Krzysztof Nowel Instytut Geodezji Wydział Geodezji, Inżynierii Przestrzennej i Budownictwa Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie AUTOREFERAT

Transkrypt

1 Krzysztof Nowel Instytut Geodezj Wydzał Geodezj, Inżyner Przestrzennej Budownctwa Unwersytet Warmńsko-Mazursk w Olsztyne AUTOREFERAT dotyczący rozprawy doktorskej pt. Analza przemeszczeń punktów geodezyjnych sec kontrolnych z zastosowanem odpornej M-estymacj Olsztyn 2015

2 Sps treśc 1. Wskazane osągnęca wynkającego z art. 13 ust. 2 ustawy z dna 14 marca 2003 r. o stopnach naukowych tytule naukowym oraz o stopnach tytule w zakrese sztuk (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) Tytuł osągnęca naukowego Publkacje wchodzące w skład osągnęca naukowego Omówene celu naukowego ww. prac osągnętych wynków Wprowadzene Analza przemeszczeń punktów geodezyjnych sec kontrolnych Estymacja przemeszczeń Ocena stotnośc estymowanych przemeszczeń Sformułowane uzasadnene celu oraz tez/hpotez podjętych badań Analza przemeszczeń z zastosowanem odpornej M-estymacj Klasyczna metoda Nowa metoda Wybór funkcj wagowej postac jej zmennej Testowane stotnośc z zastosowanem metody Monte Carlo Podsumowane Lteratura Załącznk 1: Jednotematyczny cykl publkacj. Załącznk 2: Ośwadczene współautora. 2

3 1. Wskazane osągnęca wynkającego z art. 13 ust. 2 ustawy z dna 14 marca 2003 r. o stopnach naukowych tytule naukowym oraz o stopnach tytule w zakrese sztuk (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) 1.1. Tytuł osągnęca naukowego Jednotematyczny cykl publkacj pt. Analza przemeszczeń punktów geodezyjnych sec kontrolnych z zastosowanem odpornej M-estymacj 1.2. Publkacje wchodzące w skład osągnęca naukowego 1. Nowel K. Kamńsk W. (2014) Robust estmaton of deformaton from observaton dfferences for free control networks, Journal of Geodesy, 88(8): , do: /s Nowel K. (2015a) Robust M-Estmaton n Analyss of Control Network Deformatons: Classcal and New Method, Journal of Surveyng Engneerng, do: /(ASCE)SU Nowel K. (2015b) Investgatng effcacy of robust M-estmaton of deformaton from observaton dfferences, Survey Revew, do: / Y Nowel K. (2015c) Applcaton of Monte Carlo method to statstcal testng n deformaton analyss based on robust M-estmaton, Survey Revew, do: / Y Omówene celu naukowego ww. prac osągnętych wynków (odnesena do lteratury w nawasach kwadratowych odpowadają publkacjom stanowącym elementy osągnęca naukowego przedstawonego w punkce 2.2. nnejszego autoreferatu, natomast odnesena w nawasach okrągłych odpowadają pozostałym publkacjom, stanowącym elementy wykazu lteratury przedstawonego w punkce 3.6. nnejszego autoreferatu) 2.1. Wprowadzene Obekty nżynerske oraz powerzchna skorupy zemskej mogą ulegać deformacjom. Te deformacje pownny być okresowo merzone, a wynk tych pomarów analzowane. To jest jedno z ważnejszych zadań geodezj. W zwązku z tym, na deformowanych obektach zakłada sę okresowo merzy absolutne lub względne, geodezyjne sec kontrolne (Chrzanowsk Chen 1990; Caspary 2000). Absolutne sec kontrolne składają sę z punktów kontrolowanych umeszczanych na 3

4 deformowanym obekce potencjalnych punktów odnesena (PRPs, ang. potentally reference ponts) umeszczanych poza obektem. W przypadku względnych sec kontrolnych, wszystke punkty znajdują sę na deformowanym obekce. W tym przypadku, za PRPs można uznać te punkty, które znajdują sę na potencjalne sztywnym fragmence obektu, np. na potencjalne sztywnym bloku tektoncznym. Współcześne, geometryczna analza deformacj opera sę na kompleksowej metodze rozwnętej w Unwersytece Nowego Brunszwku w Kanadze (UNB Generalzed Method). Algorytm metody składa sę z dwóch podstawowych kroków: analza przemeszczeń pojedynczych punktów modelowane deformacj (Chen 1983). W stoce, perwszy krok to jest estymacja wektora przemeszczeń pojedynczych punktów obektu, a drug estymacja wektora parametrów deformacj obektu. Tym parametram mogą być: parametry translacj rotacj obektu (traktowanego jako cało sztywne), parametry tensora deformacj lub współczynnk welomanowego pola deformacj. W drugm kroku, na podstawe analzy wektora przemeszczeń pojedynczych punktów z kroku perwszego, dla wybranej grupy lub grup przemeszczonych punktów, wybera sę klka najbardzej prawdopodobnych warantów wektorów parametrów deformacj estymuje sę te wektory, metodą NK (najmnejszych kwadratów). W przypadku, gdy wybór odpowednej grupy lub grup punktów sprawa trudnośc, poszczególne wektory parametrów deformacj mogą być wyznaczane na grupe wszystkch przemeszczonych punktów, z użycem odpornej M-estymacj (np. Caspary Borutta 1987; Muszyńsk 2008). Ostatecznym, najlepszym wektorem parametrów deformacj jest wektor, którego wszystke estymowane parametry są statystyczne stotne, a przy tym estymator wektora reszt ne jest statystyczne stotny (tzw. dentyfkacja najlepszego modelu deformacj). Często jednak, modelowane deformacj obektu ne jest w ogóle wymagane. Wówczas, geometryczna analza deformacj składa sę tylko z kroku perwszego ostatecznym wynkem oblczeń jest tylko estymator wektora przemeszczeń pojedynczych punktów. Temu właśne zagadnenu był pośwęcony ww. cykl publkacj Analza przemeszczeń punktów geodezyjnych sec kontrolnych W tym podrozdzale przedstawono charakterystyczne metody analzy przemeszczeń pojedynczych punktów statycznych sec kontrolnych. Wybrano przy tym tylko te zagadnena, które wydają sę stotne dla sformułowana uzasadnena celu badań. 4

5 Estymacja przemeszczeń Estymacja przemeszczeń punktów geodezyjnych sec kontrolnych może operać sę na jednym z trzech przedstawonych nżej model matematycznych (zlnearyzowana forma): - model różnc współrzędnych A δ = l l + v, (1) Gδx = 0 ( e) obs 0 ( e) x( e) ( e) ( e) ( e) skąd d = x(2) x (1), (1.1) gdze d jest wektorem przemeszczeń pojedynczych punktów, jest wektorem współrzędnych pojedynczych punktów, x x δ 0 ( e ) = + x ( e ) 0 x jest wektorem przyblżonych współrzędnych, δ x jest wektorem przyrostów do przyblżonych współrzędnych, A jest macerzą współczynnków, obs l jest wektorem obserwacj, jest wektorem przyblżonych wartośc obserwowanych elementów geometrycznych sec, v jest wektorem poprawek do obserwacj, e jest numerem epok pomarowej G jest macerzą defnującą układ odnesena dla wektora przemeszczeń, - model różnc obserwacj 0 l obs obs Ad = ( l (2) l(1) ) + v, (2) Gd = 0 gdze v jest wektorem poprawek do różnc obserwacj, - model łączony δ A A 0 v A 0 A v x(1,2),r obs 0 (1),r (1),o l(1) l (1) δx(1),o = obs 0 + (2),r (2),o l(2) l (2) δx (2),o, (3) δ x(1,2),r G δ = 0 x(1),o δx (2),o 5

6 skąd 0r d =, (3.1) x(2),o x(1),o gdze A r jest macerzą współczynnków dla bazy odnesena (tj. stablnych PRPs), A o jest macerzą współczynnków dla punktów kontrolowanych, δ x jest r wektorem przyrostów do współrzędnych punktów bazy odnesena (takch samych w obu epokach) δ x o jest wektorem przyrostów do współrzędnych punktów kontrolowanych. Wektory parametrów estymuje sę metodą NK. Zasadnczym elementem powyższych model jest macerz defnująca układ odnesena dla wektora przemeszczeń, tj. macerz G H 0, (4) T = r, o gdze H r jest macerzą współczynnków Helmerta lub naczej macerzą warunków typu free, odnoszącą sę tylko do bazy odnesena. Przez pojęce układ odnesena dla wektora przemeszczeń należy rozumeć określony zbór punktów oraz zespół warunków nałożonych na ch przemeszczena, zapsanych w przyjętym układze współrzędnych (Prószyńsk 1986). Przez pojęce określony zbór punktów należy tu rozumeć bazę odnesena, przez pojęce zespół warunków należy tu rozumeć warunk najmnejszej sumy kwadratów przemeszczeń, a przez pojęce układ współrzędnych należy tu rozumeć układ, w którym wyrażono współrzędne przyblżone. Powyższy sposób zdefnowana układu odnesena (ang. mnmum trace datum) ne znekształca wynków obserwacj, uwzględna ogranczoną dokładność dentyfkacj bazy odnesena oraz zapewna dobry rozkład charakterystyk dokładnoścowych dla przemeszczeń, stąd jest najchętnej stosowany. Głębsze rozważana na temat sposobów defnowana układu odnesena dla przemeszczeń przeprowadzł Prószyńsk (1986, 2003) oraz Prószyńsk Kwaśnak (2006). W analze przemeszczeń pojedynczych punktów można wyróżnć dwa zasadncze problemy. Perwszym, zdecydowane ważnejszym problemem jest dentyfkacja bazy odnesena (tzn. dentyfkacja wzajemne stablnych punktów w grupe PRPs), a drugm estymacja przemeszczeń punktów kontrolowanych. W przecweństwe do estymacj przemeszczeń punktów kontrolowanych, dentyfkacja bazy odnesena jest zadanem dość trudnym. Istneje wele metod, które dają nejednoznaczne wynk (np. Kontny 1987). Perwotne, oba problemy były rozwązywane oddzelne, tzn. w podejścu dwuetapowym. W celu rozwązana perwszego problemu opracowano wele metod dentyfkacj wzajemne stablnych punktów. Duży wkład mel tu polscy uczen, 6

7 szczególne uczen warszawscy. Na szczególną uwagę zasługują: metoda analzy zman cech geometrycznych (w lteraturze anglojęzycznej znana jako metoda Fredercton), metoda analzy kątów skrętu współczynnków zmany skal, metoda transformacj poszukwawczych oraz metoda kolejnych wyrównań. Należy jednak zaznaczyć, że tego typu metody dentyfkacj bazy odnesena, jakkolwek posadają uzasadnene logczne, to w wększośc przypadków ne są metodam ścsłym, wynkającym z reguł geodezyjnego rachunku wyrównawczego. W latach 70-tych na początku lat 80-tych XX weku, ntensywne badana w zakrese analzy przemeszczeń prowadzono też w zagrancznych ośrodkach naukowych. Na szczególną uwagę zasługują tu ośrodk nemecke w Hanowerze, Karlsruhe, Stuttgarce Monachum. Efektem tych badań było opracowane jednoetapowego podejśca do analzy przemeszczeń, w którym oba ww. problemy były rozwązywane w jednym procese oblczenowym, na podstawe wynków estymacj metodą NK. Do ostatecznego rozwązana, tj. do znalezena bazy odnesena wyznaczena wartośc przemeszczeń punktów kontrolowanych dochodz sę tu na drodze teracyjnej. W perwszym kroku, układ odnesena jest defnowany na wszystkch PRPs. W kolejnych krokach, w oparcu o odpowedn test statystyczny usuwa sę nestablne PRPs, aż do momentu znalezena bazy odnesena. Wynk ostatnego kroku teracyjnego są jednocześne ostatecznym wynkam estymacj przemeszczeń. W ośrodkach naukowych w Hanowerze Karlsruhe opracowano rozwjano perwszą taką metodę, dla modelu łączonego (3). Istotą tej metody jest globalny test przystawana (ang. global congruency test) estymowanych poprawek. Jeżel wartość tego testu przekracza wartość krytyczną, to znaczy że w grupe PRPs co najmnej jeden punkt ne jest stablny. Wówczas znajduje sę odrzuca punkt, który ma najwększy udzał w testowanej statystyce. W drugm kroku teracyjnym, układ odnesena jest defnowany na pozostałych PRPs. Dla estymowanych poprawek przeprowadza sę kolejny test globalny. Proces oblczenowy kończy sę, gdy wartość testu globalnego jest mnejsza od wartośc krytycznej (Pelzer 1971, 1974; Nemeer 1981; Heck 1983). Natomast, w ośrodku naukowym w Stuttgarce opracowano podobną jednoetapową metodę, którą można zastosować dla dwóch pozostałych model przemeszczeń (1), (2). Istotą tej metody jest globalny test przystawana estymowanych przemeszczeń PRPs. Jeżel wartość tego testu przekracza wartość krytyczną, wówczas dla poszczególnych PRPs są oblczane lokalne statystyk testowe odrzuca sę punkt, dla którego wartość statystyk jest najwększa. W drugm kroku teracyjnym, układ odnesena jest defnowany na pozostałych PRPs. Dla estymowanych przemeszczeń pozostałych PRPs przeprowadza sę kolejny globalny test ewentualne oblcza sę lokalne statystyk testowe. Proces oblczenowy kończy sę, gdy wartość testu globalnego jest mnejsza od wartośc krytycznej (Gründg nn 1983; 1985). Pewną wadą tej metody jest wzajemna zależność lokalnych 7

8 statystyk testowych. W celu rozwązana tego problemu, w ośrodku naukowym w Monachum opracowano strategę rozszczepena globalnej statystyk testowej na statystyk lokalne, które są wzajemne nezależne. Podstawą teoretyczną tej strateg jest dekompozycja Choleskego (Caspary 1984). Inną strategę, która bazuje na tzw. dekompozycj sukcesywnej zaproponowano w pracy Caspary (2000). W latach 80-tych XX weku nastąpł dalszy rozwój podejśca jednoetapowego. W ośrodku naukowym we Fredercton, a potem w Monachum opracowano rozwjano jednoetapową metodę, która ne wymaga jawnej dentyfkacj bazy odnesena. W tym przypadku, układ odnesena jest defnowany na grupe wszystkch PRPs. Take rozwązane było możlwe dzęk zastosowanu odpornej M-estymacj (ang. robust M-estmaton). Końcowym produktem wszystkch powyższych metod jest estymator wektora przemeszczeń pojedynczych punktów: ˆ ˆ d = d, (5) gdze d ˆ jest estymatorem wektora przemeszczena punktu Ocena stotnośc estymowanych przemeszczeń Wynk geodezyjnych pomarów deformacj są zawsze zaburzone pewnym błędam. W konsekwencj, wartośc estymowanych przemeszczeń będą zawsze różne od zera, nawet jeśl wszystke punkty będą stablne. Zatem, same wartośc estymowanych przemeszczeń ne nformują jeszcze o ewentualnych przemeszczenach. Nezbędna jest jakaś ocena stotnośc tych wartośc. Można przyjąć, że wynk okresowego pomaru deformacj są realzacjam wektora losowego o rozkładze normalnym. Ponadto można przyjąć, że estymator wektora przemeszczeń jest lnową funkcją wektora wynków pomaru. Wobec tego, stotność estymowanych przemeszczeń można ocenać statystyczne. W perwszej kolejnośc, testuje sę hpotezę zerową, która zakłada stablność wszystkch punktów (globalny F-test): T ˆ ˆ = F ( u, f ), (6) T + d Q ˆd d 2 u ˆ σ 0 α 2 gdze Q jest macerzą kofaktorów estymatora wektora przemeszczeń, ˆσ ˆd 0 jest estymatorem współczynnka warancj, u = rząd( Q ), f jest lczbą stopn swobody (obserwacj nadlczbowych) F α jest wartoścą krytyczną, odczytaną z tablc dˆ 8

9 rozkładu F Snedecora dla przyjętego pozomu stotnośc α. Jeżel powyższy warunek jest spełnony, wszystke punkty uznaje sę za stablne. W przecwnym raze, testuje sę hpotezę alternatywną, która mów, że przynajmnej jeden punkt jest przemeszczony. Dla każdego punktu sprawdza sę następujący warunek (lokalny F-test): gdze u = rząd( Q ) dˆ dˆ Q dˆ T = F u f T 1 dˆ 2 ˆ σ 0u α (, ), (6.1), F α jest wartoścą krytyczną, odczytaną z tablc rozkładu F 1/ Snedecora dla pozomu stotnośc α = 1 (1 α) m (wzór przyblżony) m jest lczbą wszystkch punktów sec. Jeżel powyższy warunek jest spełnony, dany punkt można uznać za stablny. W przecwnym raze, ten punkt uznaje sę za przemeszczony. Teraz, estymator wektora przemeszczeń (5) wraz z oceną jego statystycznej stotnośc dają możlwe pełną nformację o przemeszczenach pojedynczych punktów Sformułowane uzasadnene celu oraz tez/hpotez podjętych badań Na podstawe wynków dotychczas przeprowadzonych badań można stwerdzć, że zarówno metody dwuetapowe, jak metody jednoetapowe dają satysfakcjonujące wynk analzy przemeszczeń. Jednak, jednoetapowe metody bazujące na globalnym teśce przystawana na odpornej M-estymacj mają pewną przewagę nad pozostałym metodam. Manowce, te metody są bardzej spójne z teorą geodezyjnego rachunku wyrównawczego, a ch algorytm oblczenowy jest wygodnejszy w programowanu matematyczne bardzej eleganck. Stąd, te metody ceszą sę zdecydowane wększą popularnoścą. Można nawet zaobserwować, szczególne w lteraturze anglojęzycznej, że tylko te metody są obecne przedmotem zanteresowana. Podejśce bazujące na globalnym teśce przystawana ma dłuższą hstorę korzysta z klasycznej metody NK. Stąd, to podejśce jest dość dobrze rozwnęte wydaje sę, że ne wymaga już welu badań. Natomast, w przypadku metody bazującej na odpornej M-estymacj jest naczej. Zdanem autora, to podejśce wymaga, lepszego nż dotychczas, teoretycznego uzasadnena, pewnego rozwnęca, zbadana oraz udoskonalena. 9

10 Cel 1: Teoretyczne uzasadnene klasycznego podejśca odpornego Perwowzorem klasycznej metody bazującej na odpornej M-estymacj jest metoda IWST (ang. Iteratve Weghted Smlarty Transformaton). Najogólnej, ta metoda polega na teracyjnej transformacj przez podobeństwo różnc wyrównanych współrzędnych PRPs z funkcją wagową mnmalzującą L 1 -normę tych różnc. Z uwag na fakt, że ta funkcja wagowa jest odporna, w kolejnych latach zaczęto tu stosować też nne funkcje wagowe o takch własnoścach, tj. funkcje wagowe z klasy odpornej M-estymacj, a cały proces oblczenowy zaczęto umowne nazywać: analza przemeszczeń z zastosowanem odpornej M-estymacj lub po prostu odporna analza/estymacja przemeszczeń. Jakkolwek, dea tego podejśca nawązuje do teor odpornej M-estymacj modelu różnc współrzędnych (1), to jednak ne zostało ono wyprowadzone z tego modelu na grunce tej teor. Take wyprowadzene jest możlwe wydaje sę meć duże znaczene dla lepszego zrozumena tego podejśca oraz ewentualnego jego rozwjana doskonalena. Stąd było ono perwszym celem podjętych badań [Nowel Kamńsk 2014, Nowel 2015a]. W ramach tego celu sformułowano jedną tezę. Teza: Klasyczną odporną metodę analzy przemeszczeń można wyprowadzć z modelu różnc współrzędnych, na grunce teor odpornej M-estymacj. Cel 2: Rozwnęce podejśca odpornego Jak wcześnej wspomnano, metodę bazującą na globalnym teśce przystawana wyprowadzono dla wszystkch trzech dostępnych model przemeszczeń (1), (2), (3). Natomast, w ramach realzacj perwszego celu udowodnono, że klasyczna metoda odporna wywodz sę z klasycznego modelu różnc współrzędnych (1). Skoro tak, to natychmast pojawa sę oczywste pytane: Czy z dwóch pozostałych model (2), (3) można wyprowadzć skuteczną, odporną metodę analzy przemeszczeń ewentualne, jak to zrobć? Rozwązane tego problemu było drugm celem podjętych badań [Nowel Kamńsk 2014, Nowel 2015a]. W ramach tego celu sformułowano dwe hpotezy. Hpoteza 1: Na grunce teor odpornej M-estymacj można wyprowadzć nowe odporne metody analzy przemeszczeń, z modelu różnc obserwacj z modelu łączonego. 10

11 Hpoteza 2: Odporna metoda analzy przemeszczeń wyprowadzona z modelu różnc obserwacj pownna stanowć konkurencję dla klasycznej metody odpornej. Cel 3: Zbadane udoskonalene podejśca odpornego W ramach realzacj drugego celu okazało sę, że satysfakcjonującą odporną metodę analzy przemeszczeń można też wyprowadzć z modelu różnc obserwacj (2) to w sposób bezpośredn, a następne wyprowadzono taką metodę. Dotychczasowe osągnęca zachęcły autora do dalszych rozważań nad podejścem odpornym. W ch trakce okazało sę, że stneją tu jeszcze pewne problemy, które można rozwązać przy pomocy dzsejszych komputerów (a konkretne metod symulacj komputerowych). Po perwsze, podejśce odporne akceptuje dowolną funkcję wagową z klasy odpornej M-estymacj. Ponadto, zmenna tej funkcj może tu przyjmować dwe różne formy. Perwotnym, najprostszym najbardzej naturalnym rozwązanem jest funkcja wagowa mnmalzującą L 1 -normę ze zmenną w postac składowych wektora przemeszczeń take właśne rozwązane jest najczęścej stosowane (metoda IWST). Nestety, dotychczas ne przeprowadzono obektywnej analzy porównawczej dokładnośc czy skutecznośc tego nnych rozwązań. Być może, nne rozwązana, choć mnej elegancke matematyczne są stotne dokładnejsze skutecznejsze. Przy pomocy dzsejszych komputerów można to w obektywny sposób sprawdzć. Przeprowadzene obektywnej oceny skutecznośc dostępnych rozwązań było kolejnym celem podjętych badań [Nowel 2015b]. W ramach tego celu sformułowano jedną hpotezę. Hpoteza: Istneją dużo skutecznejsze rozwązana, nż powszechne stosowana funkcja wagowa mnmalzująca L 1 -normę ze zmenną w postac składowej przemeszczena. Po druge, w metodach odpornych, ocena stotnośc estymowanych przemeszczeń jest przeprowadzana tak samo, jak w nnych metodach analzy przemeszczeń, tj. na podstawe F-testu (6), (6.1). Nestety, z teoretycznego punktu wdzena, take rozwązane ne jest poprawne może być trudne do zaakceptowana równeż w praktyce. Ścślej rzecz borąc, estymator wektora przemeszczeń ne jest tu lnową funkcją wektora obserwacj, stąd ne ma on rozkładu normalnego, a statystyk testowe (6), (6.1) ne mają tu rozkładu F Snedecora. Rozkład prawdopodobeństwa tych statystyk ne jest znany. W konsekwencj, ocena stotnośc na podstawe F-testu ma tu charakter przyblżony ne będze zgodna z zakładaną stotnoścą oraz mocą testu. Jednak, przy pomocy dzsejszych 11

12 komputerów, ten problem można rozwązać numeryczne. To było ostatnm celem podjętych badań [Nowel 2015c]. W ramach tego celu sformułowano jedna tezę dwe hpotezy. Teza: Z teoretycznego punktu wdzena, klasyczny test statystycznej stotnośc estymowanych przemeszczeń ne jest poprawny w odpornych metodach analzy przemeszczeń. Hpoteza 1: W odpornych metodach analzy przemeszczeń, klasyczny test statystycznej stotnośc estymowanych przemeszczeń można udoskonalć za pomocą metody Monte Carlo. Hpoteza 2: Metoda Monte Carlo może być dobrym wsparcem przy wyborze odpowednego pozomu stotnośc jak równeż w poprawnym przeprowadzenu analzy czułośc testu Analza przemeszczeń z zastosowanem odpornej M-estymacj Klasyczna metoda Jak wcześnej wspomnano, perwowzorem klasycznej metody odpornej jest metoda IWST. Danym wejścowym są tu wyrównane współrzędne z epok 1 2, wyrażone w dowolnym układze odnesena. Baza odnesena ne jest tu dentyfkowana, dlatego układ odnesena dla współrzędnych może być zdefnowany dowolne. Z tego powodu, współrzędne mogą (choć ne muszą) być wyrównane w dwóch różnych układach odnesena, stąd różnce ch wartośc ne mogą być traktowane jako wartośc przemeszczeń. W celu rozwązana tego problemu, Chen (1983) zmodyfkował metodę S-transformacj współrzędnych (Baarda 1973) zaproponował tu metodę teracyjnej wagowanej S-transformacj dla różnc współrzędnych (metoda IWST): ( ( ) )( (2) (1) ) ( (2) (1) ) ˆ ( k ) T ( k ) 1 T ( k ) ( k ) ˆ ˆ ˆ ˆ d = I H H W H H W x x = S x x W PRP d = ( k+ 1) ( k+ 1) = dag..., w ˆ PRP,,...,..., 0,... do PRPs punkty kontrolowane k= 1,... ˆ dˆ, gdze I jest macerzą jednostkową, H jest macerzą warunków typu free, ( k+ 1) ˆ( k ) ( k 1) w = 1/ d jest funkcją wagową (w perwszym kroku teracyjnym w = = ), PRP, (7) PRP, 1 12

13 ˆd PRP jest estymatorem wektora przemeszczeń PRPs ˆd o jest estymatorem wektora przemeszczeń punktów kontrolowanych. Rezultatem oblczeń (7) jest tak estymator wektora przemeszczeń, dla którego suma bezwzględnych wartośc składowych wektora przemeszczeń PRPs jest najmnejsza (Chen 1983; Chen nn 1990). Testy numeryczne pokazały dużą skuteczność takego rozwązana. W kolejnych latach zauważono, że można tu z powodzenem stosować nne funkcje wagowe o podobnych własnoścach, tj. funkcje wagowe z klasy odpornej M-estymacj, a cały proces oblczenowy zaczęto umowne nazywać: estymacja przemeszczeń z zastosowanem odpornej M-estymacj (np. Caspary nn 1987; 1990; Setan Sngh 2001). Teoretyczne uzasadnene Zatem, dea klasycznej metody odpornej opera sę na zmodyfkowanej (wagowanej) S-transformacj różnc współrzędnych: l l metoda NK xˆ obs (1) (1) metoda NK xˆ obs (2) (2) odporna S- transformacja ( tylko dla dˆ ) PRP dˆ. (8) W ramach nnejszych badań, tą metodę teoretyczne uzasadnono na grunce odpornej M-estymacj (razem z podbudową probablstyczną) oraz w ścsłym nawązanu do klasycznego modelu różnc współrzędnych (1). Dla sec 2D, take uzasadnene zaprezentowano ponżej. Jak już wspomnano, w podejścu odpornym ne dentyfkuje sę bazy odnesena, stąd wejścowe współrzędne, pochodzące z wyrównań wstępnych mogą być tu wyrażone w dwóch różnych układach odnesena właśne dlatego d ˆ x ˆ x ˆ. (9) (2) (1) Fakt ten należy tłumaczyć główne tym, ż układy odnesena dla współrzędnych mogą być zdefnowane na różnych punktach (np. z powodu uszkodzeń nektórych punktów w epoce 2) lub mogą dotyczyć tych samych, ale nestablnych punktów. W konsekwencj, w zależnośc od rodzaju defektu sec, układ odnesena dla współrzędnych z epok 2 (zdefnowany w epoce 2) może być przesunęty ( t x, t y - translacja), obrócony (ϕ - obrót), a w przypadku gdy seć posada defekt skal, przeskalowany ( s- znekształcene skal) w stosunku do układu odnesena dla współrzędnych z epok 1 (zdefnowanego w epoce 1). Poneważ, ewentualny kąt obrotu jest tu mały, to dla pojedynczego punktu można to zapsać w forme następujących równań: 13

14 xˆ = xˆ ( epoka 1) + t yˆ ϕ + xˆ s (2) (2) x (1) (1) yˆ = yˆ ( epoka 1) + t + xˆ ϕ + yˆ s (2) (2) y (1) (1), (10) a dla całej sec, w zapse macerzowym: tx 1 0 ˆ ˆ (1) (1) ˆ ˆ ˆ ˆ (2) (2)( epoka 1 y x t y x = x ) + x(2) ( ) (2) 0 1 xˆ ˆ epoka 1 = x Ht, (11) (1) y (1) ϕ s H t gdze x ˆ (2)( epoka 1) jest szukanym wektorem wyrównanych współrzędnych punktów sec z epok 2, ale wyrażonych w układze odnesena zdefnowanym w epoce 1. Rozmar macerzy H w konsekwencj wektora t, zależą od defektu sec. Np. dla sec kątowo-lnowej (brak defektu skal), macerz H będze składała sę tylko z trzech perwszych kolumn, a wektor t tylko z trzech perwszych werszy. Teraz, wektory ˆx (1), x ˆ (2)( epoka 1) są wyrażone we wspólnym układze odnesena (zdefnowanym w epoce 1) można zapsać, że: ( ) d = xˆ ( epoka 1 ) xˆ d = xˆ xˆ Ht. (12) (2) (1) (2) (1) Z uwag na fakt, że wartośc wektora t ne są znane, a układ równań (12) jest nadokreślony ma neskończene wele rozwązań, stneje tu neskończene wele estymatorów wektora przemeszczeń. W celu wyznaczena estymatora o jakchś konkretnych własnoścach, należy sformułować jeszcze odpowedn warunek optymalzacyjny dla tego estymatora. Jednak, do tego są potrzebne a pror nformacje o przewdywanych przemeszczenach. Take nformacje stneją dla PRPs. PRPs znajdują sę poza deformowanym obektem (sec absolutne) lub gdy otoczene deformowanego obektu ne wykazuje stablnośc, na potencjalne sztywnym fragmence obektu (sec względne). Wobec tego, uzasadnone wydaje sę założene, że zdecydowana wększość tych punktów pownna być wzajemne stablna. Ponadto można przyjąć, że błędy wynków pomaru są realzacjam wektora losowego o rozkładze normalnym z akceptowaną warancją, a wartośc przemeszczeń są realzacjam wektora losowego o jakmś nnym, symetrycznym rozkładze (np. rozkładze Laplace a). Wobec tego, estymowane przemeszczena stablnych punktów pownny być realzacjam wektora losowego o rozkładze normalnym z akceptowaną warancją, a estymowane przemeszczena nestablnych punktów pownny być realzacjam wektora losowego o symetryczne zaneczyszczonym rozkładze normalnym, z neakceptowaną warancją (ang. 14

15 varance nflaton model). Powyższe rozpoznane upoważna do stwerdzena, że szukany estymator wektora przemeszczeń PRPs pownen meć zaneczyszczony rozkład normalny, który jest mksturą dwóch powyższych rozkładów normalnych: 2 2 ( d ) ( ) ˆ dˆ dˆ ˆ ˆ PRP (1 τ ) N 0, dag( σ ) + τ N 0, dag( kσ ), (13) stablne punkty nestablne punkty gdze τ jest małą wartoścą prawdopodobeństwa ( 0 < τ < 0.5 ), σ d jest akceptowanym odchylenem standardowym składowej wektora przemeszczeń, k > 1 kσ d jest neakceptowanym odchylenem standardowym składowej wektora przemeszczeń. Natychmast można zauważyć, że powyższy model probablstyczny jest analogczny do probablstycznego modelu obserwacj podejrzanych o zawerane błędów grubych, który to model jest probablstyczną podbudową dla teor odpornej M-estymacj (Huber 1981). Skoro tak, to naturalnym ogranczenem dla modelu przemeszczeń (12) może być następujący warunek optymalzacyjny: ρ (d ˆ ) = funkcja celu z klasy odpornej M-estymacj = mn. (14) PRP W kontekśce analzy przemeszczeń, ten warunek można traktować jako defncję układu odnesena dla wektora przemeszczeń, analogczne jak w modelach (1), (2), (3). Jednak w tym przypadku, układ odnesena jest defnowany na grupe wszystkch PRPs (stablnych nestablnych). Matematyczny model przemeszczeń (12) warunek optymalzacyjny (14) tworzą razem problem optymalzacyjny, który jest typowy dla teor odpornej M-estymacj daje jednoznaczne rozwązane. Zgodne z tą teorą, powyższy problem optymalzacyjny można rozwązać np. metodą zerowana gradentu: ρ(dprp ) dprp = 0 ψ ( dprp ) = 0, (15) t t = tˆ t t = tˆ ψ ( d ) = ρ( d ) / d =..., ψ ( d ),..., a ψ ( dprp, ) gdze PRP PRP PRP PRP, jest pewną ogranczoną funkcją, którą można traktować jako tzw. funkcję wpływu (ang. IF- nfluence functon; Hampel nn 1986, Wśnewsk 2013). Jednak ze względów praktycznych, tą funkcję wygodnej jest przedstawać w postac ψ ( dprp, ) = w( dprp, ) dprp,, gdze w( d PRP, ) jest funkcją wagową z klasy odpornej M-estymacj. Teraz, z równana (15) można otrzymać: a następne H T Wd ˆ = 0, (16) 15

16 T ( ) ˆ T ( ˆ ˆ (2) (1) ) H WH t H W x x = 0, (17) skąd T 1 T ( ) ( (2) (1) ) tˆ = H WH H W xˆ x ˆ, (18) gdze W = dag..., w ˆ PRP, = w( dprp, ),...,..., 0,... PRPs punkty kontrolowane. (19) Po podstawenu wektora ˆt do modelu (12) otrzymujemy klasyczny algorytm estymacj przemeszczeń z zastosowanem odpornej M-estymacj (7). Można też zauważyć, że zastosowane odpornej M-estymacj jest tu w stoce zredukowane do zastosowana funkcj wagowej z tej klasy. Na konec należy wyraźne podkreślć, że odporna M-estymacja ma nekonwencjonalne zastosowane w analze przemeszczeń. Przede wszystkm, odstawane ne dotyczy tu obserwacj, a dotyczy parametrów (przemeszczonych punktów). Odstające obserwacje to oddzelny problem, który pownen być rozwązany wcześnej, na etape wyrównana wstępnego. Z tego powodu, rola odpornej M-estymacj jest tu często źle rozumana. W zwązku z tym, w pracy Nowel [2015b] dodatkowo pokazano geometryczną nterpretację dzałana odpornej M-estymacj w analze przemeszczeń (rys. 1). W celu lepszego zrozumena tego problemu, w prezentowanym przykładze założono, że obserwacje ne zawerają błędów pomaru. Rys. 1 Grafczna nterpretacja dzałana odpornej M-estymacj w analze przemeszczeń, 1a- zdeformowana seć kontrolna, 1b, 1c, 1d- wynk analzy tych deformacj z zastosowanem odpornej M-estymacj [Nowel 2015b] 16

17 Na powyższym rysunku wdać, że geometrycznym zadanem odpornej M-estymacj jest w stoce wzajemne dopasowane sec z obu epok, tak aby obe sec przylegały do sebe w stablnych PRPs (analogczne, jak w zaproponowanym przez Adamczewskego (1979) aproksymacyjnym algorytme przylegana obektów). Natomast w kontekśce analzy przemeszczeń można powedzeć, że zadanem odpornej M-estymacj jest ochrona układu odnesena ( w konsekwencj ochrona estymatora wektora przemeszczeń) przed nestablnym PRPs. Właśne w takm sense, estymacja przemeszczeń jest odporna Nowa metoda W perwszym etape badań m. n. wykazano, że klasyczna metoda odporna pochodz od modelu różnc współrzędnych (1). W drugm etape badań podjęto próbę rozwnęca podejśca odpornego na dwa pozostałe modele przemeszczeń, tj. na model różnc obserwacj (2) na model łączony (3). W trakce badań okazało sę, że dla obu tych model można wyprowadzć odporną metodę estymacj przemeszczeń. Jednak wstępne testy numeryczne pokazały, że tylko metoda wyprowadzona z modelu różnc obserwacj mogłaby skuteczne konkurować z klasyczną metodą odporną. Metoda wyprowadzona z modelu łączonego, jakkolwek nteresująca z teoretycznego punktu wdzena, to w praktyce ne stanowłaby poważnej konkurencj. Stąd ne była ona przedmotem dalszego zanteresowana. Odporna estymacja przemeszczeń z różnc obserwacj swobodnych sec kontrolnych: metoda REDOD Perwowzorem klasycznej metody odpornej jest (o czym już była mowa) metoda IWST. Metoda IWST jest nadal najczęścej stosowana w analze przemeszczeń. Stosowano ją m. n. do analzy deformacj kompleksu akceleratora cząstek atomowych Tevatron w laboratorum Fermlab w USA. Ta metoda jest równeż zamplementowana w unwersalnym oprogramowanu do oblczeń geodezyjnych GeoLab. Z uwag na fakt, ż metoda IWST realzuje warunek mnmalnej L 1 -normy, to właśne od tego warunku rozpoczęto rozwjane podejśca odpornego. W celu uproszczena oblczeń oraz z uwag na to, ż odporna optymalzacja w stoce dotyczy tylko sec swobodnych, w perwszej kolejnośc skoncentrowano sę tylko na secach swobodnych (sec PRPs). Poneważ, w podejścu odpornym ne dentyfkuje sę bazy odnesena, stąd punktem wyjśca musał być tu następujący, matematyczny model przemeszczeń: obs obs v = Ad PRP ( l (2) l (1) ) (20) 17

18 (klasyczny model różnc obserwacj (2), ale bez defncj układu odnesena). Jak wcześnej wykazano, w klasycznej metodze odpornej, rolę układu odnesena dla wektora przemeszczeń pełn warunek optymalzacyjny o własnoścach odpornoścowych. Skoro tak, to nc ne stało na przeszkodze, aby take rozwązane zastosować tu. Stąd, do modelu przemeszczeń (20) dołączono warunek optymalzacyjny metody IWST, tj. ˆd PRP =mn. (21) 1 Ponadto, z oczywstych powodów, do tego modelu dołączono jeszcze warunek metody NK dla estymatora wektora poprawek do różnc obserwacj: vˆ P v ˆ =mn, (22) T gdze P jest macerzą wag różnc obserwacj. W ten sposób sformułowano problem optymalzacyjny (20), (21), (22) proponowanej metody. Co prawda, metoda mnmalnej L 1 -normy (21) należy do klasy odpornej estymacj, to jednak ta metoda ne należy do klasy M-estymacj (chocaż, w pewnym sense może być tak nterpretowana) ne można jej wyprowadzć na grunce teor M-estymacj. Funkcja celu ne jest tu różnczkowalna, stąd realzacja oblczeń przebega z zastosowanem, netypowych w rachunku wyrównawczym, zasad programowana lnowego, np. z zastosowanem metody sympleksów. Nestety, take rozwązane byłoby tu zbyt ucążlwe. Z tego powodu, orygnalną funkcję celu metody mnmalnej L 1 -normy zastąpono tu pewną alternatywną funkcją (Kadaj 1988): d ˆ, (23) ˆ 2 2 PRP dprp, + c 1 gdze 0 c. Taka alternatywna funkcja jest co najmnej dwukrotne różnczkowalna wypukła, stąd jej mnmum można znaleźć przy pomocy klasycznej w rachunku wyrównawczym metody zerowana gradentu lub metody Newtona (Wśnewsk 1993). Powyższy problem optymalzacyjny rozwązano metodą zerowana gradentu [Nowel Kamńsk 2014]. Dodatkowo zachodzła tu potrzeba skorzystana z metody mnożnków Lagrange a oraz z teor g-odwrotnośc macerzy (Rao 1973; Prószyńsk 1981; Wśnewsk 2009). W rezultace wyprowadzono następujący algorytm estymacj przemeszczeń: 18

19 1 ( ) ( ) ( ) ˆ ( k ) ( k ) 1 T ( k ) 1 T T obs obs ( k ) obs obs dprp = ( W ) D D( W ) D A1 P l(2) l(1) = R l(2) l (1) ( k+ 1) ( k + 1) ˆ ( k ) W = dag (..., wprp, = 1/ ( dprp, + c),...) gdze T T n r n de D = [ A1 P A1, A1 P A 2], = 1 R 2 R k = 1,..., (24) A [ A, A ], r = rząd( A1) = rząd( A ), tj. podmacerz A 1 składa sę z r nezależnych kolumn macerzy A, c jest precyzją oblczeń (np. c= ) ( k 1) w = PRP, 1 =. Proponowaną metodę nazwano umowne REDOD (ang. Robust Estmaton of Deformaton from Observaton Dfferences). W celu określena praktycznej przydatnośc proponowanej metody przeprowadzono pewne testy numeryczne, na podstawe dwóch symulowanych, swobodnych sec kontrolnych (1D, 2D). Testy polegały na porównanu jakośc wynków analzy przemeszczeń, uzyskanych metodą IWST proponowaną metodą REDOD. Ogólne, analzowano dwe sytuacje, różnące sę rodzajem błędów pomaru. W perwszej sytuacj, obserwacje zaburzono tylko błędam przypadkowym, a w drugej, dodatkowo pewnym błędam stałym w obu epokach (seć 1D- refrakcja, seć 2D- mmośród sygnału celownczego względem nstrumentu). Marą jakośc wynków była dokładność estymowanych przemeszczeń poprawność ch obszarów ufnośc. Wynk powyższych testów pozwolły sformułować dwa następujące, ogólne wnosk: 1. W sytuacj, gdy obserwacje są zaburzone tylko błędam przypadkowym, obe metody dają dokładne taką samą (w grancach precyzj oblczeń) jakość wynków. 2. W sytuacj, gdy obserwacje są zaburzone dodatkowo błędam stałym, proponowana metoda daje wyższą jakość wynków, nż metoda IWST. Szczegółowe założena wynk znajdują sę w pracy Nowel Kamńsk [2014]. W tym mejscu, ze względów objętoścowych, ogranczono sę tylko do krótkego omówena wynków uzyskanych dla sec 2D. Dla sec 2D analzowano cztery waranty obserwacj. W warance 1, obserwacje zaburzono błędam przypadkowym wylosowanym z rozkładu normalnego o takm samym odchylenu standardowym dla obserwacj danego typu, a w warance 2 o różnym odchylenu standardowym. To znaczy, w warance 1 obserwacje danego typu były jednakowo dokładne w obu epokach, a w warance 2 nejednakowo dokładne. W konsekwencj, w warance 2, przyjmowane do oblczeń macerze wag tych obserwacj ne były do sebe proporcjonalne w obu epokach. Następne, obserwacje z warantów 1 2 zaburzono pewnym błędem stałym tak otrzymano obserwacje w warantach 3 4. Należy tu zaznaczyć, że w analze deformacj wag obserwacj najczęścej ne są do sebe proporcjonalne w obu epokach. Z uwag na obowązujące tu bardzo duże wymagana dokładnoścowe, właścwa analza deformacj pownna być poprzedzona 19

20 m. n. estymacją komponentów warancyjnych. Autor zwracał na to uwagę we wcześnejszych pracach (Kamńsk Nowel 2013; Nowel Kamńsk 2013 Nowel 2013). W wynku tej estymacj, wag ulegają pewnym modyfkacjom, co w konsekwencj prowadz do wspomnanej neproporcjonalnośc (tak, jak w warance 2 4). Na rys. 2 pokazano wynk analzy przemeszczeń powyższych czterech warantów. W celu lepszego znterpretowana wynków, ocenę stotnośc estymowanych przemeszczeń przeprowadzono grafczne, na podstawe elps ufnośc. Wzory na parametry elps ufnośc wyprowadzono z warunku (6.1). Rys. 2 Wynk analzy przemeszczeń [Nowel Kamńsk 2014] Na powyższym rysunku wdać, że metoda IWST ne radz sobe z błędam stałym (warant 3 4). Jednak w przypadku proporcjonalnych wag, tylko elpsy ufnośc są zaburzone tym błędam (warant 3). Natomast gdy wag ne są do sebe proporcjonalne w obu epokach, mamy do czynena z bardzej pogłęboną deznformacją (warant 4). Manowce, w tym przypadku dodatkowo spada jeszcze dokładność estymowanych przemeszczeń. W konsekwencj powyższych zaburzeń, 20

21 w obu tych warantach, wynk analzy przemeszczeń metodą IWST ne są poprawne (tylko punkt C został uznany za przemeszczony). Natomast wynk analzy przemeszczeń metodą REDOD są poprawne we wszystkch warantach. Jakkolwek drug ogólny wnosek (dotyczący obserwacj zaburzonych dodatkowo błędam stałym) mógł wydawać sę tu dość oczywsty zrozumały, to jednak perwszy był sporym zaskoczenem. Z uwag na to, ż algorytmy obu metod różną sę dość stotne można było jednak oczekwać też różnych wynków. Konkludując oba ogólne wnosk należy stwerdzć, że udało sę uzyskać pewne praktyczne korzyśc, ne ponosząc przy tym kosztów. Uogólnona odporna estymacja przemeszczeń z różnc obserwacj: metoda GREDOD W toku dalszych badań podjęto próbę uogólnena proponowanej metody REDOD na absolutne względne sec kontrolne oraz na dowolną funkcję celu z klasy odpornej M-estymacj. W kontekśce schematu klasycznej metody odpornej (8), ogólny schemat tego zadana można było przedstawć w następującej postac: odporna M- estymacja l l dˆ. (25) ( tylko dla dˆ ) obs obs ( (2) (1) ) W odnesenu do wcześnej sformułowanych, probablstycznych założeń mogących obowązywać w analze przemeszczeń (13), zaproponowano następujący problem optymalzacyjny: PRP obs obs v = Ad ( l (2) l (1) ), (26) ρ (d ˆ ) = funkcja celu z klasy odpornej M-estymacj = mn, (14) PRP vˆ P v ˆ =mn. (22) T Powyższy problem optymalzacyjny rozwązano przy udzale metody mnożnków Lagrange a, teor g-odwrotnośc oraz w ścsłym nawązanu do teor odpornej M-estymacj [Nowel 2015a]. Elementy gradentu funkcj celu (14) względem wektora parametrów są tu funkcjam ogranczonym, które wcześnej oznaczono jako ψ ( d ) (15), stąd były tu traktowane jako funkcje wpływu z klasy PRP, odpornej M-estymacj: ρ dˆ dˆ ( PRP) PRP = ψ dˆ ˆ ˆ ˆ PRP = ψ dprp, = w dprp, dprp, dˆ ˆ PRP dprp ( ) 1..., ( ) ( ),.... (27) Ostatecznym rozwązanem problemu optymalzacyjnego (26), (14), (22) był następujący estymator wektora przemeszczeń: 21

22 1 ( ) 1 ( (2) (1) ) ( (2) (1) ) ˆ ( k ) ( k ) 1 T ( k ) 1 T T obs obs ( k ) obs obs d = ( W ) D D( W ) D A P l l = R l l ˆ ˆ d PRP d = ( k + 1) ( k + 1) ˆ ( k ) W = dag..., wprp, = w( dprp, ),...,..., wo,,... ˆ do PRPs punkty kontrolowane k = 1,... (28) gdze w PRP, jest dowolną funkcją wagową z klasy odpornej M-estymacj (w perwszym kroku teracyjnym w PRP, = 1), a w o, jest odpowedno małą stałą dla wszystkch punktów kontrolowanych wartoścą, np. w o, mnejszą nż założona precyzja oblczeń ( w o, =0.001, jednak ne >0.0001). Proponowaną metodę nazwano umowne GREDOD (ang. Generalzed Robust Estmaton of Deformaton from Observaton Dfferences). Natychmast można zauważyć, że powyższy algorytm algorytm metody REDOD (24) różną sę tylko funkcją wagową. Warto zdawać sobe też sprawę, że funkcja wagowa dla przemeszczeń PRPs pełn tu dokładne taką samą rolę, jak funkcja wagowa w metodze REDOD (24). Stąd wnosek, że alternatywna funkcja celu w metodze mnmalnej L 1 -normy (23) może być nterpretowana jako funkcja celu z klasy odpornej M-estymacj. W celu zweryfkowana praktycznej przydatnośc proponowanej metody przeprowadzono testy numeryczne. Analzowano dobrze znaną w lteraturze, absolutną seć kontrolną zapory wodnej Montsalvens w Szwajcar (rys. 3). Rys. 3 Absolutna seć kontrolna zapory wodnej Montsalvens, z symulowanym przemeszczenam a pror elpsam ufnośc (95%) wyznaczena tych przemeszczeń [Nowel 2015a] 22

23 W przeszłośc, na podstawe symulowanych kątowo-lnowych obserwacj tej sec weryfkowano praktyczną przydatność klasycznej metody odpornej (np. Caspary nn 1987; Caspary nn 1990; Caspary 2000; Setan Sngh 2001). W jednej z prac prof. Casparego znalezono te symulowane obserwacje za Jego zgodą, na ch podstawe przeprowadzono nnejsze testy. Testy polegały na porównanu wynków analzy przemeszczeń uzyskanych proponowaną (28) klasyczną (7) metodą odporną. W obu metodach, za funkcję wagową przyjęto funkcję wagową Hubera. Tak jak wcześnej, rozpatrywano tu dwa ogólne przypadk, różnące sę rodzajem błędów pomaru, jednak wag obserwacj były tu do sebe zawsze proporcjonalne w obu epokach. W teśce 1 analzowano orygnalne, symulowane obserwacje prof. Casparego, które zawerały tylko błędy przypadkowe. Natomast w teśce 2, obserwacje prof. Casparego (a konkretne tylko kąty) dodatkowo zaburzono błędam stałym w obu epokach. W obu przypadkach analzowano dokładność estymowanych przemeszczeń poprawność oceny ch stotnośc (6.1), (obszary ufnośc ne były tu wyznaczane w jawnej postac). Ogólne można powedzeć, że sformułowane tu wnosk były zbeżne z wcześnejszym wnoskam. 1. W teśce 1, obe metody dały dokładne take same (w grancach precyzj oblczeń) wartośc estymowanych przemeszczeń take same, poprawne wynk oceny ch stotnośc. 2. W teśce 2, obe metody dały dokładne take same (w grancach precyzj oblczeń) wartośc estymowanych przemeszczeń, jednak otrzymano tu różne wynk oceny ch stotnośc. Szczegółowe założena wynk znajdują sę w pracy Nowel [2015a]. W tym mejscu, ze względów objętoścowych, ogranczono sę tylko do przedstawena ogólnych wynków oceny stotnośc, otrzymanych w teśce 2. Na rys. 4 pokazano wpływ błędu stałego na wartość statystyk testowej (6.1), dla punktu 11 (rys. 3). Rys. 4 Wpływ błędu o stałej wartośc znaku w obu epokach na wartość lokalnej statystyk [Nowel 2015a] 23

24 Na powyższym rysunku wdać, że wraz ze wzrostem błędu stałego, w metodze klasycznej spada wartość statystyk testowej. Gdy wartość tego błędu przekracza 2 cc, wartość tej statystyk spada ponżej wartośc krytycznej, a wynk oceny stotnośc ne jest już poprawny (błąd typu II). Natomast w przypadku metody proponowanej, taka sytuacja ne występuje. W teśce 2, dodatkowo rozważano jeszcze nną sytuację. Manowce, orygnalne obserwacje prof. Casparego (a konkretne tylko kąty) zaburzono błędem o stałej wartośc w obu epokach, ale tym razem o przecwnym znaku. Oczywśce taka sytuacja wydaje sę mało prawdopodobna w praktyce to rozważane mało główne znaczene poznawcze. Na rys. 5 pokazano wpływ tego błędu na wartość statystyk testowej (6.1), dla punktu 11 (rys. 3). Rys. 5 Wpływ błędu o stałej wartośc przecwnym znaku w obu epokach na wartość lokalnej statystyk [Nowel 2015a] Można zaobserwować, że tym razem wzrost wspomnanego błędu wpływa na spadek wartośc statystyk testowej w obu metodach. Gdy wartość tego błędu przekracza 3 cc, wartość tej statystyk spada ponżej wartośc krytycznej, a wynk oceny stotnośc przestają być prawdłowe w obu metodach (błąd typu II). W pracy Nowel [2015a] zwrócono uwagę na jeszcze nny problem. W teśce 1 otrzymano wprawdze take same, poprawne wynk oceny stotnośc w obu metodach, jednak wartośc estymowanych współczynnków warancj, a w konsekwencj wartośc statystyk testowych (6.1) różnły sę dość stotne ([Nowel 2015a], tab. 1). Estymator współczynnka warancj był równy w metodze klasycznej 0.88, a w metodze proponowanej Z uwag na fakt, ż obserwacje były tu zaburzone tylko błędam przypadkowym, można było jednak oczekwać zblżonych do sebe wartośc. W celu zrozumena przyczyn tych różnc, dla sec Montsalvens przeprowadzono jeszcze pewne testy metodą Monte Carlo. Okazało sę, że wartośc estymowanych współczynnków warancj zawsze różnły sę w poszczególnych 24

25 symulacjach, jednak wartośc średne tych estymatorów były dentyczne dla obu metod (1.00), (rys. 6). Rys. 6 Hstogramy estymowanych współczynnków warancj [Nowel 2015a] Stąd wycągnęto wnosek, że otrzymane różnce ne były spowodowane żadnym czynnkem determnstycznym, tylko wynkały z losowego charakteru wynków estymacj. Estymator współczynnka warancj mał stotne mnejszą wartość w metodze proponowanej (0.69), nż w metodze klasycznej (0.88), poneważ obserwacje prof. Casparego musały zawerać węcej błędów przypadkowych o tym samym znaku w obu epokach, nż o przecwnym znaku. Jak wadomo, na skutek różncowana obserwacj redukują sę błędy o tym samym znaku w obu epokach kumulują sę błędy o przecwnym znaku. Ponadto z rys. 6 wynka, że estymator współczynnka warancj ma trochę mnejszą precyzję w metodze proponowanej, nż w metodze klasycznej. To znajduje też odzwercedlene w wartoścach krytycznych statystyk testowych (rys. 3, 4), a wynka to z lczby stopn swobody (58 w metodze klasycznej 29 w metodze proponowanej). W przypadku mnejszych sec tym samym mnejszej lczby stopn swobody, powyższe różnce będą wększe. W konsekwencj, wynk oceny stotnośc mogą (choć ne muszą) być różne w obu metodach. To rozpoznane należy traktować jako uzupełnene wnosków z testu 1. Konkludując ten etap badań należy stwerdzć, że z modelu różnc obserwacj można wyprowadzć satysfakcjonującą odporną metodę estymacj przemeszczeń. W przecweństwe do klasycznej metody odpornej, ta metoda akceptuje błędy stałe w obu epokach w tym przypadku jest skutecznejsza, nż metoda klasyczna. Natomast w przypadku ogólnym, tj. gdy obserwacje są zaburzone tylko błędam przypadkowym, proponowana metoda daje take same wynk analzy przemeszczeń, jak metoda klasyczna. Newelke różnce, a konkretne różnce w skutecznośc, mogą (choć ne muszą) wystąpć jedyne w przypadku bardzo małych sec. Jednak na tym etape badań, ne można stwerdzć, jak te różnce wpłynęłyby na skuteczność obu metod. 25

26 Na konec, autor chcałby zwrócć jeszcze uwagę na używane tu określene błędy stałe w obu epokach. Chodz tu bowem o błędy, które dla danej obserwacj mają stałą wartość stały znak w obu epokach, jednak nekoneczne muszą być stałe dla wszystkch obserwacj w danej epoce. Z uwag na to, że pomary deformacj mają powtarzalną naturę (obserwacje są tu wykonywane okresowo lub w trybe cągłym, najczęścej tym samym sprzętem, w tych samych lub podobnych warunkach atmosferycznych) wspomnane wyżej błędy mogą tu wystąpć. Co węcej, to mogą być błędy, których ne można w całośc zdentyfkować wyelmnować, np. nezredukowana całkowce refrakcja atmosferyczna. To mogą być też nne błędy, które wprawdze można by wyelmnować, jednak ekonomczne ogranczena projektu pomarowego to utrudnają lub wręcz unemożlwają. W pracy Nowel [2015a] zwrócono też uwagę, że skoro proponowana metoda akceptuje powyższe błędy, to może meć szersze znaczene aplkacyjne, nż klasyczna metoda odporna. Na przykład, proponowana metoda pozwala na wykonywane zntegrowanych pomarów deformacj, np. TS (ang. Total Staton) + GNSS (ang. Global Navgaton Satellte System), pommo neznajomośc wartośc mmośrodu (rys. 7). Rys. 7 Przykład mmośrodowych pomarów TS GNSS (na podstawe Wlkns nn (2003) oraz Nowel Kamńsk [2014]) Proponowana metoda wymaga tylko, aby wartość mmośrodu na danym punkce była stała w każdej epoce pomarowej. Innym słowy, na danym punkce, w każdej epoce mus stać ten sam zestaw pomarowy. Warto zwrócć uwagę, że w przypadku np. cągłych pomarów kontrolnych, ten postulat jest zawsze spełnony. Zatem, proponowana metoda pozwala na pomary deformacj np. zestawam własnej konstrukcj, składającym sę ze zwykłych tachmetrów, sygnałów celownczych, odbornków GNSS, td., które są dowolne połączone ze sobą. W tym przypadku ne są wymagane droge, laboratoryjne zntegrowane zestawy pomarowe. 26

27 Wybór funkcj wagowej postac jej zmennej Jak wcześnej wykazano, zastosowane odpornej M-estymacj w analze przemeszczeń jest w stoce zredukowane do zastosowana funkcj wagowej z tej klasy. Z doneseń naukowych wynka, że najczęścej jest tu stosowana funkcja wagowa metody mnmalnej L 1 -normy, ze zmennym w postac składowych wektora przemeszczeń (metoda IWST). Take rozwązane jest bardzo wygodne w oblczenach. Nestety, dotychczas ne przeprowadzono obektywnych analz porównawczych dotyczących dokładnośc czy skutecznośc tego nnych dostępnych rozwązań. Po druge, składowe wektora przemeszczeń jako zmenne funkcj wagowej mogą ne być najlepszym rozwązanem. To wynka z faktu, ż wartośc tych składowych zależą od orentacj układu współrzędnych, która jest dowolne ustalana. Dlatego, nektórzy autorzy proponują aby zmennym funkcj wagowej w metodze IWST były elementy nezależne od orentacj układu współrzędnych, a konkretne długośc wektorów przemeszczeń poszczególnych punktów. Celem badań podjętych w pracy Nowel [2015b] było blższe przyjrzene sę dwóm powyższym problemom znalezene takej funkcj wagowej takej postac jej zmennej, które dałyby najwyższą skuteczność analzy przemeszczeń. Jeżel punkty stablne są zdentyfkowane jako stablne, a punkty przemeszczone są zdentyfkowane jako przemeszczone, to znaczy że analza przemeszczeń jest skuteczna w danym przypadku. Dotychczas, skuteczność poszczególnych funkcj wagowych badano zawsze na podstawe jakegoś jednego konkretnego przypadku, np. dwuepokowego zestawu symulowanych obserwacj prof. Casparego (Caspary nn 1987). Nestety, tak zestaw obserwacj dotyczy tylko jednego z welu możlwych przypadków przemeszczeń jednego z welu możlwych przypadków błędów pomaru. Wnosk wycągane na podstawe wynków opracowana takch obserwacj są mało obektywne, poneważ ne wadomo jak dana funkcja wagowa zachowałaby sę w nnych przypadkach. Stąd, w pracy Nowel [2015b] zaproponowano aby skuteczność poszczególnych funkcj wagowych merzyć za pomocą średnego wskaźnka sukcesu (MSR, ang. mean success rate). W przeszłośc, ten wskaźnk był z powodzenem stosowany do rozwązywana podobnych problemów, m. n. do merzena skutecznośc testów na odstawane obserwacj geodezyjnych (Hekmoglu Koch 2000) wydawał sę być też dobrym narzędzem do przeprowadzena obektywnej oceny skutecznośc analzy przemeszczeń z zastosowanem odpornej M-estymacj. Testy numeryczne przeprowadzono ponowne dla sec Montsalvens (rys. 3), jednak tym razem oczywśce ne korzystano z symulowanych obserwacj prof. Casparego, a obserwacje (a w stoce przemeszczena błędy pomaru) symulowano tu samodzelne, klka tysęcy razy, metodą Monte Carlo. Losowano ne tylko numery przemeszczonych punktów, ale też długośc kerunk wektorów 27