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p./35

3 Wstęp Teoria komputerów kwantowych zawiera piękno niezależnie od tego czy uda się kiedyś zrealizować ja w praktyce. N.D. Mermin Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.3/35

4 Historia Richard Feynman - symulacja ewolucji układów kwantowych na klasycznych maszynach, Rolf Laundauer, Charles H. Bennet - udowodnili, że wszystkie algorytmy, które przeprowadza zwykła maszyna Turinga, moga być przeprowadzone w taki sposób, aby były odwracalne, lata 80 - te, Paul Benioff wykazał, że komputer może działać opierajac się jedynie o operacje kwantowo - mechaniczne, David Deutsch - podał dwa modele obliczeń kwantowych: uniwersalna kwantowa maszynę Turinga i sieć bramek kwantowych Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.4/35

5 Historia 1994r. Peter W. Shor - algorytm rozkładu liczby na czynniki pierwsze przy użyciu zjawisk splatania i superpozycji, 1995r. Lov Grover - zaproponował kwantowy algorytm wyszukiwania informacji w dużych zbiorach danych. 1995r. konferencja w Turynie (we Włoszech) - projekty budowy obwodów kwantowych, 1996r. Christopher R. Monroe, David J.Wineland, H. Jeff Kimble - zbudowali niektóre prototypowe elementy mogace posłużyć do budowy komputera kwantowego, Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.5/35

6 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

7 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Układ fizyczny jest opisany wektorem stanu x R k dla danego k. Zbiór możliwych stanów układu nazywamy przestrzenia fazowa układu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

8 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Układ fizyczny jest opisany wektorem stanu x R k dla danego k. Zbiór możliwych stanów układu nazywamy przestrzenia fazowa układu. Jeżeli stan układu zależy od czasu możemy używać oznaczenia x(t) lub x t. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

9 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Układ fizyczny jest opisany wektorem stanu x R k dla danego k. Zbiór możliwych stanów układu nazywamy przestrzenia fazowa układu. Jeżeli stan układu zależy od czasu możemy używać oznaczenia x(t) lub x t. Jeżeli dwa układy sa opisane stanami x oraz y, to stan układu powstałego z ich połaczenia będzie iloczynem kartezjańskim wektorów stanu podukładów (x, y). Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

10 Układy probabilistyczne W wypadku układów probabilistycznych nie znamy stanu układu z całkowita pewnościa, znamy jedynie rozkład prawdopodobieństwa dla stanów: układ może znajdować się w stanach x 1,x,...,x n z prawdopodobieństwem odpowiednio p 1, p,..., p n, takimi że p 1 + p p n = 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

11 Układy probabilistyczne W wypadku układów probabilistycznych nie znamy stanu układu z całkowita pewnościa, znamy jedynie rozkład prawdopodobieństwa dla stanów: układ może znajdować się w stanach x 1,x,...,x n z prawdopodobieństwem odpowiednio p 1, p,..., p n, takimi że p 1 + p p n = 1. Wyrażenie p 1 [x 1 ]+ p [x ]+...+ p n [x n ], gdzie p i 0 oraz p 1 + p p n = 1, reprezentuje rozkład prawdopodobieństwa i oznacza, że układ znajduje się w stanie x i z prawdopodobieństwem p i. Powyższy rozkład jest nazywany stanem mieszanym, natomiast stany x i sa tzw. stanami czystymi. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

12 Układy probabilistyczne W wypadku układów probabilistycznych nie znamy stanu układu z całkowita pewnościa, znamy jedynie rozkład prawdopodobieństwa dla stanów: układ może znajdować się w stanach x 1,x,...,x n z prawdopodobieństwem odpowiednio p 1, p,..., p n, takimi że p 1 + p p n = 1. Wyrażenie p 1 [x 1 ]+ p [x ]+...+ p n [x n ], gdzie p i 0 oraz p 1 + p p n = 1, reprezentuje rozkład prawdopodobieństwa i oznacza, że układ znajduje się w stanie x i z prawdopodobieństwem p i. Powyższy rozkład jest nazywany stanem mieszanym, natomiast stany x i sa tzw. stanami czystymi. Każdy układ można uczynić probabilistycznym przy użyciu układu pomocniczego. W taki sposób sa konstruowane algorytmy probabilistyczne: algorytm sam w sobie jest ściśle deterministyczny, natomiast korzysta on z bitów losowych. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

13 Układy probabilistyczne Załóżmy, że ewolucja czasowa układu ze stanami czystymi x 1,x,...,x n zależy od układu pomocniczego ze stanami czystymi o oraz r, w taki sposób, że stan układu złożonego (x i,o) przechodzi w ustalonym przedziale czasu w stan (x o(i),o), natomiast stan (x i,r) przechodzi w (x r(i),r), gdzie o,r : {1,...,n} {1,...,n} sa pewnymi funkcjami. Układ ze stanami o oraz r jest układem sterujacym, który w stanie mieszanym nazywamy randomizerem. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.8/35

14 Układy probabilistyczne Załóżmy, że ewolucja czasowa układu nie jest deterministyczna i układ zmienia się w taki sposób, iż każdy stan przechodzi w rozkład x i p 1i [x 1 ] + p i [x ] p ni [x n ] gdzie p 1 + p p n = 1 dla każdego i. Wielkość p ji jest prawdopodobieństwem, że układ znajdujacy się w stanie x i przejdzie do stanu x j. W danym przedziale czasu rozkład p 1 [x 1 ] + p [x ] p n [x n ] przechodzi w p 1 (p 11 [x 1 ] p n1 [x n ]) p n (p 1n [x 1 ] p nn [x n ]) = = (p 11 p p 1n p n )[x 1 ] (p n1 p p nn p n )[x n ] = = p 1 [x 1 ] + p [x ] p n[x n ], p i = p i1 p p in p n. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.9/35

15 Układy probabilistyczne Prawdopodobieństwa p i oraz p i zwiazane sa zależnościa: p 1 p. p n = p 11 p 1... p 1n p 1 p... p n p n1 p n... p nn Przy czym zachodzi p 1i + p i p ni = 1, co zapewnia spełnienie równości p 1 + p p n = p 1 + p p n. Macierz o takiej własności nazywa się macierza Markowa, natomiast układ probabilistyczny zmieniajacy się w czasie w sposób opisany powyżej - łańcuchem Markowa. p 1 p. p n Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.10/35

16 Mechanika kwantowa W mechanice kwantowej stan n-poziomowego układu jest reprezentowany przez wektor jednostkowy w n-wymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej H n, która nazywamy przestrzenia stanów układu. Wybierzmy w przestrzeni stanów H n bazę ortonormalna { x 1, x,..., x n }. Wektory bazowe x i nazywamy stanami bazowymi. Dowolny stan układu kwantowego można przedstawić w postaci superpozycji stanów bazowych: α 1 x 1 + α x α n x n gdzie α i sa liczbami zespolonymi nazywanymi amplitudami prawdopodobieństwa względem wybranej bazy. Warunek unormowania wektora stanu wymaga, by spełniały one równanie α 1 + α α n = 1 Prawdopodobieństwo zaobserwowania własności x i wynosi α 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.11/35

17 Informacja kwantowa - qubity Bitem kwantowym (qubitem) nazywać będziemy dwupoziomowy układ kwantowy. W dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej H wybierzmy bazę ortonormalna B = { 0, 1 }, tzw. bazę obliczeniowa. Stany 0 i 1 nazywamy stanami bazowymi. Dowolny stan qubitu można przedstawić w postaci superpozycji stanów bazowych: α α 1 1 o jednostkowej normie, tzn. α 0 + α 1 = 1, liczby α 0 i α 1 sa amplitudami stanów bazowych, odpowiednio 0 i 1.Mówimy, że obserwacja (odczyt) qubitu daje wynik 0 lub 1 z prawdopodobieństwem odpowiednio α 0 i α 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35

18 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Unarna (jednoargumentowa) bramka kwantowa nazywamy operację na qubicie, której odpowiada unitarne odwzorowanie U : H H. Unarna bramka kwantowa definiuje liniowa operację 0 a 0 + b 1 1 c 0 + d 1 taka, że macierz: a c b d jest unitarna, tzn. a c b d a b c d = Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.13/35

19 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka kwantowej negacji: M = M 0 = 1 M 1 = 0 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.14/35

20 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka kwantowej negacji: M = M 0 = 1 M 1 = 0 Pierwiastek kwadratowy z negacji: M = 1+i 1 i 1 i 1+i M M = M M 0 = 1 + i i 1 M 1 = 1 i i 1 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.14/35

21 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka Hadamarda-Walsha: W = W 0 = W 1 = W W 0 = 0 interferencja konstruktywna W W 1 = 1 interferencja destruktywna Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.15/35

22 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka Hadamarda-Walsha: W = W 0 = W 1 = Bramka zmiany fazy: W W 0 = 0 interferencja konstruktywna W W 1 = 1 interferencja destruktywna Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.15/35

23 Informacja kwantowa - pary qubitów Stany układu dwóch bitów kwantowych tworza czterowymiarowa przestrzeń Hilberta H 4 = H H z baza ortonormalna { 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 }. Stan układu dwóch qubitów jest wektorem: α α α 10 + α 3 11 o jednostkowej normie, tzn. α 0 + α 1 + α + α 3 = 1. Odczyt układu dwóch qubitów daje wynik 00, 01, 10, 11 z prawdopodobieństwem odpowiednio α 0, α 1, α, α 3. Jeżeli chcemy odczytać stan jednego z qubitów, to dla pierwszego otrzymamy 0 z prawdopodobieństwem α 0 + α 1, zaś 1 z prawdopodobieństwem α + α 3. Analogicznie dla drugiego qubitu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.16/35

24 Informacja kwantowa - splatanie Stan układu dwóch qubitów z H 4 jest rozkładalny, jeżeli można go przedstawić za pomoca w postaci iloczynu tensorowego stanów z przestrzeni H, z = x x. Stan, który nie jest rozkładalny, jest splatany. Stan 1 ( ) jest rozkładalny: 1 1 ( ) = ( ) 1 ( ) Stan 1 ( ) jest splatany, odczyt każdego qubitu z osobna da wynik 0 lub 1 z jednakowym prawdopodobieństwem.odczyt układu jako całości da zawsze qubity o jednakowej wartości. Para takich qubitów jest nazywana para EPR (Einstein, Podolski, Rosen). Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.17/35

25 Informacja kwantowa - bramki binarne Binarna bramka kwantowa nazywamy operację na parach qubitów, której odpowiada unitarne odwzorowanie U : H 4 H 4. Bramka sterowanej negacji: M cnot = M cnot 00 = 00 M cnot 01 = 01 M cnot 10 = 11 M cnot 11 = 10 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.18/35

26 Informacja kwantowa - bramki binarne Bramka Hadamarda-Walsha: W 4 = W W = Dla dowolnych x 0,x 1 {0,1} zachodzi W 4 x 0 x 1 = 1 ( 0 + ( 1)x 0 1 )( 0 + ( 1) x 1 1 ) = = 1 ( 00 + ( 1)x ( 1) x ( 1) x 0+x 1 11 ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.19/35

27 Informacja kwantowa - rejestry Uporzadkowany układ m qubitów będziemy nazywać rejestrem kwantowym o długości m. Przestrzeń stanów takiego układu jest m-krotnym iloczynem tensorowym H m = H... H, natomiast stany bazowe maja postać { x : x {0,1} m } Jeżeli x = x 1...x m utożsamimy z liczba zapisana w systemie dwójkowym, to można powiedzieć, że stany bazowe maja postać { a : a {0,1,..., m 1}} Stan układu m-qubitów ma postać: α α α m 1 m 1 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.0/35

28 Informacja kwantowa - nieklonowanie Rozważmy układ kwantowy o n stanach bazowych a 1,..., a n. Wyróznijmy stan a 1 jako stan, na którym będziemy dokonywać zapisu informacji. Unitarne odwzorowanie w przestrzeni H n H n nazywamy kwantowa maszyna kopiujac a, jeżeli dla dowolnego stanu x H n zachodzi U( x a 1 ) = x x. Twierdzenie o nieklonowaniu: Dla n > 1 kwantowa maszyna kopiujaca nie istnieje. Możliwe jest jedynie otrzymanie kopii stanów bazowych. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35

29 Informacja kwantowa - obserwacja Postulat rzutowania: po dokonaniu pomiaru układ znajduje się w jednym ze swoich stanów bazowych. Załóżmy, że przeprowadzamy pomiar na układzie w stanie: α 1 x 1 + α x α n x n Otrzymaliśmy w wyniku x k, co za tym idzie układ jest w stanie bazowym x k. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p./35

30 Informacja kwantowa - obserwacja Rozpatrzmy układ złożony: n i=1 m α i j x i y j j=1 obserwacja pierwszego podukładu dała w wyniku x k z prawdopodobieństwem P(k) = m j=1 α k j, zatem układ znajduje się w stanie: 1 P(k) m j=1α k j x k y j Przejście pierwszego ze stanów w drugi jest nieodwracalne, a zatem niezgodne z zasada ewolucji unitarnej. Proponowane rozwiazanie to wprowadzenie układu pomocniczego, do którego kopiujemy stany bazowe x i x 1 x i x i. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.3/35

31 Informacja kwantowa - teleportacja Załóżmy, że Alicja i Bob, to dwie komunikujace się ze soba strony, Alicja jest w posiadaniu qubitu a 0 + b 1, który chce teleportować. Teleportacja kwantowa jest możliwa, jeżeli obie strony posiadaja qubity splatane ze soba, np. 1 ( ). Przyjmijmy, że qubit lewy należy do Alicji, zaś prawy do Boba. Stan złożonego układu ma postać: (a 0 + b 1 ) 1 ( ) = = a a b b 1 11 = = a a b b 111 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.4/35

32 Informacja kwantowa - teleportacja Protokół teleportacji: Alicja wykonuje na swoich qubitach operację sterowanej negacji: a a b b 101 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.5/35

33 Informacja kwantowa - teleportacja Protokół teleportacji: Alicja wykonuje na swoich qubitach operację sterowanej negacji: a a b b 101 Alicja wykonuje transformatę Hadamarda-Walsha na lewym qubicie: a 1 ( ) 00 + a 1 ( ) 11 + b 1 ( 0 1 ) 10 + b 1 ( 0 1 ) 01 = a a a a b 010 b b 001 b 101 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.5/35

34 Informacja kwantowa - teleportacja Wydzielamy qubit Boba: 1 00 a a a a b b b b 1 = Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

35 Informacja kwantowa - teleportacja Wydzielamy qubit Boba: 1 00 a a a a b b b b 1 = 1 00 (a 0 + b 1 ) (a 1 + b 0 ) (a 0 b 1 ) (a 1 b 0 ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

36 Informacja kwantowa - teleportacja Wydzielamy qubit Boba: 1 00 a a a a b b b b 1 = 1 00 (a 0 + b 1 ) (a 1 + b 0 ) (a 0 b 1 ) (a 1 b 0 ) Alicja przeprowadza obserwacje stanu swoich dwóch qubitów i przesyła jej wynik do Boba. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35

37 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

38 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Jeżeli Bob otrzymał 01, wykonuje na swoim qubicie operację negacji. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

39 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Jeżeli Bob otrzymał 01, wykonuje na swoim qubicie operację negacji. Jeżeli Bob otrzymał 10, wykonuje operację zmiany fazy. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

40 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Jeżeli Bob otrzymał 01, wykonuje na swoim qubicie operację negacji. Jeżeli Bob otrzymał 10, wykonuje operację zmiany fazy. Jeżeli Bob otrzymał 11, wykonuje operację negacji, a następnie zmiany fazy. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35

41 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Załóżmy, że Alicja tym razem nie chce przesłać stanu dodatkowego qubitu, ale zwykła parę bitów. Jest to operacja komplementarna do teleportacji, a nazywamy ja kodowaniem supergęstym. Alicja posiada dwa klasyczne bity b 1 i b oraz lewy qubit pary EPR, Bob posiada prawy qubit pary EPR: 1 ( ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.8/35

42 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Protokół kodowania supergęstego: Alicja wykonuje operacje na swoim qubicie w zależności od wartości bitów b 1 i b b 1 b Operacja wykonana przez Alicję ( ) ( ) ( ) ( ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.9/35

43 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Protokół kodowania supergęstego: Alicja wykonuje operacje na swoim qubicie w zależności od wartości bitów b 1 i b b 1 b Operacja wykonana przez Alicję ( ) ( ) ( ) ( ) Alicja przesyła swój qubit Bobowi Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.9/35

44 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Bob wykonuje na obu qubitach bramkę kwantowa zdefiniowana przez macierz: B = Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.30/35

45 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Bob wykonuje na obu qubitach bramkę kwantowa zdefiniowana przez macierz: B = Bob po wykonaniu operacji otrzymuje wartości bitów b 1 i b Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.30/35

46 Algorytm wyszukiwania Grovera Dany jest nieuporzadkowany zbiór S zawierajacy n -elementów, szukamy w nim elementu y. Dana jest również funkcja f : S {0,1}, w przypadku wyszukiwania kwantowego funkcja f ma postać: f : F n F, gdzie F jest ciałem o dwóch elementach 0 i 1. Dodawanie i mnożenie zdefiniowane sa następujaco: = = 0, = 1, 0 0 = 0 1 = 0, 1 1 = 1 Funkcja f jest określona: f (x) = 1 x = y 0 x y Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.31/35

47 Algorytm wyszukiwania Grovera Algorytm Grovera, to algorytm wyszukiwania probabilistycznego, tzn. nie będziemy wymagać, aby algorytm zawsze znajdował taki x, że f (x) = 1, chcemy jedynie, aby dawał poprawny wynik z niezerowym prawdopodobieństwem (0 < p 1). Algorytm ma charakter iteracyjny, w każdym kroku stan bazowy odpowiadajacy szukanemu elementowi ma zmieniana fazę, poza tym następuję obrót wokół średniej wszystkich amplitud, a także wzmocnienie amplitudy szukanego stanu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.3/35

48 Algorytm wyszukiwania Grovera Etapy algorytmu wyszukiwania Grovera: Posługujac sie transformata Hadamarda H n normalizujemy rejestr φ = 0 (n) : H n x = 1 n y F n ( 1) xy y φ 0 = H n 0 (n) = 1 n x x F n Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.33/35

49 Algorytm wyszukiwania Grovera Etapy algorytmu wyszukiwania Grovera: Posługujac sie transformata Hadamarda H n normalizujemy rejestr φ = 0 (n) : H n x = 1 n y F n ( 1) xy y φ 0 = H n 0 (n) = 1 n x x F n Stosujemy operator G n (operator Grovera), 1 4 Π n razy, gdzie G n = H n R n H n V f H n - transformata Hadamarda R n - operator kwantowy, V f - zmodyfikowany operator sprawdzenia Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.33/35

50 Algorytm wyszukiwania Grovera G n = H n R n H n V f H n x = 1 n y F n ( 1) xy y R n 0 = 0, R n x = x, gdy x 0 R n = V f x = ( 1) f (x) x Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.34/35

51 Algorytm wyszukiwania Grovera G n = H n R n H n V f H n x = 1 n y F n ( 1) xy y R n 0 = 0, R n x = x, gdy x 0 R n = Dokonujemy pomiaru. V f x = ( 1) f (x) x Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.34/35

52 Źródła E. Riffel, W. Polak, An introduction to quantum computation for non physics, ACM Computer Surveys, vol. 3, issue 3, Sept.000 L. K. Grover, A fast quantum-mechanical algorithm for database search, Proceedings of the 8th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing - STOC, 1-19 (1996) M. Hirvensalo, Algorytmy kwantowe, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne S.A., Warszawa 004 S. Węgrzyn, J. Klamka, J.A. Miszczak, Kwantowe systemy informatyki, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 003 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.35/35

Algorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak

Algorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 12 - Algorytmy i protokoły kwantowe Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 19/05/2016 1 / 39 1 Motywacja rozwoju informatyki kwantowej. 2 Stany kwantowe. 3 Notacja Diraca.

Bardziej szczegółowo

Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33

Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33 Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych mgr inż. Olga Siedlecka olga.siedlecka@icis.pcz.pl Zakład Informatyki Stosowanej i Inżynierii Oprogramowania Instytut Informatyki

Bardziej szczegółowo

Protokół teleportacji kwantowej

Protokół teleportacji kwantowej Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 9 stycznia 008 Teleportacja kwantowa 1993 Propozycja teoretyczna protokołu teleportacji

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne

Bardziej szczegółowo

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13

Kryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś   Wykład 13 Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku

Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku Wstęp czyli (próba) odpowiedzi na pewne pytania (Silna) Teza Church

Bardziej szczegółowo

- nowe wyzwanie. Feliks Kurp

- nowe wyzwanie. Feliks Kurp INFORMATYKA KWANTOWA - nowe wyzwanie Feliks Kurp 2006 2 Plan wystąpienia: 1. Dlaczego informatyka kwantowa? 2. Grupy i ludzie zajmujący się informatyką kwantową 3. Fenomeny mechaniki kwantowej 4. Podstawy

Bardziej szczegółowo

Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce

Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie

Bardziej szczegółowo

Splątanie a przesyłanie informacji

Splątanie a przesyłanie informacji Splątanie a przesyłanie informacji Jarosław A. Miszczak 21 marca 2003 roku Plan referatu Stany splątane Co to jest splątanie? Gęste kodowanie Teleportacja Przeprowadzone eksperymenty Możliwości wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu. Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści

Bardziej szczegółowo

O informatyce kwantowej

O informatyce kwantowej O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33 Plan wystąpienia

Bardziej szczegółowo

Informatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz

Informatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz Informatyka kwantowa Karol Bartkiewicz Informacja = Wielkość fizyczna Jednostka informacji: Zasada Landauera: I A =log 2 k B T ln 2 1 P A R. Landauer, Fundamental Physical Limitations of the Computational

Bardziej szczegółowo

Komputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006

Komputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006 Sprawy organizacyjne Literatura Plan Ravindra W. Chhajlany 27 listopada 2006 Ogólne Sprawy organizacyjne Literatura Plan Współrzędne: Pokój 207, Zakład Elektroniki Kwantowej. Telefon: (0-61)-8295005 Email:

Bardziej szczegółowo

Kwantowa kooperacja. Robert Nowotniak. Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka

Kwantowa kooperacja. Robert Nowotniak. Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 17 maja 2007 Materiały źródłowe Prezentacja oparta jest na publikacjach: Johann Summhammer,

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie metod ewolucyjnych w projektowaniu algorytmów kwantowych

Wykorzystanie metod ewolucyjnych w projektowaniu algorytmów kwantowych Wykorzystanie metod ewolucyjnych w projektowaniu algorytmów kwantowych mgr inż. Robert Nowotniak Politechnika Łódzka 1 października 2008 Robert Nowotniak 1 października 2008 1 / 18 Plan referatu 1 Informatyka

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Informatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja

Informatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja Informatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja Robert Nowotniak Wydział FTIMS, Politechnika Łódzka XV konferencja SIS, 26 października 2007 Streszczenie Informatyka kwantowa jest dziedziną

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej

Bardziej szczegółowo

W5. Komputer kwantowy

W5. Komputer kwantowy W5. Komputer kwantowy Komputer klasyczny: Informacja zapisana w postaci bitów (binary digit) (sygnał jest albo go nie ma) W klasycznych komputerach wartość bitu jest określona przez stan pewnego elementu

Bardziej szczegółowo

bity kwantowe zastosowania stanów splątanych

bity kwantowe zastosowania stanów splątanych bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit kwantowy zawiera więcej informacji niż bit klasyczny

Bardziej szczegółowo

Wstęp do algorytmiki kwantowej

Wstęp do algorytmiki kwantowej Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Komputer kwantowy - co to właściwie jest? Komputer kwantowy Komputer, którego zasada działania nie może zostać wyjaśniona bez użycia formalizmu mechaniki

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 07 - Podstawy obliczeń kwantowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 27/10/2016 1 / 29 1 Wprowadzenie Obliczanie Motywacja fizyczna Motywacja kryptograficzna 2 2 /

Bardziej szczegółowo

Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej 3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".

Bardziej szczegółowo

VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski

VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Teleportacja kwantowa polega na przesyłaniu stanów cząstek kwantowych na odległość od nadawcy do odbiorcy. Przesyłane stany nie są znane nadawcy

Bardziej szczegółowo

bity kwantowe zastosowania stanów splątanych

bity kwantowe zastosowania stanów splątanych bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit jest jednostką informacji tzn. jest "najmniejszą możliwą

Bardziej szczegółowo

Historia. Zasada Działania

Historia. Zasada Działania Komputer kwantowy układ fizyczny do opisu którego wymagana jest mechanika kwantowa, zaprojektowany tak, aby wynik ewolucji tego układu reprezentował rozwiązanie określonego problemu obliczeniowego. Historia

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Transformaty. Kodowanie transformujace

Transformaty. Kodowanie transformujace Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla wszystkich

Fizyka dla wszystkich Fizyka dla wszystkich Wykład popularny dla młodzieży szkół średnich Splątane kubity czyli rzecz o informatyce kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 21 kwietnia 2004 Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Gry kwantowe na łańcuchach spinowych

Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Jarosław Miszczak we współpracy z Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa Schrödingera

Mechanika kwantowa Schrödingera Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej

Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Przemysław Patryk Jarosz Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej Praca licencjacka wykonana

Bardziej szczegółowo

Internet kwantowy. (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN

Internet kwantowy. (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Internet kwantowy (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 16. stycznia 2012 Plan wystąpienia 1 Skąd się biorą stany kwantowe? Jak

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego

KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne

Bardziej szczegółowo

SYMULACJE OPTYCZNE OBLICZEŃ KWANTOWYCH 1 OPTICAL SIMULATIONS OF QUANTUM COMPUTING

SYMULACJE OPTYCZNE OBLICZEŃ KWANTOWYCH 1 OPTICAL SIMULATIONS OF QUANTUM COMPUTING STUDIA INFORMATICA 00 Volume 3 Number A (48) Sławomir BUGAJSKI, Jarosław A. MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Uniwersytet Śląski, Instytut Fizyki Zbigniew MOTYKA Główny Instytut

Bardziej szczegółowo

Algorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego

Algorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego Algorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego Peter Shor (ur. 14 sierpnia 1959 roku w USA Matematyk oraz informatyk teoretyk Autor kwantowego Algorytmu Shora Pracuje w AT&T Bell Laboratories

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory

Bardziej szczegółowo

High level programming in quantum computer science

High level programming in quantum computer science High level programming in quantum computer science Autor: Promotor: prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 23 grudnia 2008 Plan wystąpienia 1 Wstęp Motywacja

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Miary splątania kwantowego

Miary splątania kwantowego kwantowego Michał Kotowski michal.kotowski1@gmail.com K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Krótki wstęp do mechaniki kwantowej

Krótki wstęp do mechaniki kwantowej Piotr Kowalczewski III rok fizyki, e-mail: piotrkowalczewski@gmailcom Krótki wstęp do mechaniki kwantowej Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej Mechanika kwantowa w cytatach If quantum mechanics hasn

Bardziej szczegółowo

Kwantowe języki programowania

Kwantowe języki programowania Kwantowe języki programowania Robert Nowotniak IV rok informatyki (Sztuczna Inteligencja) WWW: http://robert.nowotniak.com/ e-mail: Plan referatu Możliwość symulacji komputera

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.

Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.

Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2

Metody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

interpretacje mechaniki kwantowej fotony i splątanie

interpretacje mechaniki kwantowej fotony i splątanie mechaniki kwantowej fotony i splątanie Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Twierdzenie o nieklonowaniu Jak sklonować stan kwantowy? klonowanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

Symulacja obliczeń kwantowych

Symulacja obliczeń kwantowych Model kwantowych bramek logicznych w NumPy Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 10 października 2007 Plan prezentacji 1 Python

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Strategie kwantowe w teorii gier

Strategie kwantowe w teorii gier Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie

Bardziej szczegółowo

V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski

V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1

MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1 STUDIA INFORMATICA 003 Volume 4 Number A (53) Jarosław A. MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1

Bardziej szczegółowo

1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych

1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych

Wykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych Wykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych Robert Nowotniak Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 3 czerwca

Bardziej szczegółowo

Informacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia

Informacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki

Bardziej szczegółowo

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41

Wykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE. QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE. QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA Joanna Patrzyk Bartłomiej Patrzyk Katarzyna Rycerz jpatrzyk@quide.eu bpatrzyk@quide.eu kzajac@agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy

1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Haszowanie. dr inż. Urszula Gałązka

Haszowanie. dr inż. Urszula Gałązka Haszowanie dr inż. Urszula Gałązka Problem Potrzebujemy struktury do Wstawiania usuwania wyszukiwania Liczb, napisów, rekordów w Bazach danych, sieciach komputerowych, innych Rozwiązanie Tablice z haszowaniem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Język programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości

Język programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości oparty o model macierzy gęstości (Promotorski) Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 13 grudnia 2008 Plan wystąpienia Wstęp Motywacja Teza pracy Model obliczeń kwantowych Operacje

Bardziej szczegółowo