Podstawy teorii sygnałów, systemów i informacji. dr inż. Tomasz Marciniak

Transkrypt

1 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci dr iż. oma Marciia PodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPodawPod awpodpodawpodawpodawpodawpodawpodawpodawpodawpod yoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyoriiyo SygaloSygaloSygaloSygaloSygaloSygaloSygaloSygaloSyg wsymwsymwsymwsymwsymwsymwsymwsymwsymww owiifoowiifoowiifoowiifoowiifoowiifoowiifoowiifoowiifooo rmaciprmaciprmaiprmaiiprmaiprmaprmaprmapprmapprma odawyodawyodawyodawyoodawoodaoodaoodaooddaooddaa oriisoriisoriisriisriiririririiriii ygalowygalowgaloowgloowglowglowlowwlowwlowwwloo SymoSymoymmoymoyoyooooo wiiforwiiforwiiforwiiforwiiifrwiiifriiifrriiifriiiffriiii macipomacipomacpomacpomaacpmaacpmacpmmacpmacpmmac dawydawydaydaydaydaydayddaydayddaa oriisyoriisyorisyorisyoorisoorisorisorisorisorii galowsgalowsgalowsgaowsgaosgaosaossaosaoosaa ymowymowmoowmowmwmwmwwmwmmw iiformiiformiforrmiorrmiormiormormmrmmrrmmrr acipodacipodaipodaipodaipoaipaipaipaippaippp awyawywywywywywywywywyy oriisygoriisygorisygorisyygorisygorisgorisgorisgoorisgooriss alowsyalowsyalowsyalowsyalosyalosyalosyalosyalosy mowimowimowimowimwimwimwimwimwi IformaIformaIformaIformaIformaIformaIformaIformaIfo cipodcipodcipodcipodcipodcipodcipodcipodcip awyoawyoawyoawyoawyoawyoawyoawyoawyodcipodcipo dcipodcipodci awyoawyoawyoawyoawyoawyoawyoawyoawyoawyoawy oaw Poań 8

2 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Wra draf rypu: idila, 6 paźdiria 8 dr iż. oma Marciia Polichia Poańa Kadra Srowaia i Iżyirii Symów ul. Piorowo a poó (BM) l. (6) mail: oma.marciia@pu.poa.pl hp://cygu..pu.poa.pl/~marci oma Marciia, 8

3 Spi rści: Wprowadi.... Sygały aalogow. Prałci Fourira i Laplac a Opraca plou. Grafy prpływu ygału.... Sygały dyr. Prałci Z.... Opi uładu cyfrowgo. Rowiąywai rówań różicowych Próbowai i wayaca Splo dyry Dyr prałci Fourira (DF) Proowai filrów FIR proymaca Burworha i Cbywa Proowai filrów IIR. Prałci impulowo-iwaria i biliiow Kodowai bra Kodowai ra Syfrowai daych Doda : Macir Doda : Symy licbow... 9 Doda C: Sala dcyblowa Liraura:.. Zilińi "Cyfrow prwarai ygałów Od orii do aoowań, WKŁ, 5.. Sv W. Smih, h Scii ad Egir' Guid o Digial Sigal Procig Scod Ediio, Califoria chical Publihig, R.G. Lyo "Wprowadi do cyfrowgo prwaraia ygałów", WKŁ, Dag Sraby Cyfrow prwarai ygałów mody, algorymy, aoowaia, Wydawicwo BC, Warawa,. 5. Dąbrowi (rd.) "Prwarai ygałów pry użyciu procorów ygałowych", Wyd. Polichii Poańi, V. Opphim, R.W. Schafr "Cyfrow prwarai ygałów", WKŁ, W. Borodiwic, K. Jaca "Cyfrow prwarai ygałów", W, J. Sabai "Podawy orii ygałów", WKŁ, 99.

4 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Wprowadi W podręciu aprowao w formi adań wybra agadiia doycąc prwaraia ygałów, cgólym wrócim uwagi a ygały cyfrow. Prawidłow roumii podawowych aad diałaia algorymów filraci cyfrow ma lucow aci podca apoawaia ię i implmaci mod prwaraia ygałów mulimdialych cy lomuiacyych. Iformac oryc oały poda w rypci w ograicoym ari, aładaąc, ż Cyli orya licych iąż wymiioych w pii liraury. oria ygałów umożliwia a pomocą pcyficych fuci mamaycych dooać opiu ygałów, dięi cmu możliwa : aalia ygałów wydobyci iformaci awar w ygałach p. ropoawai mowy prwarai ygałów raformowai ygału d poaci do drugi p. poaci caow do poaci w didii cęoliwości. Podca wyż wymiioych opraci wyróżiamy aępuąc roda ygałów: ciągł lub dyr, drmiiyc lub loow, rcywi lub polo, do, dwu lub wilowymiarow, różych argumów (p. cau lub położia) Do pryładowych adań ymu cyfrowgo prwaraia ygałów, wyoryuącgo wyda ułady miroprocorow (w ym procory ygałow DSP) moża alicyć: owrę aalogowo-cyfrową i cyfrowo-aalogową, filracę uuwaącą ipożąda ładii, aalię caowo-cęoliwościową, odowai - omprę braą i raą, - yfrowai daych, - odowai admiarow (pry abpicaiu prd błędami ramii). Sryp pracoy dla udów iruów auomaya (w ym iz), lroia, iformaya i lomuiaca. UWG: Sryp aualioway i poprawiay. Jżli alałś błędy, o api oici do auora oma.marciia@pu.poa.pl. oma Marciia, 8

5 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Sygały aalogow. Prałci Fourira i Laplac a Fuc podawow So doowy (p fucio) u () > < u() Impul Diraca δ ( ) δ () ior. Fuca a całowala, (co igod orią laycą) δ () d Fuca oa f () rc Π f ( ) raformaa Fourira F ( ) f ( ) d Odwroa raformaa Fourira f () F( ) d oma Marciia, 8 5

6 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 6 Zadai: Wyac raformaę Fourira dla fuci oa i aicu wyr raformay. Rowiąai: ( ) i i Sa d F Pry obliciach wyoryao: Całowai pr podawii: du d d du u Wory ( ) i ora ( ) ( ) Sa i Sic ygału ( ) F Zadai: Wyac raformaę Fourira dla impulu Diraca i aicu wyr raformay. Rowiąai: ( ) ( ) δ d F

7 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 7 ( ) F Zadai: Orśl raformaę Fourira dla fuci poaa a ryuu f() Rowiąai: () > <,, dla dla dla f ( ) co co co d d d d d d d F

8 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 8 ( ) ( ) i i co co i i i i i i Sa d Wyoryao: całowai pr cęści ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v d du dv u du v v u dv u d u v v u d v u i co wory i co α α Prałci Laplac a Fuca moż być rprowaa ao uma fuci pocalych. Pulac ych poów ą ograico do oi a płacyźi polo. o ograici ipożąda w iórych prypadach. by o wylimiować oumy umę poów p [-], gdi σ. Dfiica prałcia Laplac a: () { } ( ) ( ) I d f F f Zaoowai () y () f() f()* -σ

9 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 9 y() Zadai: Wyac raformaę Laplac a dla fuci : () <,, f α Rowiąai: () ( ) α α α d d F Zadai: Wyac raformaę Laplac a dla fuci: () <,, f. Rowiąai: () d d v dv d du u d d F Zadai: Oblic raformaę Laplac a dla fuci : () <, i, f Rowiąai: () ( ) d d d F i i ( ) ( ) ( ) ( ) Rówai Różicow Rowiąai Rówaia Różicowgo Rówaia lgbraic Rowiąai Rówań lgbraicych () X() Y() y()

10 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Odwro prałci Laplac a I σ [ F() ] f () F() σ d, > Całumy wdłuż liii R{} σ, gdi σ wybra godi alżością: σ f () d σ σ σ - Obar biżości Ocywiści ryrium go woru bardo ompliowa. Jżli możmy uyać : F wówca oryamy ablic. () F () F ( )... F ( ), acęści raformaa Laplac a ma poać : B () () F, () cyli ilorau wilomiaów (uwaga: aładamy, ż opiń ( ) wdy apiać F () ao: F () () () B F() moża wdy robić a ułami pro: F () ( ) ( )... ( ) ( p ) ( p )... ( p ) () a a a () p p p B... pry cym a ą ałymi aywaymi riduami dla biguów am, p, więy od B () ). Moża, p :. oma Marciia, 8

11 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 () () ( ) p p B a Jżli mamy uż a o wiadomo, ż : p a p a α, a am, () p p p a a a f... Zadai: Zadź odwroą raformaę Laplac a dla: () ( ) ( ) F. Rowiąai: () ( ) ( ) a a F ( ) ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) a () L L f, Zadai: Zadź odwroą raformaę Laplac a dla : () ( ) ( ) G, widąc, ż () [ ] L δ, () d d L δ. Rowiąai: Ropocyamy od dilia wilomiaów, poiważ opiń wilomiau licia więy od opia miaowia.

12 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 ( ) ( ) : () ( ) ( ) G () () () d d g δ δ

13 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Opraca plou. Grafy prpływu ygału. Opraca plou Opraca plou: δ() h() w wy h () odpowidź uładu a pobudi impulm doowym g () f() h () f( τ ) h ( τ) dτ Splo powala oblicyć odpowidź uładu a pobudi, śli amy ( ) Zadai: aicu grafici plo fuci v() i h(). h. v() h() - Rowiąai: Odwracamy ygał drugi wględm oi pioow, aępi pruwamy wględm iruchomgo ygału v(). oma Marciia, 8

14 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 Zar Opi opraci plou Oblicia plou ( ), i ma cęści wpól ( ) g [ ), plo powięaącym ię polm róąa () () ( ) ( ) d d d d d d h v g τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Zam ( ) 6 6 g ( ) 6 g () 6 6 g [ ), plo powięaącym ię polm rapu (boi rapu w p. - i ) () () ( ) ( ) h v g 6 6 d d d d d d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ () g [ ), plo malącym polm rapu (boi w - i ) () () ( ) ( ) d d d d d d h v g τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( ) g [ ), i ma cęści wpól, plo rowy ( ) g

15 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci WYKRES Zadai: Wyac grafici i aaliyci plo fuci f() i h(). f() h().5 Rowiąai: (,) g () [,.5) g() dτ τ [.5, ) g().5 [,.5 ) g().5 [.5, ) g () dτ τ dτ τ g( ) Grafy prpływu ygału Rguły rduci grafów: oma Marciia, 8 5

16 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci a b ab a b a b a b c a c b c a b c a b a c a q a q Zadai: Poda ramiacę pomiędy i C. B C D Rowiąai: 6 oma Marciia, 8

17 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 8 C D C D C Zadai: Poda ramiacę pomiędy i F. 5 C B E F D Rowiąai: 9 Zadai: Poda ramiacę pomiędy i D. oma Marciia, 8 7

18 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 5 B D C Rowiąai: Ropocyamy od rduci wirchoła C -8 Zadai: 5 C B E F D Rowiąai: Ropocyamy od rduci wirchoła B 76 Zadai: -G -G V H H H H V -G -G Rowiąai: H ( HG)( HG)( HG)( G) 8 oma Marciia, 8

19 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Moda Maoa: Hi i i Y H H X Rguła ma aoowai, gdy X węłm źródłowym. H i ramiaca ściżi wiodąc od wścia do wyścia i podwyaci grafu wyaci grafu P P P P P P l l m, l, l, m P ramiaca pęli PP l uma po wyich parach pęli rołących (i maą wpólgo l, Zadai: wirchoła) B... C D Rowiąai: Hi i i H H H Zadai: f g h X a b c d X l i m ł Ściżi H abcd -mł H alłd -g H abiłd oma Marciia, 8 9

20 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Pęl Pary pęli rołących rói pęli rołących P bcdf P P 6 P P P 6 P g P P P h P P P P P 5 P 5 d P P 6 P 6 mł P P 7 P 7 lłdf P P 6 P 8 biłdf -(P P P P P 5 P 6 P 7 P 8 )(P P 6 P P P P P P 5 P P 6 P P 7 P P 6 )- P P P 6 H H H H oma Marciia, 8

21 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Sygały dyr. Prałci Z Elmar ygały dyr impul doowy (ui impul ) δ [] poa prycyowy o doowy (ui p) < u [] umy iprycyowy o doowy < u [] ygał iuoidaly i Θ [] [ ] o o oma Marciia, 7

22 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: aicu ygał y ( ) u( ) u( 5) doowym. Rowiąai:, pry cym u prycyowym oim Prałci Z Prałci Z dfiiowa worm X ( ) ( ) acęści poługumy ię praworoym prałcim Z X ( ) ( ) cyli ograicamy ię do lay ygałów prycyowych. aich, ór prymuą warości rów dla umych idów. Właściwości prałcia Z: liiowość [] bυ [ ] ax ( ) bv ( ) a opóźii ygału o dą próbę "moży" go raformaę pr opóźii o m prób pruięci w lwo Χ ( ) X ( ) m ( m) X ( ) Ζ [ ( )] ( ) ( ) pry cym Χ ( ) Ζ[ ( ) ] Ζ Ζ [ ( ) ] Ζ[ ( ) ] ( ) Χ( ) ( ) ( ) m m m m [ ( m) ] Χ( ) ( ) ( ) ( )... ( m ). Zadai: Sprawdź właściwość Ζ [ ( ) ] Χ( ) ( ) oma Marciia, 7

23 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Rowiąai: Koryaąc praworogo prałcia Z Χ( ) ( ) orymumy [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) Ζ Zadai: Oblic raformaę (prałci) Z ygału [] δ [ ] δ [] δ [ ] δ [ ] δ [ ] Rowiąai Widąc, ż [] X ( ) δ orymumy Zadai: Oblic raformaę Z prycyowgo ou doowgo. Rowiąai: Wiadomo, ż uma rgu gomrycgo Zam U [] u[] ( ) by uma była biża <, cyli > a a, pry cym a <. Obar biżości (rgio of covrgc) a wąr oręgu doowgo. Im( ) R( ) Zadai: Oblic raformaę Z i wyac obar biżości dla ygału 5 [] u[] oma Marciia, 7

24 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci pry cym u [] o prycyowy o doowy. Rowiąai: X ( ) u[] 5 Obar biżości: 5 > < Im( ) 5 R( ) Zadai: Oblic raformaę Z i wyac obar biżości y( ) 5 u( ) prycyowy o doowy. u[--], pry cym u Sic ygału Y ( ) 5 u( ) 5 < Obar biżości: < oma Marciia, 7

25 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Im( ) 5 R( ) Zadai: Widąc, ż ( ) y( ) X ( ) Y ( ) wyac obar biżości ygałów i y poprdich adań. Im m 5 R 5 oma Marciia, 7 5

26 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 6 Odwro prałci Z Zadai: Oblic odwroą raformaę Z ( ) H Rowiąai: Podaą ramiacę roładamy a ułami pro ( ) C C H pry cym: ( ) ( ) lim H C i i i α α ( ) ( ) lim 5 lim H C H C am ( ) 5 H aś raformaa odwroa [] [] [] u u h 5 Zadai: Oblic odpowidź impulową uładu o ramiaci: ( ),5,,5 H Rowiąai: Ropocyamy od dilia wilomiaów

27 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci,, -, H -,,5,, -,,6,,8,8 :,5 --,6,6,6,5 ( ),6,, raformaa odwroa orśloa worm: h,6δ,δ,δ,6,5 [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) u[] oma Marciia, 7 7

28 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Opi uładu cyfrowgo. Rowiąywai rówań różicowych Opi uładu Sym moż być opiay a pomocą rówaia różicowgo, cyli liiow alżości pomiędy ciągim wściowym a ciągim wyściowym. y y ( ) b y( ) b y( ) K b y( ) a ( ) a ( ) K a ( M ) M ( ) a ( m) b y( ) m m Prałci Z rówaia różicowgo M ramiaca Y M m ( ) X ( ) a Y ( ) b m m H ( ) Y X ( ) ( ) M m m a b m Pryład: y ( ) β y ( ) α ( ) α ( ) y( ) α ( ) α ( ) β y( ) ( ) α Σ y ( ) α ( ) y ( ) β Opraca opóźiia: Sruury filrów cyfrowych Zadai: Poda ramiacę filru opiago rówaim różicowym. aryu i formę bpośrdią iaoicą go filru, a aępi formy bpośrdi aoic. [] y[ ] [ ] [ ] y Dla ażdgo ryuu, oryaąc rguły Maoa, wyac ramiacę uładu. 8 oma Marciia, 8

29 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Rowiąai: Forma bpośrdia iaoica, (iaoica imiimala, bpośrdio r.r.) [ ] y[ ] - - Forma bpośrdia iaoica (amiaa bloów) [ ] y[ ] - - Forma bpośrdia aoica ( liia opóźiaąca) [ ] y[ ] - Odwrócoa forma bpośrdia aoica (odwróci iruu wyich gałęi) oma Marciia, 8 9

30 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci [ ] y[ ] - ramiaca dla ażd ruury wyoi: H ( ) Zadai: aryu uład opiay aępuącym rówaim różicowym y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadai: Wyac rówai różicow uładu o aępuąc ramiaci.5. H ( ).5 Koryaąc rówaia różicowgo, wyac warości pirwych dwudiu prób odpowidi a pobudi impulm doowym. Ja mii ię odpowidź, żli ygałm pobudaącym będi prycyowy o doowy? Rowiąai: Rówai różicow y.5..y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y Odpowidź a pobudi impulm doowym MLB [,ro(,9)]; B[,,.5,.]; [,.5]; yfilr(b,,); m(:lgh()-,y) oma Marciia, 8

31 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci y Odpowidź a pobudi prycyowym oim doowym MLB [o(,)]; B[,,.5,.]; [,.5]; yfilr(b,,); m(:lgh()-,y) Zadai: aryu uład maący odpowidź ( ) y a pobudi impulm doowym... - δ() y() - Rowiąywai rówań różicowych Zadai: Załóżmy, ż mamy liiowy prycyowy uład opiay rówaim: y ( ) ay( ) ( ) Zadź odpowidź impulową uładu: ( ) δ ( ) Rowiąai: y dla < Załadamy, ż uład prycyowy, cyli ( ) ( ) ay( ) ( ) ( ) ( ) y y oma Marciia, 8

32 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci y () a ( ) ay( ) ( ) a () ay() () a y y Zam ( ) y a Zadai: Da ruryw rówai różicow: y ( ) y( ) ( ) y ( ) Oblic odpowidź impulową uładu i aryu go. Cy uład abily? Rowiąai: h ( ) h ( )... Uład abily. ( ) Σ.5 y( ) Zadai: Rowiąż rówai różicow: y ( ) β ( ) α y( ),,,... ( ) u( ) < Rowiąai: y ( ) β β y ( ) β α β β α β α β () ( ) y ( ) β α α β α α β ( ) ( ) y ( ) β α( α α ) β ( α α α ) β Zam ( y ( ) α α... α ) β,,,... Suma ońcogo ciągu gomrycgo α α α... α α Oaci α oma Marciia, 8

33 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci y α α ( ) β Rowiąywai rówań różicowych aoowaim prałcia Z Zadai: Rowiąż rówai różicow użycim prałcia Z i widąc, ż Ζ [ a ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( ) Χ( ) Ζ[ ( ) ] ( ) Ζ[ ],,... ( ) ( ) ( ) ( )( ) a Zadai: Zadź odpowidź () ymu opiago rówaim ( ) ( ) ( ) u( ) ( ) u( ) u( ) X ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ) X ( ) U ( ) pry cym ( ) Χ( ) U ( ) U ( ) u ( ) Widąc, ż Ζ[ ( ) ] Χ( ) Χ( ) Ζ[ ( ) ] Χ( ) Ζ[ ] [ ] a Ζ ( ),,... lub,,... Zam Χ( ) ( ) Zadai: Rowiąż rówai różicow aoowaim prałcia Z oma Marciia, 8

34 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 8 ( ) ( ) ( ) y y α β ( ) ( ) < u Rowiąai: ( ) ( ) Y Y α β ( ) ( ) Y Y β α ( ) c c Y α β α β Ridua: α α c α α α α c ( ) Y α α α α β ( ) α α α α β Y ( ) ( ) y α α α α β ( ) α α α β y ( ) α α β y Zadai: Wyac warość próbi ( ) y uładu opiago a pomocą rówaia różicowgo ( ) ( ) ( ).8 y u y Sygał ( ) u prycyowym oim doowym. Załadamy row warui pocąow.

35 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 5. Próbowai i wayaca Proc próbowaia wirdi o próbowaiu Sybość próbowaia f mui być co ami dwa ray więa od maymal cęoliwości g f w widmi ygału ciągłgo, aby ygał moża było odworyć ygału próbowago. Uład owri aalogowo-cyfrow /C () () ()() ˆ () FDP PRÓBKOWIE KWYZCJ oma Marciia, 8 5

36 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci wirdi o próbowaiu (uściślo) ich () Wówca pry cym będi ygałm dolopamowym o raformaci Fourira X ( ) X ( ) dla > g i g ( ) ( ) ( ) ( ) g ora g, pry cym i uprpoyca fuci: Dowód wirdia o próbowaiu Widmo ygału ciągłgo moża odworyć a pomocą filru idalgo dla g G( ) filr doloprpuowy dla > g wówca X () X *( ) G() X ( ) *( ) G() Souąc odwro prałci Fourira ( ) *( ) G() d ( ) * ( ) g ( ) d g g ( ) g ( ) ( ) i g ( ) ϖ g ( ) i g ( ) ( ) ( ) ( ) g CD 6 oma Marciia, 8

37 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: Dla ygału aalogowgo () i( 5) a orśl, ór podaych poiż orów próbowaia ą prawidłow: m, m, 8 m, m, 6 m, 5 m. Dla ażdgo oru próbowaia wyac cęoliwość ygałów cyfrowych. Rowiąai: Sicumy ygał ( ) i ( 5 ) i( 5 / ) aładaąc m. f Z woru () i( 5) a wyia, ż cęoliwość ygału (a aram awyża ładowa cęoliwościowa) o 6,5 H. f Podawii Zaoowai Sygał OK? [m] [H] / f do worów odworoy i( 6,5 ) rducyych f i (,5 ) i (,5 ) i ( 5 ) K 5 i (,5 ) i (,5 ) i ( 5 ) K 8 5 i ( ) i ( ) i ( 5 ) K 8, i (,5 ) i (,5 ) i (,66 ) IE 6 6,5 i ( ) i ( ) i ( f ) IE i,66 IE,67 i ( ) i ( ) ( ) oma Marciia, 8 7

38 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: a wści uładu podao ygał 5 i 8 i i 6 () ( ) ( ) ( ) () ( ) alogowy Filr ' ( ) Doloprpuowy /C C/ o cę. odcięcia f /8 y( ) Wyac ygał y () widąc, ż ory próbowaia prworiów wyoą 5 µ a m. Rowiąai () 5 i( 8) i( ) i( 6) Próbowai 5µ f H / f ( ) 5 i(.) i(.6) i(.8) Po aoowaiu worów rducyych: ( ) 5i(.) i(.6) i(.) Kowra C/ f m f H ' () 5i( ) i( 6) i( ) Za filrm Filr prpuści ygały, ór maą cęoliwość mią od f / 8 cyli mi iż 5 H. y i ( ) ( ) Zadai a wści uładu poaago a ryuu podao aępuący ygał: () 5 i( ) i( ) i( 6) Wyac ygał y() a wyściu uładu. 8 oma Marciia, 8

39 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci alogowy Filr Doloprpuowy Cyfrowy Filr Doloprpuowy mpl. () mpl f f c H Prwori /C f H () Faa / y() / / Zadai: a uład owri ybości próbowaia podao olo 5 prób o rodilcości 5- biow:, 5, 5,, (rprac diię). w. ( ) Filr y( ) wy. Filr uładu opiay rówaim różicowym: y ( ) (.5 ( ).5 ( ).5 ( ) ) Załadaąc row warui pocąow, wyac pirw próbi wyściow i poda ich warości w odi Gray a. Rowiąai: r próbi wyściow Warość próbi wyściow Warość próbi w odi Gray a oma Marciia, 8 9

40 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Kwayaca Xma Zar dyamicy Xmi X ma warość maymala aru dyamicgo X mi warość miimala aru dyamicgo Rguły wayaci: alży wyalować ygał, bo gdy prraca X ma, X mi o mamy błąd wiąay admiarm, Sygał powii porywać cały ar poiomów waowaia. Sygał waoway ˆ( ) ( ) ( ) Bwględy błąd waowaia Jżli X mi () X ma o Zar dyamicy: X ma - X mi. Licba poiomów wayaci: X ma X Kro wayaci: Błąd wayaci mi ( ) ( ) ( ) ˆ( ) a) Sygał Kol poiomy wayaci b) q().5, τ τ Warość błędu wayaci warością prdiału,5 do,5 -τ τ oma Marciia, 8

41 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci ( ) τ dla τ τ Sou ygału do umu (SR): P SR, Pq gdi: P moc użyca, P q moc wayaci τ τ P q ( ) d ( ) d τ τ τ τ τ P q d τ τ τ τ Jżli wayaor ma b biów doładości i ar wyoi wdy: b P b q b b Moc ygału: co α co α P ( co Ω ) d d d (coω ) co Ω d co Ω d P b SR Pq b b SRdB log SR log log b log SR db,76 6,b Zadai: Wyac błąd wayaci 6 biowgo prworia. τ d oma Marciia, 8

42 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 6. Splo dyry Splo dyry Splom dyrym dwóch ygałów aywamy wyrażi: ( ) y( ) ( m) y( m) * m Podobi a plo ciągły, plo dyry ma bardo duż aci w orii ygałów. Pry pomocy plou możmy oblicyć odpowidź ymu liiowgo a dowol wymui. J oa aw plom go wymuia i odpowidi impulow uładu. Splo opracą prmią. Zadai Oblic plo ygałów ( ) i ( ) y : y ( ) ( ) poa poa y () () (, 6] [ ] * y[ ] 5,,,5 m [] * y[] ( ) 8 [ ] * y[ ] 5 5 m [] * y[] ( 6 ) 8 m [ 6, ) [] * y[] oma Marciia, 7

43 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 Zadai Wyac grafici i aaliyci plo ygałów () i y (): ( ) > < ( ) > < y ( ] [ ] [ ] * 6, y [] [] ( ) y m * 5, [ ] [ ] 8 6 * y [] [] ( ) y m *,6 ( ) [ ) [] [ ] *, 7 y () * y () y () ()

44 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci () * y () Zadai Wyac plo dwóch ygałów: v ( ) 5 5 poa 5 h( ) 5 poa Rowiąai:, 5 v * h ( ] [ ] [ ] ( 5, 5 > v [] * h[] ( m) 5 m m5 5 5 m5 m5 5 ( 6) ( 6) 5, 5 m ) v[ ] * h[ ] ( m), v 5 5 [ ] * h[ ] ( m) m 5 5 ( )( ) 5 5 [, ) v[] * h[ ] oma Marciia, 7

45 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 5

46 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zaoowai prałcia Z do wyacaia plou. Wyacamy raformay Z ygałów wściowych. Oblicamy ilocy raforma Z. Widąc, ż ( ) * ( ) X ( ) X ( ) oblicamy raformaę odwroą i uyumy plo Zadai Wyac plo ygałów: ( ) {,,} ( ) 5 w iych chwilach () () Rowiąai: raformay Z ygałów ( ) i ( ) X ( ) 5 X ( ) Ilocy raforma 6 X X X 7 ( ) ( ) ( ) raformaa odwroa ilocyu plom,,,,,,, ( ) { } wyoą odpowidio Zadai Koryaąc raformay Z wyac i aicu plo ygałów ( ) i ( ) y. 6 oma Marciia, 7

47 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 7 ( ) > < ( ) > < 6 6,5 y Rowiąai: ( ) ( ) ( ) ( ) Y X y Z * ( ) ( ) ( ) 6 5,5 Y X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,5,5,5 Y X ( ) ( ) { },5;,5 ;,5;,5;,5;,5; ;,5;; * y () - -,5 5 6 y(),5 -, ()*y()

48 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 7. Dyr prałci Fourira (DF) Bpośrdia moda oblicń dowymiarow DF raformaa Fourira opracą amiay poaci caow ygału a poać cęoliwościową. W ymach cam dyrym wyoryu ię dyrą raformacę Fourira (DF - dicr Fourir raformaio), óra odpowidiim raformay Fourira dla ymów ciągłych. Oblicai DF odbywa ię wdług aępuąc alżości: pry cym,,..., ora W Sygał wściowy ( ) ( ) X W (7.) DF ( ) () ( ) X ( ) X ( ) X ( ) Dyr prałci Fourira prałcim Z oblicaym dla puów (ry.7.) oddaloych od ibi o am ą a oręgu doowym płacyy Z. Im /Ν R Ry.7.. Romici prób a płacyźi Z dla DF Poiważ () moż być ciągim poloym, więc rówai (7.) prymi poać {( [ ] [ ] [ ( )] [ ]) X ( ) R ( ) R W Im Im W ( ) ( [ ] Im[ W ] Im[ ( ) ] R[ W ])} R (7.) Prymu ię, ż łożoość obliciowa -puowgo DF wyoi. Doład licby opraci możia i dodawaia awioo w abli. abla : Złożoość obliciowa oblicń DF Oprac polo Oprac rcywi Licba możń Licba dodawań (-) (-) 8 oma Marciia, 7

49 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: Wyac puową DF dla prób wściowych ( ), ( ), ( ), ( ) Rowiąai: X. ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) W W W W ()( W ) W W co i W W co i X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zam próbi DF maą warości: X ( ) X () X ( ) X () Dwuwymiarowa dyra raformaa Fourira (D DF) f ( m, ) F ( p, q) M M F( p, q) M m f M m ( m, ) f pm q M ( m, ) f ( m, ) pm q M M m pm q M Zadai: Wyac dwuwymiarową DF dla maciry f (,) f m, f (,) Rowiąai: f (,) f (,) ( ) oma Marciia, 7 9

50 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 5 ( )???? (,) (,) (,) (,), F F F F q p F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, f f f f F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (,,,,, f f f f F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (,,,,, f f f f F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (,,,,, f f f f F i co Oaci ( ) p,q F Zadai: Wyac dwuwymiarową DF dla maciry ( ) (,) (,) (,) (,), f f f f m f oryaąc woru a dowymiarową DF. FF podiałm caowym Efywią modą oblicaia DF algorym ybi raformaci Fourira (FF - fa Fourir raformaio). Złożoość obliciowa -puowgo FF proporcoala do licby [*log()]. ypowo algorymy FF ou ię w prypadu powyż warości. lgorym FF podiałm caowym bau a dompoyci -puowgo DF a i co

51 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci dwa ialż /-puow DF. Pirwy ich awira dyi próbi pary ygału wściowgo, drugi aomia próbi ipary [Opp79]: X W W ) ( ) ( ) ( ) pary ipary Doouąc podawiia r dla paryych i r dla iparyych orymumy Widąc, ż rówai moża apiać w poaci am pry cym ( ) ( ) ( / ). X r ( r ) ( ) ( r) W ( r ) W r r r / W W X X r ( r)( W ) W ( r )( W ) r r ( ) ( r) W W ( r ) r ( ) G( ) W H ( ) r W r G - /-puowa DF paryych puów ciągu ( ), H - /-puowa DF iparyych puów ciągu ( ) W, Zadai: aicu graf FFwyacaia dwupuow DF. Koryaąc aicowago grafu wyac dwuwymiarową DF dla maciry f (,) f (,) f ( m, ). f (,) f (,) Rowiąai: r () W X() () Ry. Graf wyacaia -p. dyr raformay Fourira rowiąai dla ada maciry Zadai: Sprawdź cy dla achodą alżości: W X() Próbi wściow (didia cau) uporądowa ą w ym ypi algorymu FF godi w. rwrą biów. Owo pcyfic uporądowai ciągu wściowgo ma odwircidli w awi algorymu FF podiałm caowym. oma Marciia, 7 5

52 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 5 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) H H H H G G G G ( ) ( ) r r W r G Rowiąai: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) G G r r W r W r G r r W r W r G G G r r r W r W r G r W r G r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r Podobi prawdamy warości ( ) H. Zadai:. aicu graf FF podiałm caowym dla.. Wyac doład warości wpółcyiów W wyoryywaych pr graf.. Poda aimi rówaiami ą opia pocgól próbi DF. Oblic warości D DF dla maciry ( ) m, f Rowiąai:

53 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci () W W X() () W W X() () W W X() () W W X() Ry. Graf wyacaia -p. dyr raformay Fourira () X() W W W 8 () W W W 8 X() () W W W 8 X() (6) W W W 8 X() () W W W 8 X() (5) W W W 8 X(5) () W W W 8 X(6) (7) W W W 8 X(7) Ry. Graf wyacaia 8-p. dyr raformay Fourira (uwaga a błędy w grafi ) FF podiałm cęoliwościowym Rówai (7.) raformay DF moża aż apiać aępuąco: oma Marciia, 7 5

54 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 7 5 ( ) ( ) ( ) W W X ( ) ( ) W W W X / Orymao iy dwa wyrażia, ór i ą / puowymi raformaami Fourira, poiważ wyępuą cyii W, a i W. Widąc, ż ( ) W, możmy więc apiać ( ) ( ) ( ) W X. Dla paryych waźiów orymumy ( ) ( ) r W r X aomia dla iparyych waźiów ( ) ( ) r W W r X Pamięaąc, ż W W r r, ( ) ( ) W X dla parygo ( ) ( ) W W X dla iparygo. Zam oblicai FF podiałm cęoliwości polga wyaciu ciągu ( ) ora ciągu ( ) prmożogo pr wpółcyi W, a aępi obliciu / puowych raforma obu ciągów. Zadai:. aicu graf FF podiałm cęoliwościowym dla,. Wyac doład warości wpółcyiów W wyoryywaych pr graf,. Poda rówaia opiuąc pocgól próbi DF,. Oblic warości D DF dla maciry. ( ) m, f

55 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: aicu graf oblicń FF podiałm cęoliwościowym dla 8. () X() W 8 () - W X() W 8 () - W X() W 8 () - W - W X(6) () - W 8 X() (5) - W 8 - W X(5) (6) - W 8 - W X() (7) - W 8 Ry. Graf wyacaia 8-p. dyr raformay Fourira (uwaga a błędy w grafi ) - W - W X(7) lgorym Gorla lgorym Gorla ałada, ż do aaliy cęoliwościow ygału porby iwili podbiór prób raformay DF. Procdura obliciowa algorymu Gorla polga a rgowym prwaraiu daych wściowych [Opp79]. Podyca próba X prałcia DF rówaia (8.) orśloa worm ( ) ) ( ) ( ) ( ) W ( ) W W ( )( W ) X K. (*) Uwórmy uład cyfrowy (filr IIR), óry będi diałał godi rówaim różicowym y ( ) ( ) W y ( ). Po prworiu całgo blou prób wściowych ygał wyściowy będi wówca orśloy worm ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) K. (**) W oma Marciia, 7 55

56 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Porówuąc (*) (**) auważamy, ż aby orymać próbę widma ( ) próbę y ( ) wci wyściow prmożyć pr wpółcyi moża apiać ao X alży oaią ( ) W, óry W ( ) W W W, poiważ W. ramiaca uładu (ry. 6) raliuącgo oblicia próbi ( ) X orśloa worm H W ( ). W ( ) X X ( ) X Ry. Uład pologo algorymu Gorla Pry ałożiu, ż ciąg wściowy ( ) rcywiy do wyacia ( ) wyoai możń rcywiych i ( ) X oic umowań licb rcywiych. a więc oblicia raliowa godi uładm a ry. 6 ą mi fyw od mody bpośrdi wyiaąc rówaia (7.). Zalą go da o, ż i wymaga o - wyacaia ai pamięaia wpółcyiów W, gdyż ą o oblica rurywi. W clu miia licby opraci arymycych, moża modyfiować omawiay algorym prałcaąc ramiacę (8.8) w aępuący poób W ( W ) W H (). co co ramiaci orślo worm (8.9) odpowiada filr IIR poaay a ry. 7. W ym prypadu dla ażdgo idu alży wyoać możń licb rcywiych ora - umowań licb rcywiych. Ja moża auważyć, licba możń ra o. dwuroi mia od licby wymaga pry obliciach bpośrdich. Jdyymi warościami, ór muą być oblico i apamięa dla ażd wyaca próbi widma X ( ) ą wpółcyii co ora W. W algorymach dci ygałów (p. dci lfoicych ygałów DMF) możia pr wpółcyi poloy w ogól i rba wyoywać, żli aaliy ygału doou ię a podawi go rgii. W clu 56 oma Marciia, 7

57 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci rduci błędu położia bada ładow widma, wpółcyii co moża f wyacać ao co, gdi f cęoliwość bada ładow, f - ybość f próbowaia. ( ) X X ( ) co X - X - X Ry. Uład algorymu Gorla oma Marciia, 7 57

58 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 8. Proowai filrów FIR Proowai FIR modą oi Kroi proowaia:. Wybór ypu filru: - doloprpuowy, - góroprpuowy, - pamowoprpuowy, - pamowoaporowy,. aliyc wyaci woru a dyrą odpowidź impulową h d Ω Ω ( ) H ( ) dω. Oblici warości prób odpowidi impulow ( ) h d dla aru (aładamy, ż ipary),. Wymożi prób odpowidi impulow pr pr próbi wybra fuci oa w clu limiaci awia Gibba ( racimy a romości boca, al yumy a łumiiu w paśmi aporowym) h w ( ) h ( ) w ( ) 5. Pruięci w prawo orymago wyiu, aby filr był prycyowy. Odpowidi impulow Odpowidź impulowa idalgo filru doloprpuowgo: d Ω H ( ) Ω c c h d c c Ω c i [ ] ( c ) c d Ω Ω c c ( ) i c h ( ) d c Odpowidź impulowa idalgo filru góroprpuowgo: oma Marciia, 6 58

59 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci ( ) i c h ( ) d c Odpowidź impulowa idalgo filru pamowo-prpuowgo: i( ) i( ) h ( ) d Odpowidź impulowa idalgo filru pamowo-aporowgo: i( ) i( ) h ( ) d ypy oi Oo Hammiga:.5.6 co ( ) w poa Oo Haiga: ( ) co w poa Oo Blacmaa:..5co ( ).8co w poa Zadai: Koryaąc mody oi aprou doloprpuowy filr FIR o długości 5 (rąd ), prymuąc, ż.. aryu chma filru. c Rowiąai: Soumy wór a odpowidź impulową filru doloprpuowgo i( c ) h ( ) d c Warości prób dla oa prooągo: h( ).5 h( ).87 h( ). h().87 h( ).5 oma Marciia, 6 59

60 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci H ramiaca filru (oo pro.): ( ) Warości prób dla oa Hammiga h( ). h( ). h( ). h(). h( ). ramiaca filru (oo Hammiga): H..... ( ) Schma uładu Zadai: Wyac odpowidź impulową idalgo filru góroprpuowgo. aępi aprou góroprpuowy filr FIR o długości 5, prymuąc, ż.. aryu chma filru. c Proowai filrów FIR modą próbowaia w didii cęoliwości Każdą fuc orową moża prdawić ao rg Fourira. Sąd możmy apiać, iż: H H h ( ) h( ) ( ) h( ) gdi / ( ) H ( ) d H ' / ( ( ) / ' ) / [ ] ( ) h( ) h( ) h( ) H ( ) H ( ) - pruięci, aby filr był prycyowy Zadai: Souąc modę oa Hammiga wyac ramiacę filru odpowiadaącgo chararyyc poaa a ryuu. oma Marciia, 6 6

61 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Rowiąai: Koryaąc worów amicoych powyż możmy apiać: / h( ) d i i( ) i( c) dla / Gdi pulacą odcięcia filru. Jżli prymimy wówca orymamy: c h ( ) h( ) h( ) i h( ) i h( ) i { h ( )},,,, Oo Hammiga orślo worm: w hm ( ),5,6 co W aym adaiu 9 i orymumy: w (),5,6co hm whm (),5,6 co,865 whm (),5,6 co,5 whm (),5,6 co,5 whm (),5,6 co,8 Połowa prób odpowidi impulow: oma Marciia, 6 6

62 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, 6 6 { } { },,5,,,865, ) ( ) ( ) ( w h h hm w ramiaca ( ) H ' orśloa worm:,5,5,865,865 ) ( ' H,5,865,865,5 ) '( H by alźć oacą poać oryamy woru: 6,5,865,865,5 ) ( ) '( ) ( H H H RYSUEK UKŁDU

63 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 9. proymaca Burworha i Cbywa proymaca Burworha Chararyya ampliudowa filru Burworha rędu H ( ) Koryaąc fau, ż: H ( ) H ( ) moża apiać: H () H ( ) am biguy Zam -y bigu ramiaca: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, K, ( ) ( ) / ( ) / / ( ) / [( ) / ] co[ ( ) / ] i H () ( )( ) K ( ) Proowai filru:. Wyaci rędu filru a podawi waruów łumiości (warość aorąglamy w górę do warości całowi), H,. Wybór odpowidi chararyyi ormaliowa ( ). Dooai dormaliaci cęoliwościow H () H c Proowai filru o ada faliości Rąd filru: α p. d - paramr dyrymiaci log α d log p - paramr lywości oma Marciia, 7 6

64 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: Wyrśl ila chararyy ampliudowych dla różych rędów. Jaą warość prybira chararyyę dla? H (),77 H () ma Rowiąai: Malab w[:.:]; H(qr(w.^)).^(-); H(qr(w.^)).^(-); H(qr(w.^)).^(-); H(qr(w.^5)).^(-); plo(w,h,w,h,w,h,w,h); grid o; lgd('','','','5'); Zadai: aicu położi biguów ora poda ramiac doloprpuowych filrów Burworha rędów:,, i. Malab % rędm filru for : ()p(*(*-)*pi/(*)) % orymumy biguy d poly() % miaowi ramiaci 6 oma Marciia, 7

65 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci - H(), ± H(), - ± H(), -,87±,99, -,99±,87 H(),6,,6 Zadai: Koryaąc woru a ormaliowaą chararyyę ampliudową filru Burworha adź ramiacę filru, óry poiada łumii α db dla pulaci c, pry cym c 5. Wyrśl chararyyi filru godi waruim adaia. Rowiąai: H () dla filru ormaliowago -log H () log ( ) oma Marciia, 7 65

66 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci 9 l 9 l Prymumy am H ( ), Wyr Malab w[::6]; b[ ] a[ ] frq(b,a,w) () H H 7 c,6 5,6569 Zadai: Zadź ramiacę doloprpuowgo filru Burworha, óry dla podwó pulaci odcięcia ma łumii mi db. Odcięci H. H () -log H () log ( ). H (),6,,6 c () H H 9 8 c,869 9,69,97 7,9 Proowai filrów o ada faliości Zadai: Wyac i H() dla filru Burworha pry aępuących waruach. α,db dla f 5MH 66 oma Marciia, 7

67 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci α 6dB dla f MH Koryaąc MLBa Wyrśl chararyyi filru. Zaobrwować afalowaia. Rowiąai:, 6,56 -,5 6, H () Pralowai: α()-log( ),,, 76 6 H(), , 5 6, ,9,699 6, ,69 5,5 8 H(),797,99,7,985 9, ,6589,85 7 oma Marciia, 7 67

68 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci proymaca Cbywa Chararyya ampliudowa doloprpuowgo filru Cbywa H ( ),,,... ( ) ε Wilomiay Cbywa co( co ) dla ( ) coh( coh ) dla > Wór rurcyy: ( ) ( ) ( ),,,... Zafalowaia α log ε [ db] p α p ( ) ε ramiaca H ( ) a... a a a ała dobiraa w clu oiągięcia odpowidigo poiomu DC Położi biguów H Poiważ i α ± Biguy () H ( ), bo ε am ± ε ε co co ± ε co α β co α coh β i α ih β ± ε α ± ε ( ),,,..., β ± ih ε 68 oma Marciia, 7

69 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci i co ( ) ih ih σ ε ε ( ) coh ih Zadai Wyac i wyrśl fuc wilomiaow Cbywa dla 5. Jai właości poiadaą wilomiay Cbywa? a) () dla iparygo () dla parygo Wyry b) ( ) dla ( ) > dla ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MLB w[-:.:]; for i:5; ubplo(5,,i); co(i*aco(w)); plo(w,); grid o d; oma Marciia, 7 69

70 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: Wyrśl chararyyi ampliudow i łumiiow dla doloprpuowgo filru Cbywa rędu, i 5. W aim ari miia ię chararyya ampliudowa w paśmi prpuowym? ε. Wyr chararyy dla doloprpuowgo filru Cbywa rędu: a) rcigo, b) cwargo, c) piągo MLB w[:.:]; *w.^-*w; (qr(.^)).^(-); plo(w,); 7 oma Marciia, 7

71 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Zadai: Wyrśl położi biguów filru Cbywa dla i ε,58. Poprawość oblicń prawdź oryaąc fuci CHEBP. Ja położo ą biguy? () - coh ih, ε () - ih ih ε Zadai: Wyac ramiacę doloprpuowgo filru Cbywa poiadaącgo łumii miimum db pry podwó pulaci odcięcia. Cęoliwość odcięcia wyoi H. Zafalowaia w paśmi prpuowym db. Wyoryu CHEBap wyrśl chararyyę filru. ε α p ε,588 H ( ) ε log H ( ) ( ) log ε log ( ) log ε log log coh( coh ) log ε coh coh [ ] ( coh ),67 9,65.95,67,8,7,9 H (),988,8,9 [ coh( coh ) ] oma Marciia, 7 7

72 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci c H ( ) H c,9 ( ) H w fuci,9 9,785 6,5699 5,9 Proowai filrów Cbywa o adaych faliościach w paśmi prpuowym i aporowym α p ar coh d p d α ar coh Zadai: Zadź ramiacę doloprpuowgo filru Cbywa płiaącgo aępuąc warui. α, db dla f MH α 6 db dla f MH Wyorya CHEBORD i CHEBY. Wyrśl chararyyę ampliudową i łumiiową filra. Rowiąai: MLB ar coh 655, 9,87,596 ar coh,6 5 ( ) oma Marciia, 7

73 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci [, W] CHEBORD 5 W.885 [ B, ] chby(,., W,' ' ); 7 ( pi ^6, pi ^6,.,6,' ' ) ; oma Marciia, 7 7

74 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Proowai filrów IIR. Prałci impulowoiwaria i biliiow Zadai: Oblic raformaę Z ygału h( ) i( ). rauąc orymay wyi ao ramiacę filru, aryu go chma w poaci iaoic i aoic. Oacy wyi powii mić poać: H ( ) B Wyac pirwych puów odpowidi uładu a pobudi impulm doowym. Załadamy row warui pocąow ora f H ora f H. Rowiąai: Widąc, ż i oryamy alżości h i Orymumy więc H ( ) yg ; co ( ) ( ) ora Z{ } ; Z prob { a } a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i co i co Schma uładu w poaci iaoic () y() - i co oma Marciia, 7

75 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci w co i wy Rówai różicow dla uładu aępuąc: y i co y y Zormaliowaa pulaca orśloa worm Dla waruów podaych w adaiu - ( ) ( ) ( ) ( ) W ym prypadu rówai różicow orślo worm y ( ) ( ) y( ) y( ) Zam y ( ) ( ) y( ) Pirw p. odpowidi uładu: ( ) y ( ) - - f f yg prob Prałci biliiow raformaca biliiowa wyia rguły całowaia umrycgo modą rapów i dfiiowaa worm: raformaca a prałca lwą półpłacyę mi w orąg doowy a płacyźi. Podawiaąc d w podaym wyż wor orymumy alżość pomiędy pulacą filru aalogowgo a pulacą d filru cyfrowgo: d a Zadai: Wyac rówai różicow cyfrowgo rgulaora PID (proporioal-igral-drivaiv), órgo prooyp aalogowy opiay worm oma Marciia, 7 75

76 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci u d i d d () K () K () d K p, gdi () ygałm błędu, K p, K i, K d wpółcyiami PID, a u() orolym ygałm wyściowym. aryu chma uładu. Rowiąai ramiacę cyfrowgo rgulaora PID moża prdawić w poaci cyfrow (oryaąc raformaci biliiow) ao U E ( ) ( ) K K i K d p, pry cym orm próbowaia. Powyży wór moża apiać w poaci U E ( ) K K ( ) K, gdi wpółcyii K, K i K wyaca ię a podawi Rówai różicow orślo worm Schma uładu K p, K d, ( ) u( ) K ( ) K ( ) K ( ) u. K i ora. Zadai: Wyac ramiacę, aryu chma bloowy cyfrowgo filru Burworh'a o aępuących paramrach: rad - łumii db dla pulaci odcięcia d., - or próbowaia 5µ, - łumii 5 db dla pulaci d. Koryaąc MLBa wyrśl chararyyi cęoliwościow aproowago filru. W clu aproowaia filru wyac wiwal pulac aalogow dla podaych paramrów. aępi oryaąc alżości: log 5 5 db db wyac rąd filru aalogowgo ora dobir ormaliowaą ramiacę H (). aępi dooa dormaliaci, cyli wyac: () H H. db ramiacę filru cyfrowgo oblic doouąc podawiia: H H ( ) ( ) 76 oma Marciia, 7

77 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Rowiąai w rypci [] Prałci impulowo-iwaria Załadaąc, ż aa ramiaca filru aalogowgo m i H () i ( i ) moża wyacyć a pomocą odwro raformaci Laplac'a go odpowidź impulową m i h() i i Odpowidź h() możmy próbować i orymay ygał h() poraować ao odpowidź impulową proowago filru cyfrowgo, órgo ramiaca wyraża ię worm: H ( ) h( ) m m i i i i m i i i i Zadai: Załadaąc, ż pulaca próbowaia 5-roi więa od pulaci odcięcia, pry aoowaiu raformaci impulowo-iwaria wyac ramiacę filru cyfrowgo wiwalgo do aalogowgo filru doloprpuowgo Burworh'a rcigo rędu, órgo ormaliowaa ramiaca orśloa worm: H () W ym clu rołóż podaą wyż ramiacę a ułami pro, wyac odpowidź impulową h() i próbu ą orm, wyiaącym waruu pulaci próbowaia. aępi oblic raformaę Z próbowa odpowidi impulow h(). aryu chma filru cyfrowgo i a pomocą fuci FREQZ wyrśl go chararyyę ampliudową i faową. Rowiąai w rypci [5] Zadai: Zormaliowaa ramiaca filru Cbywa rcigo rędu orśloa worm: H.9 () aryu chma odpowiadaącmu mu filru cyfrowgo i a pomocą fuci FREQZ wyrśl go chararyyę ampliudową i faową. i oma Marciia, 7 77

78 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Kodowai bra Zaci ompri Obray b ompri roa fau dpi (5 cm 8 p/cm) (7 cm 8 p/cm) 95 6 p biów 5.6 Mb XVG p. 768 p. biy biów 8 Mb Wpółcyi ompri (comprio raio) Kwilość orygialych daych/wilość daych po ompri Roda ompri: braa prawi braa raa Roda uuwa iformaci admiarowa (ai, ór możmy odworyć iych prłaych daych) io dla ludich myłów a ami io Iformaca i ropia Miarą iformaci aą awira wiadomość, logarym o podawi dwa odwroości prawdopodobińwa iformaci ( i ) log pi I i - dari p - prawdopodobińwo daria i - ropia idywiduala (auoiformaca) Jżli ygał awira dwi rówi prawdopodob wiadomości, cyli iformaci awara w d wiadomości wyoi p i wdy ilość I ( ) log i bi 78 oma Marciia, 7

79 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci W ymach modulacą PCM (pul cod modulaio) ygał awira L ialżych poiomów. Jżli ałożymy, ż prawdopodobińwo wyępowaia ych poiomów rów, cyli pi wówca mówimy, ż d poiom bioru L awira L iformacę rówą I ( i ) log biów Im mi prawdopodob da dari, ym więc awira iformaci. Eropia śrdia ilość iformaci awara w d wiadomości H () p i log p i i pry cym w bior ialżych darń {,, } ażdmu ich odpowiada prawdopodobińwo p, K, p. Śrdia długość łowa odowgo (śrdia ilość biów prypadaących a d ymbol źródłowy) Efywość odowaia L η η i p i l i L mi L H ( ) L K Kodowai Huffmaa lgorym:. Symbol źródła oaą pia w porądu malącgo prawdopodobińwa. Dwu ymbolom o amiych prawdopodobińwach oaą prypia ymbol i.. dwa ymbol źródła oaą ua a owy ymbol łożoy źródła o prawdopodobińwi rówym umi prawdopodobińw ymboli pirwoych. Prawdopodobińwo owgo ymbolu oa umico a liści godi woą warością.. Omawiay proc powaray, aż uya ię ońcową lię ayy źródła (ymboli), awiraącą ylo dwa lmy, órym pryporądowu ię ymbol ora. Kodowai arymyc W modi arymyc a moż opiywać ułamową cęść biu. Kompra:. Uwór ayyę i podil prdiał [,) a podprdiały. Uaw graic GR GR dola i góra oma Marciia, 7 79

80 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Wcya a wścia. Dooa or graic GR dola GR dola ( GR góra GR dola ) S dól ( ) GR GR ( GR GR ) S ( ) góra dola góra dola 5. Powara roi i dla olych ymboli 6. Zapi licbę odową LK Dompra:. Wcya ayyę podiałm a podprdiały. Wcya licbę odową. Zdodu ymbol wybiraąc odpowidi podprdiał. Zmodyfiu licbę odową LK Sdól ( ) LK Sgóra () Sdól () 5. Powara roi i dopói licba odowa róża od ra Zadai Zaodować i dodować łowo MK oryaąc odowaia arymycgo. Rowiąai Sayya źródła: Symbol Prawdopodobińwo wyąpiia K M góra S dól ( ) ; ( ) S góra < ;,, ) 5 <,;,6, ) 5 <,6;,8, ) 5 <,8;, ) 5 Proc odowaia: GR dola GR ( GR ) góra M,6,8,,6,68,8,66,68,6 K,67,676,,67,6768,8 góra GR dola GR GR ( GRgóra GR ) Sdól ( ) ( GR GR ) S ( ) GRdola dola GR dola góra dola góra dola góra Zaodowaa licba o dowola licba alżąca do prdiału <,67 ;,6768) p.,67 Proc dodowaia: LICZB KODOW:,67 8 oma Marciia, 7

81 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci LK LK Sdól ( ) LK S () S () góra,67 M (,67,6) :,,5 (,5 ) :,,88 (,88,8) :,, K (,,) :, Zadai: Zaodować i dodować łowo DM oryaąc odowaia arymycgo. Rowiąai Sayya Symbol dól S dól ( ) ( ) Prawdopod. S góra wyąpiia,5,5 D,5,5,75 M,5,75 Kodowai GR dola GR ( GR ) góra góra GR dola,5,5 D,5,75,5,5,5,65 M,96875,5,565 Dodowai: LICZB KODOW,96875 LK LK Sdól ( ) LK S () S (),96875,5975,5975 D,75,75,75,75 M góra dól Kodowai łowiow Moda LZ77 (algorym łowiim pruwym) łowiim biór daych poprdaących bpośrdio w rumiiu wściowym odoway ymbol lub wcę ymboli. Kodowai. Iicaliaca bufora łowiowgo.. Pouiwai adłużgo łańcucha daych bufor odowaia, óry ma wó dołady odpowidi w bufor łowiowym. oma Marciia, 7 8

82 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Uwori wci odow p, l,, gdi p - poyca pocąowa aliogo łańcucha w bufor łowiowym, l - długość łańcucha, - a wyępuący bpośrdio po wyacoym łańcuchu.. Pruięci oa wdłuż rumiia wściowgo o długość aodowa wci ( l ). 5. Powarai od algorymu od p. do momu aodowaia oaigo ymbolu wściowgo. Zadai Dla wci YBDBDOOOO wyac ropię, od Huffmaa, od LZ77 (długość bufora łowiowgo długość bufora odowaia ), od LZSS (długość bufora łowiowgo długość bufora odowaia ), Kóra mod odowaia afywia dla poda wci? Rowiąai: p po pb pd py B opraci odowaia porbumy a ażdą lirę ry biy, a więc aby prłać podaą wcę porbumy 6 biy. EROPI: log ( pi ) E p ( ) ( ) i log pi pi log log log E log KOD HUFFM: log log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) 8 oma Marciia, 7

83 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci O B D Y Kody dla pocgólych lir: O B D Y Śrdia długość odu Huffmaa: L p i l i.95 i Z aoowaim wyacogo odu Huffmaa porbumy biów w clu ramii poda w adaiu wci. Efywość odowaia Huffmaa: H ().77 η % L.95 Kodowai LZ77: SŁOWIK BUFOR SEKWECJ YYYY Y,, YYY B,,B B D,,D D B,,B B D,,D D OOOO,,O DO OOO,,EOF Dodowai: oma Marciia, 7 8

84 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci BUFOR SEKWECJ WYJŚCIE YYYY,, Y YYY,,B B B,,D D D,,B B B,,D D D,,O O DO,,EOF OOO Licba biów porbych do prłaia iformaci: 8 biów 7 8biy 8 biów 9 biy LZSS: Kodowai: SŁOWIK BUFOR SEKWECJ YYYY Y,Y YYYY B, YYY B,, Y B,B B D,, B D,D D B,, D B,B B D,, B DOOO,D D OOOO,O DO OOO,, Dodowai BUFOR SEKEWCJ WYJŚCIE YYYY,, Y YYYY, YYY,, Y,B B B,, B,D D D,, D,B B B,, B,D D 8 oma Marciia, 7

85 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci D,O O DO,, OOO Licba biów porbych do prłaia iformaci: Żby prłać wc dwulmow porba 9 biów, rylmow 5 biów. Sąd: biy oma Marciia, 7 85

86 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci oma Marciia, Kodowai ra Jdowymiarowa dyra raformaa oiuowa (D DC) dfiiowaa worm ( ) ( ) ( ) ( ),, co X K Dwuwymiarowa dyra raformaa Fourira (D DF) orśloa worm ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( M m q M pm M m q pm M M m q pm M DF m m m q p X Oblicń D DF moża dooać a pomocą D DF oblicaąc wpirw DF olum, a aępi dla a oblico maciry wyacaąc DF wiry. Dwuwymiarowa raformaa oiuowa (D DC) orśloa worm ( ) ( ) co )co, ( ), ( M m q p DC q M p m m q p X α α pry cym / / M p M p M p α / / q q q α a ryuu poiż poaao chma bloowy odra JPEG FDC odr ropowy ablic wayaora wayaor blo 88 obra omproway obra wściowy

87 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci. Syfrowai daych Zadai Dooa dyfraci wyrau aodowago wcą XWMIPUSK, órą orymao w wyiu aoowaia yfru podawiiowgo ilocym: f ( m) m 9 mod( 6) pry cym lirom pryporądowao warości m godi ablą: D G 6 J 9 M P 5 S 8 V Y B E H 7 K Q 6 9 W Z 5 C F 5 I 8 L O R 7 U X Rowiąai: f ( m) m mod( ) ( ( 6 9) ) am - Zaodowaa awa o ROKYICE. f f f f f f f f f ( X ) mod( 6) 7 ( W ) mod( 6) ( M ) mod( 6) ( I ) 8 mod( 6) Y ( P) 5 mod( 6) 9 ( ) mod( 6) ( U ) mod( 6) 8 I ( S ) 8 mod( 6) C ( K ) mod( 6) E R O K oma Marciia, 7 87

88 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Doda : Macir Macir Macir Wor Macir diagoala Macir doowa a a : a Kolumowy : I : a : : a a a a : : :... a a a m m : m Wirowy [... ] : a diag(,,...,) : Macir rapoowaa a a... a a... : : a a... a a a m m : m a a ' : am a a a : m a a a : m Dodawai i odmowai maciry B a b ) B a b ) ( i i ( i i Pryład: 5 i B B B oma Marciia, 7

89 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Możi maciry pr alar a a : a a a : a O... a a a m m : m Możi maciry pr macir m B C ( c ) ( a b ) ( i,,..., ;,,..., p) i B B Pryład : Koryamy chmau Fala 5 i B i Pryład : 5 9 B 5 i B 5 i B B i B 6 Poęgowai maciry Wyaci d d ( a ) i a a a... a a a a a a... Miorm M i aywamy wyaci opia maciry pował pr rśli i -go wira i - olumy. Dopłii algbraic oma Marciia, 7 89

90 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Macir dołącoa i i ( ) M i ad : : : Macir odwroa I ad d Pryład: d 7 ad /7 ad 7 /7 d /7 6 /7 /7 /7 /7 /7 7 /7 9 oma Marciia, 7

91 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Doda : Symy licbow Sym dwóowy Cyfry: i Pryłady: 8 d b 5 d b 5 8 d b 5 8 LSB 5 MSB Sym aowy (HEX) Cyfry: 9,, B, C, D, E, F Pryład d 9 h 69 d Rpraca licb umych. Za-moduł Bi au a pirw poyci: żli o licba dodaia żli o licba uma oma Marciia, 7 9

92 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Pryład: b d b - d. Pruięci dwóow Odmumy b- od warości dwóow b au. Pryład: Dla licb -biowych b, b- - 8 Dla licby b d (licba b au) d - 8 d 6 d Zam b 6 d rpraca pruięcim dwóowym Rprac licb dodaich i umych (ar biowy) Licba diięa Rpraca Za-moduł Pruięci dwóow Uupłii do dwóch (U) Uupłii do dwóch U by orymać licbę umą: gumy i dodamy warość (lub poób iżyiri: pirwą dyę od praw roy oawimy, a pooał biy gumy). d gaca - d Dodawai biar licb w U 5 - (błąd) 9 oma Marciia, 7

93 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Wio: Pry dodawaiu biarym licb umych alży pamięać o roriu aowym licby 5 - (OK!) Kody Gray a W rpraci a pomocą odów Gray a (odu rflygo) dwa ol łowa odow różią ię ylo dym bim. Zamiaa auralgo odu biargo a od Gry a: licba biara licba biara pruięa o bi w prawo XOR od Gray a Zamiaa odu Gray a a biary od auraly: Pirwy bi odu auralgo idycy a od Gray a. Dla olych cyfr wyoumy opracę XOR dla cyfry odu Gray a ora poprdi cyfry odu auralgo. od Gray a biara licba aurala cyfra odu poprdia cyfra XOR oma Marciia, 7 9

94 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Licba Kod Gray a Licba Kod Gray a Licba Kod Gray a Ułamow licby dwóow.5 d. b Zamiaa DEC a BI.5*.5* Rprac i ary ułamów Q, Q8 i Q5 uupłić Możi licb Q ora Q5 Uupłić 9 oma Marciia, 7

95 Podawy orii ygałów, ymów i iformaci Rprac mioprciow wyładi m * maya b biów b biów b m biów ar dyamicy prcya licby ypowo: b b/ b m ¾ b Dla rpraci biow: b 8 biów b m biy Doda C: Sala dcyblowa Pryład Miara dbm P Poiom db log P Poiom db log bo V Poiom db V log. db P Poiom db log dbm mw V P R oma Marciia, 7 95