Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część. Liczby i Funkcje Rzeczywiste Rozdział. Liczby rzeczywiste Andrzej Nowicki grudnia 22, Spis treści Liczby rzeczywiste 5. Liczba e Liczba π Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych Przybliżenia wymierne Maksima i minima Metryki Liczby postaci x + /x Różne fakty i zadania dotyczące liczb rzeczywistych Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora:

2

3 Liczby rzeczywiste Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Każda liczba rzeczywista ma dokładnie jedno nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Dla przykładu takim nieskończnonym rozwinięciem dziesiętnym liczby 3 jest, 3333, a liczby 2 jest, Dana liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest od pewnego miejsca okresowe.. Liczba e ( e = n lim + n) n e = +! + 2! + 3! +... Rozwinięcie dziesiętne liczby e (tysiąc cyfr). e = 2, (Maple)...2. Liczba pierwsza utworzona z 85 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e: Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e są pierwsze, gdy n =, 3, 7 lub 85. Czy są jeszcze inne tego rodzaju liczby pierwsze? (Maple)...3. Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple)

4 6 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste..4. e =, , e e = 5, , log e =, , log 2 e =, , log 3 e =, (Maple). R. G. Stoneham, A study of 6, digits of the transcendental e, [Mon] 72(5)(965) Liczba e jest niewymierna. D. Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną. Niech e = a b, gdzie a, b N. Wiemy, że 2 < e < 3, a więc e nie jest liczbą całkowitą i wobec tego b 2. Mnożymy obie strony równości e = n! przez b! i mamy: ( ) a(b )! = ( ) b! + b! + (3 4 b) + (4 5 b) + + b + + b + + (b + )(b + 2) +. Ale b 2, więc < b+ + (b+)(b+2) + < = 3 2. Stąd wynika, że równość ( ) jest sprzecznością; po lewej stronie tej równości jest liczba naturalna, a po prawej nie. Dalej znajdziemy inny dowód niewymierności liczby e (patrz.5.3). A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby e, [Buch] 65. R. Courant, H. Robbins, Liczba Eulera e, [CouR] M. Eastham, The irrationality of e 4 ; a simple proof, [MG] 88(52)(24) A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(986) J. Sondow, A geometric proof that e is irrational and a new measure of its irrationality, [Mon] 3(7)(26) W 873 roku matematyk francuski Charles Hermite (822 9) udowodnił, że liczba e nie jest algebraiczna, tzn. jest liczbą przestępną, czyli nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych...6 (Hermite 973). Liczba e jest przestępna. A. Baker, Transcendence of e, [Bak] 3-6. A. A. Buchsztab, Przestępność liczby e, [Buch] 267. A. I. Gałoczkin, Y.V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby e, [G-ns] 3-8. I. Stewart, Transcendence of e, [Stet] O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] (2)(94) Następne dwie równości dotyczą ułamków łańcuchowych, o których dokładniej powiemy w ostatnim rozdziale tej książki...7. [ e = ] [2;, 2,,, 4,,, 6,,, 8,,,,,... ] (ułamek łańcuchowy). Innymi słowy, e = 2; (a n ), gdzie a 3n = a 3n+ = oraz a 3n = 2n dla n N. ([Buch] 26). e + e + [ ]..8. = [2; 6,, 4, 8,... ]. Dokładniej, e e = 2; (a n ), gdzie a n = 4n + 2 dla n N. ([Buch] 25). n=

5 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste 7 H. Cohn, A short proof of the simple continued fract. expansion of e, [Mon] 3()(26) T.J. Osler, A proof of the continued fraction expansion of e /M, [Mon] 3()(26) n= ( (2n + ) 2 (2n + )! n= = e. ([Crux] 2 s.38). ) ( (2n)! ) (n!) 3 (n!) n= 2 = e 2. ([Crux] 2 s.254 z.245).... lim n ( n k= ( )) 2/n 2 n = e. ([Dlt] 2/995 2). k..2. Jeśli a =, a 2 =, a n+2 = (n + )(a n+ + a n ), to lim a n n! = k= ( ) k k! =. ([Mat] 5/963 29). e..3. Która z liczb (2.7) e oraz e 2.7 jest większa?..4. Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość [ n e ] = n. ([Dlt] 7/2 z.398). D. ([Dlt] 7/2). Liczba e jest granicą ciągów (a n ) i (b n ), gdzie a n = ( + n) n, bn = ( + n) n+. Wiadomo, że ciąg (a n ) jest rosnący. Ciąg (b n ) jest natomiast malejący (łatwo to wynika ze znanej nierówności Bernoulliego). Mamy zatem: ( + n) n ( < e < + ) n, n dla n 2. Stąd + n < n [ ] e < + n i mamy: n < n e < n, a zatem n e = n (dla n = to jest również prawdą). J.L. Coolidge, The number e, [Mon] 57(9)(95) Zofia Kowalska, Pewne własności i zastosowania liczby e, [Pmgr] 983. E. Kuźmin, A. Szirszow, Liczba e, [Kw] 8/

6 8 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste.2 Liczba π.2.. Rozwinięcie dziesiętne liczby π (tysiąc cyfr). π = 3, (Maple). W książce Joaquina Navarro [Nava] podano tysięcy początkowych cyfr liczby π. W tej książce, na stronie 9 jest informacja, że na 762 pozycji po przecinku, rozpoczyna się blok składający się z sześciu dziewiątek i zauważył to po raz pierwszy laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki, Richard Feynman (98 988). Również z tej książki dowiadujemy się, że na pozycji po przecinku, rozpoczyna się blok Odkryto to za pomocą komputera. W internecie można znaleźć ponad milion cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby π Liczba pierwsza utworzona z 38 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π: Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π są pierwsze, gdy n =, 2, 6 lub 38. Innych liczb pierwszych tego typu nie znaleziono. ([Szu87] 63, Maple, K.Brown Primes in the decimal expansion of π) Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple)

7 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste π =, log π =, log 2 π = , log 3 π = , π 2 = , π 2 /6 = , π π = , e π = , π e = , e π = , e + π = (Maple). P. Borwein, L. Jörgenson, Visible structures in number theory, [Mon] (2) 897-9; tutaj są ilustracje dotyczące np. 6 cyfr po przecinku modulo 2 liczby π. A. Zwonkin, Co to jest π?, [Kw] (978) (J.H. Lambert 766). Liczba π jest niewymierna. Po raz pierwszy udowodnił to Johann Heinrich Lambert ( ); matematyk i astronom szwajcarski pochodzenia francuskiego. Dzisiaj znamy kilka różnych dowodów tego faktu. Krótki i bardzo elegancki dowód podał w 947 roku Ivan Niven. D. (Niven 947). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości g(), g(π), g (), g (π), g (), g (π),..., g (k) (), g (k) (π),... są liczbami całkowitymi. (Przez g (k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodziny P posiadają następujące dwie własności. () Jeśli g(x) P, to π Wynika to z całkowania przez części: π f(x)g(x)dx = sin(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą. [ ] π f (x)g(x) f 2 (x)g (x) + f 3 (x)g (x) + ( ) d f d+ (x)g (d) (x), gdzie d jest stopniem wielomianu g(x) oraz f n (x) jest ciągiem funkcji zdefiniowanych następująco: sin(x), gdy n (mod 4), cos(x), gdy n (mod 4), f n (x) = sin(x), gdy n 2 (mod 4), cos(x), gdy n 3 (mod 4). (2) Jeśli g(x), h(x) P, to g(x)h(x) P. To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: (g h) (n) (x) = n k= ( n k) g (k) (x)h (n k) (x). Mamy udowodnić, że π jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że π = a b, gdzie a, b N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g (x), g (x), g 2 (x),... zdefiniowanych następująco: g n (x) = n! xn (a bx) n,

8 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste dla n =,, 2,. Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian g n (x) należy do rodziny P. Dla n = jest to oczywiste. Dla n zachodzi równość g n(x) = g n (x) (a 2bx). Zauważmy, że wielomian a 2bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian g n (x) należy do rodziny P, to - na mocy (2) oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g n(x). Ale g n () = g n (π) =, więc jeśli g n (x) P, to g n (x) P. Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (, π), to każda liczba g n (r) jest ostro większa od zera i wobec tego każda liczba sin(r)g n (r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności wynika, że każda całka π taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem, sin(x)g n (x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (), że każda (3) π sin(x)g n (x)dx dla wszystkich n =,, 2,. Niech M będzie maksymalną wartością wielomianu x (a bx) w przedziale [, π]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy: π sin(x)g n (x)dx π M n n! dx = π M n n!. M Ale lim n n n! =, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że π jest liczbą wymierną prowadzi więc do sprzeczności. K. Brown, Proof that π is irrational. R. Breusch, A proof of the irrationality of π, [Mon] 6(9)(954) A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby π, [Buch] 66. J. Hanel, A simple proof of the irrationality of π 4, [Mon] 93(5)(986) M. K. Mentzen, Krótka prezentacja długiej historii liczby π, [Min] 4(24), T. Nagell, Irationality of the number e and π, [Nagl] I. Niven, A simple proof that π is irrational, [Bams] 53(947), 59. A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(986) (Tożsamość Eulera). e πi + = i i = e π 2. ([Nava] 95). W 882 roku matematyk niemiecki Ferdynand Lindemann ( ) udowodnił, że π jest liczbą przestępną. Udowodnił on nawet więcej:.2.8 (Lindemann 882). Jeśli u,..., u n (gdzie n ) są niezerowymi liczbami algebraicznymi oraz v,..., v n są parami różnymi liczbami algebraicznymi, to liczba jest różna od zera. ([Bak] 6-8, [Buch]). Z tego twierdzenia otrzymujemy: u e v + u 2 e v u n e vn.2.9 (Lindemann 882). Liczba π jest przestępna.

9 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste D. Przypuśćmy, że π jest liczbą algebraiczną. Wtedy πi jest również liczbą algebraiczną i wobec tego z twierdzenia.2.8 wynika, że liczba e πi + e jest różna od zera. Tymczasem, na mocy tożsamości Eulera.2.6, liczba ta jest równa zero. A. A. Buchsztab, Przestępność liczby π, [Buch] 269. A. I. Gałoczkin, Y. V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby π, [G-ns] 8-3. I. Niven, The transcendence of π, [Mon] 46(8)(939) I. Stewart, Transcendence of π, [Stet] O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] (2)(94) (Euler). n= n 2 = π2 6. ( ) n n= n 2 = π2. ([Cmj] 978 s.8, [Nava] 78) (R. Chartres 94). Prawdopodobieństwo tego, że dwie wybrane losowo liczby całkowite są względnie pierwsze wynosi. ([Nava] 67). 6 π Niech Φ(n) = n ϕ(k) dla n N. Wówczas: k= lim n n 2 2Φ(n) = π2 6. ([Nava] 95). B. R. Choe, An elementary proof of n= n = π2 2 6, [Mon] 94(7)(987) Y. Matsuoka, An elementary proof of the formula n= n = π2 2 6, [Mon] 68(5)(96) E. L. Stark, Another proof of the formula n= n = π2 2 6, [Mon] 76(5)(969) P. Strzelecki, O równości /n 2 = π 2 /6, [Dlt] 4/ n= n= 2 n+ (2n + ) ( 2n) = π. ([Crux] 22 s.87). n (2n + ) 2 = π2 8 ( ) n (2n + ) 3 = π3 32 n=. ([Crux] 998 s.43).. ([Nava] 79)..2.7 (J. Gregory 67). arctg x = x x3 3 x5 5 + x7 7. Wstawiając x =, otrzymujemy:.2.8 (Leibniz). n= ( ) n 2n + = π. ([Nava] 29). 4

10 2 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste.2.9 (Euler). Dla każdej liczby naturalnej m zachodzi równość ζ(2m) = ( ) m+ 22m B 2m π 2m, (2m)! gdzie ζ jest funkcją zeta Riemanna oraz B 2m jest liczbą Bernoulliego. Przykłady: ([IrR] 23). n= n 4 = π4 9, n= n 6 = π6 945, n= n 8 = π8 945, n= n = π Niech A, B, C oznaczają zbiory wszystkich liczb naturalnych odpowiednio niekwadratowych, bezkwadratowych oraz pełnopotęgowych (patrz [N-9]). Wtedy n 2 = π2 (5 π 2 ), 9 n A ([Cmj] 7()(986) 98-99). n B n 2 = 5 π 2, n C n 2 = π n= sin n n = ( ) sin n 2 = π n 2 n=. ([Mon] 3(7)(26) 597) (Viéte 597). cos π 4 cos π 8 cos π 6 cos π 32 = 2. Wykorzystując tożsamość cos α = π 2 cos 2 α 2, powyższą równość można przedstawić w postaci ([Mat] /23 3-4) = 2 π. ( ) ( ) ( ) = π4. ([Mon] 4()(934) s.29) (J. Wallis 656). π 2 = , tzn.: n= ([Mon] 5(98) s.39, [Nava] 8, [Mat] 3/ ). 4n 2 4n 2 = π (Euler). n= (2n + ) 2 (2n + ) 2 = π2 8, n= (2n + ) 4 (2n + ) 4 = 5π Niech a =, a n+ = a n + + a 2 n. Wtedy lim a n 2 n = 4. ([OM] Polska 989). π

11 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste Niech (a n ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że a n a n+ = n dla wszystkich a n n N oraz lim =. Wtedy πa 2 n = 2. ([Putn] 969). a n e π > π e. ([Uiuc] 22, [MG] 87(59)(23) s.36) (3.4) π > π 3.4. ([Uiuc] 27) dx x = π 4. ([Ssm] 2(6)(22) z.476 rozw.). Zanotujmy jeszcze kilka innych całek. e x2 dx = π, x 2 dx = π 2, dx x 2 = π,.2.3. dx x 2 = π, x 4 ( x) 4 + x 2 dx = 22 7 π, sin x x dx = π 2. ([Nava]). H. Chan, More formulas for π, [Mon] 3(5)(26) E. Kofler, Kwadratura koła, [Kofl] M. Skwarczyński, Sto lat dla ludolfiny, [Dlt] 3/ Witold Więsław opublikował w czasopiśmie [Mat] serię 23 interesujących artykułów o liczbie π. Pierwszy z tych artykułów pt. O kole i walcu, czyli π po raz pierwszy, jest w [Mat] 2(2) s.74. Ostatni artykuł pt. O czym jeszcze nie wiemy; π po raz dwudziesty trzeci, jest w [Mat] (24) Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych.3.., = 3/3,, = ln 2,, = ( + 5)/2, 2, = 2 2. [Lion]. Przykłady otrzymane przy pomocy Maple ln 2 =, , ln 3 =, , ln 4 =, , ln 5 =, , ln 6 =, , ln 7 =, , ln 8 = 2, , ln 9 = 2, , ln = 2,

12 4 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste.3.3. log 2 =, , log 3 =, , log 4 =, , log 5 =, , log 6 =, , log 7 =, , log 8 =, , log 9 =, log 2 3 =, , log 2 5 = 2, , log 2 6 = 2, , log 2 7 = 2, , log 3 2 =, , log 3 4 =, , log 3 5 =, , log 4 3 =, , log 4 5 =, W każdym ułamku dziesiętnym istnieją dowolnie długie ciągi następujących po sobie cyfr, występujące w rozwinięciu nieskończenie wiele razy. ([Mat] 6/954 68, [S59] 37, [S64] 65) Każda liczba dodatnia jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry i 7. ([TTss] 98, [Kw] 7/982 43). D. Niech a >. Jest oczywiste, że każda liczba dodatnia, a więc w szczególności liczba a/7, jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry i. Zatem a = 7 (a/7) jest sumą dziewięciu liczb z zerami i siódemkami. M. S. Gelfand, Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb, [Kw] 7/ Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne.4.. Liczba, jest niewymierna. ([S5] 222, [BoL] , [B-zm]). D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a, a 2,..., a s ). Ponieważ badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb naturalnych, w jej rozwinięciu dziesiętnym występuje nieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. W tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z 2s dwójek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: = a = Po zerze i przecinku wypisano kolejne liczby kwadratowe, 4, 9, 6, 25, 36,. Powstała liczba, Jest to liczba niewymierna. D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a, a 2,..., a s ). W [N-2] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr,

13 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste 5 to istnieje nieskończenie wiele takich liczb kwadratowych, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb kwadratowych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z 2s dwójek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: = a = 2. W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie.4.3. Po zerze i przecinku wypisano kolejne sześciany, 8, 27, 64, 25, 26,. Powstała liczba, Jest to liczba niewymierna. Stosując odpowiednie fakty o początkowych cyfrach, podane i udowodnione w [N-2], można w ten sam sposób udowodnić następujące twierdzenie. Powyższe stwierdzenia są szczególnymi przypadkami tego twierdzenia Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby f(), f(2), f(3),..., gdzie f jest wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych takim, że f(x) > dla x >. Wówczas otrzymana liczba jest niewymierna. ([Nagl] s.26 z.55, [B-zm] 6) Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby pierwsze. Powstała liczba Jest to liczba niewymierna. ([S59] 347)., D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a, a 2,..., a s ). Z twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym (patrz [N-4]) wynika, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr (przy czym ostatnią cyfrą jest, 3, 7 lub 9), to istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych, których końcowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb pierwszych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z 2s trójek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych trójek. Mamy zatem sprzeczność: = a = Niech (a n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, w którym a n+ a n dla wszystkich n. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny, a a 2 a 3... jest liczbą niewymierną. ([GaT] /98) Niech a n =, gdy n jest bezkwadratowe i niech a n = w przeciwnym wypadku. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny, a a 2 a 3... jest liczbą niewymierną. ([Nagl] s.25 z.54) Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 2, 2 2, 2 4, 2 8, 2 6,.... Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] 2/98, [Fom] 29/7, [Mat] 6/983 36).

14 6 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a, a 2,..., a s ). W [N-2] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr, to istnieje nieskończenie wiele takich potęg dwójki, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych potęg dwójki. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z 2s jedynek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z 2s dwójek. Okres (a,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: = a = 2. W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 3, 3 2, 3 3, 3 4,.... Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] /985)..4.. Po zerze i przecinku wypisano kolejno potęgi danej liczby naturalnej większej od. Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Mat] /985 z.28)..5 Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych Na stronie 9 przedstawiliśmy dowód Nivena niewymierności liczby π. Drobne modyfikacje tego dowodu pozwalają udowodnić następujące twierdzenie..5. (A.E. Parks 986). Niech c > będzie liczbą rzeczywistą i niech f : [, c] R będzie taką funkcją ciągłą, że f(x) > dla wszystkich x z przedziału otwartego (, c). Niech ponadto f, f 2, f 3,... będą funkcjami różniczkowalnymi z [, c] do R takimi, że f = f, f 2 = f, f 3 = f 2,. Jeśli dla każdego n liczby f n () oraz f n (c) są całkowite, to c jest liczbą niewymierną. D. (A.E. Parks 986). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości g(), g(c), g (), g (c), g (), g (c),..., g (k) (), g (k) (c),... są liczbami całkowitymi. (Przez g (k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodziny P posiadają następujące dwie własności. () Jeśli g(x) P, to c Wynika to całkowania przez części: c f(x)g(x)dx = gdzie d jest stopniem wielomianu g(x). (2) Jeśli g(x), h(x) P, to g(x)h(x) P. To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: f(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą. [ ] c f (x)g(x) f 2 (x)g (x) + f 3 (x)g (x) + ( ) d f d+ (x)g (d) (x), (g h) (n) (x) = n k= ( ) n g (k) (x)h (n k) (x). k

15 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste 7 Mamy udowodnić, że c jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że c = a b, gdzie a, b N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g (x), g (x), g 2 (x),... zdefiniowanych następująco: g n (x) = n! xn (a bx) n, dla n =,, 2,. Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian g n (x) należy do rodziny P. Dla n = jest to oczywiste. Dla n zachodzi równość g n(x) = g n (x) (a 2bx). Zauważmy, że wielomian a 2bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian g n (x) należy do rodziny P, to - na mocy (2) oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g n(x). Ale g n () = g n (c) =, więc jeśli g n (x) P, to g n (x) P. Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (, c), to każda liczba g n (r) jest ostro większa od zera i wobec tego każda liczba f(r)g n (r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności wynika, że każda całka c taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem, (3) f(x)g n (x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (), że każda c f(x)g n (x)dx dla wszystkich n =,, 2,. Oznaczmy przez M oraz L maksymalne wartości odpowiednio wielomianu x (a bx) oraz funkcji f(x) na przedziale [, c]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy: c f(x)g n (x)dx c L M n dx = clmn n! n!. M Ale lim n n n! =, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że c jest liczbą wymierną prowadzi więc do sprzeczności Niech r >, r. Jeśli r jest liczbą wymierną, to ln(r) jest liczbą niewymierną. D. (Parks 986). Zamieniając ewentualnie r na /r, możemy założyć, że r >. Wtedy ln(r) >. Niech r = a b, a, b N. Niech c = ln(r) oraz f(x) = be x. Przyjmujemy ponadto, że f n (x) = f(x) = be x (dla wszystkich n N) i mamy spełnione wszystkie założenia twierdzenia.5.. Na mocy tego twierdzenia liczba ln(r) = c jest niewymierna. Na stronie 6 przedstawiliśmy pewien dowód niewymierności liczby e.. Teraz możemy podać drugi dowód Liczba e jest niewymierna. D. Oczywiście e > oraz e. Przypuścmy, że e Q. Wtedy (na mocy poprzedniego twierdzenia) = ln(e) jest liczbą niewymierną; sprzeczność Jeżeli liczba naturalna n nie jest potęgą dziesiątki, to log n jest liczbą niewymierną. ([S59] 4, [Kw] 5/978 4) Niech s N. Liczba n= ( ) n (n!) s jest niewymierna. ([Mat] 5-6/ ).

16 8 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste.5.6. Jeśli < a < a 2 < jest ciągiem liczb naturalnych, to liczba jest niewymierna. ([Mon] 99()(992) E923). n= 2 an a n!.5.7. () Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b Q oraz a n +b n Q dla wszystkich naturalnych n >? Odp. Istnieją. Przykład: a = 2 + 2, b = 2. (2) Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b Q oraz a n +b n Q dla wszystkich naturalnych n >? Odp. Nie istnieją. ([OM] ZSRR 989) Załóżmy, że co najmniej jedna z liczb x i y jest niewymierna. Wtedy co najmniej jedna z liczb x 2 y, y 2 x, x + y jest niewymierna. ([OM] St Petersburg 992) Danych jest 6 liczb niewymiernych. Wykazać, że można z nich wybrać trzy liczby a, b, c takie, że liczby a + b, b + c i c + a są niewymierne. ([MOc] 2 z.5). E. Gałkin, Wymierne czy niewymierne?, [Kw] 5/ M. Grant, M. Perella, Descending to the irrational, [MG] 497(999) R. Hajłasz, Dowody niewymierności pewnych liczb, [Dlt] / A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(986) A. Turowicz, Usuwanie niewymierności z mianownika, [Mat] / Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych.6.. Niech p będzie nieparzystą liczbą całkowitą. Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x 2 + px, to dla każdego naturalnego n liczby a n + b n i a n+ + b n+ są całkowite i względnie pierwsze. ([Str72], [B-rs] 84) Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x 2 6x +, to dla każdego naturalnego n liczby a n + b n są całkowite i niepodzielne przez 5. ([BoL] s.6) Niech x, x 2 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x 2 + ax + b, gdzie a, b Z. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to jest liczbą całkowitą. ([Szn].72, patrz.6.6). f(x ) + f(x 2 ) D. f(x) = h(x)g(x)+cx+d, gdzie h(x) Z[x], c, d Z. Wtedy f(x )+f(x 2 ) = c(x +x 2 )+2d = ca + 2d Z.

17 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste Jeśli liczby x, x 2, x 3 są pierwiastkami równania x 3 x 2 + (a + )x =, gdzie a jest liczbą całkowitą różną od, ±, ±3, to każda liczba postaci x n + x n 2 + x n 3 jest całkowita i niepodzielna przez a. ([Mat] 2/965 88) Niech x, x 2, x 3 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to f(x ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) jest liczbą całkowitą. ([Szn].72, patrz.6.6). D. f(x) = h(x)g(x) + px 2 + qx + r, gdzie h(x) Z[x], p, q, r Z. Wtedy f(x ) + f(x 2 ) + f(x 3 ) = p(x 2 + x x 2 3) + q(x + x 2 + x 3 ) + 3r = p(a 2 b) + qa + 3r Z Niech z, z 2,..., z n, będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu monicznego g(x) Z[x] stopnia n. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to liczba f(z ) + f(z 2 ) + + f(z n ) jest całkowita. D. Rozpatrzmy wielomian n-zmiennych h(x,..., x n ) = f(x ) + f(x 2 ) + + f(x n ). Jest to symetryczny wielomian należący do Z[x,..., x n ]. Ze znanego twierdzenia o wielomianach symetrycznych wynika, że istnieje wielomian w Z[x,..., x n ] taki, że h(x,..., x n ) = w(σ,..., σ n ), gdzie σ,..., σ n są podstawowymi wielomianami symetrycznymi zmiennych x,..., x n. Ponieważ wielomian g(x) jest moniczny i ma całkowite współczynniki, wszystkie liczby postaci σ i (z,..., z n ), dla i =,..., n, są całkowite (są z dokładnością do znaku równe odpowiednim współczynnikom wielomianu g(x)). Mamy więc: f(z ) + f(z 2 ) + + f(z n ) = w(σ (z,..., z n ),..., σ n (z,..., z n )) Z i to kończy dowód Niech x y będą liczbami rzeczywistymi (mogą być nawet liczbami zespolonymi). Jeśli dla czterech kolejnych liczb naturalnych n liczba x n y n x y jest całkowita, to jest całkowita dla każdego n. ([Mon] E2998, [OM] Bułgaria 995) Niech x, y R. () Jeśli liczby x + y, x 2 + y 2, x 4 + y 4 są całkowite, to dla każdego n N liczba x n + y n jest całkowita. ([OM] Polska 998/999) (2) Jeśli liczby x + y, x 2 + y 2, x 3 + y 3 są całkowite, to nie musi być prawdą, że każda liczba postaci x n + y n jest całkowita. Przykład: Jeśli x = 2/2 i y = 2/2, to x + y =, x 2 + y 2 =, x 3 + y 3 =, x 4 + y 4 = 2. ([OM] Polska 997) Niech a b będą liczbami rzeczywistymi. Jeśli liczby a b, a 2 b 2, a 3 b,... są całkowite, to liczby a i b również są całkowite. ([OM] Indie 994).

18 2 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste.6.. Niech a b będą liczbami zespolonymi. Jeśli liczby a 2 b 2, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to liczby a i b również są wymierne. ([MM] 2 s.328)..6.. Niech x R. Jeśli x 2 x Z oraz x n x Z dla pewnego n 3, to x Z. ([OM] Irlandia 998) Niech x R. Jeśli liczby x 99 x, x 96 x i x 2 x są całkowite, to x jest liczbą całkowitą. ([OM] RPA 2) Niech x, y, z R {}. Załóżmy, że xy, yz, zx Q. Wtedy: () x 2 + y 2 + z 2 Q; (2) jeśli x 3 + y 3 + z 3 Q, to x, y, z Q. ([OM] Rumunia 2) Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczby a + b, ac są wymierne i liczby ab, a + c są niewymierne. ([A-P] 25) Liczby log( ) log( + 2) log 2, 2 log 6 + log( ) log( 3 ) log 2 log 3, log( ) log( 6 2) log 2 są całkowite. ([Mat] 5/954 54). ( ) m i.6.6. Niech f(m, n) = i n, gdzie m, n N. m + i= () Każda liczba postaci f(m, n) jest całkowita. (2) Ostatnią cyfrą liczby f(, n) może być tylko, 2 lub 6. ([Mon] 2(2)(995) z.23)..7 Przybliżenia wymierne.7.. Wykazać, że istnieje nieskończony i ograniczony ciąg (x n ) taki, że x n x m dla dowolnych n, m N, n m. ([WaJ] 257(78)). O. Np. x n = 4{n 2}, gdzie {a} = a [a]. n m.7.2. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieją liczby naturalne a, b takie, że ax b. ([B-zm] 98). 3

19 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste Niech u będzie liczbą niewymierną z odcinka (, ). Dla każdej liczby naturalnej n istnieją liczby wymierne a = p q, b = r, gdzie p, q, r, s N takie, że s a < u < b, b a < n oraz rq ps =. ([Bryn] 2.6) Niech α będzie liczbą niewymierną. Dla dowolnych liczb rzeczywistych ε, β, przy czym ε >, istnieją liczby całkowite m, n takie, że mα + β n < ε. ([Kw] 2/974 28, 72) Jeśli α jest niewymierną liczbą rzeczywistą, to istnieje nieskończenie wiele par (x, y), względnie pierwszych liczb całkowitych takich, że x y α < y 2. ([Nagl] 37). W. Bednarek, Przybliżone sumowanie, [Dlt] 9/ D. B. Fuks, M. B. Fuks, O najlepszych przybliżeniach, [Kw] 6/97-7, [Kw] / D. B. Fuks, M. B. Fuks, Przybliżenia wymierne i transcendentność, [Kw] 2/ H. Rademacher, O. Toeplitz, [RaT] C. I. Sobolev, O przybliżeniach przypadkowych, [Kw] 5/ K. Szymiczek, O aproksymacjach diofantycznych, [Dlt] / Maksima i minima.8.. Jeśli x, y, z R, to x + y = min(x, y) + max(x, y) oraz max(x, y, z) = x + y + z min(x, y) min(y, z) min(z, x) + min(x, y, z) Niech f : R R będzie funkcją taką, że f(x + y) = max(f(x), y) + min(x, f(y)) dla wszystkich x, y R. Wtedy f(x) = x dla x R. ([OM] Rosja 998) max(, a) + max(, a, b) = max(, a max(, b)) + max(, b, a, b a). ([MOc] 997/998 z25) Liczby rzeczywiste a, b, c są takie, że max(a, b) + max(c, 997) = min(a, c) + min(b, 998). Wykazać, że b c. ([OM] St Petersburg 998) Znaleźć wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c takie, że ([OM] St Petersburg 998). max(a, b) max(c, 998) = min(a, c) min(b, 998)..8.6 (H. Steinhaus). Funkcja f(x, y, z) = x y + x + y 2x + x y + x + y + 2z jest symetryczna. ([Mat] 4/957 55). R. f(x, y, z) = 4 max(x, y, z) b a ab + b+a ab 2 c + b a ( ) ab + b+a ab + 2 c = 4 max a, b, c. ([OM] Jugosławia 973, [Pa97]). P. Aleksiejew, L. Kurlandczyk, Suma minimów i minimum sumy, [Kw] 3/

20 22 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste.9 Metryki Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X R nazywamy metryką (lub funkcją odległości) w zbiorze X, jeśli dla dowolnych elementów x, y, z X spełnione są następujące warunki: () d(x, y), (2) d(x, y) = x = y, (3) d(x, y) = d(y, x), (4) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)..9.. Warunek () wynika z pozostałych warunków. D. d(x, y) = 2 (d(x, y) + d(x, y)) = 2 (d(x, y) + d(y, x)) 2d(x, x) = Każda funkcja δ : X X R, spełniająca dla dowolnych elementów x, y, z X następujące dwa warunki: (a) δ(x, y) = x = y, (b) δ(x, y) δ(x, z) + δ(y, z), jest metryką w zbiorze X. ([JedW]). D. Z warunków (a) i (b) wynika, że δ(x, y) δ(x, x) + δ(y, x) = δ(y, x) oraz δ(y, x) δ(y, y) + δ(x, y) = δ(x, y). Zatem δ(x, y) δ(y, x) i δ(y, x) δ(x, y), czyli δ(x, y) = δ(y, x). Funkcja δ spełnia więc warunki (2), (3) i (4) podane w definicji metryki. Warunek () jest również spełniony (patrz.9.). Jeśli d : X X R jest metryką w zbiorze X, to zbór X nazywa się przestrzenią metryczną względem metryki d Niech d : X X R będzie metryką w zbiorze X i niech δ : X X R będzie funkcją określoną wzorem d(x, y) δ(x, y) = + d(x, y), dla x, y X. Funkcja δ też jest metryką w zbiorze X. ([JedW]). D. Niech x, y, z X i niech w = d(x, z) + d(z, y) d(x, y). Liczba w jest nieujemna. Z równości δ(x, z) + δ(z, y) δ(x, y) = w + 2d(x, z)d(z, y) + d(x, y) + d(x, z) + d(z, y) ( + d(x, z))( + d(z, y))( + d(x, y)) wynika, że δ(x, y) δ(x, z) + δ(y, z). Pozostałe warunki są oczywiste Niech f : X X będzie dowolną funkcją i niech d : X X R będzie metryką w zbiorze X. Definiujemy nową funkcję δ : X X R, przyjmując {, gdy x = y, δ(x, y) = d(x, f(x)) + df(f(x), f(y)) + d(f(y), y), gdy x y. Funkcja δ też jest metryką w zbiorze X. ([JedW]).

21 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste Niech d r (x, y) = x y (x + y) r. Jeśli r = lub r [, ], to funkcja d r jest metryką w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych. ([Crux] 992 z.636 s.23-25)..9.6 (M. S. Klamkin, A. Meir 982). Niech d(x, y) = x y ( x p + y p ) /p. Jeśli p, to funkcja d jest metryką w R. To jest też prawdą, gdy p = 2. Dla p = 4 funkcja ta nie jest metryką. ([Crux] 992 s.23-25)..9.7 (M. S. Klamkin 993). Niech d(x, y) = x y ( x + y ) r. Jeśli r = lub r [, ], to funkcja d jest metryką w zbiorze niezerowych liczb rzeczywistych. ([Crux] 993 s.42) Funkcja d : R R R, określona wzorem d(x, y) = x y + x2 + y 2 (dla x, y R), jest metryką. ([Kw] 2/979 24). D. Wykażemy najpierw, że d (tg α, tg β) = sin(α β), dla wszystkich α, β ( π 2, π 2 ) : d (tg α, tg β) = = tg α tg β + tg 2 α + tg 2 β = sin α cos α sin β cos β + sin2 α cos 2 α + sin2 β cos 2 β sin α cos β sin β cos α cos2 α + sin 2 α cos = sin α cos β sin β cos α 2 β + sin 2 β = sin(α β). Niech teraz x, y, z będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Istnieją wtedy α, β, γ ( π 2, ) π 2 takie, że x = tg α, y = tg β oraz z = tg γ. Mamy wtedy: ( d(x, y) = sin(α β) = sin (α γ) + (γ β)) = sin(α γ) cos(γ β) + sin(γ β) cos(α γ) sin(α γ) cos(γ β) + sin(γ β) cos(α γ) = sin(α γ) cos(γ β) + sin(γ β) cos(α γ) sin(α γ) + sin(γ β) = d(x, z) + d(z, y),

22 24 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste a zatem, d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Pozostałe warunki są oczywiste. Powyższa metryka d pojawia się w dość naturalny sposób i jest szczególnym przypadkiem tak zwanych metryk sferycznych. Wyjaśnijmy to dokładniej. Rozpatrzmy na płaszczyźnie R 2 okrąg S o środku w punkcie (, 2 ) i promieniu r = 2. Jest to okrąg styczny do osi x-ów. Każdy punkt (u, v), tego okręgu, spełnia równość u 2 + v 2 = v. Punkt N = (, ), leżący na tym okręgu, nazwijmy biegunem północnym. Niech A = (x, ) będzie dowolnym punktem leżącym na osi x-ów. Prosta przechodząca przez punkty N i A przecina okrąg S w dokładnie ( jednym punkcie różnym od bieguna N. Łatwo sprawdzić, że tym punktem przecięcia jest x x +x, 2 2 +x ). Mamy zatem funkcję h : R S {N} określoną 2 wzorem ( x h(x) = + x 2, x 2 ) + x 2 dla wszystkich x R. Oznaczmy przez f funkcję z S {N} do R określoną wzorem f(u, v) = u v. dla wszystkich (u, v) S {N}. (Zauważmy, że v, gdyż u 2 +v 2 = v oraz (u, v) (, )). Bez trudu sprawdzamy, że funkcje h oraz f są wzajemnie odwrotne. Dołączmy do prostej R jeszcze jeden element zwany punktem w nieskończoności. Oznaczmy go symbolem. Nazwijmy zbiór R { } prostą domkniętą i oznaczmy ten zbiór przez R. Przyjmijmy dodatkowo, że h( ) = N oraz f(n) =. W ten sposób otrzymujemy dwie wzajemnie odwrotne funkcje h : R S oraz f : S R. Niech d 2 : R 2 R 2 R będzie metryką euklidesową, tzn. d 2 (x, y) = (x y ) 2 + (x 2 y 2 ) 2, dla x = (x, x 2 ), y = (y, y 2 ) R 2. Za pomocą metryki d 2 oraz funkcji h definiujemy nową funkcję δ : R R R, przyjmując ) ( ) δ(x, y) = d 2 (h(x), h(y), dla x, y R Powyższa funkcja δ : R R R jest metryką. D. Wynika to natychmiast z tego, że d 2 jest metryką oraz h jest funkcją różnowarościową (a nawet bijekcją). Łatwo sprawdzić, że zachodzą następujące równości..9.. () δ(x, y) = x y + x2 + y 2 dla x, y R; (2) δ(x, ) = + x 2 dla x R. Widzimy więc, że metryka δ obcięta do zbioru R R jest dokładnie tą samą metryką d, którą przedstawiliśmy w.9.8.

23 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste Niech δ : R R R będzie metryką taką jak powyżej, tzn. zdefiniowaną równością ( ) Niech d (x, y) = x y oraz niech d : R R R będzie obcięciem metryki δ do zbioru R R (czyli d jest metryką podaną w.9.8). Mamy wówczas: () δ(x, y) dla wszystkich x, y R; ( ) (2) R, δ jest przestrzenią zwartą. (3) metryki d oraz d są równoważne, tzn. jeśli (x n ) jest ciągiem o wyrazach należących do R oraz a R, to ciąg (x n ) jest zbieżny do a względem metryki d wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (x n ) jest zbieżny do a względem metryki d. (4) Niech (x n ) będzie ciągiem o wyrazach należących do R. Załóżmy, ( że ) granicą ciągu ( x n ) (w zwykłym sensie) jest +. Wtedy ciąg (x n ) jest zbieżny w R, δ i jego granicą jest. W szczególności, ciąg x n = ( 2) n jest zbieżny względem metryki δ i jego granicą jest. Wszystkie przedstawione konstrukcje można powtórzyć w dowolnych wymiarach. Niech n będzie liczbą naturalną i niech R n = { (x,..., x n ); x,..., x n R }, R n+ = { (u,..., u n, v); u,..., u n, v R }. Rozpatrzmy w przestrzeni R n+ sferę S n o środku w punkcie (,,...,, 2 ) i promieniu r = 2. Każdy punkt (u,..., u n, v) tej sfery spełnia równość u u 2 n + v 2 = v. Punkt N = (,...,, ), leżący na tej sferze, nazwijmy biegunem północnym. Niech x = (x,..., x n ) R n i niech A = (x, ). Prosta w R n+, przechodząca przez punkty N i A, przecina sferę S n w dokładnie jednym punkcie różnym od bieguna N. Łatwo sprawdzić, że tym punktem przecięcia jest ( x + x 2, x 2 + x 2,..., x n + x 2, x 2 = x 2 + x x 2 n. x 2 + x 2 ), gdzie Mamy zatem funkcję h : R n S n {N} określoną wzorem ( x h(x) = + x 2, x 2 + x 2,..., x n + x 2, x 2 ) + x 2, dla wszystkich x = (x,..., x n ) R. Oznaczmy przez f funkcję z S n {N} do R n określoną wzorem ( ) u f(u, v) = v,..., u n, v dla wszystkich (u, v) S n {N}, gdzie u = (u,..., u n ). (Zauważmy, że v ). Bez trudu sprawdzamy, że funkcje h oraz f są wzajemnie odwrotne. Dołączmy do przestrzeni R n jeszcze jeden element zwany punktem w nieskończoności. Oznaczmy go symbolem. Nazwijmy zbiór R n { } przestrzenią domkniętą i oznaczmy ten zbiór przez R n. Przyjmijmy dodatkowo, że h( ) = N oraz f(n) =. W ten sposób otrzymujemy dwie wzajemnie odwrotne funkcje h : R n S n oraz f : S n R n. Niech d s : R s R s R (dla każdego s ) oznacza metrykę euklidesową, tzn. d s (x, y) = (x y ) (x s s 2 ) 2, dla x = (x,..., x s ), y = (y,..., y s ) R s.

24 26 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste Za pomocą metryki d n+ oraz funkcji h definiujemy nową funkcję δ n : R n R n R, przyjmując ) δ n (x, y) = d n+ (h(x), h(y), dla x, y R n Powyższa funkcja δ n : R n R n R jest metryką. D. Wynika to natychmiast z tego, że d n+ jest metryką oraz h jest funkcją różnowarościową (a nawet bijekcją). Łatwo można udowodnić następujące stwierdzenie () δ n (x, y) = d n (x, y) + x 2 + y 2 dla x, y R n. (2) δ n (x, ) = + x 2 dla x R n. (3) δ n (x, y) dla wszystkich x, y R n. ) (4) (R n, δ n jest przestrzenią zwartą. (5) Niech d oznacza metrykę δ n obciętą do R n R n. Metryki d oraz d n są równoważne, tzn. jeśli (x n ) jest ciągiem o wyrazach należących do R n oraz a R n, to ciąg (x n ) jest zbieżny do a względem metryki d wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (x n ) jest zbieżny do a względem metryki d n. Opisane konstrukcje w przypadku n = 2 mają istotne zastosowania w analizie zespolonej. Godnymi polecenia są polskie książki: [Ch-], [Ch-z] oraz [Leja], w których znajdziemy podstawowe twierdzenia i fakty dotyczące omawianej tematyki. Odwzorowanie h : R 2 S 2, którym się zajmowaliśmy, nazywa się rzutem stereograficznym (płaszczyzny domkniętej na sferę).. Liczby postaci x + /x... Niech a n = x n + x n, dla n N. Wtedy a i a j = a i+j + a i j, dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych n m. W szczególności, (gdy i = n +, j = ) mamy równość dla n. a n+2 = a a n+ a n, D. a n a m = ( ) ( ) x n + x x m + n x = x n+m + x n m + m x + n m x = a n+m n+m + a n m...2. Rozpatrzmy ciąg (A n (x)) n N, wielomianów należących do Z[x] takich, że A (x) = 2, A (x) = x, A n+2 = xa n+ (x) A n (x), dla n. Wtedy dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość ( A n x + ) = x n + x x n.

25 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste 27 D. (Indukcja ze względu na n). Dla n = i n = jest to oczywiste. Oznaczmy a n = x n + x, ( n dla n N i niech n 2. Mamy wtedy: A n+ x + x) = An+ (a ) = a A n (a ) A n (a ) = a a n a n = a n+ = x n+ + x. n+..3. Początkowe wielomiany A n (x) zdefiniowane w..2 (Maple). A = x, A 2 = x 2 2, A 3 = x 3 3x = x(x 2 3), A 4 = x 4 4x 2 + 2, A 5 = x 5 5x 3 + 5x = x(x 4 5x 2 + 5), A 6 = x 6 6x 4 + 9x 2 2 = (x 4 2)(x 2 4x + ), A 7 = x 7 7x 5 + 4x 3 7x = x(x 6 7x 4 + 4x 2 7), A 8 = x 8 8x 6 + 2x 4 6x 2 + 2, A 9 = x 9 9x x 5 3x 3 + 9x = x(x 2 3)(x 6 6x 4 + 9x 2 3), A = x x x 6 5x x 2 2 = (x 2 2)(x 8 8x 6 + 9x 4 2x 2 + ), A = x x x 7 77x x 3 x = x(x x x 6 77x x 2 ), A 2 = x 2 2x + 54x 8 2x 6 + 5x 4 36x = (x 4 4x 2 + 2)(x 8 8x 6 + 2x 4 6x 2 + )...4. Wielomiany A n, zdefiniowane w..2, mają następujące właności. () Każdy wielomian A n, dla n N, jest moniczny stopnia n. (2) Jeśli n jest parzyste, to funkcja x A n (x) jest parzysta. (3) Jeśli n jest nieparzyste, to funkcja x A n (x) jest nieparzysta. (4) Każdy wielomian postaci A nm, gdzie n, m N i m jest nieparzyste, jest podzielny przez wielomian A n. Dokładniej, jeśli m = 2k + jest liczbą nieparzystą, to dla każdego n N zachodzi równość ) A n(2k+) = A n (A 2kn A 2(k )n + A 2(k 2)n ± A 2n. D. Własności (), (2) i (3) wynikają z definicji wielomianów postaci A n. Wykażemy, że zachodzi równość (4). Oznaczmy przez F (x) wielomian występujący po prawej stronie tej równości. Z..2 wynika, że ( ) A n(2k+) x + x = x n(2k+) + = (x n ) 2k+ + ( ) 2k+ x n(2k+) x n = ( ) ( x n + x (x n ) 2k (x n ) 2(k ) + x n(2k 2)... ) n ( = A n x + x = F ( x + x). ) ( A2kn ( x + x ) A2(k )n ( x + x ) + A2(k 2)n ( x + x )... ) Niech G(x) = A n(2k+) (x) F (x). Z powyżej równości wynika, że G(a + a ) = dla wszystkich a N. Jest oczywiste, że jeśli a, b N, a b, to a + a b + b. Wielomian G(x) ma więc nieskończenie wiele pierwiastków. Zatem G =, czyli A (2k+)n (x) = F (x)...5. Dla każej nieparzystej liczby naturalnej n istnieje ) wielomian moniczny f n (x), o współczynnikach całkowitych stopnia n taki, że f n (x x = x n x. n ([Putn] 959). D. ([AndG] 83). Wynika to z równości x 2 + x = ( x 2 x) + 2 oraz x 2k+ 2 x 2k+ = ( ) ( ) ( ) x 2 + x x 2k 2 x x 2k 3 2k x. 2k 3

26 28 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste..6. Niech x będzie liczbą zespoloną cos t + i sin t, gdzie t R. Wtedy: D. Wynika to ze wzoru Moivre a. x + x = 2 cos t, xn + x n = 2 cos(nt). W następnym fakcie pojawia się wielomian Czebyszewa T n (x). Wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju nazywamy każdy wyraz ciągu (T n (x)), wielomianów z Z[x], zdefiniowanych następująco: T (x) =, T (x) = x, T n+2 (x) = 2xT n+ T n (x). Własnościami i zastosowaniami tych wielomianów zajmiemy się w [N2]). Zanotujmy jedynie znaną równość: T n (cos t) = cos(nt), dla n N. ( )..7. T n 2 (x + x ) = 2 (xn + x n ). ([BoE] 33, [AndG] 52). D. Rozpatrzmy liczbę zespoloną x = cos t+i sin t. Wiemy (patrz..6), że wtedy x+x = 2 cos t ( oraz x n + x n = 2 cos(nt). Zatem T n 2 (x + x ) ) = T n (cos t) = cos(nt) = 2 (xn + x n ). Skoro rozważana równość zachodzi dla wszystkich liczb zespolonych leżących na okręgu z =, to również zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej x...8. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x + jest całkowita. Wtedy każda x liczba postaci x n +, gdzie n N, jest całkowita. ([G-if] 3). xn D. Wynika to z równości x n + ( x n = A n x + ), gdzie A n jest wielomianem, o współczynnikach x całkowitych, zdefiniowanym w Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x, dla których każda liczba postaci n N, jest całkowita. ([Nord] 996). x n + x n, R. Z..8 wiemy, że wystarczy by liczba x + x była całkowita. Niech x + x dla m,, mamy m 2 4 i wtedy x = m± m = m Z. Wtedy... Jeśli x + x = + 5 2, to x 2 + = 2. ([AndG] 53). x2... Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczba x + x liczba postaci x n + x n, gdzie n N, jest wymierna. ([G-if] 3). jest wymierna. Wtedy każda

27 Andrzej Nowicki, Podróże po Imp.L., Liczby rzeczywiste 29 D. Wynika to z równości x n + x n = A n ( x + x), gdzie An jest wielomianem, o współczynnikach całkowitych, zdefiniowanym w Niech < x R, k N. Jeśli liczby x k + x k oraz xk+ + są wymierne, to xk+ x + jest liczbą wymierną. ([KoM] 2(4) A238). x..3. Niech α R i niech k N. Jeśli liczby cos(kα) i cos((k + )α) są wymierne, to cos α jest również liczbą wymierną. D. Oznaczmy x = cos α + i sin α. Wtedy x + x = 2 cos α oraz xn + x n (patrz..6). Teza wynika zatem z Niech a = oraz a n+ = a n + a n dla n N. Wtedy: () a > 4; (2) [a ] = 44; (3) lim a n n = 2. ([Kw] 4/2 M79). = 2 cos(nα) dla n N T. Andreescu, R. Gelca, x + /x, [AndG] Różne fakty i zadania dotyczące liczb rzeczywistych... Jeśli..2. Jeśli a 2 b 2 a 4 2b 4 =, to a2 b 2 a 2 + b 2 =. ([OM] Moskwa 994/995). 3 2a a + b + b 3a b = 2, to = lub 3. ([OM] Moskwa 994/995). a b a + 5b..3. Niech a, b R {}. Jeśli a + b = a + b, to ([Mock] 3/2). a 3 + b 3 = a 3 + b 3. U. Łatwo wykazać, że jeśli a+b = a + b, to b = a lub b = a. Stąd mamy np.: jeśli a+b = a + b, to a 5 + b 5 = a 5 + b 5, a 7 + b 7 = a 7 + b 7, Jeśli a, b, c, d są parami różnymi liczbami rzeczywistymi, to a 4 + (a b)(a c)(a d) + b 4 + (b a)(b c)(b d) + c 4 + (c a)(c b)(c d) + d 4 + (d a)(d b)(d c) = a + b + c + d. ([Crux] 2 s.5 z.2487)...5. Znaleźć wszystkie trójki (x, y, z) R 3 takie, że ([MOc] 2 z.5). x(y + ) = y(z + ) = z(x + ).