Badania operacyjne to dyscyplina, której zadaniem jest wspomaganie podejmowania trafnych decyzji.

Transkrypt

1 Wprowazee Baaa operacye to yscypla, tóre zaaem est wspomagae poemowaa trafych ecyz. Baaa operacye to yscypla auowa zwązaa z teorą ecyz, pozwalaąca wyzaczyć metoę rozwązae oreśloych problemów zwązaych z poemowaem optymalych ecyz. Operatos Research, Operatoal Research. Metoologa baań operacyych sprowaza sę o astępuących etapów: I. Formułowae problemu ecyzyego II. Buowa moelu matematyczego lub ego opowea w wers symulacye III. Pozysae przetwarzae formac ezbęe o ustalea parametrów moelu IV. Proceura oblczeowa lub postępowae symulacye za pomocą wybraego algorytmu V. Aalza aośc rozwązań moelu VI. Weryfaca moelu, sprawzee ego aewatośc VII. Wrożee rozwązaa Postawowym przemotem baań operacyych są ecyze. Z poęcem ecyz wąże sę aś sute wy ecyz, tóry zależy o zastałego stau atury. Sta atury est ezależy o wol ecyeta. Klasyfaca problemów ecyzyych zwązaa z formacą otyczącą staów atury: I. Poemowae ecyz w waruach pewośc zay est wy aże ecyz; zae są stay atury, tóre mogą wystąpć z pewoścą. Problemem est barzo uża lczba możlwych ecyz, tóre ależy przeaalzować. Np. Programowae matematycze. II. Poemowae ecyz w waruach ryzya zae są możlwe stay atury, ale ch zastee e est pewe; zae są prawopoobeństwa zastea poszczególych staów atury. Np. gry z aturą, aalza ecyzya ryterum Bayesa. III. Poemowae ecyz w waruach epewośc e są zae prawopoobeństwa zastea możlwych staów atury lub zae są tylo etóre prawopoobeństwa. Np. gry z aturą ryterum Wala, Savage a, optymstycze, Hurwcza. IV. Poemowae ecyz w waruach ofltu terac wy ecyz zależy o ecyz ych uczestów procesu. Np. gry, teora ger, gry wuosobowe o sume zerowe.

2 PROGRAMOWANIE MATEMATYCZNE, PROGRAMOWANIE LINIOWE - zmea ecyzya f opt ma lub m g b g b g b 8, ma Zbór rozwązań opuszczalych feasble set tworzą wszyste wartośc zmeych ecyzyych spełaące waru ograczaące. Typowe zaaa programowaa lowego:. Zagaee optymalego wyorzystaa urzązeń proucyych. Zagaee trasportowe. Zagaee optymalego załauu. Zagaee optymalego rozzału eoroych zasobów. Moel optymalego asortymetu prouc 6. Moel optymalego słau mesza problem ety 7. Zagaee optymalego rozzału czyośc 8. Zagaee optymalego rozrou 9. Wybór optymale strutury zasewów

3 AD. 8. Zała RURA ma wyprouować rur o ługośc, m o ługośc 7, m. Zała ma o yspozyc rury o ługośc 7 m. Ja ależy pocąć rury, aby opa był ameszy? Pozostałe rury ługośc, 7, staową opa. Zapsz opowe program lowy. Sposób cęca Lczba rur, m Lczba rur 7, m Opa [m] I, II III Zamówee Lczba cęć -tym sposobem X lczba rur o ługośc 7 m, pocęta -tym sposobem,,,.,,, ;,,, C 7, m AD.. Przesęborstwo przewozowe STAR zamue sę ostarczaem loów o slepów. Dae otyczące osztów przewozu eost z magazyu o slepu oraz welośc zapasów zapotrzebowaa zameszczoo w tabel. Oreślć pla przewozu mmalzuący oszty. Zagaee trasportowe zamęte popyt poaż X lczba eoste p. artoów loów ostarczoych o -tego slepu z -tego magazyu;,,,,;,,,.

4 C ; 6 7 m

5 DUALNOŚĆ W PROGRAMOWANIU LINIOWYM Program lowy PL program perwoty c a... a... a m, c a a a,..., m... c... a... a... a ma m b b b m c T ma c T m A b -> A b Każemu programow PL opowaa program ualy. Z ażym programem lowym sprzężoy est y program, zway programem ualym. I. W programe ualym est tyle zmeych le ograczeń w programe perwotym. Każemu ograczeu w programe perwotym opowaa zmea uala. II. W programe ualym est tyle ograczeń le zmeych w programe perwotym. Każe zmee w programe perwotym opowaa ograczee w programe ualym. III. Wag fuc celu programu perwotego są wyrazam wolym w programe ualym. IV. Wyrazy wole programu perwotego są wagam fuc celu w programe ualym. V. Macerz współczyów programu ualego est traspozycą macerzy współczyów programu perwotego. VI. Jeżel program perwoty est a masmum, to program ualy a mmum. I owrote. Program perwoty - zmea perwota T c ma A b <-> b Program ualy y A - zmea uala T T y m y c y Program perwoty - zmea perwota T c m A b <-> b Program ualy y A - zmea uala T T y ma y c y. Jeżel -ty warue w PL est rówoścą, to opowaaąca mu zmea y e ma ograczeń.. Jeżel -ty warue w PL est etypową erówoścą, to opowaaąca mu zmea uala est mesza lub rówa zero y.. Jeżel w PL a zmeą e ałożoo ograczeń, to opowaaący e warue ograczee ualy est rówoścą.

6 . Jeżel w PL zmea est mesza lub rówa, to opowaaący e warue ualy est etypową erówoścą. I. Dla ażego rozwązaa opuszczalego PL- ma PD - m prawzwa est zależość: T T c b y. Dla rozwązaa optymalego * y* prawzwa est zależość: c T T * b y *. II. Jeżel -ty warue PD w rozwązau optymalym est spełoy z erówoścą ostro, to opowaaąca mu zmea w PL, w rozwązau optymalym przymue wartość. Zała RURA ma wyprouować rur o ługośc, m o ługośc 7, m. Zała ma o yspozyc rury o ługośc 7 m. Ja ależy pocąć rury, aby opa był ameszy? Sposób cęca Lczba rur, m Lczba rur 7, m Opa [m] I, II III Zamówee X lczba rur o ługośc 7 m, pocęta -tym sposobem,,,.,,, ; m,, C

7 Rol posaa wa pola o powerzchach opoweo ha ha. W zwązu ze specalzacą prouc zamerza wprowazć eye trzy uprawy: szparag, apustę peńsą oraz orzesz zeme. W zależośc o rozau uprawy zmea sę oszt uprawy eego hetara. Dla szparagów wyos o zł, la apusty zł, la orzeszów zł. Na wyaość z hetara ma wpływ pogoa. W przypau pogoy umarowae wyaość ształtue sę a pozome q/ha, q/ha, q/ha opoweo la szparagów, apusty, orzeszów staowąc eocześe pozom oesea la pozostałych wyaośc. W przypau wystąpea upałów wyaość zmesza sę o %, w przypau eszczy wyaość spaa o 6% założoych wyaośc la umarowae pogoy. Cea, za aą rol sprzeae swoe uprawy est stała, ezależa o pogoy wyos opoweo la szparagów, apusty, orzeszów : zł/q, 8 zł/q 7 zł/q. Rol uzae, że opłaca mu sę uprawać zemę, ey ego oczeway zys est e meszy ż zł. Długotermowa progoza załaa, że eszcze wystąpą z prawopoobeństwem,, upały,,a pogoa umarowaa,. Zapsać program lowy pomocy w poęcu ecyz o uprawach. X welość powerzch uprawy -tego płou rolego, szparag;, apusta peńsa;, orzesz zeme [ha],,,,6, X,,,,6, X,,,,,,,6, X X X X, X, X X X 8X 7X ma Wartość fuc celu powa być euema, aby rol poął ecyzę o poęcu uprawy.

8 Rol e powe poemować sę uprawy.

9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE Jest eą z meto wspomagaa ecyz weloetapowych. Do rozwązywaa weloetapowych problemów ecyzyych. Rchar Bellma opracował metoę programowaa yamczego. Ozaczea: ecyza, tórą ależy poąć a -tym etape; s sta prze poęcem ecyz ; sta a początu -tego etapu; s sta po poęcu ecyz ; sta a ońcu -tego etapu; D zbór ecyz opuszczalych w -tym etape; S zbór staów, tóre mogą wystąpć a początu -tego etapu. Cąg ecyz {,,, } to stratega. F,,,, s, s,, s globala fuca ryterum. Wymogem stosowaa programowaa yamczego est własość Marowa tz. ecyze optymale a pewym etape procesu, e zależą o wcześeszych ecyz, eye o stau wyaącego z ch poęca. Z własośc Marowa wya zasaa optymalośc Bellmaa, a tóre oparto metoę programowaa yamczego. Globala fuca ryterum powa być eompoowaa a etapy p.:,...,, s,..., s f, s F. Wtey poszuuemy optymale strateg, la tóre fuca globala osąga p. masmum zgoe z zasaą optymalośc Bellmaa. Zasaa ta opera sę o tzw. cąg rówań fucyych Bellmaa. Dla rozważaego przyłau, cąg te ma astępuącą postać: g s g s : ma{ f D s S : ma{ f D s S, s, s } g s },,...,

10 Problem. Pewa frma chce opracować program prouc elemetów a olee mesące. Zay est popyt a te elemety wyoszący elemety w ażym z oleych trzech mesęcy. Frma może prouować masymale tach elemetów mesęcze. Koszty prouc zależe o lczby wyprouowaych elemetów poao w tabel: Lczba elemetów Koszty w [p] 7 9 Jeostowy oszt przechowywaa zapasów est stały w orese plastyczym wyos eostę peężą oszty magazyowaa w -tym mesącu oblczamy weług stau a oec mesąca. Masymale magazy może pomeścć elemety. W chwl obece w magazye zauą sę elemety. Po oec trzecego mesąca magazy ma pozostać pusty. Rozwązae. Przymmy ozaczea la,,: s - pozom zapasów a początu -tego mesąca, p - popyt w -tym mesącu, h - oszt magazyowaa elemetów w -tym mesącu, K - oszt prouc elemetów w -tym mesącu, f,s - oszty prouc magazyowaa w -tym mesącu. Zauważmy, że f,s K h s, gze s s p,,, oraz s. Łącze oszty magazyowaa prouc wyoszą f,s f,s f,s. Koszty te maą być amesze. Korzystaąc z rówań fucyych Bellmaa możemy zapsać: Kro. mesąc g s m f,s la s p s Kro. mesąc g s m f,s g s la s p -s p s Kro. mesąc g s m f,s g s la s. p s p s Z treśc zaaa wya, że s, p p p s s stą s. Mamy zatem: Kro. mesąc g s m f,s s

11 s s f,s g s Kro. mesąc g s m f,s g s la s s 7 s s s f,s g s f,s g s g s Kro mesąc g s m f,g s m f,g s - - s s f,s g s f,s g s g s Optymala stratega ma postać,,. Koszty poesoe przez frmę są wtey aższe wyoszą p.

12 Problem. Rozzelć proucę eerg MWh męzy we eletrowe ta, aby oszty zużyca palwa były aższe. Koszty opsae są fucą:, y y F, gze ozacza zużyce palwa w eletrow I, y zużyce palwa w eletrow II. Waomo, że z toy palwa eletrowa I uzysue MWh, a eletrowa II MWh. Etap. Eletrowa., s f, < <,, s f Etap., y s f, < <,, s f y. Kro. Etap } m{ S s g s. Kro. Etap m } { m } { m F S s g 7, > F F Aby oszty zużyca palwa były aższe ależy przyzelć perwsze eletrow proucę 7, MWh eerg, a eletrow ruge 6,8 MWh.

13 METODA SIMPLEKS 8, ma Postać bazowa programu lowego wszyste ograczea są rówoścam, erówośc przeształca sę za pomocą zmeych blasuących., 8 ma Na te postawe buue sę tablcę smplesową c b Baza c B 8 z c BT a c -z b /a Jeżel wartośc wszystch wsaźów optymalośc są eoate, to rozpatrywae rozwązae est optymale la fuc mmalzowae eueme. W przecwym wypau otrzymae rozwązae moża poprawć. Ze wsaźów optymalośc wyberamy awęszy la m ameszy opowaaąca mu zmea wchoz o bazy. Jeśl est la wartośc masymalych mmalych to wprowazamy owolą opowaaącą m zmeą. c b Baza c B 8 z c BT a c -z b /a Oblcza sę lorazy oleych wyrazów woly oluma b przez opowaaące m oate elemety olumy zmee wprowazae o bazy. Bazę opuszcza zmea, la tóre loraz est ameszy

14 c b b /a Baza c B 8 8 z c T B a c -z Prześce o oleego rozwązaa bazowego. Elemety tablcy smplesowe są przeształcae za pomocą elmac Joraa-Gaussa operace elemetare a macerzach Aby otrzymać macerz eostową z olum zmeych bazowych, perwszy wersz zelmy przez, a astępe o rugego wersza oemuemy perwszy pozeloy przez. Dale wypełamy tabelę uzupełaąc wartośc c b Baza c B,,, -, z c BT a c -z - b /a Otrzymuemy olee rozwązae bazowe,, pozostałe zmee poza bazą rówaą sę. Wartość fuc celu. Poeważ e wszyste wsaź są eoate, to moża eszcze poprawć rozwązae. c b b /a Baza c B,,, -, 6 z c B T a c -z - Zmea wchoz o bazy, a zmea opuszcza bazę.

15 Aby otrzymać macerz eostową z olum zmeych bazowych, możymy rug wersz razy oemuemy o perwszego wersza rug wartośc prze możeem. Dale wypełamy tabelę uzupełaąc wartośc c b Baza c B z c T B a 6 c -z - - b /a Wszyste wsaź optymalośc są eoate, węc otrzymae rozwązae est rozwązaem optymalym,, 6, wartość fuc celu 6. ZMIENNE SZTUCZNE, mmalzaca, rozwązae alteratywe m,, Dla problemów mmalzac rozwązae moża poprawć, eśl występue przyame ee euemy wsaź optymalośc. W celu zbuowaa postac bazowe programu ależy:. o lewe stroy ograczeń typu oąć zmeą blasuącą oraz oać zmeą sztuczą s,. o lewe ograczeń typu oać sztuczą zmeą,. M metoa współczy w fuc celu przy zmeych sztuczych są barzo użym wartoścam oatm w przypau mmalzac M lub uemym w przypau masymalzac -M,,, 7 6 M 6 M 7 m Do perwsze tablcy smplesowe wchozą zmee sztucze, a gze e występuą tam zmee blasuące.

16 c M M b b /a Baza c B M - 7 M z c T B a M M M -M M M M c -z -M -M -M M c M M b b /a Baza c B M,, - -,,, -,,,, z c BT a,m,,m, -M M -,M, M c -z,-,m,-,m M,M-, c M M Baza c B 6 7 b b /a z c T B a - c -z M- M- Wszyste wsaź optymalośc są eueme, rozwązaa e moża uż poprawć. Wartość fuc celu wyos,,,. Wsaź optymalośc la zmee ebazowe wyos, ozacza to że, wprowazee e o bazy e popraw fuc celu, ale też e pogorszy. Wsazue to a rozwązae alteratywe.

17 c M M b b /a Baza c B z c T B a - c -z M- M- c M M b Baza c B z c T B a - c -z M- M- b /a Wartość fuc celu wyos,,,. Rozwązae alteratywe wsazue, że la wóch werzchołów smplesa zboru rozwązań opuszczalych wartość fuc celu przymue wartość optymalą. Ozacza to, że zbór rozwązań optymalych est ocem łączącym te wa werzchoł. W baaym przypau bęze to zbór: {,,, }. Rozwązae,, est węc róweż rozwązaem optymalym. Bra ograczeń a euemość zmeych, zmee eoate, eograczoy zbór rozwązań opuszczalych, zagaee sprzecze Jeżel a -tą zmeą e ałożoo ograczeń a euemość, to ależy ooać przeształcea te zmee w we e:,,. Dla zmee eoate zameamy za w programe, wtey zmea stae sę euema. Przy eograczoym zborze rozwązań opuszczalych w tablcy smplesowe la wprowazae zmee wszyste wartośc w olume rozwązuące [a ] są eoate. Ne moża oblczyć żaego lorazu b /a. Zmea ta może węc zwęszać lub zmeszać wartość fuc celu w esończoość. Zagaee sprzecze w rozwązau optymalym, zmea sztucza est ezerową zmeą bazową. Rozwązae zegeerowae, metoa perturbac

18 TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK System M M System z eym staowsem obsług, wyłaczym rozłaem ostępów czasu męzy oleym zgłoszeam o systemu ze śreą λ, wyłaczym czasem obsług ze śreą µ, eograczoą poczealą oleą, regulamem FIFO ole oraz esończee wymarowym źrółem zgłoszeń. λ - śrea lcza letów w eostce czasu zgłaszaących sę o systemu. µ - śrea lczba zgłoszeń obsłużoa w eostce czasu. λ Prawopoobeństwo, że w systeme zaue sę zgłoszeń: p ρ ρ, ρ <. Jeśl ρ µ welość ole rośe o esończoośc wraz z upływem czasu e moża oblczyć prawopoobeństw przebywaa zgłoszeń w systeme. Prawopoobeństwo, że w systeme e przebywa żae zgłoszee a w obsłuze, a w olece: p. ρ Śrea lczba zgłoszeń oczeuących w olece: ρ K p. ρ Śrea lczba zgłoszeń przebywaących w systeme: ρ S p. ρ Śre czas oczewaa zgłoszea a obsługę oczewaa w olece: S ρ Śre czas przebywaa zgłoszea w systeme: T S. λ ρ λ T K K ρ λ ρ λ Zaae Oblczyć a powe być śre czas obsług samochou a stac bezyowe z eym ystrybutorem, eśl w cągu muty przybywaą śre trzy samochoy, prze stacą może sę ustawć olea owole ługośc, ostępy czasu męzy oleym samochoam oraz czas obsług leta maą rozła wyłaczy. Poato waomo, że czas oczewaa a obsługę e powe przeroczyć m.