PROCESY STOCHASTYCZNE

Transkrypt

1 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych PROCESY STOCHASTYCZNE WYBRANE ZAGADNIENIA uca Kowali Warzawa 5

2 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych iraura: A.Plucińa, E.Plucińi, Probabiliya, D.Bobrowi, Probabiliya w zaoowaiach chiczych.kowali, mariały dydaycz z roców ochayczych., S, P Paramry rocu ochayczgo Ω - ualoa rzrzń robabiliycza. T R, rzdział ończoy lub iończoy, lub odzbiór dyry. Df. Fucę : T Ω R azywamy rocm ochayczym śli { ω :, ω < x} S T x R czyli dla ażdgo ualogo fuca rozważaa ao fuca argumu ω zmią loową. Naczęści w zaoowaiach irrumy ao cza. ω ω Soumy zai, Przyład. Amliuda aięcia growago rzz rądicę rądu zmigo zalży od czyiów loowych i moż być zaiaa ao roc ω - ała orślaąca częoliwość, A - zmia loowa o rozładzi. N, 5, - cza, R. Ai ω Ralizac rocu

3 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych N. dla warości aramru orzymumy zmią loową o rozładzi π douowym o warości zrow, dla warości aramru orzymumy ω zmią loową π ω A orzymumy zmią loową o rozładzi N, 5, dla warości aramru A. π ω π ω Dla ualogo ω Ω i dowolgo T rzymumy x, ω Fuca x orśloa a T i ma chararu loowgo, azywamy ą ralizacą rocu ochayczgo wyraża wolucę w czai wybrago zdarzia loowgo. W owyżzym rzyładzi roc ma iończi wil ralizaci. N. dla warości zmi loow A rów orzymumy ralizacę w oaci iuoidy o amliudzi i ualo częoliwości, dla warości zmi loow A z rzdziału [ 5, 5] orzymumy rodzię ralizaci w oaci zbioru iuoid o amliudach z rzdziału [ 5, 5] i ualo częoliwości moża owidzić, ż ą o abardzi yow ralizac. Warości rocu azywamy aami. Zbiór wzyich aów azywamy rzrzią aów. Przyładow rodza roców Say Cza Przyład azwa rocu C C a wyż, lub roc Gaua, CC C D - wymiarowy rozład ormaly, CD D C roc Poioa, DC D D łańcuchy Marowa. DD Przyład. cza uzyaia ołączia z orśloą roą irową, śli olci ołączia zoało wyda a rzglądarc w chwili. J o roc yu CC. Przyład. {,,,..., 7} cza fyw racy modmu dago omura w ozczgól di orgo ygodia. J o roc yu CD.

4 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. liczba ucziów forum dyuygo a orślo roi irow, zalogowaych w chwili. J o roc yu DC. Przyład. {,,,..., 65 66} liczba zalogowań omurów do dago rwra w ozczgól di orgo rou. J o roc yu DD. Nich < <... <. Rozarzmy wymiarową zmia loową,...,, Rozład rawdoodobińwa zmi loow azywamy -wymiarowym rozładm rocu ochayczgo a dyrybuaę zmi loow azywamy -wymiarową dyrybuaą rocu ochayczgo. Uwaga. Ni ażda fuca óra dla ualogo dyrybuaą -wymiarow zmi loow moż być dyrybuaą rocu ochayczgo. Muzą być dodaowo łio zw. warui zgodości. Zaomość dyrybuay -wymiarow dla dowolgo, z. zaomość wzyich rozładów ończi wymiarowych rocu ochayczgo i orśla w oób dozaczy rocu ochayczgo. Niór rocy maą aą właość, ą o. rocy ośrodow. Paramry rocu ochayczgo. Warość ocziwaa rocu. m E Wariaca rocu. V D σ E Odchyli adardow rocu o irwia z wariaci rocu. m Auoowariaca K, E m m Auoowariaca uormowaa wółczyi auoorlaci rocu Auoorlaca K, ρ, V V R, E K D, D 4

5 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Właości: V D σ K, K, R, m m K, V V D D 4 V D σ E E Uwaga.. Z owyżzych właości wyia, ż rayczi wyarczy wyliczyć m i R, a ozoał aramry uzyamy a ich odawi.. Przy obliczaiu m i R, rzyda bywaą aęuąc zalżości za z rachuu rawdoodobińwa D E, bo D E E E EY Cov, Y EEY bo Cov, Y EY EEY Cov, Y Cov, Y ρddy bo ρ DDY Przyład. Obliczymy aramry rocu Ai ω, R. ω - ała, A - zmia loowa o rozładzi. N, 5, Rozwiązai. Warość ocziwaa wyoi Auoorlaca wyoi R, E iω 595iω iω Auoowariaca wyoi iωea i m E ω E Aiω Aiω D A EA iω iω 5 iω iω m 5i ω ω K, R, m i iω E A Wariaca wyoi i ω V 5 5

6 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych π Zauważmy, ż dla warości aramru,, ±, ±,... ω orzymumy zmią loową o rozładzi douowym i wdy wariaca rocu zrowa. Wółczyi auoorlaci rocu wyoi K, 5i ω i ω ρ, V V 5i ω 5i ω Ozacza o, ż zmi loow worząc roc ą w łi orlowa, z. zmia loowa fuca liiową od. iω Mamy, gdzi. iω Przyład. Obliczymy aramry rocu A, R. A - zmia loowa oowa o fuci rawdoodobińwa -,5,5 Rozwiązai. Zauważmy, z rozaryway roc ma ylo dwi ralizac: arabolę y. Warość ocziwaa wyoi Auoorlaca wyoi R,5,5 m E, E E A A D A EA Auoowariaca wyoi, R, Wariaca wyoi E A y i arabolę m K m V Zauważmy, ż dla warości aramru orzymumy zmią loową o rozładzi douowym i wdy wariaca rocu zrowa. Wraz z bzwzględym wzrom wariaca gwałowi rośi. Wółczyi auoorlaci rocu wyoi ρ K,, 4 4 V V 4 6

7 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 7 Ozacza o, ż zmi loow worząc roc ą w łi orlowa, z. zmia loowa fuca liiową od. Mamy, gdzi. Przyład. Obliczymy aramry rocu B A, R A, B - zmi loow o aramrach EA ; EB, i D A, D B ; cova, B -. Rozwiązai. Warość ocziwaa wyoi EB EA B A E E m Auoorlaca wyoi, cov, EB B D EAEB B A EA A D B E AB E A E B AB A E B A B A E E R Auoowariaca wyoi,, m m R K Wariaca wyoi V Zauważmy, ż wariaca go rocu i miza iż dla dowolgo. Wółczyi auoorlaci rocu wyoi,, V V K ρ Proc ochayczy azywamy rocm o rzyroach izalżych, śli dla dowolgo auralgo, dowolych < <... < zmi loow,...,, ą izalż. Przyład: roc Poioa, roc Wira.

8 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Proc ochayczy o rzyroach izalżych azywamy dorodym, śli dla dowolgo iumgo,, ω i dla dowolych < rozład różicy zmiych loowych zalży ylo od różicy - i zalży od. Przyład: roc Poioa. Proc ochayczy azywamy rocm ormalym rocm Gaua śli wzyi -wymiarow rozłady go rocu ą ormal. Jdorody roc ormaly o rzyroach izalżych dla órgo m V c c co, c > azywamy rocm Wira rocm ruchu Browa. Procy acoar o rocy, órych ralizac maą oać loowych odchylń od w warości i charar ych odchylń i ulga zmiai w czai. aięci w ici rgycz, zumy loow w radiochic. Dla roców acoarych ławo rymali wyzaczyć chararyyi. Proc acoary w wężzym i ściśl acoary gdy wzyi go chararyyi i zalżą od czau. Proc acoary w zrzym i łabo acoary gdy ma ałą warość ocziwaą a go fuca auoowariacya zalży wyłączi od różicy argumów z. K, m m co τ τ Jśli chararyyi iią o ażdy roc ściśl acoary łabo acoary, odwroa właość i mui zachodzić wyą - rocy gauowi. Zadaia Zadai. Wyzaczyć aramry rocu A B, gdzi A, B o iorlowa zmi loow o aramrach: EA ; EB -, D A, D B. Zadai. Wyzaczyć aramry rocu A B, gdzi A, B o zmi loow,4 o aramrach: EA ; EB, i macirzy owariaci K.,4,5 8

9 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Zadai. Wyzaczyć aramry rocu A, gdzi A zmią loową o rozładzi doaym w rzdzial,. Ja wyglądaą ralizac go rocu? Kór z oiżzych fuci ą ralizacami go rocu? x, ; x, ; x. Zadai 4. Wyzaczyć aramry rocu A, gdzi A zmią loową o rozładzi N,. Ja wyglądaą ralizac go rocu? Zadai 5. Wyzaczyć aramry rocu co B, gdzi B o zmi loowa o rozładzi doaym w rzdzial Π, Π. Zadai 6. Wyzaczyć aramry rocu Ai B, gdzi A, B o zmi loow izalż o rozładach doaych w rzdziałach odowidio,5;, 5 i Π, Π.; Zadai 7. Proc ma ylo ralizac: x ; x ; x. Ralizac ą rzymowa odowidio z rawdoodobińwami: /, /; /6. Wyzaczyć aramry go rocu. Zadai 8. Proc ma ylo 4 ralizac: x ; x ; x ; x 4. Ralizaca oaia rzymowaa z rawdoodobińwm,, a ozoał ralizac ą rzymowa z aim amym rawdoodobińwm. Wyzaczyć aramry go rocu. Zadai 9. Wyzaczyć aramry rocu A B, gdzi A, B o zmi loow o aramrach: EA ; EB, i D A, D B ; cova, B -. Zadai. Wyzaczyć aramry rocu A B, gdzi A, B o zmi loow o aramrach: EA -; EB, i D A, D B 4; ρ AB -,5. Zadai. Wyzaczyć aramry rocu A B, gdzi A, B o zmi loow iorlowa. A ma rozład wyładiczy z aramrm,5, B zmią loową oową o fuci rawdoodobińwa: PB -,5; PB,5; Zadai. Day roc Y f g, gdzi f, g ą fucami rzczywiymi iloowymi. Wyrazić aramry rocu Y za omocą aramrów rocu. 9

10 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Łańcuchy Marowa Przyład. Symrycz błądzi rzyadow. Jao zbiór aów rozarumy zbiór liczb całowiych. Kol ay błądzia będzimy umrować ao chwil czau,,,.... Załóżmy, ż w chwili roc w ai. Naęi w olych aach z rawdoodobińwm ½ rzchodzimy do au o umrz wyżzym lub z rawdoodobińwm q ½ rzchodzimy do au o umrz iżzym możmy obi wyobrazić, ż rzucamy moą ymryczą i orzł owodu rzuięci w rawo, a rza w lwo. Na wyri możliw do oiągięcia ay w ozczgólych aach możmy rzdawić aęuąco zauważmy, ż w arzyych umrach aów moża być ylo w aach o umrach arzyych. 5 Nr au 4 ay Jśli Z i o izalż zmi loow o rozładzi dwuuowym P Z P Z i i o rozaryway roc ochayczy możmy zaiać aęuąco Z, >

11 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Zauważmy, ż śli o w liczbi aów chcmy orślić rawdoodobińwo zalziia ię w ai, w ai aęym, o rawdoodobińwo o zalży ylo od go gdzi śmy o aach a i zalży od go w aich aach byliśmy wczśi, z. P i, i,..., P i Uzaadii Poiważ Z więc ciąg ma rzyroy izalż, oraz Z izalży od m, m <. Mamy P P Z i Rówiż i, i, i,..., i P,..., Z P Z i i, i,..., P i P i P Z i P Z i Przyładow ralizac go rocu moża rzdawić aęuąco ay r au ay r au Moża ż rozarywać bardzi ogól błądzi rzyadow gdy zmi Z i o izalż zmi loow o dowolym rozładzi dwuuowym P Z >, P Z q > i Powyżzy roc moża ż rzdawić w oaci grafu i

12 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych... q [ ] q [ ] q [ ] q [ ] q [ ] q... amięaąc o ai z órgo rozoczyamy błądzi. Moża ż rozarywać błądzi rozoczyaąc ię w dowolym uci ro. Łańcuchy Marowa o rocy dyr w czai i o dyrym zbiorz aów, "bz amięci". Zwyl będzimy załadać, ż zbiór aów o odzbiór zbioru liczb całowiych Z lub zbioru {,,,...} ao urozczi zaiu { S,,...} S., S Łańcuchm Marowa azywamy roc będący ciągim zmiych loowych,,... Orśloych a wól rzrzi robabiliycz, rzymuących warości całowi i łiaąc waru P i, i,..., i P i i,..., i, {,,,... } Zam dla łańcucha Marowa rozład rawdoodobińwa waruowgo ołożia w -ym rou zalży ylo od rawdoodobińwa waruowgo ołożia w rou orzdim a i od wczśizych uów raorii hioria. Nich i i P ozacza rawdoodobińwo waruow rzścia w -ym rou z au i do au. Jśli i i zalżą od o łańcuch azywamy dorodym dorodym w czai i oumy zai i. Załadaąc, ż umry aów ą całowi, ium moża rawdoodobińwa rzść zaiać w macirzy P

13 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych W irwzym wirzu mamy olo rawdoodobińwo ozoaia w ai w -ym rou i rawdoodobińwa rzścia w -ym rou z au o umrz do aów o umrach,, id. Aalogiczi orślo ą ozoał wirz. Dla łańcuchów dorodych owyżzą macirz ozaczamy P i ma oa oać P Właości macirzy rawdoodobińw rzść: a b uma ażdgo wirza rówa. i Zauważmy ż, ż w macirzy i moż iić oluma złożoa z amych zr. Każdą macirz łiaącą warui a, b azywamy macirzą ochayczą. Uwaga. Macirz ochaycza i rozład zmi loow orślaą wi łańcuch Marowa. Właości macirzy ochayczych ą zam ściśl związa z właościami łańcuchów Marowa. A - dowola macirz wadraowa oia r. Właości macirzy ochayczych. Wilomiam chararyyczym macirzy azywamy wilomia W d I A Rówai W azywamy rówaim chararyyczym. Pirwiai go rówaia o warości wła lub irwiai chararyycz macirzy. Nich,..., - warości wła macirzy A o roościach,..., r. Worm właym oraora f odowiadaącym warości wła azywamy izrowy wor v łiaący waru fv v. Właość: I uma warości właych z roościami rówa śladowi macirzy z. umi lmów rzą. II Macirz oobliwa wdy i ylo wdy gdy zro warością właą

14 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Macirz P 4 4 ma rówai chararyycz 5 i warości wła:, W d 5 Właości macirzy ochayczych: a Warością właą ażd macirzy ochaycz ozaczamy, b Moduły wzyich warości właych dowol macirzy ochaycz ą miz od, c w. Dooba ii graica lim P A, Macirz A ma właość PA AP A A macirz idmoa, Klayfiaca macirzy ochayczych. i i> > Rgular z. irozładal i icylicz irozładal i> i cylicz rozładal icylicz rozładal cylicz Tw. Frcha w. Dooba dla macirzy irozładalych Dla ażd irozładal macirzy ochaycz P ii graica lim P E, E r r r macirz rgodycza 4

15 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Macirz E ma właość PE EP E E i łia warui a, b dfiici macirzy ochaycz. Elmy macirzy E możmy wyzaczyć z waruów: r P - I T,, gdzi,..., r i i Dla macirzy rgularych w. Dooba ma oać: Twirdzi. Jśli macirz ochaycza P rgulara o ii graica lim P E, gdzi E - macirz rgodycza. Sochaycz macirz rgular chararyzu ż zw. wirdzi rgodycz: Twirdzi. Jśli macirz ochaycza P rgulara o ii aa oęga w ór co ami da oluma ma wzyi lmy dodai. Przyład. Macirz,5,5 P,5,75 ma warości wła,5,5 7,, 8 7 więc macirzą rgularą. 8 Przyład. Macirz,5,5,5,5 P ma warości wła,5,5,5,5,, o roości, więc macirzą cyliczą irozładalą. Macirz a ma właość P gdy iarzy P. P gdy arzy 5

16 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Macirz o roości,, P ma warości wła 4 4, więc macirzą icyliczą rozładalą. Macirz ochaycza rozładala o wualym rzawiiu wirzy i olum ma bloi diagoal, ór ą macirzami ochayczymi. Warościami właymi macirzy P ą warości wła ozczgólych bloów. W ym rzyładzi ą rzy bloi diagoal. Przyład. Macirz,5,5,5,5 P ma warości wła o roości,,, więc macirzą cyliczą rozładalą. Łańcuchy Marowa dorod. Będzimy dal rzymować aczęści, ż rozarywa łańcuchy Marowa maą ończoa liczbę aów. i - rawdoodobińwo zalziia ię w ai i o roach rozład zmi loow. Prawdoodobińwa aowią ładow wora. i - rawdoodobińwo zalziia ię w ai i w chwili ocząow rozład zmi loow - rozład ocząowy. Prawdoodobińwa aowią ładow wora. Przyład. Błądzi rzyadow z odbicim. N. gdy ay i 4 ą odbiaąc 6

17 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych [ ] q [ ] q [ ] q [ ] [ 4] q P Przyład. q q Błądzi rzyadow z ochłaiaim. N. gdy ay i 4 ą ochłaiaąc [ ] q [ ] q [ ] q [ ] [ 4] q P q q Problm ruiy gracza zczgólym rzyadim błądzia rzyadowgo z ochłaiaim. Gracz dyou ocząowo woą zł. W olych aach z rawdoodobińwm wygrywa zł albo z rawdoodobińwm q - rzgrywa zł. Gra ończy ię gdy gracz oiągi woę w > zł lub rzgra wzyo. Zam mamy dwa ay ochłaiaąc i w. Graf i macirz rozarywago łańcucha ą aęuąc. [ ] q [ ] q q [ ] q q [ w ] [ w] q P q q rozład ocząowy orśla woa ocząowa, z.,,...,,,,...,, dya a ozyci odowiadaąc aowi o umrz. 7

18 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Elro moż zadować ię w dym z aów orbi,,...w zalżości od oiada rgii. Przści z i - do - orbiy w ciągu udy zachodzi z rawdoodobińwm c i i, > da. Wyzacz c i, i macirz P. Przyład. Naryu graf łańcucha Marowa odowiadaący macirzy rawdoodobińw rzść / P / / / / / / 6 Przyład. Zaiz macirz P dla łańcuch a Marowa rzdawiogo grafm 4 [ ] [ ] / [ ] [ ] / / 4 / 4/ 5 [ 4] /5 Ozaczia. i - rawdoodobińwo rzścia od au i do au w dym dowolym rou, i - rawdoodobińwo rzścia od au i do au w roach, P [ i ]- macirz rawdoodobińw rzść w dym rou, o macirz ochaycza. P P [ i ] - macirz rawdoodobińw rzść od au i do au w roach, Rówai Chamaa, - Kołmogorowa: Właość: l l i m i m m Zaąc rozład ocząowy i macirz P możmy wyzaczyć rozład zmi loow czyli rawdoodobińwo zalziia ię w ozczgólych aach o roach: czyli Mamy ż właość:,,...,,...p. op m mp 8

19 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa o macirzy,5 P,5 i rozładzi ocząowym,,.,5,5,5,75 Po irwzym rou rawdoodobińwa zalziia ię w ozczgólych aach ą rów,5,5 P [,,],5,75 [,5;;,5],5,5 Po drugim rou rawdoodobińwa zalziia ię w ozczgólych aach ą rów P,5 [,,],75,5,5,48,5,5,88 [,5;,5;,5],65 Po rzcim rou rawdoodobińwa zalziia ię w ozczgólych aach ą rów P,75 [,,],8,48,88,,44,48,56 [,75;,88;,48],9 Obliczaąc ol oęgi macirzy P możmy wyliczo warości zawić dla,..., w aęuąc abli i rzdawić a wyri. ro Sa Sa Sa,5,5,5,5,5,75,88,48 4,46,66,8 5,67,,4 6,85,59,56 7,7,4,86 8,79,54,67 9,7,47,8,76,5,7,74,49,77,76,5,74 9

20 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych rawdoodobińwo,6,5,4,,, a a a roi Zauważmy, ż rozarywa rawdoodobińwa abilizuą ię a orśloym oziomi i dążą do wych graic, co związa z rgularości rozarywa macirzy ochaycz. Ja oażmy wróc, iią ooby wyzaczaia ych graiczych rawdoodobińw bz obliczaia oęg macirzy P. Zobaczmy raz a zmiia ię rawdoodobińwo zalziia ię w ualoym ai w ozczgólych roach, gdy zmiia ię rozład ocząowy. Rozarzmy a i rozłady ocząow,,,,,,,,. Obliczo rawdoodobińwa w odoby oób a wyż zawioo w abli i rzdawioo a wyri dla,...,. \ ro ,,,5,5,75,46,67,85,7,79,7,76,74,76,,,75,8,98,46,88,64,8,7,78,7,76,,,5,5,48,8,4,56,86,67,8,7,77,74

21 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych,6,5 rawdoodobińwo,4,,, r o i Zauważmy, ż rozarywa rawdoodobińwo dla dużych i zalży od rozładu ocząowgo. Graicę Π lim o il ii azywamy rozładm graiczym łańcuch Marowa. Π Π,,... Π., Π Łańcuch Marowa dla órgo ii rozład graiczy izalży od rozładu ocząowgo azywamy łańcuchm rgodyczym. Twirdzi. Rozład graiczy i zalży od rozładu ocząowgo wdy i ylo wdy gdy wirz macirzy graicz lim P E ą ai am. Waru łioy dla macirzy P rgular doroa warość właa rówa. Uwaga.

22 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Jśli wa oęga macirzy rzścia P ma co ami dą olumę złożoą wyłączi z wyrazów dodaich o rozaryway łańcuch rgodyczy o dodaich rawdoodobińwach graiczych. Sooby wyzaczaia rozładu graiczgo: Soób I. Rozład graiczy Π dyym izrowym rozwiązaim uładu Uwaga. P T - I Π T, łiaącym waru Π i i, Z owyżz rówości wyia, ż ΠP Π co ozacza, ż wor Π worm właym macirzy P odowiadaącym warości wła rów. Przyład. Wyzaczyć rozład rgodyczy łańcucha Marowa o macirzy,,5, P,6,4,4,6 Zauważmy, ż w oai olumi macirz P ma ylo warości dodai. Nalży rozwiązać rówai dorod,7,6,5,,4 Π,4 Π,4 Π J o uład iozaczoy z dym aramrm. Przymimy. Π, wdy Π 8/4, Π 4/4. Dziląc rozwiązaia rzz ich umę orzymamy rozwiązai uormowa Π [6/, 7/, /]. Soób II. Π gdzi A o dołiia algbraicz macirzy I - P wyzaczi macirzy orzyma rzz rśli -go wirza i - olumy. A A

23 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Wyzaczyć drugim oobm rozład rgodyczy łańcucha z orzdigo rzyładu. Zadaia. Zadai. Wyzaczyć aramry rocu ymryczgo błądzia rzyadowgo. Zadai. Naryu graf łańcucha Marowa - błądzi rzyadow z odbicim. Przymi liczbę aów rówą 6. Zaiz macirz rawdoodobińw rzść go łańcucha. Zadai. Wyzaczyć warości wła macirzy, P,6,5,4,,4,6 Czy odowidi łańcuch Marowa rgodyczy. Naryować graf go łańcucha. Zadai 4. Wyzaczyć warości wła macirzy a P b P Czy odowidi łańcuch Marowa rgodyczy. Naryować graf go łańcucha. Srawdzić, czy dla go łańcucha ii rozład graiczy. Zadai 5. Wyzaczyć ol oęgi macirzy,5 P,5 Czy odowidi łańcuch Marowa rgodyczy. Naryować graf go łańcucha. Porówać wirz macirzy P i ładow wora rozładu graiczgo. Od.. 6,67875,85 P Π [/, /],6565,475 Zadai 6. Łańcuch Marowa ma dwa ay i rozład graiczy [, q]. Wyzaczyć macirz P go łańcucha. Od. a P a a a, a - iumy aramr. Zadai 7. Rozład ocząowy łańcucha Marowa orślogo macirzą rawdoodobińw rzść wyraża ię worm a,,,, P,6,5,4,,4,6

24 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 4 b,5; ;,5, Wyzaczyć rawdoodobińwa zalziia ię w ozczgólych aach go łańcucha o dwóch aach, rzch aach. Zadai 8. Rozład ocząowy łańcucha Marowa orślogo macirzą rawdoodobińw rzść,5,5,5,5,5,5,5,5 P wyraża ię worm,,. Wyzaczyć rawdoodobińwa zalziia ię w ozczgólych aach go łańcucha o olych aach. Czy łańcuch ma orślo rawdoodobińwa graicz? Zadai 9. Wyzaczyć rozłady graicz łańcuchów wyzaczoych rzz macirz a 4 4 P b P Naryu odowidi grafy. Wyzacz graicz warości ocziwa i graicz wariac. Od. a [6/7, 7/7, /7, /7] b [/, /, 5/, /, /] Zadai. Poda rzyład łańcucha, órgo rozłady graicz zalżą od rozładu ocząowgo. Zadai. Wyzaczyć rozład graiczy łańcucha wyzaczogo rzz macirz,5,5,75,5,5,5 P Naryu odowidi graf.

25 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Klayfiaca aów łańcucha Marowa. Niidy będzimy uożamiać a z liczbą. Sa oiągaly z au śli > dla wgo, Say i azywamy wzami omuiuącymi ię śli a oiągaly z au, i odwroi. Rlaca wzamgo omuiowaia ię orśloa a zbiorz aów łańcucha Marowa : - ymrycza, - rzchodia z rówości Chamaa-Kołmogorowa. Zbiór aów C azywamy zamięym, żli żad a oza C i da ię oiągąć wychodząc z dowolgo au w C. Sa am iioym chwilowym gdy ii a oiągaly z au a a i oiągaly z au, Sa, óry i iioy azywa ię ioy owracaący. Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa,5,5 [ ] [ ] [ ],5 [ ], 5 [ 4],5 Jgo macirz P ma oać,5,5,75 Say i 4 ą iio. Say, i ą io. Zbiór aów {,, } zamięy.,5,75,5,5,5,5,5,5,5,5 Podyczy a zamięy mui być azywamy am ochłaiaącym. Sa odbiaący gdy. Sa odbiaący moż być zarówo chwilowy a i owracaący. Łańcuch Marowa irzywidly, gdy wzyi go ay wzami omuiuą ię, w rzciwym rzyadu łańcuch rzywidly. Macirz wadraowa rzywidla śli ii rmuaca w liczby wirzy i olum o ych amych umrach, óra ozwala ą zaiać w oaci P, gdzi P, P o macirz wadraow A P 5

26 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych W rzciwym rzyadu macirz irzywidla. Przy badaiu woluci łańcucha Marowa w czai chcmy widzić, do órych aów łańcuch owraca iończi wil razy, a ór o wym czai ouzcza bzowroi. Nich F będzi rawdoodobińwm, ż łańcuch wychodząc z au dorz idyolwi do au. F P U Jśli f - rawdoodobińwo, ż wychodząc z au łańcuch dodzi o raz irwzy do au w -ym rou f P,...,, o F f Zam a : a Powracaący ioy, gdy F. b Chwilowym iioy gdy F < <. Dla au owracaącgo moża orślić śrdi cza irwzgo owrou Jśli o a zrowy. f Twirdzi. Waruim oiczym i doaczym a o aby a owracaący był zrowy aby lcz lim Twirdzi. W irzywidlym łańcuchu Marowa wzyi ay ą go amgo yu: żli d owracaący chwilowy o wzyi ą owracaąc chwilow. Dlago możmy mówić, ż łańcuch. owracaący. Twirdzi. W dorodym ończoym łańcuchu Marowa a ii co ami d a owracaący, b i ma aów owracaących zrowych. Twirdzi. Przrzń aów S łańcucha Marowa moża dozaczi rzdawić w oaci umy: S T S S... gdzi T - zbiór aów chwilowych iioych, S i - irzywidl zamię zbiory aów owracaących ioych. Wśród ich mogą być odzbiory dolmow aów ochłaiaących. 6

27 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Łańcuchy orow. Orm au owracaącgo azywamy liczbę: o NWD: > o awięzy wóly dzili aich liczb, ż owró do au moż aąić o roach. Sa azywamy orowym gdy ma or więzy od i iorowym gdy ma or. Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa [ ] [ ] [ ] [ ] Jgo macirz P ma oać Wzyi ay maą or 4. P Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa Jgo macirz P ma oać,5,5 [ ],75 [ ],75 [ ] [ ] Wzyi ay maą or. Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa,75 P,75,5,5,5 [ ],75 [ ] [ ] [ ] Jgo macirz P ma oać Wzyi ay maą or.,75 P,5 7

28 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa,5 [ ],75 [ ] [ ] [ ] [ 4] Jgo macirz P ma oać,75,5 Say i maą or, Say, i 4 maą or. J o możliw bo rozaryway łańcuch rzywidly. Twirdzi. W ończoym irzywidlym łańcuchu Marowa wzyi ay maą am or. Zam irzywidly łańcuch Marowa azywamy orowym, gdy go ay maą or więzy od, w rzciwym rzyadu łańcuch azywamy iorowym. Sa, óry owracaący, izrowy i iorowy azywa ię rgodyczy. Łańcuch rgodyczy. Łańcuch rgodyczy śli ii lim i π Rozład Π azywamy rozładm graiczym. π Π Π, Π,... Łańcuch acoary. Jdorody łańcuch Marowa acoary gdy ii rozład Π go aów, zway rozładm acoarym, ż ΠP Π z. Π worm właym macirzy P dla warości wła. Zam dla dowolgo, ΠP Π, ozacza o, ż śli rozład ocząowy rówy Π, o rozład łańcucha o dowol liczbi roów ai am i rówy Π. Jśli macirz P łańcucha irozładala o rozład acoary doładi d. Jśli macirz P łańcucha rozładala o rozładów acoarych więc iż d. W łańcuchu rgodyczym rozład acoary graiczy i zalży od rozładu ocząowgo. Uwaga. rgodyczy acoary Odwroa imliaca i mui zachodzić. 8

29 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Rozarzmy łańcuch Marowa [ ] [ ] [ ] Jgo macirz P ma oać P Wzyi ay maą or. Zauważmy, ż wilomia chararyyczy macirzy ma oać W i i i warości wła ą rów:,,. Poiważ wzyi warości wła maa moduł i doroą warością właą o rozarywaa macirz irozładala i cylicza. Łańcuch acoary, go rozładm acoarym /, /, /. Rozład moża wyzaczyć I lub II oobm obliczaia rozładów graiczych. Kol oęgi macirzy P ą rów P P, 4 P P, P P P dla,,,... Zauważmy, ż żada oluma P i łada ię wyłączi z lmów dodaich. Rozład graiczy i ii. Wźmy. rozład ocząowy,,. Obliczo rawdoodobińwa zawioo w abli i rzdawioo a wyri dla,..., 8. \ Sa Sa Sa a a a,, 8, 6, 4,

30 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Ja widać lim i ii dla żad wółrzęd dla żadgo au. Wio. Iii rozładu acoargo i imliu, ż łańcuch rgodyczy. Każdy łańcuch o ończo liczbi aów acoary. Przyład. Rozarzmy łańcuch o macirzy P rów,5,5,5,5 Łańcuch i rgodyczy. Zauważmy, ż rozłady /, /,, ;,, /, /; /4, /4, /4, /4 ą acoar rozładów acoarych moż być więc iż d bo rozarywaa macirz rozładala. Twirdzi. Dla irzywidlgo, iorowgo łańcucha Marowa dla órgo ii rozład acoary Π mamy: a łańcuch owracaący, b łańcuch rgodyczy, c rozład acoary dyy oraz π /, gdzi śrdim czam owrou łańcucha do au. Podumowai layfiaci: ay owracaąc chwilow izrow zrow rgodycz orow orow iorow Przyład. Rozarzmy łańcuch o macirzy P rów / P / / Say i ą io. Sa iioy. / / / /

31 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Rozarzmy łańcuch o macirzy P rów, P,,5,5 Wzyi ay ą io i worzą dą laę.,9,7,46,45,9 Zauważmy, ż P,5,45,,5,5,8 J o łańcuch irzywidly. Wyzacz rozład acoary go łańcucha. Czy o łańcuch rgodyczy? Czy orzymay rozład acoary rozładm graiczym? Przyład. Rozarzmy łańcuch o macirzy P rów / / / 4 / 4 /8 7 / 8 / 4 / 4 Wzyi ay ą orow maą or. Wyzacz rozład acoary go łańcucha. Przyład. Rozarzmy łańcuch o macirzy P rów,5,5,5,5 Wyzacz graf go łańcucha. Jai ą domię lay go łańcucha?, Czy o łańcuch irzywidly? Czy łańcuch ma ay orow? Czy wzyi ay ą orow?. Srawdź, ż lim P i ii i żada oluma P i łada ię wyłączi z lmów dodaich. Przyład. Rozarzmy łańcuch o macirzy P rów Wzyi ay ą zrow, owracaąc. 4

32 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Rzucamy ymryczą czworością oą a ściaach liczby,,, 4. Rozarumy łańcuch Marowa orśloy ao ciąg maymalych wyiów ośród rzuów,,,...,. Srawdź, ż łańcuch ma macirz P rówą,5,5,5,5,5,5,5,75,5 Wyzacz graf go łańcucha. Czy łańcuch ma ay orow? Przyład. Gracz A i B rozoczyaą grę z aiałm zł ażdy. W ażd arii gracz A wygrywa z rawdoodobińwm,6, gracz B wygrywa z rawdoodobińwm,4. Po ażd arii rzgrywaący łaci wygrywaącmu zł. a ai rawdoodobińwo, ż gra zaończy ię o ariach? b ai rawdoodobińwo, ż o 4 ariach aiał ażdgo gracza wyii zł? c Il wyoi warość ocziwaa aiału gracza A o ariach? Przymimy, ż ay rocu o aiał w oiadaiu gracza A czyli {,,,, 4}. Macirz P ma oać,4,6,4,6,4,6 Say i ą ochłaiaąc oiągięci órgoś z ych aów ozacza barucwo dgo z graczy. Do ai lay alżą ozoał ay? Naryu odowidi graf. Rozład ocząowy [,,,, ]. Ad. a P [,6;,,48,,,6], zam rawdoodobińwo zaończia gry o ariach wyoi 4,6,6,5. Ad. b 4 P 4 [,68;,,4,,,58, zam rawdoodobińwo, ż ażdy z graczy ma o zł o 4 ariach wyoi 4,4. Ad. c a odawi [,6;,,48,,,6], obliczamy warość ocziwaą aiału gracza A o ariach:,48 zł,6 4zł,4zł. Zam gdyby gracz wiloroi rozgrali o ari maąc ocząowo o zł, o rzcięa wygraa gracza A wyoiłaby 4 gr. Przyład. Jśli ciąg zmiych loowych,,,,... łańcuchm Marowa o macirzy P, o ciąg zmiych loowych,, 4,... łańcuchm Marowa o macirzy P. Wazówa. Nalży orzyać z rówości Chamaa-Kołmogorowa. Zadai. Uzaadi właość: Jśli łańcuch ma dwa róż rozłady acoar o i moż być łańcuchm rgodyczym.

33 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Dyr rocy Marowa. Rozarumy roc ochayczy, w órym aramr ciągły zwyl. Będzimy załadać, ż zbiór aów co awyż rzliczaly. Proc, rocm Marowa, śli dla dowolgo, dla dowolych chwil czau < <...<, oraz dowolych aów x, y, x,..., x łioa zalżość: P { y x, x x } P{ y x},..., Proc Marowa dorody w czai, żli dla dowolych aów x, y oraz chwil czau < mamy P y x x, y, { } co ozacza, ż rawdoodobińwo rzścia z au x do au y w czai od momu do momu zalży ylo od różicy -, a i zalży od momu wyściowgo. Przymimy ozaczi P{ i}, gdzi -, >. Nich P [ i ] macirz rawdoodobińw rzścia i,,,..., N dla ończo liczby aów. P N J o macirz ochaycza. Zalżość N i N N NN azywamy rówaim Chamaa - Kołmogorowa. Wyia z i, ż i P P P P P Załadamy, ż fuc i ą ciągł w uci. dla i lim i dla i Wdy ą ciągł w dowolym iym uci. ii ' Ii ż chociaż moż być iończoa graica lim ii i ' oraz ończoa graica lim i Dla wygody rzymimy ozaczia dla i ' ii i i dla i i

34 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Wilości azywamy iywościami rzścia z au i do au gdy iywościami wyścia z au i do ozoałych aów gdy i. i ' Poiważ lim i i, o i dla rzścia z au i do au, oraz dla małych mamy, i i i, oraz i ą gęościami rawdoodobińwa co ozacza, ż dla małych rawdoodobińwo rzścia z au i do au roorcoal do, wółczyiim roorcoalości iywość i. Dal będzimy rozarywali dorod rocy Marowa, dla órych wzyi iywości ą ończo. Tai roc łia rówaia Kołmogorowa: d i * i, i, dla ualogo i d rówai royw - odoi ię do rzyzłości d i ** ii i, i, dla ualogo d i rówai rroyw - odoi ię do rzzłości rzy waruach ocząowych i,i, i, dla i. Jśli orślimy macirz Λ o lmach rówym iywościom i,,,..., N dla ończo liczby aów ii i dla i dla i Λ N N N N NN macirz iywości, o możmy owyżz ułady rówań zaiać w oaci macirzow: d * P' P Λ czyli P P Λ d oraz d ** P' Λ P czyli P ΛP d W zaoowaiach części ou ię rówai royw. 4

35 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych dowód Dla rówaia roywgo. W rówaiu Chamaa - Kołmogorowa odawiamy i i i aęi od obu ro odmumy i i dzilimy obi roy orzyma rówości rzz i i [ ] i i Załadaąc, ż rozarywa iywości iią, gdy rzdzimy do graicy wdy o uwzględiiu ii ' i ' lim ii ii lim i i orzymamy royw rówai Kołmogorowa. Dla rówaia rroywgo. Aalogiczi w rówaiu Chamaa - Kołmogorowa odawiamy, aęi od obu ro odmumy i i dzilimy obi roy orzyma rówości rzz i rzchodzimy do graicy. Ozaczaąc i P{ i} mamy czau orzymamy iy zai rówaia roywgo d i i o zróżiczowaiu względm ***,,... d i Przymuąc [,,...] wor rozładu rocu w momci i macirz ii dla i Λ o lmach rówym iywościom macirz iywości i dla i możmy owyżzy uład rówań zaiać w oaci worow: i ' Λ czyli Λ i d d Rozwiązai go rówaia ma oać Λ Przyład. Naryować graf i wyzaczyć rówaia royw Kołmogorowa rocu Marowa o macirzy iywości: Λ 4 7 5

36 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych [ ] [ ] [ ] 4 d d d 4 d d 7 d Prayczy oób worzia aich rówań a odawi grafu aęuący: - iczba rówań rówa liczbi aów, - wa roa ażdgo rówaia o ochoda rawdoodobińwa dago au, - Prawa roa ma yl ładiów il rawędzi grafu związaych z daym wirzchołim, - Srzałom wchodzącym odowiada ładi rówy iywości rzy rzałc omożo rzz rawdoodobińwo au z órgo oa wychodzi, - Srzałom wychodzącym odowiada ładi rówy iywości rzy rzałc omożo rzz rawdoodobińwo au do órgo oa dochodzi orzdzoy zaim miu oiważ rzałi wychodzą z dgo au, o iywości moża zumować. Macirzą iywości azywamy ażdą macirz Λ aą, ż: a lmy ozadiagoal ą ium, b lmy diagoal ą idodai, c uma lmów w ażdym wirzu wyoi. Uwaga. Jśli Λ macirzą iywości o macirz P Λ I m gdzi -m < amizym lmm macirzy Λ lży a głów rzą Λ macirzą ochayczą. Warości wła macirzy iywości maą zawz moduł i więzy iż m, ich część rzczywia miści ię w rzdzial [-m, ]. 6

37 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 7 Przyład. Jśli Λ o m, zam,5,5,5,5 P Warości wła macirzy Λ ą rów ; -; -. Warości wła macirzy P ą rów ; -,5;,5. Poiważ uład rówań Kołmogorowa * moża zaiać ż w oaci macirzow: Λ P P d d z waruim ocząowym P I, o rozwiązai moża zaiać w oaci wyładicz P Λ gdzi...!! Λ Λ Λ Λ I W roych rzyadach rozwiązai uładu rówań ' Λ moża wyzaczyć modą rzzałcia alac'a. Przyład. Sym łada ię z dgo lmu odawowgo i dwóch lmów zaaowych. Elm odawowy obciążoy i u ię z iywością. Elmy zaaow ą iobciążo i i uą ię. Gdy ou ię lm odawowy go fuc rzmu lm zaaowy i wdy u ię z iywością. Sym rza racować z chwilą oucia ię wzyich lmów. Nich będzi rocm ozaczaącym liczbę zuych lmów w czai. Przymimy, ż rozład ocząowy ma oać [,,, ]. Naryumy graf rocu i go macirz iywości. Rozwiązuąc rówai Kołmogorowa wyzaczymy wor i rozład graiczy. [ ] [ ] [ ] [ ] Λ Uład ' Λ zaiumy o wółrzędych w oaci

38 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 8 Pochod raformumy wg wzoru: ˆ f f f i orzymumy uład rówań ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Rozwiązuąc orzymay uład rówań wyzaczamy orygiały rraformay a odawi zalżości! w zczgólości ; ; ; Zauważmy, ż rawdoodobińwo, ż w chwili uład racu wyoi. Prawdoodobińwa graicz ą rów Π [,,, ]. Uwaga. Nich i - rawdoodobińwo, ż w chwili roc zadzi ię w ai i. Wdy N i i Nich,,..., N Wdy P Rozład graiczy, rgodyczość dla roców Marowa. lim Π Twirdzi. Macirz iywości Λ ma zawz warość właą rówą. Twirdzi. Rozład graiczy i zalży od rozładu ocząowgo macirz iywości Λ ma doroą warość właą rówą. Wdy odowiadaąca macirz ochaycza irozładala. Twirdzi. Jśli ończoa macirz iywości Λ ma oza rząą ylo dodai lmy o roc rgodyczy i ma dodai rawdoodobińwa graicz. Dwa ooby wyzaczaia rozładu graiczgo orślaą aęuąc wirdzia:

39 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Twirdzi. Rozład graiczy Π izrowym rozwiązaim uładu ΠΛ łiaącym waru uormowaia uma ładowych zro. Rówai ΠΛ wyia z rówaia różiczowgo d d Λ, bowim śli ii rozład graiczy o i zalży o od zam go ochoda o rówa zro. Twirdzi. Rozład graiczy Π moża wyzaczyć za omocą dołiń algbraiczych M lmów z rzą macirzy -Λ: Π Przyład. Naryować graf i wyzaczyć rozład graiczy rocu Marowa o macirzy iywości: M M 5 Λ 4 6 [ ] [ ] [ ] 4 od. [4/49; 4/49; /49] Przyład. Naryować graf i wyzaczyć rozład graiczy rocu Marowa o macirzy iywości: 6 4 Λ 4 7 Przymuąc, ż roc ma ay,, ; obliczyć graiczą warość ocziwaą. Czy o roc rgodyczy? Przyład. 9

40 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przymuąc, ż roc ma ay,,, ; aryować graf i wyzaczyć rozład graiczy rocu Marowa o macirzy iywości: Λ 6 Wyiać rówaia Kołmogorowa go rocu. Obliczyć graiczą warość ocziwaą. Od. [5/7; 7/7; 8/7; /7],. Przyład. Proc Marowa orśloy grafm [ ] [ ] [ ] Wyzaczyć go macirz iywości i rówaia Kołmogorowa. Wyzaczyć wor dla rozładu ocząowgo,,. Wyzaczyć rozład graiczy. Po aim czai oiągi warość,5? Czy idyolwi? Przyład. Proc Marowa orśloy grafm 4 [ ] [ ] [ ] [ ] 4 Wyzaczyć go macirz iywości i rówaia Kołmogorowa. Wyzaczyć rozład graiczy go rocu. Obliczyć graiczą warość ocziwaą. Od. [,4;,4;,7;,], o.,75. Przyład. Srawdź, ż śli roc Marowa ma macirz iywości: Λ a b a b gdzi a, b, a b > o go macirz rawdoodobińw rzść rówa P ab ab b a a a ab a b a b b b a b Wyzaczyć wor dla rozładu ocząowgo,. Wyzaczyć rozład graiczy. 4

41 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Proc Poioa. Proc {N, } azywamy rocm zliczaącym śli N ozacza całowią liczbę badaych zdarzń zaobrwowaych do chwili. Proc zliczaący mui łiać warui: N, N rzymu ylo całowi właości, Jśli < o N N, 4 Dla < N - N rów liczbi zdarzń zaobrwowaych w rzdzial, ], Proc zliczaący rocm o rzyroach izalżych śli rozłady liczby zdarzń obrwowaych w rozłączych rzdziałach czau ą izalż,. N i zalży od N - N. Uwaga. Każdy roc o rzyroach izalżych rocm Marowa. Proc zliczaący rocm dorodym w czai gdy rozład liczby zaobrwowaych zdarzń w rzdzial czau zalży ylo od długości go rzdziału,. N - N ma ai am rozład a N - N. Proc Poioa dorodym rocm Marowa o rzyroach izalżych o rozładzi. P P P τ τ!,,... - iywość rocu, > aramry rocu Poioa: m, K, mi,, Uzaadii. Poiważ m E P o! ρ, dla dla < P!! 4

42 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 4 P E!!!!!!! Zam E E D Z dorodości rocu dla < mamy, zam ąd i z izalżości orzymamy [ ], E E E E E E E R, R ogóli <, R dla dla Sąd dla dla dla dla mi,, m m R, K < < oraz < < D D, K, dla dla dla dla ρ Zauważmy, ż, ą zawz dodaio orlowa i iła zalżości między imi zaczi ada gdy da z chwil wiloroi więza od drugi. Przyłady zawi modlowaych rocm Poioa.

43 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych - liczba wymiowaych czą rzz ciało romiiowórcz w wym rzdzial czau, - liczba awarii ymu omuiacygo romiiowórcz w wym rzdzial czau, - liczba zgłozń do oralu irowgo w wym rzdzial czau, Uwaga. f h Fuca f ma właość oh śli lim. h h Ia rówoważa dfiica rocu Poioa. Proc zliczaący rocm Poioa o iywości > gdy: a, b acoary i ma rzyroy izalż, c P { } o, d P { } o Graf rocu Poioa aęuący [ ] [ ] [ ] [ ] [ 4] [ 5] Macirz iywości rocu Poioa ma oać Λ Przymuąc,,... wor rozładu rocu w momci, o rówai Kołmogorowa ' Λ zaiumy o wółrzędych w oaci Przymumy rozład ocząowy,,,... Rozwiązaim go uładu czyli! 4

44 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 44...,!...,,!,!, zauważmy, ż uma lmów go wora wyoi d. Zam dowymiarowy rozład go rocu z. rozład w dowol ualo chwili wyzaczoy rzz rozład Poioa. Uzaadii. Soób I. Pochod i fuc raformumy wg wzoru: ˆ f f f, ˆ f f i orzymumy uład rówań... ˆ ˆ ˆ... ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Rozwiązumy orzymay uład rówań. Z irwzgo rówaia wyzaczamy ˆ i rzz odawiai wyzaczamy olo ˆ, ˆ,..., ˆ,... Naęi wyzaczamy orygiały rraformay a odawi zalżości!... ;!...; ;! ; ; Soób II. Rozarumy fucę worzącą wora rozładu,,... Ψ, Jśli omożymy ozczgól rówaia różiczow rozarywago uładu odowidio rzz,,,...,,... i dodamy roami o orzymamy zalżość, Ψ Poiważ

45 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 45 Ψ, o orówuąc owyżz rówości orzymamy rówai różiczow,, Ψ Ψ z waruim ocząowym, Ψ Rozwiązaim go rówaia fuca Ψ, Rozwiaąc drugi czyi w zrg oęgowy orzymamy Ψ!!, cz Ψ,, więc orówuąc wółczyii rzy ozczgólych oęgach zmi, orzymamy a orzdio... ;!...; ;! ; ; Problm. T - cza irwzgo zgłozia, T - cza między - a -ym zgłozim, Wyzaczyć rozład ych zmiych loowych. Rozwiązai. {T > } ozacza zdarzi, ż i było zgłozia w [, ], P T P > zam F T P < dyrybuaa rozładu wyładiczgo. Naęi zauważmy, ż z izalżości wyia { } { } w ozń zg bra P T w ozń zg P bra T T P > ], ], ł ł Zam T ż ma rozład wyładiczy i izalży od T. Id. Wio. Odęy czau między olymi zmiaami aów w dorodym roci Poioa ą izalżymi zmiymi loowymi o ym amym rozładzi wyładiczym: > < dla dla T P

46 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Paramry go rozładu o ET, D T. Twirdzi. Suma ończo liczby izalżych roców Poioa rocm Poioa, órgo aramr umą aramrów ozczgólych roców. Przyładowa ralizaca rocu Poioa dla 4. cza a,,,,8 -,4,9,,8,48,4,6,9,76 4,9 4,77, 5,8 6,6,9 6,9 7,46,45 7,9 8,,6 8,9 8,97,64 9 4, 9,,77 4,4 9,76,47 6,74,,85 8, 4,79, 8,59 5,54,7 4 8,78 5,79,6 5,6 8,,8 6, 9,,88 7,59 9,47 4, 8,99 9,99 4,7 9,6, 5,6 6, 5, 5,88 8,67 8,7 5,96 8,96 8,7 6, 9,6 8,97 6,9 4,5,6 6,94 5,5, 7,8 6,7 4,5 7,4 7 4,8 5,7 7,45 8 4,5 5,7 7,59 9 4,85 5,87 46

47 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 8, 6,74 8, ay R aliz aca rocu Poi o a 4 waroś ci rocu ś rdia - odch.. rdia odch..,,5,,5,,5,,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 9, c z a Uwaga. P i τ τ i P τ i P i i i! i dla < i, z. P [ ] τ i dla i,! i Przyład. Srawdzić, ż dla rocu Poioa zachodzi: P Przyład. Srawdzić, ż dla rocu Poioa rówaia Kołmogorowa maą oać: d i * i, i, dla ualogo i d d rówai royw i ** i, i, dla ualogo a ich rozwiązaim d rówai rroyw 47

48 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych i i i! Przyład. Srumiń zgłozń do ymu lomuiacygo rocm Poioa. Wiadomo, ż iywość go rocu wyoi zgł/mi. a obliczyć rawdoodobińwo wyąiia co awyż dgo zgłozia w ciągu ud, b obliczyć rawdoodobińwo wyąiia rzch zgłozń w ciągu ud, c obliczyć rawdoodobińwo, ż cza między olymi zgłoziami będzi więzy iż ud, d il ud wyoi śrdi cza ocziwaia a irwz zgłozi? Rozwiązai. Ad. a ud o,5 miuy, zam odczyuąc z ablicy rozłdu Poioa dla,5 mamy. P, 5, 5, 5 P, 5, 6 P P,,5, 558 Ad. b aalogiczi Ad. c T cza między zgłoziami. J o zmia loowa o rozładzi wyładiczym. Poiważ ud o, miuy dla,6 mamy. -,6 P T,,5488 odczy z ablicy dla,,6. Ad. d ET / /. Przyład. Srumiń awarii wgo ymu modloway rocm Poioa. Wiadomo, ż rzcięi da awaria zdarza ię raz a 5 godzi zam iywość go rocu wyoi, awarii/godz.. a obliczyć rawdoodobińwo wyąiia co awyż d awarii w ciągu godzi, b obliczyć rawdoodobińwo wyąiia co ami dwóch awarii w ciągu godzi, c obliczyć rawdoodobińwo bzawary racy w ciągu godzi, d obliczyć rawdoodobińwo, ż cza między olymi awariami będzi więzy iż godzi, obliczyć warość ocziwaą bzawarygo czau racy go ymu. Przyład. Wyzaczyć aramry i aryować rzyładowa ralizac rocu Z gdzi dorodym rocm Poioa o iywości. Przyład. Srawdź, ż dla dorodgo rocu Poioa o iywości zachodzi lim Wazówa. Zauważ, ż umą izalżych zmiych loowych, -, -,..., - -, o daowym rozładzi Poioa z aramrm. Nalży zaoować do go ciągu moc rawo wilich liczb. 48

49 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Przyład. Srawdź, ż macirz rawdoodobińw rzścia rocu rzłączaia między aami {-, } growago rocm Poioa, z. rocu Z Z, gdzi dorodym rocm Poioa o iywości ma oać Wazówa.,,,,! P l.iarzya,.,, Przyład. P Oblicz lim P gdzi dorodym rocm Poioa o iywości. P P Od. lim lim. P P - iywości urodzń, i,,... i - iywości śmirci,,,... Proc urodzń i śmirci. [ ] [ ] [ ]... i - rawdoodobińwo rzścia z au i do au o czai, i maą właości: i,i- i o, i,i i o, i,i - i i o, i,i o, dla i - > i łiaą uład rówań Kołmogorowa: di * i, i, i, d i warui ocząow i,i, i, dla i. Dal rozarumy roc urodzń i śmirci z ończoą liczbą aów,,..., N. N [ ] [ ] [ ] [ N] N Nich P [ i ] ochaycza macirz rzścia i,,,..., N

50 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 5 Proc urodzń i śmirci dorodym rocm Marowa. Dla rocu urodzń i śmirci macirz iywości ma oać: [ ] Λ N N N N N N i uład rówań Kołmogorowa moża zaiać w oaci macirzow: Λ P P d d Rozwiązai go rówaia ma oać P P Λ Gdzi...!! Λ Λ Λ Λ I Przymuąc,,..., N wor rozładu rocu w momci, o rówai Kołmogorowa ' Λ zaiumy o wółrzędych w oaci N N N N N Przymumy rozład ocząowy,,,... Uład rówań Kołmogorowa: Λ d d ma rozwiązai oaci Λ gdzi...!! Λ Λ Λ Λ I Uwaga. Proc urodzń i śmirci ma dla iywości dodaich rozład graiczy oaci: Π Π i i i ` i,,..., N gdzi Π N i i i......

51 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 5 Zauważmy, ż ładow wora rozładu graiczgo maą umę rówą. Dowód. Zaoumy oób irwzy. Rozarzmy rówai ΠΛ [ ] Π Π Π N N N N N N N czyli uład rówań Π Π Π Π Π Π Π Π Π Π N N N N Jśli rzyąć, ż z Π Π ; z Π Π ; id. o z N z z z z z ąd z i i rzymuąc Π ao aramr mamy z waruów uormowaia ozuiwa wzory. Uwaga. Jśli roc urodzń i śmirci ma rzliczalą liczbę aów, o rozład graiczy oaci Π Π i i i ` i,,... gdzi Π i i i załadamy, ż zrg i i i zbiży. Przyład. Nich i, i i, i,,..., gdzi >, daa ała. Zbada iii w ym rzyadu rawdoodobińw graiczych. Przyład roc urodzń. i - iywości urodzń, i,,...

52 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 5 [ ] [ ] [ ] [ ]... Dla rocu urodzń macirz iywości ma oać: [ ] Λ i Przymumy, ż,,... wor rozładu rocu w momci, oraz ocząowy,,,... Srawdź, ż rówai Kołmogorowa ' Λ ma dla go rocu oać Przyład roc Yul a. J o roc urodzń dla órgo iywości urodzń ą rów i i, i,,.... Przymumy, ż,,... wor rozładu rocu w momci, oraz ocząowy,,,,... Srawdź, ż rówai Kołmogorowa ' Λ ma dla go rocu oać K a rawdoodobińwa > dla dla łiaą o rówai. Przyład. W załadzi racuą mazyy, z órych ażda u ię izalżi od ozoałych z iywością mazyy/godz. Mazyy ą arawia rzz roboiów. Nich ozacza liczbę zuych mazy w chwili. Rozarzmy aęuąc rzyadi: ą mazyy i roboi racuący z iywością mazya/godz.

53 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych ą mazyy i roboiów racuących bz wółracy z iywością mazya/godz. ażdy. ą 4 mazyy i roboiów racuących bz wółracy z iywością mazya/godz. ażdy. 4 ą mazyy i roboiów racuących z łą wółracą z iywością mazya/godz. ażdy. 5 ą mazyy i roboiów racuących z łą wółracą z iywością mazya/godz. ażdy. 6 ą mazyy i roboiów racuących z ograiczoą wółracą z iywością mazya/godz. ażdy gdy racuą oobo i z iywością,5mazyy/godz. gdy racuą razm. W ażdym rzyadu: a aryować graf, b wyzaczyć rawdoodobińwa graicz, c obliczyć rawdoodobińwo graicz, ż żad roboi i racu, d obliczyć rawdoodobińwo graicz, ż rzyami da mazya rawa, obliczyć rawdoodobińwo graicz, ż rzyami da mazya cza a arawę, f obliczyć śrdia liczbę zuych mazy, g obliczyć śrdia liczbę zaęych roboiów. Ad., [,9;,64;,48;,5]; Ezm,8; Ezr,86. Ad. 4, [/6; /6; 6/6; 6/6]; Ezm,6; Ezr,8. SMO Symy maow obługi zaoowai rocu urodzń i śmirci - rzyłady: - crala lfoicza, - aca bzyowa, - aa bilowa, - ym iformayczy. Założia: - liczba aowi obługi, m - liczba mic w oczali. - rumiń zgłozń rocm Poioa z aramrm >, - cza obługi ma rozład wyładiczy z aramrm > iywość obługi, - aowia działaą izalżi, - zgłozia ór aąią gdy wzyi aowia obługi ą zaę rzchodzą do oczali śli, - śli wzyi aowia obługi ą zaę i wzyi mica w oczali ą zaę o zgłozi ouzcza SMO. - roc ochayczy ozaczaący liczbę liów w SMO w chwili, P,,,,... rozładm go rocu w chwili Naczęści iruą a rawdoodobińwa graicz C Π, C Π,..., C Π,... SMO z raami bz oczali, bz wółracy. < <, m iywość zgłozń, i 5

54 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 54 iywość obługi - go aowia, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]... Prawdoodobińwa graicz wzory Erlaga:!!!...!! Π C gdzi!! C C C Π `,,...,. Wzory wyiaą bzośrdio z wzorów a rozład graiczy dla rocu urodzń i śmirci bowim:!...!! C czyiów Π Zauważmy, ż C!!!...!!! i możąc liczi oraz miaowi rzz widzimy, ż ozczgól ładii ą rów fuci rawdoodobińwa rozładu Poioa z aramrm

55 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych C!! P P!!!...!,,,...,. zam możmy wyzaczać warości C za omocą ablic rozładu Poioa P P P fucą rawdoodobińwa rozładu Poioa z aramrm. Uwaga Jśli dyoumy umulowaym RPS i iumulowaym RPN rozładm Poioa. fuca ECEA o RPN C. RPS Prawdoodobińwo odmowy P odm C. Prawdoodobińwo obługi P obł - C. Śrdia graicza liczba zaęych aowi obługi.... C C... C m z lim E i i C i! Jśli o W ym rzyadu i C i C C C C!... C Uwaga C! C C C m C C C P. z C `. odm P Przyład. Rozarumy SMO z raami, bz wółracy, 5, wyzaczymy rawdoodobińwa graicz dla różych warości obługi i śrdi liczby zaęych aowi od. i zbadamy zalżość rawdoodobińwa odmowy obł 55

56 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych W ozczgólych olumach wia ą rawdoodobińwa graicz dla warości oda w agłówu olumy. Pod ablą odao śrdi liczby zaęych aowi. alfa,5,,5,5 5 7,95,9484,6654,68,4,76,545,94,,68,4756,948,7,68,69,75,64,5469,,677,9,45,758,845,54,75,4457,674,749,84,,5,64,65,67,849,4457,789,75,79 4,,,58,54,478,974,84,8487,7,898 5,,,6,7,48,67,5,8487,447,5695 m z,5,,4999,9969,4787,966,6698, ,696 4,6 Dla ięciu wybraych warości rozłady graicz zilurowao graficzi. rawdoodobińwa graicz,,8,6,4,, z alż ość raw doodobińw graicz ych od alfa 5 alfa,5 alfa,5 alfa,5 alfa alfa ay Zauważmy, ż wraz z wzrom alfy rośi rawdoodobińwo, ż zaęa będzi więza liczba aowi. Na drugim wyri rzdawioo zalżość rawdoodobińwa odmowy obługi C 5 od alfa. Wzro iywości zgłozń w ouu do iywości obługi z. wzro owodu wzro rawdoodobińwa odmowy obługi.,6 zalżość -wa odmowy od alfa 5 rawdoodobińwo odmowy,5,4,,,, alfa

57 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Na rzcim wyri rzdawioo zalżość śrdi liczby zaęych aowi m z od alfa. Wzro owodu wzro śrdi liczby zaęych aowi. SMO z raami bz oczali, z łą wółracą. < <, m iywość obługi - go aowia, [ ] [ ] [ ]... [ ] [ ] Prawdoodobińwa graicz: C β β... β β β gdzi β C β gdy gdy β β C `,,..., Prawdoodobińwo odmowy obługi o P odm C. SMO z ograiczoymi raami, bz wółracy. m > śrdia liczba zaęych aowi 5 4,5 4,5,5,5,5 aowia obługi zalżość śrdi liczby zaęych aowi od alfa alfa oczalia 57

58 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych 58 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m m Prawdoodobińwa graicz:...!!...!! m C β β β gdzi, β zam!!!! β β β β β gdy m gdy C m! C C `,,..., C C β `,,..., m Uwaga. dla,,,...,!!! β β β β β β β β gdy m P P P gdy P P P C m m zam do obliczń moża wyorzyać ablic rozładu Poioa. SMO z ograiczoymi raami, z łą wółracą. m > aowia obługi oczalia

59 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] Prawdoodobińwa graicz: C β β... β m m β β m gdzi β gdy β gdy β C β C `,,..., m Prawdoodobińwo odmowy obługi P odm C m. SMO bz ra iończi wil aowi, bz wółracy., iywość zgłozń, iywość obługi - go aowia, i [ ] [ ]... [ ] [ ]... Prawdoodobińwa graicz: C gdzi! C C C `,,...,,...!! Uwaga. C P `,,,...,,...! zam do obliczń moża wyorzyać ablic rozładu Poioa. Uwaga. T y SMO i moż być rozaryway z łą wółracą obługi. SMO bz ra iończi długa ola, bz wółracy. 59

60 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych m aowia obługi oczalia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m]... Prawdoodobińwa graicz: załadamy, ż C! C β C β!! β < waru iiia rawdoodobińw graiczych zam C β C `,,..., `,,... Uwaga. dla,,,..., C!!! β β P β P P β Uwaga. Podobi dla β < moża rozarywać rzyad SMO z iończoą oczalią i łą wółracą aowi. Wdy C ; C β C β β... β `,,... SMO bz ra zgłozia icirliw, bz wółracy. m T cza ocziwaia w olc, ν - iywość icirliwości, aowia obługi ν gdy > P T < gdy oczalia [ ] [ ]... [ ] ν [... ] mν [ m]... Prawdoodobińwa graicz: 6

61 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych C!! ν... m ν ν ν... mν załadamy, ż owyżzy zrg zbiży. Zam... C! C! C C `,,..., C C ν ν... `,,... Chararyyi SMO. m l - śrdia liczba liów w SMO. obł. lub oczalia, m - śrdia długość oli, m z - śrdia liczba zaęych aowi, SMO z ograiczoymi raami, bz wółracy. Y - liczba zaęych aowi obługi, Y... - C C... C - C C... C m m z EY - C m Z - liczba zaęych mic w oczali, Z... m C... C m C i i P obł 6

62 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych m EZ C C m m m β β m β mβ m dla dla β β - liczba zgłozń w SMO, Y Z, Zam m l E EY EZ m z m Wio. Jśli m bra oczali o EZ, E EY - C Wio. Jśli m o C m gdy m EZ oraz C β EY y - śrdi cza rzbywaia w SMO, y m l / ol - śrdi cza rzbywaia w olc, ol m / Nich m wdy β < Z - cza ocziwaia zgłozia w olc. dla z < PZ > z C z β dla z β Prioryy obługi: FIFO fir i fir of, SIRO lcio i radom ordr, IFO la i fir ou. Rozaryway rzz a riory o FIFO. Klayfiaca ol. β 6

63 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Klayfiaca Kdalla: / / : N, m, - rozład czau między olymi zgłoziami, - rozład czau obługi dgo zgłozia, - liczba aowi obługi, N - liczbość obługiwa oulaci, m - liczba mic w oczali. Dla rozładów, rzyęo m i. ozaczia: D - rozład drmiiyczy rów odęy czau, M - rozład wyładiczy, G - dowoly rozład, Rozaryway rzz a marowi SMO ma ozaczi M/M/ :, m Przyład. Rozarumy SMO z raami, bz wółracy, zgł./h; 4 zgł./h /,5. Wyzacz miimalą liczbę aowi obługi a aby P odm <,5. Soób I. Rozarumy a rzyład. C! 8 Nalży zam zwięzyć. Rozarumy. 8 C C! 4 C C! > 48 C!! wdy C C C C C C! 79! 79! 79 Poiważ C P odm /79 <,5 zam owiy być rzyami aowia. Soób II z wyorzyaim ablic rozładu Poioa Rozarumy a rzyład. C P P P P <,758,665,,758,5,5 P,5 P,5 Nalży zam zwięzyć. Rozarumy. C P,6,665,,758,6,5 P,5 P,5 P,5 P,5 Poiważ C P odm,6 <,5 zam owiy być rzyami aowia. Przyład. Rozarumy SMO z dym aowiim obługi. Zbadamy a zmiia ię P odm dla różych warości gdy długość oczali rośi od m do m.,5,5,77,6 6

64 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych W ym rzyadu β. Pozczgól olumy zawiraą P odm dla ualogo β i różych m. ba,,9,5,,7 m Podm Podm Podm Podm Podm,8,477,6,6774,797,647,989,477,587,66,9,,454,55,647,57,6,89,57,64 4,7,6,654,5,6 5,5,9,54,567,6 6,,84,469,55,699 7,,7,4,545,697 8,,595,9,54,697 9,,58,7,54,696,,47,59,59,696 Podm,8,7,6,5,4,,,, Zalżość Podm od m dla różych ba ba, ba,9 ba,5 ba, ba, długość oczali Ja widać P odm mal gdy rośi liczba mic w oczali. Zadai. Rozarumy SMO z raami, bz wółracy, śrdio lici zgłazaą ię co miu, a śrdi cza obługi dgo lia wyoi 5 miu. Wyzacz miimalą liczbę aowi obługi a aby P odm <,. Dla a wyzaczo liczby aowi oblicz rawdoodobińwo: - go, ż w SMO i ma liów, - go, ż w SMO rzyami d li, - go, ż w SMO awyż d li, - go, ż cza między olymi zgłoziami rzracza,5 godziy, Wyzacz śrdią liczbę liów w SMO. Wyzacz śrdią liczbę zaęych aowi. Od., m z,5. Zadai. Rozarumy SMO z raami z dym aowiim obługi. Wiadomo, ż rawdoodobińwa odmowy obługi wyoi,75 oraz, ż śrdio lici zgłazaą ię co miu. Il wyoi śrdi cza obługi dgo lia w ym SMO? Od. miu 64

65 .Kowali Wybra zagadiia z roców ochayczych Zadai. Rozarumy SMO z raami, bz wółracy z dwoma aowiami obługi. Wiadomo, ż rawdoodobińwa odmowy obługi wyoi, oraz, ż śrdi cza obługi dgo lia w ym SMO wyoi miu. Il wyoi iywość zgłozń w ym SMO? Od. więc 6zgł/godz Zadai 4. Rozarumy SMO z raami, bz wółracy. Wiadomo, ż iywość zgłozń rówa iywości obługi. Śrdia liczba zaęych aowi wyoi a,5 b,8 Il aowi obługi w ym SMO? Od. a b Zadai 5. Rozarumy SMO z ograiczoymi raami, bz wółracy z dym aowiim obługi i dym micm w oczali.. Wiadomo, ż iywość zgłozń rówa iywości obługi. Wyzacz P odm i m z. Od. C C C / więc P odm / i m z / Zadai 6. Rozarumy SMO z ograiczoymi raami, bz wółracy, śrdio lici zgłazaą ię co miu, a śrdi cza obługi dgo lia wyoi rówiż miu. W oczali ą mica. Wyzacz miimalą liczbę aowi obługi a aby P odm <,. Dla a wyzaczo liczby aowi oblicz rawdoodobińwo: - go, ż w SMO i ma liów, - go, ż w SMO rzyami dwóch liów, - go, ż w oczali awyż d li, Wyzacz śrdią liczbę liów w SMO. Wyzacz śrdią liczbę zaęych aowi. Wyzacz śrdią liczbę zaęych mic w oczali. Od. 4, m z,999. Zadai 7. Rozarumy SMO bz ra iończoa oczalia, mamy dwa aały obługi bz wółracy, śrdio lici zgłazaą ię co 5 miu, a śrdi cza obługi dgo lia wyoi rówiż 5 miu. Oblicz rawdoodobińwo: - go, ż w SMO i ma liów, - go, ż w SMO rzyami dwóch liów, - go, ż w oczali awyż rzch liów, Wyzacz śrdią liczbę liów w SMO. Wyzacz śrdią liczbę zaęych aowi. Wyzacz śrdią liczbę zaęych mic w oczali. Od. m z, m /. Zadaia owórziow z roców ochayczych. Zadai. Wyzaczyć aramry rocu A B, gdzi A, B o zmi loow iorlowa. A ma rozład Poioa z aramrm, B zmią loową oową o fuci rawdoodobińwa: PB -,5; PB,5; PB,5 Zadai. 65