WSPOMAGANIE PODZIAŁU WYGRANEJ W GRACH KOOPERACYJNYCH Z WYKORZYSTANIEM KONCEPCJI PROGRAMOWANIA CELOWEGO

Transkrypt

1 ZEZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄKIEJ era: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. XX XXXX Nr kol. XXXX Macej WOLNY Poltechnka Śląska Wydzał Organzacj Zarządzana Instytut Ekonom Informatyk WPOMAGANIE PODZIAŁU WYGRANEJ W GRACH KOOPERACYJNYCH Z WYKORZYTANIEM KONCEPCJI PROGRAMOWANIA CELOWEGO treszczene. W publkacj przedstawono metody wspomagana podzału wygranej w grach kooperacyjnych z wykorzystanem programowana celowego w sytuacj, gdy ustalony z góry sposób podzału okazuje sę neracjonalny po zawązanu koalcj. Neracjonalność rozumana jest w sense takm, że ustalony podzał ne należy do rdzena gry. Metodę przedstawono na przykładze ustalena podzału zysków z realzacj przedsęwzęca przez cztery oddzały przedsęborstwa. GOAL PROGRAMMING APPROACH TO UPPORTING ALLOCATION OF WINNING IN COOPERATION GAME ummary. In the paper an dea of supportng method based on goal programmng for establsh wnnngs for the players n cooperatve game s presented. The problem s consdered n case when ad hoc arrangement s rratonal n meanng that the allocaton of wnnngs s outsde the core of the game. There s example of proposed method as proft dstrbuton problem of four departments n enterprse presented. 1. Wprowadzene Wele sytuacj gospodarczych można przedstawć jako grę kooperacyjną. Podmoty próbują współdzałać w celu osągnęca wększych zysków. Wększych nż suma zysków uzyskanych z ndywdualnych dzałalnośc, czyl chcą korzystać z efektu synerg. Krytycznym czynnkem, warunkującym współdzałane jest ustalene wartośc korzyśc

2 2 M. Wolny (wygranej, wypłaty), którą podmot (gracz) osągne przez wejśce w koalcję. Ustalony podzał wygranej pownen być dla każdego z graczy sprawedlwy racjonalny. Głównym celem pracy jest przedstawene metody wspomagana ustalena wygranej każdego z graczy w sytuacj, gdy uznany za sprawedlwy sposób podzału, jest neracjonalny. Przy tym w sposób szczególny artykuł odnos sę do propozycj wykorzystana koncepcj programowana celowego. 2. Podstawowe założena Grę kooperacyjną w postac funkcj charakterystycznej nazywa sę uporządkowaną parę Γ = ( N, v). Przy tym N = { 1,2,..., n} jest zborem numerów graczy, v jest funkcją charakterystyczną gry, która przyporządkowuje każdemu podzborow N łączną maksymalną neujemną wypłatę v (). Przy tym v ( ) = 0 oraz v jest superaddytywna, czyl: v ( ) + v( T ) v( T ),, T N, T =. (1) Dodatkowo rozważane będą gry stotne, czyl spełnające warunek: n v( N) > v({ }). (2) pełnene warunków (1) (2) mplkuje wystąpene efektu synerg. Podzał wygranej mędzy graczy jest określony przez wektor: = 1 n x = x,..., x n ) X R + ( 1, (3) którego składowe określają wygrane poszczególnych graczy. X jest zborem wszystkch możlwych podzałów. Rdzenem gry nazywa sę zbór wszystkch podzałów, które spełnają następujące warunk: racjonalnośc zborowej: racjonalnośc ndywdualnej: racjonalnośc koalcyjnej: n = 1 x = v( N), (4) x v({ }), = 1,2,..., n, (5) x v( ), N. (6) Podzał spełnający warunk racjonalnośc ndywdualnej zborowej nazywa sę mputacją. W pracy rozważane będą gry, których stneje przynajmnej jeden podzał

3 Wspomagane podzału wygranej w grach 3 racjonalny, w takm sense, że spełna wszystke trzy warunk racjonalnośc (4)-(6). W przecwnym wypadku zawązane jednej welkej koalcj jest neopłacalne przynajmnej dla jednego gracza 1. Warunk na nepusty rdzeń zostały sformułowane nezależne przez Bondareva hapleya 2 a zwązane są z lnowym ogranczenam dotyczącym rdzena gry. W grze stneje nepusty rdzeń jeśl równocześne spełnone są następujące warunk: v( N) N \{ } λ v( ), λ 0, N \ { }, (7) N \{ } λ e = e, (8) gdze e jest wektorem charakterystycznym koalcj takm, że -ta składowa jest równa 1 jeśl -ty gracz należy do koalcj oraz 0 jeśl ne należy. N 3. Główne koncepcje podzału wygranej Do najważnejszych metod podzału wygranej należy wartość hapleya [12], wynosząca dla -tego gracza: 1 ϕ = ( s 1)!( n s)![ v( ) v( \ { })], (9) n! N gdze s jest lczebnoścą koalcj. Wartość hapleya nterpretuje sę jako średną wartość wygranej jaką wnos do welkej koalcj -ty gracz, gdy kolejność tworzena tej koalcj jest równoprawdopodobna, ϕ = ϕ,..., ϕ ) jest zawsze mputacją. Interpretacja wartośc hapleya ( 1 n powoduje, że jest ona bardzo atrakcyjnym sposobem ustalena sprawedlwego podzału. Innym sposobem ustalene podzału wygranej jest wartość Banzhafa [2], która dla -tego gracza wynos: 1 β = [ v( { }) v( ]. (10) 2 ) n 1 N \{ } Wykorzystywana jest najczęścej jako mara sły gracza w koalcj można ją nterpretować równeż jako średną wartość wygranej wnoszona przez gracza, tworzącego koalcję (w odróżnenu od gracza wchodzącego, w przypadku wartośc hapleya). Wartość 1 Nemnej należy zwrócć uwagę, że w sytuacj pustego rdzena, może stneć podgra (subgame), w której warunk racjonalnośc są spełnone prezentowane w pracy rozważana są adekwatne do analzy takej podgry. 2 [3] s , [13] s

4 4 M. Wolny Banzhafa β = β,..., β ) często ne jest mputacją, poneważ ne spełna warunku ( 1 n racjonalnośc zborowej (4). W celu wykorzystana wartośc tej do ustalena podzału wygranej, należy ją poddać normalzacj: * β v( N) β =. (11) β N Kolejnym sposobem ustalena podzału jest wykorzystane koncepcj punktu Gately ego [6]. Koncepcja ta realzuje postulat mnmalzacj maksymalnej skłonnośc do zerwana welkej koalcj. Marą skłonnośc do zerwana koalcj jest wyrażene: j x j v( N ) Poszukuje sę węc podzału spełnającego kryterum: γ ( x) =. (12) x v( ) maxγ ( x) mn. (13) N Unormowana wartość Banzhafa, wartość hapleya oraz punkt Gately ego mogą ne należeć do rdzena gry, który zawera wszystke racjonalne podzały w sense zdefnowanym przez warunk (4)-(6). Zgodne z przyjętym celem pracy, w pracy rozważana jest klasa ger z nepustym rdzenem (podzały racjonalne), w których przyjęte sposoby podzału (uznane za sprawedlwe, w tym sense, że zaakceptowane zostały dee które realzują te sposoby podzału 3 ) ne należą do rdzena. W zwązku z przyjętym węc celem, rozważane w sposób szczególny będą przedstawone powyżej koncepcje ustalena podzału wygranej. Obok przedstawonych koncepcj stneją nne metody określena pojedynczej mputacj w grze. Do najważnejszych należy koncepcja nucleolusa [11], realzująca postulat maksymalzacj najwększego zadowolena z koalcj. W sytuacj nepustego rdzena maksymalzuje sę wyrażene 4 : mn v ( ) x max. (14) N Nucleolus zawsze stneje jeśl stneje nepusty rdzeń, to należy do rdzena, wobec tego realzuje postulat racjonalnośc. W kontekśce celu pracy przyjęce koncepcj nucleolusa jako sposobu ustalena wygranej graczy mplkuje podzał, który jest zawsze racjonalny, a węc ne stneje potrzeba wspomagana ustalena wypłat graczy. 3 Taka sytuacja ne ma mejsca, jeśl spełnone są klasyczne założena, że gracz ma neskończone możlwośc oblczenowe pełną nformację, jednak w welu rzeczywstych problemach koncepcja podzału może zostać zaakceptowana wcześnej nż uzyskane nformacj o wypłatach. 4 Jeżel dla danego maksymalnego mnmum stneje węcej nż jedna mputacja, to należy maksymalzować kolejne mnmum, td. aż do uzyskana pojedynczej mputacj.

5 Wspomagane podzału wygranej w grach 5 4. Problem podzału wygranej jako zagadnene programowana celowego Punktem wyjśca do rozważań jest ujęce podjętego problemu jako zagadnena programowana welokryteralnego. Podstawą jest stwerdzene, że każdy z graczy pragne uzyskać maksymalną wygraną, czyl każda ze składowych wektora podzału (3) jest maksymalzowana [1 s. 60 ]: x max. (15) Dopełnenem wyrażena (15) jest układ warunków ogranczających (4)-(6). Problem sprowadza sę węc do zagadnena lnowego programowana welokryteralnego. Określene pojedynczego podzału możlwe jest w sytuacj trywalnej lub przez skalaryzację zagadanena przez przyjęce jednej z klku koncepcj agregacj kryterów, przedstawonych w różnych ujęcach sposób przeglądowy w pracach [5,7,8,9,10]. Koncepcja skalaryzacj przez zastosowane programowana celowego [4] polega na mnmalzacj odpowedno zdefnowanej funkcj strat, wynkających z odchyleń od postulowanych wartośc rozważanych zmennych. Nech x = ( x *,..., x * ) będze wektorem * 1 n postulowanych wygranych graczy, reprezentującym wypłaty, wynkające z zaakceptowanego sposobu (sprawedlwego) podzału. Bazując na logce mnmalzacj maksymalnego odchylena od ustalonej wartośc wygranej, mnmalzowana funkcja strat zdefnowana zostane w następujący sposób: max x * x mn. (16) Poneważ zwykle dla danego mnmum stneje wększa lczba podzałów, to należy przyjąć dodatkową heurystykę umożlwającą wyodrębnene jednego podzału na przykład przez ustalene herarch graczy według wartośc postulowanych x = ( x *,..., x * ) * 1 n natomast w pracy proponowana jest procedura mnmalzująca kolejne maksma. Maksymalne odchylene lub odchylena, dla których osągane jest mnmum (16) stają sę ogranczenam. W dalszej kolejnośc poszukuje sę mnmum z maksymalnych pozostałych odchyleń, td. aż do określena jednego podzału. Jeśl wektor postulowanych wygranych graczy należy do rdzena, to jest on rozwązanem zagadnena, czyl określa on podzał. Z punktu wdzena zasadnośc stosowana proponowanej koncepcj wektor ten pownen być poza nepustym rdzenem 6. 5, 5 Ameljańczyk w pracy [1] proponuje do skalaryzacj zagadnena (15) ustalene leksykografcznej herarch graczy według wartośc hapleya. 6 Jeśl postulowany podzał jest racjonalnych w kontekśce warunków (4)-(6) to ne jest potrzebne wspomagane.

6 6 M. Wolny W takm przypadku otrzymane rozwązane realzuje postulat mnmalnego z maksymalnych odchyleń, w tym sense jest najblższy postulowanemu, ale neracjonalnemu podzałow. Do rozwązana problemu ustalena podzału wygranej można równeż wykorzystać metodę punktu referencyjnego przedstawoną w pracy Werzbckego [14]. Metoda punktu referencyjnego perwotne została zaproponowana jako metoda wspomagana decyzj welokryteralnych, w której maksymalzuje sę odpowedno zdefnowaną funkcję osągnęca. Omówone koncepcje zostaną przedstawone na przykładze zwązanym ze wspomaganem współdzałana oddzałów przedsęborstwa przy realzacj projektu. 5. Przykład zastosowana proponowanej koncepcj wspomagane współdzałana oddzałów przedsęborstwa Dany jest problem decyzyjny zwązany ze wspomaganem podzału zysków wynkających z realzacj pewnego projektu przez przedsęborstwo. Na podstawe wstępnej analzy ustalono oczekwane zysk z projektu przy podjęcu współpracy. Współpracować mogą cztery oddzały przedsęborstwa (czterech graczy). Odpowedne zysk z zawązana współpracy przedstawa ponższa funkcja charakterystyczna (tys. zł). v( ) = 0, v({1}) = 600, v({2}) = 600, v({3}) = 600, v({4}) = 600, v({1,2}) = 1200, v({1,3}) = 1200, v({1,4}) = 2366, v({2,3}) = 1200, v({2,4}) = 2367, v({3,4}) = 2366, v({1,2,3}) = 3650, v({1,2,4}) = 3433, v({1,3,4}) = 3431, v({2,3,4}) = 3433, v({1,2,3,4}) = 4900.

7 Wspomagane podzału wygranej w grach 7 Na podstawe analzy wzrokowej wartośc funkcj charakterystycznej można zauważyć, że współpraca w parach, oddzałów o numerach 1,2,3 ne przynos efektu synerg. Natomast przy kooperacj w koalcjach trzyosobowych wyraźne można zaobserwować ten efekt. Jednak najwększy sumaryczny zysk przynos współpraca wszystkch czterech oddzałów. W wypłace koalcj czteroosobowej uwzględnono premę ustaloną przez zarząd przedsęborstwa, poneważ w takm przypadku zarząd lczy na osągnęce wększego stopna ntegracj, wymanę dośwadczeń oraz rozwój kompetencj. Zagadnene, będze rozważane z punktu wdzena trzech scenaruszy ustalena sposobu podzału zysku oddzałów: według średnej wartośc zysku, którą oddzał wnos do zysku welkej koalcj: w sense wartośc hapleya, w sense wartośc Banzhafa, według wartośc, która mnmalzuje maksymalną skłonność do zerwana welkej koalcj (według wartośc Gately ego), czyl takej wartośc, która najmnej zachęca do ewentualnego neutworzena welkej koalcj. Rozpatrywana gra jest grą superaddytywną (1) oraz stotną (2), ponadto posada nepusty rdzeń spełnone są warunk (7) (8) maksymalna wartość sumy z lewej strony warunku (7) przy dowolnej neujemnej wartośc λ oraz spełnenu warunku (8) wynos Rozważane wartośc: hapleya, Banzhafa oraz punkt Gately ego zostały przedstawone w tablcy 1. Tablca 1. Wartośc: hapleya, Banzhafa oraz punkt Gately ego dla rozpatrywanej gry Nr gracza wartość hapleya 1145, , , ,16 wartość Banzhafa 1103, , , ,11 punkt Gately'ego 1266, , , ,54 Źródło: opracowane własne Można zauważyć, że wartośc te ne należą do rdzena gry ne spełnają warunku racjonalnośc koalcyjnej (6). W przypadku wartośc hapleya suma wygranych graczy {1,2,3} wynos 3437,84, natomast wygrana koalcj tych graczy wynos Podobne dla wartośc Banzhafa, suma wygranych tych graczy wynos 3310,89. Punkt Gately ego ne spełna warunku racjonalnośc koalcyjnej dla dwuosobowych koalcj: {1,4}, {3,4}. Wobec tego stneją wyraźne przesłank, do tego, że w sytuacj przyjęca podzału według tych wartośc, gracze ne będą chętn zawązać welkej koalcj. W zwązku z tym stneje potrzeba ustalena nnego podzału.

8 8 M. Wolny Wartośc wynkające z podzału wygranej uzyskane przez zastosowane metody programowana celowego przedstawono w tablcy 2. Tablca 2. Oblczone wartośc wypłat graczy przy zastosowanu koncepcj programowana celowego Rozwązane z wykorzystanem programowane celowego z punktem celu ustalonym przez: wartość hapleya 1216, , , ,00 wartość Banzhafa 1216, , , ,00 punkt Gately'ego 1266, , , ,69 Źródło: opracowane własne Otrzymane wynk różną sę mędzy sobą w odnesenu do przyjętych ad hoc sposobów podzału. W obrębe stosowana jako postulowanego celu wartośc hapleya lub Banzhafa, różną sę mędzy sobą neznaczne. Perws trzej gracze zyskują w porównanu z ustaloną perwotne wartoścą, natomast gracz czwarty trac ponad ponad 200 tys. w przypadku wartośc hapleya oraz ponad 300 tys. przy wartośc Banzhafa jako wartośc z góry postulowanej. Można to rozumeć w ten sposób, że jest to koszt tego gracza na rzecz pozostałych graczy, aby ne zawązal wspólnej koalcj bez nego. Z punktu wdzena perwszych trzech graczy jest to mnmalny koszt, który gwarantuje, ze koalcja {1,2,3} ne zostane wybrana 7. Przy założenu punktu Gately ego jako wartośc podzału, po zastosowanu proponowanej metody wspomagana podzału opartej na programowanu celowym następuje neznaczna korekta wartośc, tak aby realzując postulaty najblższej odległośc od postulowanych wartośc ustalony podzał znalazł sę w rdzenu. 6. Podsumowane wnosk końcowe W pracy przedstawono normatywne koncepcje ustalana podzału w grze kooperacyjnej wartość hapleya, wartość Banzhafa oraz punkt Gately ego. W ogólnym przypadku ne jest zagwarantowane, że wartośc te będą należeć do rdzena gry, gdy stneje nepusty rdzeń. Zostało to przedstawono na przeanalzowanym przykładze. Rdzeń gry zawera wszystke podzały, które spełnają warunk racjonalnośc (4)-(6). Dla sytuacj, gdy postulowany ad hoc podzał ne jest racjonalny (ne jest w rdzenu) zaproponowano wykorzystane metody opartej o programowane celowe mnmalzacj kolejnych maksymalnych odchyleń od wartośc postulowanych. 7 umaryczny zysk jest tak sam dla perwszych trzech oddzałów, jednak z punktu wdzena całego przedsęborstwa sumaryczny zysk współpracujących wszystkch oddzałów jest wększy.

9 Wspomagane podzału wygranej w grach 9 Proponowana metoda oparta na koncepcj programowana celowego mnmalzuje maksymalne odchylena, a w przypadku nejednoznacznośc podzału, mnmalzuje sę kolejne maksymalne wartośc odchyleń. Procedurę metody można ująć w maksymalne etapach: 1. Mnmalzuje sę maksymalne odchylena od postulowanych wartośc (16), 2. Odchylena, dla których uzyskano w poprzednm etape mnmum, przyjmują wartość tego mnmum, 3. Mnmalzuje sę maksymalne odchylena od postulowanych wartośc (16), jednak z pomnęcem odchyleń, dla których we wcześnejszych etapach ustalono wartośc, 4. Etap drug trzec kontynuuje sę, aż do ustalena wartośc wszystkch odchyleń. Przedstawona w pracy metoda wspomagana podzału wygranej graczy, tworzących wspólne koalcję w celu wykorzystana efektu synerg, realzuje logkę mnmalnych odchyleń od wartośc wynkających z postulowanego z góry sposobu podzału wygranej, który okazuje sę neracjonalny w kontekśce warunków (4)-(6). Proponowaną metodę można równeż wykorzystać w celu wspomagana zachowań kooperacyjnych w organzacj.

10 10 M. Wolny 7. Lteratura 1. Ameljańczyk A.: Optymalzacja welokryteralna w problemach sterowana zarządzana, Ossolneum, Wrocław Banzhaf J.: Weghted votng doesn t work: a mathematcal analyss, Rutgers Law Revew, 19, Bondareva O.N.: ome applcatons of lnear programmng methods to the theory of cooperatve games (w jęz.. rosyjskm). Problemy Kbernetky, 10, Charnes A., Cooper W.W.: Goal programmng and multple objectve optmzaton, European Journal of Operatonal Research, 1, 1, Galas Z., Nykowsk I., Żółkewsk Z.: Programowane welokryteralne, PWE, Warszawa Gately D.: harng the gans from regonal cooperaton: a game theoretc applcaton to plannng nvestment n electrc Power, Internatonal Economc Revew, 15, Kalszewsk I.: Welokryteralne podejmowane decyzj. Oblczena mękke dla złożonych problemów decyzyjnych, WNT, Warszawa Konarzewska-Gubała E.: Programowane przy welorakośc celów, PWN, Warszawa Metody welokryteralne na polskm rynku fnansowym, red. T. Trzaskalk, PWE, Warszawa Roy B.: Welokryteralne wspomagane decyzj, WNT, Warszawa chmedler D.: The nucleolus of a characterstc functon game, IAM Journal on Appled Mathematcs 17, hapley L..: A value for n-person games, Annalesof Mathematcal tudes, 28, hapley L..: On balanced sets and cores, Naval Research Logstcs Quarterly, 14, Werzbck A.P. : A Reference Pont Approach to Coalton Games, Journal of Mul- Crtera Decson Analyss, 13, Abstract In the paper an dea of supportng method based on goal programmng for establsh wnnngs for the players n cooperatve game s presented. The problem s consdered n case when ad hoc arrangement s rratonal n meanng that the allocaton of wnnngs s outsde the core of the game. In the proposed method based on goal programmng s realsed a logc

11 Wspomagane podzału wygranej w grach 11 of mnmzng of maxmal devaton of ad hoc arrangement. There s example of proposed method as proft dstrbuton problem of four departments n enterprse presented.