Ultra zimne atomy bozonowe. ze słabym magnetycznym. oddziaływaniem dipolowym w sieciach optycznych. Joanna PIETRASZEWICZ

Transkrypt

1 ROZPRAWA DOKTORSKA Ultra zimne atomy bozonowe ze słabym magnetycznym oddziaływaniem dipolowym w sieciach optycznych Joanna PIETRASZEWICZ Promotor: prof. dr hab. Mariusz GAJDA Promotor pomocniczy: dr Tomasz SOWIŃSKI INSTYTUT FIZYKI POLSKIEJ AKADEMII NAUK W WARSZAWIE 1 sierpnia 013

2

3 Pracę dedykuję moim Drogim Rodzicom. iii

4

5 Podziękowania Pragnę w szczególny sposób podziękować mojemu Promotorowi prof. dr hab. Mariuszowi Gajdzie, za poświęcony czas i zaangażowanie, które nadało kształtu i wpłynęło na wartości merytoryczne mojej pracy. Szczere podziękowania kieruję także w stronę dr Tomasza Sowińskiego, Promotora pomocniczego. Jego cenne rady i krytyczne uwagi były bodźcem w udoskonaleniu pracy. Dodatkowo dziękuję dr Piotrowi Deuarowi za wiarę i wieczny optymizm oraz prof. hab. Janowi Mostowskiemu za dbałość o dobre obyczaje i możliwość realizowania pracy doktorskiej w zespole. Chciałabym także podziękować wszystkim osobom z Zespołu Optyka Kwantowa ON-.6 za życzliwa atmosferę w pracy. v

6

7 Spis treści Podziękowania v 1 Wprowadzenie 1 Dwuciałowe oddziaływania 9.1 Ultrazimny układ atomów Hamiltonian oddziałujacych bozonów w sieci Oddziaływanie kontaktowe Magnetyczne oddziaływania dipolowe Szczegółowa charakterystyka oddziaływań dipolowych Własności sieci optycznej Sieć optyczna Potencjały periodyczne w fizyce Twierdzenie Blocha i funkcja Blocha Jednowymiarowa sieć optyczna Funkcje Mathieu Funkcje Wanniera Konstrukcja funkcji Wanniera Energie średnie funkcji Wanniera Tunelowanie czastek w stanach Wanniera Dynamika spinu Dynamika spinu via oddziaływania kontaktowe w dwóch oczkach sieci Dynamika spinu via oddziaływania dipolowe w pojedynczym oczku sieci Hamiltonian Przybliżenie harmoniczne Przejście dipolowe z M z = Przejście dipolowe z M z = Pułapka harmoniczna Pułapka anharmoniczna Pojedyncze oczko kwadratowej sieci optycznej Porównanie z eksperymentem I Porównanie z eksperymentem II vii

8 Spis treści viii 5 Dwuskładnikowy model BH Jednoskładnikowy model Bosego-Hubbarda BH oddziałujacych bozonów w sieci Stan podstawowy BH w fazie nadciekłej SF Stan podstawowy BH w fazie izolatora Motta M I Przejście fazowe Metoda Fisher a w układzie nieskończonym Diagram fazowy BH w wielkim zespole kanonicznym Dwuskładnikowy model BH z oddziaływaniem dipolowym Diagram fazowy układu Uwagi na temat dwuskładnikowego modelu BH Podsumowanie 91 A Dodatek A 95 A.1 Hamiltonian A. Wzbudzenie atomów w kanale z M z = A.3 Potencjał sieci optycznej Vx, y = V 0 sin kx+sin ky - analiza i wyniki numeryczne A.4 EdH w pułapce harmonicznej z N atomami w układzie A.5 Elementy hamiltonianu B Dodatek B 103 B.1 Hamiltonian B. Dipolowy rezonans dwuczastkowy z M z = B.3 Potencjału kulombowski jako przykład potencjału anharmonicznego B.4 Momentów magnetycznych skondensowanych atomów B.5 Położenie rezonansów dipolowych z M z = 1 oraz M z = dla róznych geometrii sieci C Dodatek C 11 C.1 Hamiltonian układu dwuskładnikowego: C. Średnie operatorów pola składnika a i b C..1 Obliczenia dotyczace â C.. Obliczenia dotyczace b Bibliografia 131

9 Rozdział 1 Wprowadzenie Rozdział 1. jest ogólnym wstępem do rozprawy doktorskiej. Jego przewodnim celem jest wprowadzenie czytelnika w tematykę ultrazimnych gazów atomowych z podkreśleniem roli kondensatów spinorowych i oddziaływań dipolowych. W ten sposób nakreślę podstawowe problemy, jakimi się zajmowałam. Kondensaty Bosego-Einsteina BEC sa bardzo dobrym układem do badania procesów kwantowych w niemalże makroskopowej skali. Atomy BEC obsadzaja tylko jeden orbital przestrzenny, wobec tego efekty mikroskopowe sa wzmacniane i możliwe do obserwowania w doświadczeniu. Pierwsze kondensaty BEC z atomów: 87 Rb, 3 Na czy 7 Li, pułapkowano magnetycznie. Niestety chwytano tylko te atomy, których moment magnetyczny µ proporcjonalny do spinu podażał za kierunkiem słabego pola magnetycznego. Zatem spin, jako zmienna dynamiczna, był zamrożony. Wkrótce potem powstały optyczne pułapki dipolowe, w których uzyskano kondensaty spinorowe. Był to poczatek drogi w badaniach własności magnetycznych w układach kwantowych. Jak wiadomo, stany zeemanowskie o tej samej energii maja różna degenerację. Liczba kwantowa, która charakteryzuje te stany jest całkowity moment pędu F = I + J, gdzie I oznacza spin jadrowy, zaś J = S + L jest całkowitym elektronowym momentem pędu. Rzut całkowitego orbitalnego momentu pędu F na oś kwantyzacji posiada F + 1 składowych mf. Do opisu tak złożonego układu używa się spinora - operatora pola o F + 1 składnikach. Obsadzenie tych składników może zmieniać się i w przestrzeni, i w czasie. Moga więc powstać niezwykle bogate struktury spinowe [1, ], fazy egzotyczne w każdym komponencie spinowym, fazy nematyczne [3] czy też kolorowa nadciekłość [4]. Na dodatek można by myśleć o dynamice spinu, która jest całkowicie inna od tej widzianej w jednoskładnikowym BEC. 1

10 Rozdział 1. Wprowadzenie W przypadku takich atomów jak chrom czy rubid, układ kwantowy cechuje bogata struktura zeemanowska. Rubid może mieć trzy lub pięć składników zeemanowskich zależnie od wartości całkowitego spinu w układzie odpowiednio F = 1 lub F = 5. Pozostałe liczby kwantowe, które sa przypisane dla 87 Rb, to I = 3/, S = 1/ i L = 0. W układzie atomów chromu występuje aż siedem składników zeemanowskich, gdzie wartość spinu wynosi F = S = 3. Zgodnie z powszechnie przyjęta nomenklatura spin 5 Cr jest oznaczany przez S. Uzasadnieniem takiego stanu rzeczy jest to, że dla chromu liczby kwantowe I oraz L sa równe zero, zatem spin elektronów S = 3 jest równoważny F. W większości eksperymentów z BEC wiodac a rolę pełnia izotropowe, krótkozasięgowe oddziaływania. Z reguły sa one opisywane jednym parametrem - długościa rozpraszania a S, którego wielkość jak i znak można regulować poprzez rezonanse Feshbacha. Strojenie tych oddziaływań pozwoliło zaobserwować zapadanie sie kondensatu Bosenova [5] czy też tworzenie ultra zimnych gazowych molekuł poza kondensatem. Jeśli chodzi o anizotropowe, długozasięgowe oddziaływania, tzw. oddziaływania dipol- dipol, to poczatkowo były one obiektem zainteresowań wyłacznie teoretyków. Źródłem tych oddziaływań sa momenty magnetyczne atomów µ = g F µ BF, gdzie gf jest czynnikiem Landego, µ B magnetonem Bohra. Gdy uzyskano kondensat chromu [6] stało się jasne, że zjawiska oparte na oddziaływaniach dipolowych wreszczie będa zauważalne w eksperymencie. W kondensacie atomów rubidu było to dość trudne. Rubid ma stosunkowo mały moment magnetyczny µ = 1/µ B. W chromie moment ten jest 1 razy większy µ = 6 µ B. Podkreślam ten aspekt, gdyż w swojej pracy doktorskiej będę analizowała procesy fizyczne z uwzględnieniem dipolowych oddziaływań w gazie atomów chromu F = S = 3, L = 0, I = 0. Przewidywania, że w układzie ultrazimych atomów 5 Cr oddziaływania dipolowe stanowia istotny element, zweryfikowano doświadczalnie [7]. Za pomoca rezonansów Feshbacha zredukowano, a potem wyłaczono oddziaływania kontaktowe i pokazano jakiej zmianie ulega kształt chmury skondensowanych atomów Rys.1.1. Był to wyraźny przejaw natury dipolowych oddziaływań. Ten eksperyment unaocznił, że zjawiska, którymi rzadz a siły dipol-dipol, nie powinny być zaniedbywane. Oddziaływania dipolowe sprzęgaja spinowe i orbitalne stopnie swobody. Sztandarowym przykładem zmiany spinu poprzez dwuatomowe oddziaływanie dipoldipol z bezpośrednim wpływem na ruch orbitalny, jest efekt Einseina de Hassa EdH [9, 10]. W oryginalnej wersji eksperymentu EdH zaobserwowano jak

11 Rozdział 1. Wprowadzenie 3 RYSUNEK 1.1: Na trzech plakietkach przedstawiono charakterystyczny kształt kondensatu z atomami Cr. Szara sfera symbolizuje izotropowe oddziaływania kontaktowe, podczas gdy czerwono-zielona strzałka określa średnia wartość momentów dipolowych atomów. Wraz z redukcja oddziaływań kontaktowych rolę przewódcza przejmuja oddziaływania dipolowe. Kształt BEC ulega wówczas zmianie: ze sferycznego przyjmuje formę wydłużona kierunek magnetyzacji jest zachowany, [8]. ferromagnetyczny walec zawieszony na sznurku, wykonuje obrót wokół własnej osi, gdy tylko zwrot przyłożonego pola magnetycznego ulegał zmianie. Układ reagował na zmianę pola, zmiana orientacji momentów magnetycznych w atomach zmieniał się rzut składowej spinu, zaś obrót samego układu wynikał z zasady zachowania momentu pędu. Ideę efektu EdH zastosowano w teoretycznych badaniach, w ultrazimnych gazach dipolowych umieszczonych w optycznych pułapkach dipolowych. Dzięki temu przewidziano nietrywialny charakter dynamiki spinu w tych układach [11, 1, 13]. Ta nietrywialność wynika przede wszystkim z tego, że przestrzenny ruch orbitalny sprzęga się ze stanami spinowymi m F. W układach kwantowych proces EdH nie zachodzi jednak spontanicznie. Zasada zachowania energii hamuje bezpośrednia dynamikę, ponieważ energia dipolowa jest dużo mniejsza od różnicy energii między sprzężonymi stanami. By zapewnić warunki do obserwacji dynamiki spinu, należy ominać przeszkodę energetyczna. Do tego celu można wykorzystać dwie właściwości układu. Po pierwsze w pułapce optycznej energie stanów orbitalnych sa skwantowane. Po drugie energie stanów zeemanowskich o magnetyzacji m F pola magnetycznego B zależa od zewnętrznego effekt Zeemana. Na przykładzie trójskładnikowego spinora z atomami rubidu [14] pokazano, że istnieje takie magnetyczne pole rezonansowe B rez, w którym energie zeemanowskie dwóch sprzężonych dipolowo stanów sa równe. Różnica energii jest zredukowana do zera, wobec tego

12 Rozdział 1. Wprowadzenie 4 spolaryzowane atomy, przygotowane w stanie m F = 1, l = 0 przechodza do nieobsadzonego stanu m F = 0, l = 1 za sprawa oddziaływań dipolowych liczba kwantowa l opisuje stany orbitalne. RYSUNEK 1.: Gęstość w składnikach spinowych: m F = 1, l = 0 lewy rysunek i m F = 0, l = 1 prawy rysunek w układzie z N = atomami rubidu w płaszczyznie xy, [14]. Ten scenariusz przebadano w przybliżeniu pola średniego. Ponieważ potencjał pułapkujacy był osiowo-symetryczny, to faza funkcji falowej w stanie końcowym m F = 0, l = 1 była typowa dla wiru stanu z niezerowym, orbitalnym momentem pędu, Rys.1.. Pole rezonansowe B rez, które jest niezbędne by w układzie z atomami rubidu obserwować efekt EdH, jest rzędu kilku mikro- Gaussów µgs. W układzie z atomami chromu szacuje się, że pole magnetyczne powinno być na poziomie 100 µgs [15]. Należy sobie jeszcze uzmysłowić, że z powodu małej energii oddziaływania dipolowego, szerokości rezonansów dipolowych sa dosyć waskie. W zwiazku z tym, gwarancja na doświadczalna realizację EdH jest jedynie precyzyjny wybór wartości pola B rez. Jest to problem natury technicznej, ale z pewnościa możliwy do pokonania. Obraz fizyczny procesu, opartego na mechanizmie EdH, można zrozumieć badajac strukturę energetyczna układu. Pojedynczy rezonans w tej strukturze należy utożsamić z sytuacja, w której następuje wzbudzenie atomów do określonych stanów orbitalnych. O tym, jaki stan jest wzbudzony, decyduje zasada zachowania całkowitego momentu pędu oraz zasada zachowania energii. Natomiast warunkiem osiagnięcia konkretnego stanu końcowego jest wybór konkretnego pola B rez, dla którego przesunięcie zeemanowskie poziomów jest równe różnicy energii między sprzężonymi stanami. To oczywiście powoduje, że oddziaływania dipolowe sa bardzo selektywne. Wykonano szereg doświadczeń ukazujacych rolę długozasięgowych oddziaływań dipolowych. Zaobserwowano proces demagnetyzacji w układzie, czyli sekwencyjne obsadzanie kolejnych składników magnetycznych [16]. W chwili

13 Rozdział 1. Wprowadzenie 5 poczatkowej wszystkie atomy 5 Cr były umieszczone w stanie m S = 3 w dipolowej pułapce optycznej. Układ znajdował się w dużym polu magnetycznym 0 mgs, które następnie gwałtownie obniżano, aż do małej wartości. Po przekroczeniu krytycznej wartości pola magnetycznego B k, miało miejsce przejście fazowe: od ferromagnetycznego uporzadkowania spinów stan poczatkowy do fazy nieuporzadkowanej. Poczatek temu procesowi dały oddziaływania dipolowe. Potem dalszy ciag demagnetyzacji następował już lawinowo. Warto jednak zauważyć, że w tak przygotowanym układzie proces demagnetyzacji mógł nastapić wyłacznie pod wpływem oddziaływań dipolowych. Okazuje się, że efekt EdH może być wykorzystany także w gazie atomów o spinie połówkowym, dzięki czemu można by uzyskać ciekawe stany wieloatomowe, np. stan Halla [17], Tematyka poruszana w eksperymentach często wyznacza trend aktualnym badaniom teoretycznym. Pod takim katem należy rozumieć motywację moich badań. Głównym nacisk w rozprawie położyłam na ukazanie, w jaki sposób można zaobserwować dynamikę spinu lub innymi słowy jak realizować kwantowy magnetyzm. Przez kwantowy magnetyzm rozumiem taki układ, w którym fakt, że moment magnetyczny jest skantowany, odgrywa istotna rolę. W klasycznym magnetyzmie momenty magnetyczne atomów zmieniaja swe wartości w sposób ciagły. Dynamikę spinu moga wywołać dwojakiego rodzaju oddziaływania. Na krótkich skalach czasu bardzo efektowne sa krótkozasięgowe oddziaływania kontaktowe zależne od spinu. Na nieco dłuższych skalach czasu długozasięgowe oddziaływania dipolowe. Unaocznię odmienność tych oddziaływań prezentujac wyniki swych badań. Dotychczas badano układy, które utrzymywano w harmonicznej pułapce dipolowej. W reżimie słabych oddziaływań sa to typowe kondensaty BEC. Atomy sa w stanie nadciekłym i obsadzaja jeden orbital przestrzenny, a do opisu takiego układu stosuje się wtedy metodę pola średniego. Jednak, gdy pułapki dipolowe zastapiono przez sieć optyczna, pojawił się inny obraz układu kwantowego. Sieć optyczna to rodzaj sztucznego kryształu, w którego węzłach w tzw. oczkach gromadzi się ultrazimna materia. Powstaje ona jako produkt interferencji przeciwbieżnych wiazek laserowych. Tworzy się wtedy periodyczna struktura, która kształtem przypomina krajobraz górek i dołków. Nowoczesne techniki pozwalaja uzyskać średnio 1 3 atomy w pojedynczym oczku sieci optycznej. Z powodu silnych oddziaływań między atomami w sieci optycznej,

14 Rozdział 1. Wprowadzenie 6 układ jest silnie skorelowany. Nie można go opisywać przez iloczyn identycznych funkcji jednoczastkowych, dlatego metoda pola średniego nie sprawdza się w odniesieniu do takiego układu. Niewatpliwie zaleta sieci optycznej jest to, że można w niej dostrzec efekty spinowe i stworzyć szansę, by sterować oddziaływaniami wewnatrzatomowymi. Nieustannie w tym kierunku podażaj a aspiracje fizyków. Powszechnie uważa się, że ultrazimne atomy w sieci optycznej sa dokładna realizacja modelu Bosego-Hubbarda. Hamiltonian gazu bozonów o masie m i całkowitym momencie pędu F, w formalizmie drugiej kwantyzacji przyjmuje następujac a postać: H = F m F = F + m F1,m F m F3,m F4 [ p d 3 r Ψ ] m F r m + V trap r Ψ m F r d 3 r 1 d 3 r Ψ m F1 r Ψ m F r 1 ˆV m F 1,m F m F3,m F4 r 1 r Ψ mf3 r 1 Ψ mf4 r 1.1 gdzie indeksy zbioru {m F, m F1, m F, m F3, m F4 } zmieniaja się od wartości F do F, V trap jest potencjałem pułapki, zaś ˆV m F 1,m F m F3,m F4 r 1 r to potencjał oddziaływania między dwoma atomami. Funkcja falowa całego układu jest spinorem ˆΨ r złożonym z F + 1 operatorów pola ˆΨ mf r. Z reguły, gdy wysokość bariery potencjalnej jest dostatecznie duża V 0 > 0 E R, gdzie E R jest jednostka energii zwana energia odrzutu pojedynczego atomu, a tunelowanie czastek do sasiednich oczek zaniedbywalne, to wszelkie rachunki teoretyczne sa sprowadzane do fizyki jednego oczka. Zakłada się wówczas, że kształt oczka - w szczególności dla nisko leżacych stanów w pułapce - charakterem przypomina oscylator harmoniczny. Intuicyjnie wydaje się to poprawne. Jednak istnieje poważna rozbieżność między wynikami rzeczywistymi a tymi, uzyskanymi w skutek przybliżenia harmonicznego. Przyczyna tej sytuacji jest anharmoniczność i anizotropia oczka sieci optycznej. Anharmoniczność powoduje, że energie jednoczastkowe w pułapce nie sa od siebie równo oddalone. Z kolei anizotropia wpływa na kształt funkcji falowej, przez co każdy stan inaczej oddziałuje kontaktowo. Struktura energetyczna w potencjale sieci ulega więc znacznej modyfikacji w porównaniu ze struktura w pułapce osiowo-symetrycznej. W kontekście dynamiki spinu ma to niebagatelne znaczenie.

15 Rozdział 1. Wprowadzenie 7 Jak już wspomniałam, dynamika spinu inicjowana dipolowymi oddziaływaniami jest wydajna, jeśli zachodzi w obecności zewnętrznego pola magnetycznego o wartości B rez odpowiadajacej różnicy energii zeemanowskiej pomiędzy stanami, między którymi następuje transfer efekt Zeemana. Wobec tego w obszarze rezonansu dynamika zależy tylko od oddziaływań. Słabe oddziaływania dipolowe sa tak naprawdę wdzięcznym narzędziem do wykrywania strukury energetycznej układu. Na dodatek sa na tyle subtelne, że czuja każda niedoskonałość potencjału. W swej pracy pokażę, że nawet w przypadku dwóch atomów istnieje dość bogata struktura rezonansowa. Mówiac tu bogata struktura, chciałam podkreślić jej odmienność w stosunku do takiej struktury, która uzyskuje się, gdy oczko sieci optycznej ma symetrię osiowo-symetryczna. Watek anizotropii pojawił się też w kilku pracach teoretycznych [18, 19, 0], rozpatrywano go jednak dla stanów bozonowych należacych do dwóch pierwszych pasm w sieci optycznej, tj. s i p. W pracy [0] zauważono, że kształt potencjału ma bezpośredni wpływ na anizotropowe własności tunelowania z pasma p. Takie tunelowanie zmienia gęstość atomów w stanie podstawowym, jak również spójność między stanami w sasiednich oczkach. W kwadratowej lub kubicznej sieci optycznej stany atomowe opisane sa przez zlokalizowane funkcje Wanniera. W odniesieniu do funkcji Wanniera z pasma p należy zaznaczyć, że posiadaja one węzeł na kierunku przestrzenym wskazywanym przez rodzaj orbitala p x, p y i p z. Co więcej sa one rozciagnięte w tym kierunku, więc atomy łatwiej wtedy tuneluja. W całym tym zjawisku kluczowa jest obserwacja, że pod wpływem anizotropii gęstość atomów staje się anizotropowa, wobec czego istotnie zmieniaja się własności dynamiczne w takim układzie. Jest to najlepiej widoczne w granicy dużych tunelowań, gdy układ jest w stanie nadciekłym. W poniższej rozprawie doktorskiej przedstawiam wyniki badań nad ultrazimnymi atomami chromu w sieci optycznej. Organizacja rozprawy jest następujaca: Rozdział. omawia główne rodzaje oddziaływań w sieci optycznej: magnetyczne oddziaływania dipolowe oraz lokalne oddziaływania kontaktowe. Saoneinteresuj acezewzględunafakt, żemoga inicjować dynamikę spinu w układzie. Rozdział 3. służy do zdefiniowania podstawowego aparatu matematycznego w postaci funkcji Wanniera, dzięki którym przeprowadzono rachunki

16 Rozdział 1. Wprowadzenie 8 w sieci optycznej. Rozdział ten przedstawia także zakres wiedzy o tworzeniu sieci optycznej i jej własnościach. Szczegółowo omówiono tu strukturę energetyczna periodycznego potencjału, który służy do pułapkowania atomów. Rozdział 4. rozpoczyna opis części badawczej. Podzielony jest na dwie części. W pierwszej pokazano ewolucję układu z N atomami w obrębie dwóch oczek w zerowym polu magnetycznym. Zależne od spinu oddziaływania kontaktowe powoduja zmianę obsadzenia poszczególnych składników magnetycznych. W drugiej sekcji przeanalizowano dynamikę spinu dwóch atomów w pojedynczym oczku sieci optycznej o różnej geometrii, w rezonansowym polu magnetycznym. Procesem tym rzadzi oddziaływanie dipolowe niezachowujace magnetyzacji układu. Przestrzeń stanów bazowych stanowiły funkcje należace do trzech pierwszych pasm sieci optycznej, tj. s, p i d. W rozdziale 4. nawiażano także do aktualnie prowadzonych doświadczeń i przedstawiono teoretyczna interpretację wyników eksperymentalnych. Rozdział 5. dotyczy badania przejścia fazowego w nieskończonej sieci optycznej z osiowa symetria oczek. W efekcie sporzadzono diagram fazowy układu, który jest realizacja dwuskładnikowego modelu BH z magnetycznym oddziaływaniem dipolowym. Rozdział 6. podsumowuje wyniki tej pracy.

17 Rozdział Dwuciałowe oddziaływania Ultrazimne atomy sa dobrym układem do badania zjawisk kwantowych silnie skorelowanych układów wielociałowych [1, ]. W tym rozdziale postanowiłam omówić najważniejsze rodzaje oddziaływań w sieci optycznej z ultrazimnymi atomami. Szczegółowo opisałam więc własności oddziaływań dipolowych oraz lokalnych oddziaływań kontaktowych, gdyż akurat te oddziaływania moga wywołać dynamikę spinu w układzie. Dalekozasięgowe oddziaływanie dipolowe choć dotychczas zaniedbywalne, w końcu zaczęto traktować jako znaczace i ciekawe. Taki postęp można zauważyć w badaniach nad ultrazimnymi gazami dipolowymi [3, 4, 5, 6] oraz w badaniach z wysoko wzbudzonymi stanami orbitalnymi w sieci optycznej [7]. Oczywiście wydaje się, że polarne molekuły - ze względu na duży elektryczny moment dipolowy - mogły by być lepszymi kandydatami do analizy układów z oddziaływaniem dipolowym. Na razie jednak molekuły nadal zostaja poza zasięgiem kondensacji. Magnetyczne oddziaływania dipolowe maja dość złożona naturę. Ich obecność pozwala myśleć o spinie jako o zmiennej dynamicznej, a co więcej pozwala obsadzać w układzie stany o różnych magnetyzacjach. Oddziaływania kontaktowe, w porównaniu do energii dipolowej, wnosza do układu duży wkład energetyczny. Z tego powodu sa bardzo istotne. Co więcej spontanicznie inicjuja dynamikę spinu i to bez względu na obecność pola magnetycznego. Z jednej strony jest to mankament tych oddziaływań, gdyż nie można nimi sterować w tak subtelny sposób jak oddziaływaniami dipolowymi za pomoca pola magnetycznego. Z drugiej strony oddziaływania kontaktowe wywołuja bardzo spektakularna dynamikę oraz prowadza do skomplikowanego 9

18 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 10 diagramu fazowego stanu podstawowego jak np. dla 5 Cr w funkcji pola magnetycznego B oraz przy nieznanej wartości oddziaływania a 0 [8, 9]..1 Ultrazimny układ atomów W ogólności hamiltonian układu N oddziałujacych atomów o masie M ma postać: H = N i=1 p i M + V trap r i + 1 V r i r j.1 gdzie indeksy i, j numeruja atomy, V trap jest potencjałem pułapki, zaś V r i r j to potencjał oddziaływania między atomami. W rozrzedzonym gazie ultrazimnych atomów, długość fali termicznej każdego atomujestzdecydowaniewiększaniżśredniaodległośćmiędzynimiλ R atom. To powoduje, że dominujacy wkład do V r r, pochodzacy od oddziaływań van der Waalsa, można traktować jako potencjał krótkiego zasięgu typu δ r r. Ponadto wielkość tego oddziaływania można opisać jednym parametrem a S - długościa rozpraszania atomów w fali S, [30]. Atomy, które posiadaja własny moment magnetyczny, oddziałuja także dipolowo. W normalnych warunkach wpływ tego oddziaływania jest niezauważalny ze względu na słabość samych oddziaływań. Jednak w zjawiskach, które będa badane w tej pracy, długozasięgowe oddziaływania dipolowe sa bardzo istotne. Dlatego też ich wkład do V r r musi być wzięty pod uwagę. Dodatkowa cecha bozonów w niskich temperaturach granica zerowych pędów jest to, że ich funkcja falowa jest dobrze przybliżana przez iloczyn jednakowych funkcji jednoczastkowych z dokładnościa do małego dodatku w postaci kwantowego zubożenia quantum depletion. Jednoczastkowa funkcja falowa spełnia nieliniowe równanie Schrödingera, zaś kwantowe zubożenie jest zaniedbywalne w reżimie słabych oddziaływań. Sytuacja jest odmienna, gdy atomy sa umieszczone w głębokiej sieci optycznej. Wówczas założenia: a każdemu atomowi można przypisać ta sama funkcję falowa, b brak jest korelacji między atomami oraz c można zaniedbać człon kwantowego zubożenia, nie sa poprawne. W takim przypadku mamy do czynienia z silnie skorelowanym układem. i j

19 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 11. Hamiltonian oddziałujacych bozonów w sieci Hamiltonian oddziałujacych atomów w potencjale periodycznym: Ĥ = d 3 r ˆΨ r M + V trap r ˆΨ r π M a S d 3 r 1 d 3 r ˆΨ r 1 ˆΨ r δ r 1 r ˆΨ r 1 ˆΨ r + 1 µ 0 dr 4π 1dr ˆΨ r 1 ˆΨ r V dip r 1 r ˆΨ r 1 ˆΨ r. V dip r 1 r = µ 1 µ r 1 r 3 3 [ µ 1 r 1 r ] [ µ r 1 r ] gdzie ˆΨ r jest spinorowym operatorem pola bozonowego. r 1 r 5.3 Pierwsza linijka. opisuje jednoczastkowy hamiltonian. V trap r to periodyczny potencjał pułapkujacy. Druga linijka. opisuje dwuciałowe oddziaływania kontaktowe, gdzie M jest masa atomów, a S to długość rozpraszania atomów w fali spinowej S. Z kolei trzecia linijka. opisuje dwuciałowe, długozasięgowe oddziaływania dipolowe momentów magnetycznych atomów µ 1 i µ. µ 0 jest przenikalnościa magnetyczna próżni. Pełna postać potencjału oddziaływania dipolowego V dip r 1 r wyraża wzór.3. W układzie opisywanym hamiltonianem. istotna sprawa jest wybór bazy. Periodyczność potencjału oraz w większej mierze lokalność oddziaływań podpowiada, że najlepsza do tego celu baza sa funkcje Wanniera. Późniejszy rozdział zostanie poświęcony szczegółowemu omówieniu tych funkcji. Do opisu układu w sieci optycznej używa się spinorowego operatora pola ˆΨ r. W ogólności ma on postać: ˆΨ r = β â β α,i wβ α r r i.4 α,i gdzie α numeruje pasma, indeks i numeruje oczka na sieci, zaś β numeruje składowe spinowe operatora pola. Operator â β α,i anihiluje czastkę w położeniu r i, w stanie opisywanym zlokalizowana funkcja Wanniera wα r β r i. Dodatkowooperator â β α,i spełniabozonowerelacjekomutacji, tj. [â β α,i, âγ ζ,j ] = δ i,j δ α,ζ δ β,γ. Przejdę teraz do omówienia oddziaływań, które występuja w hamiltonianie.. Przede wszystkim zwrócę uwagę, jaki wpływ na dynamikę spinu maja te poszczególne oddziaływania.

20 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 1..1 Oddziaływanie kontaktowe W niskich temperaturach T 0, gdy energia kinetyczna czastek jest mała w stosunku do potencjału odpychajacego, to przekrój czynny na zderzenia rośnie tylko wtedy, gdy czastki zderza się centralnie. Z tego powodu potencjał oddziaływania kontaktowego jest krótkozasięgowy, a jego wielkość charakteryzuje jeden parametr - długość rozpraszania. W sieci optycznej oddziaływania kontaktowe maja bardzo bogata strukturę. Układ ultrazimnych atomów o spinie S tak jak w przypadku 5 Cr jest opisywany S + 1-składnikowym spinorem i w każdym takim składniku pojawia się inne oddziaływanie kontaktowe. Funkcja falowa i-tego atomu jest scharakteryzowana przez jego spin S i oraz rzut tego spinu na oś kwantyzacji m i. Jednak do opisu dwuciałowych zderzeń kontaktowych najlepiej jest użyć bazy molekularnej, ze względu na niezmienniczość dwuciałowej funkcji falowej względem obrotów. Ponieważ wszystkie własności w układzie musza być zachowane, dlatego dobrymi liczbami kwantowymi opisujacymi taki układ będa: całkowity spin atomów 0 S S 1 + S oraz rzut całkowitego spinu na oś kwantyzacji M = m 1 + m, który przyjmuje wartości M = S,.., S. W ogólności hamiltonian kontaktowy H c można zapisać jako: H c = δr 1 r S g S S S=0 M= S S, M S, M,.5 Stan S, M = m 1,m S, m 1 ; S, m S, M S, m 1 S, m,.6 jest stanem dwuczastkowym o całkowitym spinie S i rzucie tego spinu M na kierunek osi kwantyzacji. Symbole S, m 1 ; S, m S, M oznaczaja współczynniki Clebscha-Gordan a, zaś S, m i opisuja stan pojedynczego atomu o spinie S i jego rzucie m i. Widać więc, że każdy dwuczastkowy stan trzeba zrzutować na stan o całkowitym spinie i całkowitym rzucie tego spinu. W podprzestrzeni całkowitego spinu atomy oddziałuja w kanale fali spinowej S, siła proporcjonalna do długości rozpraszania a S : gdzie m jest masa atomu. g S = 4π m a S,.7

21 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 13 Potencjał oddziaływania kontaktowego jest krótkozasięgowy. Ta cecha wymusza symetryczna postać przestrzennej funkcji falowej układu. Skoro więc część przestrzenna zachowuje symetrię parzystości, to podobnie dzieje się z częścia spinowa. S przyjmuje więc jedynie parzyste wartości, S = {0,, 4, 6}, a oddziaływania kontaktowe nie moga wyprowadzić układu poza ta przestrzeń. Bardzo istotne w przypadku oddziaływań kontaktowych jest to, że zachowuja one całkowita magnetyzację w układzie. W pryncypiach można je podzielić na niezależne oraz zależne od spinu. Oddziaływania kontaktowe niezależne od spinu nie powoduja zmiany stanu poczatkowego atomów. W wyniku zderzenia atomy nadal pozostaja w tym samym stanie spinowym. W przypadku oddziaływań kontaktowych zależnych od spinu - sytuacja jest odwrotna. Atomy zmieniaja swój stan spinowy, ale w taki sposób, aby całkowita magnetyzacja w stanie końcowym była zachowana. Można to zilustrować na przykładzie dwóch atomów 87 Rb, każdy w stanie z F = 1 i magnetyzacja m Fi : m F1 = 0 m F = 0 m F1 = 1 m F = 1 + m F1 = 1 m F = 1. Oddziaływanie kontaktowe zależne od spinu w niektórych układach może wywołaćdynamikęspinu. Wdzięcznymprzykłademjestukładdwóchatomów 5 Cr przygotowanych w stanie rozkłożyć w bazie całkowitego spinu: S 1 = 3, m 1 = S = 3, m =. Stan ten można 6 Ψt = 0 = 11 5 ϕ 6 11 ϕ 4,.8 gdzie ϕ 6 = S = 6, M = 4 i ϕ 4 = S = 4, M = 4.9 sa stanami własnymi hamiltonianu z oddziaływaniem kontaktowym o energiach odpowiednio E 6 = g 6 n i E 4 = g 4 n, n- gęstość atomów. W zwiazku z tym Ψt = e ie 6t/ E 6 E 4 t/ ϕ 6 11 ei ϕ4..10 Częstość oscylacji między stanami ϕ 6 i ϕ 4 jest proporcjonalna do wyrażenia E 6 E 4 = n g 6 g 4. W chromie to częstość jest duża, gdyż g 6 = 100 a 0, zaś g 4 = 60 a 0 a 0 -promień Bohra. W przypadku 87 Rb w stanie poczatkowym F 1 = 1, m 1 = 0 F 1 = 1, m 1 = 0 sytuacja jest zupełnie inna. Stan ten rozkłada się na: F1 F 1 = 1, m 1 = 0 = 1, m 1 = 0 = 3 1 F =, M = 0 3 F = 0, M = 0,.11

22 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 14 a siła sprzężenia wynosi g g 0. Ponieważ dla rubidu g g 0, dlatego dynamika spinu w tym układzie jest zaniedbywalna. Istnieje także sytuacja, gdy oddziaływania kontaktowe mimo wszystko nie sa w stanie zainicjować dynamiki spinu, np. jeśli spiny atomów sa spolaryzowane w kierunku przyłożonego pola magnetycznego ferromagnetyczne uporzadkowanie: S = 3, m S1 = 3 S = 3, m S = 3 = S, M = 6, 6. Ten stan dwuczastkowy jest stanem własnym oddziaływań kontaktowych. Dynamikę spinu moga w nim zainicjować wyłacznie oddziaływania dipolowe. Jednak tę kwestię omówię szczegółowo w Rozdziale 4... Magnetyczne oddziaływania dipolowe Neutralne atomy czy też molekuły maja własny moment dipolowy, a wobec tego moga oddziaływać siłami dalekozasięgowymi. Hamiltonian magnetycznego oddziaływania dipolowego można zapisać: H D = d S 1 S 3n S 1 n S r 1 r 3,.1 gdzie r i = x i, y i, z i i S i to odpowiednio położenia i operatory spinu i-tego atomu, zaś współczynnik d jest zdefiniowany jako d = µ 0 /4π gµ B, gdzie: µ 0 jest przenikalnościa magnetyczna próżni, µ B to magneton Bohra, zaś g jest czynnikiem Landego o wartości przypisanej konkretnemu rodzajowi atomu. Wektor jednostkowy n = r/r wskazuje kierunek wektora r = r 1 r = x, y, z. Operatory spinu sa reprezentowane przez macierze spinu danej reprezentacji. Oddziaływania dipolowe maja charakter długozasięgowy - maleja z odległościa jak 1 dla porównania oddziaływania van der Waalsa maleja jak 1. r 3 r 6 Oddziaływania dipolowe sa także anizotropowe zależa od wzajemnego ustawienia momentów magnetycznych dwóch atomów. Ta własność łatwo dostrzec w układzie, gdy spiny sa spolaryzowane w kierunku pola magnetycznego B = 0, 0, B. Wówczas potencjał dipolowy ma postać: H D = d S 1 3 cos θ r 1 r 3,.13 gdzie θ jest katem między momentami magnetycznymi atomów, zaś r jest odległościa między położeniami tychże atomów.

23 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 15 RYSUNEK.1: a Dwa dipole sa zorientowane w kierunku wersorów ẽ 1 i ẽ w odległości r od siebie. b Dipole sa spolaryzowane, a siła oddziaływania między nimi zależy wyłacznie od kata θ oraz względnej odległości między nimi r. Gdy θ = π oddziaływanie jest odpychajace c, gdy θ = 0 oddziaływanie jest przyciagaj ace d, [31]. W zależności od wzajemnego ustawienia spinów oddziaływanie zmienia swój Rys..1. Gdy cos θ < 1 3, potencjał dipolowy jest odpychajacy, gdy θ = 0, to potencjał dipolowy jest przyciagaj acy. Okazuje się więc, że w przypadku kondensatu dipolowego dodatkowa rolę odgrywa geometria pułapki, która nie tylko ustala przestrzenny rozkład gęstości atomów, ale również wpływa na stabilność całego układu. W pułapce o geometrii cygara, gdy częstości pułapki pozostaja w relacji ω x = ω y, ωz ω x 1, dominuje przyciaganie. Jednakże obecność odpychajacych oddziaływań kontaktowych pozostawia ten układ stabilnym. W pułapce o geometrii naleśnika, gdy ωz ω x 1, oddziaływania dipolowe sa głównie odpychajace. W tym przypadku BEC jest zawsze układem stabilnym. Natomiast w pułapce sferycznej, gdy rozkład gęstości chmury atomów jest izotropowy, magnetyczne oddziaływanie dipolowe uśrednić się do zera....1 Szczegółowa charakterystyka oddziaływań dipolowych Uwzględnienie oddziaływań dipolowych z punktu widzenia poniższej rozprawy jest niezwykle ważne. Dlatego też szczegółowo przeanalizuję hamiltonian oddziaływania dipolowego. Można go podzielić na trzy części: H D = H d0 + H d1 + H d..14

24 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 16 Każdy człon H di składa się z części przestrzennej i spinorowej. Poniżej omówie poszczególne człony H di, kładac nacisk na rolę, jaka odgrywaja w procesie dynamiki spinu. Zakładam, że magnetyzacja układu jest w kierunku osi z kierunek przyłożonego pola magnetycznego. Oto trzy klasy podstawowych zderzeń dipolowych: 1. zderzenia bez zmiany rzutu całkowitego spinu M z = 0. W tym procesie oddziałujace atomy nie zmieniaja ani z-owej składowej spinu pary atomów ani z-owej składowej orbitalnego momentu pędu tych atomów L z = 0. Funkcja przestrzenna w H d0 to: h 0 = d 3 z 1,.15 r3 r gdzie r = r, zaś część spinorowa reprezentuje operator s 0 : s 0 = S z 1 S z 1 4 S +1 S + S 1 S +.16 W przypadku spinu-3 operatory spinowe S z i, S ± i i-tego atomu sa macierzami 7 7. Odpowiednio S ± = S x ± i S y to operator podnoszacy i obniżajacy rzut z-owej składowej spinu zawsze o jeden. Taka definicja operatorów spinu S ± wymusza następujace reguły komutacji [S + k, S j] = i S z j δ k,j. Część spinorowa s 0 nie zmienia magnetyzacji układu dwuatomowego, tj. M z = 0 i L z = 0. Rozważany człon oddziaływania dipolowego można więc zapisać jako: H d0 = h 0 s W ten sposób wyraźnie widać istotę mechanizmu tych oddziaływań, który opiera się na zachowaniu całkowitego momentu pędu wzdłuż osi z L z + M z = 0.. zderzenia dipolowe, które zmieniaja z-owa składowa orbitalnego momentu pędu o jeden kwant L z = ±1. Człon przestrzenny w hamiltonianie H d1 to: h ±1 r = 3 d r 3 z x ± i y r..18 Górny dolny znak w h ±1 r odpowiada L z = +1 L z = 1. Funkcji h ±1 r dodatkowo towarzyszy część spinorowa: s 1 = S z 1 S + S 1 S z..19 Górnydolnyznakws 1 opisujezmianęmagnetyzacjio M z = 1 M z = +1.

25 Rozdział. Dwuciałowe oddziaływania 17 Skrótowo cały proces można zapisać jako: H d1 = h +1 s 1 + h 1 s +1.0 Widać, że warunek: L z + M z = 0 jest spełniony bezwzględnie. 3. zderzenia dipolowe, które powoduja zmianę z-owej składowej orbitalnego momentu pędu dwóch atomów o kwanty L z = ± każdy z atomów zmienia swój rzut o jeden kwant. Przestrzenna część członu oddziaływania H d, odpowiedzialna za ten proces, ma postać: zaś część spinorowa opisuje operator: h ± r = 3 d 4 r 3 x ± i y r,.1 s = S 1 S.. Względem tego procesu także zastosuję uproszczony zapis: H d = h + s + h s +,.3 by podkreślić, że z-towa składowa całkowitego momentu pędu w układzie dwuatomowym musi być bezwzględnie zachowana L z + M z. Wykorzystujac postać macierzy spiowych S = 3 można oszacować siłę każdego członu dipolowego H di. W przypadku hamiltonianu H d0 siła dipolowa w składniku m S = 3 jest proporcjonalna do wyrazu S d. W przypadku pozostałych członów H d1 i H d, które wywołuja transfer spinu z m S = 3 do m S =, siła dipolowa skaluje sie odpowiednio: S 3/ d dla procesów z M z = 1 oraz S d dla procesów z M z = 1. Myślę, że warto raz jeszcze zwrócić uwagę, że dwa ostatnie procesy dipolowe nie zachowuja magnetyzacji w układzie, natomiast pierwszy typ oddziaływania dipolowego zachowuje. Będzie to miało swoje konsekwencje w dalszych rachunkach.

26

27 Rozdział 3 Własności sieci optycznej Opis układu wielociałowego jest niezwykle trudnym zadaniem. Przede wszystkim wymaga użycia odpowiednich narzędzi. Z matematyczego punktu widzenia chodzi o zdefiniowanie funkcji bazowych, dzięki którym prowadzenie badań będzie możliwe i proste. W takim środowisku badawczym jak sieć optyczna wygodnie jest używać bazy funkcji Wanniera. Sposób konstruowania tych funkcji wraz z ich krótka charakterystyka pokażę właśnie tym rozdziałe. Jednak zanim to nastapi na poczatku parę słów poświęcę tworzeniu i własnościom samej sieci optycznej. Ma ona formę sztucznego kryształu i z tego powodu wiele jej elementów zahacza o wiedzę z fizyki ciała stałego. Rozdział 3. ma na celu nie tyle ukazanie tej analogii, co poprzez odwołanie do znanych już twierdzeń i aspektów fizycznych, przybliżenie cech potencjału periodycznego, który służy do pułapkowania ultrazimnych atomów. 3.1 Sieć optyczna Sieć optyczna to rodzaj periodycznego potencjału, który powstaje w wyniku oddziaływania materii ze światłem. Otóż na skutek efektu Starka linie widmowe w atomie ulegaja rozszczepieniu i przesunięciu. Wielkość tego efektu jest proporcjonalna do natężenia pola elektromagnetycznego w przestrzeni. To także dowodzi, że energia wewnętrzna atomu wykazuje zależność od położenia. Interferencja kilku wiazek laserowych wytwarza złożony obrazek minimów i maksimów potencjalnych potocznie zwanych siecia optyczna. Każde z takich minimów tzw. oczkek sieci jest odseparowane od pozostałych bariera potencjalna, a odległość pomiędzy nimi jest rzędu fali lasera. W eksperymencie z reguły uzyskuje się głębokość barier optycznych z zakresu µk. Rzędy wielkości 19

28 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 0 sa oczywiście niezwykle małe. Nie zmienia to faktu, że po wykonaniu standardowej procedury chłodzenia poczawszy od chłodzenia dopplerowskiego, metody chłodzenia przez odparowanie, aż do temperatur rzędu nk, uzyskany układ kwantowy można spułapkować w potencjale, jakim jest sieć optyczna. W neutralnych atomach, które znajduja się w oscylujacym polu elektrycznym E r, indukowany jest elektryczny moment dipolowy p r. Ów moment oscyluje z częstościa fali lasera i równocześnie jest w stanie oddziaływać z polem elektrycznym, które go wywowało. W efekcie tworzy się potencjał pułapkujacy atomy V e.dip r: V e.dip r = p r E r αω L E r 3.1 gdzie αω L oznacza polaryzowalność atomu. Zazwyczaj częstość światła lasera ω L jest odstrojona od częstości rezonansowej atomu ω 0, celem uniknięcia efektów rozproszeniowych na atomach czy nadmiernego grzania układu z powodu wzbudzeń rezonansowych. Odstrojenie w kierunku czerownym ω L < ω 0 powoduje, że atomy sa pułapkowane w miejscach, gdzie natężenie lasera osiaga maksimum. W przypadku odstrojenia w kierunku niebieskim ω L > ω 0 atomy sa pułapkowane w pozycjach, gdzie natężenie lasera osiaga minimum. W obrazku, w którym ultrazimne atomy umieszczone sa w przestrzennie modulowanym potencjale optycznym, widać duża analogię do elektronów znajdujacych się w pułapkach jonowych czy w kryształach. Niemniej jednak warto podkreślić, że sieć optyczna ma wiele więcej zalet. Po pierwsze łatwiej w niej unikniać defektów, co w przypadku produkcji kryształów jest niemal niemożliwe. Po drugie każda próbka doświadczalna, choć wykonana tymi samymi narzędziami, nie jest idealna kopia poprzedniej. Jeśli idzie o sieć optyczna - można ja w prosty sposób kontrolować, bo wystarczy sterować zewnętrznymi parametrami lasera. W szczególności głębokość sieci optycznej można modulować natężeniem wiazki laserowej. Siecia można trzaść, poruszać m.in zmieniajac polaryzację świata lasera albo zmieniajac w czasie częstotliwości lasera. I co ważniejsze - bez problemu można powrócić do poczatkowych ustawień lasera. Geometria sieci jest uzależniona od wzajemnej konfiguracji wiazek laserowych. Można bowiem tworzyć sieci kwadratowe, trójkatne czy heksagonalne tzw. plastra miodu. Istotna rolę odgrywa też ilość wiazek laserowych: jedna para laserów tworzy sieć jednowymiarowa, dwie pary - sieć dwuwmiarowa, itd. W przeciwieństwie do fizyki ciała stałego, gdzie stała sieci jest w ogólności wielkościa rzędu angstremów, tak w sieci optycznej odległość między oczkami jest z reguły trzy rzędy wielkości większa.

29 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 1 RYSUNEK 3.1: a sieć dwuwymiarowa, b - sieć trówymiarowa, c - sieć jednowymiarowa, [3]. Zamysł tego podrozdziału polegał na przedstawieniu podstawowej wiedzy o powstawaniu sieci optycznej oraz jej własności. Jednak na końcu chciałabym jeszcze wspomnieć o nowinkach eksperymentalnych. Otóż w bardzo inspirujacej pracy [33] pokazano metodę swobodnej kreacji wielogeometrycznej sieci optycznej. Autorzy [33] podali jak w jednej realizacji doświadczalnej można dowolnie przechodzić z jednej geometrii sieci do drugiej. Sieć optyczna, kóra tworza, jest opisywana równaniem: V x, y = V x cos kx + θ/ V x cos kx V y cos ky α V x V y coskx cosky cosφ 3. gdzie V x, V x, V y to głębokości jednowymiarowych potencjałów proporcjonalnych do natężenia światła lasera, α określa stopień widzialności wzoru interferencyjnego, k jest wektorem falowym k = π λ. Fazy między wi azkami można regulować na bieżaco w przypadku pracy [33] wybrano θ = π oraz φ = 0. Zmiana względnych natężeń w laserach pozwala realizować różnorodne struktury sieciowe, prezentowane na Rys.3.1. Dotychczas każdy eksperyment był realizowany w sieci o określonej geometrii, tzn. pojedyncza konfiguracja wiazek laserowych determinowała stały kształt potencjału. W przypadku metody zaproponowanej w [33] wydaje się, że powstaje szansa, by te same badania prowadzić w sieciach, w których geometria

30 Rozdział 3. Własności sieci optycznej RYSUNEK 3.: Sieć optyczna o regulowanej geometrii: a Trzy przeciwbieżne wiazki laserowe tworza dwuwymiarowy potencjał zgodny z równaniem... Wiazki X i Y interferuja konstruktywnie, tworzac sieć na wzór szachownicy. Z kolei wiazka X zupełnie niezależnie produkuje fale stojac a. Położenie wia- zek X, X względem siebie determinuje parametrem δ. b Można wytworzyć różne sieci: Przejście między siecia trójkatn a T a dimerowa D wyznacza linia kropkowana. Przekroczenie linii przerywanej jest jednoznaczne z osia- gnięciem reżimu parametrów sieci heksagonalnej H.c. W granicy V x >> V x i V x >> V y powstaje łańcuch jednowymiarowy 1D.c.. Powyższy diagram prezentuje dostępne geometrie sieci w funkcji głębokości sieci V x i V x. c Potencjał plastra miodu w przestrzeni położeń posiada dwuoczkowa komórkę prosta oraz wektory sieci, które sa do siebie prostopadłe, [33]. układu zmienia się w sposób dynamiczny, acz kontrolowany. Pod tym względem metoda [33] jest bardzo nowatorska. 3. Potencjały periodyczne w fizyce W tym podrozdziałe omówię podstawowe własności układów z potencjałem periodycznym dla czastek nieoddziałujacych. Skoncentruję się na przypadku jednowymiarowej sieci optycznej. Prostota problemów jednowymiarowych często pomaga wyjaśnić sedno problemów fizycznych. Inna zaleta znajomości rozwiazań układów jednowymiarowych jest aspekt matematyczny. Jeśli potencjał trójwymiarowy separuje się na niezależne kierunki przestrzenne, wówczas znalezienie rozwiazania dla całego układu, sprowadza się do zsumowania rozwia- zań z układów jednowymiarowych.

31 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 3 Okazuje się, że istnieje duża analogia między elektronami siedzacymi w węzłach sieci krystalicznej a ultrazimnymi atomami umieszczonymi w periodycznym potencjale optycznym. W wyniku tego podobieństwa, wiedzę na temat materii skondensowanej wykorzystano do opisu ultrazimnych układów kwanowych w sieci optycznej. Punktem wyjścia jest twierdzenie Blocha Twierdzenie Blocha i funkcja Blocha Twierdzenie Blocha podaje ogólne rozwiazanie równania Schrödingera na funkcje falowe φ n,k. Hamiltonian układu Ĥ z potencjałem periodycznym V x = V x + d w postaci: Ĥ = p + V x. 3.3 m Zgodnie z twierdzeniem Blocha - stany własne φ n,k hamiltonianu Ĥ można zapisać jako iloczyn fali płaskiej oraz funkcji periodycznej z okresem potencjału d: gdzie k jest wektorem falowym. φ n,k x = e i k x u n,k x, u n,k x + d = u n,k x 3.4 Wstawiajac 3.4 do Ĥ φ n,kx = E n,k φ n,k x, otrzymujemy równanie własne na funkcję okresowa u n,k x: [ ] 1 m p + k + V x u n,k x = E n,k u n,k x, 3.5 które w porównaniu z 3.3 posiada pewna modyfikację w pierwszym członie, zwiazanym z energia kinetyczna. Teoria Blocha wprowadza pojęcie kwazipędu k. Oczywistym jest, że zbieżość tej wielkości z pędem jest znikoma. Jednak z punktu widzenia dynamiki w danym środowisku, znaczenie k w strukturze periodycznej jest równie fundamentalne jak rola pędu w przestrzeni. Istnienie kwazipędu jest niezbęedne, gdyż tylko wtedy operator przesunięcia o stała sieci d, komutuje z hamiltonianem. Wektor falowy k posiada skończone wartości w obrębie pierwszej strefy Brillouina, t.j. π d k π d, gdzie d jest okresem sieci. Zależnie od wyboru wartości kwazipędu k istnieje nieskończenie wiele rozwiazań 3.5. Choć pojedynczej wartości k odpowiada jedno równanie, to już jego rozwiazaniem jest pewna rodzina rozwiazań o dyskretnym widmie energii, E n,k, numerowanym indeksem n. Energia E n,k zmienia się w sposób ciagły wraz ze zmiana k, a więc jest

32 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 4 to typowa relacja dysperesyjna E n k. W obszarze strefy Brillouina zależonść E n k przypomina kształtem pasma o skończonej szerokości. Stad zastępcza nazwa teoria Blocha - teoria pasmowa. 3.3 Jednowymiarowa sieć optyczna Rozpatrzę teraz stacjonarne równanie Schrödingera z potencjałem periodycznym V x = V 0 sin kx: [ d ] m dx V 0 sin kx φ n,k x = E n,k φ n,k x 3.6 W nowych zmiennych η = kx, gdzie jednostka energii jest energia odrzutu atomu E R = k m, równanie przybiera postać : [ ] d dη V 0 1 cosη φ n,k η = E n,k φ n,k η 3.7 Głębokość sieci V 0 i energia układu E n,k jest podawana w jednostkach energii. RYSUNEK 3.3: Struktura pasmowa w jednowymiarowej sieci optycznej dla różnych wysokości potencjału sieci a V 0 = 5E R, b V 0 = 10E R, c V 0 = 5E R ; gdzie q = k, zaś E q = E n,k, [34]. Rys.3.3 pokazuje jak zmienia się relacja dyspersyjna E n k = E n,k dla różnych wysokości bariery potencjalnej V 0. Gdy czastki sa swobodne V 0 = 0E R, ich energia jest proporcjonalna do k. Przy niezerowej wartości V 0, obrazek poziomów energetycznych znacznie się komplikuje. Powstaje bowiem pewna struktura pasmowa, która jest funkcja kolejnych wzbudzeń n oraz wartości wektora falowego k. Poszczególne pasma, numerowane liczbami kwantowymi

33 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 5 n i n, oddziela od siebie przerwa energetyczna. Przy niskich barierach przerwa ta występuje wyłacznie na brzegu strefy Brillouina kd = ±π. W miarę zwiększania wysokości, przerwa energetyczna rośnie i skaluje się jak V 0 /. Szerokość pasm także zależy od wysokoći V 0, jednak przejawia się to tendencja odwrotna: niska sieć szerokie pasmo, wysoka sieć mała szerokość pasma. Przy bardzo głębokich sieciach, widmo energii niskich stanów jest niemal zdegenerowane w k. Obrazek energetyczny bardzo dobrze oddaje charakter funkcji własnych φ n,k x w układzie. Otóż przy braku jakiegokolwiek potencjału, φ n,k x sa po prostu falami płaskimi. Gdy pojawia się periodyczność i rośnie bariera potencjału, wówczas rozwiazaniami własnymi hamiltonianu z takim potencjałem sa funkcje Blocha. Funkcje Blocha sa funkcjami zdelokalizowanymi. Z tego powodu nie sa najlepsza baza do opisu czastek zlokalizowanych w oczku sieci optycznej. 3.4 Funkcje Mathieu Równanie3.7 ma postać równania Mathieu, którego rozwiazaniamis afunkcje Mathieu. Funkcje te należa do klasy funkcji specjalnych, a swa niebagatelność podkreślaja szerokim wachlarzem zastosowań, np. w ośrodkach periodycznych takich jak sieć optyczna. Charakterystyczne równanie na jednowymiarowe funkcje Mathieu : [ d ] dx + a n,ν Q cosx M n,ν x = gdzie n numeruje pasma energetyczne, parametr ν to numer stanu wibracyjnego w pasmie, a n+ν jest funkcja energii, symetryczna w ν a n,ν = a n, ν, zaś M n,νx = M n, ν x to funkcja Mathieu. Powyższe równanie 3.8 można zapisać jako: H M n,ν x = a n,ν M n,ν x 3.9 H = d + Q cosx 3.10 dx Parametr a n,ν reprezentuje zbiór wartości własnych równania Oprócz tego jest także skomplikowana funkcja ν i Q, a n,ν = a ν n, Q. Równanie 3.8 jest po prostu innym zapisem równania 3.7 Porównujac

34 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 6 oznaczenia można znaleźć następujace współzależności: ν odpowiada kwazipędowi k, V 0 = 4Q, zaś a n,ν wiaże formuła a n,ν = E n,ν + Q ν. Zachowanie funkcji Mathieu jest niezwykle skomplikowane Choć sa periodyczne z okresem π lub π, to wykazuja nietrywialna zależność od dwóch parametrów Q i ν. Formuła Floquet a pozwala wyrazić funkcje Mathieu jako M n,ν x = e i νx Px, gdzie ν jest charakterystycznym wykładnikiem potęgowym, Px pewna funkcjaa periodyczna. Z matematycznego punktu widzenia funkcje Blocha można zastapić przez funkcje Mathiue. 3.5 Funkcje Wanniera Do opisu układu w periodycznym potencjale można użyć dowolnej bazy funkcji. Wygodnym jednak wyborem jest baza funkcji Wanniera. Jest ona szczególnie użyteczna, gdy przychodzi do opisu układu periodycznego w przybliżeniu ciasnego wiazania, tzn. gdy atomy sa zlokalizowane w pojedynczym oczku sieci optycznej. Funkcje Wanniera to układ ortonormalnych funkcji, które wiernie opisuja zachowanie czastek w poszczególnych pasmach, a co więcej sa zlokalizowane w konkretnych oczkach sieci. Z definicji: W n x x 0 = ν e iνx 0 φ n,ν x 3.11 gdziesumaprzebiegapoindeksie ν wobrębiepierwszejstrefybrillouina, φ n,ν x to funkcja Blocha, zaś x 0 wskazuje miejsce, wokół którego zlokalizowana jest funkcja Wanniera. W ten sposób funkcje Wanniera sa unitarna transformacja funkcji Blocha. Funkcje Blocha φ n,ν x można także zastapić funkcjami Mathieu, co też uczynię w następnym podrozdziale konstruujac bazę funkcji Wanniera. Wszystkim stanom Wanniera z danego pasma ν można przypisać ta sama postać funkcji periodycznej u n,ν x = u n x. W zwiazku można podać przybliżona postać funkcji Wanniera wycentrowana wokół x 0 = 0: W n x = π/d ν= π/d e iνx u n x = u n x sinπx/d, 3.1 x

35 Rozdział 3. Własności sieci optycznej 7 Z dala od centrum pułapki funkcje Wanniera rozsprzestrzeniaja się ze stopniowo malejac a amplituda na pozostałe oczka sieci. Okazuje się, że powstajace tam oscylacje funkcji sa konieczne dla zapewnienia ortogonalności pomiędzy różnymi funkcjami Wanniera. W głębokich sieciach optycznych, gdzie sprawdza się model ciasnego wiazania, przekrycie między sasiednimi funkcjami Wanniera a jest dostatecznie małe, by obrazek czastek izolowanych był poprawny, b jest na tyle duże, że stany nie sa całkowicie izolowane. Te założenia pozwalaja na oszacowanie całek tunelowania między stanami Wanniera w sasiednich oczkach. Dla bardzo wysokich barier potencjalnych zlokalizowane funkcje Wanniera sa często przybliżane funkcjami Gaussa. Należy jednak podkreslić, że choć anzatz gaussowski jest poprawny w obszarze oczka, to nie daje on możliwości poprawnego wyznaczenia elementów macierzy tunelowania głównie z powodu braku oscylacji w ogonach funkcji falowych. 3.6 Konstrukcja funkcji Wanniera W typowej pułapce harmonicznej energie stanów własnych sa skwantowane i zależa od liczby numerujacej wzbudzenia. W strukturach periodycznych sytuacja jest nieco inna. W sieci optycznej poziomy energetyczne grupuja się w pewne pasma - każde ma swoja własna szerokość. Pasma sa numerowane liczba kwantowa n, jednakże w obrębie pasma występuje niezliczona ilość stanów wibracyjnych oznaczonych przez ν. W sieci optycznej pasma maja szerokość i zależa od wysokości bariery potencjalnej V 0. Oczywiście im większe V 0, tym mniejsza szerokość każdego pasma. Jednak tylko w przypadku nieskończenie wysokiej sieci pułapka harmoniczna, można mówić o zerowej szerokości pasm. Wyznaczenie funkcji Wanniera z pasma n wymaga, by wysumować wyrażenie podcałkowe w tym funkcje Mathieu po wszystkich stanach wibracyjnych ν w danym pasmie. Jednowymiarowe funkcje Wanniera: W n x x 0 = dν e iνx 0 M n,ν x = dν e iνx 0 M n,ν x dν 0 dν e iνx 0 M n,ν x = e iνx 0 M n,ν x + e iνx 0 M n,ν x 3.13

36 Rozdział 3. Własności sieci optycznej Energie średnie funkcji Wanniera Z definicji: E n = dx W nx x 0 H W n x x gdzie H = p M + V x. Wstawiajac po powyższego równania całkow a postać funkcji Wanniera otrzymujemy: E n = dx dν 0 0 [ e iνx 0 M n,ν x + dν ] [ ] e iνx 0 M n,ν x H e iν x 0 M n,ν x + e iν x 0 M n,ν x = [ dx dν dν e iν ν x 0 M n,ν xhmn,ν x + e iν ν x 0 M n,ν xhmn,ν x 0 0 ] + e iν+ν x 0 M n,ν xhm n,ν x + e iν+ν x 0 Mn,νxHM n,ν x 3.15 Na całej przestrzeni wyrażenie podcałkowe jest okresowe, zaś funkcje Mathieu przypisane różnym wskaźnikom ν i ν sa ortogonalne. Można skorzystać własności 3.10, a następnie zmieniajac kolejność całkowania - wykonać całkę po przestrzeni. Ostatecznie powstaje wzór na średnia energię: E n = 1 0 dν a n,ν E n Vo RYSUNEK 3.4: Wykres średniej energii E n trzech pierwszych pasm n = {0, 1, } w zależności od wysokości bariery. Szerokość pasm maleje, gdy rośnie bariera potencjalna V 0. Energia funkcji Wanniera w pasmie n jest całka po energiach a n,ν stanów wibracyjnych ν tego pasma. Rys przedstawia zależność energii wibracyjnych a n,ν jak również szerokość formujacych się pasm energetycznych n od wysokości bariery.

37 Rozdział 3. Własności sieci optycznej Tunelowanie czastek w stanach Wanniera Z definicji: J n = dx W nx x 0 + dhw n x x Postępowanie w tym podrozdziale jest analogiczne jak w poprzednim. Ostatecznie podam po prostu wzór na energię tunelowania: J n = 1 0 dν a n,ν cosνd 3.18

38

39 Rozdział 4 Dynamika spinu Badania prezentowanne na łamach tej rozprawy doktorskiej dotycza ultrazimnego układu atomów chromu. Chrom 5 Cr należy do grona pierwiastków o dużym momencie magnetycznym µ = 6µ B. Dodatkowo posiada aż 7 składników magnetycznych i między innymi dlatego obserwacja dynamiki spinu w tym układzie jest bardzo ciekawa i spektakularna. Istnieja dwa typy oddziaływań odpowiedzialnych za ewentualna dynamikę spinu. Każde z nich jest całkowicie inne, każde rzadzi się innymi prawami - jak pokazuje rozdział. W rozdziale 4. przedstawię własne wyniki badań dynamiki spinu w zależności od rodzaju potencjału pułapkujacego. Pierwsza część rozdziału 4. będzie dotyczyć rachunku numerycznego na dwóch oczkach sieci z N atomami. Pokażę, że dynamika spinu w zerowym polu magnetycznym może być zdeterminowana przez zależne od spinu oddziaływania kontaktowe zgodnie z modelem Heisenberga t J. Wszystkie uwzględnione w tym modelu oddziaływania zachowuja magnetyzację. W drugiej części rozdziału 4. skupię się na obserwacji dynamiki spinu inicjowanej przez rezonansowe, magnetyczne oddziaływania dipolowe, a następnie kontynuowanej przez zależne od spinu oddziaływania kontaktowe. W tym celu rozważam pojedyncze oczko wysokiej, kwadratowej sieci optycznej, w której znajduja się dwa atomy w stanie m S = 3. Warunkiem koniecznym obserwacji dynamiki spinu jest wybór rezonansowej wartości pola magnetycznego. Dzięki temu procesy dipolowe nie gwałca zasady zachowania energii oraz całkowitego momentu pędu. Istnieja więc dwa typy wzbudzeń dipolowych, które w tych warunkach moga mieć miejsce, i które powoduja zmianę magnetyzacji w układzie: M z = ±1 lub M z = ±. Oba zostana szczegółowo omówione. Właśnie w tej części rozdziału pojawi się jedna z kluczowych obserwacji całej 31

40 Rozdział 4. Dynamika spinu 3 rozprawy. Potencjał pojedynczego oczko sieci optycznej skrywa w sobie subtelne cechy. Sa to anharmoniczność i anizotropowość oczka. Okazuje się, że te cechy mocno wpływaja na cały przebieg dynamiki w szczególności, gdy pod uwagę bierze się wysoko wzbudzone orbitalne stany Wanniera. Nawet mały efekt anharmoniczności może mieć poważne konsekwencje. Jednym z pierwszych artykułułów, który to uwypuklił był [19, 0]. Ostatnimi czasy zademonstrowano przepis na rezonansowa demagnetyzację ze spolaryzowanymi atomami chromu w sieci optycznej [16]. Ten artykuł potwierdził, że prowadzone przeze mnie badania nie sa ciekawe wyłacznie dla teoretyków. Wręcz przeciwnie - wnosza bardzo duży wkład do zrozumienia wyników doświadczalnych. Pokażę to na samym końcu rozdziału Dynamika spinu via oddziaływania kontaktowe w dwóch oczkach sieci Rozważę prosty model wysokiej sieci przybliżony przez układ dwóch oczek. Parametrem sieci jest długość fali lasera λ = 53 nm. Typowa jednostka długości w układzie to 1 k = λ π, zaś jednostk a energii jest energia odrzutu E R = k M, co w przeliczeniu na częstotliwość daje E R = π 13.5 khz. M jest masa atomów chromu. Przyjęłam, że wysokość bariery V 0 każdego oczka wynosi V 0 = 5 E R. Jest to wartość, która uzyskuje się w typowych eksperymentach. W swoim modelu uwzględniam wszystkie składniki magnetyczne. Głównym zadaniem, jakie przede mna stoi jest określenie wpływu oddziaływań kontaktowych zależnych od spinu na dynamikę układu. Zupełnie niedawno - ku memu zaskoczeniu- ukazała się praca[35], w której autorzy doświadczalnie zrealizowali podobny pomysł. Wyniki ich pracy wyprzedziły w czasie publikację moich rezultatów. Owa zbieżność w zainteresowaniu tym samym tematem pokazuje, że problem takiej dynamiki jest ciekawy zarówno dla badań teoretycznych jak i doświadczalnych. Nie zważajac na publikacje [35], zaprezentuje w tym podrozdziale własne wyniki numeryczne. Do opisu ultrazimnych atomów o spinie S umieszczonych w sieci optycznej służy S + 1 składnikowy spinor. Chrom posiada całkowity spin S = 3, stad mowa o 7-składowym spinorze: ˆΨ r = 3 m S = 3 Ψ ms r χ ms, 4.1

41 Rozdział 4. Dynamika spinu 33 gdzie suma przebiega po wszystkich jego składowych, Ψ ms r to operator pola stanu o magnetyzacji m S, zaś χ ms = m S 4. jest wektorem jednostkowym z jedynka na pozycji m S. Układ, który rozważę, znajduje się w zerowym polu magnetycznym. W rezultacie wszystkie oddziaływania w hamiltonianie musza zachowywać magnetyzację. Jak wspomniałam, zmiana magnetyzacji jest kosztowna energetycznie i jest możliwa tylko w obecności pola magnetycznego, dla którego energia zeemanowska jest odpowiednia. W stanie poczatkowym atomy znajduja się w stanie podstawowym pułapki, tj. w stanie opisywanym funkcja Wanniera W 0 r z najniższego pasma. Oznacza to, że można ograniczyć się do jednej funkcji przestrzennej i zapisać operator pola jako Ψ ms r = W 0 r ˆb ms, gdzie ˆb ms jest operatorem anihilacji, który niszczy czastkę w stanie spinowym m S opisanym funkcja W 0 r. W stanie poczatkowym, w każdym oczku w stanie m S = umieszczam taka sama liczbę atomów. Docelowo rozważę N = {, 4, 6} atomy w układzie. Będę badała ewolucję stanu poczatkowego, obserwujac średnie obsadzenie każdego składnika magnetycznego w funkcji czasu. Hamiltonian układu charakterem przypomina model t J, dobrze znany w fizyce ciała stałego [36, 37, 38]. Model t J opisuje proces wymiany spinów fermionów umieszczonych w sasiednich węzłach sieci krystalicznej. Ma on zastosowanie w opisie dynamiki nierównowagowej. W modelu, który opiszę, nierównowagowa dynamikę moga wywołać dipolowe oddziaływania momentów magnetycznych atomów między sasiednimi oczkami: H d0 = d r 3 1 3z r S z 1S z 1 4 S + 1S + S S +, 4.3 gdzie indeksy 1, numeruja atomy. Jeśli atom 1 jest w jednym oczku sieci, a atom w drugim oczku, to podobieństwo do modelu t J: H t J = t <ij> σ â i,σâj,σ + h.c + J Si S j n i n j /4 <ij> 4.4 jest widoczne. Ten typ oddziaływań dipolowych powoduje zmianę spinu każdej pary atomów w taki sposób, by magnetyzacja układu była zachowana. Zasada

42 Rozdział 4. Dynamika spinu 34 zachowania magnetyzacji w układzie dotyczy także pozostałych członów hamiltonianu. Przejdę więc do jego opisu. Hamiltonian układu w bazie funkcji Wanniera ma postać: H t J = J + 3 m= 3 3 ˆb 1 ˆb m m + h.c j m j= j m j i=1 m= i j m= 3 j m j= j m j Ũ m 1,m,m 1,m V m 1,m,m 1,m ˆb i ˆb i ˆb i ˆb i m 1 m m m 1 ˆb i ˆb j ˆb i ˆb j, m 1 m m m gdzie suma przebiega po wszystkich możliwych magnetyzacjach, ˆb m i i ˆb mi to bozonowe operatory, które odpowiednio anihiluja i kreuja atom w stanie z magnetyzacja m w i-tym oczku. Pierwsza linijka 4.5 opisuje tunelowanie. Proces ten zachodzi w przestrzeni stanów zachowujacych energię i magnetyzację. Druga linijka w hamiltonianie H t J dotyczy lokalnych oddziaływań w oczku. Człon Ũm to suma 1,m,m 1,m energii oddziaływania kontaktowego U m1,m,m i oddziaływania dipolowego 1,m D m1,m,m w tym samym oczku. Zauważmy, że U 1,m m1,m,m D 1,m m1,m,m 1.,m W ostatniej linijce 4.5 wyraz V ms4,m S3,m S,m S1 opisuje sprzężenie dipolowe między atomami w różnych oczkach. Ta energia zależy od odległości między oczkami jak 1 d 3 w przypadku badanym w pracy doktorskiej d = λ/ = 66 nmijestznaczniemniejszaniżlokalneoddziaływaniadipolowe D m1,m,m 1,m. Brak pola magnetycznego pozwala rozważać wyłacznie takie procesy dipolowe, dla których M = m 1 + m = m 1 + m jest stała. Człony hamiltonianu dipolowego, które zmieniaja magnetyzację o jeden lub dwa kwanty zostana omówione w następnym rozdziale. Te procesy wymagaja obecności rezonansowego pola magnetycznego, a w przypadku jego braku - stanowia jedynie małe zaburzenie w układzie zaniedbywalne. Kluczowa sprawa w tym problemie jest także wybór odpowiedniej bazy. Wiaże się to z rosnacym potęgowo wymiarem D D macierzy, która należy zdiagonalizować. Jednoczastkowa przestrzeń dostępnych stanów składa się z siedmiu komponentów spinowych m S = { 3,..., 3} w pierwszym oczku i z siedmiu w drugim oczku m S = { 3,..., 3}. Liczba wszystkich możliwych stanów N cz a- stek w tych czternastu stanach wynosi D = 105 dla N =, D = 380 dla N = 4, zaś dla N = 6 jest równa D = 735. Jednak większość tych stanów ma różna magnetyzację, m S + m S. W stanie poczatkowym wszystkie cz astki sa w

43 Rozdział 4. Dynamika spinu 35 stanie o magnetycznej liczbie kwantowej m S =, czyli poczatkowa magnetyzacja układu wynosi M = N. Ten warunek bardzo ogranicza liczbę istotnych stanów. Do obliczeń użyłam jedynie te stany N-czastkowe, które zachowuja magnetyzację. W wybranej bazie stanów obliczenia numeryczne nie stanowiły już problemu. W układzie z N = atomami wymiar przestrzeni wynosi D = 7, z N = 4 atomami wynosi D = 46, zaś w przypadku N = 6 atomów trzeba zdiagonalizować macierz kwadratowa w bazie D = 17 stanów. Mimo, że hamiltonian układu jest zapisany w języku drugiej kwantyzacji, ze względu na stosunkowo niewielka liczbę czastek w układzie, opisujac wyniki będę stosowała notację pierwszej kwantyzacji. I tak m S1, m S,..., m Sk 1 m S 1, m S,..., m S l, 4.6 to stan, w którym w pierwszym oczku pierwszy atom jest w stanie o magnetyzacji m S1, drugi w stanie m S,... itd. Analogicznie, m S 1 to stan spinowy pierwszego atomu w drugim oczku, itd. Oczywiście l + k = N - całkowita liczba atomów w układzie. Mimo, że poczatkowo liczba atomów w pierwszym i drugim oczku była taka sama, to obecność tunelowania daje atomom możliwość przeskoku, stad w ogólności l k k i=1 m Sk + l i=1 m Sl = N. Sytuację, gdy w i-tym oczku nie ma żadnej czastki, oznaczam symbolicznie jako Ω i. Dwa atomy w układzie średnio jeden atom na oczko Stan poczatkowy ma postać: Zbadam więc sytuację, gdy w każdym oczku w stanie spinowym m S = znajduje się jeden atom. Obsadzenie pozostałych komponentów spinowych wynosi zero. Dynamika spinu w małym układzie nie jest trywialna. Już sam fakt, że zachodzi każe się zastanowić, które z oddziaływań za to odpowiada i jakie stany biora udział w dynamice. W swoim rachunku, co już podkreślałam, będę obserwować ewolucję stanu poczatkowego. By móc mówić o dynamice spinu w układzie, na skali czasu t k powinnam zaobserwować zmianę obsadzenia stanu poczat- kowego. Atomy przejda wtedy do innych składników. Ewolucję układu prezentujerys.4.1. Możnaodczytaćzwykresu, żewchwiliczasu t k = 15 ms w stanach spinowych m S = 1 oraz m S = 3 pojawiaja się atomy, a obsadzenie stanu poczatkowego jest minimalne.

44 Rozdział 4. Dynamika spinu 36 1 m S = m S = 3 m S = 1 Srednie obsadzenie stanu ms t [ms] RYSUNEK 4.1: Dynamika spinu dwóch atomów w układzie, przy wysokości bariery V 0 = 5 E R Dynamikę spinu w układzie moga wywołać m.in. nielokalne długozasięgowe oddziaływania dipolowe. Ewentualny proces,który inicjuja wyglada następujaco: V 1,3,, =V 3,1,, Nielokalne oddziaływania dipolowe stanowia najmniejsza skalę energii, np. V 1,3,, = E R, coodpowiadaczęstości ω V = π khz. Można oszacować, po jakim czasie pod wpływem tych oddziaływań, nastapi zauważalna zmiana w układzie. Z grubsza ten czas jest jest proporcjonalny do wyrażenia t V k 1 ω V ms. Mogę tak napisać, gdyż energie stanu poczatkowego i końcowego w 4.8 sa porównywalne. Oba leża w podprzestrzeni o tej samej energii brak oddziaływań kontaktowych. Widać, że czasy t V k i t k sa niemal identyczne. To pozwala sadzić, że właśnie nielokalne oddziaływania dipolowe sa odpowiedzialne za dynamikę spinu w tym układzie. Aby to udownownić, po kolei wyłaczę w programie numerycznym niektóre człony hamiltonianu. Jako teoretyk mam taka możliwość. W ten sposób pokażę, na jakich skalach czasu istotne sa poszczególne oddziaływania oraz sprawdzę poprawność wcześniejszych wniosków. Na poczatek wyłaczyłam człon dipolowy V ms4,m S3,m S,m S1. Pozostałe wyrazy w H t J sa niezerowe. Gdy w każdym oczku jest tylko jeden atom, wszystkie lokalne dwuciałowe oddziaływania sa równe 0. W zwiazku z tym zależne od spinu oddziaływania kontaktowe nie moga inicjować dynamiki spinu. Tunelowanie także nie może wywołać dynamiki. Jednakże oba człony moga wnieść swój wkład poprzez procesy wirtualne, dzięki czemu po pewnym charakterystycznym czasie można by obserwować zapełnianie

45 Rozdział 4. Dynamika spinu 37 kolejnych składników magnetycznych. Pokażę to na przykładzie: 1 J, 1 Ω U 1,3,, =U 3,1,,, 1 Ω 1, 3 1 Ω 4.9 Analogiczne procesy występuja także w oczku drugim. 4.9 ma więc charakter symboliczny, gdyż należy pamiętać, że do prawej strony należy dodać wyraz z zamienionymi oczkami. Okazuje się jednak, że taki schemat dynamiki prezentowany w 4.9 jest zabroniony, gdyż łamie zasadę zachowania energii. Energia stanu końcowego z 4.9 zawiera w sobie energię kontaktowa U 1,3,1,3 =.07 E R. Zbyt duża przerwa energetyczna między stanem poczatkowym i końcowym sprawia, że dynamika spinu średnio jednego atomu pod wpływem oddziaływań kontaktowych nie może wogóle mieć miejsca. Aby zaobserwować dynamikę spinu poprzedzona procesem wirtualnym, jedna czastka musi jeszcze opuścić oczko, w którym były obie czastki. W schemacie 4.9 należy uwzględnić proces typu: 1, 3 1 Ω J Dla wyliczonych wartości tunelowania J = E R oraz zależnego od spinu oddziaływania kontaktowego U 1,3,, = E R, można oszacować, że czas charakterystyczny dla tego procesu t J k jest rzędu J U 1,3,, Poprawność tego szacowania potwierdzaja wyniki numeryczne, lewy wykres na Rys.4.. Można odczytać z wykresu, że po 1 m S = m S = 3 m S = 1 1. m S = m S = 3 m S = 1 Srednie obsadzenie stanu ms Srednie obsadzenie stanu ms t [ms] t [ms] RYSUNEK 4.: a Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko inicjowana w drugim rzędzie procesu przez oddziaływania kontaktowe zależne od spinu, przy wyłaczonych nielokalnych oddziaływaniach dipolowych. Zmiana obsadzenia składników magnetycznych ma miejsce dopiero wtedy, gdy czastka przetuneluje do sasiedniego oczka lewy wykres. b Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko inicjowana przez nielokalne oddziaływania dipolowe. Tunelowanie jest równe zero prawy wykres.

46 Rozdział 4. Dynamika spinu 38 charakterystycznym czasie t k = ms w układzie obsadzaja się nowe stany. Oznacza to, że jeden z atomów zdażył przetunelować do sasied- niego oczka, zaczał oddziaływać kontaktowo z drugim atomem, a następnie wytunelował. Skala czasu t k jest niebywale duża. W porównaniu z czasem życia atomów w pułapce 1 s, czas t k jest wręcz absurdalnie długi. W drugim podejściu w mojej analizie wyłaczyłam człon tunelowania J. Oddziaływania dipolowe lokalne i nielokalne były różne od zera. Wyniki pokazuje prawy wykres Rys.4.. Niczym się on nie różni od Rys.4.1, gdy ewolucja stanu poczatkowego zachodziła przy pełym hamiltonianie. Czas charakterystyczny dynamiki spinu zgadza się z tym oszacowanym, t k = 15 ms. Okazuje się, że przy barierze V 0 = 5 E R w układzie z jednym atomem na oczko, długozasięgowe odziaływanie momentów magnetycznych atomów sa kluczowe. Na skalach czasu 10 ms dochodzi do obsadzenia dwóch, pocztkowo pustych, komponentów spinowych m S = 1 oraz m S = 3. Bez względu na to czy występuje tunelowanie, proces dynamiki spinu ma miejsce. Na dodatek przy barierze V 0 = 5 E R tunelowanie jest na tyle małe, że w obrazku z jednym atomem na oczko może być nawet zaniedbane. Zupełnie na zakończenie, tak z ciekawości, postanowiłam zobaczyć jak będzie wygladała ewolucja stanu poczatkowego, gdy oddziaływania kontaktowe sa wyłaczone. Rys.4.3 pokazuje taka sytuację. Widać tam, 1 m S = m S = 3 m S = 1 Srednie obsadzenie stanu ms t [ms] RYSUNEK 4.3: Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko, przy wysokości bariery V 0 = 5 E R : oddziaływanie kontaktowe U ms4,m S3,m S,m S1 = 0. że zmiana obsadzenia stanu poczatkowego odbywa się na niezmienionej skali czasu i wciaż pod wpływem nielokalnych oddziaływań dipolowych. Układ znajduje się z rezonansie, gdyż jego energia w stanie pośrednim, z

47 Rozdział 4. Dynamika spinu 39 dwoma atomami w oczku, jest taka sama jak w poczatkowym i końcowym stanie z jednym atomem na oczko brak oddziaływań kontaktowych. Na Rys.4.3 liczba atomów w składniku m S = spada do zera i jest to jedyna różnica w porównaniu z Rys.4.1. Rys.4.3 i Rys.4. potwierdzaja długozasięgowy charakter oddziaływań dipolowych. Tak naprawdę w układzie ze średnio jednym atomem na oczko zasada zachowania energii wyróżnia nielokalne oddziaływania dipolowe jako te, które inicjuja dynamikę spinu. Tunelowanie ma wpływ nieznaczny, gdy bariera jest wysoka. Przy niższej barierze dynamika z pewnościa będzie szybsza. Z kolei oddziaływania kontaktowe powoduja jedynie zmniejszenie efektywnego transferu atomów. Jednak skale czasowe w problemie i tak zostaja niezmienione. Cały rachunek to koronny dowód na to, że to oddziaływania dipolowe na odległość, a nie zależne od spinu oddziaływania kontaktowe, sa najważniejsze w układzie z jednym atomem na oczko. Cztery atomy w układzie średnio dwa atomy na oczko Przeanalizuję teraz przypadek z dwoma atomami na oczko. Stan poczat- kowy układu:, 1, W każdym oczku znajduja się dwa atomy, co oznacza, że w tym stanie sa oddziaływania kontaktowe. Stanowia one największa skalę energii w hamiltonianie zależneodspinuoddziaływaniakontaktowe U 1,3,, = E R, ω U = π khz. W porównaniu z nielokalnymi oddziaływaniami dipolowymi sa one o pięć rzędów wielkości większe. Z tego też powodu jako pierwsze wprowadza zauważalna zmianę w układzie. Na krótkich skalach czasowych oddziaływania kontaktowe moga inicjować dynamikę spinu typu: U 1,3,, =U 3,1,,, 1, 1, 3 1, 4.1 Powyższy zapis należy rozumieć symbolicznie. Oczywiście żadne oczko sieci nie jest wyróżnione, w zwiazku z tym wyrażenie z prawej strony 4.1 należało by uzupełnić o człon z zamienionymi oczkami indeksy 1 i. Szacowany charakterystyczny czas jest rzędu 1 ω U 0. ms. Potwierdza to niejako Rys.4.4. Dynamika spinu w układzie z dwoma atomami na oczko jest bardzo efektywna. Już na krótkich skalach czasu pojawiaja się szybkie oscylacje. Co więcej bez względu na to czy jest tunelowanie albo

48 Rozdział 4. Dynamika spinu m S = m S = 3 m S = 1 Srednie obsadzenie stanu ms t [ms] RYSUNEK 4.4: Obsadzenie składników magnetycznych w funkcji czasu ze średnio dwoma atomami na oczko. dipolowe oddziaływanie, dynamikę spinu zawsze inicjuja oddziaływania kontaktowe zależne od spinu. Dynamika spinu dwóch atomów jest wyraźnie szybsza niż jednego atomu. Cecha wspólna obydwu przypadków jest to, że ostatecznie dynamika zachodzi w przestrzeni tylko trzech składników: m S = {3,, 1}. Sześć atomów w układzie średnio trzy atomy na oczko Na koniec pokażę jeszcze rachunek, gdy w pojedynczym oczku sa średnio trzy atomy. Tyle mniej więcej czastek można średnio uzyskać w typowym eksperymencie. Rozważam następujacy stan poczatkowy:,, 1,, 4.13 Rys.4.5 prezentuje wynik numeryczny. Dynamika spinu jest nieco bo- Srednie obsadzenie stanu ms m S = m S = 3 m S = 1 m S = t [ms] RYSUNEK 4.5: Obsadzenie składników magnetycznych w funkcji czasu ze średnio trzema atomami na oczko dla wysokości bariery V 0 = 5 E R. gatsza ze względu na fakt, że rozważam układ o większej gęstości, czyli większej energii całkowitej.

49 Rozdział 4. Dynamika spinu 41 Podobnie jak poprzednio dynamikę spinu inicjuja zależne od spinu oddziaływania kontaktowe: U 1,3,, =U 3,1,,,, 1,, 1,, 3 1,, 4.14 W stanie końcowym w 4.15, w składniku m S = oraz m S = 1 znajduje się po jednym atomie. Taka sytuacja sprzyja dalszemu procesowi z zachowaniem magnetyzacji, tj. U 0,3,1, =U 3,0,1, 1,, 3 1,, 0, 3, 3 1,, 4.15 Widać, że cały schemat opiera się na zależnych od spinu oddziaływaniach kontaktowych. Obecność pozostałych członów z H t J poprawia ani nie psuje dynamiki spinu. w żaden sposób nie Głównym nowum w układzie z trzema atomami w oczku jest z pewnościa to, że pojawia się niezerowe obsadzenie stanu spinowego m S = 0, czego nie było w układach poprzednio analizowanych. Charakterystyczny czas, w którym to zachodzi, można oszacować jako t k ω U 1 0. ms, co rzeczywiście potwierdza Rys.4.5. Istota powyższych rachunków było pokazanie dynamiki spinu w układzie dwóch oczek. Moje rachunki dowodza, że możliwe sa dwa rodzaje procesów prowadzacych do zmiany spinu: 1. procesy wywołane przez dalekozasięgowe oddziaływania dipolowe, które decyduja o dynamice w przypadku jednego atomu na oczko. Wtedy zmiana spinu odbywa się na stosunkowo dużej skali czasu t k 10 ms,. procesy wywołane przez oddziaływania kontaktowe, w przypadku liczby atomów na oczko większej niż jeden, gdzie charakterystyczne czasy ewolucji sa rzędu 0. ms. Wnioski, jakie zdołałam przedstawić jakościowo potwierdza eksperyment opisany w artykule [35], który ukazał się w chwili spisywania mojej pracy doktorskiej. Sytuacja fizyczna, która omówiłam w tej części rozdziału jest możliwa tylko, jeśli nie zostało właczone pole magnetyczne o wartości rezonansowej. Przypadkiem z obecnościa pola zajmę się w następnej części tego rozdziału.

50 Rozdział 4. Dynamika spinu 4 4. Dynamika spinu via oddziaływania dipolowe w pojedynczym oczku sieci Zajmę się teraz nieco skromniejszym układem - pojedynczym oczkiem sieci optycznej. Wysokość bariery oczka jest taka sama jak w części pierwszej V 0 = 5 E R. Tunelowanie atomów J jest zbyt małe, by na krótkich skalach czasu wprowadzić znaczac a zmianę w układzie. Jeśli chodzi o nielokalne oddziaływania dipolowe, to również można je zaniedbać, szczególnie, że badany układ znajduje się w polu magnetycznym. Obecność tego pola wyróżnia tylko te procesy dipolowe, które nie zachowuja magnetyzacji w układzie. Dynamika spinu w pojedynczym oczku jest intrygujacym zagadnieniem, ponieważ silnie zależy od postaci potencjału pułapkujacego. Inaczej wygladaj a rezonanse dipolowe w pułapce harmonicznej, a zupełnie inaczej w rzeczywistej sieci optycznej. W tej części rozdziału zaprezentuje wyniki badań zależnie od modelu potencjału Hamiltonian Badam prosty układ dwóch atomów Chromu 5 Cr w stanie podstawowym z magnetyzacja S = 3. Atomy sa spułapkowane w pojedynczym oczku dwuwymiarowej, kwadratowej sieci optycznej utworzonej za pomoca dwóch par przeciwbieżnych wiazek laserowych każda o długości fali λ i pędzie k = π λ. W kierunku przestrzennym z zakładam harmoniczny potencjał o częstości Ω z. Ponadto przyjmuję, iż sieć optyczna jest na tyle głęboka, iż tunelowanie do sasiednich oczek jest zaniedbywalne. Od tego momentu będę posługiwać się bezwymiarowymi wielkościami. Wszystkie odległości sa mierzone w 1 k = λ zaś energie sa podawane w jednostkach energii odrzutu E R = ħ k M, gdzie M jest masa atomu. Jednoska czasu jest E R. Pole magnetyczne jest wyrażone w jednostkach E R g µ B, gdzie µ B to magneton Bohra, zaś g = jest czynnikiem Landego atomu chromu. Hamiltonian układu ma postać : π, H = H 0 + H C + H Z + H D 4.16

51 Rozdział 4. Dynamika spinu 43 H 0 = gdzie r i = x i, y i, z i i S i i=1 H C = δr 1 r H Z = S 1 + S B [ ] i + V 0 sin x i + sin y i + κ zi S g S S S=0 M= S S, M S, M H D = d S 1 S 3n S 1 n S r 1 r 3, 4.17 to odpowiednio położenie i operator spinu i - tego atomu. Wektorjednostkowy n = r/r wskazujekierunekwektora r = r 1 r = x, y, z. Operatory spinu sa prezentowane przez maceirze spinu 7 7. Parametr κ jest bezwymiarowa wielkościa charakteryzujac a częstość osiowa: κ = Ω z /E R. Poszczególne elementy w hamiltonianie 4.16 posiadaja następujacy sens fizyczny. Hamiltonian H 0 odpowiadaenergiomjednoczaskowym, gdzie pod uwagę wzięto zarówno energię kinetyczna jak i potencjalna. Hamiltonian H C opisuje oddziaływania kontaktowe między czastkami. Szczegółowy opis tych oddziaływań znajduje się w podrozdziale [..1]. Siła oddziaływań kontaktowych w jednostkach bezwymiarowych w danym kanale S S = 0,, 4, 6 jest proporcjonalna do długości rozpraszania a S w fali s: g S = 8πka S Hamiltonian H Z to liniowy efekt Zeemana. Zewnętrzne pole magnetyczne zmienia jednoczastkowe energie w układzie, a tym samym pozwala dopasowywać do siebie względne energie dwuczastkowe. W przedstawionej analizie zakładam jednorodna postać pola magnetycznego w kierunku osi z, prostopadle do płaszczyzny sieci optycznej. Hamiltonian H D odnosi się do energii oddziaływania dwóch atomów siła dipolowa. Szczegółowy opis oddziaływań dipolowych znajduje się w podrozdziale [..]. Siłę oddziaływań dipol-dipol wyraża bezwymiarowych czynnik: d = µ 0 /4πgµ B k 3 /E R, przy czym µ 0 jest przenikalnościa próżni. Atomy sa przygotowane w stanie podstawowym oczka sieci w obecności silnego pola. To zapewnia ferromagnetyczne uporzadkowanie ich spinów polaryzacja układu. W takiej sytuacji dynamikę spinu inicjuja wyłacznie oddziaływania dipolowe.

52 Rozdział 4. Dynamika spinu Przybliżenie harmoniczne Zakładam na wstępie, że potencjał zewnętrzny w pobliżu środka pułapki w r = 0 można przybliżyć za pomoca oscylatora harmonicznego. Innymi słowy z rozwinięcia potencjału sieci optycznej V trap r = ] [V 0 sin x + sin y + κ z 4.19 wokół jednego z jego minumów, biorę pod uwagę wyłacznie człony najniższego rzędu. Stad V trap = V 0 x + y + κ z. 4.0 Taki potencjał pułapkujacy V trap posiada symetrię osiowa. Zachodza następujace relacje Ω = ω x = ω y = V 0 Ω z Ω = κ V0 i Ω z = κ. Stosunek częstości wyraża wzór i określa on miarę odejścia od symetrii sferycznej. W stanie poczatkowym dwa oddziałujace atomy znajduja się w stanie podstawowym zewnętrznego potencjału. Atomy te sa spolaryzowane w kierunku osi z pułapki, co odpowiada zapisowi S = 6, M = 6 każdy z atomów jest w stanie S = 3,m S = 3. Stan poczatkowy jest osiowosymetryczny: Ψ start r 1, r = φ 00 x 1, y 1 ϕ 0 z 1 φ 00 x, y ϕ 0 z, 4.1 przy czym φ 00 x, y ϕ 0 z jest przestrzennym stanem podstawowym dla potencjału V trap. Aby przedstawione rachunki były bardziej realne, wybieram typowe parametry stosowane w doświadczeniach. Zakładam, że sieć optyczna jest tworzona przez dwie przeciwbieżne wiazki laserów o długości fali λ = 53 nm. Jednostka energii jest energia odrzutu, która w przypadku chromu o masie M kg wynosi E R / = π 13.5 khz. Typowa wysokość bariery potencjału to V 0 = 5 E R, co odpowiadawartości V 0 / = π 336 khz. Częstośćcharakterystycznapułapki wynosi Ω / = 10 E R / = π 135 khz; zaś częstość osiowa Ω z / = 16 E R / = π 18 khz. Powyższe parametry definiuja tak naprawdę charakterystyczne rozmiary badanego układu, tj. a = 38 nm oraz a z = 30 nm. Średnia gęstość atomów na oczko jest rzędu n cm 3. W kanale o całkowitym spinie S = 6 w stanie dwuczastkowym oddziaływania kontakowe wynosza U c / = π 18.9 khz, zaś dipolowe E d / = π 0.37 khz. Wyraźnie widać rozpiętość w powyższych skalach energii. Otóż największa energia jest różnica między jednoczastkowymi poziomami w pułapce Ω, Ω z. Energia kontaktowa jest od niej siedem razy mniejsza, a dipolowa aż trzy rzędy wielkości energia dipolowa

53 Rozdział 4. Dynamika spinu 45 jest najmniejsza energia w układzie. To potwierdza, że oddziaływanie dipoldipol, które nie zmienia całkowitej magnetyzacji dwóch atomów tj. proces z M z = 0, można śmiało zaniedbać. Wkład od niego stanowi jedynie mała poprawkę do oddziaływań kontaktowych. Podażaj ac tym torem myślenia można by oczywiście zaniedbać pozostałe człony oddziaływania dipolowego - zwłaszcza te odpowiedzialne za dynamikę spinu. W końcu zasada zachowania całkowitej energii w układzie, tj. ħω + Ω z = E d dla procesów M z = ±1 lub ħω = E d dla procesów M z = ±, wyklucza bezpośredni transfer spinu wywołany przez oddziaływania dipolowe. Mamy bowiem do czynienia z sytuacja, gdy ħω +Ω z E d oraz ħω E d. Jeśli jednak zniwelować różnicę energii zeemanowskich za pomoca zewnętrznego pola magnetycznego ħω +Ω z = E d +gµ B B oraz ħω = E d +gµ B B, wówczas dynamika spinu mogłaby mieć miejsce. Komponenty spinowe, z uwagi na przypisana im magnetyzację, w charakterystyczny dla siebie sposób zachowuja się w polu magnetycznym. Jeśliby zredukować różnicę energii między komponentami m S = 3 a m S =, to transfer spinu byłby efektywny. Różnica energii jednoczastkowych Ω wymaga pola B = 48. mgs. By zredukować oddziaływania kontaktowe potrzeba pola B c = 6.75 mgs, natomiast do redukcji oddziaływań dipolowych - pola B d = 13 µgs. Precyzja w uzyskaniu tej ostatniej wartości B d stanowi pewien problemem i jest niebywałym wyzwaniem dla eksperymentatorów. Zaczynajacodosiowo-symetrycznegostanupodstawowego Φ start = r 1, r start można rozpatrywać dwa typy zderzeń dipolowych zmiana magnetyzacji obu oddziałujacych atomów o jeden M z = ±1 lub o dwa kwanty M z = ±. W każdym z tych przypadków końcowy stan dwuczastkowy jest inny. Okazuje się, że przestrzenny człon oddziaływań dipolowych ustala przestrzenna postać funkcji falowej stanu końcowego we współrzędnych względnych. Znajac postać tej funkcji można określić energię stanów końcowych. W przypadku procesu z M z = ±1, przestrzenny człon dipolowy ma postać zx + i y. Energia najniższego stanu końcowego w pułapce jest więc równa Ω + Ω z. W drugim kanale oddziaływań dipolowych z M z = ±, przestrzenny człon dipolowy jest typu x + i y, co oznacza, że energia najniższego stanu końcowego wynosi Ω. Jeśli różnica częstości Ω z Ω jest znacznie większa niż energia dipolowa, to każdy z procesów dipolowych M z = ±1 i M z = ± może być przeanalizowany niezależnie, gdyż oba zachodza w innych polach B. Jednym z etapów całej analizy jest znalezienie najniżej leżacego wzbudzonego stanu dwuczastkowego, który jest sprzężony ze stanem podstawowym poprzez

54 Rozdział 4. Dynamika spinu 46 oddziaływania dipol-dipol. W głównej mierze za strukturę stanu końcowego przy założeniu, że stan poczatkowy jest stanem podstawowym Wanniera z ferromagnetycznym uporzadkowaniem spinowym odpowiada struktura hamiltonianu dipolowego. To pozwala ograniczyć bazę stanów jednoczastkowych, które posłuża do analizy, i w okrojonej bazie diagonalizować w polu magnetycznym hamiltonian H. Tym sposobem zostały znalezione energie własne oraz wektory własne hamiltonianu dla każdej wartości pola B. Każdy wektor własny, który jest równa superpozycja stanu poczatkowego i końcowego,, świadczy o istnieniu rezonansu dipolowego. Rezonans ten pojawia się przy określonej wartości pola magnetycznego. Stan końcowy, choć jest stanem własnym hamiltonianu H D, w ogólności nie musi być stanem własnym hamiltonianu jednoczastkowego i kontaktowego H 0 + H C. Dlatego też jednym z zadań całego rachunku było rozpisanie stanu końcowego w bazie stanów własnych hamiltonianu H 0 + H C. Każdy taki stan własny jest nadal sprzężony ze stanem podstawowym w polu rezonansowym. Jednak w przypadku, gdy energie własne tych stanów hamiltonianu H 0 + H C różnia się od siebie, wówczas rezonanse dipolowe pojawia się przy różnych wartościach pól magnetycznych. W zerowym przybliżeniu energia stanu końcowego, czyli stanu osiaganego w wyniku oddziaływania dipolowego, jest dana jako suma energii jednoczastko- wych. W kanale M z = 1 energia ta wynosi Ω +Ω z, zaś w kanale M z = jest równa Ω. Oczywiście to podejście pozwala jedynie w przybliżeniu oszacować położenie pola rezonansowego. By podać jego dokładna wartość trzeba uwzględnić oddziaływania kontaktowe. Efekty tych oddziaływań sa bardzo ważne. Człony kontaktowe nie tylko doprecyzowuja położenie rezonansów, ale także rozsuwaja energie różnych komponentów spinowych. Pojawia się przez to o wiele więcej rezonansów, co znaczaco wzbogaca strukturę rezonansowa. Do opisu siły oddziaływania dipolowego doskonale się nadaję energia własna stanu start o energii jednoczastkowej E 0 B: E sf B = i Di. 4. Ei B E 0 B + D i E i B to wartość własna dwuciałowego hamiltonianiu bez oddziaływań dipolowych, H 0 + H C + H Z Ψ i = E i B Ψ i, zaś Ψ i jest wektorem własnym odpowiadajacym wartości własnej E i B. Człon D i = start H D Ψ i jest elementem macierzowym hamiltonianu dipolowego.

55 Rozdział 4. Dynamika spinu 47 Energia własna jest więc miara wydajności sprzężenia między dwuczast- kowym stanem start a stanem pośrednim Ψ i. Wyrażenie 4. jest duże jedynie w obszarze rezonansu, gdzie: E i B res E 0 B res. 4.3 W rezonansie E sf B rez = D i. Poza rezonansem E sf B = 0. Postać energii własnej wynika głównie z tego, że każdy rezonans efektywnie jest układem dwupoziomowym Przejście dipolowe z M z = 1 We względnym układzie współrzędnych w kanale M z = 1 przestrzenna zależność najniższego stanu końcowego jest proporcjonalna do wyrazu z x + iy. W podejściu drugiej kwantyzacji taki stan można przedstawić jako wynik działania operatora v 1 na próżnie, gdzie v 1 = 1 [ p z p x + ip y s d xz + id yz ]. 4.4 Operator v 1 tworza jednocz astkowe operatory bozonowe, które s a przypisane stanom oscylatora harmonicznego: s kreuje czastkę w stanie podstawowym φ 00 x, yϕ 0 z, p x i p y kreuja czastkę w stanach powłoki p, odpowiednio w φ 10 x, yϕ 0 z i φ 01 x, yϕ 0 z, z kolei operatory d xz i d yz odpowiadaja stanom jeszcze wyższej powłoki d φ 10 x, yϕ 1 z i φ 01 x, yϕ 1 z. Funkcja ϕ 1 z to pierwszy stan wzbudzony w kierunku osiowym pułapki. Definicja operatora v 1 pozwala w sposób prosty zapisać stan z orbitalnym momentem pędu L z = 1. Pierwszy człon iloczynowy w 4.4 opisuje stan dwuczastkowy, gdzie jedna czastka posiada kwant wzbudzenia w kierunku osi pułapki, podczas gdy druga doświadcza wzbudzenia typu wir p x + ip y. Drugi człon w 4.4 opisuje stan, w którym jedna czastka zabiera pełne wzbudzenie, zaś druga pełni funkcje biernego obserwatora jej przestrzenna funkcja się nie zmienia.

56 Rozdział 4. Dynamika spinu 48 Operator v 1 pozwala określić tylko przestrzenn a część stanu z L z = 1 : L 1 = v Do pełnego opisu stanu końcowego brakuje części spinorowej. Mnożac L 1 przez całkowicie zsymetryzowany element spinora, tj. taki, w którym jeden atom jest w stanie spinowym m S = 3, a drugi w m S =, otrzymujemy następujac a postać stanu końcowego: F = L Warto zwrócić uwagę, że w stanie L 1 zawsze oddziaływania kontaktowe zni- RYSUNEK 4.6: Rezonans dipolowy z M z = 1 w pułapce harmonicznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnętrznego pola magnetycznego. Linia pozioma odpowiada energii stanu poczatkowego start dwa spolaryzowane atomy w stanie spinowym 3 3. W B = 0 jest to stan podstawowy. Drugim prezentowanym stanem jest najniżej leżacy stan wzbudzony L 1, który sprzęga się ze stanem start dzięki oddziaływaniom dipoldipol w kanale M z = 1 górny rysunek po prawej stronie. Widoczne tu antyprzecięcie jak i maksymalna wartość energii własnej górny rysunek po prawej stronie jest oznaka silnego sprzężenia między stanami bioracymi udział w rezonansie. Dwa dolne rysunki pokazuja zredukowane, jednoczastkowe macierze gęstości stanu L 1 w danym stanie spinowym diagonalne elementy macierzy dla magnetyzacji m S =. Po lewej stronie - przecięcie gęstości płaszczyzna xy w z = 1/ κ, po prawej stronie: przecięcie gęstości płaszczyzna xz w y = 0. kaja, gdyż r, r L 1 = 0. Dwuczastkowa funkcja falowa znika, gdy r 1 = r, a więc znika oddziaływanie krótkozasięgowe w tym stanie. Ta cecha sprawia, że L 1 pozostaje stanem własny hamiltonianu zarówno jednoczastkowego jak i hamiltonianu oddziaływania kontaktowego.

57 Rozdział 4. Dynamika spinu 49 W kanale M z = 1 istnieje efektywne sprzężenie między L 1 a stanem poczatkowym. Spełniony musi być tylko jeden warunek - równość energii stanów: poczatkowego dwa atomy w m S = 3 E start = U B oraz końcowego jeden atom w m S =, a drugi w m S = 3 E L1 = Ω + Ω z + + 3B. W takiej sytuacji wartość rezonansowego pola magnetycznego powinna wynosić: B res = Ω z + Ω U 33. U 33 = g 6 /8 Ω Ω z/π 3 to energia oddziaływania kontaktowego dwóch atomów w stanie podstawowym oscylatora harmonicznego w składniku spinowym m S = 3. Stan L 1 ma jeszcze jedna ciekawa właściwość. Mianowicie jest stanem własnym H 0 + H C nawet w pojedynczym oczku kwadratowej sieci optycznej, czyli gdy obecna jest anharmoniczność. W takim potencjałe kierunek z separuje się niezależnie od współędnych x i y. To powoduje, że w kanale M z = 1 stany d xz i d yz nie tylko sa separowalne, ale ich energie jednoczastkowe to tak naprawdę suma energii z pasma p. Zatem oba składniki tworzace L 1 pierwszy składnik - dwie czastki wzbudzone jednokrotnie, drugi składnik - jedna czastka wzbudzona podwójnie, druga niewzbudzona sa zdegenerowane. Nie zmieni tego nawet anharmoniczność, która choć przesuwa energie stanów d xz i d yz, to robi to w sposób identyczny. Jeśli jednak energie orbitali p x i p y w tym także d xz i d yz sa różne, to uwaga poczyniona w poprzednim akapicie będzie nieprawdziwa. Stan L 1 stanie się wtedy superpozycja dwóch stanów o różnych energiach. To spowoduje, że każdy ze stanów będzie osiagalny w zupełnie innym polu magnetycznym. W rezultacie pojawia sia dwa rezonanse. Wszystkie prezentowane wyniki i wnioski sa poparte numeryczna diagonalizacja całkowitego hamiltonianu w bazie oscylatorowej lub bazie Wanniera. Odwołujac się jedynie do niskoenergetycznych wzbudzeń, poszukiwałam stanów dipolowo sprzężonych ze stanem start. Rys.4.6 przedstawia energie własne dwóch stanów hamiltonianu, a antyprzecięcie jest oznaka dipolowego sprzeżenia między tymi stanami. Na dole rysunku widać jednoczastkowe gęstości w komponencie spinowym m S = przecięcie wzdłuż xy i xz. W płaszczyźnie z = 0 można zauważyć zerowanie się funkcji falowej - jest to charakterystyczne dla pierwszego stanu wzbudzonego w kierunku osi z. Jeśli chodzi o gęstość jednoczastkow a, to z pewnościa nie ma ona postaci wiru jednoczastkowego, co mógłby sugerować zapis stanu L 1 we współrzędnej względnej. Stan L 1 w przestrzeni dwuczastkowej jest tworzony przez zbyt wiele innych stanów, by móc spodziewać się zera gęstości w środku pułapki w przecięciu płaszczyzna z.

58 Rozdział 4. Dynamika spinu 50 Prawa strona górnej części Rys.4.6 przedstawia energię własna stanu poczatkowego w polu magnetycznym. Wysokość piku w rezonansie odzwierciedla wartość elementu dipolowego, dzięki któremu dwa stany sa sprzęgnięte Przejście dipolowe z M z = Pułapka harmoniczna W tym rozdziale omówię kolejny proces dipolowy. Zajmę się przypadkiem, w którym dwa oddziałujace atomy równocześnie zmieniaja swój stan spinowy 3 3 przechodzac do stanu. W swojej analizie zakładam, że dwa atomy chromu 5 Cr znajduja się w pułapce harmonicznej, opisanej równaniem 4.0. W takim układzie, w obecności oddziaływań dipolowych rozważam transfer atomów między różnymi stanami spinowymi. Przestrzenna część funkcji falowej najniższego stanu końcowego jest proporcjonalna do wyrazu x + iy. Jest to konsekwencja natury oddziaływań oraz stanu poczatkowego. Dzięki prostej formie funkcji falowej w zmiennych względych łatwo dostrzec, że stan ten charakteryzuja dwa kwanty orbitalnego momentu pędu L z =. Nadmieniam tu, że obliczenia sa prowadzone w bazie dwuczastkowej. Przez stan z dwoma kwantami orbitalnego momentu pędu L z =, będę teraz rozumiała stan kreowany przez dwuczastkowy operator v : v = [ 1 s d xx + i d xy d yy p x + i p xp y p y ]. 4.7 Bazę wcześniej zdefiniowanych operatorów s i p rozszerzam o kolejna grupę: d xx, d yy i d xy. Każdy z tych operatorów tworzy czastkę w drugim stanie wzbudzonym oscylatora harmonicznego, w stanie opisanym odpowiednio funkcja falowa: φ 0 x, y ϕ 0 z, φ 0 x, y ϕ 0 z i φ 11 x, y ϕ 0 z. Pierwsza linijka w 4.7 opisuje sytuacje, gdy jedna czastka znajduje się w stanie podstawowym s, zaś druga w stanie wzbudzonym powłki d z dwoma kwantami orbitalnego momentu pędu. Druga linijka w 4.7 odpowiada sytuacji, gdy każda z czastek jest w tym samym stanie wzbudzonym z jednym kwantem orbitalnego momentu pędu.

59 Rozdział 4. Dynamika spinu 51 Powinnam podkreślić, że wybrane przeze mnie operatory s, p x, p y, d xx, d yy, d xy rozpinaja przestrzeń, która jest wystarczajaca, by opisać najniższy rzad procesu dipolowego w kanale M z =. Oczywiście pełnym opisem stanu końcowego jest iloczyn części przestrzennej i spinowej. Dlatego stan podstawowy należy uzupełnić o człon 3 3, zaś stan końcowy o. W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń dynamikę spinu inicjuja wyłacznie dipolowe oddziaływania. W drugim rzędzie rachunku zaburzeń gdy atomy sa już w stanie dynamika spinu może być wywołana zarówno dipolowo jak i poprzez zależne od spinu oddziaływania kontaktowe. Ponieważ oddziaływania kontaktowe swa wartościa dominuja nad dipolowymi odziaływaniami, dlatego indukuja transfer spinu ze stanu do stanu /. Istnieje doświadczalna metoda, która pozwala odstroić światłem przejście do symetryzowanego stanu 3 1. Na chwilę wykorzystam ten argument, by zaniedbać zderzenia kontaktowe przerzucajace dwa atomy do stanu z przestrzeni spinowej 3 1. Diagonalizuję więc całkowity hamitonian 4.16 w bazie stanów dwuczastko- wych opisanych za pomoca jednoczastkowych operatorów s, p, d w dwóch przestrzeniach spinowych m S = 3 i m S = dla różnych wartości zewnętrznego pola magnetycznego. Wyniki numeryczne i fizyczny obraz tych wyników można wytłumaczyć w oparciu o rachunek zaburzeń traktujac oddziaływanie dipolowe jako małe zaburzenie. Wynikiem diagonalizacji hamiltonianu H 0 + H Z + H C jest stan L : L = v Najbardziej zaskakuje tu fakt, że w tym stanie znika energia kontaktowa. Okazuje się, że jest to cecha samego potencjału harmonicznego, która mocno determinuje dynamikę spinu w pułapce harmonicznej. Jednak tę myśl rozwinę nieco później. Energia stanu końcowego E L = Ω + B rez w odpowiednio dobranym polu magnetycznym jest równa energii stanu poczatkowego E start = U B rez. Pole, w którym dochodzi do tej sytuacji, to B res = Ω U 33 /. Ku wyjaśnieniu: U 33 = g 6 /8 Ω Ω z/π 3 jestenergia oddziaływania kontaktowego dwóch atomów w stanie spinowym m S = 3 i stanie podstawowym potencjału harmonicznego. Taka postać stanu L sprawia, że istnieje niezerowe sprzężenie ze stanem poczatkowym D = L h + start 0. Co więcej diagonalizacja hamiltonianu z uwzględnieniem już członu dipolowego pokazała, że L jest tak naprawdę jedynym stanem, który sprzęga się ze stanem poczatkowym. Z tego powodu

60 Rozdział 4. Dynamika spinu 5 RYSUNEK 4.7: Rezonans dipolowy z M z = w pułapce harmonicznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnętrznego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energię stanu start gdzie dwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym 3 3. W B = 0 jest to stan podstawowy. Druga linia odpowiada energii stanu L. jest to jedyny niskoleżacy stan wzbudzony, który sprzęga się ze stanem start dzięki oddziaływaniom dipol-dipol w kanale M z =. Antyprzecięcie w energiach jak i maksimum w energii własnej prawy górny rysunek świadcza o silnym sprzężeniu między stanami bioracymi udział w rezonansie. Dolny rysunek pokazuje zredukowana, jednoczastkow a gęstość stanu L w płaszczyznie xy. można powiedzieć, że w samym rezonansie istnieje efektywnie dwupoziomowy układ stanów start i L. Na Rys.4.7 pokazano energie obydwu stanów. Antyprzecięcie w obszarze rezonansowego pola magntycznego B res jest konsekwencja sprzężenia tych stanów. Oczywiście w badanym układzie istnieje znacznie więcej stanów wzbudzonych, które sprzegaja się ze stanem podstawowym za pomoca oddziaływania dipolowego. Nie uwzględniam ich jednak w swej bazie. Koncentruje się bowiem na najniższym wzbudzonym stanie. W prawym górnym rogu Rys.4.7 pokazano energię własna stanu poczatko- wego start w funkcji pola magnetycznego. W obszarze rezonansu energia E start osiaga maksimum. Kształtem przypomina to pik, którego wysokość jak i szerokość jest miara sprzężenia dipolowego D. Słabość oddziaływania dipolowego sprawia, że tylko precyzyjny wybór pola magnetycznego pozwala dostroić się do wspomnianego wyżej rezonansu. Gdy to jednak nastapi atomy zaczna oscylować między dwoma stanami z częstościa Rabiego, zmieniajac tym samym obsadzenie obydwu stanów.

61 Rozdział 4. Dynamika spinu 53 Jednoczastkow a gęstość w składniku spinowym m S = dla stanu L prezentuje dolna część Rys.4.7. W środku pułapki widać tylko niewielkie minimum, gdyż L nie jest stanem z dwoma kwantami orbitalnego momentu pędu w przestrzeni pojedynczej czastki. Jest to wir we współrzędnej względnej dwóch czastek. Jeśli - hipotetycznie - w jakiś sposób otrzymać podwójnie okupowany wir p x1 + i p y1 px + i p y, to taki stan zawierałby wzbudzenie środka masy. W przypadku dwuciałowych oddziaływań, w pułapce harmonicznej taki scenariusz jest w ogóle niemożliwy. Na końcu tego podrozdziału chciałabym powrócić do uwagi na temat znikania oddziaływań kontaktowych w stanie L, tj. U = g L δr 1 r L = 0, gdzie g = 6g 6 + 5g 4 /11. Zerowa wartość U wynika z zerowania się dwuciałowej funkcji falowej, jeśli tylko r 1 = r. Analogicznie jest z oddziaływaniem kontaktowym, które odpowiada za transfer typu: jeden atom w składniku m S = 3, a drugi w m S = 1, tj. U,31 = g,31 L δr 1 r L = 0, gdzie g,31 = 30/11g 6 g 4. W harmonicznej, osiowo-symetrycznej pułapce dynamika spinu oparta na zależnych od spinu zderzeniach kontaktowych jest całkowicie zabroniona. Nie trzeba więc martwić się o ewentualny transfer do pozostałych stanów spinowych. Okazuje się, że własność pułapki harmonicznej samoistnie temu zapobiega, co stoi w sprzeczności do eksperymentu wykonanego przez grupę z Francji [15] z atomami chromu w sieci optycznej. Mój teoretyczny rachunek jasno wskazuje, że stosowane do sieci optycznej przybliżenie harmoniczne, nie opisuje wystarczajaco dobrze dynamiki spinu w cytowanym artykule. Z tego powodu efekty widziane w doświadczeniu winny być tłumaczone nieco dokładniej Pułapka anharmoniczna Ten podrozdział jest próba zrozumienia jaki wpływ na dynamikę spinu w kanale z M z = ma anharmoniczność. By wyjaśnić tę kwestię rozważę modelowy potencjał - pułapkę anharmoniczna o symetrii osiowej. Jeśli dokładnie przyjrzeć się rozwinięciu potencjału sieci optycznej zwłaszcza jego wyższym członom, to widać, że potencjał nie jest ani harmoniczny, ani osiowy: V r = V 0 ρ 1 3 V 0ρ 4 + κ z V 0x y, 4.9

62 Rozdział 4. Dynamika spinu 54 gdzie ρ = x + y. Człon ρ 4 wprowadza anharmoczniność, zaś ostatni człon jest odpowiedzialny za łamanie osiowej symetrii. Chciałabym więc odseparować udział anharmoniczności i anizotropii w procesie dynamiki spinu. Najprostszym krokiem jest zaniedbanie ostatniego członu w 4.9, dzięki czemu potencjał będzie osiowy i anharmoniczny: V r = V 0 ρ 1 3 V 0ρ 4 + κ z O tym jak duża jest anharmoniczność decyduje stosunek energii anharmonicznej do harmonicznej na typowej odległości ρ 0. Stosunek ten wynosi: γ = 1 3 ρ 0. Parametr ρ 0 jest promieniem funkcji falowej stanu podstawowego, z definicji: ρ 0 = 1/ Ω, gdzie Ω = V 0 jest częstościa radialna w potencjale harmonicznym. Główna cecha potenciału anharmonicznego jest brak równoodległych poziomów energetycznych. Z tego powodu stan L przestaje być stanem własnym hamiltonianu H 0 + H Z + H C. RYSUNEK 4.8: Rezonans dipolowy z M z = w pułapce anharmonicznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnętrznego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energię stanu start gdzie dwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym 3 3. W B = 0 jest to stan podstawowy. Na rysunku pokazano dodatkowo niskoenergetyczne stany wzbudzone, które sprzęgaja się ze stanem start poprzez oddziaływania dipol-dipol. Dwa antyprzecięcie w energiach jak i dwa maksima w energii własnej środkowy rysunek sa symbolem sprzężenia dipolowego w obszarze rezonansowego pola magnetycznego. Dolny rysunek przedstawia zredukowane, jednoczastkowe gęstości stanów końcowych osiaganych w kanale M z =. Odpowiadaja one kolejnym rezonansowym wartościom pola widocznym na środkowym rysunku.

63 Rozdział 4. Dynamika spinu 55 By skonstruować dwuciałowe stany własne w potencjale anharmonicznym, najpierw musiałam znaleźć stany jednoczastkowe na powłokach s, p i d. Do tego celu wykorzystałam rachunek numeryczny. Majac już te stany jednoczastkowe przystapiłam do skonstruowania stanów dwuczastkowych, ale takich, które składaja się na stan L. Następnie w tak dobranej bazie zdiagonalizowałam pełen hamiltonian. Przy dwóch wartościach pól magnetycznych, znalazłam stany: v a1 i v a, do których następował dipolowy transfer atomów. Widać to jako antyprzecięcie poziomów energetycznych Rys.4.8. Każdy rezonans to efektywnie układ dwupoziomowy, w którym atomy oscyluja między stanem start i jednym ze stanów rezonansowych, tj. v a1 albo v a. Dolna część Rys.4.8 prezentuje jednoczastkowe macierze gęstości stanów końcowych dla wysokości bariery V 0 = 5 E R. Należy tu zaznaczyć, że gęstość stanu v a tylko pozornie przypomina charakterem wir gęstość nie osiaga zera w środku pułapki. Środkowa część Rys.4.8 to energia własna stanu start w funkcji pola B. W punkcie rezonansu energia ta osiaga maksimum. Wyniki numeryczne prosto tłumaczy rachunek zaburzeń, gdzie małym parametrem jest energia dipolowa. Otóż stan L to superpozycja dwóch stanów: L = 1 v d v p, 4.31 gdzie stan v d z powłoki d ma postać: v d = 1 [ s d xx + i d xy d yy ] 0, 4.3 z kolei stan v p jest stanem z powłoki p: v p = 1 [p x + i p xp y p y ] W powyższych wyrażeniach 4.3 i 4.33 ponownie występuja operatory s, p, d, ale ich znaczenie jest zgoła inne niż tych operatorów w pułapce harmonicznej. Choć używam tego samego oznaczenia, to obecne operatory s, p, d kreuja czastkę w stanach jednoczastkowych, ale w pułapce anharmonicznej. Z powodu anharmoniczności stany v p i v d maja różne energie. Niemniej oba nadal sa nadal stanami własnymi z-owej składowej orbitalnego momentu pędu. Stan v d to stan, w którym jedna czastka jest w przestrzennym stanie podstawowym, zaś druga w stanie wzbudzonym na powłoce d z L z =.

64 Rozdział 4. Dynamika spinu 56 Stan v p jest z kolei stanem, w którym obydwa atomy okupuja ten sam stan orbitalny z L z = 1 na powłoce p. Oczywiście w pułapce harmonicznej oba wyróżnione stany maja identyczne energie. W obecnie rozważanej pułapce, anharmoniczność rozsuwa te energie, a tym samym pozwala rozróżnić poszczególne człony stanu L. Stosujac rachunek zaburzeń z małym parametrem γ, można oszacować, ile wynosi względna zmiana energii δe tych stanów: δe = γω Energia stanu v d jest oczywiście mniejsza niż energia stanu v p. Dodatkowo oba stany v d i v d oddziałuja kontaktowo: U = g 16π 3/ Ωz Ω, 4.35 gdzie g = 6g 6 + 5g 4 /11. Dlatego też prawdziwe wektory własne i energie własne układu musza być rozwiazaniami problemu własnego: Powstaja więc następujace superpozycje: δe U α a = ε a α a U 0 v a1 = α a v d β a v p i v a = β a v d + α a v p. β a Gdy wartość oddziaływania kontaktowego znaczaco przekroczy rozszczepienie energii U można zaniedbać: >> δe/, czyli jeśli rozszczepienie w wyniku anharmoniczności V 0 >> 56 9 π 3 β a g Ω z, 4.37 wówczas można osiagn ać taki reżim parametrów, dla których odzyskiwana jest harmoniczność układu, co szczegółowo opiszę poniżej. Oznacza to, że w procesie dynamiki spinu będzie uczestniczyć tylko jeden stan końcowy jak to miało miejsce w podrozdziale [4..4]. W tym kontekscie ważna jest rola częstości osiowej pułapki Ω z. Okazuje się, że w potencjale o geometrii cygara kształt wydłużony owe odzyskiwanie harmoniczności następuje znacznie wolniej w porównaniu z potencjałem o geometrii spłaszczonej. W obecnym przypadku, gdy Ω z = 16 E R, efekt anharmoniczności może być zaniedbany przy bardzo dużych wysokościach V 0 >> 9 E R. Wektory własne hamiltonianu będa wówczas miały postać: v a1 v d v p /

65 Rozdział 4. Dynamika spinu 57 i v a v d + v p /. Wektor własny v a1 będzie odpowiednikiem stanu rezonansowego z pułapki harmonicznej, zaś drugi stan, v a, przestanie wogóle być osiagalny. Stan v a zawiera w sobie wzbudzenie środka masy, a taki typ wzbudzenia nie występuje w przypadku pułapki harmonicznej. Wobec tego oddziaływanie dipolowe sprzęgajace ten stan ze stanem podstawowym znika. Sprawdziłam, że nawet przy V 0 = 40 E R co z punktu widzenia eksperymentu oznacza bardzo głęboka sieć, anharmoniczność nie może być zaniedbana. Warto poświęcić chwilę na omówienie tej kwestii - w jaki sposób harmonicz D 1 D E R 4 D V 0 E R RYSUNEK 4.9: Sprzężenie dipolowe D 1 do stanu rezonansowego v a1 oraz D do stanu rezonansowego v a w funkcji wyskości bariery. ność w układzie jest odzyskiwana. Mocnym dowodem na to, że tak się dzieje, jest silne sprzężenie tylko do jednego stanu rezonansowego, który wzbudza się w pułapce harmonicznej. W pułapce anharmonicznej wraz ze wzrostem wysokości bariery, zwiększa się odległość między dwoma rezonansami. Dipolowe elementy macierzowe, które odpowiadaja rezonansom, skaluja się odpowiednio: D 1 = v a1 H D ini V 1/ 0, zaś D = v a H D ini δe daży do stałej nie zależy od V 0, Rys.4.9. Przy bardzo wysokich barierach stosunek D /D 1 staje się bardzo mały i wobec tego wnioskuję, że tylko jeden ze stanów v ai sprzęga się rezonansowo przez oddziaływania dipolowe. Jesli zachodzi warunek U << δe/, to można zaniedbać oddziaływania kontaktowe. Stany własne układu sa wtedy przybliżane przez v a1 v d i v a v p. Gęstość jednoczastkowa stanu v a sugeruje, że jest to dobry stan, by obserwować w nim efekt EdH, gdyż w stanie końcowym obie czastki sa w

66 Rozdział 4. Dynamika spinu 58 tym samym stanie przestrzennym, odpowiadajacym wirowi. Przypadek pokazany na Rys.4.8 odpowiada sytuacji, gdy δe U. Do tego momentu zaniedbywałam oddziaływania kontaktowe zależne od spinu. Gdyby jednak nie stosować tego założenia, to oprócz dipolowego transferu spinu do stanu, należałoby uwzględnić dalszy kontaktowy proces dynamiki spinu, tj Uproszczony obrazek kontaktowego transferu Po pierwsze załóżmy, że oddziaływania kontaktowe nie sa w stanie istotnie zmienić dwuczastkowej funkcji falowej ze względu na zachowanie energii. Wobec tego v a1 i v a stany własne hamiltonianu kontaktowego z podprzestrzeni posiadaja swoje przestrzenne repliki funkcji w podprzestrzeni spinowej 3 1. Energie jednoczastkowe tych stanów sa oczywiście takie same. Jedyna odmienność stanowi fakt, że stan v ai jest sprzężony ze stanem v ai / g,31 v ai δr 1 r v ai, gdzie i = {1, }. poprzez człon kontaktowy Ten cały opis jest jednak uproszczony, gdyż w każdym stanie spinowym sa jeszcze oddziaływanie kontaktowe. W podprzestrzeni energia oddziaływania kontaktowego jest proporcjonalna do wyrazu g = 6g 6 + 5g 4 /11, a w podprzestrzeni 3 1 do g 31 = 5g 6 + 6g 4 /11. Ma to swój wpływ chociażby na wektory własne, bowiem nieco inne wektory diagonalizuja hamiltonian kontaktowy w podprzestrzeni spinowej 3 1 a jeszcze inne hamiltonian z podprzestrzeni. Wobec tego różnica energii kontaktowych między danymi podprzestrzeniami spinowymi wynosi g g 31 = g,31 / 30. Jest ona 30 razy mniejsza od członu g,31 - energii kontaktowej sprzęgajacej obydwie podprzestrzenie spinowe. Dokładny opis transferu kontaktowego jest bogatszy, niemniej jednak chcę zauważyć, że cała dyskusja w oparciu o uproszczony obrazek oddaje jakościowo ideę procesu oraz liczbę rezonansów. Dokładny opis transferu kontaktowego By właściwie podejść do problemu, należy rozważyć wektory v d i v p zarówno w jednej jak i w dugiej przestrzeni spinowej. Dalszy etap rachunku sprowadza się potem do zdiagonalizowania macierzy 4 4. Stany własne takiego układu to superpozycje stanów o różnej magnetyzacji. Jeśli wartości zewnętrznego pola magnetycznego zostana odpowiednio dobrane, wówczas każdy z czterech stanów rezonansowych ma szanse być realizowalny doświadczalnie.

67 Rozdział 4. Dynamika spinu 59 RYSUNEK 4.10: Rezonans dipolowy z M z = w pułapce anharmonicznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnętrznego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energię stanu start gdzie dwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym 3 3. W B = 0 jest to stan podstawowy. Dodatkowe linie odpowiadaja niskowzbudzonym stanom, które sa sprzężone ze stanem start dzięki oddziaływaniom dipolowym jak i zależnym od spinu oddziaływaniom kontaktowym. Uwzględniono tu bowiem oddziaływania kontaktowe, które sprzęgaja podprzestrzenie spinowe oraz Cztery antyprzecięcia w energiach jak i cztery maksima w energii własnej środkowy rysunek świadcza o istnieniu sprzężenia dipolowego i kontaktowego w obszarze rezonansowego pola magnetycznego. Cztery dolne rysunki to zredukowane, jednoczastkowe gęstości stanów końcowych odpowiadajace kolejnym rezonansom dipolowym i zależnym od spinu kontaktowym - prezentowanym w środkowym rysunku. Rys.4.10pokazujeczteryrezonanseprzywysokościsiecioptycznej V 0 = 5 E R. Z każdym rezonansem jest stowarzyszona jednoczastkowa gęstość rysowana w składniku spinowym najniższa część rysunku. Przy małych wartościach pól magnetycznych, dwa pierwsze rezonansowe stany końcowe sa zdominowane przez stan orbitalny v d bez względu na podprzestrzeń spinowa. Stan v d składa się głównie z kombinacji stanów powłoki d oraz stanu podstawowego pułapki s. Duży wkład pochodzacy od stanu s powoduje, że w jednoczastkowej macierzy gęstości w środku pułapki gęstość jest duża. W dwóch kolejnych rezonansach, uzyskane przy większych wartościach pól magnetycznych stany końcowe sa zdominowane przez wzbudzenia z pasma p. To tłumaczy, dlaczego w środku pułapki, w dwóch ostatnich jednoczastkowych gęstościach występuje minimum.

68 Rozdział 4. Dynamika spinu 60 Jeszcze raz pragnę podkreślić, że nawet mała anharmoniczność może w sposób znaczacy zmodyfikować dynamikę spinu. Przypadek pułapki harmonicznej pokazał jeden rezonans, w którym dwa atomy oscylowały w rezonansowym polu magnetycznym B res między stanami start 3 3 i L. Przestrzenna część stanu końcowego L miała niezerowy orbitalny moment pędu L z =, bez wzbudzeń środka masy. W pułapce anharmonicznej można mówić o czterech rezonansach. Zgodnie z wynikami z podrozdziału 4.1 dynamika spinu w układzie dwuatomowym może zachodzić w obrębie trzech przestrzeni spinowych m s = {3,, 1}. W pułapce anharmonicznej każda przestrzenna funkcja falowa odpowiadajaca danemu rezonansowi, nadal pozostaje stanem własnymi operatora orbitalnego momentu pędu. Jednak w przeciwieństwie do pułapki harmonicznej, stanów rezonansowych jest więcej i dodatkowo maja one wzbudzony środek masy Pojedyncze oczko kwadratowej sieci optycznej Przejdę wreszcie do kluczowej części całego rozdziału. Przedyskutuję problem dynamiki spinu dwóch atomów w warunkach realistycznych, a mianowicie w oczku kwadratowej sieci optycznej. Kształt pojedynczego oczka cechuje: anizotropia i anharmoniczność. W moich rachunkach maja one szczególne znaczenie, gdyż mocno modyfikuja obrazek rezonansowy. Dla porzadku powtórzę jeszcze raz cel i kolejne kroki mojego rachunku. Poszukuję takiego stanu dwuczastkowego, który sprzęga się ze stanem poczatkowym start 3 3 za sprawa oddziaływań dipolowych. Stan ten powinien być stanem własnym dla sumy hamiltonianów H 0 + H Z + H C. Wybór bazy jest oczywiście kluczowy. W odróżnieniu od poprzednich typów pułapek harmonicznej i anharmonicznej, gdzie posługiwałam się baza funkcji oscylatorowych, teraz wybieram bazę funkcji Wanniera. Jak poprzednio zakładam, że funkcja falowa stanu poczatkowego znajduje się w stanie podstawowym oscylatora harmonicznego w kierunku z. Dla czytelności przedstawianych wyników ominę pisanie zależność od z. Zaznaczam jednak, że w rachunkach brałam pod uwagę pełne trójwymiarowe stany jednoczastkowe. Ograniczam się do trzech pasm w pułapce. Z nich wybieram stany odpowiednie do opisu najniżej leżacego stanu wzbudzonego z L z =. Poprzednio zdefiniowany Operator dwuczastkowy v, zdefiniowany w 4.7, kreuje taki stan wirowy. Co prawda zmianie uległy znaczenia operatorów jednoczastkowych,

69 Rozdział 4. Dynamika spinu 61 tj. s, p x, p y, d xx, d yy, d xy. Dotychczas te operatory kreowały czastkę w stanach oscylatora harmonicznego. Obecnie, w przypadku sieci optycznej, tworza one czastkę w stanach Wanniera. Na przyklad: s kreuje czastkę w stanie Ψ 00 = W 0 xw 0 y, d xx kreuje czastkę w stanie Ψ 0 = W xw 0 y, d xy kreuje czastkę w stanie Ψ 11 = W 1 xw 1 y, itd. Dla wygody postanowiłam wprowadzić nieco inne uporzadkowanie w członach budujacych stan L : gdzie: L = v 1 + v + v 3, 4.38 v 1 = 1 v = 1 v 3 = i s d xx d yy 0, 4.39 p xp x p yp y 0, 4.40 s d xy p xp y Kryterium podziału stanowiły energie jednoczastkowe w sieci. Wkład od jednoczastkowych energii do całkowitej energii stanów v 1, v i v 3 można zapisać jako: E 1 = E s +E d, E = E p, E 3 = E. Z powodu symetrii układu D 4, dwa ostatnie stany maja równe energie. Nadmieniam, że anharmoniczność odpowiada za nierówność energii E 1 < E. Cecha charakterystyczna w stanie v 3 jest znikanie kontaktowych oddziaływań. Na podobnej zasadzie znikaja też oddziaływania kontaktowe między v 3 a pozostałymi stanami w sieci. W rezultacie v 3 jest stanem własnym dwuciałowego hamiltonianu H 0 + H Z + H C. Inaczej prezentuje się sprawa z wektorami v 1 i v. Stany te oddziałuja kontaktowo, a ich liniowe superpozycje diagonalizuja hamiltonian kontaktowy. Potwierdza to rachunek numeryczny. Transfer spinu ma miejsce dla trzech różnych wartości pól magnetycznych Rys Każdy taki rezonans obrazuje sprzężenie dipolowe stanu poczatkowego z niskoleżacym stanem końcowym. Antyprzecięcia między energiami sa objawem tego sprzężenia. Pod każdym rezonansem widać odpowiednio: jednoczastkowe gęstości stanów końcowych dolna część Rys.4.11 oraz energię własna stanu poczatkowego środkowa część Rys Z wykresu energii własnej można odczytać zarówno wartość sprzężenia jak i szerokość samego rezonansu. Warto przypomnieć, że w osiowosymetrycznej pułapce harmonicznej, wszystkie trzy rezonanse współtworza we współrzędnej względnej jeden stan z orbitalnym momentem L z =.

70 Rozdział 4. Dynamika spinu 6 RYSUNEK 4.11: Rezonans dipolowy z M z = w pojedynczym oczku sieci optycznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnętrznego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energię stanu start gdzie dwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym 3 3. W B = 0 jest to stan podstawowy. Dodatkowe linie odpowiadaja niskowzbudzonym stanom, które sa sprzężone ze stanem start dzięki oddziaływaniom dipolowym. Trzy antyprzecięcia w energiach jak i trzy maksima w energii własnej środkowy rysunek świadcza o istnieniu sprzężenia dipolowego w obszarze rezonansowego pola magnetycznego. Trzy dolne rysunki to zredukowane, jednoczastkowe gęstości stanów końcowych odpowiadajace kolejnym rezonansom dipolowym - prezentowanym w środkowej części. Rozszerzenie rachunku o kolejna przestrzeń spinowa tzn. 3 1 znacznie wzbogaca dynamikę spinu. Bazowe funkcje falowe odpowiadajace wektorom v 1 i v sa identyczne w obydwu podprzestrzeniach. Sytuacja jest analogiczna do tej, dyskutowanej w pułapce anharmonicznej. Ponownie mamy do czynienia z problemem własnym 4 4. Rozwiazaniami w tym wypadku sa cztery różne wektory własne zwiazane zarówno spinowymi stopniami swobody jak i poprzez przestrzenne funkcje falowe. W pojedynczym oczku sieci wliczajac stan v 3 mam więc pięć niskoenergetycznych stanów, dipolowo sprzężonych ze stanem podstawowym. Na dodatek stan v 3 nie zmienia się w wyniku oddziaływania kontaktowego. Jego położenie wyznaczaja jedynie jednoczastkowe energie pasm. Rezonans adresowany za pomoca tego stanu jest widoczny w kolejności jako trzeci u góry Rys.4.1. Pozostałe cztery rezonanse, które także sa dowodem istnienia sprzężenia dipolowego ze stanem start, zostały otrzymane w wyniku numerycznej diagonalizacji hamiltonianu H 4.16 w bazie funkcji Wanniera. Jednoczastkowe macierze gęstości tych stanów widać u dołu Rys.4.1.

71 Rozdział 4. Dynamika spinu 63 RYSUNEK 4.1: Rezonans dipolowy z M z = w pojedynczym oczku sieci optycznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnętrznego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energię stanu start gdzie dwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym 3 3. W B = 0 jest to stan podstawowy. Dodatkowe linie odpowiadaja niskowzbudzonym stanom, które sa sprzężone ze stanem start dzięki oddziaływaniom dipolowym jak i zależnym od spinu oddziaływaniom kontaktowym. Uwzględniono tu bowiem oddziaływania kontaktowe, które sprzęgaja podprzestrzenie spinowe oraz Pięć antyprzecięć w energiach jak i pięć maksim w energii własnej środkowy rysunek świadczy o istnieniu sprzężenia dipolowego i kontaktowego zależnego od spinu, w obszarze rezonansowego pola magnetycznego. Pięć dolnych rysunków to zredukowane, jednoczastkowe gęstości stanów końcowych odpowiadajace kolejnym rezonansom dipolowym i zależnym od spinu kontaktowym - prezentowanym w środkowej części Porównanie z eksperymentem I Rezonansowa demagnetyzacja w układzie ze spolaryzowanymi atomami 5 Cr w stanie spinowym m S = 3 w sieci optycznej niedawno została doświadczalnie zaobserwowana w [16]. Proces tego typu sa inicjowane przez oddziaływania dipolowe. W tym rozdziale chciałabym odnieść się do wyników eksperymentalnych z [16] i pokazać własne, teoretyczne obliczenia przy użyciu realistycznych parametrów. Geometria sieci w [16] była dość skomplikowana z powodu nietypowego ustawienia wiazek laserowych. Dlatego też geometria sieci, na której opiera się moja cała analiza, nie jest idealnym odzwierciedleniem sytuacji eksperymentalnej. Wysokość bariery w płaszczyznie horyzontalnej jest równa V 0 = 5 E R, co sugeruje, że układ jest w fazie izolatora Motta z dwoma atomami na oczko. Choć w realnym układzie, w pojedynczym oczku pojawiaja się czasem trzy lub więcej

72 Rozdział 4. Dynamika spinu Energia wlasna Er Energia wlasna Er Magnetic field khz m=3 atom number m=3 atom number RYSUNEK 4.13: Wyniki prezentowane w górnym panelu odpowiadaja sytuacji, gdy pole magnetyczne jest ustawione wzdłuż osi y, wyniki w dolnym panelu direction - gdy pole magnetyczne jest w kierunku osi x. atomów, postanowiłam zaniedbać tunelowanie. W rzeczywistości we wzbudzonych stanach Wannier tunelowanie prowadzi do znaczacego poszerzenia rezonansów i jest większe niż energia oddziaływania dipolowego. Niemniej jednak liczba rezonansów i ich położenie nie zależy od tunelowania. Zaniedbanie tunelownaia było najważniejszym przybliżeniem w moim rachunku. W płaszczyznie horyzontalnej osie główne oczka sa nieco obrócone względem linii łacz acych poszczególne minima oczek. Każde oczko sieci jest anizotropowe ω x /π = khz, ω y /π = 555 khz i ω z /π = khz. Wszystkie częstości sa podane w przybliżeniu harmonicznym. Potencjał uzyskany w doświadczeniu nie jest separowalny, dlatego nie można przybliżyć go przez sumę kwadratów funkcji sinus - jak to ma miejsce w moich badaniach. Widać to zwłaszcza, gdy rozwiniać potencjał wokół jednego z jego minimów. Otóż w doświadczalnym potencjale występuja nie tylko człony kwadratowe, ale oprócz nich pojawiaja się także człony 3-ciego stopnia. Z kolei w rozwinięciu potencjału: sin występuja co prawda człony stopnia drugiego i czwartego, ale brak jest członów stopnia trzeciego. Ze względu na fluktuacje potencjału sieci doświadczalnej, precyzja w dopasowaniu potencjału teoretycznego nie jest celowa. W tym rozdziale postaram się jedynie zrobić oszacowanie

73 Rozdział 4. Dynamika spinu 65 wyników eksperymentalnych opierajac się na najlepszym z możliwych przybliżeń trójwymiarowej sieci optycznej przez potencjał separowalny. Przyjęłam następujac a formę potencjału: V x, y, z = V 0 [ sin k x x + sin k y y ] + V z sin k z z, 4.4 gdzie V 0 = 5 i k z = 1. Pozostałe parametry k x, k y oraz V z wybrałam tak, aby odpowiadały częstościom eksperymentalnym, tj. ω x = k x V0, ω y = k y V0, ω z = V z. Zakres pola magnetycznego w [16] wyznacza ogranicznie dla częstości Larmora ω L = g s µ B B < π 00 khz, a przez to więc ograniczenie na ilość wzbudzonych stanów orbitalnych, osiagalnych poprzez oddziaływania dipolowe. Stany dwuczastkowe ponumerowano ilościa wzbudzeń kwantowych N x, N y, N z. Reguły wyboru tych stanów wynikały z hamiltonianu dipolowego. Gdy pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż osi z, obowiazuje zasada: M = 1, wtedy N x i N z sa nieparzyste, N y - parzyste lub N y i N z sa nieparzyste, N x - parzyste. M =, wtedy N x + N y jest parzyste, N z - parzyste Jeśli energia tych stanów spełnia zależność E fin = N x ω x + N y ω y + N z ω z E R < π 400 khz, 4.43 to stany te moga być obsadzane poprzez oddziaływania dipolowe granica energii wynika z maksymalnej wartości pola magnetycznego z eksperymentu. Stosujac się do 4.43 oraz reguł wyboru, można wyróżnić odpowiednie stany rezonansowo sprzężone ze stanem podstawowym. Istnieje więc dziesięć stanów, gdy pole magnetyczne jest skierowane wzdłuż osi x, oraz osiem stanów, gdy orientacja pola jest w kierunku osi y. Szczegółowy opis stanów końcowych można znaleźć w [16]. W pułapce harmonicznej stan końcowy osiagany w wyniku przejścia dipolowego jest bardzo wyjatkowy jest to jedyny stan rezonansowy. W takim układzie wzudza się tylko współrzędna względna i nie ma wzbudzenia środka masy. Inaczej wyglada sytuacja w rzeczywistym potencjale anharmonicznym. Liczby kwantowe N x, N y, N z definiuja jedynie powłokę energetyczna wyznaczona przez zasadę zachowania energii, do której musi należeć stan końcowy dwóch atomów. Każde wzbudzenie N i musi być rozłożone między dwa atomy, tj.

74 Rozdział 4. Dynamika spinu 66 N i = n i + n i, gdzie n i i n i to kwanty wzbudzeń pojedynczego atomu, i = x, y, z. Jak już wspomniałam, na danej powłoce energetycznej istnieje wiele stanów dwuczatkowych zsymetryzowane stany bozonowe sprzężonych ze stanem poczatkowym poprzez dipolowe oddziaływania. By znaleźć położenie jak i siłę sprzężenia w stanach rezonansowych, zdiagonalizowałam całkowity hamiltonian w bazie stanów dwuczastkowych. Baza obejmowała zarówno stan poczatkowy jak i stany z różnych pasm, których energie spełniaja nierówność Wszystkie oddziaływania kontaktowe wewnatrzpasmowe jak i między pasmami zostały uwzględnione. Jest to dość istotne, że międzypasmowe oddziaływania nie moga być pominięte. Zauważmy, że najmniejsze odległości między pasmami sa rzędu π 55 khz. Nie sa one aż tak duże w porównaniu z częstościami charakterystycznymi dla oddziaływań kontaktowych π 10 khz. Stan podstawowy należy do przestrzeni spinowej 3 3, zaś stany wzbudzone do przestrzeni spinowej oraz dzięki zależnym od spinu oddziaływaniom kontaktowym do przestrzeni spinowej 3 1. Wykres energii własnej i dane eksperymentalne w funkcji pola magnetycznego wyrażanego przez częstość Larmora dla dwóch różnych orientacji tego pola w kierunku osi x lub y przedstawia Rys Wykres energii własnej pokazuje dipolowe rezonanse i ma kształt poszarpanych pików czarne linie. Punkty odpowiadajace wynikom eksperymentalnym skopiowano z artykułu [16] Fig., a przedstawiaja one liczbę atomów w poczatkowym stanie spinowym m S = 3. W miejscu rezonansu liczba atomów powinna być mała, tj. minima w krzywej eksperymentalnej powinny odpowiadać maksimom energii własnej. Do porównania wyników dodatkowo wykreśliłam jeszcze rachunki w przybliżeniu harmonicznym bez oddziaływań kontaktowych przerywana, czerwona linia. Teoretyczne przewidywania pokazuja znacznie węższe struktury rezonansowe niż te obserwowane w rzeczywistości. Doświadczalne przyczyny tych poszerzeń omówiono w artykule [16]. Tłumaczono, że a im wyższe pasma sieci, tym ich szerokość ulega zwiększeniu z powodu większych tunelowań, b duże fluktuacje głębokości sieci jak i fluktuacje pola magnetycznego powoduja poszerzenie rezonansów o co najmniej 10 khz. Odkrycie tak subtelnej, waskiej struktury czyli maksimów energii własnej jest prawdopodobnie poza zasięgiem dzisiejszych eksperymentów, gdyż wymaga niewiarygodnej precyzji w kontrolowaniu pola magnetycznego.

75 Rozdział 4. Dynamika spinu 67 Warto zwrócić uwagę na bogactwo rezonansów w oszacowanej przeze mnie strukturze energetycznej. Jest ona konsekwencja anharmoniczności i anizotropowości. Degenerację każdej powłoki energetycznej zostaje zniesiona, a wcześniej zdegenerowane stany teraz sa dostrzeżone za sprawa oddziaływań dipolowych. Anharmoniczność oraz oddziaływania kontaktowe przesuwaja pozycję rezonansów w kierunku mniejszych wartości pól. W przypadku stanów wzbudzonych z wyższych pasm zmiana ich energii może być większa niż π 10 khz. Uwzględnienie anharmoniczności i anizotropii nie zmienia natomiast szerokości rezonansów. Ich efekt objawia się głównie w rozdzieleniu każdego piku harmonicznego na szereg mniejszych. Szerokość każdego takiego subtelnego piku jest co prawda nieco mniejsza niż szerokość piku w przybliżeniu harmonicznym, ale jest wciaż rzędu 10 µg. Z tego powodu jest niemożliwym, by eksperymentalnie zaobserwować taka subtelna strukturę. Jeśli chodzi o szerokość pojedynczej struktury, powstałej w wyniku anizotropii i anharmoniczności oczka, to jest ona rzędu 10 mg. Odpowiada ona szerokości eksperymentalnie zaobserwowanych niskich rezonansów. Na tej podstawie wnioskuję, że moje obliczenia zgadzaja się z eksperymentem. Na lepsza analizę nie pozwala mała dokładność wyników eksperymentalnych. O typowym charakterze rezonansowym można by mówić tylko dla małych częstości Larmora. Obierajac wartości: ω x /π = 160 khz, ω y /π = 60 khz, ω z /π = 110 khz, odtworzyłam w miarę dokładnie pozycje trzech pierwszych minimów, gdy pole magnetyczne miało kierunek osi x. Podobna zgodność uzyskałam dla orientacji pola wzdłuż osi y. W obszarze dużych ω L rezonanse występuja gęsto i blisko siebie. Pamiętajac, że w rzeczywistych układach rezonanse sa szersze z powodu tunelowania do sasiednich oczek, jasnym jest, że przy wyższych energiach charakter rezonansowy w formie osobnych pików przestaje obowiazywać. Potwierdzaja to niejako wyniki eksperymentalne w obszarze dużych ω L. Wybrane przeze mnie wartości częstości harmonicznych znalazły się w granicach błędu częstości eksperymentalnych. Niemniej sa one inne od tych z pracy [16]. Tak naprawdę nawet mała niepewność parametrów doświadczalnych pozwala na dobre dopasowanie zarówno teorii harmonicznej bez oddziaływań jak i tej, która bierze pod uwagę anharmoniczność jak i anizotropie oczka sieci optycznej. Jednak szerokość rezonansów, która wynika także ze złożoności struktury rezonansowej, zdecydowanie nie może być odtworzona, jeśli zastosować przybliżenie harmoniczne.

76 Rozdział 4. Dynamika spinu Porównanie z eksperymentem II W tym samym artykule [16] zaprezentowano także dane eksperymentalne dotyczace rezonansowej dynamiki spinu w układzie ze średnio dwoma i średnio trzema atomami na oczko. Zbadano tylko wzbudzenie N x, N y, N z = 0,, 0, ponieważ rozważano waski zakres pól magnetycznych. Zmieniono ponadto jedna częstość: ω y /π = 45 khz. Dwie pozostałe częstości pozostały takie same jak w eksperymencie I. W artykule [16] znalazły też miejsce teoretyczne oszacowania, jednak podważam ich poprawność. Postanowiłam odnieść się do wyników [16] wyliczajac energię własna i konfrontujac je z danymi doświadczalnymi. Częstości w kierunku x i z przyjęłam jak w poprzednim podrozdziale: ω x /π = 160kHz, ω z /π = 110kHz, zaś w kierunku y ω y /π = 45kHz. Bazę stanów dwuczastkowych tworzyły: stan poczatkowy z przestrzeni spinowej 3 3 oraz orbitalne stany wzbudzone postaci sd yy i p y p y z przestrzeni i 3 1. W stanach końcowych N y =, wobec czego { ny = 0, n y =. Jak widać baza jest ograniczona do konkretnego pasma. n y = 1, n y = 1 Tym razem nie uwzględniałam międzypasmowych oddziaływań kontaktowych Energia wlasna [ 10-3 Er] m=3 population Magnetic field [ khz ] RYSUNEK 4.14: Górny wykres: Czerwone punktu i linie je łaczace dotycza sytuacji ze średnio dwoma atomami na oczko. Oszacowania teoretyczne w postaci self energy jest pokazana u dołu wykresu w postaci czerwonych pików. Dolny wykres: Niebieskie punktu i linie to je łaczace odpowiadaja sytuacji, gdy w układzie sa średnio trzy atomy na oczko. Orientacja pola magnetycznego w obydwu przypadkach była ustawiona w kierunku osi y.

77 Rozdział 4. Dynamika spinu 69 Wymienione stany sa jedynymi, których energia mieści się w zakresie wartości pól magnetycznych. Co więcej jako jedyne w tym zakresie energii, sprzęgaja się ze stanem poczatkowym dipolowym oddziaływaniem w pierwszym rzędzie procesu. W przybliżeniu harmonicznym energie stanów jednoczastkowych sd yy i p y p y sa równe. W sieci optycznej, w której wpływ anizotropii i anharmoniczności jest widoczny, struktura energetyczna i rezonansowa wyraźnie się zmienia. Co więcej, wkład wnosza też zależne od spinu oddziaływania kontaktowe, które efektywnie sprzęgaja przestrzenie: i 3 1. To dodatkowo modyfikuje tę strukturę. Nie istnieje bezpośredni transfer dipolowy atomów ze stanu spinowego 3 3 do 3 1, ale dzięki oddziaływaniom kontaktowym zależnym od spinu takowe niewielkie sprzężenie się pojawia. Widać to na Rys.4.14 w postaci czterech czerwonych pików energii własnej. Dwa rezonanse sa wyraźnie mocne, dwa pozostałe z powodu niewielkiego wkładu od oddziaływań dipolowych sa mało wyraźne. Minima powstałe po połaczeniu linia danych eksperymentalnych bardzo dobrze odpowiadaja pozycjom pików energii własnej. Energia wlasna [ 10-3 Er] Magnetic field [ khz ] m=3 population Energia wlasna [ 10-3 Er] Magnetic field [ khz ] m=3 population RYSUNEK 4.15: Dane teoretyczne i dościadczalne umieszczono na jednym wykresie. Czerwone linie dotycza wariantu ze średnio dwoma atomami na oczko, zaś niebieskie, gdy w układzie sa średnio 3 atomy. W układzie ze średnio trzema atomami na oczko dolna część Rys.4.15 baza istotnych stanów była nieco większa. Oczywiście stan podstawowy to zsymetryzowany stan z trzema atomami w orbialu s w przestrzeni spinowej m S = 3. Oddziaływania dipolowe pozwalaja, bydwaatomyzmieniłystanspinowy 3 3 i tylko w taki sposób, by całkowity moment pędu w układzie był zachowany. Trzeci atom pozostaje w stanie m S = 3. W kolejnym rzędzie, gdy atomy sa w stanie spinowym, dominujac a rolę w procesie ewolucji przejmuja oddziaływania kontaktowe. Ilość istotnych stanow dwuczastkowych została ograniczona do sześciu. Gdyby

78 Rozdział 4. Dynamika spinu 70 nie wykorzystywać specyfiki oddziaływań dipolowych oraz zasady zachowania energii przy konstrukcji bazy stanów, wówczas hamiltonian układu miałby wymiar Poprawność wyników z diagonalizacji pełnego hamiltonianu w bazie stanów istotnych i bazie wszystkich stanów, potwierdził słuszność wyboru stanów. Oczywiście w każdej realizacji średnio atomy w oczku i średnio 3 atomy w oczku należy mieć na uwadzę poszerzenia, jakie występuja w wyniku tunelowań.

79 Rozdział 5 Dwuskładnikowy model BH Wtymrozdzialerozważęnowa klasę dwuskładnikowego modelu Bosego-Hubbarda BH w nieskończonej, dwuwymiarowej sieci optycznej. W rezonansowym polu magnetycznym B rez dwa stany zeemanowskie: stan podstawowy o rzucie spinu m S = 3 i stan wzbudzony z niezerowym orbitalnym momentem pędu z przestrzeni spinowej m S =, maja równe energie. Rozważany model BH jest zupełnie nowatorski, uwzględnia bowiem oddziaływania dipolowe. To sprawia, że pojawia się w nim dodatkowy stopień swobody - dwa sprzężone składniki spinowe. Dzięki temu można go uogólnić także na inne stany spinowe. Do swoich rachunków użyłam metody pola średniego i znalazłam stabilne fazy w przestrzeni o zadanej liczbie czastek na oczko. Otrzymałam diagram fazowy stanu podstawowego, różniacy się od diagramu znanego z przejścia fazowego izolator Motta MI faza nadciekła SF [39]. Jednym z założeń prezentowanego modelu jest osiowy charakter oczka sieci. Jak wynika z poprzedniego rozdziału anharmoniczność i anizotropia sa istotnymi elementami przy uwzględnianiu wzbudzonych stanów Wanniera. Choć nie należy o tym zapominać, to w tym rozdziale pominę anharmoniczność, bowiem istota problemu jest dwuskładnikowy układ. Dzięki tym założeniom będę rozważała rezonansowe sprzężenie do stanu P x + i P y. W poczatkowych podrozdziałach przedstawię jednoskładnikowy model Bosego- Hubbarda oraz krótko go scharakteryzuję. Opiszę także jedna ze standardowych technik metodę pola średniego, która służy do wyznaczania przejścia fazowego oraz zaprezentuję diagram fazowy otrzymany przy użyciu tej metody. Dalsza część rozdziału 5. to prezentacja wyników dotyczacych dwuskładnikowego modelu BH z oddziaływaniem dipolowym. 71

80 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH Jednoskładnikowy model Bosego-Hubbarda BH oddziałujacych bozonów w sieci Podstawowym modelem oddziałujacych atomów w sieci optycznej jest jednoskładnikowy model Bosego-Hubbarda: Ĥ = + 1 d 3 r ˆΨ r M + V trap r 4π M a S ˆΨ r + d 3 r 1 d 3 r ˆΨ r 1 ˆΨ r δ r 1 r ˆΨ r 1 ˆΨ r 5.1 W porównaniu z hamiltonianem., który stanowi punkt wyjścia tej rozprawy, hamiltonian 5.1 nie zawiera członu dipolowego. Ponadto operator pola.4 w jednoskładnikowym układzie redukuje się do postaci: ˆΨ r = â i,α w α r r i, 5. i,α gdzie α numeruje pasma, indeks i numeruje oczka na sieci, operator â i,α anihiluje czastkę w stanie opisywanym zlokalizowana funkcja Wanniera w α r r i. Dodatkowo operator â i spełnia bozonowe relacje komutacji, tj. [â i, â j ] = δ i,j. Jeśli dynamika obejmuje wyłacznie niskoleżace stany energetyczne, a koszt wzbudzenia do drugiego pasma w oczku jest duży, wówczas można rozważać wyłacznie funkcje Wanniera z pasma najniższego. Ograniczajac się więc do przypadku α = 0 i podstawiajac operator pola 5. do 5.1, otrzymujemy nowa formę jednoskładnikowego hamiltonianu BH zapisanego w formalizmie drugiej kwantyzacji: H = J ij â iâj + i j i ǫ i â iâi + 1 U i,j,k,l â iâ jâkâ l, 5.3 i przy czym wielkości pod suma sa liczone odpowiednio: J ij = U ijkl = ǫ i = d 3 r w r r i [ ] m + V r w r r j, d 3 r w r r i w r r j w r r k w r r l, d 3 r w r r i [ ] m + V r w r r i. 5.4 Funkcje Wanniera sa funkcjami zlokalizowanymi w oczku. W odpowiednio głębokich sieciach optycznych, w wyrażeniu na oddziaływanie dominujacy wkład

81 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 73 wnosi jedynie człon U = U iiii. W przypadku człou J ij najważniejsze jest tunelowanie do najbliższych sasiadów J = J ij. ǫ i jest energia jednoczastkow a. Majac na uwadze powyższe założenia oraz ǫ i = 0, hamiltonian BH przybiera najprostsza z możliwych postaci: H = J <i,j> â iâj + U â iâ jâkâ l 5.5 i Pierwszy człon opisuje tunelowanie J atomów między parami < i, j >, gdzie i oraz j sa najbliższymi sasiadami. Operator â i â i kreuje anihiluje czastkę w oczku i. Drugi człon w [5.5] opisuje siłę oddziaływania kontaktowego U między dwoma atomami znajdujacymi się w i-tym oczku. Taki prosty model układu z ultrazimnymi atomami posiada dwa rodzaje stanu podstawowego Stan podstawowy BH w fazie nadciekłej SF RYSUNEK 5.1: W fazie Sf stanem podstawowym układu jest falowe pole materii. Po wypuszczeniu kondensatu z periodycznego potencjału, powstaje wzór interferencyjny będacy efektem koherencji faz funkcji falowych w oczkach. Oznacza to, że makroskopowa funkcja falowa ma dobrze określona fazę. Liczba atomów w oczku w fazie SF fluktuuje, [40]. Jeśli oddziaływania w układzie sa słabe U/J 1 i tunelowanie dominuje nad energia oddziaływania, wówczas układ przypomina pole falowe materii. Atomy moga rozprzestrzeniać w dowolnym kierunku. Układ jest wtedy w stanie nadciekłym i można go opisać parametrem porzadku ψ o określonej fazie. Funkcja falowa każdej czastki jest zdelokalizowana na sieci i dlatego liczba czastek w oczku fluktuuje. Nagłe wyłaczenie potencjału pułapkujacego atomy, pozwala uzyskać wzór interferencyjny Rys.5.1, co świadczy o spójności pola materii w fazie nadciekłej. Stan podstawowy z N bozonami w M oczkach sieci można zapisać: M N Ψ SF U 0 â i 0, 5.6 i=1

82 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 74 Jedna z charakterystycznych cech stanu w fazie nadciekłej może być nieznikajaca wartość oczekiwana operatora pola w tym stanie. Okazuje się, że w każdym i-tym oczku sieci stan układu można w sposób przybliżony opisać stanem koherentnym φ i. Średnia wartość â i w tym stanie, to ψ i = φ i â i φ i parametr porzadku w i-tym oczku. Oznacza to, że stan φ i w oczku jest pewna superpozycja stanów Focka z różna liczba czastek, φ i = n=0 C n n. W praktyce tylko kilka amplitud C n jest różnych od zera. RYSUNEK 5.: a Rozkład atomów w fazie SF podlega statystyce Poissona. Stan własny każdego oczka jest stanem koherentnym - superpozycja stanów Focka o różnej liczbie atomów. b W każdym oczku istnieje przypadkowa liczba atomów, [40] Stan podstawowy BH w fazie izolatora Motta MI RYSUNEK 5.3: a Statystyka atomów w fazie MI dla średnio n = 1 i n = atomów. Stanem własnym każdego oczka to stan Focka. b W każdym oczku jest zdefiniowana ilość atomów, [40]. Jeśli w hamiltonianie dominuja oddziaływania U/J 1, to układ jest w fazie izolatora Motta. Atomy lokalizuja się wówczas w konkretnych oczkach, definiujac tym samym średnia liczbę atomów na oczko Rys.5.3. Opis takiego układu jest daleki od opisu makroskopowego pola materii, toteż brak jest jakiegokolwiek wzoru interferencyjnego po wypuszczeniu atomów z

83 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 75 RYSUNEK 5.4: W fazie MI każde oczko jest wypełnione ustalona liczba atomów. Względna faza funkcji falowej w różnych oczkach jest jednak nieokreślona. Brak jest jakiegokolwiek wzoru interferencyjnego, gdy gaz atmów zostanie uwolniony z pułapki, [40]. pułapki Rys.5.4. Jest to konsekwencja braku ustalonej fazy między oczkami. Wielociałowy stan podstawowy w fazie izolatora Motta jest iloczynem stanów Focka o określonej liczbie atomów n w oczku: Ψ MI n J 0 M i=1 â i n Taki stan może być zrealizowany, gdy liczba atomów w oczku sieci jest liczba całkowita. 5. Przejście fazowe Bardzo interesujace jest przejście od układu silnie do słabo oddziałujacego. W modelu BH obserwowane jest przejście między faza MI a SF. By charakteryzować i odróżnić każda z faz, należy przyjrzeć się określonym obserwablom, m.in. średniej liczbie czatek oraz wielkości fluktuacji. Fazę MI definiuje określona liczba atomów na oczko. Czastki nie tuneluja. Odwrotnie jest w fazie SF. Tu czastki moga rozprzestrzeniać się na całej sieci w dowolnym kierunku, ustalajac wzajemna fazę. Jednak liczba czastek w oczku nie jest dobrze określona. Układ doznaje przejścia fazowego przy pewnej krytycznej wartości parametrów U/J. Przejście od fazy izolatora do nadciekłej MI SF w modelu BH jest wynikiem wyłacznie fluktuacji kwantowych. Oznacza to, że takie zjawisko będzie zachodzić także w temperaturze T = 0, gdy brak jest wzbudzeń termicznych. Jedna z metod, która służy do wyznaczenia granicy między faza MI a faza nadciekła SF jest metoda pola średniego w układzie nieskończonym, autorstwa Fisher a [41].

84 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH Metoda Fisher a w układzie nieskończonym Dokładna analiza układów nieskończonych jest niemożliwa, dlatego rozwiazań szuka się zazwyczaj w oparciu o istotne przybliżenia. Jedna z cech metody Fisher a jest to, że cały opis układu jest zredukowany wyłacznie do jednego oczka sieci optycznej. W takim podejściu zakłada się, że w każdym oczku sieci optycznej maja miejsce identyczne procesy fizyczne. Metoda Fisher a inaczej zwana metoda pola średniego pozwala wyznaczyć granicę między faza izolatora Motta MI a faza nadciekła SF w układzie nieskończonym. Do tego celu należy wprowadzić parametr porzadku, tzw. pole średnie o następujacych własnościach: w fazie nadciekłej wartość parametru porzadku jest niezerowa, zaś w fazie izolatora Motta ów parametr jest równy zero. Granicę między obiema fazami definiuje się jako miejsce na diagramie fazowym, w którym parametr porzadku daży do zera, gdy T 0. Postaram się to wyjaśnić dokładniej w kilku krokach. Głównym przybliżeniem w metodzie Fisher a jest zastapienie operatora anihilacji kreacji przez jego średnia wartość â i = φ i plus mała poprawka δâ i : â i = φ i + δâ i, â i = φ i + δâ i. 5.8 Robiac powyższe podstawienie w pierwszym członie w 5.5, przy ograniczeniu do wyrazów liniowych w φ i, hamiltonian pola średniego przyjmuje postać: H P Ś = H 0 + H 1 U n in i 1 µn i H 0 = i H 1 = J i φ i â i + φ i â i 5.9 gdzie φ i = <j> i φ j to suma parametrów porzadku sasiaduj acych z oczkiem i-tym. W tym podejściu zakłada się, że parametr porzadku jest mały, dlatego w 5.9 ograniczyłam się do wyrazów liniowych w φ i. Przybliżenie pola średniego czyni hamiltonian H P Ś lokalnym H P Ś = i HP i Ś. Obliczenia redukuja się do podprzestrzeni jednego oczka. W wyniku tego przybliżenia nie jest zachowana liczba atomów w oczku. To wymusza pojawienie się w hamiltonianie niezaburzonym H 0, potencjału chemicznego µ. Wprowadzajac µ przechodzimy do formalizmu wielkiego zespołu kanonicznego, w którym zakłada się, że istnieje sprzężenie pojedynczego oczka z pewnym rezerwuarem czastek, do którego i z którego czastki moga się przedostawać. Wobec tego

85 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 77 paramterem kontrolujacym średnia liczbę czastek jest właśnie potencjał chemiczny µ nietrywialna funkcja liczby atomów i temperatury. Wyznaczenie wielkiej sumy statystycznej Z = Tr[e βh 0+H 1 ] również wymaga użycia przybliżenia. H 1 jest małym zaburzeniem względem H 0 Jφ 1 Można więc rozwinać wielka sumę statystyczna w sposób następujacy: U. β Z Tr[e βh 0 ] dτ Tr[e β τh 0 H 1 e τh 0 ] + ϑφ W granicy β T 0, jedyny wkład do Z pochodzi od stanu o najniższej energii Z = Tr[e βh 0+H 1 ] e βe 0. Z kolei parametr porzadku jest dany jako: φ i = 1 Z Tr [ â i e βh ], 5.11 co prowadzi do: φ i = 1 dτ Tr[â i e β τh 0 H 1 e τh 0 ] = Z 0 = e βe β 0 dτ Φ, i â i e β τh 0 H 1 e τh 0 Φ, i 5.1 Φ,i 0 gdzie ślad przebiega po wszystkich stanach własnych hamiltonianu H 0, H 0 Φ, i = E Φ,i Φ, i. Ostatecznie, po wyliczeniu śladu i wycałkowaniu wyrażenia 5.1, otrzymujemy: [ φ i = n Φ e βe 0 E Φ+1,i i E Φ,i E Φ+1,i eβe0 E Φ,i E Φ,i E Φ+1,i ] 5.13 gdzie n Φ,i i = Φ, i ˆn i Φ, i oznacza średnia liczbę czastek w oczku i-tym, zaś E Φ,i = Φ, i H 0 Φ, i to energia stanu Φ, i. Istotny wkład do sumy 5.1 wnosza tylko dwa stany, mianowicie sa to takie stany Focka, które różnia się o ±1 atom od stanu Focka o energii E 0. W rezultacie powstaje jednorodne równanie na parametr porzadku: φ i = φ i J [ ] ni + 1 U n i µ n i Un i 1 µ Zakładajac, że układ jest jednorodny, φ i φ, i sumujac 5.14 po wszystkich oczkach, dostajemy: φ = φ zj [ ] ni + 1 U n i µ n i, 5.15 Un i 1 µ

86 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 78 co można inaczej zapisać jako: 1 zj [ ] ni + 1 U n i µ n i φ = 0, 5.16 Un i 1 µ gdzie z jest liczba sasiadów i zależy od geometrii sieci. Dla dwuwymiarowej, kwadratowej sieci z = 4. Jednym z rozwiazań 5.16 jest φ = 0. Odpowiada to fazie izolatora Motta M I. Niezerowe rozwiazanie jednorodnego równania 5.16 na φ jest możliwe, gdy 1 zj [ n i +1 U n i µ n i Un i 1 µ] = 0. To równanie pozwala wyznaczyć granicę między faza MI a SF. Granica jest dana przez zależność µj/u, dla której współczynnik w 5.16 znika. Poniższy podrozdział prezentuje wyniki przeprowadzone na podstawie wyżej przedstawionej metody. 5.. Diagram fazowy BH w wielkim zespole kanonicznym Bazujac na najprostszym z możliwych przypadków hamiltonianu BH 5.5 można otrzymać diagram fazowy dla ustalonej średniej liczby atomów w oczku n i w przybliżeniu pola średniego. Hamiltonian można sparametryzować dwoma wielkościami J/U oraz µ/u. W obszarze wysokich sieci małych wartości J/U, układ jest w fazie Motta z określona liczba atomów na oczko. Ta faza znajduje się na Rys.5.6 wewnatrz małego obszaru, na którego wierzchołku znajduje się punkt krytyczny J/U c. W zależności od geometrii układu i jego wymiaru położenie punktu krytycznego może ulec zmianie. RYSUNEK 5.5: Wartości krytycznych punktów diagramu fazowego otrzymanych metoda pola średniego dla różnych wymiarów D sieci J/U mf oraz innymi metodami wedle kolejności: DMRG D = 1, Monte Carlo D = i Gutzwiller a D = 3 odpowiednio, [31].

87 Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 79 Na Rys.5.6 widać cztery pierwsze loby otrzymane metoda pola średniego dla sieci nieskończonej. Wyraźne, grube, czarne linie wyznaczaja granicę między faza MI - SF. Na zewnatrz izolowanych obszarów występuje faza SF. Z kolei cienkie linie wychodzace oraz linie okalajace te obszary, odpowiadaja potencjałowi chemicznemu µ/u dla ustalonej średniej wartości atomów n. RYSUNEK 5.6: Diagram fazowy hamiltonianu BH otrzymany metoda pola średniego. M In oznacza fazę izolatora Motta o określonej średniej liczbie atomów na oczko. Poziomice na wykresie sa numerowana liczba atomów w oczku, [31]. Wyznaczeniedokładnejwartości J/U c było priorytetem wielu grup teoretycznych. W tabeli 5.5 zestawiono krytyczne wartości uzyskane metoda pola średniego trzecia kolumna z wartościami uzyskanymi za pomoca innych metod numerycznych w zależności do wymiaru sieci metoda DMRG - w 1D, metoda Monte Carlo - D, metoda Gitzwiller a - 3D, [31].