MODELOWANIE WARSTWOWE NIEJEDNORODNYCH P YT SPR YSTYCH 1

Transkrypt

1 Arhitetura () MODELOWANIE WARSTWOWE NIEJEDNORODNYCH PYT SPRYSTYCH Jarosaw Zieliski Grupa PZU Warszawa Streszzenie. W pra rozwizano pt niejednorodne warstwowo obione w dowoln sposób na powierzhni górnej i dolnej. Zakada si e pta moe b zoona z warstw zarówno ortotropowh jak i izotropowh oraz e jej podzia na warstw moe b niesmetrzn wzgldem powierzhni rodkowej. Model zapewnia igo wielkoi statznh i kinematznh na powierzhniah podziau pt na warstw. Osiga si to przez wprowadzenie do opisu dodatkowh funkji zwanh korektorami. Funkje te wraz z przemieszzeniami powierzhni podziau oraz z zadanmi funkjami opisujmi rozkad przemieszze po gruboi pt su do skonstruowania pewnej postai wizów narzuonh na jej trójwmiarowe przemieszzenia. Metod zilustrowano przkadami oblize numerznh dla dwuwarstwowej pt prostoktnej. Sowa kluzowe: pt sprste pt warstwowe wiz modelowanie WSTP Badane w pra obiekt materialne s sprstmi ptami niejednorodnmi niekonieznie ienkimi. Analiza w ramah liniowej teorii sprstoi pt traktowanh jako iaa trójwmiarowe jest skomplikowana std potrzeba poszukiwania modeli uproszzonh. Znane uproszzone modele pt to modele dwuwmiarowe zli takie w którh poszukiwane wielkoi odnosi si nie do dowolnego punktu trójwmiarowej konguraji odniesienia lez do punktów pewnego dwuwmiarowego obszaru zwanego powierzhni rodkow pt. Poszukiwane przemieszzenia odksztaenia z naprenia w takim uproszzonm modelu zale nie od trzeh lez od dwu zmiennh przestrzennh. Celem pra jest skonstruowanie takiego modelu pt któr obejmowab take pt o redniej gruboi i grube oraz b warunki brzegowe na górnej i dolnej powierzhni pt b spenione w sposób is. Adres do korespondenji Corresponding author: Jarosaw Zieliski Msiado ul. Polnh Kwiatów / 5-5 Piasezno zielinski.j@gazeta.pl

2 64 J. Zieliski Punktem wjia do zrealizowania takiego elu jest opis pt jako iaa trójwmiarowego w ramah liniowej teorii sprstoi. Dla tak opisanh pt wprowadza si odpowiednie wiz na przemieszzenia wraaj je przez przemieszzenia nie jednej powierzhni rodkowej pt lez przez przemieszzenia powierzhni dzielh pt na warstw. Zastosowanie metod wizów wewntrznh do konstruowania modeli uproszzonh w mehanie zaproponowa w 97 roku Cz. Woniak [Woniak 97]. Metoda ta zostaa rozwinita w innh jego praah [Woniak ]. Po 97 roku zastosowaniem wizów wewntrznh w modelowaniu zjawisk mehaniznh zajmowali si m.in. Mazur-niad [97 99] i Utkin [975] którz rozwaali modelowanie prtów. Warstwowm opisem pt zajmowali si: Matsiak i Nagórko [ ] Nagórko [976 98] oraz Nagórko i Zieliski [ ]. Bd rozwiza przblionh w mehanie ia z wizami b analizowan przez Nagórk [ ]. Podsumowaniem pra z tego zakresu jest monograa Cz. Woniaka i M. Kleibera z 98 roku Nieliniowa mehanika konstrukji [Woniak i Kleiber 6]. Tam te mona znale obszern wkaz literatur. W latah dziewidziesith XX wieku Delavsk [99 995] zastosowa podobne podejie do modelowania orodków sprsth stawiaj jako el gówn w konstruowanh modelah przblionh ise spenienie warunków brzegowh przez wprowadzenie tzw. korektorów. W tm podejiu parametr kinematzne opisuje wiz nie musz mie ju interpretaji zznej i mog b zalene midz sob. Modele z korektorami dla przemieszze w którh wkazano ise spenienie warunków brzegowh dla belek i pt ortotropowh rozwaano w praah M. Delavskego M. Krawhuka W. Nagórki L. Onszki [Delavsk i in. 999a b]. Zagadnienie zstego zginania pt i belek o przekroju prostoktnm opisano w praah M. Delavskego M. Krawhuka W. Nagórki i A. Podhorekiego [Delavsk i in. 999b ]. W pra zastosowano metod wizów oraz modelowanie prowadze do isego spenienia warunków brzegowh z wkorzstaniem korektorów. KONSTRUKCJA MODELU WARSTWOWEGO PYT h h Przjmijm konguraj odniesienia pt w postai gdzie jest obszarem w R a h gruboi pt. Wspórzdne punktów obszaru oznazm h h teraz przez (x x ) tak e ( x ). Przez i + oznazm odpowiednio powierzhni doln i górn pt. Konstrukja warstwowego modelu dwuwmiarowego pt oparta bdzie na jej dskretzaji na warstw. Podzia na warstw nie musi wnika z jej niejednorodnoi z innh eh strukturalnh. Pt podzielim paszzznami równolegmi do paszzzn (x x ) przehodzmi h h przez punkt a a... tak e... (rs. ). Ata Si. Pol.

3 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 65 h h - x h Rs.. Podzia pt na warstw Fig.. Division of the plate into laers Otrzmane warstw oznazm przez:... gdzie = ( ). Z kolei lizb h = bd gruboiami warstw. Skadowe przemieszze -tej warstw oznazm przez: uk ukx x ukx x k. x x Arhitetura () 4 MODELOWANIE WARSTWOWE PYT Wiz wewntrzne Jeeli iao materialne nie moe zaj w przestrzeni zznej dowolnej konguraji bdej obrazem wzajemnie jednoznaznego odwzorowania konguraji odniesienia to mówim e na iao dziaaj wiz. Ogranizenia na dowolne pooenie iaa w przestrzeni zznej mog b spowodowane na przkad warunkami podparia iaa na brzegu lub iliwoi materiau. W pierwszm przpadku wiz nazwiem brzegowmi a w drugim wewntrznmi. Wiz brzegowe nie odgrwaj istotnej roli w modelowaniu z tego powodu zajmiem si wizami wewntrznmi. W przpadku modelowania warstwowego wiz na przemieszzenia narzuim w warstwie w postai: i i j j u x x v x x ; u x x v x x () gdzie: i =... n j =... m oraz funkje i j s funkjami ksztatu a funkje v v s funkjami poszukiwanmi i mog b zalene midz sob. j Bdziem zmierza do tego b kada warstwa ba opisana przez pi niezalenh funkji okrelonh w które oznazm przez w w f =. Pozostae funkje zwane korektorami bd tak dobrane b b spenione warunki igoi przemieszze i napre na powierzhniah podziau pt na warstw. Funkje te zostan okrelone jednoznaznie przez poszukiwane funkje w w f. W tej stuaji dla wizów () przjmiem n = 6 m = oraz ; ; 5 ; 6 ; 6 v w v w v f v f v f () i

4 66 J. Zieliski Nieh ponadto ; 4 v v v v () Wprowadm take zalenoi midz funkjami ksztatu: (4) 6 5; ; 4 gdzie dla dowolnej funkji g przez g oznazono pohodn g po. Uwzgldniaj warunki () (4) wiz () mona zapisa nastpujo: u x x w x x v x x v x x v x x 4 v x x 5 f f x x ( ) u x x w x x v x x v x x v x x v x x f f x x u x x w x x v x x v x x (5) Wiz (5) opisuj przemieszzenia warstw pt za pomo piiu poszukiwanh funkji w w f szeiu korektorów v v v = oraz siedmiu funkji ksztatu i i = W dalszm igu wznazm zalenoi midz korektorani i funkjami poszukiwanmi oraz okrelim funkje ksztatu. Równania skonstruowane w ten sposób dla pola przemieszze po podstawieniu do odksztae i napre doprowadz do równa na niewiadome w w f które uzskam korzstaj ze zwizków kon- sttu twnh postai kk Bklul ; l B6 u u ; B5 u u ; l B4 u u gdzie B klmn s stami (funkjami) materiaowmi oraz B kkll = = B kl B = B 4 B = B 5 B = B 6. W przpadku izotropowm stae materiaowe s równe B kk = + B kl = k l B 4 = B 5 = B 6 = > >. Oznazm naprenia na brzegu warstw =... > w nastpuj sposób: k k k k x x s x x ; x x s x x (6) Naprenia sk sk s nieznanmi siami wspódziaania warstw odpowiednio: i +. Dla = i = naprenia i k x x k x x s równe zadanm obieniom na dolnej i górnej powierzhni pt: kl l k kl l k nl nl s x x n q x x ; s x x n p x x (7) gdzie s skadowmi wersora zewntrznie normalnego odpowiednio powierzhni górnej i dolnej pt. Ata Si. Pol.

5 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 67 Wram teraz naprenia = =... w warstwie przez przemieszzenia przjmuj liniowe zwizki geometrzne. Podstawiaj przemieszzenia (5) do zwizków konsttutwnh oraz zakadaj dla i wkorzstuj równanie (6) otrzmam: = s B 5 w 5 f f v w s B4 w 5 f f v (8) w Jeeli wted z równa (8) mona wznaz korektor v v : v 5 s w f f w (9) v 5 s w f f w gdzie s s B5 B4 s s... Postpuj podobnie z napreniami dla = oraz wkorzstuj naprenia (6) otrzmam kolejne dwa korektor: s w 5 f f w v v s w 5 f f w () gdzie zaoono e oraz Arhitetura () 4.

6 68 J. Zieliski Gd = to we wzorah () nale za s podstawi odpowiednio p p. B 4 p p B 5 Podstawiaj przemieszzenia (5) do dla = =... zgodnie ze wzorem (6) oraz przjmuj mona wznaz korektor v : po podstawieniu korektorów () v s w B w f f 5 () s w w 5 f f B w 5 f f s w w 5 f f gdzie ponadto zaoono s B s =... i oraz 4 4 s q. W podobn sposób otrzmam korektor v dla powierzhni górnej : 4 v s w B w f f 5 s w w 5 f f B w 5 f f s 5 w w f f () Ata Si. Pol.

7 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 69 gdzie zaoono 4 s s s B p. oraz oznazono Podstawiaj wlizone korektor (9) () do przemieszze (5) otrzmam: 4 A f x x A f x x A w x x A w x x A w x x A w x x A f x x A f x x 4 A f x x A w x x A w x x 4 A f x x A f x x A f x x u x x A w x x A w x x u x x A w x x A w x x A w x x gdzie. W równaniah () indeks przjmuje dla = warto a dla = warto natomiast maierze A którh skadniki s wspóznnikami prz funkjah w w f oraz ih pohodnh s kombinajami funkji ksztatu i stah materiaowh. S one zdeniowane w pra Zieliskiego [6] tutaj zostan okrelone dla pt dwuwarstwowej. () Równania modelu warstwowego W elu wznazenia równa na poszukiwane funkje w w f dla =... > sakujem naprenia otrzmane ze wzorów () zgodnie ze wzorami na si przekrojowe N x dx : x x x x x N dx ; Q dx ; M x dx ; M x dx x x x x przjmuj dla dowolnej maierz A nastpuje oznazenia: Ad a A d b. Arhitetura () 4

8 7 J. Zieliski Dla przkadu si przekrojowe M bd równe: M B b b w b b w b b w b w 6 4 bw b b w b b w b b f b f b f b b f b b f b b f Posta pozostah si zostaa wznazona w pra Zieliskiego [6]. Podstawiaj wlizone si przekrojowe do równa: N r ; Q r ; M Q m gdzie r h h m x h x h k k / k / / / otrzmam ukad równa opisuj wewntrzne warstw pt =.... Jest to ukad 5 równa na niewiadome w f.... Równania dla pierwszej i ostatniej warstw otrzmam analogiznie z tm e si przekrojowe nale tutaj wliz podstawiaj do przemieszze korektor z zadanmi obieniami powierzhni górnej i dolnej warstw. Funkje ksztatu W opisanej konstrukji modelu warstwowego naoono dothzas nastpuje warunki na funkje ksztatu: (4) Warunki te sformuowane s jednie dla funkji 4. Przjmijm wi te funkje w postai wielomianów: b a e d b a 4 b a e d b a gdzie wspóznniki a i b i i d j e j i = 4 j = 4 nie s znane. Wstpuje w wa- runkah (4) nierównoi zapiszem w postai 4. (5) Ata Si. Pol.

9 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 7 Zadanie znalezienia wspóznników wstpujh w funkjah (5) sprowadzim do rozwizania ukadu równa algebraiznh postai a w = m utworzonego z warunków (4) bez uwzgldniania nierównoi: ; ; ; (6) 4 Wznazaj z równania a w = m wspóznniki w i podstawiaj je do oraz oznazaj h otrzmam: 4 ; h h 4 6h 4 4 6h (7) Nieuwzgldnione warunki (6) s spenione gd z równa (7) otrzmujem: h h h h ; ; ; Pozostae funkje na które nie sformuowano zadanh warunków przjto w postai: ; ; (8) 5 Konstrukja modelu podsumowanie Skonstruowan model warstwow pt harakterzuje si tm e otrzman w nim ukad równa rónizkowh zstkowh jest ukadem o stah wspóznnikah. Poszukiwane funkje okrelone s w obszarze dwuwmiarowm a warunki obieniowe na powierzhni górnej i dolnej pt s spenione w sposób is. Z drugiej jednak stron równania modelowe s takie e wpisanie ih nawet dla kilku warstw jest uiliwe gd wstpuje w nih dua lizba wspóznników o bardzo rozbudowanej postai (np. we wzorah na przemieszzenia () wstpuje 88 wspóznników maierzowh A z którh najbardziej rozbudowan jest sum 6 iloznów kombinaji funkji ksztatu i stah materiaowh). Wznazenie th wspóznników prowadzi do duej lizb prosth operaji rahunkowh dlatego model ten staje si wgodn i utezn dopiero po zastosowaniu metod komputerowh. Do rozwizwania zagadnie brzegowh w opraowanm modelu zastosowano pakiet MATHEMATICA w wersji 5. (nr lienji: L 46-55) w ramah którego skonstruowano wasn program. Arhitetura () 4

10 7 J. Zieliski ROZWIZANIE DLA PYTY DWUWARSTWOWEJ Pt prostoktn dla której konguraja odniesienia jest równa a a b b h h podzielim na dwie warstw paszzzn = gdzie jest dowolnm h h punktem z przedziau. Gruboi warstw oznazm przez h i h tak wi h = h + h. Poszukiwanmi funkjami bd tutaj w w f. Rozpatrzm przpadek pt jednorodnej oraz przpadek pt niejednorodnej warstwowo. Zaóm e pta jest obiona na górnej powierzhni obieniem [ p ] oraz na dolnej powierzhni obieniem [ q ]. Rozwiem najpierw ukad równa w przpadku obienia pt tlko na górnej x x powierzhni p psin sin. a b Bdziem poszukiwa rozwiza w postai: x x x x w x x sin sin ; w x x os sin ; a b a b x x x x w x x sin os ; f x x sin sin ; a b a b x x f x x 4 os os a b 6 Przjmijm a b h h 5 E E 5 p a nastpnie wznazm wartoi wspóznników i 4. I tak: 444 ; 44 ; 496 ; 444 ; ; ; 44 ; ; 444 ; Wkres ugiia pt przedstawiono na rsunku. Strzaka ugiia wnosi tutaj odpowiednio: dla powierzhni górnej u 4969 wewntrznej u 49 dolnej u 9 oraz ugiia otrzmanego K w ramah teorii Kirhhoffa-Love a: u 597. Wida wi e najblisze rozwizania klasznego jest ugiie powierzhni górnej i rónia midz nimi wnosi %. Otrzmane rozwizania pozwalaj wznaz naprenia. Na wkresah a b przedstawiono rozkad napre kk w rodku pt. Wlizone naprenia na powierzhni górnej wewntrznej i dolnej pt wznazaj rozkad liniow. Z kolei na rsunku 4a przedstawiono rozkad napre w punkie ( ) b a na rsunku 4b naprenia w punkie oraz a w punkie. i Ata Si. Pol.

11 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth u.5.5 x x = b Legenda - u u + u Rs.. Fig.. Wkres ugiia pt Graphs of the defletion of the plate u K a b s =s.5 s Rs.. Rozkad napre: a = s = s b = s Fig.. Distribution of stresses: a = s = s b = s Rozkad naprenia (rs. b) ilustruje dokadne spenienie warunków brzegowh na dolnej i górnej powierzhni pt. Z kolei na rsunkah a oraz 4a i 4b zgodnie z ozekiwaniem wida e naprenia i s znaznie mniejsze od i. W przpadku pt dwuwarstwowh niejednorodnh dla którh wasnoi pierwszej warstw s opisane wielkoiami E = 6 v = 5 oraz drugiej wielkoiami E = 6 v = 5 prz h = h wkres przemieszze u przedstawiono na rsunku 5. Maksmalne ugiie zmniejszo si tutaj w stosunku do ugiia pt jednowarstwowej i wnosi u u 9986 u 967. Arhitetura () 4

12 74 J. Zieliski a b s s s Rs. 4. Rozkad napre: a = s b = s = s Fig. 4. Distribution of stresses: a = s b = s = s u.5.5 x x = a Legenda u - -. u Rs. 5. Fig. 5. Wkres przemieszze u pt Graphs of the displaements u of the plate u + Wkres naprenia kk dla tego przpadku przedstawiono na rsunku 6. Wkres napre k k = nie zmieni swego harakteru natomiast wkres = = nie s ju liniowe po gruboi pt oraz doznaj skoku na powierzhniah podziau pt na warstw. Ata Si. Pol.

13 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 75 a b s =s.5 s d s s s Rs. 6. Rozkad napre: a = s = s b = s = s d = s = s Fig. 6. Distribution of stresses: a = s = s b = s = s d = s = s Dla pt niejednorodnej utworzonej z th samh materiaów o w poprzednim przkadzie ale o zmienionh gruboiah warstw h = 8 i h = wkres napr- e kl przedstawiono na rsunku 7. Arhitetura () 4

14 76 J. Zieliski a s =s.5. b s s d s s Rs. 7. Rozkad napre: a = s = s b = s = s d = s = s Fig. 7. Distribution of stresses: a = s = s b = s = s d = s = s W tm przpadku wkres napre i s podobne do napre rozpatrwanh na rsunku 6 natomiast wkres napre jest liniow w poszzególnh warstwah nie jest jednak liniow po gruboi aej pt. Ata Si. Pol.

15 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 77 PODSUMOWANIE Skonstruowan model jest modelem dwuwmiarowm zli modelem w którm stan trójwmiarow przemieszzenia odksztaenia i naprenia pt mona wznaz po znalezieniu funkji okrelonh w obszarze dwuwmiarowm. W modelu tm przemieszzenia pt s aproksmowane przez przemieszzenia rodzin powierzhni dzielh pt na warstw. Do konstrukji modelu wkorzstano metod wizów wewntrznh. W elu zapewnienia isego spenienia warunków brzegowh na górnej i dolnej powierzhni pt zastosowano w wizah metod korektorów. Po wznazeniu korektorów wiz na przemieszzenia sprowadzono do postai w której w kadej warstwie wstpuje pi poszukiwanh funkji parametrów kinematznh. Zmienno przemieszze po gruboi opisano za pomo funkji ksztatu. Funkje te nie s okrelone w modelu w sposób jednoznazn ale musz b znane. W pra wznazono takie funkje. Równania na parametr kinematzne otrzmano z klasznh równa pt dla si wewntrznh. Równania te wpisuje si dla kadej warstw o zapewnia ih waiw lizb a posta wizów wlizone korektor i funkje ksztatu powoduj igo pól mehaniznh na powierzhniah podziau pt na warstw. Skonstruowan w ten sposób model zosta zwerkowan numerznie. Do uzskania rozwiza komputerowh wkorzstano pakiet do oblize smboliznh MA- THEMATICA. W obrbie tego pakietu opraowano program zoon z moduów pozwalaj kontrolowa i werkowa wniki etapowo. Podsumowuj mona stwierdzi:. W pra skonstruowano now dwuwmiarow model pt warstwowo niejednorodnh wgodn do zastosowania tehnik numerznh w którm warunki brzegowe na górnej i dolnej powierzhni s spenione w sposób is.. Aproksmaja przemieszze pt przez przemieszzenia powierzhni podziau pt na warstw (podziau pomlanego lub wnikajego ze struktur niejednorodno- i pt) pozwala rozwaa take pt grube.. Ukad równa na niewiadome parametr kinematzne skada si z 5n równa rónizkowh na 5n niewiadomh gdzie n jest lizb warstw podziau. W ukadzie tm nie wstpuje trzeia zmienna przestrzenna (po gruboi pt). 4. Skonstruowan program numerzn zosta zwerkowan. PIMIENNICTWO Delavsk M. 99. Appliation of the minimum potential energ priniple in determining the stress-strain state in spatialli reinfored omposite materials. Phsio-Chemial Mehanis of Materials Delavsk M Calulation of the stress-strain state in orthotropi bod under the bending load. Problems of Strength 7. Delavsk M. Krawhuk M. Nagórko W. 999a. k k. Visnk of the Lviv Universit Mathematis and Mehanis Arhitetura () 4

16 78 J. Zieliski Delavsk M. Nagórko W. Podhoreki A. 999b. O pewnej metodzie wznazania odksztae i napre w prostoktnh belkah ortotropowh. Zeszt Naukowe Katedr Mehaniki Stosowanej Politehniki lskiej Delavsk M. Krawhuk M. Nagórko W. a. Cross bending of the retangular orthotropi bar with imperfrt-rigid xing. Frature Mehanis and Phsis of Constrution Materials and Strutures 4 9. Delavsk M. Krawhuk M. Nagórko W. Onszka L. b. k k. i i Delavsk M. Krawhuk M. Nagórko W. Podhoreki A.. Pure bendig of the orthotropi elasti retangle. Engng. Trans Matsiak S.J. Nagórko W Tarze i pt sprste z wizami liniowmi dla deformaji. Mehanika Teoretzna i Stosowana Matsiak S.J. Nagórko W On the problem of miroperiodi multilaered plates. Meh. Res. Comm Matsiak S.J. Nagórko W Miroloal parametrs in a modelling of miroperiod mutilared elasti plates. Ing.-Arh Matsiak S.J. Nagórko W On the wave propagation in periodiall laminated omposites. Bull. Aad. Polon. Si. Si. Tehn. 4. Mazur-niad K. 97. Some problems of torsion of prismati rods as bodies whit internal onstraints. Bull. Aad. Polon. Si. Si. Tehn Mazur-niad K. 99. Maro-dnamis of miro-periodi elasti beams. J. Theor. Appl. Meh Nagórko W Sterowana dskretzaja ia sprsth z wizami. W: Optmalizaja w mehanie. Wdaw. Politehniki lskiej Gliwie Nagórko W Modele warstwowe grubh pt i powok. Rozpraw Innierskie Nagórko W. 98. Sulle soluzioni approsimate in meania. Rivista di Matematia dell Universita di Parma Nagórko W. 98. O bdzie rozwiza przblionh w mehanie. Mehanika Teoretzna i Stosowana Nagórko W. 98. Zasada minimalizaji bdu a zagadnienia mehaniki powok. Zeszt Naukowe Wszej Szko Innierskiej w Opolu Nagórko W. 98. On approximate strutures in mehanis. Arh. Meh Nagórko W Two methods of modelling of periodi nonhomogeneous elasti plates. Journal of Theoretial and Applied Mehanis 6 9. Nagórko W. Zieliski J Model pt sprstej utworzonej z warstw periodznie niejednorodnh. Zeszt Naukowe Katedr Mehaniki Stosowanej Politehniki lskiej Nagórko W. Zieliski J On heat ondution modelling in plates formed b periodiall nonhomogeneous laers. Visnk of the Lviv Universit. Series Mathematis and Mehanis Utkin J On the tehnial theor of prismati elasti rods as bodies with internal onstraints. Bull. Aad. Polon. Si. Si. Tehn. 9. Woniak C. 97. Constrained Continous Media I II III Bull. Aad. Polon. Si. Si. Tehn Woniak C Elasti bodies with onstraints imposed on deformations stresses and moments. Bull. Aad. Polon. Si. Si. Tehn Woniak C Materials with generalized onstraint. Arh. Meh Woniak C. 985a. Constraints in onstitutive relations of mehanis. Mehanika Teoretzna i Stosowana 7 4. Ata Si. Pol.

17 Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth 79 Woniak C. 985b. On the modeling of materials and interations with thermoeletromehanial onstraints. Bull. Aad. Polon. Si. Si. Tehn Woniak C. Kleiber M. 98. Nieliniowa mehanika konstrukji. PWN Warszawa Pozna. Zieliski J. 6. Modelowanie warstwowe niejednorodnh pt sprsth. Rozprawa doktorska. Wdzia Budownitwa i Innierii rodowiska Uniwerstet Tehnologizno-Przrodniz w Bdgoszz Bdgoszz. ON THE MODELLING OF NONHOMOGENEOUS ELASTIC PLATES Summar. The paper presents the solution of laered plates arbitrar load on the upper the lower surfae. It is assumed that the plates an b ombination of both orthotropi and isotropi laers and that the division of plates into laers an b nonsmmetri. This model ensures ontinuit of statial and kinematial values on the surfae of the division of the plate into the laers. This an be developed b introdution into the desription additional funtions alled orretors. These funtions together with displaements of the division surfaes and with given funtions desribing the displaements on the thikness of plate are used for the onstrution of the some form of onstrains for the three dimensional displaements of the plate. The method for solutions of omposite plates is illustrated b the example of the three-laered free supported retangular plate under the load at the upper surfae. Ke words: elasti plates laered plates onstraints modelling Zaakeptowano do druku Aepted for print: Arhitetura () 4