Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych
|
|
- Czesław Rudnicki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych mgr inż. Olga Siedlecka Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35
2 Plan seminarium Wstęp Historia Fizyka klasyczna Układy probabilistyczne Mechanika kwantowa Informacja kwantowa Algorytm Grovera Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p./35
3 Wstęp Teoria komputerów kwantowych zawiera piękno niezależnie od tego czy uda się kiedyś zrealizować ja w praktyce. N.D. Mermin Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.3/35
4 Historia Richard Feynman - symulacja ewolucji układów kwantowych na klasycznych maszynach, Rolf Laundauer, Charles H. Bennet - udowodnili, że wszystkie algorytmy, które przeprowadza zwykła maszyna Turinga, moga być przeprowadzone w taki sposób, aby były odwracalne, lata 80 - te, Paul Benioff wykazał, że komputer może działać opierajac się jedynie o operacje kwantowo - mechaniczne, David Deutsch - podał dwa modele obliczeń kwantowych: uniwersalna kwantowa maszynę Turinga i sieć bramek kwantowych Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.4/35
5 Historia 1994r. Peter W. Shor - algorytm rozkładu liczby na czynniki pierwsze przy użyciu zjawisk splatania i superpozycji, 1995r. Lov Grover - zaproponował kwantowy algorytm wyszukiwania informacji w dużych zbiorach danych. 1995r. konferencja w Turynie (we Włoszech) - projekty budowy obwodów kwantowych, 1996r. Christopher R. Monroe, David J.Wineland, H. Jeff Kimble - zbudowali niektóre prototypowe elementy mogace posłużyć do budowy komputera kwantowego, Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.5/35
6 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
7 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Układ fizyczny jest opisany wektorem stanu x R k dla danego k. Zbiór możliwych stanów układu nazywamy przestrzenia fazowa układu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
8 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Układ fizyczny jest opisany wektorem stanu x R k dla danego k. Zbiór możliwych stanów układu nazywamy przestrzenia fazowa układu. Jeżeli stan układu zależy od czasu możemy używać oznaczenia x(t) lub x t. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
9 Fizyka klasyczna Fizyka klasyczna jest nauka empiryczna, zatem teoria zostaje uznana za prawdziwa, gdy jej przewidywania zgodza się z wynikami doświadczalnymi. Pojęcie obserwabli (zmiennych dynamicznych) ma w niej ogromne znaczenie. Przykładami obserwabli zwiazanych z układem fizycznym jest położenie i pęd. Pełny opis układu nazywamy stanem układu. Układ fizyczny jest opisany wektorem stanu x R k dla danego k. Zbiór możliwych stanów układu nazywamy przestrzenia fazowa układu. Jeżeli stan układu zależy od czasu możemy używać oznaczenia x(t) lub x t. Jeżeli dwa układy sa opisane stanami x oraz y, to stan układu powstałego z ich połaczenia będzie iloczynem kartezjańskim wektorów stanu podukładów (x, y). Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
10 Układy probabilistyczne W wypadku układów probabilistycznych nie znamy stanu układu z całkowita pewnościa, znamy jedynie rozkład prawdopodobieństwa dla stanów: układ może znajdować się w stanach x 1,x,...,x n z prawdopodobieństwem odpowiednio p 1, p,..., p n, takimi że p 1 + p p n = 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
11 Układy probabilistyczne W wypadku układów probabilistycznych nie znamy stanu układu z całkowita pewnościa, znamy jedynie rozkład prawdopodobieństwa dla stanów: układ może znajdować się w stanach x 1,x,...,x n z prawdopodobieństwem odpowiednio p 1, p,..., p n, takimi że p 1 + p p n = 1. Wyrażenie p 1 [x 1 ]+ p [x ]+...+ p n [x n ], gdzie p i 0 oraz p 1 + p p n = 1, reprezentuje rozkład prawdopodobieństwa i oznacza, że układ znajduje się w stanie x i z prawdopodobieństwem p i. Powyższy rozkład jest nazywany stanem mieszanym, natomiast stany x i sa tzw. stanami czystymi. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
12 Układy probabilistyczne W wypadku układów probabilistycznych nie znamy stanu układu z całkowita pewnościa, znamy jedynie rozkład prawdopodobieństwa dla stanów: układ może znajdować się w stanach x 1,x,...,x n z prawdopodobieństwem odpowiednio p 1, p,..., p n, takimi że p 1 + p p n = 1. Wyrażenie p 1 [x 1 ]+ p [x ]+...+ p n [x n ], gdzie p i 0 oraz p 1 + p p n = 1, reprezentuje rozkład prawdopodobieństwa i oznacza, że układ znajduje się w stanie x i z prawdopodobieństwem p i. Powyższy rozkład jest nazywany stanem mieszanym, natomiast stany x i sa tzw. stanami czystymi. Każdy układ można uczynić probabilistycznym przy użyciu układu pomocniczego. W taki sposób sa konstruowane algorytmy probabilistyczne: algorytm sam w sobie jest ściśle deterministyczny, natomiast korzysta on z bitów losowych. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
13 Układy probabilistyczne Załóżmy, że ewolucja czasowa układu ze stanami czystymi x 1,x,...,x n zależy od układu pomocniczego ze stanami czystymi o oraz r, w taki sposób, że stan układu złożonego (x i,o) przechodzi w ustalonym przedziale czasu w stan (x o(i),o), natomiast stan (x i,r) przechodzi w (x r(i),r), gdzie o,r : {1,...,n} {1,...,n} sa pewnymi funkcjami. Układ ze stanami o oraz r jest układem sterujacym, który w stanie mieszanym nazywamy randomizerem. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.8/35
14 Układy probabilistyczne Załóżmy, że ewolucja czasowa układu nie jest deterministyczna i układ zmienia się w taki sposób, iż każdy stan przechodzi w rozkład x i p 1i [x 1 ] + p i [x ] p ni [x n ] gdzie p 1 + p p n = 1 dla każdego i. Wielkość p ji jest prawdopodobieństwem, że układ znajdujacy się w stanie x i przejdzie do stanu x j. W danym przedziale czasu rozkład p 1 [x 1 ] + p [x ] p n [x n ] przechodzi w p 1 (p 11 [x 1 ] p n1 [x n ]) p n (p 1n [x 1 ] p nn [x n ]) = = (p 11 p p 1n p n )[x 1 ] (p n1 p p nn p n )[x n ] = = p 1 [x 1 ] + p [x ] p n[x n ], p i = p i1 p p in p n. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.9/35
15 Układy probabilistyczne Prawdopodobieństwa p i oraz p i zwiazane sa zależnościa: p 1 p. p n = p 11 p 1... p 1n p 1 p... p n p n1 p n... p nn Przy czym zachodzi p 1i + p i p ni = 1, co zapewnia spełnienie równości p 1 + p p n = p 1 + p p n. Macierz o takiej własności nazywa się macierza Markowa, natomiast układ probabilistyczny zmieniajacy się w czasie w sposób opisany powyżej - łańcuchem Markowa. p 1 p. p n Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.10/35
16 Mechanika kwantowa W mechanice kwantowej stan n-poziomowego układu jest reprezentowany przez wektor jednostkowy w n-wymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej H n, która nazywamy przestrzenia stanów układu. Wybierzmy w przestrzeni stanów H n bazę ortonormalna { x 1, x,..., x n }. Wektory bazowe x i nazywamy stanami bazowymi. Dowolny stan układu kwantowego można przedstawić w postaci superpozycji stanów bazowych: α 1 x 1 + α x α n x n gdzie α i sa liczbami zespolonymi nazywanymi amplitudami prawdopodobieństwa względem wybranej bazy. Warunek unormowania wektora stanu wymaga, by spełniały one równanie α 1 + α α n = 1 Prawdopodobieństwo zaobserwowania własności x i wynosi α 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.11/35
17 Informacja kwantowa - qubity Bitem kwantowym (qubitem) nazywać będziemy dwupoziomowy układ kwantowy. W dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej H wybierzmy bazę ortonormalna B = { 0, 1 }, tzw. bazę obliczeniowa. Stany 0 i 1 nazywamy stanami bazowymi. Dowolny stan qubitu można przedstawić w postaci superpozycji stanów bazowych: α α 1 1 o jednostkowej normie, tzn. α 0 + α 1 = 1, liczby α 0 i α 1 sa amplitudami stanów bazowych, odpowiednio 0 i 1.Mówimy, że obserwacja (odczyt) qubitu daje wynik 0 lub 1 z prawdopodobieństwem odpowiednio α 0 i α 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35
18 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Unarna (jednoargumentowa) bramka kwantowa nazywamy operację na qubicie, której odpowiada unitarne odwzorowanie U : H H. Unarna bramka kwantowa definiuje liniowa operację 0 a 0 + b 1 1 c 0 + d 1 taka, że macierz: a c b d jest unitarna, tzn. a c b d a b c d = Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.13/35
19 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka kwantowej negacji: M = M 0 = 1 M 1 = 0 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.14/35
20 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka kwantowej negacji: M = M 0 = 1 M 1 = 0 Pierwiastek kwadratowy z negacji: M = 1+i 1 i 1 i 1+i M M = M M 0 = 1 + i i 1 M 1 = 1 i i 1 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.14/35
21 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka Hadamarda-Walsha: W = W 0 = W 1 = W W 0 = 0 interferencja konstruktywna W W 1 = 1 interferencja destruktywna Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.15/35
22 Informacja kwantowa - unarne bramki kwantowe Bramka Hadamarda-Walsha: W = W 0 = W 1 = Bramka zmiany fazy: W W 0 = 0 interferencja konstruktywna W W 1 = 1 interferencja destruktywna Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.15/35
23 Informacja kwantowa - pary qubitów Stany układu dwóch bitów kwantowych tworza czterowymiarowa przestrzeń Hilberta H 4 = H H z baza ortonormalna { 0 0, 0 1, 1 0, 1 1 }. Stan układu dwóch qubitów jest wektorem: α α α 10 + α 3 11 o jednostkowej normie, tzn. α 0 + α 1 + α + α 3 = 1. Odczyt układu dwóch qubitów daje wynik 00, 01, 10, 11 z prawdopodobieństwem odpowiednio α 0, α 1, α, α 3. Jeżeli chcemy odczytać stan jednego z qubitów, to dla pierwszego otrzymamy 0 z prawdopodobieństwem α 0 + α 1, zaś 1 z prawdopodobieństwem α + α 3. Analogicznie dla drugiego qubitu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.16/35
24 Informacja kwantowa - splatanie Stan układu dwóch qubitów z H 4 jest rozkładalny, jeżeli można go przedstawić za pomoca w postaci iloczynu tensorowego stanów z przestrzeni H, z = x x. Stan, który nie jest rozkładalny, jest splatany. Stan 1 ( ) jest rozkładalny: 1 1 ( ) = ( ) 1 ( ) Stan 1 ( ) jest splatany, odczyt każdego qubitu z osobna da wynik 0 lub 1 z jednakowym prawdopodobieństwem.odczyt układu jako całości da zawsze qubity o jednakowej wartości. Para takich qubitów jest nazywana para EPR (Einstein, Podolski, Rosen). Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.17/35
25 Informacja kwantowa - bramki binarne Binarna bramka kwantowa nazywamy operację na parach qubitów, której odpowiada unitarne odwzorowanie U : H 4 H 4. Bramka sterowanej negacji: M cnot = M cnot 00 = 00 M cnot 01 = 01 M cnot 10 = 11 M cnot 11 = 10 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.18/35
26 Informacja kwantowa - bramki binarne Bramka Hadamarda-Walsha: W 4 = W W = Dla dowolnych x 0,x 1 {0,1} zachodzi W 4 x 0 x 1 = 1 ( 0 + ( 1)x 0 1 )( 0 + ( 1) x 1 1 ) = = 1 ( 00 + ( 1)x ( 1) x ( 1) x 0+x 1 11 ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.19/35
27 Informacja kwantowa - rejestry Uporzadkowany układ m qubitów będziemy nazywać rejestrem kwantowym o długości m. Przestrzeń stanów takiego układu jest m-krotnym iloczynem tensorowym H m = H... H, natomiast stany bazowe maja postać { x : x {0,1} m } Jeżeli x = x 1...x m utożsamimy z liczba zapisana w systemie dwójkowym, to można powiedzieć, że stany bazowe maja postać { a : a {0,1,..., m 1}} Stan układu m-qubitów ma postać: α α α m 1 m 1 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.0/35
28 Informacja kwantowa - nieklonowanie Rozważmy układ kwantowy o n stanach bazowych a 1,..., a n. Wyróznijmy stan a 1 jako stan, na którym będziemy dokonywać zapisu informacji. Unitarne odwzorowanie w przestrzeni H n H n nazywamy kwantowa maszyna kopiujac a, jeżeli dla dowolnego stanu x H n zachodzi U( x a 1 ) = x x. Twierdzenie o nieklonowaniu: Dla n > 1 kwantowa maszyna kopiujaca nie istnieje. Możliwe jest jedynie otrzymanie kopii stanów bazowych. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.1/35
29 Informacja kwantowa - obserwacja Postulat rzutowania: po dokonaniu pomiaru układ znajduje się w jednym ze swoich stanów bazowych. Załóżmy, że przeprowadzamy pomiar na układzie w stanie: α 1 x 1 + α x α n x n Otrzymaliśmy w wyniku x k, co za tym idzie układ jest w stanie bazowym x k. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p./35
30 Informacja kwantowa - obserwacja Rozpatrzmy układ złożony: n i=1 m α i j x i y j j=1 obserwacja pierwszego podukładu dała w wyniku x k z prawdopodobieństwem P(k) = m j=1 α k j, zatem układ znajduje się w stanie: 1 P(k) m j=1α k j x k y j Przejście pierwszego ze stanów w drugi jest nieodwracalne, a zatem niezgodne z zasada ewolucji unitarnej. Proponowane rozwiazanie to wprowadzenie układu pomocniczego, do którego kopiujemy stany bazowe x i x 1 x i x i. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.3/35
31 Informacja kwantowa - teleportacja Załóżmy, że Alicja i Bob, to dwie komunikujace się ze soba strony, Alicja jest w posiadaniu qubitu a 0 + b 1, który chce teleportować. Teleportacja kwantowa jest możliwa, jeżeli obie strony posiadaja qubity splatane ze soba, np. 1 ( ). Przyjmijmy, że qubit lewy należy do Alicji, zaś prawy do Boba. Stan złożonego układu ma postać: (a 0 + b 1 ) 1 ( ) = = a a b b 1 11 = = a a b b 111 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.4/35
32 Informacja kwantowa - teleportacja Protokół teleportacji: Alicja wykonuje na swoich qubitach operację sterowanej negacji: a a b b 101 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.5/35
33 Informacja kwantowa - teleportacja Protokół teleportacji: Alicja wykonuje na swoich qubitach operację sterowanej negacji: a a b b 101 Alicja wykonuje transformatę Hadamarda-Walsha na lewym qubicie: a 1 ( ) 00 + a 1 ( ) 11 + b 1 ( 0 1 ) 10 + b 1 ( 0 1 ) 01 = a a a a b 010 b b 001 b 101 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.5/35
34 Informacja kwantowa - teleportacja Wydzielamy qubit Boba: 1 00 a a a a b b b b 1 = Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
35 Informacja kwantowa - teleportacja Wydzielamy qubit Boba: 1 00 a a a a b b b b 1 = 1 00 (a 0 + b 1 ) (a 1 + b 0 ) (a 0 b 1 ) (a 1 b 0 ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
36 Informacja kwantowa - teleportacja Wydzielamy qubit Boba: 1 00 a a a a b b b b 1 = 1 00 (a 0 + b 1 ) (a 1 + b 0 ) (a 0 b 1 ) (a 1 b 0 ) Alicja przeprowadza obserwacje stanu swoich dwóch qubitów i przesyła jej wynik do Boba. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.6/35
37 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
38 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Jeżeli Bob otrzymał 01, wykonuje na swoim qubicie operację negacji. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
39 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Jeżeli Bob otrzymał 01, wykonuje na swoim qubicie operację negacji. Jeżeli Bob otrzymał 10, wykonuje operację zmiany fazy. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
40 Informacja kwantowa - teleportacja Jeżeli Bob otrzymał 00, nie musi nic robić, jego qubit jest już w stanie a 0 + b 1. Jeżeli Bob otrzymał 01, wykonuje na swoim qubicie operację negacji. Jeżeli Bob otrzymał 10, wykonuje operację zmiany fazy. Jeżeli Bob otrzymał 11, wykonuje operację negacji, a następnie zmiany fazy. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.7/35
41 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Załóżmy, że Alicja tym razem nie chce przesłać stanu dodatkowego qubitu, ale zwykła parę bitów. Jest to operacja komplementarna do teleportacji, a nazywamy ja kodowaniem supergęstym. Alicja posiada dwa klasyczne bity b 1 i b oraz lewy qubit pary EPR, Bob posiada prawy qubit pary EPR: 1 ( ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.8/35
42 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Protokół kodowania supergęstego: Alicja wykonuje operacje na swoim qubicie w zależności od wartości bitów b 1 i b b 1 b Operacja wykonana przez Alicję ( ) ( ) ( ) ( ) Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.9/35
43 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Protokół kodowania supergęstego: Alicja wykonuje operacje na swoim qubicie w zależności od wartości bitów b 1 i b b 1 b Operacja wykonana przez Alicję ( ) ( ) ( ) ( ) Alicja przesyła swój qubit Bobowi Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.9/35
44 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Bob wykonuje na obu qubitach bramkę kwantowa zdefiniowana przez macierz: B = Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.30/35
45 Informacja kwantowa - kodowanie supergęste Bob wykonuje na obu qubitach bramkę kwantowa zdefiniowana przez macierz: B = Bob po wykonaniu operacji otrzymuje wartości bitów b 1 i b Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.30/35
46 Algorytm wyszukiwania Grovera Dany jest nieuporzadkowany zbiór S zawierajacy n -elementów, szukamy w nim elementu y. Dana jest również funkcja f : S {0,1}, w przypadku wyszukiwania kwantowego funkcja f ma postać: f : F n F, gdzie F jest ciałem o dwóch elementach 0 i 1. Dodawanie i mnożenie zdefiniowane sa następujaco: = = 0, = 1, 0 0 = 0 1 = 0, 1 1 = 1 Funkcja f jest określona: f (x) = 1 x = y 0 x y Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.31/35
47 Algorytm wyszukiwania Grovera Algorytm Grovera, to algorytm wyszukiwania probabilistycznego, tzn. nie będziemy wymagać, aby algorytm zawsze znajdował taki x, że f (x) = 1, chcemy jedynie, aby dawał poprawny wynik z niezerowym prawdopodobieństwem (0 < p 1). Algorytm ma charakter iteracyjny, w każdym kroku stan bazowy odpowiadajacy szukanemu elementowi ma zmieniana fazę, poza tym następuję obrót wokół średniej wszystkich amplitud, a także wzmocnienie amplitudy szukanego stanu. Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.3/35
48 Algorytm wyszukiwania Grovera Etapy algorytmu wyszukiwania Grovera: Posługujac sie transformata Hadamarda H n normalizujemy rejestr φ = 0 (n) : H n x = 1 n y F n ( 1) xy y φ 0 = H n 0 (n) = 1 n x x F n Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.33/35
49 Algorytm wyszukiwania Grovera Etapy algorytmu wyszukiwania Grovera: Posługujac sie transformata Hadamarda H n normalizujemy rejestr φ = 0 (n) : H n x = 1 n y F n ( 1) xy y φ 0 = H n 0 (n) = 1 n x x F n Stosujemy operator G n (operator Grovera), 1 4 Π n razy, gdzie G n = H n R n H n V f H n - transformata Hadamarda R n - operator kwantowy, V f - zmodyfikowany operator sprawdzenia Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.33/35
50 Algorytm wyszukiwania Grovera G n = H n R n H n V f H n x = 1 n y F n ( 1) xy y R n 0 = 0, R n x = x, gdy x 0 R n = V f x = ( 1) f (x) x Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.34/35
51 Algorytm wyszukiwania Grovera G n = H n R n H n V f H n x = 1 n y F n ( 1) xy y R n 0 = 0, R n x = x, gdy x 0 R n = Dokonujemy pomiaru. V f x = ( 1) f (x) x Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.34/35
52 Źródła E. Riffel, W. Polak, An introduction to quantum computation for non physics, ACM Computer Surveys, vol. 3, issue 3, Sept.000 L. K. Grover, A fast quantum-mechanical algorithm for database search, Proceedings of the 8th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing - STOC, 1-19 (1996) M. Hirvensalo, Algorytmy kwantowe, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne S.A., Warszawa 004 S. Węgrzyn, J. Klamka, J.A. Miszczak, Kwantowe systemy informatyki, Wydawnictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 003 Wprowadzenie do teorii komputerów kwantowych p.35/35
Algorytm Grovera. Kwantowe przeszukiwanie zbiorów. Robert Nowotniak
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 13 listopada 2007 Plan wystapienia 1 Informatyka Kwantowa podstawy 2 Opis problemu (przeszukiwanie zbioru) 3 Intuicyjna
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 12 - Algorytmy i protokoły kwantowe Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 19/05/2016 1 / 39 1 Motywacja rozwoju informatyki kwantowej. 2 Stany kwantowe. 3 Notacja Diraca.
Bardziej szczegółowoKlasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych mgr inż. Olga Siedlecka olga.siedlecka@icis.pcz.pl Zakład Informatyki Stosowanej i Inżynierii Oprogramowania Instytut Informatyki
Bardziej szczegółowoProtokół teleportacji kwantowej
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 9 stycznia 008 Teleportacja kwantowa 1993 Propozycja teoretyczna protokołu teleportacji
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Bardziej szczegółowoPeter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku
Peter W. Shor - Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. 19 listopada 2004 roku Wstęp czyli (próba) odpowiedzi na pewne pytania (Silna) Teza Church
Bardziej szczegółowo- nowe wyzwanie. Feliks Kurp
INFORMATYKA KWANTOWA - nowe wyzwanie Feliks Kurp 2006 2 Plan wystąpienia: 1. Dlaczego informatyka kwantowa? 2. Grupy i ludzie zajmujący się informatyką kwantową 3. Fenomeny mechaniki kwantowej 4. Podstawy
Bardziej szczegółowoSeminarium: Efekty kwantowe w informatyce
Seminarium: Efekty kwantowe w informatyce Aleksander Mądry Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Sprawy organizacyjne Spotykamy się w piątki o 12:15 w sali 105. Każdy kto będzie
Bardziej szczegółowoSplątanie a przesyłanie informacji
Splątanie a przesyłanie informacji Jarosław A. Miszczak 21 marca 2003 roku Plan referatu Stany splątane Co to jest splątanie? Gęste kodowanie Teleportacja Przeprowadzone eksperymenty Możliwości wykorzystania
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.
Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści
Bardziej szczegółowoO informatyce kwantowej
O informatyce kwantowej Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Posiedzenie PTM Gliwice Piotr Gawron (IITiS PAN) O informatyce kwantowej 6 października 009 1 / 33 Plan wystąpienia
Bardziej szczegółowoInformatyka kwantowa. Karol Bartkiewicz
Informatyka kwantowa Karol Bartkiewicz Informacja = Wielkość fizyczna Jednostka informacji: Zasada Landauera: I A =log 2 k B T ln 2 1 P A R. Landauer, Fundamental Physical Limitations of the Computational
Bardziej szczegółowoKomputery Kwantowe. Sprawy organizacyjne Literatura Plan. Komputery Kwantowe. Ravindra W. Chhajlany. 27 listopada 2006
Sprawy organizacyjne Literatura Plan Ravindra W. Chhajlany 27 listopada 2006 Ogólne Sprawy organizacyjne Literatura Plan Współrzędne: Pokój 207, Zakład Elektroniki Kwantowej. Telefon: (0-61)-8295005 Email:
Bardziej szczegółowoKwantowa kooperacja. Robert Nowotniak. Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka
Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 17 maja 2007 Materiały źródłowe Prezentacja oparta jest na publikacjach: Johann Summhammer,
Bardziej szczegółowoWykorzystanie metod ewolucyjnych w projektowaniu algorytmów kwantowych
Wykorzystanie metod ewolucyjnych w projektowaniu algorytmów kwantowych mgr inż. Robert Nowotniak Politechnika Łódzka 1 października 2008 Robert Nowotniak 1 października 2008 1 / 18 Plan referatu 1 Informatyka
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoInformatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja
Informatyka Kwantowa Sekcja Informatyki Kwantowej prezentacja Robert Nowotniak Wydział FTIMS, Politechnika Łódzka XV konferencja SIS, 26 października 2007 Streszczenie Informatyka kwantowa jest dziedziną
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoW5. Komputer kwantowy
W5. Komputer kwantowy Komputer klasyczny: Informacja zapisana w postaci bitów (binary digit) (sygnał jest albo go nie ma) W klasycznych komputerach wartość bitu jest określona przez stan pewnego elementu
Bardziej szczegółowobity kwantowe zastosowania stanów splątanych
bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit kwantowy zawiera więcej informacji niż bit klasyczny
Bardziej szczegółowoWstęp do algorytmiki kwantowej
Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Komputer kwantowy - co to właściwie jest? Komputer kwantowy Komputer, którego zasada działania nie może zostać wyjaśniona bez użycia formalizmu mechaniki
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 07 - Podstawy obliczeń kwantowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 27/10/2016 1 / 29 1 Wprowadzenie Obliczanie Motywacja fizyczna Motywacja kryptograficzna 2 2 /
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowoVIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski
VIII. TELEPORTACJA KWANTOWA Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Teleportacja kwantowa polega na przesyłaniu stanów cząstek kwantowych na odległość od nadawcy do odbiorcy. Przesyłane stany nie są znane nadawcy
Bardziej szczegółowobity kwantowe zastosowania stanów splątanych
bity kwantowe zastosowania stanów splątanych Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Bit jest jednostką informacji tzn. jest "najmniejszą możliwą
Bardziej szczegółowoHistoria. Zasada Działania
Komputer kwantowy układ fizyczny do opisu którego wymagana jest mechanika kwantowa, zaprojektowany tak, aby wynik ewolucji tego układu reprezentował rozwiązanie określonego problemu obliczeniowego. Historia
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoTransformaty. Kodowanie transformujace
Transformaty. Kodowanie transformujace Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10 10 maja 2009 Szeregi Fouriera Każda funkcję okresowa f (t) o okresie T można zapisać jako f (t) = a 0 + a n cos nω 0
Bardziej szczegółowoFizyka dla wszystkich
Fizyka dla wszystkich Wykład popularny dla młodzieży szkół średnich Splątane kubity czyli rzecz o informatyce kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas 21 kwietnia 2004 Spis treści 1
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoGry kwantowe na łańcuchach spinowych
Gry kwantowe na łańcuchach spinowych Jarosław Miszczak we współpracy z Piotrem Gawronem i Zbigniewem Puchałą Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN w Gliwicach J.A.M., Z. Puchała, P. Gawron
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoWykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Przemysław Patryk Jarosz Wykorzystanie stanów splątanych w informatyce kwantowej Praca licencjacka wykonana
Bardziej szczegółowoInternet kwantowy. (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak. Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN
Internet kwantowy (z krótkim wstępem do informatyki kwantowej) Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 16. stycznia 2012 Plan wystąpienia 1 Skąd się biorą stany kwantowe? Jak
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
Bardziej szczegółowoSYMULACJE OPTYCZNE OBLICZEŃ KWANTOWYCH 1 OPTICAL SIMULATIONS OF QUANTUM COMPUTING
STUDIA INFORMATICA 00 Volume 3 Number A (48) Sławomir BUGAJSKI, Jarosław A. MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN Uniwersytet Śląski, Instytut Fizyki Zbigniew MOTYKA Główny Instytut
Bardziej szczegółowoAlgorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego
Algorytm faktoryzacji Petera Shora dla komputera kwantowego Peter Shor (ur. 14 sierpnia 1959 roku w USA Matematyk oraz informatyk teoretyk Autor kwantowego Algorytmu Shora Pracuje w AT&T Bell Laboratories
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoHigh level programming in quantum computer science
High level programming in quantum computer science Autor: Promotor: prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 23 grudnia 2008 Plan wystąpienia 1 Wstęp Motywacja
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga
. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoMiary splątania kwantowego
kwantowego Michał Kotowski michal.kotowski1@gmail.com K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 kwantowego Spis treści 1 2 Stany czyste i mieszane Matematyczny
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoKrótki wstęp do mechaniki kwantowej
Piotr Kowalczewski III rok fizyki, e-mail: piotrkowalczewski@gmailcom Krótki wstęp do mechaniki kwantowej Spotkanie Sekcji Informatyki Kwantowej Mechanika kwantowa w cytatach If quantum mechanics hasn
Bardziej szczegółowoKwantowe języki programowania
Kwantowe języki programowania Robert Nowotniak IV rok informatyki (Sztuczna Inteligencja) WWW: http://robert.nowotniak.com/ e-mail: Plan referatu Możliwość symulacji komputera
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowointerpretacje mechaniki kwantowej fotony i splątanie
mechaniki kwantowej fotony i splątanie Jacek Matulewski Karolina Słowik Jarosław Zaremba Jacek Jurkowski MECHANIKA KWANTOWA DLA NIEFIZYKÓW Twierdzenie o nieklonowaniu Jak sklonować stan kwantowy? klonowanie
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoSymulacja obliczeń kwantowych
Model kwantowych bramek logicznych w NumPy Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka Sekcja Informatyki Kwantowej, 10 października 2007 Plan prezentacji 1 Python
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoStrategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Bardziej szczegółowoV. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski
V. KWANTOWE BRAMKI LOGICZNE Janusz Adamowski 1 1 Wprowadzenie Wykład ten poświęcony jest dokładniejszemu omówieniu własności kwantowych bramek logicznych (kwantowych operacji logicznych). Podstawowymi
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1
STUDIA INFORMATICA 003 Volume 4 Number A (53) Jarosław A. MISZCZAK Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN MOŻLIWOŚCI PRZESYŁANIA INFORMACJI W SIECIACH Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH 1
Bardziej szczegółowo1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Bardziej szczegółowoWykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych
Wykorzystanie metod ewolucyjnych sztucznej inteligencji w projektowaniu algorytmów kwantowych Robert Nowotniak Wydział Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Politechnika Łódzka 3 czerwca
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoAKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE. QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE QuIDE Quantum IDE PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA Joanna Patrzyk Bartłomiej Patrzyk Katarzyna Rycerz jpatrzyk@quide.eu bpatrzyk@quide.eu kzajac@agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoHaszowanie. dr inż. Urszula Gałązka
Haszowanie dr inż. Urszula Gałązka Problem Potrzebujemy struktury do Wstawiania usuwania wyszukiwania Liczb, napisów, rekordów w Bazach danych, sieciach komputerowych, innych Rozwiązanie Tablice z haszowaniem
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoJęzyk programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości
oparty o model macierzy gęstości (Promotorski) Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 13 grudnia 2008 Plan wystąpienia Wstęp Motywacja Teza pracy Model obliczeń kwantowych Operacje
Bardziej szczegółowo