Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki"

Transkrypt

1 Wykład 1 Wybrane problemy algorytmiki mgr Agnieszka Zbrzezny IPI PAN mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

2 Literatura 1 Jewels of stringology World Scientific, 2002, W. Rytter, M.Crochemorer 2 Text algorithms Oxford University Press 1994, W. Rytter, M. Crochemore mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

3 Słowa Fibbonacciego Słowa Fibonacciego sa słowami nad alfabetem Σ = {a, b} zdefiniowanymi rekurencyjnie jako: Fib n = Fib 0 = a Fib 1 = ab Fib n+2 = Fib n+1 Fib n mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

4 Słowa Fibbonacciego Poczatkowe słowa Fibonacciego: Fib 0 = a Fib 1 = ab Fib 2 = aba Fib 3 = abaab Fib 4 = abaababa Fib 5 = abaababaabaab Fib 6 = abaababaabaababaababa Fib 7 = abaababaabaababaababaabaababaabaab mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

5 Słowa Fibbonacciego Jeśli h : Σ Σ jest morfizmem takim, że h(a) zaczyna się od litery a, to h (a) jest nieskończonym słowem, którego prefiksami sa wszystkie słowa postaci h n (a). Piszemy wtedy również h (a) = lim n h n (a). mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

6 Słowa Fibbonacciego h : a ab, b a: mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

7 Własności słów Fibbonacciego: Po obcięciu dwóch ostatnich liter każde skończone słowo Fibonacciego jest palindromem (jest symetryczne). mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

8 Własności słów Fibbonacciego: Dwa kolejne skończone słowa Fibonacciego sa przemienne Fib n Fib n 1 = Fib n 1 Fib n z dokładnościa do zamiany dwóch ostatnich liter. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

9 Algorytm generowania słów Fibonacciego: Algorytm ten polega na wstawieniu w pierwsze wolne miejsce a, po czym wstawieniu b w odległości 1 dla pierwszego a, 2 dla drugiego a,..., n dla n-tego a. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

10 Algorytm generowania słów Fibonacciego: mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

11 Gra Wythoffa Nim jest to stara chińska gra (nazywana tam Jianshizi, czyli gra w zabieranie kamieni ) dla dwóch osób z użyciem 15 do 60 pionków. Zasady Pionki dzieli się na kupki dowolnej, parami różnej wielkości. Kupek powinno być co najmniej trzy, i powinny zawierać co najmniej 4 pionki; w każdej kupce powinna być inna liczba pionków. Następnie gracze zabieraja na zmianę dowolna, niezerowa ilość pionów. W jednym ruchu wolno zbierać tylko z jednej kupki. W zależności od wersji, przegrywa lub wygrywa gracz, który zabiera ostatni pionek. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

12 Gra Wythoffa Odmiana gry Nim: Wythoff (wyhoff): Zasady piony dzielimy na dwie różnoliczne kupki, bierzemy co najmniej 1 pion z 1 kupki; można brać piony z obu kupek w jednym ruchu, ale bierzemy wówczas tę sama ilość pionów z jednej i drugiej kupki mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

13 Gra Wythoffa poz a poz b x 1, x 2, x 1 x 2, Strategia przegrywajaca: (x 1, x 2 ) i(x 1 = a i, x 2 = b i ) mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

14 System liczbowy Fibbonacciego System Fibonacciego to binarny, pozycyjny system liczbowy, w którym poszczególnym pozycjom odpowiadaja kolejne liczby Fibonacciego. Pierwsza kolumna tabeli jest ciagiem Fibonacciego. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

15 System liczbowy Fibbonacciego mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

16 Słowo Thue-Morse a 2 10 = 10 2 liczba jedynek = 1, 1%2 = = 11 2 liczba jedynek = 2, 2%2 = = liczba jedynek = 1, 1%2 = = liczba jedynek = 3, 3%2 = = liczba jedynek = 4, 4%2 =0 mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

17 Nieskończone słowo Thue-Morse a Nieskończone słowo Thue-Morse a, które pojawiło się w pracy matematycznej około 100 lat temu i służyło do dowodu tego, że jest nieskończenie wiele tekstów nie zawierajacych powtórzeń. τ inf = mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

18 Skończone słowa Thue-Morse a Słowo Thue-Morse amożemy też zdefiniować za pomoca morfizmu: τ : 0 01, 1 10 τ 0 = 0 τ 1 = 01 τ 2 = 0110 τ 3 = τ n = τ n 1 τ n 1, gdzie τ generuje słowo powstałe z negacji symboli słowa τ. Załóżmy, że a 1, a 2, a 3... b 1, b 2, b 3 = a 1, b 1, a 2, b 2, a 3, b 3... τ = lim τ n τ = τ τ mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

19 Skończone słowa Thue-Morse a mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

20 Kwadrat magiczny mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

21 Słowo Kolakoskiego K = słowo Kolakoskiego, samogenerujace się słowo. Słowo K spełnia równanie r(k ) = K, gdzie r(x) oznacza ciag długości kolejnych bloków (maksymalnych spójnych fragmentów zawierajacych takie same litery), np. r( ) = 232. mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

22 Słowo Kolakoskiego Dla morfizmu: h : 1 1, 2 11 i g : 1 2, 2 22: mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

23 Słowo Kolakoskiego mgr Agnieszka Zbrzezny (IPI PAN) Wykład 1 Warszawa / 23

Teoria gier. Katarzyna Koman Maria Koman. Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Teoria gier. Katarzyna Koman Maria Koman. Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Teoria gier Katarzyna Koman Maria Koman Politechnika Gdaoska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej GRA NIM HISTORIA Pochodzenie gry NIM nie jest do końca znane. Najprawdopodobniej powstała

Bardziej szczegółowo

Algorytmy stochastyczne, wykład 05 Systemy Liendenmayera, modelowanie roślin

Algorytmy stochastyczne, wykład 05 Systemy Liendenmayera, modelowanie roślin Algorytmy stochastyczne, wykład 5, modelowanie roślin Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 214-3-2 1 2 3 ze stosem Przypomnienie gramatyka to system (Σ, A, s,

Bardziej szczegółowo

Algorytmika i kombinatoryka tekstów

Algorytmika i kombinatoryka tekstów lgorytmika i kombinatoryka tekstów 1/21 Algorytmika i kombinatoryka tekstów Jakub Radoszewski Wręczenie Nagrody im. W. Lipskiego, 9 października 2014 r. Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Algorytmika

Bardziej szczegółowo

JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych

JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa

Bardziej szczegółowo

Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja

Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje

Bardziej szczegółowo

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy

JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5

Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27 Wykład 7 Informatyka Stosowana 21 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 1 / 27 Relacje Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada 2016 2 / 27 Definicja Iloczynem kartezjańskim

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 04 Systemy Lindenmayera Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 19/10/2016 1 / 37 1 L-Systemy 2 GroIMP i XL ALife 2 / 37 L-Systemy L-systemy czyli systemy Lindenmayera.

Bardziej szczegółowo

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana

Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja

Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 11.03.2009 Czym będziemy się zajomwać? Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność Plan prezentacji Silna bisymulacja i silna równoważność

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Maszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu

Maszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inspirowane Naturą

Obliczenia inspirowane Naturą Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 05 Biologia i gramatyka Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 07/04/2016 1 / 40 1 Nieformalne określenie fraktali. 2 Wymiar pudełkowy/fraktalny. 3 Definicja fraktali.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne

Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 3 8 marca 2010 Kody Tunstalla Wszystkie słowa kodowe maja ta sama długość ale jeden kod może kodować różna liczbę liter

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Wykład nr 1: Podzielność i algorytm Euklidesa Semestr letni 2018/2019

Teoria liczb. Wykład nr 1: Podzielność i algorytm Euklidesa Semestr letni 2018/2019 Teoria liczb Wykład nr 1: Podzielność i algorytm Euklidesa Semestr letni 2018/2019 matpz@mat.ug.edu.pl http://mat.ug.edu.pl/~matpz/ Wykłady ustalenia Podręczniki: W.M. & P.Z. Elementarna teoria liczb,

Bardziej szczegółowo

Na poniższym rysunku widać fragment planszy. Pozycja pionka jest oznaczona przez. Pola, na które może dojść (w jednym ruchu), oznaczone są.

Na poniższym rysunku widać fragment planszy. Pozycja pionka jest oznaczona przez. Pola, na które może dojść (w jednym ruchu), oznaczone są. Dwuwymiarowy Nim VII OIG zawody indywidualne, etap I. 8 XI 0-7 I 0 Dostępna pamięć: 6 MB. Jaś i Małgosia grają w nietypową grę. Odbywa się ona na planszy ograniczonej z dołu i z lewej, a nieskończonej

Bardziej szczegółowo

racja 3 rzędów patyczków, komputer uprzejmie pytał, kto ma zaczynać grę. Na ekranie mogłaby pojawić się poniższa konfiguracja

racja 3 rzędów patyczków, komputer uprzejmie pytał, kto ma zaczynać grę. Na ekranie mogłaby pojawić się poniższa konfiguracja Gra Nim We wrześniu 1998 podczas miesięcznej wizyty w Monachium w pewną niedzielę wybrałem się z kolegą do Deutsche Museum, jednego z największych muzeów techniki w Europie. W jednym z pomieszczeń natknęliśmy

Bardziej szczegółowo

Symbol, alfabet, łańcuch

Symbol, alfabet, łańcuch Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura

Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques

Bardziej szczegółowo

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:

Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B: Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy 1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,

Bardziej szczegółowo

Jaki język zrozumie automat?

Jaki język zrozumie automat? Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy

Bardziej szczegółowo

Ciagi liczbowe wykład 4

Ciagi liczbowe wykład 4 Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Jakub Cisło. Programowanie z pasją maja 2019

Teoria gier. Jakub Cisło. Programowanie z pasją maja 2019 Teoria gier Jakub Cisło Programowanie z pasją http://programowaniezpasja.pl jakub@programowaniezpasja.pl 10 maja 2019 Jakub Cisło (Programowanie z pasją) Teoria gier 10 maja 2019 1 / 18 Plan wykładu 1

Bardziej szczegółowo

JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2. JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2

JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2. JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2 Dowodzenie nieregularności języka [lemat o pompowaniu] Jeśli L regularny to istnieje stała c spełniająca : jeżeli z L, z c to istnieje dekompozycja w = u v x tak, że uv i x L dla każdego i 0 [lemat o skończonej

Bardziej szczegółowo

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).

Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10). Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych

Bardziej szczegółowo

teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015

teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015 teoria informacji Entropia, informacja, kodowanie Mariusz Różycki 24 sierpnia 2015 1 zakres materiału zakres materiału 1. Czym jest teoria informacji? 2. Wprowadzenie matematyczne. 3. Entropia i informacja.

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9,

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9, 1 Kody Tunstalla Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 9, 14.04.2005 Inne podejście: słowa kodowe mają ustaloną długość, lecz mogą kodować ciągi liter z alfabetu wejściowego o różnej

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni

Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Konferencja SEM Formalizmy tak czy nie? Krzywe na płaszczyźnie i w przestrzeni Joanna Jaszuńska Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW oraz Instytut Matematyczny PAN Krzywe... 1 21 X 2017 Joanna

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość

Bardziej szczegółowo

Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne

Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Zadanie 1. Oblicz iteracyjnie i rekurencyjnie f(4), gdzie f jest funkcją określoną na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Techniki multimedialne

Techniki multimedialne Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Języki, automaty i obliczenia

Języki, automaty i obliczenia Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy

Bardziej szczegółowo

złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa

złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.

Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:

Bardziej szczegółowo

Strukturalne własności transformaty Burrowsa-Wheelera dla pewnych klas słów

Strukturalne własności transformaty Burrowsa-Wheelera dla pewnych klas słów Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Bartłomiej Romański Nr albumu: 219543 Strukturalne własności transformaty Burrowsa-Wheelera dla pewnych klas słów Praca magisterska na

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011

Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding

Bardziej szczegółowo

Pomorski Czarodziej 2016 Zadania. Kategoria C

Pomorski Czarodziej 2016 Zadania. Kategoria C Pomorski Czarodziej 2016 Zadania. Kategoria C Poniżej znajduje się 5 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego z nich możesz otrzymać 10 punktów. Jeżeli otrzymasz za zadanie maksymalną liczbę punktów, możesz

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)

Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które

Bardziej szczegółowo

Maszyna Turinga języki

Maszyna Turinga języki Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

ZASADY GRY: COERCEO. Language: English / Polski

ZASADY GRY: COERCEO. Language: English / Polski Rules of Coerceo by Coerceo Company Translation by Anna Skudlarska ZASADY GRY: COERCEO Language: English / Polski Prawa autorskie Żadna część niniejszego dokumentu nie może być powielana, kopiowana lub

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5.

Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Schemat Hornera. Wyjaśnienie: Zadanie 1. Pozycyjne reprezentacje

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019

Teoria liczb. Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019 Teoria liczb Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019 Trzy sposoby definiowania liczb rzeczywistych Dedekind Parę (A, B) podzbiorów zbioru Q nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Potęgi (14 pkt)

Zadanie 1. Potęgi (14 pkt) 2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. otęgi (14 pkt) W poniższej tabelce podane są wartości kolejnych potęg liczby 2: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 k 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ciąg a=(a 0,

Bardziej szczegółowo

Tworzenie gier na urządzenia mobilne

Tworzenie gier na urządzenia mobilne Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 2 2 Problemy algorytmiczne Klasy problemów algorytmicznych Liczby Fibonacciego Przeszukiwanie tablic Największy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

1 Automaty niedeterministyczne

1 Automaty niedeterministyczne Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów

Bardziej szczegółowo

Algorytmy sztucznej inteligencji

Algorytmy sztucznej inteligencji www.math.uni.lodz.pl/ radmat Przeszukiwanie z ograniczeniami Zagadnienie przeszukiwania z ograniczeniami stanowi grupę problemów przeszukiwania w przestrzeni stanów, które składa się ze: 1 skończonego

Bardziej szczegółowo

Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga

Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór

Bardziej szczegółowo

Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana

Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kodowanie i bezpieczeństwo informacji - Wykład 10 29 kwietnia 2013 Teoria informacji Jeśli P(A) jest prawdopodobieństwem wystapienia informacji A to niech i(a)

Bardziej szczegółowo

Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}

Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11} Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =

Bardziej szczegółowo

teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015

teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 1 wczoraj Wprowadzenie matematyczne. Entropia i informacja. Kodowanie. Kod ASCII. Stopa kodu. Kody bezprefiksowe.

Bardziej szczegółowo

Równania Pitagorasa i Fermata

Równania Pitagorasa i Fermata Równania Pitagorasa i Fermata Oliwia Jarzęcka, Kajetan Grzybacz, Paweł Jarosz 7 lutego 18 1 Wstęp Punktem wyjścia dla naszych rozważań jest klasyczne równanie Pitagorasa związane z trójkątem prostokątnym

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015 Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

Obliczenia na stosie. Wykład 9. Obliczenia na stosie. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 266 / 303

Obliczenia na stosie. Wykład 9. Obliczenia na stosie. J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 266 / 303 Wykład 9 J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp do Informatyki i Programowania 266 / 303 stos i operacje na stosie odwrotna notacja polska języki oparte na ONP przykłady programów J. Cichoń, P. Kobylański Wstęp

Bardziej szczegółowo

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9

Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =

Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 = Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela

Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja

Bardziej szczegółowo

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w 02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Rekurencyjna przeliczalność

Rekurencyjna przeliczalność Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne

Bardziej szczegółowo

Efektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5

Efektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5 Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Poprawność semantyczna

Poprawność semantyczna Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)

Bardziej szczegółowo

Kodowanie informacji

Kodowanie informacji Kodowanie informacji Tomasz Wykład 4: kodowanie arytmetyczne Motywacja Podstawy i własności Liczby rzeczywiste Motywacje 1 średnia długość kodu Huffmana może odbiegać o p max + 0.086 od entropii, gdzie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI

Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA.  D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl http://orion.fis.agh.edu.pl/~grazyna/ D-10 pokój 227 WYKŁAD 1 WSTĘP DO INFORMATYKI Plan wykładu 2 Wprowadzenie, trochę historii, systemy liczbowe

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Łańcuchy Markowa: zagadnienia graniczne. Ukryte modele Markowa. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ KLASYFIKACJA STANÓW Stan i jest osiągalny

Bardziej szczegółowo

Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń

Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 4 kwietnia 2019 1 Dodajmy kontekst! Rozważaliśmy

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Zadania z arytmetyki i teorii liczb

Zadania z arytmetyki i teorii liczb Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym

Bardziej szczegółowo