Liczby i funkcje rzeczywiste

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 10 Liczby i funkcje rzeczywiste Andrzej Nowicki Wydanie drugie, poprawione i uzupełnione Olsztyn, Toruń, 013

2 RZL - 39(005)

3 Spis treści Wstęp 1 1 Liczby rzeczywiste Liczba e Liczba π Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych Przybliżenia wymierne Maksima i minima Metryki Liczby postaci x + 1/x Różne fakty i zadania dotyczące liczb rzeczywistych Liczby z pierwiastkami 31.1 Rozwinięcia dziesiętne liczb z pierwiastkami Równości z pierwiastkami kwadratowymi Pierwiastki kwadratowe i potęgi Pierwiastki trzeciego stopnia Równości z pierwiastkami trzeciego i drugiego stopnia Równości z pierwiastkami wyższych stopni Wymierność lub niewymierność liczb z pierwiastkami Nieskończone ciągi z pierwiastkami Granice ciągów z pierwiastkami Przybliżenia wymierne liczb z pierwiastkami Różne fakty i zadania z pierwiastkami Ciągi liczb rzeczywistych Skończone ciągi arytmetyczne Nieskończone ciągi arytmetyczne Ciągi geometryczne Ciągi arytmetyczne i geometryczne Skończone ciągi liczb rzeczywistych Nieskończone ciągi liczb rzeczywistych Granice ciągów Sumy szeregów Część całkowita liczby rzeczywistej Równości z częścią całkowitą (bez pierwiastków) Równości z częścią całkowitą i pierwiastkami Część całkowita dla liczb z rozszerzeń kwadratowych Nierówności z częścią całkowitą Część całkowita i ciągi Część całkowita, nwd i nww Część całkowita i liczby pierwsze Część całkowita i relacja podzielności i

4 4.9 Część całkowita i liczby kwadratowe Liczby postaci [nx] Część całkowita i wielomiany Ciąg x n+1 = x n + 1/[x n ] Różne fakty i zadania z częścią całkowitą Równania z częścią całkowitą Równania pierwszego stopnia z częścią całkowitą Równanie ax + b[x] + c = Równanie a[x] + bx + c = Inne równania drugiego stopnia z częścią całkowitą Równania trzeciego stopnia z częścią całkowitą Równania z pierwiastkami i częścią całkowitą Różne równania z częścią całkowitą Część ułamkowa liczby rzeczywistej Równości z częścią ułamkową Równania z częścią ułamkową Nierówności z częścią ułamkową Różne fakty i zadania z częścią ułamkową Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych dla pewnych kątów ostrych Wielokrotności kąta π Tożsamości trygonometryczne z sumami Tożsamości trygonometryczne z iloczynami Nierówności trygonometryczne Różne zadania z funkcjami trygonometrycznymi Funkcje rzeczywiste Przykłady i pewne własności funkcji rzeczywistych Punkty stałe Przykłady funkcji okresowych Sumy funkcji okresowych Funkcje ciągłe Funkcje różniczkowalne Równania funkcyjne Wielomianowe równanie (x-a)f(x-p) = (x-b)f(x-q) Inne wielomianowe równania funkcyjne Równania funkcyjne z iteracjami funkcji niewiadomej a(x)f(u(x)) + b(x)f(v(x)) = c(x) Różne równania funkcyjne jednej zmiennej f(x+y) = f(x) + f(y), funkcje Hamela, równanie Cauchy ego f(x+y) = f(x) + f(y) + a(x,y) x s f(y) ± y r f(x) = a(x,y) f(xf(y))) = a(x,y) Różne równania funkcyjne dwóch i więcej zmiennych Funkcje f(g(x)) i g(f(x)) ii

5 9.1 Dwie funkcje i równania funkcyjne Nierówności funkcyjne Pierścień funkcji ciągłych Definicje i początkowe własności Elementy odwracalne Dzielniki zera Idempotenty i przestrzenie spójne Zbiory zer z-ideały Ideały maksymalne Ideały pierwsze Homomorfizmy pierścieni funkcji ciągłych Ułamki łańcuchowe Podstawowe pojęcia wstępne Skończone ułamki łańcuchowe Nieskończone ułamki łańcuchowe Rozwinięcia dla pierwiastków kwadratowych Dodatkowe fakty Spis cytowanej literatury 178 Skorowidz nazwisk 185 Skorowidz 189 iii

6

7 Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1,, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

8 Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 0. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 1. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały.

9 o o o o o W dziesiątej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się liczbami rzeczywistymi i funkcjami rzeczywistymi. Przez funkcję rzeczywistą rozumiemy każdą funkcję określoną na podzbiorze zbioru wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmującą wartości będące liczbami rzeczywistymi. Książka składa się z jedenastu rozdziałów. W rozdziale pierwszym zebrano różne fakty, informacje i zadania dotyczące samych liczb rzeczywistych. Mowa jest tu o rozwinięciach dziesiętnych, przybliżeniach wymiernych i o problemach niewymierności lub całkowitości pewnych liczb rzeczywistych. Oddzielne podrozdziały dotyczą wybranych własności liczb e i π. Rozdział drugi zajmują liczby rzeczywiste, będące pierwiastkami dowolnego stopnia z liczb naturalnych lub z dodatnich liczb wymiernych. W rozdziale trzecim zajmujemy sią ciągami liczb rzeczywistych. Mówimy tu o ciągach arytmetycznych i geometrycznych. Rozważane są ciągi zarówno skończone jak i nieskończone. Dla pewnych nieskończonych ciągów obliczane są granice i sumy szeregów. We wszystkich książkach serii Podróże po Imperium Liczb przez [x] oznaczamy część całkowitą liczby rzeczywistej x. Ta część całkowita występować będzie caęsto w dwóch następnych rozdziałach. W rozdziale czwartym rozważamy liczne równości i nierówności z częściami całkowitymi oraz przedstawiamy pewne problemy dotyczące części całkowitej i relacji podzielności. W rozdziale piątym jest szereg różnych równań z częściami całkowitymi liczb rzeczywistych. Dowodzi się tu, między innymi, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją dwie liczby całkowite a i b takie, że równanie x + a[x] + b = 0 posiada dokładnie n rozwiązań. Podobną własność mają równania postaci [x] + ax + b = 0. Przez {x} oznaczamy część ułamkową liczby rzeczywistej x, tzn. {x} = x [x]. Różne zagadnienia dotyczące części ułamkowej znajdują się w rozdziale szóstym. W rozdziałach od siódmego do dziewiątego rozważane są funkcje rzeczywiste. W rozdziale siódmym są funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Są to szczególne przykłady funkcji okresowych. W następnym rozdziale (ósmym) przedstawiono, między innymi, pewne własności funkcji okresowych. Z funkcjami rzeczywistymi spotykamy się również w rozdziale dziewiątym zatytułowanym Równania funkcyjne. W tym rozdziale podano szereg różnych równań, w których niewiadome są funkcjami rzeczywistymi. W rozdziale dziesiątym zakładamy, że Czytelnik zna podstawowe pojęcia i fakty o przestrzeniach topologicznych i pierścieniach przemiennych z jedynką. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to przez C(X) oznaczamy zbiór wszystkich funkcji ciągłych z X do R. Zbiór ten jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Zajmujemy się pewnymi algebraicznymi własnościami tego pierścienia. Mówimy o dzielnikach zera, elementach odwracalnych, idempotentach, homomorfizmach. Sporo miejsca poświęcamy ideałom pierścienia C(X). Podajemy, między innymi, elementarny dowód na to, że jeśli X jest dowolną przestrzenią topologiczną, to każdy ideał pierwszy w C(X) zawarty jest w dokładnie jednym ideale maksymalnym. W omawianym rozdziale najbardziej nas interesują pierścienie C(R) i C([a, b]), gdzie a < b są liczbami rzeczywistymi. Znajdziemy tu, między innymi, prosty dowód twierdzenia, że w pierścieniu C([a, b]) istnieją niemaksymalne ideały pierwsze. Do powstania tego rozdziału w znacznej mierze przyczyniły się odczyty Profesora Stanisława Balcerzyka, wygłoszone w latach siedemdziesiątych 3

10 ubiegłego wieku, na Seminarium Algebraicznym Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu. Główną pozycją literatury, dotyczącej tego rozdziału, jest piękna książka L. Gillmana i M. Jerisona [G-J] z 1960 roku. Ostatni rozdział tej książki nie jest związany z rozdziałami poprzednimi. Podano w nim niezbędne informacje o ułamkach łańcuchowych. W rozdziale tym znajdziemy, między innymi, liczne przykłady rozwinięć na nieskończony ułamek łańcuchowy liczb niewymiernych postaci d, gdzie d jest niekwadratową liczbą naturalną. 4

11 1 Liczby rzeczywiste Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oznaczamy przez R. Każda liczba rzeczywista ma dokładnie jedno nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Dla przykładu takim nieskończnonym rozwinięciem dziesiętnym liczby 1 3 jest 0, 3333, a liczby 1 jest 0, Dana liczba rzeczywista jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest od pewnego miejsca okresowe. 1.1 Liczba e ( e = n lim 1 + n) 1 n e = ! + 1! + 1 3! Rozwinięcie dziesiętne liczby e (tysiąc cyfr). e =, (Maple) Liczba pierwsza utworzona z 85 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e: Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e są pierwsze, gdy n = 1, 3, 7 lub 85. Czy są jeszcze inne tego rodzaju liczby pierwsze? (Maple) Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby e. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple)

12 6 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste e = 1, , e e = 15, , log e = 0, , log e = 1, , log 3 e = 0, (Maple). R. G. Stoneham, A study of 60, 000 digits of the transcendental e, [Mon] 7(5)(1965) Liczba e jest niewymierna. D. Przypuśćmy, że e jest liczbą wymierną. Niech e = a b, gdzie a, b N. Wiemy, że < e < 3, a więc e nie jest liczbą całkowitą i wobec tego b. Mnożymy obie strony równości e = 1 n! przez b! i mamy: ( ) a(b 1)! = ( ) b! + b! + (3 4 b) + (4 5 b) + + b b (b + 1)(b + ) +. Ale b, więc 0 < 1 b (b+1)(b+) + < = 1 3. Stąd wynika, że równość ( ) jest sprzecznością; po lewej stronie tej równości jest liczba naturalna, a po prawej nie. Dalej znajdziemy inny dowód niewymierności liczby e (patrz 1.5.3). A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby e, [Buch] 65. R. Courant, H. Robbins, Liczba Eulera e, [CouR] M. Eastham, The irrationality of e 4 ; a simple proof, [MG] 88(51)(004) A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) J. Sondow, A geometric proof that e is irrational and a new measure of its irrationality, [Mon] 113(7)(006) W 1873 roku matematyk francuski Charles Hermite ( ) udowodnił, że liczba e nie jest algebraiczna, tzn. jest liczbą przestępną, czyli nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych (Hermite 1973). Liczba e jest przestępna. A. Baker, Transcendence of e, [Bak] 3-6. A. A. Buchsztab, Przestępność liczby e, [Buch] 67. A. I. Gałoczkin, Y.V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby e, [G-ns] I. Stewart, Transcendence of e, [Stet] O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] 11(1)(1904) Następne dwie równości dotyczą ułamków łańcuchowych, o których dokładniej powiemy w ostatnim rozdziale tej książki [ e = ] [; 1,, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,... ] (ułamek łańcuchowy). Innymi słowy, e = ; (a n ), gdzie a 3n = a 3n+1 = 1 oraz a 3n 1 = n dla n N. ([Buch] 16). e + 1 e + 1 [ ] = [; 6, 10, 14, 18,... ]. Dokładniej, e 1 e 1 = ; (a n ), gdzie a n = 4n + dla n N. ([Buch] 15). n=0

13 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 7 H. Cohn, A short proof of the simple continued fract. expansion of e, [Mon] 113(1)(006) T.J. Osler, A proof of the continued fraction expansion of e 1/M, [Mon] 113(1)(006) n=0 ( (n + 1) (n + 1)! n=0 = e. ([Crux] 000 s.308). ) ( (n)! ) 1 1 (n!) 3 (n!) n=0 = e. ([Crux] 000 s.54 z.450) lim n ( n k=0 ( )) /n n = e. ([Dlt] /1995 1). k Jeśli a 1 = 0, a = 1, a n+ = (n + 1)(a n+1 + a n ), to lim a n n! = k=0 ( 1) k k! = 1. ([Mat] 5/ ). e Która z liczb (.71) e oraz e.71 jest większa? Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość [ 1 n e 1 ] = n 1. ([Dlt] 7/000 z.398). D. ([Dlt] 7/000). Liczba e jest granicą ciągów (a n ) i (b n ), gdzie a n = ( 1 + n) 1 n, bn = ( 1 + n) 1 n+1. Wiadomo, że ciąg (a n ) jest rosnący. Ciąg (b n ) jest natomiast malejący (łatwo to wynika ze znanej nierówności Bernoulliego). Mamy zatem: ( 1 + n) 1 n ( < e < ) n, n 1 dla n. Stąd n < n [ ] e < n 1 i mamy: n 1 < n 1 1 e 1 < n, a zatem n e 1 = n 1 (dla n = 1 to jest również prawdą). J.L. Coolidge, The number e, [Mon] 57(9)(1950) Zofia Kowalska, Pewne własności i zastosowania liczby e, [Pmgr] E. Kuźmin, A. Szirszow, Liczba e, [Kw] 8/

14 8 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 1. Liczba π Rozwinięcie dziesiętne liczby π (tysiąc cyfr). π = 3, (Maple). W książce Joaquina Navarro [Nava] podano 10 tysięcy początkowych cyfr liczby π. W tej książce, na stronie 119 jest informacja, że na 76 pozycji po przecinku, rozpoczyna się blok składający się z sześciu dziewiątek i zauważył to po raz pierwszy laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki, Richard Feynman ( ). Również z tej książki dowiadujemy się, że na pozycji po przecinku, rozpoczyna się blok Odkryto to za pomocą komputera. W internecie można znaleźć ponad milion cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby π Liczba pierwsza utworzona z 38 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π: Liczby utworzone z n początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π są pierwsze, gdy n = 1,, 6 lub 38. Innych liczb pierwszych tego typu nie znaleziono. ([Szu87] 63, Maple, K.Brown Primes in the decimal expansion of π) Tabela przedstawia pewne liczby pierwsze utworzone z kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π. Podano: numer cyfry początkowej, liczbę cyfr oraz liczbę pierwszą (Maple)

15 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste π = 1, log π = 0, log π = , log 3 π = , π = , π /6 = , π π = , e π = , π e = , e π = , e + π = (Maple). P. Borwein, L. Jörgenson, Visible structures in number theory, [Mon] 10(001) ; tutaj są ilustracje dotyczące np cyfr po przecinku modulo liczby π. A. Zwonkin, Co to jest π?, [Kw] 11(1978) (J.H. Lambert 1766). Liczba π jest niewymierna. Po raz pierwszy udowodnił to Johann Heinrich Lambert ( ); matematyk i astronom szwajcarski pochodzenia francuskiego. Dzisiaj znamy kilka różnych dowodów tego faktu. Krótki i bardzo elegancki dowód podał w 1947 roku Ivan Niven. D. (Niven 1947). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości g(0), g(π), g (0), g (π), g (0), g (π),..., g (k) (0), g (k) (π),... są liczbami całkowitymi. (Przez g (k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodziny P posiadają następujące dwie własności. (1) Jeśli g(x) P, to π Wynika to z całkowania przez części: π 0 f(x)g(x)dx = 0 sin(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą. [ ] π f 1 (x)g(x) f (x)g (x) + f 3 (x)g (x) + ( 1) d f d+1 (x)g (d) (x), 0 gdzie d jest stopniem wielomianu g(x) oraz f n (x) jest ciągiem funkcji zdefiniowanych następująco: sin(x), gdy n 0 (mod 4), cos(x), gdy n 1 (mod 4), f n (x) = sin(x), gdy n (mod 4), cos(x), gdy n 3 (mod 4). () Jeśli g(x), h(x) P, to g(x)h(x) P. To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: (g h) (n) (x) = n k=0 ( n k) g (k) (x)h (n k) (x). Mamy udowodnić, że π jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że π = a b, gdzie a, b N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g 0 (x), g 1 (x), g (x),... zdefiniowanych następująco: g n (x) = 1 n! xn (a bx) n,

16 10 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste dla n = 0, 1,,. Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian g n (x) należy do rodziny P. Dla n = 0 jest to oczywiste. Dla n 1 zachodzi równość g n(x) = g n 1 (x) (a bx). Zauważmy, że wielomian a bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian g n 1 (x) należy do rodziny P, to - na mocy () oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g n(x). Ale g n (0) = g n (π) = 0, więc jeśli g n 1 (x) P, to g n (x) P. Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (0, π), to każda liczba g n (r) jest ostro większa od zera i wobec tego każda liczba sin(r)g n (r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności wynika, że każda całka π taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem, 0 sin(x)g n (x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (1), że każda (3) π 0 sin(x)g n (x)dx 1 dla wszystkich n = 0, 1,,. Niech M będzie maksymalną wartością wielomianu x (a bx) w przedziale [0, π]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy: π 0 sin(x)g n (x)dx π 0 M n n! dx = π M n n!. M Ale lim n n n! = 0, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że π jest liczbą wymierną prowadzi więc do sprzeczności. K. Brown, Proof that π is irrational. R. Breusch, A proof of the irrationality of π, [Mon] 61(9)(1954) A. A. Buchsztab, Niewymierność liczby π, [Buch] 66. J. Hanel, A simple proof of the irrationality of π 4, [Mon] 93(5)(1986) M. K. Mentzen, Krótka prezentacja długiej historii liczby π, [Min] 14(004), 1-4. T. Nagell, Irationality of the number e and π, [Nagl] I. Niven, A simple proof that π is irrational, [Bams] 53(1947), 509. A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) (Tożsamość Eulera). e πi + 1 = i i = e π. ([Nava] 95). W 188 roku matematyk niemiecki Ferdynand Lindemann ( ) udowodnił, że π jest liczbą przestępną. Udowodnił on nawet więcej: 1..8 (Lindemann 188). Jeśli u 1,..., u n (gdzie n 1) są niezerowymi liczbami algebraicznymi oraz v 1,..., v n są parami różnymi liczbami algebraicznymi, to liczba jest różna od zera. ([Bak] 6-8, [Buch]). Z tego twierdzenia otrzymujemy: u 1 e v 1 + u e v + + u n e vn 1..9 (Lindemann 188). Liczba π jest przestępna.

17 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 11 D. Przypuśćmy, że π jest liczbą algebraiczną. Wtedy πi jest również liczbą algebraiczną i wobec tego z twierdzenia 1..8 wynika, że liczba 1 e πi + 1 e 0 jest różna od zera. Tymczasem, na mocy tożsamości Eulera 1..6, liczba ta jest równa zero. A. A. Buchsztab, Przestępność liczby π, [Buch] 69. A. I. Gałoczkin, Y. V. Nesterenko, A. B. Szydłowski, Przestępność liczby π, [G-ns] I. Niven, The transcendence of π, [Mon] 46(8)(1939) I. Stewart, Transcendence of π, [Stet] O. Veblen, The transcendence of π and e, [Mon] 11(1)(1904) (Euler). n=1 1 n = π 6. ( 1) n n=1 n = π. ([Cmj] 1978 s.180, [Nava] 78) (R. Chartres 1904). Prawdopodobieństwo tego, że dwie wybrane losowo liczby całkowite są względnie pierwsze wynosi. ([Nava] 67). 6 π Niech Φ(n) = n ϕ(k) dla n N. Wówczas: k=1 lim n n Φ(n) = π 6. ([Nava] 95). B. R. Choe, An elementary proof of n=1 1 n = π 6, [Mon] 94(7)(1987) Y. Matsuoka, An elementary proof of the formula n=1 1 n = π 6, [Mon] 68(5)(1961) E. L. Stark, Another proof of the formula n=1 1 n = π 6, [Mon] 76(5)(1969) P. Strzelecki, O równości 1/n = π /6, [Dlt] 4/ n=0 n=0 n+1 (n + 1) ( n) = π. ([Crux] 00 s.187). n 1 (n + 1) = π 8 ( 1) n (n + 1) 3 = π3 3 n=0. ([Crux] 1998 s.413).. ([Nava] 79) (J. Gregory 1670). arctg x = x x3 3 x5 5 + x7 7. Wstawiając x = 1, otrzymujemy: (Leibniz). n=0 ( 1) n n + 1 = π. ([Nava] 9). 4

18 1 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste (Euler). Dla każdej liczby naturalnej m zachodzi równość ζ(m) = ( 1) m+1 m 1 B m π m, (m)! gdzie ζ jest funkcją zeta Riemanna oraz B m jest liczbą Bernoulliego. Przykłady: ([IrR] 31). n=1 1 n 4 = π4 90, n=1 1 n 6 = π6 945, n=1 1 n 8 = π8 9450, n=1 1 n 10 = π Niech A, B, C oznaczają zbiory wszystkich liczb naturalnych odpowiednio niekwadratowych, bezkwadratowych oraz pełnopotęgowych (patrz [N-9]). Wtedy 1 n = π (15 π ), 90 n A ([Cmj] 17(1)(1986) 98-99). n B 1 n = 15 π, n C 1 n = π n=0 sin n n = ( ) sin n = π 1 n n=0. ([Mon] 113(7)(006) 597). 1.. (Viéte 1597). cos π 4 cos π 8 cos π 16 cos π 3 =. Wykorzystując tożsamość cos α = π cos α 1, powyższą równość można przedstawić w postaci ([Mat] 1/ ) = π. ( ) ( ) ( ) = π4. ([Mon] 41(1)(1934) s.9) (J. Wallis 1656). π = , tzn.: n=1 ([Mon] 5(1980) s.391, [Nava] 81, [Mat] 3/ ). 4n 4n 1 = π (Euler). n=1 (n + 1) (n + 1) 1 = π 8, n=1 (n + 1) 4 (n + 1) 4 1 = 5π Niech a 0 = 1, a n+1 = a n a n. Wtedy lim a n n = 4. ([OM] Polska 1989). π

19 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste Niech (a n ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim, że a n a n+1 = n dla wszystkich a n n N oraz lim = 1. Wtedy πa n 1 =. ([Putn] 1969). a n e π > π e. ([Uiuc] 00, [MG] 87(509)(003) s.306) (3.14) π > π ([Uiuc] 007) dx x = π 4. ([Ssm] 10(6)(00) z.4706 rozw.). Zanotujmy jeszcze kilka innych całek. e x dx = π, x dx = π 1, 1 dx 1 x = π, dx 1 x = π, 1 0 x 4 (1 x) x dx = 7 π, 0 sin x x dx = π. ([Nava]). H. Chan, More formulas for π, [Mon] 113(5)(006) E. Kofler, Kwadratura koła, [Kofl] M. Skwarczyński, Sto lat dla ludolfiny, [Dlt] 3/ Witold Więsław opublikował w czasopiśmie [Mat] serię 3 interesujących artykułów o liczbie π. Pierwszy z tych artykułów pt. O kole i walcu, czyli π po raz pierwszy, jest w [Mat] (000) s.74. Ostatni artykuł pt. O czym jeszcze nie wiemy; π po raz dwudziesty trzeci, jest w [Mat] 1(004) Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb rzeczywistych , = 3/3, 0, = ln, 1, = (1 + 5)/,, =. [Lion]. Przykłady otrzymane przy pomocy Maple ln = 0, , ln 3 = 1, , ln 4 = 1, , ln 5 = 1, , ln 6 = 1, , ln 7 = 1, , ln 8 =, , ln 9 =, , ln 10 =,

20 14 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste log = 0, , log 3 = 0, , log 4 = 0, , log 5 = 0, , log 6 = 0, , log 7 = 0, , log 8 = 0, , log 9 = 0, log 3 = 1, , log 5 =, , log 6 =, , log 7 =, , log 3 = 0, , log 3 4 = 1, , log 3 5 = 1, , log 4 3 = 0, , log 4 5 = 1, W każdym ułamku dziesiętnym istnieją dowolnie długie ciągi następujących po sobie cyfr, występujące w rozwinięciu nieskończenie wiele razy. ([Mat] 6/ , [S59] 307, [S64] 165) Każda liczba dodatnia jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry 0 i 7. ([TTss] 1981, [Kw] 7/198 43). D. Niech a > 0. Jest oczywiste, że każda liczba dodatnia, a więc w szczególności liczba a/7, jest sumą dziewięciu liczb, których rozwinięcia dziesiętne zawierają tylko cyfry 0 i 1. Zatem a = 7 (a/7) jest sumą dziewięciu liczb z zerami i siódemkami. M. S. Gelfand, Rozwinięcia dziesiętne pewnych liczb, [Kw] 7/ Kolejne wyrazy ciągów i rozwinięcia dziesiętne Liczba 0, jest niewymierna. ([S50], [BoL] 76 76, [B-zm]). D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). Ponieważ badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb naturalnych, w jej rozwinięciu dziesiętnym występuje nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. W tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s dwójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 = Po zerze i przecinku wypisano kolejne liczby kwadratowe 1, 4, 9, 16, 5, 36,. Powstała liczba 0, Jest to liczba niewymierna. D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). W [N-] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr,

21 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 15 to istnieje nieskończenie wiele takich liczb kwadratowych, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb kwadratowych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s dwójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 =. W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie Po zerze i przecinku wypisano kolejne sześciany 1, 8, 7, 64, 15, 16,. Powstała liczba 0, Jest to liczba niewymierna. Stosując odpowiednie fakty o początkowych cyfrach, podane i udowodnione w [N-], można w ten sam sposób udowodnić następujące twierdzenie. Powyższe stwierdzenia są szczególnymi przypadkami tego twierdzenia Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby f(1), f(), f(3),..., gdzie f jest wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych takim, że f(x) > 0 dla x > 0. Wówczas otrzymana liczba jest niewymierna. ([Nagl] s.16 z.55, [B-zm] 116) Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby pierwsze. Powstała liczba Jest to liczba niewymierna. ([S59] 347). 0, D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). Z twierdzenia Dirichleta o liczbach pierwszych w postępie arytmetycznym (patrz [N-4]) wynika, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr (przy czym ostatnią cyfrą jest 1, 3, 7 lub 9), to istnieje nieskończenie wiele takich liczb pierwszych, których końcowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych liczb pierwszych. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s trójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych trójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 = Niech (a n ) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych, w którym a n+1 10a n dla wszystkich n. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny 0, a 1 a a 3... jest liczbą niewymierną. ([GaT] 11/1980) Niech a n = 1, gdy n jest bezkwadratowe i niech a n = 0 w przeciwnym wypadku. Wtedy nieskończony ułamek dziesiętny 0, a 1 a a 3... jest liczbą niewymierną. ([Nagl] s.15 z.54) Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 1,, 4, 8, 16,.... Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] /1981, [Fom] 9/71, [Mat] 6/ ).

22 16 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste D. Przypuśćmy, że jest to liczba wymierna. Wtedy rozważane nieskończone rozwinięcie dziesiętne jest (od pewnego miejsca) okresowe. Niech s będzie długością okresu i załóżmy, że tym okresem jest ciąg cyfr (a 1, a,..., a s ). W [N-] wykazaliśmy, że jeśli m jest dowolnym skończonym ciągiem cyfr, to istnieje nieskończenie wiele takich potęg dwójki, których początkowe cyfry tworzą dany ciąg m. Badana liczba powstała z cyfr kolejnych potęg dwójki. W jej rozwinięciu dziesiętnym występuje więc nieskończenie wiele bloków składających się z s jedynek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych jedynek. Z tych samych powodów tym rozwinięciu dziesiętnym występuje również nieskończenie wiele bloków składających się z s dwójek. Okres (a 1,..., a s ) składa się więc z samych dwójek. Mamy zatem sprzeczność: 1 = a 1 =. W ten sam sposób wykazujemy następne stwierdzenie Po zerze i przecinku wypisano kolejno liczby 3 1, 3, 3 3, 3 4,.... Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Dlt] 11/1985) Po zerze i przecinku wypisano kolejno potęgi danej liczby naturalnej większej od 1. Wykazać, że otrzymana liczba jest niewymierna. ([Mat] 1/1985 z.118). 1.5 Niewymierność pewnych liczb rzeczywistych Na stronie 9 przedstawiliśmy dowód Nivena niewymierności liczby π. Drobne modyfikacje tego dowodu pozwalają udowodnić następujące twierdzenie (A.E. Parks 1986). Niech c > 0 będzie liczbą rzeczywistą i niech f : [0, c] R będzie taką funkcją ciągłą, że f(x) > 0 dla wszystkich x z przedziału otwartego (0, c). Niech ponadto f 1, f, f 3,... będą funkcjami różniczkowalnymi z [0, c] do R takimi, że f 1 = f, f = f 1, f 3 = f,. Jeśli dla każdego n 1 liczby f n (0) oraz f n (c) są całkowite, to c jest liczbą niewymierną. D. (A.E. Parks 1986). Oznaczmy przez P rodzinę wszystkich takich wielomianów g(x) o współczynnikach rzeczywistych, dla których wszystkie wartości g(0), g(c), g (0), g (c), g (0), g (c),..., g (k) (0), g (k) (c),... są liczbami całkowitymi. (Przez g (k) oznaczamy k-tą pochodną wielomianu g). Wielomiany z rodziny P posiadają następujące dwie własności. (1) Jeśli g(x) P, to c Wynika to całkowania przez części: c 0 f(x)g(x)dx = gdzie d jest stopniem wielomianu g(x). () Jeśli g(x), h(x) P, to g(x)h(x) P. To z kolei wynika ze wzoru Leibniza: 0 f(x)g(x)dx jest liczbą całkowitą. [ ] c f 1 (x)g(x) f (x)g (x) + f 3 (x)g (x) + ( 1) d f d+1 (x)g (d) (x), 0 (g h) (n) (x) = n k=0 ( ) n g (k) (x)h (n k) (x). k

23 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste 17 Mamy udowodnić, że c jest liczbą niewymierną. Przypuśćmy, że tak nie jest. Załóżmy, że c = a b, gdzie a, b N. Rozpatrzmy ciąg wielomianów g 0 (x), g 1 (x), g (x),... zdefiniowanych następująco: g n (x) = 1 n! xn (a bx) n, dla n = 0, 1,,. Udowodnimy indukcyjnie, że każdy wielomian g n (x) należy do rodziny P. Dla n = 0 jest to oczywiste. Dla n 1 zachodzi równość g n(x) = g n 1 (x) (a bx). Zauważmy, że wielomian a bx należy do rodziny P. Jeśli więc wielomian g n 1 (x) należy do rodziny P, to - na mocy () oraz powyższej równości - do tej rodziny należy również wielomian g n(x). Ale g n (0) = g n (c) = 0, więc jeśli g n 1 (x) P, to g n (x) P. Zauważmy jeszcze, że jeśli r jest liczbą z przedziału (0, c), to każda liczba g n (r) jest ostro większa od zera i wobec tego każda liczba f(r)g n (r) jest również ostro większa od zera. Stąd w szczególności wynika, że każda całka c taka całka jest liczbą całkowitą. Zatem, (3) 0 f(x)g n (x)dx jest liczbą dodatnią. Wiemy jednak, na mocy (1), że każda c 0 f(x)g n (x)dx 1 dla wszystkich n = 0, 1,,. Oznaczmy przez M oraz L maksymalne wartości odpowiednio wielomianu x (a bx) oraz funkcji f(x) na przedziale [0, c]. Dla każdej liczby naturalnej n mamy wtedy: c 0 f(x)g n (x)dx c 0 L M n dx = clmn n! n!. M Ale lim n n n! = 0, więc mamy sprzeczność z (3). Przypuszczenie, że c jest liczbą wymierną prowadzi więc do sprzeczności Niech r > 0, r 1. Jeśli r jest liczbą wymierną, to ln(r) jest liczbą niewymierną. D. (Parks 1986). Zamieniając ewentualnie r na 1/r, możemy założyć, że r > 1. Wtedy ln(r) > 0. Niech r = a b, a, b N. Niech c = ln(r) oraz f(x) = be x. Przyjmujemy ponadto, że f n (x) = f(x) = be x (dla wszystkich n N) i mamy spełnione wszystkie założenia twierdzenia Na mocy tego twierdzenia liczba ln(r) = c jest niewymierna. Na stronie 6 przedstawiliśmy pewien dowód niewymierności liczby e.. Teraz możemy podać drugi dowód Liczba e jest niewymierna. D. Oczywiście e > 0 oraz e 1. Przypuścmy, że e Q. Wtedy (na mocy poprzedniego twierdzenia) 1 = ln(e) jest liczbą niewymierną; sprzeczność Jeżeli liczba naturalna n nie jest potęgą dziesiątki, to log n jest liczbą niewymierną. ([S59] 40, [Kw] 5/1978 4) Niech s N. Liczba n=0 ( 1) n (n!) s jest niewymierna. ([Mat] 5-6/ ).

24 18 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste Jeśli 1 < a 1 < a < jest ciągiem liczb naturalnych, to liczba jest niewymierna. ([Mon] 99(10)(199) E93). n=1 an a n! (1) Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b Q oraz a n +b n Q dla wszystkich naturalnych n > 1? Odp. Istnieją. Przykład: a = +, b =. () Czy istnieją liczby rzeczywiste a i b takie, że a+b Q oraz a n +b n Q dla wszystkich naturalnych n > 1? Odp. Nie istnieją. ([OM] ZSRR 1989) Załóżmy, że co najmniej jedna z liczb x i y jest niewymierna. Wtedy co najmniej jedna z liczb x y, y x, x + y jest niewymierna. ([OM] St Petersburg 199) Danych jest 6 liczb niewymiernych. Wykazać, że można z nich wybrać trzy liczby a, b, c takie, że liczby a + b, b + c i c + a są niewymierne. ([MOc] 000 z.15). E. Gałkin, Wymierne czy niewymierne?, [Kw] 5/ M. Grant, M. Perella, Descending to the irrational, [MG] 497(1999) R. Hajłasz, Dowody niewymierności pewnych liczb, [Dlt] 10/ A. E. Parks, π, e, and other irrational numbers, [Mon] 9(1986) A. Turowicz, Usuwanie niewymierności z mianownika, [Mat] 1/ Całkowitość lub wymierność pewnych liczb rzeczywistych Niech p będzie nieparzystą liczbą całkowitą. Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x + px 1, to dla każdego naturalnego n liczby a n + b n i a n+1 + b n+1 są całkowite i względnie pierwsze. ([Str7] 11, [B-rs] 184) Jeśli liczby rzeczywiste a i b są pierwiastkami wielomianu x 6x + 1, to dla każdego naturalnego n liczby a n + b n są całkowite i niepodzielne przez 5. ([BoL] 110 s.61) Niech x 1, x będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x + ax + b, gdzie a, b Z. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to jest liczbą całkowitą. ([Szn] 11.7, patrz 1.6.6). f(x 1 ) + f(x ) D. f(x) = h(x)g(x)+cx+d, gdzie h(x) Z[x], c, d Z. Wtedy f(x 1 )+f(x ) = c(x 1 +x )+d = ca + d Z.

25 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste Jeśli liczby x 1, x, x 3 są pierwiastkami równania x 3 x + (a + 1)x 1 = 0, gdzie a jest liczbą całkowitą różną od 0, ±1, ±3, to każda liczba postaci x n 1 + x n + x n 3 jest całkowita i niepodzielna przez a. ([Mat] / ) Niech x 1, x, x 3 będą pierwiastkami wielomianu g(x) = x 3 +ax +bx+c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) jest liczbą całkowitą. ([Szn] 11.7, patrz 1.6.6). D. f(x) = h(x)g(x) + px + qx + r, gdzie h(x) Z[x], p, q, r Z. Wtedy f(x 1 ) + f(x ) + f(x 3 ) = p(x 1 + x + x 3) + q(x 1 + x + x 3 ) + 3r = p(a b) + qa + 3r Z Niech z 1, z,..., z n, będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu monicznego g(x) Z[x] stopnia n. Jeśli f(x) jest dowolnym wielomianem o współczynnikach całkowitych, to liczba f(z 1 ) + f(z ) + + f(z n ) jest całkowita. D. Rozpatrzmy wielomian n-zmiennych h(x 1,..., x n ) = f(x 1 ) + f(x ) + + f(x n ). Jest to symetryczny wielomian należący do Z[x 1,..., x n ]. Ze znanego twierdzenia o wielomianach symetrycznych wynika, że istnieje wielomian w Z[x 1,..., x n ] taki, że h(x 1,..., x n ) = w(σ 1,..., σ n ), gdzie σ 1,..., σ n są podstawowymi wielomianami symetrycznymi zmiennych x 1,..., x n. Ponieważ wielomian g(x) jest moniczny i ma całkowite współczynniki, wszystkie liczby postaci σ i (z 1,..., z n ), dla i = 1,..., n, są całkowite (są z dokładnością do znaku równe odpowiednim współczynnikom wielomianu g(x)). Mamy więc: f(z 1 ) + f(z ) + + f(z n ) = w(σ 1 (z 1,..., z n ),..., σ n (z 1,..., z n )) Z i to kończy dowód Niech x y będą liczbami rzeczywistymi (mogą być nawet liczbami zespolonymi). Jeśli dla czterech kolejnych liczb naturalnych n liczba x n y n x y jest całkowita, to jest całkowita dla każdego n. ([Mon] E998, [OM] Bułgaria 1995) Niech x, y R. (1) Jeśli liczby x + y, x + y, x 4 + y 4 są całkowite, to dla każdego n N liczba x n + y n jest całkowita. ([OM] Polska 1998/1999) () Jeśli liczby x + y, x + y, x 3 + y 3 są całkowite, to nie musi być prawdą, że każda liczba postaci x n + y n jest całkowita. Przykład: Jeśli x = / i y = /, to x + y = 0, x + y = 1, x 3 + y 3 = 0, x 4 + y 4 = 1. ([OM] Polska 1997) Niech a b będą liczbami rzeczywistymi. Jeśli liczby a b, a b, a 3 b,... są całkowite, to liczby a i b również są całkowite. ([OM] Indie 1994).

26 0 Liczby i funkcje rzeczywiste 1. Liczby rzeczywiste Niech a b będą liczbami zespolonymi. Jeśli liczby a b, a 3 b 3, a 5 b 5 są wymierne, to liczby a i b również są wymierne. ([MM] 000 s.38) Niech x R. Jeśli x x Z oraz x n x Z dla pewnego n 3, to x Z. ([OM] Irlandia 1998) Niech x R. Jeśli liczby x 1919 x, x 1960 x i x 001 x są całkowite, to x jest liczbą całkowitą. ([OM] RPA 001) Niech x, y, z R {0}. Załóżmy, że xy, yz, zx Q. Wtedy: (1) x + y + z Q; () jeśli x 3 + y 3 + z 3 Q, to x, y, z Q. ([OM] Rumunia 001) Dla każdej niewymiernej liczby a istnieją niewymierne liczby b, c takie, że liczby a + b, ac są wymierne i liczby ab, a + c są niewymierne. ([A-P] 005) Liczby log( ) log(1 + 1) log, log 6 + log( ) log( 3 1) log log 3, log( ) log( 6 ) log są całkowite. ([Mat] 5/ ). ( ) m i Niech f(m, n) = i n, gdzie m, n N. m + 1 i=1 (1) Każda liczba postaci f(m, n) jest całkowita. () Ostatnią cyfrą liczby f(1, n) może być tylko 0, lub 6. ([Mon] 10()(1995) z.1031). 1.7 Przybliżenia wymierne Wykazać, że istnieje nieskończony i ograniczony ciąg (x n ) taki, że x n x m dla dowolnych n, m N, n m. ([WaJ] 57(78)). O. Np. x n = 4{n }, gdzie {a} = a [a]. 1 n m Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieją liczby naturalne a, b takie, że ax b 1. ([B-zm] 98). 3