ANALIZA WPŁYWU DRGAŃ KONTAKTOWYCH STYCZNYCH WZDŁUŻNYCH NA SIŁĘ TARCIA

Transkrypt

1 KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 28 nr 4 Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 2008 PAWEŁ GUTOWSKI, MARIUSZ LEUS ANALIZA WPŁYWU DRGAŃ KONTAKTOWYCH STYCZNYCH WZDŁUŻNYCH NA SIŁĘ TARCIA W artykule przedstawiono wyniki analizy wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym ciała sztywnego. W analizie wykorzystano trzy modele tarcia opisujące w różny sposób właściwości fizyczne rzeczywistego styku. Były to: klasyczny model Coulomba odniesiony do ruchu ciała sztywnego po nieodkształcalnym podłożu oraz dwa tzw. dynamiczne modele tarcia model Dahla i model Duponta, uwzględniające podatność kontaktową styczną styku. Uzyskane wyniki porównano z dostępnymi w literaturze wynikami badań doświadczalnych. Wykazano, że w przypadku występowania ruchu drgającego o dużej częstotliwości i małej wartości amplitudy drgań (ruch w skali mikro, którego przykładem są drgania kontaktowe styczne) model tarcia Coulomba jest nieadekwatny do opisu siły tarcia. Słowa kluczowe: modele tarcia, siła tarcia, drgania kontaktowe styczne 1. WPROWADZENIE Mikrodrgania o dużej częstotliwości, a szczególnie drgania ultradźwiękowe są wykorzystywane w wielu procesach technologicznych związanych z oddziaływaniem mechanicznym jednego ciała na drugie. Badania prowadzone w różnych ośrodkach naukowo-badawczych na świecie wykazały, że przez wzbudzenie takich drgań w obrębie styku poruszających się względem siebie ciał można uzyskać znaczące zmniejszenie siły tarcia [5, 6, 9, 10, 11 13]. Zjawisko to zostało wykorzystane w obróbce plastycznej oraz w obróbce skrawaniem do zmniejszenia siły tarcia między narzędziem a przedmiotem obrabianym. Redukcja tej siły występuje zarówno przy drganiach w kierunku stycznym, jak i normalnym do powierzchni styku. W przypadku drgań w kierunku stycznym warunkiem koniecznym zmniejszenia siły tarcia jest, aby amplituda prędkości drgań v a była większa od składowej stałej v c prędkości ruchu względnego stykających się ze sobą powierzchni. Dr hab. inż. Mgr inż. Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Politechniki Szczecińskiej.

2 118 P. Gutowski, M. Leus Autorzy wielu prac uważają, że zmniejszenie siły tarcia związane jest z cykliczną, chwilową zmianą znaku wektora tej siły występującą w każdym okresie drgań, gdy v a > v c. Zjawisko to, zwane w języku angielskim friction vector effect, uważane jest powszechnie za jeden z głównych mechanizmów zmniejszenia siły tarcia przy wymuszonych mikrodrganiach stycznych [5, 6, 9, 10, 12]. Autorzy niniejszego artykułu wykazali jednak [7, 8], wykorzystując model tarcia Dahla [2], że siła tarcia w obecności wymuszonych drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych może ulec zmniejszeniu bez zmiany jej znaku. Głównym celem prezentowanego artykułu jest porównanie na podstawie analiz symulacyjnych zgodności wyników obliczeń siły tarcia uzyskiwanych z wykorzystaniem modeli opartych na klasycznym modelu tarcia Coulomba, w którym zakłada się, że stykające się ze sobą ciała są idealnie sztywne, z wynikami badań doświadczalnych oraz z wynikami uzyskanymi z wykorzystaniem nowszych modeli tarcia, zwanych modelami dynamicznymi, w których uwzględnione są rzeczywiste sprężysto-plastyczne charakterystyki styku, a także zjawisko tzw. przesunięcia wstępnego (ang. presliding effect). W analizach wykorzystano wymieniony wyżej model Dahla, uwzględniający podatność kontaktową styczną styku, w którym zakłada się, że odkształcenie styku w kierunku stycznym już od początkowej fazy obciążenia ma charakter sprężysto-plastyczny, oraz jeden z najnowszych modeli tarcia model Duponta [3, 4], oparty na założeniu, że w początkowej fazie obciążenia stycznego odkształcenie styku ma charakter czysto sprężysty, a dopiero w fazie późniejszej, gdy naprężenie styczne τ osiągnie pewną wartość graniczną τ s (τ s 0,7τ z, gdzie τ z naprężenie zrywające styk), pojawia się odkształcenie o charakterze sprężysto-plastycznym. 2. ANALIZOWANE MODELE W zależności od skali, w jakiej rozpatruje się ruch, modele tarcia można podzielić na dwie grupy. Do pierwszej grupy należą modele opisujące ruch w skali makroskopowej, a do drugiej modele uwzględniające ruch w skali mikroskopowej. Klasycznym modelem opisującym ruch w skali makroskopowej jest model tarcia Coulomba, w którym zakłada się, że stykające się ciała są idealnie sztywne. W modelu tym siłę tarcia F T podczas ruchu wyznacza się z zależności: gdzie F T = F C sgn( v r ), (1) FC = μ F N. (2)

3 Analiza wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych na siłę tarcia 119 Wielkość F C jest siłą tarcia Coulomba, μ współczynnikiem tarcia, F N reakcją normalną do powierzchni styku, a v r prędkością względną ślizgających się po sobie ciał. Z zależności (1) widać, że w modelu tym siła tarcia F T jest stała co do bezwzględnej wartości, a zmieniać się może jedynie jej znak w zależności od znaku względnej prędkości ślizgania v r. W latach 70. XX wieku wprowadzono dynamiczne modele tarcia, tzw. modele szczotkowe, opisujące ruch w skali mikroskopowej. Prekursorem był Dahl, który jako pierwszy uwzględnił w modelu tarcia podatność kontaktową styczną styku i zjawisko przesunięcia wstępnego. Nierówności powierzchni tworzących rzeczywisty styk (rys. 1a) są obrazowane w tym modelu jako mikrosprężyny (rys. 1b), które pod wpływem obciążenia stycznego odkształcają się w kierunku zgodnym z kierunkiem siły oporu tarcia. Jeśli odkształcenie jest wystarczająco duże (siła tarcia osiągnie wartość tarcia rozwiniętego), następuje zerwanie więzi i poślizg. Zgodnie z założeniem modelu Dahla przemieszczenie x ciała sztywnego ma charakter sprężysto-plastyczny i może być rozłożone na dwie składowe składową sprężystą z i składową plastyczną w (rys. 1c): x = z + w. (3) Składowa sprężysta związana jest ze sprężystym odkształceniem występów chropowatości powierzchni styku w kierunku stycznym. Odkształcenie to wyznacza się z równania różniczkowego o postaci [2]: dz k t = vr 1 sgn( vr ) z. (4) dt FC Parametr α określa kształt krzywej zależności przemieszczeń stycznych od siły stycznej. Bliman [1] podaje, że dla materiałów kruchych wartość tego parametru mieści się w przedziale 0 < α < 1, a dla materiałów plastycznych α 1. Siłę tarcia w modelu Dahla wyznacza się z zależności: F T α = k z, (5) gdzie k t jest współczynnikiem sztywności kontaktowej stycznej. t Rys. 1. Rzeczywisty styk i jego model Fig. 1. Real contact and its model

4 120 P. Gutowski, M. Leus Wielu autorów [3, 4] uważa model Dahla za niewystarczający do poprawnego modelowania siły tarcia między ciałami rzeczywistymi, gdyż według nich odkształcenie styczne styku w początkowym zakresie obciążeń ma charakter idealnie sprężysty, a faza odkształceń sprężysto-plastycznych pojawia się dopiero po przekroczeniu przez obciążenie styczne pewnej granicznej wartości. W przemieszczeniu stycznym styku można więc wyodrębnić nie dwie, lecz trzy fazy. W fazie pierwszej przesunięcie wstępne ma charakter czysto sprężysty (z z s ), w fazie drugiej sprężysto-plastyczny ( z s < z < z z ), a w fazie trzeciej plastyczny, występuje ruch ślizgowy (z z z ). Dupont i współautorzy [3] wprowadzili w równaniu (4) funkcję β (z, v r ) pozwalającą w sposób przybliżony opisać trzy wyżej wymienione fazy. Równanie to przyjmuje wówczas postać: gdzie: dz dt 0 k 1 β (, ) sgn( ) t = vr z vr vr z, (6) FC dla z z s r m s z r = ( z, v ) = β ( z) dla z z z, gdy sgn( v ) sgn( z), β (7a) 1 dla z z z α i ( z, v ) = 0, gdy sgn( v ) sgn( z). β (7b) r r Rys. 2. Związek między siłą tarcia F T a przemieszczeniem styku x w modelu Dahla Fig. 2. Friction force F T versus contact displacement x for the Dahl s model Rys. 3. Związek między siłą tarcia F T a przemieszczeniem styku x w modelu Duponta Fig. 3. Friction force F T versus contact displacement x for the Dupont s model Funkcja β m (z) opisująca przejście pomiędzy przesunięciem wstępnym o charakterze czysto sprężystym, tj. od z = z s, do zerwania styku, tj. do z = z z (wystąpienie fazy poślizgu), ma postać [3]:

5 Analiza wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych na siłę tarcia ( ) 1 z zz zs 1 β ( ) sin 2 m z = π +. (8) 2 zz zs 2 Na rysunkach 2 i 3 przedstawiono przykładowe pętle histerezy dla modeli tarcia Dahla i Duponta ilustrujące podstawowe różnice między nimi. Pętle te wyznaczono dla następujących danych: f = 60 khz, x a = 0,7 μm, v c = 0, F C = 0,196 N, k t = 0,056 N/μm, α = 1. W modelu Duponta przyjęto ponadto, że z s = 0,7z z. 3. BADANIA SYMULACYJNE W obliczeniach symulacyjnych do opisu współzależności drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych i siły tarcia przyjęto model, w którym ciało A o masie m porusza się z prędkością względną v r względem podłoża B (rys. 4). Prędkość v r jest superpozycją dwóch prędkości: składowej stałej v c = const związanej z ruchem w skali makro (bez drgań) i składowej zmiennej v v = v v (t) wywoływanej wymuszonymi drganiami kontaktowymi (ruch w skali mikro): v = v + v. (9) r Przy drganiach wymuszonych o przebiegu harmonicznym składową zmienną można wyrazić w postaci: vv () t = va cos( ω t), (10) v x ω, (11) c a = a Rys. 4. Model przyjęty w obliczeniach Fig. 4. Model assumed in calculations gdzie: x a amplituda przemieszczeń drgań wymuszonych, ω częstość kołowa drgań wymuszonych (ω = 2 π f), t czas. W niniejszym artykule wyniki obliczeń symulacyjnych są odniesione do wyników badań doświadczalnych przeprowadzonych przez Littmanna, Storcka i Wallaschka [10]. Stąd w obliczeniach przyjęto wartości parametrów drgań wymuszonych identyczne z wartościami przyjętymi przez wymienionych autorów w badaniach doświadczalnych wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych v

6 122 P. Gutowski, M. Leus na siłę tarcia. Były to: częstotliwość f = 60 khz i amplituda x a = 0,7 μm. Do obliczeń przyjęto ponadto następujące dane: masa kostki m = 0,02 kg, współczynnik tarcia kinetycznego μ = 0,1, parametr α = 1, współczynnik sztywności kontaktowej stycznej k t = 0,056 N/μm. Dla przyjętej wartości częstotliwości f i amplitudy drgań x a amplituda prędkości drgań wymuszonych v a = 0,264 m/s. Siłę tarcia F T obliczono dla ciągu wartości prędkości względnej v r, w którym składowa stała v c była większa, równa i mniejsza od amplitudy prędkości drgań v a. W obliczeniach przyjęto następujące wartości składowej stałej: v c = 0,324, 0,264, 0,230, 0,199, 0,146, 0,118, 0,095 i 0,075 m/s. Rys. 5. Czasowe wykresy x, v r i F T, gdy amplituda prędkości drgań v a jest mniejsza od składowej stałej v c lub jej równa; a c) v a = 0,264 m/s, v c = 0,324 m/s, d f) v a = v c = 0,264 m/s Fig. 5. The runs of x, v r and F T when the amplitude v a of vibration velocity is less than or equal to the constant component v c ; a c) v a = m/s, v c = m/s, d f) v a = v c = m/s Wartość siły tarcia dla modelu Coulomba wyznaczano z zależności (1), dla modelu Dahla z zależności (4) i (5), a dla modelu Duponta z zależności (6 8). Przykładowe wyniki obliczeń numerycznych dla przyjętych wartości parametrów przedstawiono na rys. 5 i 6. Z wykresów przedstawionych na rys. 5 widać, że gdy amplituda prędkości drgań wymuszonych v a jest mniejsza od wartości składowej stałej v c prędkości ruchu ślizgowego lub równa tej wartości, to wyniki obliczeń siły tarcia z wykorzystaniem trzech analizowanych modeli tarcia są

7 Analiza wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych na siłę tarcia 123 identyczne. Siła ta ma stałą wartość (F T = const), co oznacza, że w takim przypadku drgania kontaktowe styczne nie mają wpływu na wartość siły tarcia. Odmienna sytuacja występuje, gdy amplituda prędkości drgań kontaktowych v a jest większa od składowej stałej v c ruchu ślizgowego (v a > v c ). W takiej sytuacji w trakcie drgań następuje cykliczna zmiana znaku prędkości ruchu względnego v r. Z wykresów przedstawionych na rys. 6 widać, że w momencie zmiany znaku prędkości względnej v r następuje zmiana siły tarcia F T. Charakter i wartości zmian zależą od przyjętego modelu tarcia. W przypadku modelu Coulomba dla wszystkich prędkości, dla których spełniony jest warunek v a > v c, w wyniku zmiany znaku względnej prędkości ślizgania następuje natychmiastowa zmiana znaku siły tarcia. Powoduje to, że obliczone wartości średniej siły tarcia dla jednego okresu drgań są znacznie mniejsze niż wyznaczone z doświadczenia. Rys. 6. Czasowe wykresy x, v r i F T, gdy amplituda prędkości drgań v a (v a = 0,264 m/s) jest większa od składowej stałej v c ; a c) v c = 0,199 m/s, d f) v c = 0,095 m/s, Fig. 6. The runs of x, v r and F T when the amplitude of vibration velocity v a (v a = m/s) is greater than the constant component v c ; a c) v c = m/s, d f) v c = m/s Wyniki obliczeń z wykorzystaniem modelu Dahla i modelu Duponta pokazują, że zmiana siły tarcia w obecności kontaktowych drgań stycznych nie następuje w sposób skokowy. Przy małych różnicach między v a i v c (rys. 6a) wartość

8 124 P. Gutowski, M. Leus siły tarcia ulega zmniejszeniu bez zmiany znaku (jej zwrot jest przeciwny do zwrotu v c ). Przy dużych różnicach między v a i v c (rys. 6b) siła tarcia maleje stopniowo do zera, po czym następuje zmiana jej znaku i jej narastanie w kierunku przeciwnym (zgodnym z v c ). Związane jest to z kierunkiem odkształcenia sprężystego występów chropowatości powierzchni styku względem toru ruchu ciała sztywnego. Dla analizowanych modeli, dla każdej z wyżej wymienionych wartości prędkości v c przy drganiach wymuszonych stycznych o amplitudzie prędkości v a = = 0,264 m/s wyznaczono średnią siłę tarcia F T w jednym okresie drgań (T = 2π/ω). Siłę tę wyznaczono z zależności: n 1 F T = FT ( t + i Δt), (12) n i= 1 gdzie n oznacza liczbę kroków czasowych, a Δt długość kroku czasowego. Wyniki obliczeń zestawiono w tablicy 1, w której dla porównania podano wyniki badań doświadczalnych przedstawione przez Littmanna i in. [10]. Tablica 1 Wartości średniej siły tarcia F T według modeli tarcia Coulomba, Dahla i Duponta oraz wyznaczone doświadczalnie przez Littmanna i in. [10], v a = 0,264 m/s Values of the mean friction force F T according to friction models of: Coulomb, Dahl and Dupont as well as friction force determined experimentally by Littmann and others [10], v a = m/s Prędkość v c [m/s] 0,324 0,264 0,230 0,199 0,146 0,118 0,095 0,075 model Coulomba 0,0131 0,0107 0, , , ,00364 Średnia siła tarcia model Dahla 0,0181 0,0156 0,0109 0, , ,00514 F T [N] model Duponta 0,0190 0,0177 0,0133 0, , ,00485 dane doświadczalne, na podstawie [10] 0,0197 0,0187 0,0179 0,0168 0,0112 0, , ,00537 Z podanego w tablicy 1 zestawienia widać, że wyniki obliczeń średniej siły tarcia F T z wykorzystaniem dynamicznych modeli tarcia, takich jak model Dahla czy model Duponta, znacznie lepiej zgadzają się z wynikami badań doświadczalnych niż wyniki uzyskane z wykorzystaniem tradycyjnego modelu tarcia Coulomba. Wynika to z faktu, że w analizowanych modelach dynamicznych są uwzględnione rzeczywiste sprężysto-plastyczne charakterystyki styku, w odróż-

9 Analiza wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych na siłę tarcia 125 nieniu od modelu Coulomba, w którym zakłada się, że stykające się ciała są idealnie sztywne. Porównując z kolei wyniki uzyskane z modelu Dahla i z modelu Duponta oraz oceniając ich zgodność z wynikami badań doświadczalnych otrzymanych przez Littmanna i in. [10], można stwierdzić, że lepszą zgodność uzyskano dla modelu Dahla. Może to wynikać albo z błędnie dobranej postaci funkcji β(z) w modelu Duponta, albo z niespełnienia w badanym przez Littmanna połączeniu założenia (przyjętego w modelu Duponta), że odkształcenie styczne styku w początkowym zakresie obciążeń ma charakter idealnie sprężysty, a faza odkształceń sprężysto-plastycznych pojawia się dopiero po przekroczeniu przez obciążenie styczne pewnej granicznej wartości. 4. PODSUMOWANIE Z przedstawionej analizy widać, że w zależności od przyjętego modelu matematycznego ilościowe wyniki oceny wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłużnych na siłę tarcia są różne. Wyraźnie lepszą zgodność z danymi doświadczalnymi podanymi w literaturze uzyskuje się z wykorzystaniem tzw. dynamicznych modeli tarcia, a w szczególności modelu Dahla. Analiza wyników obliczeń numerycznych z wykorzystaniem modelu Dahla i modelu Duponta wykazuje, że zmiana wartości siły tarcia w ruchu ślizgowym przy wymuszonych drganiach kontaktowych stycznych wzdłużnych nie następuje w sposób skokowy, jak to wynika z modelu Coulomba, lecz w sposób ciągły. Przeprowadzone obliczenia wykazują, że zmniejszenie siły tarcia może następować bez zmiany znaku wektora tej siły, co nie jest zgodne z przyjmowanym przez wielu autorów poglądem, że głównym mechanizmem redukcji siły tarcia w ruchu ślizgowym w obecności drgań kontaktowych stycznych jest zjawisko cyklicznej chwilowej zmiany znaku tej siły. LITERATURA [1] Bliman P. A., Mathematical study of the Dahl s friction model, European Journal of Mechanics, A/Solids, 1992, vol. 11, no. 6, s [2] Dahl P. R., Solid friction damping of mechanical vibrations, AIAA Journal, 1976, vol. 14, no. 12, s [3] Dupont P., Armstrong B., Hayward V., Elasto-plastic friction model: contact compliance and stiction, w: Proceedings of the American Control Conference, Chicago, AACC 2000, s [4] Dupont P., Armstrong B., Hayward V., Altpeter F., Single state elasto-plastic friction models, IEEE Transactions of Automatic Control, 2002, vol. 47, no. 5, s [5] Eaves A. E., Smith A. W., Waterhouse W. J., Sansome D. H., Review of the application of ultrasonic vibrations to deforming metals, Ultrasonics, 1975, vol. 13, no. 4, s

10 126 P. Gutowski, M. Leus [6] Kumar V. C., Hutchings I. M., Reduction of sliding friction of metals by the application of longitudinal or transverse ultrasonic vibration, Tribology International, 2004, vol. 37, s [7] Leus M., Gutowski P., Analysis of longitudinal tangential contact vibration effect on friction force using Coulomb and Dahl models, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008, vol. 46, no. 1, s [8] Leus M., Gutowski P., Badania symulacyjne wpływu drgań kontaktowych stycznych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym, Modelowanie Inżynierskie, 2007, t. 3, nr 34, s [9] Littmann W., Storck H., Wallaschek J., Sliding friction in the presence of ultrasonic oscillations: superposition of longitudinal oscillations, Archive of Applied Mechanics, 2001, vol. 71, s [10] Littmann W., Storck H., Wallaschek J., Reduction of friction using piezoelectrically excited ultrasonic vibrations, w: Proceedings of SPIE s 8th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials, Bellingham, Washington 2001, s [11] Pohlman R., Lehfeldt E., Influence of ultrasonic vibrations on metallic friction, Ultrasonics, 1966, vol. 4, s [12] Siegert K., Ulmer J., Superimposing ultrasonic waves on the dies in tube and wire drawing, Journal of Engineering Materials and Technology, 2001, vol. 123, s [13] Skare T., Stahl J. E., Static and dynamic friction processes under the influence of external vibrations, Wear, 1992, vol. 154, s Praca wpłynęła do Redakcji Recenzent: dr hab. inż. Marian Dobry THE ANALYSIS OF LONGITUDINAL TANGENTIAL CONTACT VIBRATION EFFECT ON FRICTION FORCE Summary The paper presents the results of the analysis of the influence of tangential longitudinal contact vibrations on friction force in sliding motion of solid body. The analysis was carried out with the use of three friction models describing in different way the physical properties of real contact. These were: classical Coulomb s model related to the rigid body motion on the non-deformable base, and two so called dynamical friction models Dahl s model and Dupont s model, which take into account tangential contact deformability. The obtained results were compared with experimental data taken from the literature. It was shown that in the case of vibration motion with the high frequency and law value of amplitude (motion in micro scale, which is exemplified by tangential contact vibrations) the Coulomb s friction model is not adequate to describe friction force. Key words: friction models, friction force, tangential contact vibration