Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr hab. nż. Romuald Szymkewcz Gdańsk czerwec 0 r.
Sps treśc. Przepływ ustalony nejednostajny - przedstawene problemu cel zakres pracy.... Równana przepływu ustalonego nejednostajnego... 8.. Uproszczone równana de Sant-Venanta... 8.. Różnczkowe równane energ mechancznej... 0.3. Standardowe równane dla kanału pryzmatycznego....4. Typy formułowanych zagadneń... 5.5. Równane energ mechancznej jako ogólny model przepływu ustalonego nejednostajnego... 0 3. Numeryczne rozwązane zagadnena początkowego różnczkowego równana energ mechancznej opsującego ustalony przepływ nejednostajny... 7 3.. Ogólna metoda dwupozomowa... 8 3.. Analza własnośc funkcj F(h )... 9 3.3. Dyskusja stnena rozwązana jego jednoznacznośc... 40 3.4. Aproksymacja równana energ metodam Rungego-Kutty... 43 4. Analza numerycznego rozwązana zagadnena brzegowego różnczkowego równana energ mechancznej... 46 4.. Rozwązane zagadnena brzegowego metodą strzału... 46 4.. Rozwązane zagadnena brzegowego metodą różncową... 50 5. Rozwązane równana przepływu ustalonego nejednostajnego w secach kanałów otwartych... 56 6. Weryfkacja rozwązań numerycznych... 74 6.. Przepływ ustalony nejednostajny w pryzmatycznym kanale prostokątnym... 74 6.. Przepływ ustalony nejednostajny w kanale prostokątnym o zmennym spadku dna... 80 6.3. Wypływ spod zasuwy... 83 6.3. Przepływ ustalony nejednostajny w kanale o przekroju kołowym... 86 6.4. Przepływ ustalony nejednostajny w secach kanałów otwartych... 88 7. Wnosk... 93 Symbole użyte w pracy... 95 Bblografa... 98
. Przepływ ustalony nejednostajny - przedstawene problemu cel zakres pracy W welu przypadkach spotykanych w praktyce nżynerskej przepływ w kanałach lub secach kanałów otwartych może być traktowany jak przepływ nezmenny w czase zmenny w przestrzen czyl klasyfkowany jako przepływ ustalony nejednostajny. Przykładam takego przepływu mogą być: przepływ w kanale przegrodzonym budowlą pętrzącą (rys..) wypływ spod zasuwy (rys..) przepływ na odcnku wylotowym kolektora ścekowego (rys..3) przy ustalonym w czase natężenu przepływu. Rys... Krzywa spętrzena ( n głębokość normalna). Rys... Wypływ spod zasuwy. Rys..3. Wylot kolektora ścekowego.
W lteraturze pośwęconej zagadnenu modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach otwartych zauważa sę wyraźny podzał na metody stosowane w przypadku kanałów pryzmatycznych oraz na metody stosowane w przypadku kanałów naturalnych (Venkataraman et. al. 98; French 985; Chanson 004a; Chaudhry 008). Jeśl chodz o kanały pryzmatyczne to do wyznaczana układu zwercadła wody stosuje sę następujące równane (Czetwertyńsk Utrysko 969; French 985; Sawck 998; Chadwck Morfett 999; Sturm 00; Chanson 004a; Chaudhry 008): d dx s S = Fr α (.) Rys..4. Schemat odcnka kanału. gdze: głębokość Z rzędna dna ponad przyjętym pozomem porównawczym x zmenna przestrzenna s spadek dna kanału S spadek ln energ Fr lczba Froude a α - współczynnk korygujący energę knetyczną wynkającą z uśrednonej w przekroju prędkośc przepływu wyrażony wzorem (Chaudhry 008): 3 u ( x y z t) da A α = 3 U A (.) w którym: A - pole przekroju czynnego u(xyzt) - prędkość lokalna w kerunku x w przekroju
U - prędkość średna wyrażona wzorem: Q U ( x t) = u( x y z t) da =. (.3) A A W powyższym równanu Q oznacza objętoścowe natężene przepływu. W przypadku modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach naturalnych wykorzystywana jest zapsana w dyskretnej postac zasada zachowana energ mechancznej (French 985; Mays 999; Kubrak 998) lub równane Bernoullego z członem uwzględnającym straty energ (Chanson 004a). W obu przypadkach do oblczeń używa sę ponższego równana: U U h α = h α x S (.4) g g w którym ndeksy określają odpowedno początkowy końcowy przekrój rozpatrywanego odcnka kanału (rys..5) zaś: α α współczynnk korekcyjne energ knetycznej U U prędkośc średne w przekrojach h h rzędne zwercadła wody g przyspeszene zemske x odległość mędzy przekrojam S średn spadek ln energ mędzy przekrojam utożsamany z wysokoścą strat energ powstałych na skutek tarca. Geometryczną nterpretację równana przedstawono na rysunku.5. Średn spadek ln energ można określać zgodne z jednym z ponższych wzorów (Mays 999; Chaudhry 008): Q Q K K S = S S S = (.5a) (.5b) 3
S S S S S = (.5c) S = S S (.5d) gdze K oznacza moduł przepływu zależny tylko od geometr właścwośc hydraulcznych koryta: K n / 3 = A R (.6) w którym: n współczynnk szorstkośc wg Mannnga R promeń hydraulczny. Rys..5. Schemat oblczenowy do równana (.4). Jak wynka z równań (.5a)-(.5d) średn spadek można oblczać jako kwadrat lorazu sumy wydatków sumy modułów przepływu oraz jako średną arytmetyczną harmonczną lub geometryczną ze spadków ln energ w przekrojach. O le równane (.4) można stosować zarówno dla kanałów naturalnych jak dla kanałów pryzmatycznych o tyle równane (.) ne może być stosowane dla kanałów naturalnych. Ponadto równane (.) w trakce rozwązywana może sprawać dodatkowe trudnośc. W sytuacj wystąpena przepływu krytycznego (lub zblżonego) manownk prawej strony równana równy jest zeru przez co staje sę ono neokreślone. Możlwe przyczyny neokreślonośc równana (.) wraz z ch nterpretacją fzyczną podaje Chanson (004a): 4
Tab... Przyczyny nterpretacja neokreślonośc równana (.) wg. Chansona. Przyczyna neokreślonośc równana d = 0 dx Fr = d 3 = 0 dx oraz Fr = Interpretacja fzyczna Spadek dna równy jest spadkow ln energ: s = S Spadek dna równy jest spadkow krytycznemu: s = skr Wystąpene obu wyżej wymenonych przypadków: s = S s = skr Równane (.4) umożlwa wyznaczene układu zwercadła wody w kanale o dowolnej geometr w tym w kanale pryzmatycznym. Przykład oblczonej krzywej spętrzena w kanale prostokątnym przedstawono na rysunku.6. W trakce rozwązywana tego przykładu ne wystąpły żadne problemy natury numerycznej. Oblczone głębokośc zmenają sę w sposób cągły od zadanej w przekroju budowl pętrzącej do głębokośc normalnej n. Jednak przy próbe oblczena układu zwercadła wody powstającego przy wypływe spod zasuwy pojawają sę trudnośc. Ich charakter lustruje rysunek.7. Jak wdać otrzymane rozwązane zdecydowane odbega od oczekwanego. Chocaż w trakce oblczeń ne wystąpły żadne problemy natury numerycznej to jest ono nepoprawne z punktu wdzena fzyk zjawska. Fakt ten sugeruje stnene pewnych właścwośc rozwązywanego równana (.4) ujawnających swoją obecność w szczególnych przypadkach. Rys..6. Krzywa spętrzena ( n głębokość normalna). Zastosowana powyżej metoda oblczana układu zwercadła wody bazująca na równanu (.4) w lteraturze anglosaskej funkcjonuje pod nazwą the standard step method (Chow 959; French 985). 5
Rys..7. Oblczony układ zwercadła wody wypływającej spod zasuwy. Oprócz kanałów pojedynczych przepływ ustalony nejednostajny występuje powszechne równeż w secach kanałów otwartych zarówno naturalnych (rys..8) jak sztucznych (rys..9). Rys..8. Seć kanałów naturalnych (przykład sec dendrycznej). Rys..9. Seć kanałów sztucznych (przykład sec perścenowej). Przepływ tego typu spotykamy w systemach rzecznych kanalzacyjnych oraz w secach kanałów odwadnających lub nawadnających. Mmo stotnego znaczena praktycznego tego zagadnena jak dotąd ne stneje jednolta spójna metodologa rozwązywana tego problemu. W lteraturze można znaleźć wele różnych propozycj algorytmów wyznaczana układu zwercadła wody w secach kanałów. Możlwośc praktycznego zastosowana tych metod są ogranczone. Z tego powodu ch zastosowane jest możlwe tylko w przypadkach szczególnych np. jedyne w secach dendrycznych (rys..8). 6
Z drugej strony proponowane algorytmy oblczenowe są zwykle skomplkowane trudne w mplementacj. Należy zauważyć że bardzo często parametry przepływu ustalonego wyznacza sę rozwązując równana przepływu neustalonego z ustalonym w czase warunkam brzegowym (Cunge olly Vervey 979). Borąc pod uwagę trudnośc problemy występujące w trakce rozwązywana różnych przypadków przepływu ustalonego nejednostajnego naturalnym wydaje sę pytane o możlwość opracowana jednoltego w marę ogólnego wolnego od ogranczeń podejśca do rozwązywana zagadnena przepływu ustalonego nejednostajnego zarówno w naturalnych jak sztucznych kanałach pojedynczych oraz w secach kanałów. Wydaje sę że opracowane takego ujednolconego podejśca jest możlwe. W rzeczywstośc bowem podzał metod oblczenowych w zależnośc od rodzaju kanału wydaje sę być sztucznym. Opracowane ujednolconego podejśca wymaga rozstrzygnęca dwóch kwest: - które z możlwych równań należy przyjąć za podstawowe? - jake metody numeryczne należy stosować do jego rozwązana? Ważnym aspektem problemu jest proces numerycznego rozwązana równana przepływu. Szymkewcz (00) wykazał ż dyskretna postać równana energ może meć węcej nż jeden perwastek. W zwązku z tym pojawa sę kwesta wyboru właścwego perwastka. Istotne jest także wyjaśnene zwązku pomędzy lczbą położenem perwastków a zastosowaną metodą aproksymacj równań. Celem nnejszej pracy doktorskej jest opracowane propozycj jednoltego podejśca do modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach otwartych. Realzując powyższy cel: wykonano analzę możlwych model matematycznych opsujących ruch ustalony nejednostajny w kanałach otwartych zaproponowano jednolte podejśce do rozwązywana zagadneń formułowanych dla kanałów pojedynczych sec kanałów otwartych przeprowadzono dyskusję różnych aspektów numerycznego rozwązywana równań wybranym metodam wykonano stanowska laboratoryjne przeprowadzono eksperymenty skonfrontowano wynk oblczeń z wynkam eksperymentów. 7
Sclab. Wszystke oblczena wykonano własnym programam opracowanym w języku. Równana przepływu ustalonego nejednostajnego Opracowane jednoltej metodolog oblczeń układu zwercadła wody w kanałach otwartych wymaga wyjśca od ogólnych równań opsujących przepływ neustalony. Modelem opsującym neustalony ruch ceczy w kanałach otwartych jest układ równań de Sant-Venanta składający sę z równana cągłośc oraz równana dynamcznego. Równana te można wyprowadzć z równań Navera-Stokesa z uwzględnenem uśrednena Reynoldsa (French 985; Kubrak 998; Sawck 998; Szymkewcz 000)... Uproszczone równana de Sant-Venanta W roku 87 Adhémar Jean Claude Barré de Sant-Venant wyprowadzł równana przepływu neustalonego w kanałach otwartych. Zakładając że: ruch wody w kanale jest wolnozmenny przepływ jest jednowymarowy rozkład cśnena w przekroju jest hydrostatyczny jedyną słą masową jest sła cężkośc spadek dna kanału jest na tyle mały ż różnca mędzy głębokoścą merzoną wzdłuż os ponowej układu odnesena a głębokoścą merzoną prostopadle do dna jest neznaczna rozkład prędkośc w pone jest jednostajny opory ruchu oblczane są jak dla przepływu ustalonego jednostajnego uwzględna sę dopływ boczny w równanu cągłośc lecz pomja sę jego wpływ na dynamkę przepływu zaproponował on układ równań różnczkowych o pochodnych cząstkowych I rzędu w postac równana cągłosc równana dynamcznego. Układ ten nazywa sę zwykle układem równań de Sant-Venanta. W układze równań de Sant-Venanta mogą występować różne kombnacje zmennych zależnych. Ich zestawene podaje na przykład Chanson (004a). Poneważ wybór zestawu zmennych zależnych w równanach decyduje o możlwośc jego zapsu w forme zachowawczej lub nezachowawczej w dalszej częśc pracy jako zmenne zależne 8
przyjmuje sę natężene przepływu rzędną zwercadła wody. Użyce tych zmennych umożlwa zapsane równań w następującej forme zachowawczej: A Q t x = q (.) Q β Q t x A h g A = g A S. x (.) gdze: t czas q dopływ boczny β współczynnk korekcyjny pędu zdefnowany wzorem: u ( x y z t) da A β =. U A (.3) Współczynnk β koryguje błąd welkośc pędu spowodowany wprowadzenem prędkośc średnej. Określa on stosunek pędu strumena przy rzeczywstym rozkładze prędkośc do pędu przy uśrednonej prędkośc. Dyskusję na temat jego rol podają m.n. Chanson (004a) oraz Sturm (00). Spadek ln energ w równanu (.) można wyrazć przy pomocy formuły: S Q n = 4 / 3 (.4) R A wynkającej ze wzoru Mannnga. W przypadku gdy rozważany przepływ jest ustalony w czase w równanach (.) (.) pochodne względem czasu są równe zeru: A h = 0 = 0. t t W konsekwencj układ (.) (.) przyjme prostszą formę: dq = q (.5) dx 9
d dx β Q A dh g A = g A S. dx (.6) Otrzymane równana stanową układ równań różnczkowych zwyczajnych poneważ po elmnacj czasu występujące w nch zmenne są funkcjam jedyne położena. Równana (.5) (.6) opsują ustalony przepływ nejednostajny w dowolnym kanale. Można przypuszczać że ch rozwązane będze tożsame z rozwązanem równań de Sant- Venanta (.) (.) przy ustalonych w czase warunkach brzegowych... Różnczkowe równane energ mechancznej Układ równań (.5) (.6) można przekształcć do nnej postac. W tym celu równane (.6) dzelmy przez g. A: Poneważ: d β Q ga dx A dh = S. (.7) dx g A d dx β Q β d β = A g A dx g A dq dx du dx ( Q U ) = U Q (.8) równane (.7) przyjme postać: β U dq Q du dh β = S g A dx g A dx dx. (.9) Po uwzględnenu uproszczonego równana cągłośc (.5) otrzymujemy zależność: z której po uporządkowanu wynka równane: d dx β U Q du dh q β = S g A g A dx dx (.0) β Q β Q h = S g A g A q. (.) Można zauważyć że wyjścowe równane dynamczne (.6) reprezentujące zasadę zachowana pędu po zastosowanych przekształcenach reprezentuje zasadę zachowana 0
energ mechancznej. W zwązku z tym współczynnk korekcyjny pędu β należy zastąpć współczynnkem korekcyjnym energ knetycznej α. Ostateczne wyjścowe równane (.6) przyjme postać: d dx α Q α Q h = S g A g A w którym współczynnk α zdefnowany jest zależnoścą (.). Jeśl do równana (.) wprowadzmy wyrażene: q (.) α Q E = h g A (.3) reprezentujące wysokość energ mechancznej to układ równań opsujących ustalony przepływ nejednostajny (równana (.5) (.)) przyjme postać: dq = q (.4) dx de dx α Q = S g A q (.5).3. Standardowe równane dla kanału pryzmatycznego W przypadku kanału pryzmatycznego zależność (.) można poddać przekształcenom prowadzącym do znanej standardowej w hydraulce koryt otwartych postac. W tym celu rzędną zwercadła wody wyraża sę poprzez głębokość strumena rzedną dna Z: h = Z. Różnczkując zależność (.3) otrzymujemy: d dx α Q d α Q d dz α Q α Q h Z = q g A = dx g A dx dx g A g A 3 da. (.6) dx Poneważ powerzchna przekroju A jest funkcją głębokośc a ta z kole jest funkcją położena zatem można zapsać: da da d d = = B (.7) dx d dx dx
gdze B jest szerokoścą kanału na pozome zwercadła wody. Wstawając (.7) do równana (.6) otrzymujemy zależność: d dx dz dx α Q g A α Q q g A 3 d B dx α Q = S g A która po uporządkowanu prowadz do równana o postac: d dx Wprowadzene defncj podłużnego spadku dna kanału q (.8) dz α Q S q dx g A =. (.9) α Q B 3 g A umożlwa zapsane równana (.9) w następującej postac: dz s = (.0) dx d dx = α Q s S q g A. (.) α Q B 3 g A Do równana (.) wprowadźmy lczbę Froude a zdefnowaną wzorem (Chanson 004a): U Fr =. (.) g Równane (.) przyjme wówczas następującą postać d dx = α Q s S q g A. α Fr (.3) Opsuje ono układ zwercadła wody w kanale pryzmatycznym z uwzględnenem dopływu bocznego q. W przypadku gdy dopływ boczny ne występuje czyl q=0 równane (.3) upraszcza sę do postac klasycznej:
d dx s S = α Fr. (.4) Jest to dobrze znane równane opsujące układ zwercadła wody w kanale pryzmatycznym. Równane które wyprowadzono tutaj z ogólnych równań przepływu neustalonego zwykle wyprowadzane jest w nny sposób (Czetweryńsk Utrysko 969). Równane (.4) jest podstawą analzy charakterystycznych przypadków układu zwercadła wody w zależnośc od warunków w jakch odbywa sę przepływ. Przykłady wynków tej analzy podają np. Chow (959) French (985) Kubrak (998) Chanson (004a). Nektóre typowe układy zwercadła wody wynkające z równana (.4) przedstawono na rysunkach.a.b. Należy pamętać że wynk zameszczone na rysunkach mają raczej jakoścowy charakter. Rys..a. Układ zwercadła wody w zależnośc od warunków przepływu. 3
Rys..b. Układ zwercadła wody w zależnośc od warunków przepływu. Na przedstawonych rysunkach jest głębokoścą wody n kr odpowedno głębokoścą normalną krytyczną s oznacza spadek dna a s kr krytyczny spadek dna czyl take nachylene dna kanału przy którym ukształtowałby sę przepływ krytyczny. Wówczas energa przepływu byłaby mnmalna (Kubrak 998). 4
.4. Typy formułowanych zagadneń Rozpatrzmy problem rozwązana układu równań (.4) (.5): dq = q (.5) dx d dx α Q α Q h = S g A g A q (.6) Powyższe równana tworzą układ równań różnczkowych zwyczajnych. Problem ch rozwązana można sformułować dwojako. Zależne od konkretnej sytuacj dla równań (.5) (.6) można sformułować albo zagadnene początkowe albo zagadnene brzegowe. Załóżmy że znane jest natężene przepływu w przekroju początkowym oraz dopływ boczny. W takej sytuacj rozwązane równana (.5) ma postać: x Q( x) = Q0 q( X ) dx (.7) 0 gdze X jest zmenną całkowana zaś Q 0 jest natężenem przepływu w przekroju początkowym x=0. Znając natężene przepływu wzdłuż os kanału Q(x) układ zwercadła wody otrzymamy rozwązując równane (.6). W tym celu formułuje sę tzw. zagadnene początkowe dla którego dzedzną rozwązana jest odcnek kanału o długośc L (rys..). Rys... Obszar rozwązana równań opsujących przepływ ustalony nejednostajny. Zagadnene początkowe równana różnczkowego zwyczajnego rzędu perwszego: dy = f ( x y) dx (.8) 5
ma następującą postać (Dzubńsk Śwątkowsk 985): poszukuje sę funkcj która w dzedzne rozwązana spełna równane (.8) oraz dodatkowy warunek nazywany warunkem początkowym: y(x 0 )=y 0. Istnena rozwązana dowodz twerdzene Cauchy ego o stnenu całk (Bronsztejn Semendajew 968): Jeżel funkcja f(xy) jest cągła w otoczenu punktu (x0y 0 ) tzn. w obszarze x x < a y y 0 < b to stneje przynajmnej jedno rozwązane równana 0 (.8). Jednoznaczność rozwązana w obszarze x x 0 < a y y 0 < b wynka ze spełnena nerównośc Lpschtza (Bronsztejn Semendajew 968; Kncad Cheney 00). Jeżel stneje take L że zachodz: f ( x y) f ( x y ) L y y (.9) wówczas rozwązane zagadnena jest jedyne jest funkcją cągłą względem y 0. Poprawne postawene zagadnena początkowego równana (.6) wymaga zadana dodatkowego warunku na jednym z krańców dzedzny rozwązana co w praktyce oznacza zadane natężena przepływu rzędnej zwercadła wody na początku lub na końcu kanału. Warunek początkowy zadany w początkowym przekroju kanału będze mał ponższą postać: E x= 0 = h x= 0 α Q x= 0 g Ax= 0. (.30) Umejscowene tego warunku w obszarze rozwązana zaznaczono na rysunku.3. Rys..3. Warunek początkowy zadany na początku kanału. Warunek początkowy zadany na końcu obszaru rozwązana będze mał postać analogczną do (.30): 6
E x= L = h x= L α Q x= L g Ax= L. (.3) Umejscowene warunku (.3) przedstawa rysunek.4. Rys..4. Warunek początkowy zadany na końcu kanału. Kerunek całkowana równana (.6) oraz mejsce zadana warunku początkowego określone jest zwykle przez praktyczną możlwość uzyskana wymaganej nformacj oraz przez czynnk determnujące układ zwercadła wody (Chanson 004b). Przykładowo do określena krzywej spętrzena mejscem w którym należy zadać warunek początkowy jest przekrój zapory co przedstawono na rysunku.5. Natomast rysunek.6 przedstawa mejsce zadana warunku początkowego przy oblczanu układu zwercadła wody przy wypływe spod zasuwy. Rys..5. Mejsce zadana warunku początkowego w przypadku kanału przegrodzonego budowlą pętrzącą. 7
Rys..6. Mejsce zadana warunku początkowego przy wypływe spod zasuwy. Rozwązanem zagadnena początkowego jest węc krzywa h(x) która przechodz przez punkt o zadanych współrzędnych (x 0 h(x 0 )) lub (x L h(x L )). Drugm typem zagadnena formułowanego dla równań różnczkowych zwyczajnych jest zagadnene brzegowe. Zagadnene to można formułować dla równana różnczkowego zwyczajnego rzędu wyższego nż bądź dla układu równań różnczkowych I rzędu. Poneważ każde równane rzędu N można zastąpć równoważnym układem N równań I rzędu wystarczy rozpatrzyć tylko problem rozwązana zagadnena brzegowego dla układu równań. Zagadnene brzegowe dla układu równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu w przedzale a b ma następującą postać: y' = f ( x y) (.3) y ( a) = y y( b) = y (.33ab) a b gdze: y ' - wektor pochodnych funkcj y T f = ( f f f N ) - wektor funkcyjny y y a b - wektory wartośc funkcj y na początku końcu obszaru rozwązana. Poszukwane rozwązane zagadnena brzegowego mus spełnać równane (.3) oraz warunk (.33a) (.33b) zadane na krańcach dzedzny rozwązana. O le rozwązane zagadnena początkowego dla równań różnczkowych zwyczajnych udaje sę uzyskać prawe zawsze to w przypadku zagadnena brzegowego znalezene rozwazana może być nemożlwe. 8
Jeśl chodz o przepływy w kanałach otwartych to zagadnene brzegowe dla równań (.5) (.6) formułuje sę wówczas gdy oprócz wyznaczena układu zwercadła wody koneczne jest oblczene wartośc natężena przepływu lub współczynnka szorstkośc. W przypadku zagadnena brzegowego poszukuje sę takej funkcj która spełna zarówno równana jak dodatkowe warunk zadane na obu brzegach dzedzny rozwązana. Oznacza to że poszukwany jest tak układ zwercadła wody przy którym spełnone są oba warunk (.30) (.3) oraz spełnone są równana (.5) (.6). Przykładem zagadnena brzegowego jest problem wyznaczena układu zwercadła wody w kanale łączącym dwa zbornk o stałych pozomach wody (rys..7). Mejsce zadana warunków brzegowych dla tych równań przedstawono na rysunku.7b. a) b) Rys..7. Kanał łączący dwa zbornk: a) wdok z góry b) przekrój wzdłuż os kanału. Jeśl w równanu różnczkowym zwyczajnym I rzędu występuje parametr σ to możlwe jest sformułowane zagadnena brzegowego dzęk możlwośc wprowadzena dodatkowego równana różnczkowego zwązanego z tym parametrem (Ascher Petzold 998). Można założyć że w rozpatrywanej dzedzne parametr ten zachowuje stałą wartość czyl: dσ = 0 (.34) dx 9
gdze σ jest parametrem o neznanej wartośc. Dzęk takemu postępowanu możlwe staje sę sformułowane rozwązane zagadnena brzegowego dla układu równań składającego sę z równana wyjścowego I rzędu oraz z dodatkowego równana umożlwającego wyznaczene poszukwanej wartośc parametru. W przypadku przepływu w kanale otwartym sytuacja taka wystąp gdy oprócz układu zwercadła wody neznane jest natężene przepływu w kanale Q lub współczynnk szorstkośc kanału n..5. Równane energ mechancznej jako ogólny model przepływu ustalonego nejednostajnego Aby rozwązać zagadnene początkowe dla któregokolwek z przedstawonych układów równań opsujących przepływ ustalony nejednostajny należy posłużyć sę metodam przyblżonego rozwązywana równań różnczkowych zwyczajnych. W praktyce najczęścej stosowane są metody jednokrokowe gdyż ne wymagają one stosowana stałego kroku całkowana. Jest to stotna zaleta gdyż w cekach naturalnych uzyskane danych opsujących geometrę koryta w równych odstępach wzdłuż os kanału jest nemożlwe. Chow (959) French (985) oraz Chanson (004a) opsują standardową metodę krokową (the standard step method) która jak sę okazuje jest tożsama z rozwązanem równana różnczkowego (.6) nejawną metodą trapezową (Szymkewcz 00). Jak wynka z przeglądu lteratury do rozwązana równań przepływu ustalonego nejednostajnego często stosowana jest równeż jawna metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego (Msra 998; Szymkewcz 000). Poneważ bez względu na to czy do dyskretyzacj równana (.6) zastosowane zostaną metody jawne czy nejawne w każdym kroku oblczeń koneczne jest rozwązane algebracznego równana nelnowego. Zatem ze względów praktycznych korzystnej jest stosować metody nejawne. Umożlwają one osągnęce lepszej dokładnośc oblczeń a ze względu na charakter równań opsujących przepływ ustalony nejednostajny ne powodują zwększena kosztu oblczeń. Rozwążmy kolejno trzy wcześnej przedstawone równana opsujące przepływ ustalony nejednostajny tzn.: równane dynamczne (.6) równane energ w postac (.4) oraz równane (.6). Do rozwązana zastosujmy nejawny schemat trapezowy (Ascher Petzold 998): x y = y ( f ( x y ) f ( x y ) ) (.35) w którym oznacza ndeks przekroju oblczenowego a x jest krokem całkowana. 0
Rozpatrzmy równana de Sant-Venanta w warunkach przepływu ustalonego. Zakładając że natężene przepływu Q oraz współczynnk korekcyjny pędu β ne zmenają sę wzdłuż os kanału równane dynamczne (.6) można zapsać następująco: β Q g A da dx dh = S. (.36) dx Aproksymację powyższego równana wykonamy schematem trapezowym nejawnym zapsanym w postac formuły równoważnej do (.35): y x f ( x y ) f ( x y ) =. (.37) y W rezultace otrzymuje sę różncową postać równana dynamcznego: β Q g ( A A A ) A x h h x = ( S S ) (.38) które po uporządkowanu przyjme formę: β Q ( ) g A A A A h h x ( S S ) = 0. (.39) W równanu (.39) jedyną newadomą jest rzędna zwercadła wody h węc rozwązane można uzyskać bez potrzeby formułowana układu równań jak to ma mejsce w przypadku rozwązywana układu równań de Sant-Venanta. Informację umożlwającą rozpoczęce oblczeń dostarcza warunek początkowy (.30) lub (.3). Równane (.39) jest nelnowe względem h w zwązku z czym do jego rozwązywana koneczne jest stosowane metod przyblżonego poszukwana perwastków równań nelnowych takch jak metoda Newtona metoda bsekcj tp. W przypadku gdy całkowane odbywa sę zgodne z kerunkem przepływu we wzorach różncowych szukaną jest rzędna zwercadła wody ndeksowana jako. Natomast gdy całkowane odbywa sę w kerunku przecwnym do przepływu wody szukane są wartośc z ndeksem. Jeśl chodz o rozwązane zagadnena początkowego równana energ mechancznej to dla uproszczena rozważań załóżmy że dopływ boczny ne występuje. W takej sytuacj
aproksymacja równana (.6) metodą trapezową nejawną prowadz do ponższej zależnośc: h α Q α Q x = h g A g A ( S S ). (.40) Jej grafczną nterpretację przedstawa rysunek.8. Zauważmy że otrzymana formuła jest tożsama z przytoczoną w rozdzale formułą (.4) czyl z dyskretnym równanem zachowana energ mechancznej. Rys..8. Ilustracja aproksymacj równana energ (.6) nejawną metoda trapezową (.35). Przyjęty warunek początkowy nformuje nas o rzędnej zwercadła wody w przekroju zatem w równanu (.40) występuje tylko jedna newadoma którą jest rzędna zwercadła wody h. Poneważ parametry przekroju są funkcją rzędnej zwercadła wody to równane jest równanem algebracznym nelnowym. W zwązku z tym tak jak w przypadku dyskretnej postac równana dynamcznego równeż do rozwązana równana (.40) należy zastosować jedną z metod przyblżonego oblczana perwastków równań nelnowych (np. metoda bsekcj secznych teracj prostej czy Newtona). Trzecm równanem opsującym przepływ ustalony nejednostajny jest standardowe równane ważne dla kanałów pryzmatycznych. W wynku aproksymacj schematem trapezowym nejawnym równane (.4) przyjmuje następującą formę: = x s S s S α Fr α Fr. (.4)
Analogczne do równana dynamcznego (.36) równana energ (.6) równeż w tym przypadku w każdym kroku oblczeń koneczne jest rozwązane równana nelnowego. Jednak jest to koneczne tylko w przypadku stosowana schematów nejawnych takch jak zastosowana tutaj metoda (.35). W sytuacj gdy równane (.4) jest aproksymowane schematem jawnym jego dyskretna postać jest równanem algebracznym lnowym dzęk czemu wprost można oblczyć głębokość w szukanym przekroju. Jak wynka z wcześnejszych analz przepływ ustalony nejednostajny w kanałach otwartych może być opsany w trojak sposób. W zwązku z tym nteresującym wydaje sę porównane wynków otrzymanych wskutek zastosowana nejawnej metody trapezowej do rozwązana numerycznego omawanych wyżej trzech różnych równań różnczkowych. W tym celu rozważmy ponższy przykład. Przykład.. Rozpatrzmy przepływ ustalony nejednostajny w kanale prostokątnym o szerokośc B=5 m długośc 3750 m o stałym spadku dna wynoszącym s=000 [-] w którym natężene przepływu wynos Q=5 m 3 /s. Załóżmy ż na końcu kanału znajduje sę budowla pętrząca w wynku czego głębokość wody w przekroju końcowym wynos L =5 m. Jest ona wększa od głębokośc normalnej odpowadającej przyjętemu natężenu przepływu w rozpatrywanym kanale. Współczynnk szorstkośc wg Mannnga wynos n=003 s/m /3. Krok całkowana przyjęto równy x = 50 m. Równane nelnowe rozwązywano metodą Newtona z dokładnoścą równą ε = 00000 m określającą maksymalną dopuszczalną różncę dwóch kolejnych przyblżeń rzędnej zwercadła wody w przekroju oblczenowym. Rysunek.9 przedstawa rozwązane równana dynamcznego równana energ oraz równana standardowego stosowanego dla kanałów pryzmatycznych dla przyjętych wyżej danych. Maksymalna różnca mędzy rozwązanem równana energ a rozwązanem równana dynamcznego wynosła ε = 00059 m. Jak można zauważyć na rysunku.9 w przypadku krzywej spętrzena w kanale prostokątnym wynk oblczeń otrzymane wskutek wykorzystana omówonych równań są praktyczne dentyczne. 3
Rys..9. Krzywe spętrzena otrzymane w wynku użyca różnych model: a) równane energ b) równane dynamczne c) równane standardowe. Przykład.. Rozważmy przepływ w kanale prostokątnym o długośc L=50 m szerokośc dna B=5 m szorstkośc wynoszącej n=003 s/m /3. Dno kanału ma stały spadek s=000 [-]. Kanał podzelono na 00 odcnków oblczenowych o długośc x = 5 m. Natężene przepływu w kanale ma wartość Q=5 m 3 /s. Warunkem początkowym do oblczeń jest głębokość w końcowym przekroju wynosząca L =06 m. Głębokość ta jest mnejsza od głębokośc normalnej odpowadającej przyjętemu natężenu przepływu w rozpatrywanym kanale. Układ zwercadła wody h(x) będący rozwązanem przykładu. przedstawono na rysunku.0. Jak można zauważyć różnce pomędzy rozwązanam równań energ dynamcznego oraz równana standardowego są wyraźnejsze. Rys..0. Krzywe depresj otrzymane w wynku użyca różnych model: a) równane energ b) równane standardowe c) równane dynamczne. 4
Kolejny przykład lustruje znaczne zróżncowane wynków uzyskane w przypadku wypływu spod zasuwy. Przykład.3. Rozważmy pozomy odcnek kanału prostokątnego o szerokośc B= m współczynnku szorstkośc równym n=003 s/m /3 który przegrodzony jest śluzą. Zasuwa otwarta jest na wysokość 0 = 03 m którą to wartość zadano jako warunek początkowy do oblczeń. Wartość natężena przepływu równa jest Q= m 3 /s. Krok całkowana wynos x = 00 m. Otrzymane krzywe przedstawa rysunek.. Rys... Układ zwercadła wody dla zagadnena wypływu spod zasuwy: a) równane energ b) równane standardowe c) równane dynamczne. W przypadku zastosowana rozpatrywanych równań przepływu ustalonego nejednostajnego do zagadnena wypływu spod zasuwy wdoczne jest w przecweństwe do przykładu. wyraźne zróżncowane wynków. Przedstawone powyżej przykłady wykazują ż różne równana mogą prowadzć do różnych wynków w zależnośc od analzowanego przypadku przepływu. Rozwązana równana dynamcznego oraz równana energ różną sę gdyż ch aproksymacje różncowe ne są dentyczne. Fakt ten był sygnalzowany przez Cunge olly Verwey (979). Natomast różnce mędzy rozwązanem równana energ oraz równana standardowego dla kanałów pryzmatycznych są tym wększe m bardzej rozpatrywany przepływ jest zblżony do krytycznego. Sugeruje to ż przyczyną różnc jest fakt ż standardowe równane stosowane do oblczeń w kanałach pryzmatycznych posada asymptotę ponową w punkce głębokośc krytycznej. 5
Z uzyskanych rozwązań wynka że chocaż do modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego można wykorzystać dowolne z rozważanych równań to otrzymane rezultaty różną sę w zależnośc od warunków przepływu. Równane (.4) standardowo stosowane dla koryt pryzmatycznych staje sę neokreślone gdy przepływ jest zblżony do krytycznego. Jest to duża nedogodność gdyż w pewnych warunkach uzyskane rozwązana jest nemożlwe. Kolejną wadą tego równana jest to ż ne nadaje sę ono do oblczeń w kanałach naturalnych przez co jego zastosowane w praktyce jest ogranczone. Z tego punktu wdzena równane energ (.6) równane dynamczne (.36) mają lepsze właścwośc. Po perwsze necągłośc ne pojawają sę a po druge mogą one być stosowane dla dowolnego typu kanałów. Istotnego argumentu decydującego o wyborze równana dostarcza jego fzyczna nterpretacja. Równane energ (.6) w sposób oczywsty gwarantuje spełnene zasady zachowana energ. Fakt ten można wykazać całkując równane na odcnku kanału ogranczonym dwoma przekrojam o odcętych x oraz x : E x de = Oblczene całk po lewej strone równana daje zależność E x S dx. (.4) x E E S dx. (.43) = Po podstawenu zależnośc (.3) otrzymuje sę równane h α Q g A x α Q h g A = S x. (.44) Powyższy wynk nterpretuje sę następująco: różnca wysokośc energ w dwóch przekrojach jest równa stratom energ na tym odcnku. Postępując dentyczne z równanem (.4) otrzymuje sę następującą postać całkową: d = Po scałkowanu jego lewej strony mamy: x x s S α Fr dx. (.45) = x x s S α Fr dx. (.46) 6
Dla równana (.46) ne możemy podać tak oczywstej fzycznej nterpretacj całkowej formy równana wyjścowego jak to mało mejsce w przypadku równana energ (.6). Jest to stotny argument przemawający za stosowanem równana (.6) jako podstawowego jednowymarowego modelu przepływu. Z kole równane dynamczne ne wykazuje żadnych stotnych zalet w porównanu z równanem energ. W zwązku z tym przyjęce równana energ jako ogólnego modelu przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach otwartych wydaje sę całkowce uzasadnone. Z tego powodu dalsze analzy ustalonego nejednostajnego przepływu w kanałach otwartych będą odnesone wyłączne do tego równana. 3. Numeryczne rozwązane zagadnena początkowego różnczkowego równana energ mechancznej opsującego ustalony przepływ nejednostajny Rozwązane równana (.6) można otrzymać stosując różne metody numerycznego rozwązywana równań różnczkowych zwyczajnych. W rozdzale do rozwązana zastosowano nejawną metodę trapezową. Chocaż właścwośc tej metody w szczególny sposób predestynują ją do rozwązana równana (.6) to teoretyczne ne ma żadnych przeszkód aby zastosować dowolną spośród bardzo lcznych metod numerycznego rozwązana zagadnena początkowego równana różnczkowego zwyczajnego. Jednak z powodów praktycznych najlepsze są metody które operują jedyne wartoścam węzłowym ne wymagają nterpolacj parametrów w przekrojach pośrednch kanału pomędzy węzłam. Ten aspekt problemu praktyczne elmnuje z rozważań metody welokrokowe oraz metody jednokrokowe typu Rungego-Kutty. Jeśl chodz o metodę Rungego-Kutty to należy stwerdzć że bardzo dobrze nadaje sę ona do oblczeń w kanałach pryzmatycznych. Jednak w przypadku kanałów naturalnych których geometrę znamy tylko w mejscach pomaru przekrojów poprzecznych wymagana jest nterpolacja parametrów kanałów w przekrojach pośrednch. Wprowadza to dodatkowy trudny do oszacowana błąd lokalny. Zastosowane metody Rungego-Kutty do rozwązana równana (.6) zostane przedstawone dalej w podrozdzale 3.3. 7
8 3.. Ogólna metoda dwupozomowa Jeśl chodz o wspomnaną nejawną metodę trapezową opsaną zastosowaną w rozdzale to można ją potraktować jako szczególny przypadek rodzny metod do której należy także jawna nejawna metoda Eulera oraz metoda Galerkna. Metody te są szczególnym przypadkam ogólnej metody dwupozomowej którą można zapsać następująco: ( ) ) ( ) ( ) ( = y x f y x f x y y θ θ (3.) gdze θ jest parametrem wagowym o wartośc z przedzału 0. Zauważmy że dla szczególnych wartośc tego parametru otrzymujemy poszczególne metody. I tak: dla θ =0 równane (3.) staje sę jawnym schematem Eulera; dla θ =/ równane (3.) staje sę nejawnym schematem trapezowym; dla θ =/3 równane (3.) staje sę metodą Galerkna; dla θ = równane (3.) staje sę nejawnym schematem Eulera. Zastosujmy formułę (3.) do rozwązana równana (.6). Otrzymamy następującą aproksymację tego równana: 0 ) ( 3 4 / 3 4 / = A R Q n A R Q n x A g Q h A g Q h θ θ α α. (3.) Przy znanym (z warunku początkowego lub poprzednego kroku oblczeń) pozome zwercadła wody w przekroju jedyną newadomą w równanu (3.) jest rzędna zwercadła wody w przekroju sąsednm. Jednakże równane (3.) jest równanem nelnowym względem h = ) ( A g Q h A g Q h h F α α. Jego rozwązane jest węc problemem znalezena perwastków funkcj: 3 4 / 3 4 / ) ( A R Q n A R Q n x θ θ. (3.3) Jak pokazano w rozdzale rozwązane równana (3.) z θ =/ czyl nejawną metodą trapezową w nektórych sytuacjach zapewna rozwązane nebudzące wątplwośc zaś w
nnych generuje rozwązana nefzyczne. Ilustracją tych przypadków są rysunk.6 oraz.7. Można przypuszczać że przyczyną tego są właścwośc funkcj F(h ). 3.. Analza własnośc funkcj F(h ) W celu przeprowadzena analzy dyskretnej formy równana energ przyjmjmy schemat oblczenowy przedstawony na rysunku 3.. Rys. 3.. Schemat oblczenowy do równana (3.). Aproksymacja równana energ ogólną metodą dwupozomową ma postać (3.). W zwązku z tym ż przepływ odbywa sę zgodne z kerunkem rosnących wartośc os x wartość natężena przepływu można przyjąć jako dodatną. Dla uproszczena rozważmy jedyne dwa sąsadujące ze sobą przekroje oblczenowe które oznaczymy ndeksam oraz. Zatem równane (3.) przyjme postać: α Q α Q n Q n Q h ( ) = 4 / 3 4 / 3 h x θ θ g A g A R A R A 0. (3.4) W równanu tym newadomą jest rzędna zwercadła wody w przekroju ndeksowanym jako. W dalszej analze dla wygody posłużymy sę głębokoścą zamast rzędnej. Schemat oblczenowy dla tego przypadku lustruje rysunek 3.. Ponadto załóżmy stałą wartość współczynnka korekcyjnego energ α. Ostateczne badana funkcja przyjme postać: 9
F( ) α Q x s g A α Q g A = n Q n Q x ( θ ) θ. 4 / 3 4 / 3 R A R A (3.5) Znając położene zwercadła wody w przekroju na końcu odcnka kanału (ndeks ) położene zwercadła wody w przekroju otrzymujemy rozwązując równane: F ( ) = 0. (3.6) Jak pokazano w rozdzale nekedy uzyskane rozwązane jest nefzyczne zdecydowane odbega od spodzewanego. Aby wyjaśnć przyczynę tego faktu należy wykonać zbadać przebeg zmennośc funkcj (3.5). W tym celu rozpatrzmy hpotetyczne zadane. Załóżmy że przepływ o natężenu Q= m 3 /s odbywa sę w kanale prostokątnym o spadku dna równym s=000 [-] szerokośc B=5 m współczynnku szorstkośc wg Mannnga n=003 s/m /3. W przekroju końcowym zadana jest głębokość L = =075 m. Załóżmy dodatkowo θ =/ co oznacza że równane ruchu ustalonego nejednostajnego rozwązujemy nejawnym schematem trapezowym. Dla powyższych danych stablcujmy funkcję (3.5) przyjmując różne wartośc odległośc pomędzy przekrojam x. Na rysunku 3. przedstawone są wykresy funkcj (3.5) odpowadające różnym wartoścom kroku całkowana x. Rys. 3.. Wykres funkcj (3.6) dla różnych wartośc kroku całkowana. Można zauważyć że wraz ze zmaną wartośc x zmena sę kształt funkcj F( ). Z rysunku wynka że perwastek o najwększej wartośc występuje zawsze nezależne od przyjętej wartośc kroku całkowana x. Natomast dla małych wartośc x pojawają sę 30
dwa dodatkowe perwastk. Fakt ten oznacza że równane posada węcej nż jedno rozwązane. Konsekwencją tego są wspomnane wcześnej przedstawone na rysunku.7 rozwązana nefzyczne. Wydaje sę że otrzymano je w wynku przypadkowego wyboru perwastka równana. Wspomnany przykład rozwązywano metodą Newtona która dla funkcj posadających węcej nż jedno mejsce zerowe tzn. gdy funkcja ne jest monotonczna może prowadzć do przypadkowego rozwązana. Do podobnego wynku mogą prowadzć wszystke znane metody rozwązywana równań nelnowych. Interesujące jest także odnesene wartośc perwastków fzycznych do wartośc głębokośc krytycznej. Dla rozpatrywanego przypadku głębokość krytyczna wynos kr =06 m zatem jak wynka z rysunku perwastk rozłożone są po obu stronach tej wartośc. W zwązku z powyższą własnoścą pojawa sę problem wyboru odpowednego perwastka w trakce rozwązywana równana (3.5). Przebeg funkcj sugeruje że sukcesywne wyberając perwastek po lewej strone głębokośc krytycznej (gdze (x)<kr) otrzymamy układ zwercadła wody odpowadający krzywej spętrzena odzwercedlającej np. wypływ spod zasuwy (rys..b) natomast wybór perwastka o wartośc wększej od głębokośc krytycznej (gdze (x)> kr ) pozwol uzyskać krzywą depresj lub spętrzena odpowadającą odpowedno swobodnemu wypływow z kanału lub cofce (rys..a). Można węc przypuszczać że równane ruchu ustalonego nejednostajnego (.6) można wykorzystywać do oblczeń układu zwercadła wody zarówno dla przepływu rwącego jak przepływu spokojnego. Jednak jak wynka z wykresów przedstawonych na rysunku 3. aby możlwe było otrzymane rozwązana odpowadającego ruchow rwącemu koneczne jest stosowane małych wartośc x. Wydaje sę ż wyjaśnenem tego faktu może być to że ruch rwący w kanałach otwartych poza przypadkam szczególnym zwykle występuje lokalne na stosunkowo krótkch odcnkach kanału przez co krok całkowana mus być odpowedno mały aby możlwe było odwzorowane tego zjawska. Poneważ równane (3.4) jest wynkem aproksymacj równana różnczkowego można przypuszczać że postać funkcj F( ) (3.5) wynka z przyjętej metody rozwązana czyl zależy od sposobu wykonana jej aproksymacj. W zwązku z tym uzasadnone jest przypuszczene że jej kształt będze w pewnym stopnu zależny także od przyjętej wartośc parametru θ. Zależność taką dla zestawu poprzedno przyjętych danych przedstawono na rysunkach 3.3 oraz 3.4. 3
Rys. 3.3. Wykres funkcj (3.) przy kroku całkowana równym x=05 m. Rys. 3.4. Wykres funkcj (3.) przy kroku całkowana równym x=5 m. Rysunek 3.3. przedstawa przebeg zmennośc funkcj (3.5) przy różnych wartoścach parametru θ dla kroku całkowana x = 05 m natomast rysunek 3.4 przy wartośc kroku całkowana wynoszącym x = 5 m. Można zauważyć że charakter funkcj wyraźne zależy od przyjętego sposobu aproksymacj. W przypadku gdy równane energ aproksymowane jest formułą jawną (θ =0 jawny schemat Eulera) badana funkcja ma dwa mejsca zerowe a jej kształt praktyczne ne zależy od welkośc kroku całkowana. Natomast równana różncowe otrzymane w wynku aproksymacj schematam nejawnym (θ =/ metoda trapezowa nejawna θ = nejawny schemat Eulera) mają nne własnośc. Lczba mejsc zerowych funkcj F( ) zmenająca sę od jeden do trzy wynka z nelnowośc członu strat energ. Dokonajmy próby wyjaśnena zmennego kształtu funkcj F( ) zależne od typu zastosowanej metody rozwązana. W wynku aproksymacj równana energ zarówno schematam jawnym jak nejawnym otrzymuje sę algebraczne równana nelnowe. Jednak charakter tych równań 3
różn sę stotne. Stosowane schematów jawnych skutkuje powstanem algebracznych równań nelnowych w których nelnowość wynka tylko z charakteru zależnośc opsującej wysokość energ właścwej w przekroju (rys. 3.5) opsanej wzorem: E = α Q g A. (3.7) Rys. 3.5. Przykładowy wykres zależnośc wysokośc energ właścwej od głębokośc w przekroju. Natomast nelnowość równań różncowych otrzymanych na skutek aproksymacj schematam nejawnym jest wynkem zarówno nelnowośc członu energ właścwej jak nelnowośc członu strat energ (rys. 3.6) wyrażonego ponższą formułą: E = x (( ) S θ S ) θ. (3.8) Rys. 3.6. Przykładowy wykres wysokośc energ właścwej (kolor czarny) oraz wysokośc strat E (kolor czerwony) w zależnośc od głębokośc w przekroju. Ogólny wzór wynkający z aproksymacj równana energ schematam jawnym można przedstawć jako sumę rzędnej dna energ właścwej oraz członu który ne zależy od szukanej głębokośc: 33
34 0 = Φ A g Q Z α. (3.9) Dla jawnego schematu Eulera (θ =0) człon Φ będze opsany następującą zależnoścą: S x A g Q Z Φ = α. (3.0) Jak wdać jego wartość ne zależy od szukanej rzędnej w przekroju ndeksowanym jako. Natomast w przypadku stosowana formuł nejawnych pojawa sę dodatkowy człon zależny od szukanej głębokośc który jest slne nelnowy. Dla formuły trapezowej nejawnej analogczna zależność do (3.9) będze następująca: 0 = Φ S x A g Q Z α (3.) przy czym: S x A g Q Z Φ = α. (3.) Lczba mejsc zerowych równana różncowego (3.5) powstałego na skutek aproksymacj schematem trapezowym nejawnym (θ =/) zależy od wzajemnej relacj jego składowych: E E E F = ) ( (3.3) gdze: A g Q Z E = α (3.4) A g Q Z E = α (3.5) ( ) S S x E =. (3.6) Uwzględnając wzór (.4) opsujący spadek ln energ w przekroju można zapsać że strata energ wynos:
x n Q n Q E =. 4 / 3 4 / 3 (3.7) R A R A Równane (3.3) można nterpretować jako blans energ właścwej dla odcnka kanału ogranczonego przekrojam - natomast równane (3.7) jest oszacowanem wysokośc straty energ pomędzy przekrojam. Mejsca zerowe funkcj znajdują sę w punktach przecęca wykresów jej składowych E -E oraz E. W przypadku gdy stneje tylko jeden perwastek funkcja opsująca straty rośne szybcej w kerunku malejących głębokośc nż funkcja opsująca energę właścwą. Wówczas stneje tylko jeden punkt przecęca co przedstawa rysunek 3.7a. Rysunek 3.7b przedstawa wykres funkcj F( ) oraz jej pochodnej. Jak można zauważyć funkcja ta w całej dzedzne jest monotonczna a pochodna ne ma mejsc zerowych. Rys. 3.7. Przykładowy wykres: a) składowych funkcj F( ) b) funkcj F( ) oraz jej pochodnej w przypadku występowana jednego mejsca zerowego. Jeśl funkcja opsująca wysokość strat (3.7) dla głębokośc mnejszych od krytycznej lokalne ma wartośc mnejsze nż funkcja E -E wówczas występują trzy perwastk (rys. 3.8a) a pochodna funkcj ma dwa mejsca zerowe odpowadające lokalnemu maksmum mnmum funkcj (rys. 3.8b). 35
Rys. 3.8. Przykładowy wykres: a) składowych funkcj F( ) b) funkcj F( ) oraz jej pochodnej w przypadku występowana trzech mejsc zerowych. Tę własność można wykorzystać do określena lczby mejsc zerowych funkcj (3.5) dla takch wartośc parametru θ przy których otrzymuje sę schemat nejawny. Wnosek dotyczący lczby mejsc zerowych można sformułować następująco: jeśl dla jakejkolwek głębokośc mnejszej od głębokośc krytycznej wartość funkcj (3.7) opsującej straty energ jest mnejsza lub równa wartośc funkcj opsującej wysokość energ to funkcja (3.5) ma dwa lub trzy mejsca zerowe. Jak powyżej wykazano zasadnczy wpływ na charakter funkcj F( ) ma numeryczna metoda rozwązana równana którą defnuje parametr wagowy θ. Jeśl przyjmuje on wartośc wększe od zera oznacza to że w równanu aproksymującym uwzględnany jest slne nelnowy człon strat energ. Warto zatem zbadać czy zastosowana formuła opsująca wysokość strat energ równeż wpływa na kształt funkcj. W tym celu stratę energ wyraźmy wzorem Darcy-Wesbacha: S Q = λ (3.8) 4R g A gdze λ jest współczynnkem oporów natomast R jest promenem hydraulcznym. Do oszacowana współczynnka oporów λ można zastosować formułę Colebrooka-Whte a (Kubrak 998; Chanson 004b): 36
= log λ 0 5 k s (3.9) Re λ 37 4 R gdze k s oznacza chropowatość absolutną ścan kanału natomast Re jest lczbą Reynoldsa. Wzór opsujący lczbę Reynoldsa w kanałach otwartych ma następującą formę: 4 Q R Re = (3.0) ν A gdze ν jest współczynnkem lepkośc knematycznej. Funkcja (3.5) z członem strat energ opsanym za pomocą formuły Darcy-Wesbacha ma postać: F( ) α Q x s g A α Q g A = Q λ Q λ x ( θ ) θ. 8g A R 8g A R (3.) Aby możlwe było porównywane funkcj (3.5) oraz (3.) koneczne jest oblczene wartośc chropowatośc absolutnej kanału odpowadającej danej wartośc współczynnka szorstkośc wg Mannnga. Jak podaje Kubrak (998) odpowadającą wartość można oblczyć na podstawe zależnośc: / 6 k n s = 8. g (3.) Zgodne z powyższym wzorem wartość chropowatośc absolutnej odpowadająca współczynnkow szorstkośc n=003 s/m /3 wynese k s =478 mm. Na rysunku 3.9 przedstawono wykres funkcj (3.) otrzymany dla dentycznych danych wykorzystanych wcześnej dla funkcj (3.5). 37
Rys. 3.9. Wykres funkcj (3.) dla różnych wartośc kroku całkowana ( θ =/ ). Jak można zauważyć pommo użyca nnej formuły do opsu strat energ kształt funkcj ne uległ zmane. W celu lepszego porównana funkcj (3.5) oraz (3.) ch wykresy dla dwóch skrajnych wartośc kroku całkowana x zestawono na jednym rysunku 3.0. Jak wdać badane funkcje mają bardzo podobny przebeg dla takch samych wartośc kroku całkowana odpowadających sobe danych opsujących szorstkość. Rys. 3.0. Wykresy funkcj (3.5) kolor czarny oraz (3.) kolor czerwony. Lna cągła oznacza wykres stworzony dla wartośc x=05 m natomast lna przerywana dla x=5 m. Zatem można wnoskować że formuła opsująca straty energ praktyczne ne wpływa na kształt funkcj a tym samym na lość mejsc zerowych które ta funkcja posada. Można wykazać że wpływ współczynnka szorstkośc wg Mannga na kształt funkcj (3.5) jest podobny do wpływu welkośc kroku całkowana x. Wnosek ten z praktycznego punktu wdzena ma newelką wartość gdyż szorstkość kanału jest parametrem fzycznym natomast krok całkowana x może być przyjmowany dowolne. 38
Stosowane małego kroku całkowana sprawa że dyskretna postać funkcj opsującej przepływ ustalony nejednostajny może posadać węcej nż jedno mejsce zerowe. Jest to przyczyną wspomnanych w rozdzale trudnośc pojawających sę w trakce rozwązywana równana energ. W sytuacj gdy funkcja posada węcej nż jedno mejsce zerowe algorytmy numerycznego rozwązywana algebracznych równań nelnowych mogą prowadzć do przypadkowego wyboru perwastków tego równana. Warunkem otrzymana poprawnego rozwązana jest wybór odpowednego perwastka. Mus to być perwastek odpowadający rozpatrywanemu rodzajow ruchu. O le w przypadku przepływów rwących całkowane równana ruchu wymaga stosowana względne małych wartośc x to rozwązane tego samego równana w warunkach przepływu spokojnego otrzymujemy nezależne od przyjętej wartośc x pod warunkem że w trakce rozwązywana równana wyberany będze perwastek położony na prawo od głębokośc krytycznej (rys. 3.). Fakt ten można zlustrować ponższym przykładem oblczenowym. Przykład 3.. Rozważmy przepływ o natężenu Q=3 m 3 /s w pryzmatycznym kanale o przekroju prostokątnym którego długość wynos L=500 m. Spadek dna kanału równy jest s=000 [-] a współczynnk szorstkośc wg Mannnga n=003 s/m /3. Szerokość dna kanału równa jest B=4 m. W kanale tym poszukwany jest układ zwercadła wody przy warunku zadanym w końcowym przekroju kanału L =5 m. Rys. 3.. Oblczone układy zwercadła wody dla różnych wartośc kroku całkowana x. Na rysunku 3. przedstawono rozwązana otrzymane dla x=05 m x=5 m x=5m. Jak wdać różnce pomędzy poszczególnym rozwązanam są praktyczne nezauważalne a układ zwercadła wody jest zgodny z oczekwanym. 39
3.3. Dyskusja stnena rozwązana jego jednoznacznośc W zwązku z faktem ż nelnowe równana algebraczne otrzymane w wynku aproksymacj równana różnczkowego mogą meć od jednego do trzech perwastków nteresujące jest pytane o powód takej sytuacj. Czy jest to własność równana algebracznego czy równana różnczkowego? Aby odpowedzeć na to pytane należy zbadać czy równane energ opsujące przepływ ustalony nejednostajny spełna warunek Lpschtza który gwarantuje jednoznaczność rozwązana (Kncad Cheney 00). Rozważmy zatem rozwązywane równane w postac: de dx = S. (3.3) Załóżmy że przepływ odbywa sę na pozomym odcnku kanału prostokątnego o znacznej szerokośc. W takej sytuacj promeń hydraulczny w przyblżenu jest równy głębokośc (Czetwertyńsk Utrysko 969; Avazan 998): R. (3.4) Wykorzystajmy do określena spadku ln energ formułę Darcy-Wesbacha: S Q λ (3.5) 8g A R = gdze A = B jest powerzchną przekroju czynnego. Uwzględnając warunek (3.4) wzór (3.5) uprośc sę do następującej postac: S Q λ = 8g B 3. (3.6) Załóżmy następne że analzujemy dwa przekroje położone blsko sebe a chropowatość kanału jest stała zarówno na jego długośc jak głębokośc (rys. 3.). 40
4 Rys. 3.. Rozważany odcnek kanału. Poneważ rozważamy przepływ wolnozmenny współczynnk oporów w obu analzowanych przekrojach pownen meć bardzo zblżone wartośc. Zatem zasadne jest założene ż współczynnk oporów mędzy dwoma blsko położonym przekrojam jest stały. = const λ Przy powyższych założenach nerówność Lpschtza (Kncad Cheney 00) przyjme postać: g U g U L x f x f ) ( ) ( α α. (3.7) Przy małej odległośc mędzy przekrojam można przyjąć że średne prędkośc w nch ne różną sę stotne. Można węc założyć że: 0 g U g U α α. (3.8) W rezultace nerówność Lpschtza upraszcza sę: ) ( ) ( L x f x f (3.9) a po uwzględnenu defncj prawej strony równana energ (3.3) przyjmuje postać: ) ( L S S. (3.30) Po wstawenu wzoru opsującego spadek ln energ otrzymujemy relację: 8 8 3 3 L B g Q B g Q λ λ. (3.3) Jej nterpretacja będze łatwejsza jeśl dokonamy dalszych przekształceń. W tym celu wyłączamy wartośc stałe przed moduł oraz porządkujemy: