METODY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO W BADANIACH EKONOMICZNYCH

Transkrypt

1 METODY WIOSKOWAIA STATYSTYCZEGO W BADAIACH EKOOMICZYCH

2 Studia Eonomiczne ZESZYTY AUKOWE WYDZIAŁOWE UIWERSYTETU EKOOMICZEGO W KATOWICACH

3 METODY WIOSKOWAIA STATYSTYCZEGO W BADAIACH EKOOMICZYCH Redatorzy nauowi Józef Kolono Grzegorz Kończa Katowice 03

4 Komitet Redacyjny Krystyna Lisieca (przewodnicząca), Anna Lebda-Wyborna (seretarz) Florian Kuźni, Maria Michałowsa, Antoni iederlińsi, Irena Pya Stanisław Swadźba, Tadeusz Trzasali, Janusz Wywiał, Teresa Żabińsa Komitet Redacyjny Wydziału Zarządzania Janusz Wywiał (redator naczelny), Tomasz Żądło (seretarz), Alojzy Czech, Jace Szołtyse, Teresa Żabińsa Rada Programowa Lorenzo Fattorini, Mario Glowi, Gwo-Hsiung Tzenga, Zdeně Mioláš, Marian oga, Bronisław Micherda, Miloš Král Redator Beata Kwiecień Copyright by Wydawnictwo Uniwersytetu Eonomicznego w Katowicach 03 ISS Wersją pierwotną Studiów Eonomicznych jest wersja papierowa Wszelie prawa zastrzeżone. Każda reproducja lub adaptacja całości bądź części niniejszej publiacji, niezależnie od zastosowanej technii reproducji, wymaga pisemnej zgody Wydawcy WYDAWICTWO UIWERSYTETU EKOOMICZEGO W KATOWICACH ul. Maja 50, Katowice, tel.: , fas: wydawnictwo@ue.atowice.pl

5 SPIS TREŚCI Stanisław Heilpern PROCES RYZYKA Z ZALEŻYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI AALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUIY... 7 Summary... 9 Zofia Rusna WYBRAE METODY POMIARU CECH JAKOŚCIOWYCH W AALIZACH UBÓSTWA... 0 Summary... 4 Katarzyna Ostasiewicz MODELS OF WILLIGESS TO PAY FOR SUSTAIABLE DEVELOPMET... 4 Streszczenie Janusz L. Wywiał O LIMIT DISTRIBUTIO OF HORVITZ-THOMPSO STATISTIC UDER POISSO SAMPLIG DESIG... 6 Streszczenie Wojciech Gamrot O A CLASS OF ESTIMATORS FOR A RECIPROCAL OF BEROULLI PARAMETER... 7 Streszczenie Tomasz Żądło O SOME PROBLEMS OF PREDICTIO OF DOMAI TOTAL I LOGITUDIAL SURVEYS WHE AUXILIARY IFORMATIO IS AVAILABLE Streszczenie... 05

6 Grzegorz Kończa, Magdalena Chmielińsa ZASTOSOWAIE METOD SYMULACYJYCH W AALIZIE WIELOWYMIAROWYCH TABLIC WIELODZIELCZYCH Summary... 8 Dorota Rozmus PORÓWAIE STABILOŚCI ZAGREGOWAYCH ALGORYTMÓW TAKSOOMICZYCH OPARTYCH A IDEI METODY BAGGIG... 9 Summary Ewa Genge THE MULTIOMIAL MIXTURE MODEL THE AALYSIS OF STUDETS ATTITUDE TO THE SILESIA REGIO Streszczenie Jace Stelmach, Grzegorz Kończa O PORÓWYWAIU DWÓCH POPULACJI WIELOWYMIAROWYCH Z WYKORZYSTAIEM OBJĘTOŚCI ELIPSOID UFOŚCI Summary... 57

7 Stanisław Heilpern Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu PROCES RYZYKA Z ZALEŻYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI AALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUIY Wprowadzenie W pracy będzie rozpatrywany ciągły proces ryzya, w tórym oresy między poszczególnymi wypłatami mogą być zależnymi zmiennymi losowymi. W lasycznych procesach ryzya, stanowiących podstawę teorii ruiny [Kaas et al. 00; Ostasiewicz 000; Rolsi et al. 999], przyjmuje się niezależność występujących procesów i zmiennych losowych. Założenie o niezależności jest wygodne z teoretycznego, matematycznego puntu widzenia, upraszcza rozważania, wiele fatów można udowodnić, jedna często jest zbyt idealistycznym podejściem. W pratyce oresy między wypłatami są zwyle w więszym lub mniejszym stopniu zależne. a badany proces wpływają często czynnii zewnętrzne, np. estremalne zjawisa, taie ja powodzie, pożary, trzęsienia ziemi, czy arambole na autostradach, ryzysy gospodarcze lub polityczne, wpływające jednocześnie na wszystich uczestniów procesu, powołując występowanie zależności. Proces ryzya będzie badany ze względu na prawdopodobieństwo ruiny, ze szczególnym uwzględnieniem wpływu stopnia zależności oresów między wypłatami na to prawdopodobieństwo. Rozpatrzono przyład ścisłej zależności oresów oraz gdy strutura ich zależności jest opisana archimedesową funcją łączącą (ang. copula). W obydwu założono, że zarówno oresy między wypłatami, ja i wypłaty mają rozład wyładniczy. Pracę można tratować jao ontynuację artyułu [Heilpern 00], w tórym był rozpatrywany proces ryzya z zależnymi wypłatami. Otrzymane tam wynii wsazywały na istotną zależność wpływu stopnia zależności wypłat na Praca nauowa finansowana ze środów na nauę w latach 00-0 jao projet badawczy nr 336/B/H03/00/38.

8 8 Stanisław Heilpern prawdopodobieństwo ruiny, osiągania najwięszych i najmniejszych prawdopodobieństw ruiny, od wartości apitału początowego. Podobne wynii zostały osiągnięte w niniejszej pracy. Obliczenia związane z wyznaczeniem prawdopodobieństwa ruiny zostały wyonane za pomocą programu Mathematica 6 oraz arusza alulacyjnego Excel.. Proces ryzya Podstawą rozważań będzie następujący ciągły proces ryzya [Kaas et al. 00; Ostasiewicz 000]: ( ) U(t) u+ct X, gdzie u 0 jest apitałem początowym, c > 0 intensywnością napływu sładi, (t) min{n 0: T n+ > t} procesem liczącym wypłaty X i > 0, a T i momentem pojawienia się i-tej wypłaty. Przyjęto, że wypłaty są niezależne oraz mają ten sam rozład z dystrybuantą F X (x) i wartością oczeiwaną m E(X i ), oraz że proces (t) generuje oresy między wypłatami W i T i T i- o tym samym rozładzie F W. W pracy tej mogą być one zależnymi zmiennymi losowymi. Ponadto założono, że zmienne X i, W i są nawzajem niezależne. W przypadu gdy oresy W i są niezależne, otrzymuje się tzw. model Sparre Andersena [Rolsi et al. 999]. Głównym tematem niniejszych rozważań będzie prawdopodobieństwo ruiny [Kaas et al. 00; Ostasiewicz 000]: gdzie T jest momentem zajścia ruiny ψ(u) P(T < U(0) u), T min{t: U(t) < 0}, czyli zdarzenia, że proces ryzya będzie ujemny w niesończonym horyzoncie czasu. Prawdopodobieństwo ruiny można również wyznaczyć na podstawie znajomości nadwyżi wypłat Y i X i cw i. Wtedy zachodzi zależność [Rolsi et al. 999]: ψ(u) P max Y >u.

9 Proces ryzya z zależnymi oresami między wypłatami 9 W przypadu gdy zmienne W i są niezależne (model Sparre Andersena), a wypłaty X i mają rozład wyładniczy z parametrem /m, to prawdopodobieństwo ruiny wyraża się wzorem [Rolsi et al. 999]: ψ(u) ( Rm)e, gdzie współczynni dopasowania R jest nieujemnym rozwiązaniem równania m (s) m (s)m ( cs), a m (s) E(e ) jest funcją generującą momenty zmiennej losowej Y. Powyższy wzór na prawdopodobieństwo ruiny będzie wyorzystywany w dalszej części pracy. W lasycznym modelu ryzya przyjmuje się, że proces liczący wypłaty (t) jest procesem Poissona [Kaas et al. 00; Ostasiewicz 000; Rolsi et al. 999]. Wtedy oresy między wypłatami W i są niezależne i mają rozład wyładniczy z parametrem λ, gdzie λ jest intensywnością procesu Poissona. W przypadu małej intensywności napływu sładi c, tzn. gdy zachodzi warune c λm, zajście ruiny jest zdarzeniem pewnym dla ażdej wartości apitału początowego u, czyli otrzymujemy ψ(u). Dla srajnych wartości apitału początowego u, prawdopodobieństwa ruiny przyjmują prostą postać: ψ(0) λm c,lim ψ(u) ψ( ) 0. Dla dowolnych wartości apitału początowego u na ogół nie ma natomiast jawnych wzorów na prawdopodobieństwo ruiny. Jedynie w przypadu gdy wypłaty mają tzw. rozład fazowy [Rolsi et al. 999] można podać onretny wzór na to prawdopodobieństwo. Przyładowo, gdy wypłaty X i mają rozład wyładniczy z parametrem /m (szczególny przypade rozładu fazowego), prawdopodobieństwo ruiny wyznaczamy stosując wzór: ψ(u) λm c c λm exp cm u. Współczynni dopasowania wynosi wtedy R. Również w przypadu dysretnych rozładów wypłat istnieje ombinatoryczny wzór na prawdopo- dobieństwo ruiny [Kaas et al. 00].

10 0 Stanisław Heilpern. Silna zależność a początu rozpatrzmy srajny przypade, gdy oresy między wypłatami W i są silnie zależne. Opisane są one wtedy przez tą samą zmienną losową W. Dla ustalonej wartości w tej zmiennej otrzymujemy proces ryzya U w (t) o stałych, deterministycznych oresach między wypłatami o długości w: [ / ] U (t) u+ct X, gdzie [x] jest częścią całowitą x. Prawdopodobieństwo ruiny w przypadu silnej zależności oresów między wypłatami wyznaczamy jao mieszanę: ψ(u) ψ (u)df (w) prawdopodobieństw ruiny ψ (u) dla deterministycznych oresów. Pamiętając, że nierówność w pociąga za sobą ψ (u), otrzymujemy: ψ(u) ψ (u)df (w) +F m c. / Widzimy, że nawet dla niesończenie dużego apitału początowego u, prawdopodobieństwo ruiny może być w tym przypadu dodatnie, równe ψ( ) F, w przeciwieństwie do przypadu niezależnych oresów, gdzie otrzymujemy zerowe prawdopodobieństwo ruiny. Zajmijmy się teraz przypadiem, gdy oresy między wypłatami są opisane tą samą zmienną losową W o rozładzie wyładniczym z parametrem λ. Będzie to przeciwstawna sytuacja do lasycznego procesu ryzya, gdy oresy te są niezależne. Jeśli dodatowo przyjmiemy, że wypłaty są również wyładnicze z parametrem /m, to prawdopodobieństwo ruiny dla ustalonej wartości W w jest oreślone wzorem: ψ (u) ( R m)e,

11 Proces ryzya z zależnymi oresami między wypłatami gdzie współczynni dopasowania R w > 0 jest rozwiązaniem równania e -scw ms. Wtedy wzór na prawdopodobieństwo ruiny, gdy oresy między wypłatami są ściśle zależne o rozładzie wyładniczym i wyładniczych wypłatach, przyjmuje postać: ψ(u) λ ( R m)e ( ) dw + e /. / Dla niesończenie dużego apitału początowego prawdopodobieństwo ruiny jest dodatnie, równe: ψ( ) e /. Przyład. iech wartość oczeiwana wypłat m, intensywność napływu sładi c 3, a oresy między wypłatami mają rozład wyładniczy z parametrem λ. W tabeli zostały podane wartości prawdopodobieństwa ruiny dla ściśle zależnych i niezależnych oresów między wypłatami oraz dla różnych wartości apitału początowego u. Prawdopodobieństwa te zostały również przedstawione na rysunu. Prawdopodobieństwa ruiny dla ściśle zależnych i niezależnych oresów między wypłatami Tabela u niezależne silnie zal. u niezależne silnie zal. u niezależne silnie zal. 0 0, , , , ,0339 0, ,5643 0, ,597 0, , , , ,5844 0, , , , , , ,0904 0, , , ,3478 0, , , , , ,8973 0, , , ,0095 0, ,4553 0, , , , , ,0760 0, ,0463 0, ,0006 0, ,7573 0, ,039 0, ,85E-08 0, Ponadto prawdopodobieństwo ruiny dla niesończenie dużego apitału początowego i ściśle zależnych oresów między wypłatami wynosi ψ( ) 0,

12 Stanisław Heilpern 0,7 ψ(u) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, niezależne silnie zal. 0 u Rys.. Prawdopodobieństwa ruiny dla ściśle zależnych i niezależnych oresów między wypłatami Widzimy, że dla zerowego i dla małego apitału początowego prawdopodobieństwo ruiny dla niezależnego przypadu jest więsze niż dla ściśle zależnego. Dla więszych wartości apitału u otrzymujemy natomiast relację odwrotną. Przypade ściśle zależnych oresów między wypłatami jest gorszy, daje nam więsze prawdopodobieństwo ruiny. Ponadto różnice między prawdopodobieństwami ruiny dla różnych wartości apitału początowego są w tym przypadu niewielie. 3. Archimedesowe funcje łączące Rozpatrywany powyżej przypade, gdy oresy między wypłatami są ściśle zależne, jest wybitnie srajną i sztuczną sytuacją. W pratyce zależność między oresami nie jest ta duża. Stopień zależności, mierzony np. współczynniami orelacji τ Kendalla, zwyle jest istotnie mniejszy od jedyni. W niniejszej pracy do modelowania pośrednich, bardziej realistycznych zależności, wyorzystano archimedesowe funcje łączące. Funcja łącząca C (ang. copula) jest łączniiem między rozładem łącznym a rozładami brzegowymi [elsen 999; Heilpern 007]: P(W >w,,w >w ) C F (w ),,F (w ),

13 Proces ryzya z zależnymi oresami między wypłatami 3 gdzie F (w) F (w) jest funcją przetrwania zmiennej losowej W. Funcję łączącą można zdefiniować za pomocą dystrybuant, a nie funcji przetrwania ja w tym przypadu, jedna dla nas postać ta jest wygodniejsza. ależy też pamiętać, że funcja łącząca nie zależy od rozładów brzegowych i gdy rozłady brzegowe są ciągłe, jest ona jednoznacznie wyznaczona. Archimedesowe funcje łączące są induowane jednowymiarowym generatorem g i przyjmują prostą, quasi-addytywną postać [elsen 999; Heilpern 007]: C(u,, u n ) g - (g(u ) + + g(u n )). Generator g: (0, ] R + jest malejącą funcją ciągłą taą, że lim g(u),g() 0. Funcją g - odwrotna do generatora powinna być całowicie monotoniczną funcją, tzn. spełniać warune: (-) (g - ) () (t) 0, gdzie f () jest pochodną -tego rzędu funcji f, dla ażdego 0,,, oraz t > 0. Jest więc transformatą Laplace a pewnej nieujemnej zmiennej losowej Θ o dystrybuancie F Θ [elsen 999]. Można poazać [Frees i Valdez 998; Heilpern 007], że dla ustalonej wartości θ induowane przez archimedesową funcję łączącą C zmiennej Θ zmienne losowe W i są warunowo niezależne, tzn. zachodzi zależność: P(W > w,, W n > w n Θ θ) P(W > w Θ θ) P(W n > w n Θ θ). Jest to pożyteczna własność. Umożliwia ona stosowanie dla ustalonej wartości induowanej zmiennej losowej Θ znanych metod lasycznej teorii ruiny opartej na niezależności. Zmienna ta generuje wtedy warunowe zmienne losowe W i Θ o funcji przetrwania [Frees i Valdez 998; Heilpern 007]: i wartości oczeiwanej: tóra jest malejącą funcją θ. F (w θ) exp( θg(f (w))) E W F (w θ)dw,

14 4 Stanisław Heilpern Dla ustalonej wartości θ induowanej zmiennej losowej Θ otrzymujemy warunowy proces ryzya U θ z niezależnymi wypłatami X i i niezależnymi oresami między wypłatami W i Θ, czyli proces Sparee Andersena. Warunowe prawdopodobieństwo ruiny ta oreślonego procesu ryzya będziemy oznaczać symbolem ψ (u). Wtedy bezwarunowe prawdopodobieństwo ruiny możemy wyznaczyć orzystając z mieszani warunowych prawdopodobieństw ruiny ze zmienną mieszającą Θ: ψ(u) ψ(u θ)df (θ). iech θ 0 spełnia zależność ce W m, wtedy dla θ θ 0 warunowa ruina jest zdarzeniem pewnym, tzn. ψ (u), a bezwarunowe prawdopodobieństwo ruiny jest oreślone wzorem: ψ(u) ψ(u θ)df (θ) +F (θ ). Widzimy, że gdy F (θ ) >0, to nawet dla niesończenie dużego apitału początowego prawdopodobieństwo ruiny jest dodatnie, podobnie ja w przypadu ścisłej zależności oresów. Rozpatrzmy teraz przypade, gdy zarówno wypłaty W i, ja i oresy między wypłatami W i mają rozład wyładniczy. Ponadto założymy, że strutura zależności oresów W i jest opisana funcją łączącą Claytona, oreśloną wzorem: C (u,,u ) (u + +u ) /, gdzie α > 0. Jej generatorem jest funcja g(u) u -α, a parametr α oddaje stopień zależności. Współczynni orelacji τ Kendalla jest w tym przypadu oreślony prostym wzorem [elsen 999]: τ α α+. W granicy, gdy parametr α dąży do zera otrzymujemy niezależność, a gdy dąży do niesończoności ścisłą zależność. Wraz ze wzrostem wartości tego parametru rośnie natomiast stopień zależności.

15 Proces ryzya z zależnymi oresami między wypłatami 5 Funcja łącząca Claytona induuje zmienną losową Θ o rozładzie gamma Ga(/α, ). Warunowe rozłady oresów między wypłatami są wtedy oreślone funcją przetrwania postaci: F (w θ) exp θ e. Warunowe prawdopodobieństwa ruiny są natomiast oreślone wzorem: ψ (u) ( R m)e, gdzie współczynni dopasowania R θ > 0 jest rozwiązaniem równania: ms e df(w θ). Przyład (cd. przyładu ). iech strutura zależności jest opisana funcją łączącą Claytona. W tabeli są podane prawdopodobieństwa ruiny dla różnych wartości apitału początowego u i pięciu wartości parametru α: 0; 0,; ; 0 oraz. Odpowiadają one wartością współczynnia orelacji τ Kendalla równym: 0 (niezależność); 0,09; 0,5; 0,833 oraz (ścisła zależność). Tabela Prawdopodobieństwa ruiny dla wybranych wartości parametru α i apitału początowego u u niezależne 0, 0 ściśle zal , , , , , ,44 0,67 0, , ,6659 0,67 0,5643 0, , ,6053 0, , ,5785 0, ,5899 0, , , , ,5730 0, ,3478 0, , , , ,8973 0, , , , ,4553 0, , ,5438 0, ,0760 0, , ,5370 0, ,7573 0, , ,5306 0, , , , , ,53388

16 6 Stanisław Heilpern cd. tabeli 0 0,597 0, ,593 0, , , , , , , , ,440 0, , , ,85E-08 0,6576 0, , , ,8 0, , , Srajne wartości, najwięsze i najmniejsze, zostały wyróżnione w tabeli. Można zaobserwować bra regularności, monotoniczności. Położenie srajnych wartości prawdopodobieństwa ruiny zależy istotnie od wartości apitału początowego u. ajwięsze prawdopodobieństwo ruiny nigdy nie jest osiągalne dla srajnych przypadów zależności, niezależności oraz ścisłej zależności oresów między wypłatami. ajmniejsze prawdopodobieństwa ruiny zachodzą natomiast wyłącznie dla srajnych przypadów. Dla małych wartości apitału początowego, mniejszych od 0,44, najmniejsze prawdopodobieństwo ruiny otrzymujemy dla ściśle zależnych oresów między wypłatami, a dla wartości u > 0,44 dla niezależnych oresów. Prawdopodobieństwa ruiny są również przedstawione na rysunu. 0,8 0,7 0,6 ψ(u) niezależne 0,09 0,5 0,833 ściśle. zal. 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 u Rys.. Prawdopodobieństwo ruiny dla różnych wartości u i τ

17 Proces ryzya z zależnymi oresami między wypłatami 7 a rysunach 3 i 4 są odpowiednio przedstawione wyresy prawdopodobieństwa ruiny dla zerowego oraz niesończenie dużego apitału początowego i różnych wartości stopnia zależności oresów między wypłatami, mierzonych współczynniiem τ Kendalla. Widzimy, że dla zerowej wartości apitału początowego prawdopodobieństwo ruiny najpierw rośnie wraz ze wzrostem stopnia zależności, osiąga masimum dla współczynnia orelacji Kendalla przyjmującego wartość ooło 0,09, a następnie powoli maleje, przyjmując minimum w przypadu ścisłej zależności między wypłatami. 0,7 0,7 0,68 0,66 0,64 0,6 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 Rys. 3. Prawdopodobieństwo ruiny dla u 0 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Rys. 4. Prawdopodobieństwo ruiny dla u

18 8 Stanisław Heilpern W przypadu niesończenie dużego apitału początowego sytuacja jest trochę inna. ajmniejsza wartość prawdopodobieństwa ruiny, równa zero, jest osiągana dla niezależnych oresów między wypłatami. astępnie prawdopodobieństwo to rośnie wraz ze wzrostem stopnia zależności i osiąga masimum dla τ 0,706. Dla więszych wartości współczynnia orelacji Kendalla prawdopodobieństwo ruiny nieznacznie spada. Podobna sytuacja zachodzi dla pośrednich więszych niż 0,44, wartości apitału początowego. Jedynie masimum prawdopodobieństwa ruiny jest osiągane dla mniejszych stopni zależności. Przyładowo, dla u 5 najwięsze prawdopodobieństwo ruiny otrzymujemy dla współczynnia Kendalla przyjmującego wartość ooło 0,5. Podsumowanie W pracy przeprowadzono analizę wpływu stopnia zależności oresów między wypłatami na prawdopodobieństwo ruiny. Przyjęto bardziej realistyczne założenie, że badane oresy mogą być zależne w odróżnieniu od lasycznych założeń przyjmujących ich niezależność. Poazano, że wartości stopnia zależności oresów, dla tórych są osiągane srajne wartości prawdopodobieństwa ruiny, istotnie zależą od wielości apitału początowego. Prawidłowość tę wyraźnie widać zwłaszcza w przypadu najwięszych wartości prawdopodobieństwa ruiny. Wartości te są osiągane dla pośrednich wartości stopnia zależności, a nie dla wartości srajnych, dotyczących niezależności, czy silnej zależności. Praca jest ontynuacją artyułu [Heilpern 00], w tórym były rozpatrywane zależne wypłaty oraz była badana zależność prawdopodobieństwa ruiny od wielości stopnia zależności wypłat. astępne prace autora związane z tą tematyą będą poświęcone procesowi ryzya, w tórych mogą być zależne zarówno wypłaty, ja i oresy między nimi oraz badaniu zależności prawdopodobieństwa ruiny od stopnia zależności oraz od intensywności napływu sładi. Literatura Frees E.W., Valdez E.A. (998): Understanding Relationships using Copulas. orth Amer. Actuarial Journal, o.. Heilpern S. (007): Funcje łączące. Wydawnictwo AE, Wrocław. Heilpern S. (00): Wyznaczanie prawdopodobieństwa ruiny, gdy strutura zależności wypłat opisana jest Archimedesowi funcją łączącą. W: Zagadnienia Atuarialne. Teoria i Pratya. Red. W. Otto. Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawsiego, Warszawa.

19 Proces ryzya z zależnymi oresami między wypłatami 9 Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M. (00): Modern Actuarial Ris Theory. Kluwer, Boston. elsen R.B. (999): An Introduction to Copulas. Springer, ew Yor. Ostasiewicz W., red. (000): Modele atuarialne. Wydawnictwo AE, Wrocław. Rolsi T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J.L. (999): Stochastic Processes for Insurance and Finance. Willey, ew Yor. RISK PROCESS WITH DEPEDET ITERCLAIM TIMES AALYSIS OF PROBABILITY OF RUI Summary The paper is devoted to the ris process with dependent interclaim times. The influence of degree of dependence of interclaims on the probability of ruin is investigated. The case of the strict dependence and the case when the dependence structure is described by the Archimedean copula is studied. The localization of the extreme values of the probability of ruin essentially depends on the value of initial capital. The most values of the probability of ruin are attain for the middle values of degree of dependence.

20 Zofia Rusna Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu WYBRAE METODY POMIARU CECH JAKOŚCIOWYCH W AALIZACH UBÓSTWA Wprowadzenie Jednym z głównych celów polityi społecznej jest dążenie do ograniczenia zasięgu ubóstwa i wyluczenia społecznego. Ubóstwo oznacza bowiem nie tylo bra środów finansowych na zaspoojenie podstawowych potrzeb, ale ogranicza również możliwość doonania swobodnego wyboru dotyczącego stylu życia, co w onsewencji może prowadzić do wyluczenia społecznego. W analizach ubóstwa decydujący wpływ na identyfiację i pomiar sfery ubóstwa mają m.in.: oreślenie determinant ubóstwa, czyli tych czynniów, tóre zwięszają ryzyo zagrożenia ubóstwem, wybór metody wyznaczania granic ubóstwa oraz wybór oreślonych wsaźniów służących do oceny i porównań przestrzenno-czasowych zasięgu i głęboości tej sfery. Głównym celem tej pracy jest próba zastosowania wybranych metod pomiaru cech jaościowych do oreślenia determinant ubóstwa i wsazania, tóre z zaproponowanych czynniów i w jai sposób wpływają na prawdopodobieństwo tego, że gospodarstwa domowe oreślonego typu znajdą się w sferze ubóstwa relatywnego. Drugi cel pracy to ocena i porównanie sfery ubóstwa relatywnego w ujęciu regionalnym z wyorzystaniem m.in. podstawowych i najczęściej stosowanych wsaźniów ubóstwa, do tórych należą stopa ubóstwa relatywnego i średnia lua wydatowa ubogich. Analiza sfery ubóstwa wymaga w pierwszym rzędzie ustalenia granicy ubóstwa (linii ubóstwa). Różnorodność stosowanych w pratyce metod wyznaczania Unia Europejsa ogłosiła ro 00 Europejsim Roiem Wali z Ubóstwem i Wyluczeniem Społecznym. Podstawowe cele Rou to zwięszenie świadomości opinii publicznej na temat ubóstwa i wyluczenia społecznego oraz zwięszenie zaangażowania politycznego Unii Europejsiej i państw członowsich w walę z tymi problemami.

21 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa granic ubóstwa jest rezultatem m.in. tratowania ubóstwa jao ategorii absolutnej lub względnej oraz charateru danych, stanowiących podstawę wyznaczania granic ubóstwa obietywnego lub subietywnego. W tej pracy analiza dotyczy ubóstwa relatywnego, tóre oznacza względny (relatywny) bra środów finansowych na utrzymanie w gospodarstwie domowym. Jao wsaźni zamożności gospodarstw przyjęto wydati gospodarstw domowych, przy czym dla zachowania porównywalności sytuacji gospodarstw o różnej wielości i różnym sładzie demograficznym obliczono wydati ewiwalentne, stosując oryginalną salę ewiwalentności OECD typu 0,7/0,5. Jao granicę ubóstwa relatywnego przyjęto połowę średnich wydatów ewiwalentnych wyznaczonych dla zbiorowości wszystich gospodarstw domowych objętych badaniami budżetów gospodarstw domowych BBGD w 008 r. 3. Podstawę wszystich obliczeń stanowiły, zaupione w tym celu, dane jednostowe z badania budżetów gospodarstw domowych (BBGD), realizowanego przez GUS w 008 r.. Wybrane metody pomiaru cech jaościowych iniejsza analiza i ocena tego, tóre spośród zaproponowanych cech charateryzujących gospodarstwa domowe mają istotny wpływ na prawdopodobieństwo uznania gospodarstwa domowego za ubogie, opiera się na wybranych metodach stosowanych do pomiaru cech jaościowych. ależą do nich m.in.: względne ryzyo, iloraz szans, model logitowy. Podstawy tych metod zostaną zaprezentowane poniżej. Załóżmy, że zmienna Y jest dychotomiczną zmienną o wartościach i 0, przy czym wartość oznacza, że zaszło interesujące nas zdarzenie, a wartość 0 w przeciwnym przypadu. a przyład Y jest zmienną odpowiedzi o wartościach (ta), 0 (nie), przy czym odpowiedzi są udzielane przez grup respondentów R [r,r,...,r ]. Do porównań dwóch grup respondentów ze względu na zmienną Y można wyorzystać: względne ryzyo (ang. relative ris), iloraz szans (ang. odds ratio). Zgodnie z tą salą pierwszej osobie dorosłej w gospodarstwie domowym przypisuje się liczbę równą, następnej 0,7 oraz liczbę 0,5 ażdemu dziecu w wieu do 4 lat. 3 Taą granicę przyjmuje GUS na potrzeby analiz rajowych sfery ubóstwa relatywnego. Relatywną linię ubóstwa stosowaną przez EUROSTAT dla celów porównań międzynarodowych wyznacza się jao pewien procent (zwyle 60%) mediany dochodów ewiwalentnych, do obliczenia tórych wyorzystuje się salę zmodyfiowaną OECD typu 0,5/0,3.

22 Zofia Rusna Względne ryzyo ( / R r ) ( / R r ) P Y P Y P P / /. () Gdy np. względne ryzyo wynosi, tzn. że prawdopodobieństwo odpowiedzi (ta) jest razy więsze w pierwszej grupie respondentów niż w drugiej grupie. Iloraz szans P Θ, () P gdzie: ( / R r ) ( 0 / R r ) ( / R r ) ( 0 / R r ) P Y P/ P Y P i P P Y P P Y 0 / P P / 0 /. P jest to szansa, że dla respondentów z pierwszej grupy odpowiedź będzie Y, a nie Y 0, P szansa, że dla respondentów z drugiej grupy odpowiedź będzie Y, a nie Y 0, P > i P > gdy odpowiedź ta (z olumny pierwszej) jest bardziej prawdopodobna niż odpowiedź nie (z drugiej olumny). Jeśli P P, to zmienne Y i R są niezależne. Jeśli <Θ<, to więsza szansa wyboru odpowiedzi ta (Y) jest dla respondentów w grupie, niż w grupie. p. Θ 4 oznacza, że szansa odpowiedzi ta w porównaniu z szansą odpowiedzi nie w pierwszej grupie respondentów jest cztery razy więsza niż w grupie drugiej. Model logitowy służy do badania zależności między zmienną binarną Y, przyjmującą tylo dwie wartości, oznaczane symbolicznie, 0; a zmiennymi X, X,..., Xm, tóre mogą być zmiennymi zarówno ilościowymi, ja i jaościowymi. Chcemy znaleźć zależność prawdopodobieństwa wyboru wartości Y od wartości zmiennych objaśnianych X j. iech p P(Y ), a x j będzie wartością zmiennej X j. ajprostszą zależnością jest zależność liniowa: m P(Y ) p a 0 + a. (3) j j x j

23 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 3 Parametry a 0, a,..., a m można wyznaczyć wtedy metodą najmniejszych wadratów (MK). Jednaże dla nietórych wartości x j prawdopodobieństwo p może leżeć poza przedziałem [0, ], co jest sprzeczne z podstawową własnością prawdopodobieństwa. Aby nie było taich sprzeczności, wartości prawdopodobieństwa poddaje się transformacji. ajczęściej spotyaną transformacją jest funcja logitowa: logit(p) p ln, (4) p czyli logarytm szansy, w wyniu tórej otrzymuje się model logitowy: logit(p) m a0 + a x X A, (5) j j j T gdzie A oznacza wetor parametrów modelu A[a 0, a,..., a m ], zaś X T wetor zmiennych objaśniających. Stosując np. metodę najwięszej wiarygodności (W), można oszacować wetor parametrów A, a następnie obliczyć prawdopodobieństwo p według wzoru: P ( Y ) T X A e p. (6) T X A + e Parametr ierunowy a j ma następującą interpretację: jeśli wartość x j wzrośnie o jednostę, to szansa, że Y wzrośnie e a j razy.. Wsaźnii ubóstwa Problem oreślenia rozmiaru sfery ubóstwa sprowadza się do wyboru odpowiednich wsaźniów ubóstwa, tóre są onstruowane na podstawie różnych linii ubóstwa i pozwalają ocenić zasięg, głęboość, dotliwość czy intensywność odpowiedniego rodzaju ubóstwa. Do najprostszych i najczęściej stosowanych wsaźniów oreślających sferę ubóstwa należą stopa ubóstwa i średnia lua wydatowa albo dochodowa gospodarstw ubogich lub wszystich gospodarstw objętych badaniem [por. GUS 998].

24 4 Zofia Rusna Jeśli X jest zmienną losową oznaczającą wydati lub dochód gospodarstwa domowego o dystrybuancie F(x) i wartości przeciętnej E(X) μ, a x * odpowiednią granicą ubóstwa, wówczas wsaźniiem charateryzującym zasięg ubóstwa jest stopa ubóstwa P 0, tórą można wyrazić wzorem: P 0 F(x * ). (7) Stopa ubóstwa oreślająca frację gospodarstw (czy osób) ubogich ma podstawową wadę, polegającą na tym, że nie pozwala ocenić, w jaim stopniu zjawiso to dotya gospodarstw uznanych za ubogie: czy są to gospodarstwa o poziomie dochodów blisim granicy ubóstwa, czy też dochody ich są pratycznie na poziomie zerowym. Ponadto wsaźni ten jest niewrażliwy na spade dochodów gospodarstw uznanych za ubogie, ja również na transfery dochodów między gospodarstwami ubogimi i transfery dochodów od gospodarstw ubogich do zamożniejszych. Pewnym rozwiązaniem jest wsaźni średniej lui wydatowej (lub dochodowej) ubogich, tóry wyraża się wzorem: P n x p n p * ( x xie ) * i, (8) gdzie n i n p oznaczają odpowiednio: liczbę wszystich gospodarstw (lub osób) objętych badaniem i liczbę gospodarstw (lub osób) ubogich, zaś x ie dochody lub wydati ewiwalentne i-tego gospodarstwa zaliczanego do ubogich. Wsaźni ten informuje o ile procent przeciętne wydati (dochody) gospodarstw domowych uznanych za ubogie są niższe od wartości przyjętej za granicę ubóstwa. Przy tym im uboższe jest gospodarstwo, tym więszy jest jego udział w pomiarze głęboości ubóstwa 4. Bezpośrednim uogólnieniem lui wydatowej czy dochodowej jest miara ubóstwa zależna od dodatniego parametru α w sposób następujący 5 : 4 Wsaźni średniej lui dochodowej jest wrażliwy na transfery dochodów od gospodarstw ubogich do gospodarstw, tóre znajdują się powyżej linii ubóstwa przed taimi transferami lub po taich transferach [por. Rusna 007]. 5 Miara została opisana w pracy [Foster, Greer i Thorbece 984].

25 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 5 P α n n p i x x ie * α. (9) Jeśli α 0, to miara ta jest równa stopie ubóstwa, jeśli α, to jest identyczna ze średnią luą wydatową wszystich gospodarstw 6. Jeśli wartość α, to otrzymuje się miarę wrażliwą na rozład dochodów wśród ubogich, wyorzystywaną do oceny dotliwości ubóstwa. Miara P nadaje więsze wagi tym gospodarstwom ubogim, tórych dochód (czy wydati) są bardziej oddalone od granicy ubóstwa. Miara ta z uwagi na swoją addytywną struturę spełnia własność deompozycji 7, co oznacza, że jej wartość obliczona dla całej zbiorowości gospodarstw domowych jest ważoną sumą wartości obliczonych dla podgrup gospodarstw domowych, gdzie wagami są udziały tych podgrup w całej zbiorowości. 3. Determinanty ubóstwa Przedmiotem rozważań tej części artyułu jest analiza zależności między ryzyiem zagrożenia ubóstwem gospodarstw domowych a różnymi cechami charateryzującymi te gospodarstwa. Zmienna zależna Y jest zdefiniowana następująco: Y 0 iedy gospodarstwo domowe jest ubogie iedy gospodarstwo domowe nie jest ubogie Korzystając z dostępnych danych i lasyfiacji stosowanych w badaniach budżetów gospodarstw domowych (BBGD) w 008 r., uwzględniono jao zmienne objaśniające następujące cechy jaościowe i przypisane im ategorie: 6 α Wsaźnii P (dla α 0,, ) są stosowane w analizach sfery ubóstwa prowadzonych przez Ban Światowy. 7 Indesem uwzględniającym zarówno zasięg i głęboość ubóstwa, ja i nierówności w rozładzie lu dochodowych badanych gospodarstw jest wsaźni Sena-Shorrocsa-Thona służący jao miara intensywności ubóstwa. Indes ten został zaproponowany przez A. Sena, a następnie zmodyfiowany przez A.F. Shorrocsa i D. Thona [Za: Pane, red., 007].

26 6 Zofia Rusna zmienną TS oreślającą typ społeczno-eonomiczny gospodarstwa domowego, gdzie: TS oznacza gospodarstwa pracowniów, TS gospodarstwa rolniów, TS3 gospodarstwa pracujących na własny rachune, TS4 gospodarstwa emerytów i rencistów, TS5 gospodarstwa utrzymujące się z niezarobowych źródeł, zmienną M, tóra oznacza lasę miejscowości, przy czym: M oznacza duże miasta liczące przynajmniej 00 tys. mieszańców, M miasta do 00 tys. mieszańców, M3 oznacza wieś, zmienną R oznaczającą region, w tórym znajduje się gospodarstwo domowe, gdzie: R oznacza region centralny obejmujący województwa: łódzie i mazowiecie, R to region południowy, do tórego należą województwa: małopolsie i śląsie, R3 to region wschodni obejmujący województwa: lubelsie, podarpacie, świętorzysie i podlasie, R4 to region północno-zachodni z województwami wielopolsim, zachodnio-pomorsim i lubusim, R5 oznacza region południowo-zachodni z województwami dolnośląsim i opolsim, R6 to region północny obejmujący województwa: ujawso-pomorsie, warmińso-mazursie i pomorsie. Ponadto zostały uwzględnione dwie cechy ilościowe, oznaczajace: X wielość gospodarstwa mierzoną liczbą osób w gospodarstwie, przy czym X {,,3,4,5,6+], gdzie 6+ oznacza gospodarstwo liczące 6 lub więcej osób, X liczbę dzieci w gospodarstwie domowym w wieu do 4 lat, X [0,,,3,4+], gdzie 4+ oznacza gospodarstwo, w tórym jest przynajmniej czwóra dzieci w wieu do 4 lat. Strutury gospodarstw domowych ze względu na wymienione w analizie cechy oraz fat uznania gospodarstwa domowego za ubogie prezentuje tabela.

27 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 7 Struturę gospodarstw domowych objętych BBGD ze względu na wielość gospodarstwa oraz ze względu na liczbę dzieci w wieu do 4 lat prezentują natomiast rysuni i. Tabela Strutura zbiorowości gospodarstw domowych objętych badaniem i zbiorowości gospodarstw ubogich ze względu na różne cechy społeczno-eonomiczne Klasy gospodarstw domowych wyróżnione ze względu na Odsete gospodarstw w [%] Odsete gospodarstw ubogich w [%] Typ gospodarstwa TS 00,00 TS 49,96 3,8 TS 5,36,68 TS3 6,63 7,79 TS4 34,35 3,3 TS5 3,70 3,88 Klasę miejscowości M 00,00 M 9,06 6,7 M 8,8,89 M3 4,3,3 Region 00,00 R,53 0,06 R 0,09 3,44 R3 7,78 9,39 R4 5,49 3,66 R5 0,68,43 R6 4,43 7,7 Liczba gospodarstw w BBGD Źródło: a podstawie danych z BBGD.

28 8 Zofia Rusna Liczba gospodarstw Liczba osób w gospodarstwie Rys.. Strutura gospodarstw domowych ze względu na wielość gospodarstwa Liczba gospodarstw Liczba dzieci w wieu do 4 lat Rys.. Strutura gospodarstw domowych ze względu na liczbę dzieci w wieu do 4 lat

29 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 9 Z danych prezentowanych w tabeli oraz na rysunach i wynia, że wśród gospodarstw objętych BBGD: dwie najliczniejsze grupy gospodarstw to gospodarstwa pracowniów oraz emerytów i rencistów, łącznie stanowiły one prawie 85% całej zbiorowości gospodarstw, w więszości (prawie 58%) były to gospodarstwa miejsie, najwięszy odsete stanowiły gospodarstwa z regionu centralnego i południowego, dominowały gospodarstwa bez dzieci w wieu do 4 lat (prawie 70%), więszość stanowiły gospodarstwa małe, liczące nie więcej niż 3 osoby i były to głównie gospodarstwa bez dzieci w wieu poniżej 4 lat. Podstawę uznania gospodarstwa za ubogie stanowiła granica ubóstwa relatywnego wyznaczona na poziomie 50% przeciętnych wydatów ewiwalentnych gospodarstw domowych. Granica ta wyznaczona przy użyciu oryginalnej sali OECD typu 0,7/0,5 na podstawie danych z BBGD w 008 r. wyniosła 575, PL. Gospodarstwa, tórych wydati rzeczywiste przeliczone na jednostę ewiwalentną były niższe od wyznaczonej granicy ubóstwa zostały uznane za gospodarstwa ubogie, należące do sfery ubóstwa relatywnego. Z danych prezentowanych w tabeli wynia, że ze względu na główne źródło utrzymania najwięszy odsete gospodarstw ubogich stanowiły gospodarstwa utrzymujące się z niezarobowych źródeł oraz gospodarstwa rolniów (łącznie prawie 55%). Biorąc pod uwagę region czy lasę miejscowości, można zaobserwować, że wśród gospodarstw ubogich przeważały gospodarstwa zamieszujące regiony północny i wschodni (łącznie ponad 37%) oraz gospodarstwa zamieszujące na wsi. Dane zawarte w tabelach i 3 oraz prezentowane na rysunach 3 i 4 opisują dostatecznie doładnie sytuację dochodową i wydatową analizowanych gospodarstw domowych. Średni dochód gospodarstw domowych objętych BBGD w 008 r. Tabela Liczba gospodarstw w BBGD Średni miesięczny dochód / gospodarstwo [w PL] 3007, Średni miesięczny dochód / osobę [w PL] 63,8 Średnie miesięczne wydati / gospodarstwo [w PL] 60,9 Średnie miesięczne wydati / osobę [w PL] 05,36 Źródło: a podstawie BBGD.

30 30 Zofia Rusna Rozłady dochodów i wydatów przeciętnych na osobę oraz podstawowe charaterystyi tych rozładów prezentują rysune 3 i tabela 3. Liczba osób dochody na osobę wydati na osobę Rys. 3. Rozłady przeciętnych miesięcznych dochodów i wydatów na osobę w zbiorowości gospodarstw domowych objętych BBGD w 008 r. Rozłady obydwu charaterysty, niezależnie od tego czy jednostą badaną jest gospodarstwo, osoba czy jednosta ewiwalentna (por. rysune 4) wyazują bardzo silną asymetrię prawostronną, co oznacza, że więszość (prawie 65%) gospodarstw osiągało przeciętny dochód miesięczny poniżej średniej arytmetycznej, tzn. poniżej 3007, PL oraz przeciętne wydati poniżej 60,9 PL, zaś w przeliczeniu na osobę są to woty odpowiednio poniżej 63,8 PL i 05,36 PL. Pozycyjne parametry rozładu dochodów i wydatów prezentowane w tabeli 4, podobnie ja wartości średnie, wsazują na stosunowo nisi poziom zamożności badanych gospodarstw. Świadczy o tym również fat, że 99,3% gospodarstw objętych badaniem stanowiły gospodarstwa o dochodach poniżej 5000 PL.

31 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 3 Liczba jednoste ewiwalentnych Wydati / jednostę ewiwalentną Rys. 4. Rozład przeciętnych miesięcznych wydatów ewiwalentnych Źródło: a podstawie danych z BBGD. a przyład wartyl Q 3 oznacza, że 75% gospodarstw cechuje poziom miesięcznych dochodów nieprzeraczający 3766 PL oraz poziom wydatów niższy od 388 PL, a w przypadu wydatów na jednostę ewiwalentną jest to wota poniżej 363 PL. Parametry opisowe rozładu przeciętnych miesięcznych dochodów i wydatów w przeliczeniu na gospodarstwo oraz na osobę w 008 r. Tabela 3 Parametry opisowe rozładów Rozład dochodów na Rozład wydatów na gospodarstwo osobę gospodarstwo osobę Średnia arytmetyczna 3007, 63,8 60,87 05,36 Mediana Q 58,59 978,48 44,6 80,68 Kwartyl pierwszy Q 64, 668,7 45,3 556, Kwartyl trzeci Q ,9 400,00 377,37 4,6 Współczynni zmienności 0,984,09 0,796 0,879

32 3 Zofia Rusna Tabela 4 Parametry opisowe rozładu wydatów ewiwalentnych w 008 r. Parametry opisowe rozładów Rozład wydatów na jednostę ewiwalentną Średnia arytmetyczna 50,4 Mediana Q 938, Kwartyl pierwszy Q 655,98 Kwartyl trzeci Q 3 36,3 Współczynni zmienności 0,807 Źródło: a podstawie danych z BBGD. Wysoie wartości współczynniów zmienności wsazują z olei na znaczne zróżnicowanie zarówno dochodów, ja i wydatów gospodarstw domowych i to również niezależnie od stosowanej sali. Tablice dwudzielcze utworzone z danych jednostowych z BBGD stanowiły podstawę do testowania hipotez o niezależności uznania gospodarstwo za ubogie od cech opisujących gospodarstwa domowe, uwzględnionych w tabeli 5. Wartości statystyi testowej χ, wynoszące dla poszczególnych cech 566,7; 77,4; 37,58 i 387,4 były znacznie więsze od wartości rytycznych, odpowiadających możliwym poziomom istotności, a zatem przemawiały za odrzuceniem hipotez o niezależności i przyjęciem hipotezy alternatywnej, mówiącej o tym, że istnieje zależność między uznaniem gospodarstwa domowego za ubogie a typem gospodarstwa domowego, lasą miejscowości i regionem, w tórym gospodarstwo zamieszuje. W celu oreślenia tej zależności zostały obliczone miary omówione w podrozdziale. W pierwszym rzędzie obliczono względne ryzyo i iloraz szans uznania za ubogie gospodarstw różnego typu społeczno-eonomicznego wyróżnionych spośród wszystich gospodarstw objętych badaniem. Odpowiednie obliczenia zawiera tabela 5.

33 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 33 Względne ryzyo i iloraz szans uznania gospodarstw domowych wyróżnionych typów za ubogie Tabela 5 Prawdopodobieństwa warunowe, że gospodarstwo jest ubogie, jeśli jest ono oreślonego typu Względne ryzyo dla wybranych typów gospodarstw Szanse warunowe Iloraz szans dla wybranych typów gospodarstw P(Y /TS) P / 0,38 P / /P /3,767 P P / /P 0/ 0,6 P/P,83 P(Y /TS) P / 0,7 P / /P /3,90 P P, /P 0/ 0,93 P5/P,93 P(Y /TS3) P /3 0,078 P /4 /P /3,679 P3 P /3 /P 0/3 0,084 P/P3,905 P(Y /TS4) P /4 0,3 P /5 /P /,3 P4 P /4 /P 0/4 0,5 P5/P3 5,57 P(Y /TS5) P /5 0,39 P /5 /P /3 4,089 P5 P /5 /P 0/5 0,468 P/P3 3,488 Ja można zaobserwować, najbardziej zagrożone ubóstwem relatywnym są gospodarstwa utrzymujące się z niezarobowych źródeł (TS5) oraz gospodarstwa rolniów (TS), a najmniej gospodarstwa pracujących na własny rachune (TS3). Zarówno prawdopodobieństwa warunowe, względne ryzyo, ja i iloraz szans uznania za ubogie gospodarstw typu TS5 i TS w porównaniu do pozostałych typów gospodarstw przyjmują najwięsze wartości. a przyład najwięsze wartości względnego ryzya 4,089 8 i,9 oznaczają, że prawdopodobieństwo przynależności gospodarstwa typu TS5 do tej sfery ubóstwa jest ponad 4-rotnie więsze, a dla gospodarstw typu TS prawie 3-rotnie więsze niż dla gospodarstw pracujących na własny rachune (TS3). Iloraz szans równy 5,57 oznacza z olei, że szansa uznania gospodarstwa typu TS5 za ubogie w porównaniu z szansą, że nie będzie ono uznane za ubogie jest prawie 5,6-rotnie więsza niż w przypadu gospodarstw typu TS3. W analogicznych porównaniach dla gospodarstw typu TS rotność ta wynosi 3,488. Podobnie można interpretować pozostałe wynii prezentowane w tabeli 5. W tabelach 6 i 7 zostały przedstawione wynii obliczeń dotyczących względnego ryzya oraz ilorazów szans uznania gospodarstw domowych za ubogie z uwzględnieniem lasy miejscowości i regionu, w tórym zamieszują gospodarstwa domowe. 8 Bardzo duże liczebności w odpowiednich tablicach dwudzielnych pozwoliły na oszacowanie prawdopodobieństw za pomocą zgodnych i nieobciążonych estymatorów, jaimi są częstości występowania odpowiednich zdarzeń.

34 34 Zofia Rusna Względne ryzyo i iloraz szans wpadania do strefy ubóstwa relatywnego dla gospodarstw zamieszujących w oreślonych lasach miejscowości Tabela 6 Prawdopodobieństwa warunowe, że gospodarstwo jest ubogie, jeśli jest z danej lasy miejscowości Względne ryzyo Szanse warunowe Iloraz szans P(Y /M) P / 0,067 P /3 /P / 3,65 P P / /P 0/ 0,07 P/P,875 P(Y /M) P / 0,9 P /3 /P /,78 P P, /P 0/ 0,35 P3/P 3,708 P(Y /M3) P /3 0, P / /P /,776 P3 P /3 /P 0/3 0,67 P3/P,978 Względne ryzyo i iloraz szans wpadania do strefy ubóstwa relatywnego dla gospodarstw zamieszujących w poszczególnych regionach Tabela 7 Prawdopodobieństwa warunowe, że gospodarstwo jest ubogie, jeśli jest z oreślonego regionu Względne ryzyo dla wybranych typów gospodarstw Szanse warunowe Iloraz szans dla wybranych typów gospodarstw P(Y /R) P / 0,0 P / /P /,37 P P / /P 0/ 0, P/P,384 P(Y /R) P / 0,34 P /3 P /,9 P P, /P 0/ 0,55 P3/P,5 P(Y /R3) P /3 0,94 P /4 /P /,356 P3 P /3 /P 0/3 0,4 P4/P,40 P(Y /R4) P /4 0,37 P /5 /P /,8 P4 P /4 /P 0/4 0,59 P5/P,68 P(Y /R5) P /5 0,4 P /6 /P /,75 P5 P /5 /P 0/5 0,4 P6/P,90 P(Y /R6) P /6 0,77 P /3 /P /6,096 P6 P /6 /P 0/6 0,5 P3/P6, Analiza wyniów przedstawionych w tabelach 6 i 7 pozwala na sformułowanie następujących wniosów: najbardziej zagrożone ubóstwem relatywnym są gospodarstwa zamieszujące na wsi, względne ryzyo dla tych gospodarstw jest ponad 3-rotnie więsze niż w gospodarstwach zamieszujących miasta liczące powyżej 00 tys. mieszańców i ponad,7 razy więsze niż w miastach liczących do 00 tys. ludności, iloraz szans 3,7 wsazuje, że również szansa uznania gospodarstwa domowego za ubogie (w porównaniu z szansą, że nie będzie uznane za ubogie) jest w gospodarstwach wiejsich 3,7-rotnie więsza niż w gospodarstwach zamieszujących w dużych miastach,

35 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 35 biorąc pod uwagę region, w tórym zamieszuje gospodarstwo, można zauważyć, że w najmniejszym stopniu zagrożone ubóstwem relatywnym są gospodarstwa zamieszujące region centralny, natomiast najbardziej zagrożone są gospodarstwa z regionu wschodniego i północnego, wsazują na to wartości względnego ryzya i ilorazów szans zawarte w tabeli 7. Analiza zagrożenia ubóstwem relatywnym gospodarstw domowych została również przeprowadzona za pomocą modelu regresji logistycznej, w tórym prawdopodobieństwo uznania gospodarstwa za ubogie jest uzależnione od typu gospodarstwa (zmienna TS), miejsca zamieszania (obejmującego lasę miejscowości M i region R) oraz wielości gospodarstwa (zmienna X) i liczby dzieci w gospodarstwie wieu do 4 lat (zmienna X). Gospodarstwa referencyjne stanowiły jednoosobowe gospodarstwa domowe pracowniów, bez dzieci w wieu poniżej 4 lat, zamieszujące w regionie centralnym, w miastach liczących do 00 tys. mieszańców. Wynii estymacji modelu logitowego zawiera tabela 8. Wynii estymacji modelu regresji logistycznej dla prawdopodobieństwa uznania gospodarstwa domowego za ubogie Tabela 8 Zmienne objaśniające Ocena parametru a i Iloraz szans Stała -3,738 0,04 TS 0,076,07 TS3-0,66 0,535 TS4 0,563,754 TS5,650 5,09 M -0,58 0,589 M3 0,463,589 R 0,306,358 R3 0,40,5 R4 0,78,95 R5 0,83,0 R6 0,555,74 X 0,39,480 X 0,066,068 Miary dopasowania Źródło: a podstawie danych z BBGD. χ Całowita stara 3444,5 368,8

36 36 Zofia Rusna Wszystie oceny parametrów są statystycznie istotne, co oznacza, że uwzględnione w modelu zmienne mają istotny wpływ na prawdopodobieństwa osiągnięcia przez gospodarstwo domowe statusu gospodarstwa ubogiego. Przy oreślonej powyżej grupie gospodarstw referencyjnych, dodatnie wartości ocen parametrów przy odpowiednich zmiennych wsazują, że więsze prawdopodobieństwa uznania gospodarstwa za ubogie w porównaniu z gospodarstwem referencyjnym cechuje gospodarstwa typu TS4 i TS5, zamieszujące na wsi, w dowolnym regionie z wyjątiem regionu centralnego. Prawdopodobieństwo to rośnie wraz z rosnącą liczbą osób w gospodarstwie oraz rosnącą liczbą dzieci w wieu do 4 lat. Analizując ilorazy szans zaprezentowane w tabeli 7, można bowiem stwierdzić, że np.: jeśli gospodarstwa są tego samego typu i miejscem zamieszania jest ta sama lasa miejscowości, w tym samym regionie, to szansa uznania gospodarstwa, w tórym jest o jedną osobę więcej, rośnie prawie,5-rotnie, zaś zwięszenie liczby dzieci w wieu do 4 powoduje zwięszenie tej szansy o 6,8 p.p, jeśli gospodarstwa są tej samej wielości, z taą samą liczbą dzieci (do 4 lat) i są to gospodarstwa zamieszujące w tym samym regionie, w miejscowości należącej do tej samej lasy, to najbardziej zagrożone ubóstwem są gospodarstwa typu TS5 (iloraz szans wynosi 5,09), jeśli gospodarstwa różnią się tylo lasą miejscowości, w tórej zamieszują, to szansa osiągania statusu gospodarstwa ubogiego jest ponad,5-rotnie więsza dla gospodarstw wiejsich w porównaniu z gospodarstwem zamieszującym w mieście do 00 tys. ludności, ujemne wartości ocen parametrów przy pozostałych zmiennych wsazują, że zmniejszenie prawdopodobieństwa zagrożenia ubóstwem jest spowodowane m.in. tym, że gospodarstwo jest gospodarstwem pracującym na własny rachune i zamieszuje w mieście liczącym powyżej 00 tys. mieszańców. Ilustrują to prawdopodobieństwa zagrożenia ubóstwem dla wybranych grup gospodarstw domowych obliczone na podstawie oszacowanego modelu logitowego prezentowane w tabeli 9. Ujemne wartości ocen parametrów przy zmiennych TS3 i M znajdują odzwierciedlenie w najmniejszych prawdopodobieństwach zagrożenia ubóstwem gospodarstw opisanych tymi zmiennymi, zawartymi w tabeli 9. Analizując prawdopodobieństwa w tabeli 9, można zaobserwować, że wraz ze wzrostem liczby osób rośnie prawdopodobieństwo uznania gospodarstwa za ubogie.

37 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 37 Prawdopodobieństwa uznania gospodarstwa za ubogie na podstawie modeli logitowych, dla wybranych typów gospodarstw Tabela 9 Region Klasa miejscowości Typ gospodarstwa domowego jeśli X i X 0 P(Y) jeśli X i X 0 jeśli X i X R3 R3 R6 M M3 M TS 0,03 0,045 0,048 TS 0,033 0,043 0,05 TS3 0,07 0,04 0,06 TS4 0,053 0,076 0,08 TS5 0,4 0,96 0,07 TS 0,078 0, 0,9 TS 0,084 0,0 0,7 TS3 0,044 0,063 0,067 TS4 0,30 0,8 0,9 TS5 0,307 0,396 0,4 TS 0,035 0,05 0,054 TS 0,038 0,055 0,058 TS3 0,09 0,08 0,030 TS4 0,060 0,086 0,09 TS5 0,59 0,8 0,30 Źródło: a podstawie danych z BBGD. Podobne obliczenia przeprowadzone dla gospodarstw o różnym sładzie demograficznym, poazały, że najwięsze prawdopodobieństwo uznania gospodarstwa za ubogie odpowiada gospodarstwom utrzymującym się z niezarobowych źródeł, mieszającym na wsi, w regionie wschodnim. ajmniejsze prawdopodobieństwo zagrożenia ubóstwem odnosi się natomiast do gospodarstw pracujących na własny rachune, mieszających w mieście powyżej 00 tys. mieszańców, w regionie centralnym.

38 38 Zofia Rusna 4. Ocena sfery ubóstwa w ujęciu regionalnym W analizie ubóstwa relatywnego przedstawionej w tym artyule jao mierni zamożności gospodarstw domowych zostały przyjęte wydati onsumpcyjne tych gospodarstw. Sytuację wydatową gospodarstw domowych w poszczególnych regionach opisują dane zawarte w tabeli 0. W 008 r. najwyższy poziom wydatów, niezależnie od stosowanej sali, cechował region centralny, natomiast najniższy regiony wschodni i północny. Średnie wydati w zbiorowości wszystich gospodarstw z BBGD Tabela 0 Region Średnie wydati w zbiorowości wszystich gospodarstw objętych BBGD przypadające na: gospodarstwo osobę jednostę ewiwalentną Polsa 60,8 05,36 50,40 Centralny 883, 038,33 335,58 Południowy 56,73 884,4 44,59 Wschodni 48,3 760,39 00,73 Płn.-Zachodni 558,56 848, 05,59 Płd.-Zachodni 63,40 954, 5,48 Północny 48,3 83,49 087,95 Źródło: a podstawie danych z BBGD. Granica ubóstwa relatywnego wyznaczona na poziomie połowy średnich wydatów ewiwalentnych stanowiła podstawę do wyznaczenia stopy ubóstwa relatywnego oraz średniej lui wydatowej gospodarstw ubogich dla zbiorowości gospodarstw zamieszujących w poszczególnych regionach por. wzory (7) i (8). Wynii obliczeń prezentuje tabela. Ja można zaobserwować, region centralny charateryzują najniższe wartości wsaźniów dotyczących ta zasięgu, ja i głęboości ubóstwa. ajbardziej zagrożone ubóstwem są gospodarstwa domowe zamieszujące regiony: wschodni i północny, przy czym w najwięszym stopniu zjawiso to dotya dzieci w wieu do 4 lat.

39 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 39 Stopy ubóstwa relatywnego i średnia lua wydatowa w regionach Polsi w 008 r. Tabela Region Stopa ubóstwa P 0 oreślająca [% ] ubogich: Średnia lua wydatowa dzieci w wieu gospodarstw osób ubogich P do 4 lat Wsaźni P jao miara dotliwości ubóstwa Polsa 4,3 8,7 4,9 0,8 0,073 Centralny 0, 3,4 8,7 0,5 0,07 Południowy 3,4 7, 3,5 0,04 0,064 Wschodni 9,4 4,0 8,3 0,35 0,08 Płn.-Zachodni 3,7 8,0 3,9 0,08 0,068 Płd.-Zachodni,4 6,3, 0,0 0,068 Północny 7,7 3,4 3,6 0,4 0,077 Źródło: a podstawie danych z BBGD. Regiony wschodni i północny cechują wysoie wartości wszystich rodzajów stóp ubóstwa i lui wydatowej ubogich. Małe zróżnicowanie miary P świadczy o tym, że stopień dotliwości ubóstwa jest w poszczególnych regionach na podobnym poziomie. Dane w tabeli prezentują raning regionów ze względu na stopę ubóstwa P 0, średnią luę wydatową ubogich P, średnią luę wydatową P i wsaźni P. Raning regionów ze względu na wsaźnii ubóstwa Tabela Region Po Pozycja P Pozycja P Pozycja P Pozycja Centralny 0,0 6 0,5 3 0,0 6 0,07 3 Południowy 0,34 4 0,04 6 0,07 4 0,064 6 Wschodni 0,94 0,35 0,046 0,08 Płn.-Zachodni 0,37 3 0,08 5 0,08 3 0,068 5 Płd.-Zachodni 0,4 5 0,0 4 0,06 5 0,068 4 Północny 0,77 0,4 0,040 0,077 Źródło: a podstawie danych z BBGD.

40 40 Zofia Rusna Dane te wsazują, że gospodarstwa w regionach wschodnim i północnym są najbardziej zagrożone ubóstwem (pozycje i ), ponieważ wsaźnii służące do oceny zasięgu, głęboości i dotliwości sfery ubóstwa w tych regionach przyjmują najwięsze wartości. W najmniejszym stopniu zagrożone ubóstwem są gospodarstwa domowe z regionu centralnego. Przyjmując zatem jao wsaźni zamożności gospodarstw średnie wydati, można stwierdzić, że zarówno w zbiorowości wszystich badanych gospodarstw, ja i w zbiorowości gospodarstw uznanych za ubogie, w najlepszej sytuacji finansowej znajdują się gospodarstwa z regionu centralnego, zaś w najgorszej z regionów: wschodniego i północnego. Podsumowanie Podstawowym celem niniejszej pracy była ocena istotności wpływu wybranych cech społeczno-eonomicznych, charateryzujących gospodarstwa domowe w Polsce na prawdopodobieństwo tego, że gospodarstwa domowe oreślonego typu znajdą się w sferze ubóstwa relatywnego. Do realizacji tego celu zostały wyorzystane pewne metody pomiaru cech jaościowych, taie ja: względne ryzyo, iloraz szans czy model regresji logistycznej. Otrzymane wynii pozwoliły na sformułowanie m.in. następujących wniosów: wszystie uwzględnione w analizach ubóstwa relatywnego zmienne miały istotny wpływ na prawdopodobieństwo uznania gospodarstwa domowego za ubogie, do cech zwięszających ryzyo zagrożenia ubóstwem należy zaliczyć wielość gospodarstwa oraz liczbę dzieci w wieu do 4 lat, najbardziej zagrożone ubóstwem w 008 r. były gospodarstwa domowe utrzymujące się z niezarobowych źródeł, zamieszujące na wsi w regionie wschodnim lub północnym, najmniejsze ryzyo uznania gospodarstw za ubogie dotyczy jednoosobowych gospodarstw pracujących na własny rachune, tóre zamieszują w miastach powyżej 00 tys. ludności, w regionie centralnym. W pracy doonano również oceny i porównań sfery ubóstwa relatywnego w ujęciu regionalnym z wyorzystaniem podstawowych oraz najczęściej stosowanych wsaźniów ubóstwa, do tórych należą stopa ubóstwa relatywnego, średnia lua wydatowa ubogich, a taże wsaźni dotliwości ubóstwa. Przeprowadzona analiza zasięgu i głęboości ubóstwa potwierdza otrzymane wcześniej wynii, bowiem wartości wszystich miar ubóstwa wsazują na najgorszą sytuację gospodarstw domowych z regionów: wschodniego i północnego oraz najorzystniejszą gospodarstw z regionu centralnego.

41 Wybrane metody pomiaru cech jaościowych w analizach ubóstwa 4 Literatura Foster J., Greer J., Thorbece E. (984): A Class of Decomposable Poverty Measures. Econometrica, Vol. 5, o. 3. GUS (998): Waruni życia ludności w 997 r. GUS, Warszawa. Pane T., red. (007): Statystya społeczna. PWE, Warszawa. Rusna Z. (007): Statystyczna analiza dobrobytu eonomicznego gospodarstw domowych. AE im. O. Langego, Wrocław. CHOSE METHODS OF MEASURIG QUALITATIVE CHARACTERISTICS I POVERTY AALYSES Summary In classical approach to poverty spheres analyses both objective and subjective one uses poverty indicators that characterize mostly the range and the depth of this phenomenon. One of the most basic aspects in a multivariate approach is to determine these factors that increase the ris of poverty. The main aim of this paper is to characterize the poverty determinants as well as to estimate the ris of households becoming threatened by this phenomenon. Chosen methods of measuring qualitative characteristics will be used to achieve this aim. The second goal of this paper is an attempt at estimating and comparing poverty spheres in regional approach by means of most important poverty indicators. The source of the data in both cases is unidentifiable unitary data from household budget research carried out by CSO in 008 and made available for academic research.

42 Katarzyna Ostasiewicz Uniwersytet Eonomiczny we Wrocławiu MODELS OF WILLIGESS TO PAY FOR SUSTAIABLE DEVELOPMET Introduction Growing consciousness of dangers that overexploatation and overpollution of natural environment bring to the human beings causes growing careness of natural resources, involving increasing interest in the questions of sustainable development. According to the definition of World Commission on Environment and Development (better nown as Brundtland Commission), sustainable development is such one that ( ) meets the needs of the present without compromising the ability of future generations to meet their own needs [United ations 987]. From economic point of view one of the problems is, that these natural goods have no obvious price and are difficult to be involved into economic accounts. Thus instead of asing about price of clear water or fresh air, economists rather as people, which amount of money are they ready to pay for obtaining some defined desired state. This is called a willingness to pay, and has to be estimated in any attempt to introduce changes, that will lead to the better state of natural environment. It is obvious, that new clear technologies will cost more than traditional ones, at least in the early stage of their introduction. Thus, there are needed tools for investigating whether the society is ready to bring additional costs for introducing new technologies and the level of these acceptable additional costs. In this paper a certain simple model of willingness to pay for public ecological goods will be proposed.. Utility function and willingness to pay There are two approaches to modeling willingness to pay [Haab and McConnell 003]. One is based on the random utility function. The other one,

43 Models of willingness to pay for sustainable development 43 which is possible only in the case of a binary choice, is to model willingness to pay directly, not through the medium of utility function. Both approaches have advantages: the first one is more universal while the second enables to model a bounded willingness to pay. Let s briefly summarize both of these approaches. Within approach based on a random utility function it is assumed, that each individual has a defined utility of each possible scenario. The utility of scenario i for individual j, u, depends on a vector of individual preferences and characteristics of an individual j, z ; his/her income, y (this particular characteristic of an individual is excluded from the vector z for reasons, which will become obvious soon); and also on a random variable, ε : u f y,z,ε. () Mostly, it is assumed, that deterministic and random parts of utility function are additive: u v y,z +ε. () Individuals are assumed to choose this option, of which his/her utility has greater value. Thus, if an individual j is proposed to pay a certain sum of money, t, for a scenario to be realized, he/she will agree conditioned that: v y t,z +ε >v y,z +ε. (3) ote, that within scenario the income of an individual is lessen by a proposed sum of money t and that is a cause of excluding income from the vector of individual characteristics and taing it explicitly into regard. As utility function involve a random term, also the decisions of individuals will have a probabilistic character. Denoting a difference of random variables of two scenarios by ε : ε ε ε, (4) the probability, that an individual j will agree on a proposed payment t (what will be denoted by ω, while ω 0 will mean answer no ) may be expressed in terms of cumulative distribution function of this random variable ε : Pr ω Pr ε ε <v y t,z v y,z F v y t,z v y,z, (5)

44 44 Katarzyna Ostasiewicz where: F(x) Pr (ε <x). Parameters of functions v and v may be estimated by means of maximizing the lielihood function: L F v y t,z v y,z F v y t,z v y,z (6) The willingness to pay of an individual j for scenario, WTP, is defined as such a sum of money, for which utility of scenarios and 0 are equal: v y WTP,z +ε v y,z +ε. (7) Transforming (7) one may obtain an expression for willingness to pay: WTP ε y v (v ε). (8) In general, it may be a complicated function of a random variable ε. However, if ε has an infinite distribution (lie normal or logistic ones) also WTP has an infinite distribution. There are at least two problems with random utility function approach. The first is the possible infinity of distribution of willingness to pay, mentioned already. In some cases it may turn out, that the probabilities of willingness to pay less than zero or exceeding income are quite significant. In special situations it may be so, that an individual will accept a proposed scenario only conditioned that he/she will be paid for it (willingness to pay less than zero), however, the willingness to pay exceeding income still maes sense in no circumstances. The second problem is in comparing utilities. Most of ecological goods belong to the classes of so-called common-pool resources and public goods (according to Elinor Ostrom classification [Ostrom 009]). Both these classes are characterized by a high difficulty of excluding potential beneficiaries [Ostrom 009]. In the context of this ind of goods there appear a problem of free riding [Wiser 007; Champ and et al. 997]. Paying for any private good, e.g. food or clothing, one always gets what he/she has paid for. On the

45 Models of willingness to pay for sustainable development 45 contrary, due to high difficulty of excluding potential beneficiaries, one can be never sure of the effect of his/her paying for any common-pool resource or public good. Thus it may seem more adequate to tae into regard the willingness to pay in such cases, instead of the utility of scenario which may never be realized. The general form of willingness to pay function reads: WTP WTP z,ε, (9) where z denotes a vector of individual preferences and characteristics (may also include income note, that here there is no necessity of including it explicitly as a function variable), and ε is a random variable with a distribution to be specified. In attempts to model willingness to pay directly, one should tae also the first of the problems mentioned above into regard and choose the model function so to assure, that willingness to pay will range from zero to income: 0 WTP y. The natural form of such function will in general read: WTP z,ε G z,ε y, (0) with 0 G z,ε. Estimation of parameters of function G proceed as usually, by means of finding maximum of lielihood function. Later on we will propose a simple definite form of willingness to pay function. First, let us ground the choice of ey variables that will appear in the proposed function.. Social interactions and altruism A common sense and life nowledge have never negated the fact, that people s behavior strongly depend on the behavior of the others. This is the base of so-called social norms (which may differ from society to society), without which the social harmony wouldn t be possible. Moreover, in the context of modern nowledge the herd behavior of individuals no matter whether judged positively or negatively cannot be denied [Aronson 003]. However,

46 46 Katarzyna Ostasiewicz economists for a long time tried to get around, treating all social interactions as mediated by the maret. This approach has turned out to be unsatisfactory in explanations of phenomena of real social world, and thus there are arising consecutive models, that are taing social interactions explicitly into account [Ostasiewicz et al. 008; Blume 995; Broc and Durlauf 00]. Some of them are based on the concept of Mar Granovetter, who was the author of widely nown threshold model [Granovetter 997]. The main idea of the threshold model is that a given individual will join a certain action (ω ) conditioned that a certain percent of the others has already joined it: P ω if m Th 0 if m < Th. () This percent, Th, may be different for different individuals (in particular, it may equals 0), and is called a threshold of the individual. For the action to be initialized there must exist at least one person with the zero threshold. Dependence of choices of individuals on the choices of the others implies a dynamical character of the model. This dynamics may be called a ind of a domino effect, as action of some individuals results in actions of some other individuals and so on. The percent of participants of the action changes from time step to next time step according to the following expression: m(t) F m(t ), () where F denotes distribution of thresholds across the whole population. Stationary states, that is, such states that are reached within long enough time and do not evolve in time any more, denoted by m, may be obtained from: m F (m ). (3) In the quasi continuous version expression () taes the form: F (m) m, (4) while stationary state condition remains the same, see (3). The evolution of percent of participants of an action and finding a stationary state may be easily pictured, as on an exemplary graph below.

47 Models of willingness to pay for sustainable development 47 F Th (m m m 0 Fig.. An example of evolution of percent of participants and obtaining a stationary state in threshold model Let us also define a so-called potential, V(m), which is a counterpart of physical potential. Let us define it as follows: ( ). (5) This construct is very useful for determining the character of stationary points (there may be stable or unstable stationary states). The properties of potential defined by (5) are as follows: ) it has an extremum in the stationary point, what follows from the condition: 0 ( ) 0; ) this extremum is a minimum for stable stationary point and maximum for unstable one.

48 48 Katarzyna Ostasiewicz Thus, having a potential one may easily decide, which solutions of stationary state condition are stable and which are unstable ones, imagining a ball, rolling in the valley of the shape of potential. On the other hand, apart from the definition (5) the potential may be expressed as follows (by substituting (4) to definition (5)): V(m) F (m )dm. (6) As an example, the shape of the potential for the system shown on Figure is presented below. V(m 0 m 0 Fig.. Potential corresponding to the system presented on Fig. m The second ey variable in the model that will be presented in next sections is a degree of altruism. It may be a matter of discussion, whether an altruist feelings are an artifact of social interactions (inner social norms), product of mirror neurons or even something transcendental. Anyway, it is the fact, that in many situations many individuals behave altruistically, even if sometimes it may be perceived as not a pure altruism but rather a reciprocal one or forced by social pressure. Otherwise, no cooperation would be possible and all common-pool re-

49 Models of willingness to pay for sustainable development 49 sources would be already destroyed, as forecasted by Garrett Hardin [Hardin 968]. However, as Elinor Ostrom has definitely proved [Ostrom 009], there are many circumstances in which people are willing to cooperate and behave not accordingly to their sole economical profit. This ind of altruism may be viewed as a long-range rationality. However, there are also many situations, when individuals behave altruistically not having in perspective a reciprocity of longtime economical gain. Daniel Kahneman [Kahneman and Knetsch 99] stated, that people are willing to pay not only for measureable economical goods but are willing also to buy a moral satisfaction of behaving good. The degree of altruism may be measured by some standard questionnaires of this feature of human character, and will be taen in what follows as ranging from 0 to. It will be also assumed, that that greater degree of altruism the less temptation of free riding of an individual. 3. Willingness to pay model Taing social nature of human beings and temptation of free riding into account, the general form of model of willingness to pay for public ecological goods will be as follows: WTP WTP z,m,a,ε, (7) where m denotes a percent of the whole population which is also willing (or is thought/expected by a given individual j to be willing) to pay; a denotes the degree of altruism of an individual j (as measured by some standard questionnaires for measuring this feature), a 0, ; z is a vector of measures of other characteristics of an individual and ε is a random variable. The dependence of willingness to pay on the percent of others that are also willing to pay enables reinterpreting this model in terms of threshold model [Ostasiewicz et al. 008]. Indeed, conditioned that: and WTP z,m,ε 0 m WTP z,m,ε 0 ε

50 50 Katarzyna Ostasiewicz the probability that the willingness to pay will exceed a proposed sum of money t, may be expressed in terms of probability that the percent of participants will exceed a certain number, which may be called a threshold: P WTP t P m Th t,ε if m Th t,ε 0 if m <Th t,ε, where ε denotes a realization of a random variable ε. However, one has to eep in mind that this similarity of willingness to pay model to threshold model () holds only in the probabilistic sense and not in all situations. ote, that within WTP model the threshold is a random variable itself and decision of even a single one individual has a probabilistic character. On the other hand, within the simple version of threshold model presented in the previous section, a value of threshold of a given individual is constant and there is no uncertainty. Probabilistic approach may be applied to this threshold model only in the case of a large population and values of thresholds that may be treated as realizations of some random variable. Then, if random variables of different individuals within willingness to pay model are identical, ε ε, but characteristics of individuals are different, it is possible to treat both inds of models as equivalent in probabilistic sense. Then dynamical equations (,4) and stationary state condition (3) may be applied to describe willingness to pay model. In the case of so-called mean-field approach, that is, such approximation, within which each individual is replaced by an averaged one (or in the case, when all characteristics of all individuals are in fact identical) there may not be a real dynamics. If all individuals are the same, then all of them should mae the same decision any differences in decisions will be only a result of a randomness, which will cause fluctuations around some state. evertheless, the condition for stationary states (3) will still holds and graphical way of obtaining them is still valid. Potential (6) may be still used to examine stability properties of obtained stationary states. 4. An example Let us propose a simple example. We want to investigate the properties of the model (7) with the willingness to pay function dependent only on the percent of the population which is willing to pay, m, the degree of altruism, a, and

51 Models of willingness to pay for sustainable development 5 income, y, as characteristics of an individual. We want to find a function that will have the following properties: ) the values of the function range from zero to income of an individual, 0 WTP y ; ) it is an increasing function of m, a and ε ; 3) for zero altruism and m it tends to zero, lim WTP 0; 4) for maximum altruism it does not depend on percent of population, WTP (m,, ε) WTP (, ε). It may be checed, that the following function is fulfilling all the required properties: WTP m, a,ε exp ln (8) conditioned that α >0, β >0. ote, that random variables are assumed here to be identical for all individuals. ) As exp(x) 0 for x, + thus: and: + exp αm ln ε 0, 0 WTP y. ) For,, 0 it is sufficient exp ln 0 to be fulfilled. Then: exp ln exp αm ln αβlna m ln. As exp(x) 0 for any x, for m 0, : m 0 for any x, and for a 0, : lna 0, thus for α >0, β>0 condition exp ln 0 indeed holds, and the function (8) increases with increasing m. 0 it is sufficient exp ln 0 to be ful- Similarly, for,, filled. As exp ln αβ ln m ln lnm 0 for 0 m thus the function (8) increases with increasing a.

52 5 Katarzyna Ostasiewicz As for ε it is obvious, that exp[ ε] is a decreasing function of ε and thus WTP an increasing function of ε. 3) lim WTP m, a,ε lim as lim lna and thus lim exp αm ln ε. 4) WTP (m,, ε) exp ln 0 exp ln exp[ ] WTP (, ε). Let us examine the stationary states of the system in the mean-field approximation. Within this approximation each individual is replaced by an averaged individual, that is: y y, a a a. Within this approximation the condition for stationary states reads: m F ln +αm ln (9) where F is a cumulative distribution function of a random variable ε and t proposed percent of an income to be paid. If distribution of a random variable ε is symmetrical, then F(x) F( x) holds and the condition (9) may be rewritten as: mf ln αm ln. (0) Let us assume as a distribution of a random variable a logistic one with standard values of parameters: F(x) exp. () Substituting () into (0) one gets a stationary state condition: m + exp m ln. ()

53 Models of willingness to pay for sustainable development 53 Let us examine the existence and numbers of stationary states defined by the condition (). In order to shorten notation let us introduce functions g(m) and h(m) defined as a right-hand-side and left-hand-side, respectively, of condition (), i.e.: g(m) + exp m ln, (3a) h(m) m. (3b) As m 0, we are interested in the crossing of the curve y g(m) and a line ym within this range of variable. In the lower limit g(m)starts from zero, g(0) 0 and then it is increasing to the value of the upper limit, g() + exp (0,. As h(0) 0 there always exists at least one intersection of curves g(m) and h(m), for m 0. As h() g() thus there may exists only this one intersection. On the other hand, the maximum possible number of intersections equals three. The actual number of solutions of stationary state condition depends on the values of parameters α, β and σ, as well as on the proposed fraction of income, t, and degree of altruism, a. Let us present a simple (and artificial) example of dependence of stationary states on average altruism and proposed percent of income to be paid. Here we will tae α, β 8, σ. First, let us fix the proposed percent of income to be paid, t 0.0. For average altruism less than 0.6 there are no stable stationary states apart from zero. For values of altruism greater than 0.6 there appear a second stationary and stable state with m >0 (see Figure 3 for intersections of curves g(m) and h(m) and thus existence of stationary points and Figure 4 for corresponding potentials to examine stability of existing stationary points). The stability of this stationary state and the value of final percent of participants that are willing to pay are growing with growing value of a (see Figure 4 for degree of stability the depth of the well of potential corresponding to the given stationary point, and Figure 5 for the value of m within this possible final state).

54 54 Katarzyna Ostasiewicz 0,9 0,8 0,7 g(m) 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, a0.5 a0.6 a0.75 a0.9 ym 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 m Fig. 3. Plots of g(m) and h(m) for different values of average altruism 0,45 0,4 0,35 0,3 V(m) 0,5 0, 0,5 0, 0,05 a0.5 a0.6 a0.75 a ,05 0 0, 0,4 0,6 0,8, m Fig. 4. Potential of the system for different values of average altruism, corresponding to Fig. 3

55 Models of willingness to pay for sustainable development 55 0,974 0,97 0,97 0,968 0,966 m* 0,964 0,96 0,96 0,958 0,956 0,954 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 a Fig. 5. Dependence of nonzero stable stationary state on average degree of altruism ow let us fix the value of average altruism on a 0.9 and examine the dependence of stationary states on proposed percent of income to be paid. For t > there does not exist a stationary state apart from m 0. For t there appears second stable stationary state, which stability and value of m within it increases with decreasing t (see Figure 6 for existence of stationary states, Figure 7 for stability properties of these eventual states and Figure 8 for dependence of value of m >0 on proposed payment t).

56 56 Katarzyna Ostasiewicz g(m) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 m t0.06 t0.05 t0.05 t0.0 ym Fig. 6. Plots of g(m) and h(m) for different values of proposed payment 0,6 0,4 0, 0, V(m) 0,08 0,06 0,04 0,0 t0.06 t0.05 t0.05 t ,0-0,04 0 0, 0,4 0,6 0,8 m Fig. 7. Potential of the system for different values of proposed payment, corresponding to Fig. 6

57 Models of willingness to pay for sustainable development 57 m* 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 t Fig. 8. Dependence of nonzero stable stationary state on proposed payment The above results are intuitive ones, as one expects, that percent of donators for any public good will increase with increasing altruism and decrease with increasing sum of donation. To obtain results with any reference to a certain real society one has to estimate the parameters of willingness to pay function and random variable basing on real data collected from empirical studies. In order to estimate values of parameters α, β and σ one has to construct a lielihood function and then maximize it. In what follows we assume, that random variables are independent and identical for all individuals, and that each individual may be proposed to pay different percent of his/her income than the others individuals. The probability, that an individual j will agree on a proposed payment t reads (having in mind that t denotes a percent of income): P WTP t y P +exp αm ln ε t y y P ε ln +αm ln. (4)

58 58 Katarzyna Ostasiewicz As ε is a symmetric distribution (a logistic one) thus (4) may be rewritten as: P WTP t y P ε ln +αm ln F ln αm ln. (5) Substituting () for F(x): P WTP t y exp ln ln. (6) Thus the lielihood function reads: L(α, β, σ). (7) exp ln ln exp ln ln Maximizing this function basing on collected real data will allow to get a final form of the model, which can be used to predict behavior of a given society stated in front of decision of paying or not for a certain ecological innovation. Conclusions As the challenge of slowing down degradation of our natural environment is a very short-time one, we need tools for investigating the state of minds of participants of our community, whose agreement for some steps toward this aim is needed in the democratic society. A standard willingness to pay approach seems insufficient unless it taes into regard the dependence of choices of individuals on the choices of the others. Including percent of participants as a variable of willingness to pay function impose an inner dynamics on the model. That is rather realistic, as ecological thining seems to spread across populations lie fashions (what does not necessarily suggest that believes and attitudes are nothing more than fashions or conformist acting). In this paper general arguments and approach to including dependence individuals on the others is presented and a simple concrete model is proposed. Its properties has been shortly investigated within a mean-field approach. However, it is possible to go beyond this approximation and get more realistic (and much

59 Models of willingness to pay for sustainable development 59 more complicated) dynamical equations. Further analysis would reveal detailed dependence of behavior of the model on a specific distribution of degree of altruism and incomes across the population. Literature Aronson E. (003): The Social Animal. Worth Publishers, Bedford. Blume L.E. (995): The Statistical Mechanics of Best-Response Strategy Revisions. Games and Economic Behavior, o.. Broc W., Durlauf S.. (00): Discrete Choice with Social Interactions. Review of Economic Studies, o. 68. Champ P.A., Bishop R.C., Brown T.C., McCollum D.W. (997): Using Donation Mechanisms to Value onuse Benefits from Public Goods. Journal of Environmental Economics and Management, o. 33. Granovetter M. (979): Threshold Models of Collective Behavior. American Journal of Sociology, o. 83. Haab T.C., McConnell K.E. (003): Valuing Environmental and atural Resources. Edward Elgar Publishing, Cheltenham. Hardin G. (968): The Tragedy of The Commons. Science, o. 6. Kahneman D., Knetsch J.L. (99): Valuing Public Goods: The Purchase of Moral Satisfaction. Journal of Environmental Economics and Management, o.. Ostasiewicz K., Tyc M.H., Radosz A., Magnuszewsi P., Goliczewsi P., Hetman P., Sendzimir J. (008): Multistability of Impact, Utility and Threshold Concepts of Binary Choice Models. Physica A, o Ostrom E. (009): Beyond Marets and States: Polycentric Governance of Complex Economic Systems. obel Prize Lecture. United ations (987): Report of the World Commission on Environment and Development. General Assembly Resolution 4/87, December. Wiser R.H. (007): Using Contingent Valuation to Explore Willingness to Pay for Renewable Energy: A Comparison of Collective and Voluntary Payment Vehicles. Ecological Economics, o. 6. MODELOWAIE GOTOWOŚCI DO PŁACEIA A RZECZ ZRÓWOWAŻOEGO ROZWOJU Streszczenie Postępująca degradacja środowisa naturalnego jest palącym problem współczesności. Jednym z elementów oniecznych do jego rozwiązania jest eologiczna świadomość obywateli. Z tego względu, istotne jest badanie postaw ludzi wobec dobrowolnego

60 60 Katarzyna Ostasiewicz ponoszenia zwięszonych osztów działań zachowujących środowiso naturalne w dobrym stanie. Standardowe modele słonności do płacenia na rzecz eologii wydają się nieompletne, gdyż nie uwzględniają zależności postaw jednoste od postaw ich otoczenia. Dbałość o eologię jest bowiem nastawieniem szerzącym się w społecznościach na podobieństwo innych wzorców ulturowych i zachowań społecznych. Włączenie mechanizmu naśladownictwa do modelu nadaje mu zatem automatycznie charater dynamiczny. W pracy zaprezentowano ogólny model gotowości do płacenia, uwzględniający zależność wyborów jednoste od wyborów innych osób. astępnie, jao przyład, został zaproponowany i poddany analizie bardziej szczegółowy model. Omówiono jego właściwości zarówno w przybliżeniu średniego pola, ja i w ujęciu dynamicznym. Poazano zależność rezultatów od rozładu osobniczego stopnia altruizmu oraz dochodów.

61 Janusz L. Wywiał Uniwersytet Eonomiczny w Katowicach O LIMIT DISTRIBUTIO OF HORVITZ-THOMPSO STATISTIC UDER POISSO SAMPLIG DESIG Introduction Let U be a fixed population of the size, so,, 3,... The elements of the population are identified. So, the population can be represented by the set: U {,..., }. The observation of a variable under study is denoted by y,,,...,,, 3,... So, the vector y [ y, y,... y, ] is attached to the set U. Particularly, when we assume that U U + then the observations of a variable in the population can be represented more simply by the vector: y + [ y y + ] where y [ y, y... y ]. A more particular case is as follows. Let ( y i, wi t ) means that the value y i is w i t times replicated in the population, where Σ i w i and 0 < w < for i,,...,, t,,..., and the vector y [ y y,..., y ] is fixed. The size t of the population U t is determined in such a way that w is an integer for all i,...,. So, i t y [( y, w t ) ( y, w t )... ( y, w t )]. t We assume that the all elements of the population can be selected for the sample with different probabilities. A -th population element, U, be selected for the sample with the inclusion probability 0 π, <,,...,. < More precisely, let S S... S ] be the vector of independent binary random variables and [,,

62 6 Janusz L. Wywiał P S ) π P( S 0) () (,,, So, s [ s,... s, ] is the realization of the random sample S. The probability distribution of the random sample S is nown as Poisson sampling design [see, e.g. Tille 006]: s,, ), s, P ( ) ( π S s π. The population total ~ y y, Horvitz-Thompson statistic [95]: U can be estimated on the basis of the y HTS U y, π S,,. It is well nown that Because of HTS P ( S,, S h, ) π, π h, E( y ) y~ if π 0 for all,...,., > for all,...,, h,..., and h the variance of the statistic y is: HTS V ( y HTS ) U y, ( π, ). () π, Its unbiased estimator is: y, (, ) V ( yhts ) U π, π S,. (3) Let b 3, y, U 3 and v, y, U v 4 4, y, U.

63 On limit distribution of Horvitz-Thompson statistic 63 The original version and the proof of the Lapunov's [00] theorem, which is slightly less general, can be found in the monograph by Fisz [963]. On the basis of the boos by Billingsley [009] or Jaubowsi and Sztencel [004], the following more general version of the theorem is presented. Theorem. Let Z,,,...,,,,... be a sequence of independent random variables and for some δ > 0 where: β δ B 0 C +δ if (4) B δ E Z + δ, E( Z, ), C V ( Z, ). (5) Under these Lapunov's conditions, the random variable: Z ( Z, E( Z )), C converges in distribution to the normal standard distribution if. Háje [964] considered a limit distribution for the following statistic where: H S y r HTS r y, π ( π S ) ( π ) ( π ). He proved that the probability distribution of the statistic H S tends to the normal distribution because it fulfils the well nown Lindeberg condition. In the next section, the limit theorem for the estimator y HTS will be considered.

64 64 Janusz L. Wywiał. Limit theorem Firstly, let us formulate the following statistics and the theorem. T y ~ HTS y, V ( y ) HTS Tˆ y ~ HTS y. (6) V ( y ) S HTS α We say that π, O( ) if for all 0 α < there exists such a and a that a a and < α { max { π } a α 0 < a max,,... 0 < (7),...,, or max { max { π },,...,...,, 0 < a a0 < α Particularly, if α 0, { max { } 0 a max,,... 0 <,..., π, a < α Moreover, π O( ) 0, < c < c0 that a a because for all 0 α < there exists such α (8) α < c max,,... max,..., c0 π, π, O( α α α 0 < d c < c d ) because for all 0 α < there exists such 0 0 that

65 On limit distribution of Horvitz-Thompson statistic 65 α (9) α 0 < d max,,... max,..., d0 π, α γ α + γ O ( ) O( ) O( ) because for all α 0 and γ 0 from the inequalities 0 < d d0 and 0 < g g0 results the following α γ one α +γ 0 < e d g d g e (0) α γ α γ Finally, O ( ) O( ) O( ) because for all α 0 and γ 0 α γ from the inequalities 0 < d d 0 and 0 < g g0 results the following one d α γ 0 0 < l l0 g 0 g d () α Theorem. Let { π } O( ) 0 v v v < and < 0,, for all 0 < b 3, b 3 < for,,... 4, v 4 < α and When then T T ~ (0, ). When additionally v then Tˆ d T ~ (0, ). d Proof: On the basis of the theorem, it is sufficient to assume that δ. The Horvitz-Thompson statistic can be rewritten in the following way. where: Z, y HTS Z, y S,,,..., π, On the basis of the expression (), we have: P( Z, z, π, if ) π, z, if y,, π, z 0, ()

66 Janusz L. Wywiał 66 and Z y E,, ) (, y Z E,,, ) ( π, ) (,,, Z y V π,...,, ( ) ( + y E S y Z E E Z, 3, 3, 3, 3,, 3, 3, 3,, ) ( π π π π π ( )) ( )( ) ( ) ( ) y y,, 3,,,,, 3,, 3, π π π π π π π π + +. This and the expression (5) for γ lead to the following. ( )( ) ( ) + y B,,,, 3, π π π π,\ ( ) ) (,,, HTS y V y C π π, On the basis of the expressions (7)-() we have: ( ) ( ) + 3,,,,,, 3, 3 ) ( y y C B π π π π π β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3, 3, 3,,,, 3, O y O O y y y α α α π π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). / ) ( 3 / 0 / ) 3( 3 3 /, / ) 3( 3, 3, 3, α α α α α α α O v O b O v O b O y O y O

67 On limit distribution of Horvitz-Thompson statistic 67 It is easy to show that 0 β, when 0 to and 0 < α α. This and the theorem lead to the conclusion that ) ~ (0, T T. In order to prove the second part of the theorem, we firstly show that ) ( ) / ( HTS HTS S y V y V R converge in probability to. The expression (3) leads to the variance of the sample variance of Horvitz-Thompson statistic: HTS S S y V y V V,, ) ( ) ( )) ( ( π π ( ) U U O y y S V y 3 4 3, 4, 4, 4 ) ( ) ( ) ( ) ( α π π π ( ). ) (, ) (3 + U v O y O α α Hence, on the basis of the expression () we have ( ) ( ) 3 4, 3, 4 ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( α α π π O y O y y y y V y V V R V U U U U HTS HTS S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 4 3, ) ( 4, α α α α α O v O v O v O v O Hence, 0 ) ( ) ( α O R V when and 0 < α. So, this and the well nown Tchebyshev's inequality lead to the conclusion that that ) ( ) / ( HTS HTS S y V y V R converges in probability to (in short: p R if 0 0 > v, < 4 v and. Let us note that R U U ˆ.

68 68 Janusz L. Wywiał Hence, when then T T ~ (0, ) and R d p. So, this and the well nown Slucy's lemma, see e.g. Van der Vaart [007], let us conclude that Tˆ T ~ (0, ). So, the proof of Theorem has been d completed.. Applications The Poisson sampling design is frequently used to model non-response. In this case, π, is the probability that a -th population element will respond. The Poisson sampling design can be treated as a model of the Internet research. In this case, π, is the probability that a -th Internet user will respond. Moreover, the Poisson sampling design can be considered in an audit sampling. Let us note that, in the cases mentioned the probabilities π,,...,,,... are usually defined as follows., π, x, n x i, i where n is the expected sample size and x is a value of a positive auxiliary variable x observed in all the population. Let us assume that 0 < α b < and n w for all,...,,,... where x, a 0 < w <. So, in this case, the first assumption of the Theorem is fulfilled, b because a b na b nb a 0 < a0 w π, w a < Theorem lets us construct the confidence interval for the mean value estimated by means of the Poisson-Horvitz-Thompson strategy. Let γ be the confidence level and let u + γ γ be such a quantile that φ( u γ ) where φ (u) is the distribution function of the standard normal variable. When is sufficient- b a

69 On limit distribution of Horvitz-Thompson statistic 69 ly large, the confidence interval for the population mean is determined by the expression: P ( y u V y ) < y~ < y + u V ( y )) γ HTS ( γ S HTS HTS γ S HTS It is possible to test the hypothesis on the population mean. The hypothesis H ~ ~ 0 : y y0 can be tested on the basis of the statistic defined by the expression (6) when is sufficiently large. Finally, let us note that if the Lapunov's condition is fulfilled, the Lindeberg's condition is fulfilled [see, e.g. Billingsley 009], too. Hence, if the assumptions of the above theorem are fulfilled, the assumptions of Háje's theorem are fulfilled, too. Moreover, it seems that in our case the assumptions of the theorem are verified more simply than the Lindeberg's ones.. Acnowledgements The research was supported by the grant number from the Ministry of Science and Higher Education. Literature Billingsley P. (009): Prawdopodobieństwo i miara (Probability and Measure). Wydawnictwo auowe PW, Warszawa. Fisz M. (963): Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley and Sons, ew Yor. Háje J. (964): Asymptotic Theory of Rejective Sampling with Varying Probabilities from a Finite Population. The Annals of Mathematical Statistics, o. 35, 4. Horvitz D.G., Thompson D.J. (95): A Generalization of the Sampling without Replacement from Finite Universe. Journal of the American Statistical Association, o. 47. Jaubowsi J., Sztencel R. (004): Wstęp do teorii prawdopodobieństwa (Introduction to Probability Theory). SCRIPT, Warszawa. Lapunov A.M. (90): ouvell forme du theorem sur la limite de probabilite. Mem. Acad. Sci. St. Pétersburg, o.. Tillé Y. (006): Sampling Algorithms. Springer, ew Yor. Van der Vaart A.W. (007): Asymptotic Statistic. Cambridge University Press, Cambridge, ew Yor, Melbourne, Madrit, Cape Town, Singapore, Sao Paulo.

70 70 Janusz L. Wywiał O ROZKŁADZIE GRAICZYM STATYSTYKI HORVITZA-THOMPSOA DLA PRÓBY DOBIERAEJ ZGODIE Z PLAEM LOSOWAIA POISSOA Streszczenie W pracy na podstawie znanego twierdzenia centralnego Lapunowa jest wyprowadzany rozład graniczny prawdopodobieństwa znanej statystyi Horvitza-Thompsona (HT). Oazało się, że jeśli oreślane przez plan losowania Poissona prawdopodobieństwa wylosowania do próby poszczególnych elementów populacji spełniają pewne założenia oraz rozmiar populacji rośnie nieograniczenie, to rozład standardowej postaci statystyi HT zmierza do rozładu normalnego standardowego. Tai sam wyni otrzymano przy dodatowym założeniu narzuconym na prawdopodobieństwa wylosowania elementów populacji do próby, gdy w standardowej postaci statystyi HT jej odchylenie standardowe zastąpimy przez pierwiaste z nieobciążonego estymatora tej wariancji. Rezultaty pracy znajdują zastosowania np. w pewnych typach badań anietowych, a w szczególności internetowych, wyorzystujących wniosowanie statystyczne, czyli estymację przedziałową lub testowanie hipotez statystycznych.

71 Wojciech Gamrot Uniwersytet Eonomiczny w Katowicach O A CLASS OF ESTIMATORS FOR A RECIPROCAL OF BEROULLI PARAMETER Introduction The estimation of a reciprocal for the probability of an event is an issue of broad practical interest. Such a problem arises e.g. in empirical Horvitz- -Thompson estimation for complex sampling designs considered by Fattorini [006], Thompson and Wu [008] and Fattorini [009]. When sampling weights, defined as reciprocals of first order inclusion probabilities are too complex to compute exactly they are instead replaced with estimates evaluated in a simulation study. For this purpose, it is desired that the estimator of inverse probability always taes finite values, so that the Horvitz-Thompson statistic is also always finite. This effect may be achieved in many ways including the use of restricted maximum lielihood principle, the truncation of the binomial distribution considered by Stephan [946], Rempała and Szeely [998] and Marcinia and Wesołowsi [999] or bayesian estimation considered e.g. by Berry [989], Marchand and MacGibbon [000] and Marchand et al. [005]. Another approach to this problem, proposed by Fattorini [006] utilizes the reciprocal of the sampling fraction with a certain constant adjustment that prevents the denominator from reaching zero. In this paper, the original estimator of Fattorini is generalized by admitting varying values of the adjustment constant. This leads to a broader class of estimators. Expressions for the bias for some of these estimators are provided. The problem of setting adjustment constant is then considered.

72 7 Wojciech Gamrot. Estimator of Fattorini Let X denote the number of successes in n Bernoulli trials with success probability equal to p an let q -p. Hence X has a binomial distribution with expectation E(X) np and variance V(X) np(-p). Fattorini [006] considers a consistent estimator of the probability p in the form: pˆ X +. n + This leads to the estimator of the reciprocal: dˆ n +. X + Fattorini [006] derived exact formula for its bias: n+ q B(dˆ ) () p and by developing this estimator into factorial series he also gave an upper bound for its variance: 5 V(dˆ ). 3 (n + )p The bias of the estimator dˆ may be intuitively viewed as a superposition of biases resulting from two different sources. First, introduction of adjustment constant into sampling fraction pˆ to mae it strictly positive maes it also positively biased. When pˆ resides in a denominator of dˆ, this bias for the whole reciprocal becomes negative. On the other hand, from Jensen s inequality we have E(/X) > /E(X) which means that taing inverse of any random variable is by itself a transformation introducing positive bias. Hence, it is reasonable that

73 On a class of estimators for a reciprocal of Bernoulli parameter 73 at least to some extent these two components cancel each other. Meanwhile, the formula () is in general negative for p (0,), which means that they do not reduce to zero. This also suggests, that by choosing an adjustment constant different from unity one might perhaps reduce the bias totally. In the sequel such a possibility is investigated.. A more general estimator We will now consider a more general statistic in the form: pˆ c X + c, n + c where c is some non-negative constant. In general, it is not required for c to be an integer, and hence we consider a class of estimators for c <0,+ >. It is easy to show that: And hence its bias is: np + c E(pˆ c ). n + c X + c cq B(pˆ c ) E p. n + c n + c The bias is positive and tends to zero when n. Meanwhile, the variance is given by: V(pˆ c npq ), (n + c) which means that for d in the form: pˆ c is consistent. This lets us construct a consistent estimator n + c dˆ c. X + c

74 74 Wojciech Gamrot OBVIOUSLY, the statistic of Fattorini is a special case of the above estimator for c. The statistic pˆ c taes discrete values from the interval [c / (n + c),] and consequently, dˆ c taes values from [,(n + c) / c]. For integer c > 0 and 0 < p < we have (see Appendix for a proof): c E n! c n+ c E + n+ c (X r) ( ) (c )! q c X + c p (n + c)! r, () where the symbol E n+c ( ) represents expectation computed with respect to the binomial distribution B(n+c,p), as opposed to the symbol E( ) representing expectation calculated with respect to the B(n,p) binomial distribution. This notation assumes that the multiplication of elements in the empty set for c equals. Hence, for c,,3,4,... the expectation () depends on: E n+c () E n+c (X-) E n+c (X) E n+c ((X-)(X-)) E n+c (X ) 3E n+c (X) + E n+c ((X-)(X-)(X-3)) E n+c (X 3 ) 6E n+c (X ) +E n+c (X) and hence on raw moments for the B(n + c,p) distribution which are easy to calculate from the moment generating function for B(n,p) that taes the well-nown form: M (t) + ( p pe t ) n. Hence raw moments of the order r,,3,... for B(n,p) are computed as: r r M(t) E(X ). r t t 0

75 On a class of estimators for a reciprocal of Bernoulli parameter 75 This leads to: E(X)np E(X ) np (q+np) E(X 3 ) np(-3p+3np+p -3np +n p ) and so on. Substituting (n + c) instead of n in above formulas one gets raw moments of the B(n + c,p) distribution. Hence for c,,3,... the expectations of the estimator dˆ may be expressed as (see Appendix ): c n+ q E(dˆ ) (3) p E(dˆ (n + )p + q ) (n + )p n+ (4) E(dˆ 3 ) p(n + 3) (np + p ) + q 3 (n + )(n + )p n+ 3 (5) (dˆ (n + 4)p[6 + 3p + (n + 4)p(np + p 3) + p ) p (n + )(n + )(n + 3) E 4 4 ] 6 + 6q n+ 4 (6) and so on. Obviously the formula (3) corresponding to E(dˆ ) is equivalent to the result of Fattorini [006] given by (). The other three are not. It is easy to verify that for c,,3,4 we have lim E(dˆ ) d which confirms that for n c,,3,4 the estimator dˆ c is asymptotically unbiased for d. Let us use these formulas to calculate the exact bias: B(dˆ c ) E(dˆ ) d, for c,,3,4, for n,...,000 and for p 0.0, 0.05, 0., 0.5. The results of calculations are shown on Figure. c c

76 76 Wojciech Gamrot Fig.. Exact biases for dˆ c, c,,3,4 and n,...,000. For all presented values of c, n and p the bias of dˆ c is negative. ot surprisingly, it tends to zero when sample size grows. The lower the true probability p, the higher absolute values of bias (see the scale on the y-axis). The same tendency was also observed for p > 0.5 although is not illustrated with the graph. The absolute value of bias also grows with c. It is lowest for c and highest for c 4. Results shown on Figure suggest, that increasing the constant c to tae integer values higher than one significantly increases the bias. However, this still does not preclude finding some non-integer values for c (perhaps in the vicinity of c ) that would provide lower bias.

77 On a class of estimators for a reciprocal of Bernoulli parameter Properties when c is not an integer When n is small enough, the behavior of the proposed general estimator may be examined by computing the probabilities of all possible sample counts via probability function of binomial distribution. Stochastic properties of the estimator may then be computed explicitly using their definitions. Let us now present such a small-sample study, carried out for n 500 and varying values of c and p. The bias of the estimator as a function of c and p is shown on Figure. Its MSE as a function of c and p is shown on Figure 3. The Figure 4 presents the share of bias in the MSE as a function of c and p. The bias of the estimator turns out to not always be negative, as the analysis above would suggest. Indeed, it increases when c decreases and for small values of c it grows above zero. Moreover, the bias strongly depends on p. Its absolute value seems to remain rather stable and close to zero for large p but it tends to increase dramatically when p taes values close to zero. Similar tendency is observed for the mean square error of the estimator. It seems to remain quite stable for large p, but increases very quicly when p closes to zero. The MSE also depends on c and for a constant p there is apparently a value of c that minimizes the MSE. Fig.. The bias of the estimator dˆ c as a function of p and c for n 500

78 78 Wojciech Gamrot Fig. 3. The MSE of the estimator dˆ c as a function of p and c for n 500 Fig. 4. The share of bias in the MSE as a function of p and c for n 500